Balances Microscopicos

5/11/2018 Balances Microscopicos - slidepdf.com

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CAP. 6: FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL PRINCIPIO DE MOMENTO LINEAL 6-1

Capítulo 6: Formulación diferencial del principio de momento lineal

6.1 Introducción

Se ha estudiado previamente la forma integral del principio de conservación de la cantidad demovimiento lineal. Se ha visto también que las tensiones que se producen en un medio continuo

pueden expresarse mediante un tensor de segundo orden conocido como Tensor de Tensiones. En

este capítulo se propondrán relaciones constitutivas que expresen la dependencia de estas tensiones

con las deformaciones a las que se ve sometido un medio continuo de tipo fluido, y se obtendrá una

forma diferencial del balance de cantidad de movimiento lineal. El desarrollo que se seguirá es el

siguiente:

a) se obtendrá una forma diferencial del Balance de Cantidad de Movimiento Lineal a partir dela expresión integral (1-6);

b) se definirá el Tensor de Tensiones Viscosas para el caso de un medio continuo de tipo fluido,

y esta definición se introducirá en la Ecuación Diferencial de Movimiento;

c) se definirán los tensores Tasa de Deformación y de Vorticidad, y se interpretará geométrica y

físicamente su significado;

d) se obtendrá una ecuación constitutiva que relacione el Tensor de Tensiones con las

deformaciones, para el caso de un fluido Newtoniano, y se introducirá esta expresión en el

Balance Diferencial de Movimiento para obtener las ecuaciones de Navier-Stokes;

e) finalmente, se analizarán algunos ejemplos sencillos, correspondientes a los casos conocidos

como Flujo Poiseuille y Flujo Couette.

6.2 El Balance Diferencial de Cantidad de Movimiento

Aplicando algunas de las propiedades del Tensor de Tensiones vistas en el capítulo anterior, vamosa obtener una forma diferencial del Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento

Lineal. Para ello, nuevamente partimos de la ec. (1-6) o (4-6), utilizando la Forma Especial del

Teorema del Transporte y expresando las fuerzas de contacto mediante el Tensor de Tensiones

(t(n) = n⋅T):

∫ ∫ ⋅+=⌡⌠

)()()(

t At V t V mm

m

dAdV Dt

DTng

v ρ ρ (6-1)

Empleando el Teorema de la Divergencia, podemos escribir




0)(

)()()(

=⌡

⌠

⋅∇−−

⋅∇+=⌡⌠ ∫ ∫

t V

t V t V t V

m

mmm

dV Dt

D

dV dV dV Dt

D

Tgv

Tgv

ρ ρ

ρ ρ

. (6-2)

Dado que el volumen material elegido puede ser tan arbitrario como uno desee, necesariamente el

integrando debe ser cero:

Tgv

Tgv

⋅∇+=

=⋅∇−−

ρ ρ

ρ ρ

Dt

D

Dt

D0

(6-3)

Esta expresión, a primera vista inofensiva, encierra en una notación altamente compacta un sistemade ecuaciones diferenciales no-lineales fuertemente acopladas, la que denominaremos Balance

Diferencial de Cantidad de Movimiento. Básicamente, esta ecuación expresa la segunda Ley de

Newton

masa x aceleración = Σ fuerzas

para un elemento diferencial de cualquier medio continuo, fluido o sólido. A continuación vamos a

estudiar el caso particular de medios continuos fluidos. El análisis de medios sólidos se desarrollaráen capítulos posteriores.

6.3 El Tensor de Tensiones Viscosas

6.3.1 Introducción

En capítulos anteriores hemos visto que en un fluido en reposo sólo existen tensiones normales al

área considerada, originadas por la presión hidrostática: t(n) = – pn. En este caso, podemos verificar

que el tensor de tensiones puede escribirse como

T = – pI (6-4)

Cuando el fluido se encuentra en movimiento, sin embargo, surgen tensiones adicionales a las

hidrostáticas, originadas en las deformaciones que se producen en el medio continuo.

Intuitivamente, es posible imaginar que a medida que las deformaciones son mayores, surgen

tensiones proporcionalmente más grandes. Tradicionalmente, se define un tensor de segundo orden

en el que se incluyen todos estos efectos, denominado Tensor de Tensiones Viscosas:




ττττ ≡ T + pI (6-5)

Introduciendo esta definición en (6-3) se obtiene

τg

v⋅∇+∇−=

p Dt

D

ρ ρ (6-6)

expresión en la que simplemente se han separado en dos términos los efectos de la presión y de las

fuerzas viscosas determinadas por el movimiento del fluido.

Como hemos dicho, ττττ de alguna forma depende de las deformaciones del medio continuo. La

ecuación que expresa esta dependencia es lo que comúnmente se conoce como Ecuación

Constitutiva, y la rama de la ciencia que se encarga de estos estudios se denomina Reología. En las

secciones subsiguientes nos ocuparemos de estos tópicos, en primer lugar analizando lo queintuitivamente imaginamos como “deformación”, para luego proponer una relación lineal entre las

deformaciones y las tensiones.

6.3.2 Análisis de deformaciones

Los tipos de deformación comúnmente conocidos son extensión y contracción. Otros tipos que

resultan quizás menos familiares son aquellos conocidos como “deformaciones angulares” o

“deformaciones de corte”. A continuación se analizan cualitativamente ambos.

Figura 6-1

( x + dx) + (u + ∂u/∂ x dx) δ t x + u δ t x + dx x

u + ∂u/∂ x dx u

dx + δ (dx)dx

t t + δ t

x

y




Supóngase en primer término que un líquido fluye a través del canal convergente de la Fig. 6-1.

