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7 COMBINATORIA Y PROBABILIDAD

CONTENIDOS

❚ Distintos tipos de experimentos

❚ Cálculo de probabilidades

❚ Sucesos complementarios

❚ Probabilidad condicional

❚ Sucesos independientes

❚ Probabilidad total

❚ Combinatoria

❚ Binomio de Newton

Problema 1En una bolsa hay 8 bolitas verdes, 4 bolitas rojas y 1 bolita azul. Son todas del mismo

tamaño y del mismo material. Juan y Ariel están jugando un juego. Juan debe extraer

una bolita de la bolsa pero previamente Ariel tiene que decir de que color saldrá. Si

Ariel adivina gana un punto, en caso contrario el punto se lo lleva Juan. ¿Qué color

debe decir Ariel para tener más posibilidades de ganar?

Problema 2Estudios realizados sobre los nacimientos en una cierta ciudad muestran que la pro-

babilidad de que nazca un bebé varón es 24 ___ 50 , ¿cuál es la probabilidad de que una

familia de tres hijos tenga por lo menos 2 mujeres?

Problema 3En el club del barrio hay que elegir una comisión de tres personas con un presidente,

un vicepresidente y un secretario. Hay 6 personas con posibilidad de cubrir esos car-

gos. ¿De cuántas maneras puede armarse la comisión?

Para poder responder a estos interrogantes es necesario introducirse en el cálculo de

probabilidades y de la combinatoria, temas que se desarrollan en este capítulo.

permitan contar la cantidad de

veces que se dan estos hechos.

Los siguientes problemas son otros

ejemplos de esto.

En lo cotidiano se escuchan

frases como “mañana se esperan

altos índices de humedad y una

probabilidad de chaparrones

del 70%” o también cuál

será la probabilidad de ganar

determinado juego de azar. En

estas situaciones interviene el azar

y en muchas de ellas se requiere

del desarrollo de técnicas que

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138 Capítulo 7. Combinatoria y probabilidad.

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Para pensar en el problema 1 es posible imaginar la bolsa en su interior.

Pero también es más probable que salga una verde a que salga una roja ya que dentro

de la bolsa hay el doble de bolitas verdes que rojas.

Si Ariel dice que Juan va a extraer una bolita verde, no está completamente seguro de

ganar. Hay una cuota de azar en que salga una bolita de un color o de otro. Simplemente

es más posible que ocurra una cosa que otra, pero no se tiene certeza hasta que salga la

mano de adentro de la bolsa.

Si todas las bolitas que hay dentro de la bolsa fueran de color verde, cuando se extrai-

ga una, seguro será verde y entonces Ariel ganará.

Y si en la bolsa hay 12 bolitas verdes y 12 bolitas rojas, ¿a cuál le debe apostar Ariel?

En este caso, es tan probable que salga una verde como que salga una roja. Parece que

es lo mismo arriesgar a que salga una verde o a que salga una roja.

s

A partir de esta imagen, es más factible que la

mano que está dentro de la bolsa extraiga una

bolita de color verde que una bolita de color

azul o roja ya que hay más bolitas verdes.

Es decir, al haber 8 bolitas verdes y 1 sola

azul, es más probable que salga una verde a

que salga una azul.

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Distintos tipos de experimentos

Problema 4Determinar cuántos resultados es posible obtener con cada uno de los siguientes

experimentos:

a. Se arroja un proyectil desde una altura de 30 cm con un ángulo de 20º con respec-

to a la horizontal y una velocidad de 100 km/h y se calcula cuánto tiempo tarda en

impactar con el suelo.

b. Se arrojan cinco dados y se quiere obtener cuatro con el mismo número y el restan-

te con un número diferente.

En el primer experimento se puede anticipar el resultado utilizando la fórmula que

relaciona la altura, el tiempo, la velocidad y el ángulo con el que se lanza el proyectil en

un tiro oblicuo. Experimentos de este tipo se llaman deterministas.

El segundo experimento, puede arrojar más de un resultado. Al arrojar los cinco dados

puede obtenerse cuatro de un mismo número o no. Estos experimentos se llaman aleato-

rios, pues dependen del azar.

Al tirar los cinco dados se puede obtener por ejemplo:

Al conjunto de todos los resultados posibles se lo denomina espacio muestral. Al con-

junto formado por todas las tiradas en las que salieron cuatro dados con el mismo número

y el quinto con un número distinto se lo denomina suceso o evento.

El objetivo de este capítulo será medir, de alguna manera, la probabilidad de que

ocurra un cierto evento.

1. Decidan si los siguientes experimentos son aleatorios o

deterministas. Para los que sean aleatorios indiquen; si es posible; si la

probabilidad de que ocurra el suceso es alta o baja.

a. Se realiza el seguimiento de un auto de Fórmula 1 durante una

vuelta y se busca su velocidad promedio.

b. Se arrojan 10 monedas y se analiza si sale cara en más de dos de ellas.

c. En una bolsa hay 100 tarjetas numeradas; 99 de ellas tienen un 4 y la

restante tiene un 5. Se saca una de ellas al azar y se observa si es el 5.

d. En una ciudad de 1 104 241 de habitantes hay 42 323 extranjeros. Se

elige a una persona cualquiera y se le consulta su nacionalidad.

