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Leslye Briones Rojas algebra ( seccin 1 )BINOMIO DE NEWTONIntroduccin Histrica EL binomio de Newton recibe el nombre de Isaac Newton ( 1642-1727), que ha sido el ms grande de los matemticos ingleses y uno de los mayores cientficos de toda la Historia de la Humanidad. Como matemtico descubri simultneamente con Leibnitz el Clculo Diferencial y el Clculo integral y escribi el clebre libro Principia Mathematica Philosopiae Naturalis

Binomio de NewtonEs una frmula que nos permite calcular el desarrollo de ( a + b)^n en funcin de las potencias de a y b siendo n un nmero natural cualquiera.

Calculemos las potencias sucesivas:( a + b ) = a + b ( a + b ) = ( a + b) ( a + b ) = a+ 2ab + b( a + b ) = ( a + b )( a + b ) = (a+ 2ab + b ) ( a + b ) = a + 3 ab +3ab +b( a + b ) = ( a + b ) ( a + b) = (a + 3 ab +3ab +b)* (a + b)= a + 4 ab + 6 ab + 4ab + bObservemos que en cada sumando la suma de los exponentes de a y b coincide con el exponente de ( a + b )^n en la expresin correspondiente.

Respecto a los coeficientes, se produce la siguiente regularidad: Coeficientes de ( a + b ) : 1, 1 Coeficientes de ( a +b ): 1, 2, 1Coeficientes de (a + b ) 1, 3, 3, 1Coeficientes de ( a + b ): 1, 4 , 6 , 1

Tal como puede observarse, los coeficientes obtenidos coinciden con las cuatro primeras filas del tringulo de Pascal

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Los resultados anteriores nos hacen suponer que los coeficientes de las sucesivas potencias de a en el desarrollo de (a + b)^n coincidirn con los trminos de la fila ensima del tringulo de Pascal, a saber:

n n n n n( 0 ) , ( 1 ) , ( 2 ) ( i )( n )

n Por lo cual, podramos suponer el desarrollo de (a + b) quedara as:

n n n n-1 n n-2 n n-i i n n(a + b) = ( 0 )a + ( 1 ) a b + ( 2 ) a b++( i ) a b++( n ) b

La frmula es cierta para n y tambin es para n+1.

De esta forma, debemos comprobar si la frmula es vlida para ( n =1 ) 1 1(a + b ) = a + b = ( 0 )a + (1) b

Por lo tanto concluimos que la frmula conocida como binomio de Newton es cierta para cualquier numero natural n.EjemploDesarrollar : ( x + 2 ) 5 5 5 5 5 5( x+ 2 ) = (0)X + (1) x * 2 + (2 ) x * 2 + ( 3 ) X * 2 + (4 )x* 2+ (5) 2 = 1*x + 5* x *2+ 10* x *4 + 10* x *8 + 5* x *16 + 1* 32 = x + 10x + 40x + 80x + 80x + 32 Ejemplo 2El ltimo trmino ser positivo si n es par y negativo si n es impar.

Desarrollar ( x - 3 ) Solucin 5 5 5 5 5 5( x - 3 ) = (0 ) x - (1) x * 3 + (2 ) X * 3 - (3 ) X * 3 + (4 )x * 3 - (5 ) 3

= 1 * x - 5x * 3 + 10x * 9 10x * 27 + 5x * 81 -1 *243 = x - 15 + 90x -270x + 405x -243Ejemplo 3 En ocasiones nos interesa hallar directamente un trmino cualquiera del desarrollo de un binomio sin hallar los trminos anteriores .

Hallar el cuarto trmino de (x + 2 )Solucin: 5 5 3 3 5 ! (3)x 2 = 3! 2! X *8 = 10 * x * 8 =80x

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