Resulta fácil imaginar que, debido a la conservación de la masa, el líquido se acelera al avanzar en

el canal, aumentando la velocidad en la dirección de flujo. Por ello, el elemento de fluido cuya

longitud original es dx, cambiará su longitud al avanzar, es decir, sufrirá un estiramiento, de manera

que su longitud será dx + δ (dx) al cabo de un intervalo de tiempo δ t . La Fig. 6-1 permite apreciar

cómo se desplazan a distinta velocidad los puntos extremos de este elemento diferencial, hasta

alcanzar sus nuevas posiciones. De esta manera, puede escribirse que la longitud del elemento de

fluido, luego de estirarse, está dada por

[ ]

t dx

u

dx

t u xt dx x

ut udx xdxdx

δ

δ δ δ δ

∂

∂+=

+−

∂

∂+++=+ )(

(6-7)

expresión de la que puede obtenerse el estiramiento sufrido por el elemento:

t dx x

udx δ δ

∂

∂=)( (6-8)

Dividiendo por la longitud original (dx) se obtiene la deformación del elemento de fluido.

Dividiendo además por δ t y pasando al límite cuando δ t → 0,

u

Dt

dx D

dxt

dx

dx t ∂

∂==

→

)(1)(lím

10 δ

δ

δ (6-9)

se obtiene la velocidad de deformación o tasa de extensión del elemento diferencial de fluido.

Figura 6-2

Obsérvese ahora, la situación mostrada en la Fig. 6-2. Un líquido confinado entre dos placas

paralelas se mueve debido a que una de las superficies sólidas se desplaza a cierta velocidad

respecto de la otra en la dirección x. Esto representa lo que en fluidodinámica típicamente suele

u + ∂u/∂ y dy

u ( x , y)

( x , y + dy)

( x + u δ t , y)

[ x + (u + ∂u/∂ y dy) δ t , y + dy]a

dyγ

t t + δ t

dy y

x




denominarse flujo de corte. Resulta intuitivo imaginar que las sucesivas capas de líquido deslizan

unas respecto de otras, a medida que la velocidad en la dirección x aumenta al acercarnos a la placa

móvil. Analicemos entonces la deformación que sufre el elemento de fluido dispuesto a lo largo de

la coordenada y, con una longitud inicial dy. De manera similar a lo visto previamente, los puntos

que integran este elemento se desplazan a distinta velocidad. Al cabo de un instante de tiempo δ t ,

los extremos ocupan nuevas posiciones, y el elemento sufre una deformación angular caracterizada

por el ángulo γ . La observación de la Fig. 6-2 nos permite escribir:

( )

t y

u

t dy y

u

dy

t u xt dy y

ut u x

dydy

a

δ

δ

δ δ δ γ γ

∂

∂

∂

∂

+−

∂

∂++==

~

1~

1tg~

(6-10)

La velocidad de deformación angular , o tasa de corte, se obtiene dividiendo por δ t y pasando al

límite cuando δ t → 0:

y

u

Dt

D

t t ∂

∂==

→

γ

δ

γ

δ 0lím (6-11)

Como puede apreciarse en las ecs. (6-9) y (6-11), la velocidad de deformación de un medio fluido

depende de las componentes del gradiente de velocidad (∇v), que constituye un tensor de segundo

orden. Todo tensor de segundo orden puede escribirse como la suma de un tensor simétrico más un

tensor antisimétrico, de la siguiente manera:

∇v = 1/2 (∇v + ∇v) + 1/2 (∇vT – ∇vT )

∇v = 1/2 (∇v + ∇vT ) + 1/2 (∇v – ∇vT )

∇v = D + W (6-12)

donde se han definido los tensores Tasa de Deformación (D ≡ 1/2 (∇v + ∇vT )) y Vorticidad

(W ≡ 1/2 (∇v – ∇vT )). Puede verificarse fácilmente que el tensor D es simétrico, mientras que W es

antisimétrico. Sin demostración se menciona que el tensor D es el que mide las deformaciones

“reales”, mientras que W representa la parte del movimiento del fluido correspondiente a unarotación de cuerpo rígido (y no a una deformación “verdadera”). En particular, puede demostrarse




que las componentes de la diagonal de D miden velocidades de estiramientos-contracciones

normales (la traza de D, tr(D) = ∇⋅v, es la tasa de expansión volumétrica en un punto), mientras que

las componentes fuera de la diagonal de D miden velocidades de deformación de corte.

6.3.3 Ecuaciones constitutivas para fluidos

6.3.3.1 Introducción

Como se ha mencionado anteriormente, los fluidos en general (a diferencia de los sólidos) se

definen como una clase especial de material que no soporta esfuerzos cortantes sin deformarse en

forma continua. Dicho de otra forma, un fluido es un tipo de sustancia que cuando se encuentra en

movimiento de cuerpo rígido (esta situación incluye el estado de reposo), sólo existen tensiones

normales.Hemos visto además en las secciones previas que la velocidad de deformación de un fluido puede

caracterizarse mediante el Tensor Tasa de Deformación, ya que el Tensor de Vorticidad representa

la componente del movimiento correspondiente a una rotación como cuerpo rígido, y no una

verdadera deformación del medio continuo. Resulta entonces razonable esperar que las tensiones

viscosas dentro del fluido (aquellas que surgen como consecuencia del movimiento) dependan de la

velocidad de deformación del mismo, y que en general aumenten a medida que se incrementa la

tasa de deformación del medio. Por ello, una ecuación constitutiva para el Tensor de TensionesViscosas (ττττ) debería ser una función del Tensor Tasa de Deformación (D). Esto es, en forma

genérica

ττττ = f (D) (6-13)

En las secciones subsiguientes se analiza con mayor detalle esta relación entre tensiones viscosas y

deformaciones.