2. ¿Cómo prepararían una bolsa con bolitas de colores rojo, azul y

verde para que sea el doble de probable que salga una roja a que

salga una verde así como el doble de probable que salga una verde a

que salga una azul?

3. ¿Qué es más probable:

a. que salga un uno o una carta de oros en un mazo de 40 cartas?

b. que salga una carta de copas o una de oros de un mazo de 40 cartas?

Expliquen cómo lo pensaron.

4. Inventen una situación en la cual sea igualmente probable que

ocurra un hecho a que ocurra otro.

5. Se tira un dado y hay que arriesgar qué número sale. ¿Qué les parece

más probable:

a. que salga 6 o que salga impar?

b. que salga el 1, el 2, el 3, el 4, el 5 o el 6?

Expliquen cómo lo pensaron.

ACTIVIDADES

Se denomina experimento determinista al

experimento del que puede anticiparse su resultado.

Se denomina experimento aleatorio al experimiento

del que no puede anticiparse su resultado pues depende del azar.

El conjunto formado por todos los resultados posibles

de un experimento aleatorio se llama espacio muestral y se lo simboliza E. Cualquier subconjunto del espacio muestral es un evento o suceso.

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Cálculo de probabilidades

¿Cómo asignar un número a la probabilidad de que un suceso ocurra?

Una respuesta posible a esta pregunta puede darse contando cuántos casos posibles

tiene ese experimento, cuántos de ellos son favorables al evento y expresar esa relación

como una fracción, un decimal o un porcentaje.

Problema 5Se extrae al azar una carta de un mazo de 40 cartas.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta extraída sea de oros?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta extraída sea un 13?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta extraída sea de oros, de bastos, de espadas

o de copas?

Este experimento tiene 40 resultados posibles (sacar cualquiera de las 40 cartas) y hay

10 resultados que son favorables al evento a. (sacar cualquiera de las cartas de oros).

La probabilidad puede expresarse entonces como 10 ___ 40 = 1 __ 4 o 0,25 o 25%.

Al ser definida como el cociente entre “casos favorables al evento” y “resultados posi-

bles del experimento”, la probabilidad siempre es una fracción positiva con el numerador

menor que el denominador, por lo que resultará un número real entre 0 y 1. En el evento

“obtener un 13”, se ve que no hay casos favorables a él ya que en un mazo de 40 cartas no

hay ninguna con el número 13. La probabilidad de este evento es 0 ___ 40 , es decir 0.

En el evento “obtener una carta que sea de oros, de bastos, de espadas o de copas”,

todos los resultados posibles son favorables porque todas las cartas son de alguno de esos

cuatro palos. La probabilidad será 40 ___ 40 , es decir 1.

Problema 6Se arroja una moneda de $ 0,50 y otra de $ 1. Calcular la probabilidad del evento “que

salga por lo menos una cara”.

Los resultados posibles de este evento son pares de valores, uno con lo obtenido en la

moneda de $ 0,50 y el otro con lo obtenido en la moneda de $ 1. Si se llama c a la cara y s

a la ceca, estos resultados son: (c ; c), (c ; s), (s ; c) y (s ; s).

El espacio muestral de este experimento es E = {(c ; c), (c ; s), (s ; c) y (s ; s)} y # (E) = 4.

De estos 4 resultados todos tienen la misma probabilidad de ocurrir y 3 son favorables

porque tienen alguna cara: (c ; c), (c ; s) y (s ; c). La probabilidad de obtener alguna cara

es 3 __ 4 , 0,75 o 75%, por lo que puede decirse que es un suceso que tiene considerablemente

alta probabilidad de ocurrir.

La definición clásica de Laplace dice que la

probabilidad p de que un evento A ocurra se calcula como el cociente entre los casos favorables al evento y los resultados posibles del experimento:

p(A) = casos favorables _____________ casos posibles

Esta definición es válida únicamente para casos en que la cantidad de resultados posibles es finita y que cada uno de los casos tienen la misma probabilidad de ocurrir, es decir son equiprobables.

La probabilidad p de que un evento ocurra es siempre un

número entre 0 y 1, es decir: 0 ≤ p ≤ 1.

Si p = 0 se dice que es un evento imposible.

Si p = 1 se dice que es un evento seguro.

“por lo menos” o “al menos” son sinónimos de “como

mínimo” y “a lo sumo” es sinónimo de “como máximo”.

Para indicar la cantidad de elementos que tiene

el espacio muestral E (esto es, el cardinal del conjunto), se escribe # (E).

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Problema 7En una bolsa hay 24 bolitas entre negras, blancas y grises. No se sabe cuántas de

cada color, pero seguro que hay al menos una de cada color.

a. Matías extrae una bolita del interior de la bolsa, observa su color y la vuelve a

introducir en la bolsa. Realiza este experimento 20 veces y se anota el color de la

bolita en cada extracción. Los resultados que obtuvo fueron:

N N B N G B N G B N N B N N G B G B N N

Con esta información, ¿es posible saber, aunque sea de manera aproximada, qué can-

tidad de bolitas negras, blancas y grises hay dentro de la bolsa?

b. Ignacio realizó el mismo experimento que Matías y obtuvo:

N G B B N B G N N B B B N B B N N B N N

¿Qué cantidad de bolitas de cada color puede inferir Ignacio que habrá dentro de la bolsa?

