BIENVENIDO A NUESTRA CLASE DE

MATEMATICA

PROF: JAIME QUISPE CASASI.E.P.Nº 2874 Ex 451

20101

ECUACIONES CUADRATICAS

• Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado.

2

• EJEMPLO:EJEMPLO:

02 cbxaxDonde a,b,c, son números reales, a 0 y x es

la variable. Esta es la forma estándar de la ecuación cuadrática

• En esta ecuación: ax2 es el termino cuadrático; bx es el termino lineal y c es el termino constante

0 xentonces R .1 2 xSi

07)-(3x R; 7)-(3x R; x Si

02)-(x R; 2)-(x R; x Si

0(3x) R; (3x) R; x Si

2

2

2

3

Toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces o soluciones

PROPIEDADES

Esta propiedad nos dice que cualquier número real elevado al cuadrado es positivo o cero; nunca negativo.

Por ejemplo, si estamos trabajando en R y nos dijeran que ( 4x – 9 )2 = - 5 ; si aplicamos la propiedad, afirmamos que es FALSA. No existe ningún valor real para x que haga que se cumpla la igualdad

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• Entonces su conjunto solución es : {12; -12}

b- x b x entonces x.2 2 bSi

12- x 12 x 144- x 144 x entonces 144 xa) 2

95)-(x b) 2

95

95

x

x

35

35

x

x 2;8cs

257)(x c) 2 12;2 cs

21)-(3x d) 2

321

;3

21cs

109)-(7x d) 2 cs

5

• En la ecuación cuadrática:

xx

x

xx

825x 755x 03

0273x 082x 02

02 x 09 x 0

222

222

222

02 cbxax• a) Si b = 0 y c = 0, tenemos la ecuación : ax2 =

0• b) Si b = 0 , tenemos la ecuación: ax2 + c

= 0• c) Si c = 0 , tenemos la ecuación : ax2 +

bx = 0Son ecuaciones cuadráticas incompletas : ax2 = 0 ; ax2 + c = 0; ax2 + bx = 0Son ecuaciones cuadráticas incompletas

• d) Si b 0 y c 0, tenemos la ecuación: ax2 + bx + c = 0. Las ecuaciones que tienen esta forma estándar se llaman ecuaciones cuadráticas completas• Son ecuaciones cuadráticas completas:

• x2 + 7x + 10 = 0. • 5x2 – x – 6 = 0• x2 + 6x = -8• 3x2 = - 7x + 10; etc

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cero alsolución conjunto comotienen

0; x2 0;x4

3 ; 02x ;0 2222 x

Ejemplo x ax 0 222

ac

ccax

 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRATICAS INCOMPLETASa) Resolución de ecuaciones de la forma ax2 = 0; Puesto que a 0; el único número que multiplicado por «a» da cero ; entonces x = 0

b) Resolución de ecuaciones de la forma ax2 + c = 0; una forma sencilla de resolver estas ecuaciones es por el método de raíces cuadradas

0483 ) 2 xa 483 2 x 162 x

16x -4 x4 x

{4;-4}s c

0182 ) 2 xb 182 2 x

92 x 9x

cs

7

 Ejemplos

3)-5(x4)-4)(3x(3x )1 2

15-5169 22 xx

161559 22 xx

41x

}21

;-21

{s c

2

1 xpara

14 2 x

2

1x

 Verificación

3)-5(x4)-4)(3x(3x 2

3)-4

15(4)-

2

34)(

2

3(

15-4

516

4

9

460-5

464-9

4

55-

4

55-

verifica)( 2

1 xpara

8

15

3

25

13 )2

2

xx

x

)5)(5(

13

xx

x

)5)(5(

)5(313

xx

xx

Resolver

1)5(

3 -

x

252x )5)(5( xx

)5( 5 xx

)5)(5(.. xxmcn

)5)(5(

)5)(5(

xx

xx

)5)(5()5(313 xxxx

2515313 2 xxx

2516 2 x29 x

9x 3- xo 3 x }3;3{ cs

9

5

9

5

9

x

20 )7 x

Resolver

53

52x-3 x)11

2

x

x

023 )2 2 x

0)253( )4 2 x

0102 )3 2 x

14x1)4x(x )5

42

1

4 )6

2

x

036 )1 2 x

2)1)(1( )8 xx

50105)-(x )9 2 x

3515

35

)10 x

x

6;-6 Rpta

23;23- Rpta

5;-5 Rpta

5;-5 Rpta

2

1;

2

-1 Rpta

23;23 Rpta

-10;10 Rpta

3;3- Rpta

-5;5 Rpta

53;53- Rpta

6;6- Rpta

10

c) Resolución de ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0.- El método practico para resolver ecuaciones de esta forma es por factorización

0a 2 bxx 0)( baxx donde 0bax o 0 x

Ejemplos

xxxx 342 1) 22

0342 22 xxxx

042 2 xx

022 xx

022 xx

0)2( xx

0)2( o 0 xx

}2;0{cs

2 o 0 xx

32-x10-2x

-2 x2)

2

)2(3

2-x

10)-(2x-2)2)(x-(x

x

x

)2(310)-(2x-2)2)(x-(x x

)2(310)-(2x-4)-(x2 x

104632x-x2 x

63102x-4-x2 x

0x2 x

01)x(x 01 xo 0x

}1;0{ cs

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EJERCICIOS

02 )1 2 xx

0122 )2 2 xx

xx 45)-2x(x )3 2

)1(6)(x4 )4 2 xxx

03

7 x)5 2 x

3

2

26

x )6

2 xx

06

5

12

5

4

x )7

2

2

x

x

x

x

322

6x )8

2

x

x

)82(2)(x2)-2)(x(x )9 22 x

032 x)10 2 x

0;2 Rpta

6;0- Rpta

0;6 Rpta

0;5 Rpta

3

70; Rpta

0;1 Rpta

3

1 Rpta

0;8 Rpta

0;2 Rpta

32 ; 0 Rpta

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