6.3.3.2 Ley de la viscosidad de Newton

Vamos a restringir nuestra atención a una clase muy particular de fluido, denominada Fluido

Newtoniano. Para ello, analicemos antes la situación que se observa en la Fig. 6-3, donde existe un

“fluido viscoso” confinado entre dos placas planas paralelas. Si uno aplicara una fuerza tangencial a

estas placas, se produciría un movimiento relativo entre las mismas. Es intuitivo afirmar que a

medida que la fuerza aplicada es mayor, la velocidad de desplazamiento relativo aumenta.

Comúnmente decimos que este efecto es consecuencia de fuerzas de “fricción” (o “viscosas”)actuando en el líquido. Nos imaginamos también que para un fluido más viscoso deberíamos aplicar




una fuerza tangencial mayor que para uno menos viscoso. En la situación particular que estamos

analizando, el perfil de velocidades dentro del canal tiene una forma lineal como la que se muestra,

donde se ha supuesto que una de las placas está fija mientras la otra se mueve. Podemos entonces

caracterizar la deformación en el líquido mediante la pendiente del perfil de velocidades, es decir

∂v x/∂ y (ver sección 6.3.2). A medida que el movimiento relativo (y consecuentemente la velocidad

de deformación) es mayor, el valor de esta derivada se incrementa. La tensión tangencial (fuerza

por unidad de área) necesaria para lograr esa velocidad de deformación debería ser proporcional a la

misma.

Figura 6-3

Denominemos viscosidad (con el símbolo µ ) a esta constante de proporcionalidad, esto es

y

v x

∂

∂= µ τ (6-14)

Esta ecuación, en la cual expresamos una relación de proporcionalidad entre velocidad de

deformación y tensión viscosa, nos sirve de motivación para el análisis más formal y detallado que

se muestra a continuación.

Como se mencionó, un fluido Newtoniano es un tipo idealizado de fluido. Formalmente, es un

fluido que reúne las siguientes características:

• las componentes del Tensor de Tensiones Viscosas dependen linealmente de las componentes

del Tensor Tasa de Deformación,

• el fluido es isotrópico, esto es, sus propiedades son independientes de la orientación con la

que se las examine.

las cuales pueden adoptarse como una definición de fluido Newtoniano.

Puede demostrarse que la relación más general que cumple estos requisitos puede escribirse como

y

x

τ

u( y) y

u

∂

∂∝τ




ττττ = (κ – 2/3 µ ) tr(D) I + 2 µ D = (κ – 2/3 µ ) (∇⋅v) I + µ [∇v + (∇v)T ] (6-15)

o en forma equivalente

τ ij = (κ – 2/3 µ ) Dkk δ ij + 2 µ Dij = (κ – 2/3 µ ) (∂vk /∂ xk ) δ ij + µ (∂vi/∂ x j + ∂v j/∂ xi) (6-16)

donde κ y µ son conocidas como viscosidad dilatacional y viscosidad de corte (o viscosidad

dinámica o simplemente viscosidad) respectivamente. Introduciendo estas expresiones en la ec. (6-

5) obtenemos

T = [– p + (κ – 2/3 µ ) tr(D)] I + 2 µ D = [– p + (κ – 2/3 µ ) (∇⋅v)] I + µ [∇v + (∇v)T ] (6-17)

τ ij = [– p + (κ – 2/3 µ ) Dkk ] δ ij + 2 µ Dij = [– p + (κ – 2/3 µ ) (∂vk /∂ xk )] δ ij + µ (∂vi/∂ x j + ∂v j/∂ xi)(6-18)

Las ecs. (6-17) y (6-18) se conocen también como Ley de la viscosidad de Newton. Este modelo de

fluido representa en forma aproximada al comportamiento de muchos fluidos reales (entre ellos el

agua y el aire) dentro de determinados rangos de situaciones. Por el contrario, muchos otros fluidos

(entre ellos la sangre y muchas soluciones poliméricas) requieren representaciones o ecuaciones

constitutivas más complejas. Todos los fluidos cuyo comportamiento no concuerda con (6-15) se

conocen como Fluidos No-Newtonianos .

Se define como presión total media ( P ) a:

– P ≡ 1/3 tr(T) (6-19)

– P = 1/3 {3 [– p + (κ – 2/3 µ ) Dkk ] + 2 µ Dkk } = – p + κ Dkk

– P = – p + κ tr(D) = – p + κ ∇⋅v (6-20)

Para el caso particular de un fluido incompresible ( ρ = cte., ∇⋅v = 0) la presión termodinámica ( p)

es igual a la presión total media ( P ) y

T = – p I + 2 µ D = – p I + µ [∇v + (∇v)T ] (6-21)

τ ij = – p δ ij + 2 µ Dij = – p δ ij + µ (∂vi/∂ x j + ∂v j/∂ xi) (6-22)

Mediante la introducción de la ec. (6-15) en (6-6) se obtiene




( )( ) ( )[ ]

( )( )[ ] ( )[ ]T

T

pt

p Dt

D

vvvgvvv

vvIvgv

∇+∇⋅∇+⋅∇−∇+∇−=

∇⋅+

∂

∂

∇+∇+⋅∇−⋅∇+∇−=

µ µ κ ρ ρ

µ µ κ ρ ρ

32

32

(6-23)

Si los coeficientes de viscosidad (κ y µ ) fueran constantes

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) vvgvvv

vvvgvvv

vvvgvvv

2

2

31

32

32

∇+⋅∇∇++∇−=

∇⋅+

∂

∂

⋅∇∇+∇+⋅∇∇−+∇−=

∇⋅+

∂

∂

∇⋅∇+∇⋅∇+⋅∇∇−+∇−=

∇⋅+

∂

∂

µ µ κ ρ ρ

µ µ κ ρ ρ

µ µ κ ρ ρ

pt

pt

pt

T

(6-24)

Finalmente, si el fluido fuera incompresible

vgvvv 2

∇+∇−=

∇⋅+

∂

∂ µ ρ ρ p

t (6-25)

La ec. (6-25) se conoce como Ecuación de Navier-Stokes, y es una de las ecuaciones fundamentales

de la Mecánica de Fluidos. Resumiendo las hipótesis enunciadas, esta ecuación es válida para un

fluido Newtoniano e incompresible de viscosidad constante. Junto a la ecuación de continuidad paraun fluido incompresible (∇⋅v = 0), forman un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales en

derivadas parciales no-lineales altamente acopladas para las cuatro incógnitas ( p y vi). Aún no se ha

encontrado una solución general a las mismas, y su resolución es aún uno de los problemas más

desafiantes de la Mecánica de Fluidos.