Matías obtuvo 10 extracciones de bolitas negras, 6 de blancas y 4 de grises.

Para resolver este problema se puede pensar de la siguiente manera:

❚ Como la mitad de veces salió una bolita de color negro, entonces es muy probable

que la mitad de las bolitas que están dentro de la bolsa sean de ese color. Es decir, podría

ser que 12 bolitas sean negras.

❚ Como en 6 de las 20 extracciones salió una bolita blanca, entonces el 30% de las

extracciones fue blanca. Por lo tanto la cantidad de bolitas blancas deberá ser cercana al

30% de 24.

Este análisis puede acompañarse del uso de las fracciones equivalentes. O sea, 6 ___ 20 es

la fracción que representa la proporción de bolitas blancas que salieron en relación con la

cantidad de bolitas extraídas.

Por lo tanto, se puede inferir que saldrán 6 ___ 20 de 24, es decir, 7,2 bolitas si se hubiesen

realizado 24 extracciones. Como 7,2 no es posible, ya que se trata de bolitas, se puede

concluir que, de las 24, hay 7 u 8 que son blancas.

Si se considera que hay 8 blancas, no queda otra posibilidad de que haya, dentro de la

bolsa, 4 bolitas grises, pues ya se sabe que hay 12 negras y 8 blancas.

Estos resultados obtenidos son una sospecha. No es posible estar seguros que sea así,

pero hay muy alta probabilidad de que ocurra.

Ignacio obtuvo 9 extracciones de bolitas negras, 9 de blancas y 2 de grises.

En este caso es posible sospechar que casi la mitad de las bolitas son negras en tanto

que la otra mitad deberían ser blancas. Y solo una o dos grises.

Es decir, como 9 de las 20 extracciones fueron negras y otras 9 de las 20 fueron blan-

cas, debería ser pareja la cantidad de negras y blancas dentro de la bolsa. Y como estas

son la mayoría, es posible que haya muy poquitas grises.

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Problema 8Se arroja un dado rojo y otro azul y se observan los resultados obtenidos. ¿Cuál es la

probabilidad de que ocurra el evento “obtener un 3 en el dado rojo y un número impar

en el azul”?

Para conocer el espacio muestral, hay que contar todas las posibilidades que se pre-

sentan. Considerando que el primer resultado es el del dado rojo y el segundo el del azul,

las combinaciones son:

El espacio muestral es el conjunto formado por los 36 pares anteriores.

Si se llama A al suceso “obtener un 3 en el dado rojo y un número impar en el azul”

A = {(3 ; 1), (3 ; 3), (3 ; 5)}, por lo que hay tres casos favorables.

La probabilidad de que ocurra el suceso A es entonces 3 ___ 36 o 1 ___ 12 .

Simbólicamente puede anotarse: p(A) = 1 ___ 12 .

Problema 9Una editorial realizó una encuesta en la que preguntó a tres personas elegidas al azar

si habían leído el libro “Martín Fierro”. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente

dos de las personas encuestadas hayan contestado afirmativamente?

Cada resultado es una terna compuesta por las respuestas de las tres personas. Por

ejemplo (S ; S ; N) significa que las dos primeras contestaron que si y la última que no.

El espacio muestral es:

E = {(S ; S ; S); (S ; S ; N) ; (S ; N ; S); (N ; S ; S); (S ; N ; N); (N ; S ; N); (N ; N ; S); (N ;N ;N)}

y # (E) = 8.

Es un espacio muestral de equiprobabilidad, ya que no hay ninguna terna que tenga

más probabilidad que otra de ocurrir.

El evento A es “exactamente dos personas que leyeron el libro"

A = {(S ; S ; N); (S ; N ; S) (N ; S ; S)}, por lo que p(A) = 3 __ 8 .

p(A) significa la probabilidad que suceda un suceso A.

1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1

1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2

1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3

1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4

1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5

1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6

6. En una bolsa hay 24 bolitas entre negras, blancas y grises. No se sabe

cuántas de cada color, pero seguro que hay al menos una de cada color.

Denise extrae una bolita del interior de la bolsa, observa su color y la vuelve

a introducir en la bolsa. Realiza este experimento 20 veces y se anota el

color de la bolita en cada extracción. Los resultados que obtuvo fueron:

N N B N N N B G N N N B N G N N N N B G

¿Cuántas de cada color es posible que haya en la bolsa?

7. 78 tiques para un espectáculo teatral numerados del 1 al 78

se introducen en una bolsa para un sorteo televisivo. Si todos los

terminados en 9 tienen premio y una persona extrae al azar un tique de

la bolsa; ¿cuál es la probabilidad de ganar?

8. En una bolsa hay 3 bolillas rojas; 9 blancas y 2 verdes. Si se saca una al

azar; ¿cuál es la probabilidad de obtener una bolilla verde?

ACTIVIDADES

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Sucesos complementarios

En ocasiones es más fácil contabilizar los casos en que un evento no ocurre que aquellos en los

que sí se da. En el cálculo de probabilidades; esto se utiliza en situaciones como la que sigue.

Problema 10Se arrojan sucesivamente tres monedas.

a. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener caras?

b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos una cara?

Al arrojar tres monedas, el espacio muestral está formado por los siguientes resultados:

E = {(c ; c ; c); (c ; c ; s); (c ; s ; c);(s ; c ; c); (c ; s ; s); (s ; c ; s); (s ; s ; c); (s ; s ; s)}

De los 8 casos posibles; solo hay uno en que ninguna de las monedas sale cara. Enton-

ces; la probabilidad de este evento es 1 __ 8 .

Obtener por lo menos una cara significa obtener 1, 2 ó 3 caras. Los 7 primeros elementos

del espacio muestral contienen por lo menos una cara. Entonces, la probabilidad es 7 __ 8 .

La suma de las probabilidades de ambos eventos es 1 __ 8 + 7 __ 8 = 1 y esto se debe a que al

realizar el experimento de arrojar tres monedas se presentan sólo dos posibilidades: no

hay ninguna cara o hay por lo menos una cara. Cada elemento del espacio muestral es un

caso favorable de un evento y desfavorable del otro o viceversa y no hay ningún evento

que no quede incluido en alguno de los dos. Estos sucesos se llaman complementarios.

Como los casos en que hay por lo menos una cara son varios más que los que no; una

forma más rápida consiste en calcular la probabilidad de obtener por lo menos una cara

de la siguiente manera:

p(por lo menos una cara) = 1 – p (ninguna cara) = 1 – 1 __ 8 = 7 __ 8

Probabilidad total

Problema 11Se colocan en una bolsa tarjetas iguales numeradas del 11 al 20. Se extrae al azar una

de las tarjetas

a. Si el evento A es “obtener un número primo”, calcular p(A).

b. Calcular la probabilidad de obtener un cuadrado perfecto.

c. ¿Cuál será la probabilidad de que ocurra el evento “extraer una tarjeta que tenga

un número que sea primo o que sea cuadrado perfecto”?

El espacio muestral es E = {11;12;13;14;15;16;17;18;19;20} y # (E) = 10.

Como hay 4 números primos A = {11 ; 13 ; 17 ; 19}; p(A) = 4 ___ 10 = 2 __ 5 .

Si B es el suceso “se extrae un cuadrado perfecto”, B = {16} luego p(B) = 1 ___ 10 .

En el evento “extraer una tarjeta que tenga un número que sea primo o que sea cua-

drado perfecto” los casos favorables son los 4 números primos y también el único cuadra-

do perfecto. La probabilidad de que se dé A o B es 5 ___ 10 = 1 __ 2 .

El resultado obtenido es la suma de la probabilidad de A y la de B.

p(A) + p(B) = 2 __ 5 + 1 ___ 10 = 5 ___ 10 = 1 __ 2

y

Si al realizar un experimento sólo es posible

que ocurra el suceso A o que ocurra el suceso B y sin que puedan darse en simultáneo, se dice que A y B son sucesos complementarios. En este caso: E = A U B p(A) + p(B) = 1

p(B) = 1 – p(A)

B se simboliza A ’.

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Problema 12¿Cuál es la probabilidad de que al arrojar un dado rojo y otro azul se obtenga una

suma de 8 o que ambos números sean pares?

El espacio muestral está formado por 36 pares de números donde el primer número

indica lo que salió en el dado rojo y el segundo lo que salió en el dado azul, por ejemplo:

Si el evento A es “obtener una suma de 8 entre los dos dados”,

A = {(2 ; 6); (3 ; 5); (4 ; 4); (5 ; 3); (6 ; 2)} por lo que p(A) = 5 ___ 36 .

Si el evento B es “obtener ambos números pares”,

B = {(2 ; 2); (2 ; 4); (2 ; 6); (4 ; 2); (4 ; 4); (4 ; 6); (6 ; 2); (6 ; 4) ; (6 ; 6)},

entonces p(B) = 9 ___ 36 = 1 __ 4.

Si C es el evento “obtener una suma de 8 entre los dados o que ambos números sean

pares” entonces, los casos favorables a C son todos los favorables al evento A agregados a

todos los casos favorables al evento B, es decir:

C = {(2 ; 6); (3 ; 5); (4 ; 4); (5 ; 3); (6 ; 2); (2 ; 2); (2 ; 4); (4 ; 2); (4 ; 6); (6 ; 4) ; (6 ; 6)}

La probabilidad de que se dé A o B, es decir la probabilidad de que se dé C es: 11 ___ 36 . Sim-

bólicamente, p(A o B) = p(C) = 11 ___ 36 .

Podría pensarse que el resultado obtenido debería ser la suma de la probabilidad de A

y la de B. Sin embargo esto no es cierto.

p(A) + p(B) = 5 ___ 36 + 9 ___ 36 = 14 ___ 36 = 7 ___ 18 .

¿Por qué esta diferencia?

No resulta la suma de ambas probabilidades porque hay pares que son favorables a

ambos eventos que están contándose dos veces en la suma. En términos de conjuntos,

hay elementos que pertenecen a A y a B, es decir, están en la intersección de los dos

eventos. Estos pares son (2 ; 6); (4 ; 4) y (6 ; 2) que representan justamente la diferencia

entre 11 ___ 36 (valor correcto) y 14 ___ 36 (valor obtenido al sumar las probabilidades).

La probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B es entonces la suma de las

probabilidades de ambos eventos menos la probabilidad de que ocurran en simultáneo.

Si A y B son dos sucesos:

p(A o B) = p(A) + p(B) – p(A y B)

Como la probabilidad de que ocurra A o B significa que ocurra uno de los sucesos o los dos, en términos de conjuntos, el “o” está asociado con la unión, mientras que el “y” se vincula con la intersección: p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)

Si A ∩ B = ø, los sucesos A y B se llaman mutuamente excluyentes y, como p(A ∩ B) = 0 se cumple que p(A ∪ B) = p(A) + p(B).

9. Decidan si los siguientes pares de sucesos son o no

complementarios:

a. Experimento: arrojar un dado y ver qué número salió.

Suceso A: que salga un número par.

Suceso B: que salga un número impar.

b. Experimento: arrojar 20 monedas y ver si cada una es cara o ceca.

Suceso A: que salgan por lo menos 4 caras.

Suceso B: que salgan a lo sumo 4 caras.

c. Experimento: considerar a todas las parejas que tienen 5 hijos en un

cierto país y ver si cada uno de ellos es mujer o varón.

Suceso A: que una familia tenga todos hijos varones.

Suceso B: que una familia tenga por lo menos una mujer.

10. En cada uno de los casos siguientes se informa la probabilidad de

un evento A. ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurra A?

a. p(A) = 2 __ 5 b. p(A) = 100 ___ 101 c. p(A) = 0, 345

d. p(A) = 0, 23 e. p(A) = 1 f. p(A) = 0

ACTIVIDADES

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Probabilidad condicional

Hay problemas en los que interesa calcular una probabilidad sujeta a ciertas condi-

ciones. El problema que sigue es un ejemplo de esto.

Problema 13En una bolsa hay tarjetas numeradas con los números 30 ; 31 ; 32 ; 33 ; 34 ; 35 ; 36 ;

37 ; 38 ; 39 ; 40 ; 41 ; 42 ; 43 y 44. Si se elige al azar una tarjeta de la bolsa, ¿cuál es la

probabilidad de que salga un múltiplo de 3 si se sabe que el número elegido fue par?

La condición de que el número obtenido sea par reduce el espacio muestral.

Los casos posibles de este evento no son los 15 elementos sino los 8 números pares

que hay entre ellos, E = {30 ; 32 ; 34 ; 36 ; 38 ; 40 ; 42 ; 44}

Los casos favorables; es decir los múltiplos de 3; elegidos entre estos 8 posibles son

3: 30; 36 y 42.

La probabilidad buscada es 3 __ 8 .

Si se considera el evento A como “sacar un múltiplo de 3” y el evento B “sacar un número

par”; el evento anterior puede pensarse como “que ocurra A sabiendo que ocurrió B”.

Se calcula entonces la probabilidad de que ocurra A con la condición de que antes

haya ocurrido B. Esta probabilidad se llama probabilidad condicional.

Una manera de interpretar la probabilidad condicional es como la proporción que

representa el suceso A del B.

Los casos totales son ahora los de B, y los casos favorables son los que ocurra A pero

también B. La probabilidad condicional es entonces el cociente entre la probabilidad de

que ocurra A y B y la probabilidad de que ocurra B.

Puede decirse entonces, que es el cociente entre los casos favorables de la intersección

entre A y B y los casos favorables a B. Más aún, podría decirse que es el cociente entre la

probabilidad de que ocurra la intersección entre A y B y la probabilidad de que ocurra A.

Resulta así una fórmula para su cálculo; que es:

p(A/B) = p(A ∩ B)

_______ p(B)

siempre que p(B) ≠ 0.

En el problema hay que buscar los casos en que el número obtenido es múltiplo de 3 y

par entre todos los números que son pares.

Los múltiplos de 3 que son pares son 30; 36 y 42; entre los 15 casos posibles; por lo

que p(A ∩ B) = 3 ___ 15 . Además; p(B) = 8 ___ 15 ; que son los 8 que son pares entre los 15 números.

Entonces: p(A/B) = p(A ∩ B)

_______ p(B)

= 3 ___ 15

___ 8 ___ 15

= 3 __ 8

La probabilidad de que ocurra A sabiendo que

ocurrió B se simboliza p(A/B) y se llama probabilidad condicional.

p(A/B) = p(A ∩ B)

_______ p(B) , p(B) ≠ 0

De esto se deduce que

p(A y B) = p (B). p(A / B)

o sea,

p(A ∩ B) = p(B) . p(A/B)

ACTIVIDADES11. En un colegio se enseña fútbol y rugby. Los 200 alumnos deben

practicar alguno de los deportes. 120 juegan al fútbol y 150 al rugby. Si

se elige un chico al azar; ¿cuál es la probabilidad de que ...

a. no practique fútbol?

b. practique solamente fútbol?

c. practique ambos deportes?

d. no practique ningún deporte?

e. practique por lo menos un deporte?