6.3.3.3 Fluidos no Newtonianos

En las secciones anteriores centramos nuestra atención en los fluidos que pueden caracterizarse

mediante el modelo de fluido Newtoniano. Sin embargo, la experiencia indica que la mayor parte de

los fluidos reales no se comporta de esta manera, o bien lo hacen para rangos limitados de las

condiciones experimentales. En general, se los denomina Fluidos no Newtonianos, y la disciplina

que los estudia es la Reología, una de las más activas de la Mecánica del Continuo. La misma busca

obtener relaciones del tipo ττττ = f (D) distintas a la vista anteriormente, que representen en forma más

adecuada el comportamiento de los materiales reales. Ninguna de las relaciones (ecuaciones

constitutivas) obtenidas hasta el momento es completamente general. Por el contrario, suelen ser

específicas para determinadas clases de fluidos en condiciones operativas particulares.




Imaginemos nuevamente la situación mostrada en la sección 6.3.3.2. Para un fluido Newtoniano, se

observa una relación lineal entre la tensión de corte y la velocidad de deformación: T xy = µ ∂v x/∂ y.

Para los fluidos no Newtonianos esta relación no se verifica. La Fig. 6-4 muestra el comportamiento

típico de algunos de los tipos más importantes de fluidos no Newtonianos. La pendiente de las

curvas se denomina comúnmente viscosidad aparente o efectiva( µ ap o µ ef ) . Los fluidos cuya

viscosidad aparente disminuye con la tasa de deformación se denominan pseudoplásticos (ej.:

pintura, ketchup, leche y sangre), mientras que si µ ap aumenta con la velocidad de deformación el

fluido es dilatante (ej.: mezcla agua + almidón). Un modelo particular que tiene en cuenta este tipo

de comportamiento es el denominado modelo de Ostwald-de Wael o de “Ley de potencia”,

caracterizado por siguiente expresión:

yv

yvmT x

n

x xy

∂

∂

∂

∂=

−1

(6-26)

donde m y n son los parámetros del modelo (el fluido Newtoniano corresponde al caso particular

n = 1 y m = µ ). Los casos n > 1 y n < 1 representan fluidos dilatantes y pseudoplásticos,

respectivamente.

Figura 6-4

Fluido de Bingham

Pseudoplástico

Dilatante

Newtoniano

T xy

τ 0

y

v x

∂

∂




Existen otros materiales que se comportan como sólidos si no se supera una tensión mínima crítica,

denominada tensión de fluencia (τ 0). La pasta de dientes es un ejemplo de ello; la sangre

(observando su comportamiento a muy bajas velocidades de deformación) también exhibe esta

característica. Un modelo sencillo para este tipo de materiales es el denominado Fluido de Bingham

( )

>−

<=

∂

∂

00

0

si

si 0

τ µ

τ

xy xy

xy x

T τ T

T

y

v(6-27)

6.4 Condiciones de contorno

Una condición de contorno implica una restricción sobre alguna/s de las variables del problema, en

algún punto o porción de la frontera del dominio de flujo. Generalmente introducen información

importante acerca de la “física” del problema. Las condiciones de contorno más comunes son lasque se imponen en la interfase entre dos fases adyacentes. Así, podemos enunciar las siguientes

(referirse a la Fig. 6-5):

Figura 6-5

• Se ha confirmado experimentalmente que las componentes tangenciales de la velocidad en

una interfase fluido-sólido o fluido-fluido son continuas, esto es, son iguales. Esta condiciónse conoce también como condición de no-deslizamiento, y puede expresarse matemáticamente

como:

Fase I Fase II

vnI

vnII

vt I

vt

vI v

II

t(n)I

t(n)II

Fase I

Fase II

n




vt I = vt

II (6-28)

donde el vector velocidad es v = vt t + vn n y los supraíndices I y II indican la fase fluida

correspondiente.

• Además en ausencia de transferencia de masa entre fases adyacentes, también lascomponentes normales de la velocidad deben ser continuas en la interfase (o sea iguales). Esto

es:

vn I = vn

II (6-29)

Muchas veces nos referiremos como condición de no deslizamiento al hecho de que tanto la

componente normal como tangencial de la velocidad sean continuas en la interfase:

v I = v

II (6-30)

• Cuando los efectos interfaciales son despreciables, es posible asumir que las tensiones en la

interfase son continuas.

II I

II I

TnTn

tt nn

⋅=⋅

= )()( (6-31)

De aquí se desprenden entonces dos condiciones de contorno, típicamente para las

componentes tangencial y normal de la tensión.

En la sección 6.5.2 se verán ejemplos donde se aplican estas condiciones de contorno.

6.5 Flujos unidireccionales

Como se dijo previamente, no se ha encontrado una solución general a la ecuación de Navier-

Stokes. Sin embargo una clase particular de problemas admite soluciones en forma relativamente

sencilla; se trata de los denominados problemas de flujo unidireccional , donde sólo una de las

componentes del vector velocidad es distinta de cero.