12. Sabiendo que p(A) = 0,4; p(B) = 0,7 y p(A o B) = 0,9; calculen la

probabilidad de que ocurran A y B en simultáneo.

13. Sabiendo que p(A y B) = 0,1 y que la p(A’ ) = 0,3; calculen la

probabilidad de que ocurra A y P (B/A).

M: 23293 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 2




NIP: 222503 - Pág.: 146 - MAT

*0000-222503-146-MAT-9*

Sucesos independientes

En el problema anterior la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ocurrió B es 3 __ 8 . Por otro

lado, la probabilidad de que ocurra A es 5 ___ 15 = 1 __ 3 (los 5 múltiplos de 3 entre los 15 números del con-

junto). Estos dos resultados muestran que el hecho de que ocurra B cambia la probabilidad de que

ocurra A. La ocurrencia de B afecta a la ocurrencia de A; por lo que A y B son sucesos dependientes.

Problema 14Una bolsa tiene 4 tarjetas que contienen una de las siguientes letras: M; N; P y Q. Se

extrae una tarjeta, se observa la letra y se la vuelve a poner en la bolsa. Luego se saca

otra tarjeta. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una M en la segunda extracción si se

obtuvo una M en la primera?

El espacio muestral del experimento es:

E = {MM ; MN ; MP ; MQ ; NM ; NN ; NP ; NQ ; PM; PN ; PP ; PQ ; QM ; QN ; QP ; QQ} y # (E) = 16.

Si el evento A es “obtener una M en la primera extracción” y el evento B es “obtener

una M en la segunda extracción”:

p(B) = 4 ___ 16 = 1 __ 4 porque los casos favorables son MM ; NM ; PM y QM.

Para calcular la probabilidad de que ocurra B sabiendo que ocurrió A; es decir; que se

obtenga una M en la segunda extracción sabiendo que se obtuvo una M en la primera; los

casos posibles se limitan a aquellos en que ocurre A; es decir MN ; MM ; MP y MQ. De estos

4 casos sólo uno es favorable al evento B (MM). Entonces p(B/A) = 1 __ 4 .

En este caso, p(B) y p(B/A) son iguales. Esto significa que la ocurrencia de A no cam-

bia la probabilidad de que ocurra de B. Los sucesos A y B son independientes. La reposi-

ción de la tarjeta antes de la segunda extracción hace que haber sacado una M primero no

influya en obtener una M en la segunda.

Sucesos sucesivos Hasta el momento se han propuesto situaciones para calcular la probabilidad de un

suceso. Pero en ocasiones; es necesario calcular la probabilidad de que ocurra un evento

que está compuesto por la ocurrencia sucesiva de otros. El ejemplo que sigue ilustra esto.

Problema 15Una consultora está estudiando el ausentismo producido en los lugares de trabajo y

relevó la siguiente información: 1 __ 8 de los empleados se levanta más tarde de lo que

debería para llegar a tiempo. De este grupo, 2 __ 3 llegan efectivamente tarde al trabajo.

Por otra parte, entre aquellos que se levantan a horario, 1 ___ 10 también llega tarde debi-

do a inconvenientes en el tránsito de la ciudad.

A una de las empresas que pidió el estudio a la consultora le interesa saber qué pro-

babilidad hay de que un empleado:

a. llegue tarde sabiendo que se levantó a tiempo.

b. que se levante tarde y, sin embargo, llegue a horario.

c. llegue tarde.

Este problema es un ejemplo de lo que se llama eventos sucesivos. El primer evento es

“se levantó a tiempo” (o también podría ser “se levantó tarde”) y el segundo evento es

“llegó a tiempo” (también podría ser “llegó tarde”).

Cuando la ocurrencia de un evento B no cambia la

probabilidad de que ocurra otro evento A se dice que los eventos A y B son independientes. Esto se expresa en que p(A) = p(A/B).En caso contrario, A y B son eventos dependientes.

Como p ( A/B ) = p(A∩B)

______ p(B)

entonces

p(A ∩ B) = p(A/B) . p(B)

Si A y B son independientes:

p ( A/B ) = p(A).

Luego: p(A ∩ B) = p(A) . p(B).

M: 23293 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

147



NIP: 222503 - Pág.: 147 - MAT

*0000-222503-147-MAT-9*

Para resolver situaciones como ésta, conveniente utilizar los diagramas de árbol.

La primera “ramificación” del árbol está dada por la ocurrencia o no del primer evento;

al que se le indican sus respectivas probabilidades:

La segunda “ramificación” es la correspondiente a la ocurrencia o no del segundo suceso:

Si habiéndose levantado tarde tiene 2 __ 3 de probabilidad de llegar tarde; tendrá 1 __ 3 de

probabilidad de llegar a tiempo.

Además, si levantándose a horario hay 1 ___ 10 de probabilidad de llegar tarde, habrá 9 ___ 10 de

probabilidad de llegar a tiempo.

Es importante observar que las probabilidades del segundo evento son condicionales.

Por ejemplo, 2 __ 3 es la probabilidad de llegar tarde sabiendo que se levantó tarde. Por

este motivo es simple contestar a la pregunta sobre la probabilidad de llegar tarde sabien-

do que se levantó a tiempo ya que es uno de los datos del diagrama de árbol y es 1 ___ 10 .