En el caso más general, las variables de un problema de mecánica de fluidos dependen de las tres

coordenadas espaciales, además del tiempo. En algunos casos, sin embargo, la dependencia de las

variables respecto a una de las coordenadas espaciales puede despreciarse. Si esto sucediera en un

problema donde se utiliza un sistema coordenado rectangular cartesiano ( x, y, z ), y la dependencia —

por ejemplo— con z fuera despreciable, se dice que se trata de un problema de flujo plano (en el

plano x- y). Si estuviéramos trabajando en un sistema coordenado cilíndrico (r ,θ , z ) y pudiera sumirse

que las variables de flujo no dependen de θ , decimos que se trata de un flujo axisimétrico.




Vamos a analizar tres ejemplos, todos clasificados como flujos unidireccionales.

6.5.1 Flujo entre placas paralelas

Supóngase que hay dos placas planas paralelas separadas por una distancia h constante, las que, a

los fines prácticos, se extienden infinitamente en el plano x- z (ver Fig. 6-6). Existe un movimiento

relativo constante entre las mismas en la dirección x. Imagine ahora que un líquido Newtoniano de

viscosidad ( µ ) y densidad ( ρ ) constantes se desplaza en el espacio existente entre las placas debido

al movimiento relativo de las mismas y a un gradiente de presión aplicado a lo largo de la

coordenada x. La velocidad del flujo es lo suficientemente lenta como para que el flujo pueda ser

considerado laminar. Puede asumirse que el efecto de la aceleración gravitatoria es completamente

despreciable, debido a la escasa separación entre las placas. Puede pensarse que el proceso ocurre

en estado estacionario, y que el análisis se realiza en una porción del canal donde el flujo estátotalmente desarrollado. Por ello, exceptuando v x, no habría razones para pensar que exista alguna

otra componente de velocidad distinta de cero. Tampoco existen motivos para suponer que las

variables de flujo dependan de z . Nos proponemos calcular las expresiones para la componente de

velocidad v x y la presión p. Antes de ello, presentamos en forma resumida las hipótesis que pueden

adoptarse en la resolución del problema:

Figura 6-6

• Flujo laminar.

• Flujo en estado estacionario (∂/∂t = 0).

• Fluido Newtoniano de viscosidad constante.

V

U

h y

x

x=0

P = P 0

x= L

P=P L

, ρ ρρ ρ

v y

v x




• Fluido incompresible (densidad constante).

• Flujo unidireccional completamente desarrollado(v = v x i).

• Flujo plano: las variables fluidodinámicas no dependen de z (∂/∂ z = 0).

• Efectos gravitatorios despreciables.

La ecuación de continuidad en este caso nos revela que:

v

z

v

y

v

x

v

x

z y x

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

⋅∇= v0

(6-32)

o sea, que v x = v x( y) solamente. Por otro lado, pueden desarrollarse y simplificarse las componentes

x e y (las únicas relevantes) de la ecuación de Navier-Stokes:

componente x:2

2

0dy

vd

x

p x µ +∂

∂−= (6-33)

componente y: y

p

∂

∂−=0 (6-34)

La ec. (6-34) nos dice que p = p( x) solamente. Por lo tanto, reescribimos la ec. (6-33):

2

2

dy

vd

dx

dp x µ = (6-35)

ecuación que nos dice que en este problema las fuerzas viscosas se equilibran con las de presión. El

miembro izquierdo de (6-35) es función sólo de x, mientras que el derecho es sólo función de y. Por ello, la única manera de que se mantenga la igualdad es si ambos miembros son iguales a una

constante, a la que llamamos G en este problema. Luego, podemos escribir:

Gdx

dp= (6-36)

Integrando ambos miembros entre x = 0 (donde p = p0) y un punto genérico obtenemos:

xG p pdxGdp x p

p+=⇒= ∫ ∫ 000

(6-37)




Es decir, la presión varía en forma lineal con la coordenada x. En particular, en x = L la presión es

p = p L, lo que nos permite calcular G:

L

p pG LG p p L

L0

0

−=⇒+= (6-38)

Trabajamos ahora con el miembro derecho de (6-35), integrando en forma indefinida dos veces:

D yC yG

vC yG

dy

dvG

dy

vd x

x x++=⇒+=⇒=

22

2

2 µ µ µ (6-39)

obteniendo un perfil de velocidades de tipo parabólico. Como es lógico, al integrar la ecuación de

segundo orden se obtuvo una solución general donde aparecen dos constantes de integración (C y

D). Nótese que en la obtención de (6-39) no fue necesario especificar información alguna acerca de

lo que sucede en los contornos del dominio. Más adelante se verificará que existen otros problemas

de flujo unidireccional donde se arriba a una solución general similar a esta. Para obtener las

constantes C y D es necesario especificar algunas condiciones de contorno. Como se mencionó, en

general las condiciones de contorno contienen información acerca de lo que sucede en la frontera

del dominio. En este caso, nuestra frontera son las placas que se mueven a izquierda y derecha. La

condición de no deslizamiento nos permite escribir aquí

v x = – U en y = 0 , v x = V en y = h (6-40)

De la primer condición se obtiene que D = – U . De la segunda se desprende que µ 2

hG

h

V U C −

+= .

Luego, el perfil de velocidad está dado por:

( ) y

h

V h y

h

U yGv x +−

+=

µ 2

(6-41)

Luego, las ecs. (6-37) y (6-41) constituyen la solución de este problema. Vamos a analizar algunos

casos particulares de esta solución, combinando distintos valores de G, U y V .

• Notamos fácilmente que si el gradiente de presión fuera nulo (G = 0), el perfil de velocidad

deja de ser parabólico y pasa a ser lineal (v x = (U + V ) y/h – U ). El flujo solamente es

producido por el arrastre generado por el movimiento relativo entre las placas. Estos flujos se

denominan en general de tipo Couette plano.




• En el caso en que ambas placas estuvieran inmóviles (U = V = 0), el perfil de velocidades

posee la siguientes expresión simplificada: ( ) µ 2h y yGv x −= . Si G > 0 ( P 0 < P L) el flujo,

como es lógico, se da de derecha a izquierda. Lo inverso ocurre si G < 0 ( P 0 > P L). Esta clase

de problemas se conocen como flujos de tipo Poiseuille plano.

• En el caso mas general G, U y V no son nulos y esto constituye una combinación de flujos

Poiseuille y Couette planos.

Una vez obtenido el perfil de velocidades, puede calcularse el caudal a través de una sección

transversal a la dirección del flujo:

( )

−

−=

−++

−=

⌡⌠

+−

+=

=⋅=⋅= ∫ ∫ ∫

µ

µ µ

122

22322

2

0

223

GhU V bhQ

Uy yh

V U yh yGbbdy yhV h y

hU yGQ

dAvdAdAQ

h

A

Ax

A Aivnv

(6-42)

donde se reemplazó dA = b dy, siendo b un ancho genérico del canal, en la dirección z

(perpendicular a la página).

6.5.2 Flujo plano con interfase líquido-gas

Analicemos ahora el siguiente problema (ver Fig. 6-7). Imaginemos que un líquido viscoso cae por

efecto de la gravedad sobre una rampa inclinada un cierto ángulo respecto de la horizontal,

formando una película de espesor uniforme. Es posible obtener una solución en forma relativamente

sencilla luego de enunciar una serie de hipótesis simplificadoras. Vamos a asumir, en primer

término, que el líquido se mueve lo suficientemente lento como para considerar un régimen de flujo

laminar. Supongamos además que estamos tratando con un líquido Newtoniano (e incompresible)

de viscosidad constante. Es posible pensar además que estamos observando una situación en la que

el fenómeno ocurre en estado estacionario. Asumimos además que la superficie inclinada por la que

desliza el líquido es perfectamente plana, y que el lugar donde se realiza el análisis está alejado de

cualquier borde, por lo que es admisible pensar que el movimiento del líquido posee una sola

componente de velocidad no nula, paralela a la placa. Además, se acepta que el problema es

independiente de la dirección perpendicular a la página. A continuación se resumen la hipótesis a

emplear:

• Flujo laminar.







• Flujo unidireccional completamente desarrollado(v = v x i).

• Flujo plano: las variables fluidodinámicas no dependen de z (∂/∂ z = 0).

Figura 6-7

Siguiendo un procedimiento similar al de la sección anterior, de la ecuación de continuidad se

obtiene que v x es independiente de x, es decir v x = v x( y). Planteamos a continuación las componentes

x e y de la ecuación de Navier-Stokes:

componente x: x x g

dy

vd

x

p ρ µ ++

∂

∂−=

2

2

0 (6-43)

componente y: y g y

p ρ +

∂

∂−=0 (6-44)

De la Fig. 6-7 es sencillo ver que g x = g senα y g y = – g cosα . Reescribimos las ecs. (6-43) y (6-44):

α ρ µ sen2

2

g dy

vd

x

p x+=

∂

∂(6-45)

h

y

x

x=0

P = P 0

I

, ρ ρρ ρ

v y

v x x= L

P=P L

α

α g y

g x

g

Aire Calmo ( )

p=patm

n




α ρ cos g y

p−=

∂

∂(6-46)

Como puede observarse, la ec. (6-45) no es directamente integrable. Por ello, recurrimos a un

artificio matemático definiendo una nueva variable, la denominada presión generalizada ( P ):

( )α α ρ sencos x y g p P −+= (6-47)

por lo que ∂ P /∂ y = ∂ p/∂ y + ρ g cosα = 0 según la ec. (6-46) (esto es, P ≠ P ( y)), y ∂ P /∂ x = ∂ p/∂ x –

ρ g senα = dP /dx puesto que P = P ( x). Luego, podemos reescribir la ec. (6-45) utilizando este

cambio de variables.

Gdy

vd

dx

dP x == 2

2

µ (6-48)

puesto que nuevamente notamos que esta igualdad puede mantenerse sólo si ambos miembros son

iguales a una constante, la que denominamos G.

Analizamos en primer término la igualdad dP /dx = G. Esta expresión puede integrarse; vamos a

hacerlo en forma definida, entre dos extremos genéricos x = 0 y x = L.

GL P P GdxdP L

L P

P

L=−⇒= ∫ ∫ 000

(6-49)

Nos detenemos un momento a examinar las expresiones P L y P 0. Utilizando estrictamente la

definición de presión generalizada (ver ec. (6-47)), notamos que a fin de evaluar la presión ( p( x, y))

debe especificarse no sólo un valor para x, sino también para y. En este problema en particular, es

conveniente elegir la superficie libre, ya que es un lugar donde conocemos el valor de la presión,

igual al que posee la atmósfera por encima del líquido. Esto es, elegimos y = h.

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )[ ] [ ]

α ρ

α ρ α α ρ

α α ρ α α ρ

sen

cossencos

sencos,sencos, ,0,0

gL

gh p Lh g p

x y g y x p x y g y x p P P GL

atmatm

h y xh y L x L

−=

+−−+=

−+−−+=−=====

(6-50)

Luego,

α ρ sen g G −= (6-51)

Reemplazando (6-51) en (6-48), se obtiene




α ρ µ sen2

2

g dy

vd x−= (6-52)

Comparando esta expresión con la ec. (6-45), notamos que esto implica que ∂ p/∂ x = 0. Este hecho

podría haberse deducido en forma más intuitiva. Sabemos que en la superficie libre la presión esconstante (e igual a la atmosférica). Por lo tanto ∂ p/∂ x|sup lib = 0. Además, la ec. (6-46) especifica la

variación de p con y, la cual es independiente de la posición x elegida. Por lo tanto, para cualquier

valor fijo de y, la presión tendrá la misma magnitud sin importar x, con lo cual ∂ p/∂ x = 0.