La probabilidad de que un empleado se levante tarde y además llegue a tiempo, correspon-

derá a la salida del segundo camino del árbol. La probabilidad será 1 __ 3 de 1 __ 8 ; eso es 1 __ 3 . 1 __ 8 = 1 ___ 24 .

Un empleado puede llegar tarde habiéndose levantado tarde o habiéndose levantado

temprano. Es decir que para calcular la probabilidad de que un empleado llegue tarde hay

que tener en cuenta el primer camino y el tercero.

La probabilidad de salir por el primer camino es 1 __ 8 . 2 __ 3 = 1 ___ 12 y la de salir por el tercer

camino es 7 __ 8 . 1 ___ 10 = 7 ___ 80 .

Como puede ser que se dé una alternativa “o” la otra y las posibilidades son excluyentes (si

ocurre una no puede ocurrir la otra); habrá que sumar ambas probabilidades: 1 ___ 12 + 7 ___ 80 = 41 ____ 240 .

Como es una “fracción de otra fracción”, la

probabilidad de salir por un camino del árbol es el producto entre las probabilidades de cada una de las ramas que lo componen. También puede justificarse en que p(A ∩ B) = p(A) . p(B/A).

Los caminos de los diagramas de árbol

son siempre disjuntos (nunca presentan intersección), por lo que pueden sumarse las probabilidades de cada uno cuando interese calcular la probabilidad de que ocurra uno u otro de los caminos.

1 __ 8

7 __ 8

Se leva

ntó tard

e

Se levantó a tiempo

1 __ 8

7 __ 8

Se leva

ntó tard

e

Se levantó a tiempo

⎧ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎨ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎩ ⎧ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎨ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎩Primer Evento Segundo Evento

2 __ 3

1 __ 3

llegó ta

rde

llegó a tiempo

1 ___ 10

9 ___ 10

llegó ta

rde

llegó a tiempo

M: 23293 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 2




NIP: 222503 - Pág.: 148 - MAT

*0000-222503-148-MAT-9*

Se retoma el Problema 2 de la página 138:

Estudios realizados sobre los nacimientos en una cierta ciudad muestran que la pro-

babilidad de que nazca un bebé varón es 24 ___ 50 , ¿cuál es la probabilidad de que una

familia de tres hijos tenga por lo menos 2 mujeres?

Si se realiza un diagrama de árbol de la situación planteada, queda:

Los caminos del diagrama en los que hay por lo menos 2 mujeres son el primero

(MMM); el segundo (MMV); el tercero (MVM) y el quinto (VMM).

Entonces:

p(por lo menos 2 mujeres) = p(MMM) + p(MMV) + p(MVM) + p(VMM)

p(MMM) = 26 ___ 50 . 26 ___ 50 . 26 ___ 50

p(MMV) = 26 ___ 50 . 26 ___ 50 . 24 ___ 50

p(MVM) = 26 ___ 50 . 24 ___ 50 . 26 ___ 50

p(VMM) = 24 ___ 50 . 26 ___ 50 . 26 ___ 50

p(2 M o más) = 26 ___ 50 . 26 ___ 50 . 26 ___ 50 + 26 ___ 50 . 26 ___ 50 . 24 ___ 50 + 26 ___ 50 . 24 ___ 50 . 26 ___ 50 + 24 ___ 50 . 26 ___ 50 . 26 ___ 50

p(2 M o más) ≈ 0,53

Mujer

Varón

26 ___ 50

24 ___ 50

⎧ ⎢ ⎢ ⎨ ⎢ ⎢ ⎩

Primer Hijo

26 ___ 50

24 ___ 50

Mujer

Varón

26 ___ 50

24 ___ 50

Mujer

Varón

⎧ ⎢ ⎢ ⎨ ⎢ ⎢ ⎩

Segundo Hijo

⎧ ⎢ ⎢ ⎨ ⎢ ⎢ ⎩

Tercer Hijo

26 ___ 50

24 ___ 50

Mujer

Varón

26 ___ 50

24 ___ 50

Mujer

Varón

26 ___ 50

24 ___ 50

Mujer

Varón

26 ___ 50

24 ___ 50

Mujer

Varón

ACTIVIDADES14. 800 estudiantes de varias escuelas secundarias fueron

entrevistados sobre la continuidad de sus estudios universitarios. Los

resultados fueron estudiados y se calcularon probabilidades que se

muestran en el diagrama de árbol.

a. Completen el diagrama de árbol.

b. ¿Cuántos estudiantes que seguirán estudiando son mujeres?

c. Si se elige aleatoriamente un estudiante; ¿cuál es la probabilidad

de que sea:

I. un hombre que sigue estudiando?

II. una persona que no sigue estudiando?

3 __ 7

Seguirán estudiando

No seguirán estudiando

3 __ 5

Hombre

s

Mujeres

7 ___ 20

Seguirán estudiando

No seguirán estudiando

M: 23293 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

149



NIP: 222503 - Pág.: 149 - MAT

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15. Una urna contiene 4 bolillas rojas, 5 azules y 2 verdes y se extrae

una bolilla al azar. Decidan si los siguientes pares de sucesos son o no

mutuamente excluyentes.

a. Suceso A: que salga una bolilla azul.