La ec. (6-52) es integrable; aplicamos este procedimiento dos veces para obtener

DCy y g

v x ++−=2

sen 2

µ

α ρ (6-53)

donde C y D son constantes de integración, las que deberían obtenerse imponiendo condiciones de

contorno apropiadas. Sobre la pared inclinada, puede establecerse la condición de no-deslizamiento.

La condición de contorno restante se impondrá sobre la interfase líquido-aire. Aún cuando podría

pensarse en la condición de no deslizamiento entre el movimiento del líquido y el aire, imponer esta

condición no sería de utilidad en este caso ya que la velocidad de movimiento del aire es

desconocida. Sin embargo, asumiendo que existe continuidad de tensiones en la interfase, es posible

derivar ecuaciones adicionales que sirvan como condición de contorno. Como se vio en la sección

6.4, la continuidad de tensiones en la interfase se expresa de la siguiente manera

II I

II I

TnTn

tt nn

⋅=⋅

= )()( (6-54)

donde I y II indican las fases líquida y gaseosa, respectivamente. En particular, analizando las

componentes de la tensión tangenciales a la interfase:

yv

yv

x

v

y

v

x

v

y

v

T T

II

x II

I

x I

II

y II

x II

I

y I

x I

II

yx

I

yx

II

yx

I

yx

II I

II I

∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

=

=

⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅

µ µ

µ µ

τ τ

iT jiT j

tTntTn

(6-55)




puesto que la presión sólo aporta a los esfuerzos normales y v y = 0. Luego

0≈∂

∂=

∂

∂

y

v

y

v II

x

I

II I

x

µ

µ (6-56)

dado que la viscosidad del aire es normalmente despreciable frente a la de los líquidos más

comunes, esto es: µ II << µ I . Luego, las condiciones de contorno a utilizar en este problema pueden

resumirse como:

==∂

∂

==

h y y

v

yv

I

x

x

en0

0en0

contornodescondicione (6-57)

Aplicando estas condiciones en (6-53) se obtiene

D=0 (6-58)

µ

α ρ

µ

α ρ sensen0

ghC C

gh=⇒+−= (6-59)

Reemplazando (6-58) y (6-59) en (6-53) se llega finalmente a la siguiente expresión para el perfil de

velocidades

−=

+−=

2

sen

sen

2

sen 2

yh y

g v

y gh y g

v

x

x

µ

α ρ

µ

α ρ

µ

α ρ

(6-60)

La Fig. 6-7 muestra el aspecto cualitativo que tendría el mismo, para una valor genérico (positivo)

del ángulo α . Además, resulta fácil verificar que para α = 0, el fluido está inmóvil.

Habíamos notado que la presión era constante a lo largo de la coordenada x, para un valor de y fijo.

Esto nos permite calcular una expresión para la presión, a partir de la ec. (6-46) que reescribimos a

continuación

α ρ cos g dy

dp−= (6-61)

Integrando en forma definida, teniendo en cuenta que en la superficie libre hay presión atmosférica:




( )

( ) yh g p p

yh g p pdy g dp

atm

atm

y

h

p

patm

−+=

−=−⇒−= ∫ ∫ α ρ

α ρ α ρ

cos

coscos(6-62)

Es decir, la presión varía sólo a lo largo de la coordenada y debido únicamente al efecto de la

gravedad.

6.5.3 Flujo Poiseuille

Se denomina flujo Poiseuille al flujo completamente desarrollado y en régimen laminar

estacionario, de un fluido Newtoniano e incompresible, dentro de un tubo cilíndrico (ver Fig. 6-8).

Se supone que existe una única componente de velocidad no nula, correspondiente a la dirección

axial y que no existen variaciones de las variables fluidodinámicas alrededor del eje central del

tubo, es decir, el flujo es axisimétrico. Al igual que los casos estudiados en las secciones previas, setrata de una situación altamente idealizada, que sólo puede lograrse en condiciones experimentales

muy controladas. Su estudio, sin embargo, permite conocer características generales de los flujos de

baja velocidad en tuberías. Dada la geometría particular de este problema, resulta conveniente elegir

un sistema coordenado cilíndrico, con la dirección axial a lo largo del eje central del tubo. Además,

aunque en muchas ocasiones es posible despreciar el efecto de la gravedad (por ejemplo, en el caso

de una tubería horizontal de diámetro relativamente pequeño), este efecto no va a ignorarse. A

continuación resumimos las hipótesis de trabajo:

• Flujo laminar.




• Flujo unidireccional completamente desarrollado(v = v z e z ).

• Flujo axisimétrico: las variables fluidodinámicas no dependen de θ (∂/∂θ = 0).

De la ecuación de continuidad, teniendo en cuenta que el fluido es incompresible y que el flujo es

unidireccional, se deduce que v z no depende de z :

∇⋅v = 0 ⇒ ∂v z /∂ z = 0 (6-63)

Luego, v z = v z (r ). Debe notarse que los operadores diferenciales espaciales (gradiente, divergencia,

etc.) tienen expresiones diferentes en coordenadas cilíndricas que en rectangulares (remitirse a las

tablas correspondientes). Antes de expresar la ecuación (6-25) por sus componentes, vamos a




redefinir la variable presión, de manera que incluya el efecto de la aceleración gravitatoria. Aunque

se trata de un procedimiento completamente equivalente al de la sección anterior, en este caso se

realiza de manera más general. Como es sabido, la gravedad es una fuerza conservativa; por ende,

puede expresarse como el gradiente de una función potencial. Realizamos entonces la siguiente

definición:

Figura 6-8

g = – ∇ϕ (6-64)

donde ϕ (r ,θ , z ) es el potencial gravitatorio (el signo “–” se usa por convención, pero su utilización

resulta indistinta respecto de los resultados que se obtienen). Luego, el término de gradiente de

presión en la (6-25) puede agruparse con el gravitatorio, esto es

– ∇ p + ρ g = – ∇( p + ρϕ ) = – ∇ P (6-65)

R

r

z

z =0

P = P 0

, ρ ρρ ρ

vr

v z

z = L

P=P L

α

α

g r

g z

g η




donde P ≡ p + ρϕ es una “presión modificada” o “presión generalizada”, análoga a la definida en la

sección anterior. Introduciendo este cambio de variables en la ec. de Navier-Stokes (6-25), resulta

una expresión similar, donde desaparece el término correspondiente a la aceleración gravitatoria.

vvvv 2∇+−∇=

∇⋅+∂∂ µ ρ P

t (6-66)

Pueden escribirse las componentes simplificadas de la ec. (6-25) como sigue:

comp. r :r

P

∂

∂−=0 (6-67)

comp. θ : θ ∂

∂

−=

P

r

1

0 (6-68)

comp. z :

+

∂

∂−=

dr

dvr

dr

d

r z

P z 10 µ (6-69)

De las ecs. (6-67) y (6-68) se desprende que P no es función de r ni de θ , por lo que la ec. (6-69)

puede reescribirse como

=

dr

dvr

dr

d

r dz

dP z 1 µ (6-70)

Puesto que el miembro izquierdo de (6-70) depende sólo de z y el derecho sólo de r , ambos

deberían ser iguales a una constante, que denominamos G. Integramos el término correspondiente a

la presión modificada, entre dos secciones de la tubería alejadas una distancia L, en los que la

presión modificada toma valores genéricos.

L

P P GGdz dP L

L P

P

L 0

00

−=⇒= ∫ ∫ (6-71)

Aunque el valor de P L – P 0 se calculará más adelante, el mismo está relacionado a la diferencia de

presiones y de alturas entre las secciones transversales utilizadas. Integramos ahora en forma

indefinida el término de fuerzas viscosas de la ec. (6-70):

Dr C Gr

v z ++= log4

2

µ (6-72)




A fin de calcular las constantes de integración, deben imponerse algunas condiciones de contorno.

Resulta claro que sobre la pared interna del tubo, el líquido no puede deslizar. La condición faltante

se desprende de una restricción física; la velocidad del líquido no puede ser infinita. Esta última

condición podría violarse en el eje de la tubería, en r = 0 (ver ec. (6-72)). Luego, las condiciones de

contorno se resumen como:

=

==

0enfinitaes

en0contornodescondicione

r v

Rr v

z

z (6-73)

De la segunda condición se deduce que C = 0, y de la primera se obtiene que D = – GR2/4 µ . La

expresión final para el perfil de velocidades es entonces

( )22

4Rr Gv z −=

µ (6-74)

donde se observa la clásica dependencia parabólica de la velocidad con el radio. El caudal que fluye

en la tubería puede calcularse a partir de (6-74).

( ) ( )

µ

π

µ

π

µ

π π

µ

8242

22

44

0

224

0

23

0

22

GR Rr r GQ

dr rRr G

rdr Rr G

Q

dAvdAdAQ

R

R R

Az

Az

A

−=

−=

⌡

⌠ −=

⌡

⌠ −=

=⋅=⋅= ∫ ∫ ∫ evnv

(6-75)

Nótese que el signo “–” no implica que el caudal sea negativo, ya que esto depende del signo de G.

Obsérvese además la dependencia del caudal con el radio del tubo elevado a la cuarta potencia.

Puede calcularse el esfuerzo cortante que el fluido ejerce sobre la pared del tubo (τ ). Como n = er es

un vector normal a la pared del conducto, dirigido hacia fuera del mismo, puede calcularse τ como

τ = – t(n)⋅e z = – t(er )⋅e z = – er ⋅T⋅e z = – T rz = – τ rz (6-76)

ya que la presión sólo contribuye a los esfuerzos normales. La componente rz del tensor de

tensiones viscosas está dada en este problema en particular por

τ = – µ dv z /dr |r = R = – GR/2 (6-77)

Vamos a calcular ahora el valor de G. Normalmente, esta constante involucra un gradiente de

presión aplicado a lo largo de la tubería, el cual constituye la “fuerza impulsora” del movimiento




del fluido. En este caso particular, podría involucrar tanto este mecanismo, como también la posible

influencia de la gravedad, que intuitivamente sabemos se va a manifestar si existe una diferencia de

alturas entre las secciones transversales consideradas. Supongamos que en la línea central del tubo

hay una presión p = p0 en z = 0 y p = p L en z = L. Como P depende sólo de z , podemos escribir

P L – P 0 = p L – p0 + ρ [ϕ |r = 0, z = L – ϕ |r = 0, z = 0] (6-78)

donde g = – ∇ϕ . Definamos un eje coordenado η tal que coincida con la dirección del vector g, pero

que esté dirigido (o “crezca”) en sentido contrario (“hacia arriba”), de manera que ϕ = g η es una

definición que permite obtener el vector g al calcular el gradiente de – ϕ . Luego

ϕ |r = 0, z = L – ϕ |r = 0, z = 0 = g [η |r = 0, z = L – η |r = 0, z = 0] (6-79)

Mediante simples relaciones trigonométricas se obtiene que η |r = 0, z = L – η |r = 0, z = 0 = – L cosα , por lo

que

G = ( P L – P 0)/ L = ( p L – p0)/ L – ρ g cosα (6-80)

Si el tubo estuviera dispuesto horizontalmente, G estaría dado simplemente por el gradiente de

presión axial (G = ( p L – p0)/ L). A medida que el tubo se inclina acercándose a la vertical (α se

acerca a 0 o π ), los efectos gravitatorios se vuelven más importantes. En particular, para el caso deun líquido que desciende sólo por gravedad en un tubo vertical, G = – ρ g .

Balances Microscopicos

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