Suceso B: que salga una bolilla roja.

b. Suceso A: que no salga una bolilla azul.

Suceso B: que no salga una bolilla roja ni verde.

16. Los mazos de 52 cartas están formados por 4 palos: corazones y

diamantes; que son de color rojo; y picas y tréboles; que son de color

negro. Las cartas están marcadas como As; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10;

Jack; Queen y King. Se extrae al azar una carta del mazo. ¿Cuál es la

probabilidad de que salga:

a. una carta de trébol o una carta roja?

b. un 5 o un Jack rojo?

c. una figura (Jack; Queen o King) o el As de diamantes?

d. una carta con un número par o un 6?

e. un 4 o una carta de corazón?

17. Se tienen en una caja tarjetas numeradas del 1 al 5. Se extraen dos

tarjetas al azar y se consideran los eventos A: “sacar un 2 en la primera

extracción” y B: “sacar un 3 en la segunda extracción. Calculen p(A); p(B);

p ( A/B ) y p ( B/A ) ; si:

a. la primera tarjeta extraída se devuelve a la caja antes de la segunda

extracción.

b. la primera tarjeta extraída no se devuelve a la caja antes de la

segunda extracción.

18. Decidan si los pares de eventos del ejercicio anterior son o no

independientes.

19. Un par de amigas están en un negocio eligiendo una remera. Hay

una verde claro; una verde oscuro; una blanca; una negra y otra azul

oscuro.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una de las chicas compre la remera

blanca sabiendo que siempre compra prendas claras?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la otra chica compre una remera

verde sabiendo que nunca compra ropa negra?

c. ¿Cuáles serían los valores de las probabilidades preguntadas en a. y

b. si no se supiera nada de los gustos de las chicas?

20. Los científicos de una ciudad están estudiando semillas de girasol

y maíz. La probabilidad de que en esa ciudad el promedio de lluvias

anuales sea alto es 0,3. Se observó que la semilla de girasol tiene una

probabilidad de 0,9 de germinar con lluvias abundantes y de 0,2

cuando la lluvia es escasa.

a. Armen un diagrama de árbol que represente la germinación de las

semillas de girasol según el tipo de lluvia.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva mucho en un año y la semilla

de girasol germine?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que las semillas de girasol germinen con

cualquier tipo de lluvia?

d. Las semillas de maíz tienen una probabilidad de 0,7 de germinar con

lluvia abundante y de 0,4 de germinar con lluvia escasa. Muestren en

un diagrama de árbol las probabilidades de germinación de las semillas

de maíz según el tipo de lluvia.

e. Calculen la probabilidad de que las semillas de maíz germinen con

cualquier tipo de lluvia.

f. ¿Qué tipo de semilla es conveniente plantar en esa ciudad? ¿Por qué?

21. Mediante un censo realizado en una ciudad se supo que el 40% de

la población es simpatizante del equipo SL. Si se eligen tres personas

cualesquiera de la ciudad; ¿cuál es la probabilidad de que:

a. las tres sean hinchas de SL?

b. por lo menos 1 sea hincha de SL?

c. exactamente 2 sean hinchas de SL?

d. ninguno sea hincha de SL?

22. En una bolsa hay 12 bolitas negras, 8 blancas y 4 grises. Se extraen

dos bolitas, sin reponer la primera que se sacó.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que sean ambas grises?

b. ¿Y que sean ambas negras?

c. Si la primera bolita que se extrae es blanca. ¿Cuál es la probabilidad

de que la segunda sea blanca?

23. Se propone el siguiente juego: Se tira una moneda,

❚ Si sale cara, se tira el dado; si sale par gana, si sale impar pierde.

❚ Si sale ceca, se tira otra vez la moneda,

– si sale cara se tira el dado igual que antes,

– si sale ceca pierde.

¿Hay más posibilidades de ganar o de perder?

ACTIVIDADES

M: 23293 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 2




NIP: 222503 - Pág.: 150 - MAT

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Combinatoria

En algunos de los problemas de probabilidades ya resueltos, el recuento de los casos

posibles y favorables resultó fácil. En otros, fue necesario listarlos con mayor cuidado.

Los problemas que siguen tratan sobre cómo contar de cuántas maneras puede darse un

cierto hecho sin tener que enumerarlas.

Problema 16Una nena tiene que vestirse para salir de paseo. Tiene que combinar una remera, un

short y un par de medias. Dispone de tres remeras, dos shorts y cuatro pares de

medias. ¿De cuántas maneras distintas puede vestirse?

Cada forma de vestirse consiste en elegir tres elementos: remera, short y medias.

Para elegir la remera tiene 3 posibilidades:

3 ______ remera _____ short

______ medias

Por cada elección de una remera; tiene dos posibilidades para elegir el short.

3 ______ remera 2 _____ short

______ medias

Tendrá 3 . 2 = 6 posibilidades de elegir remera y short.

Finalmente; por cada elección de remera y short, hay cuatro posibilidades para elegir

el par de medias.

3 ______ remera . 2 _____ short

. 4 ______ medias

Luego; habrá 3 . 2 . 4 = 24 combinaciones de ropa distintas.

Problema 17El sistema alfanumérico para las chapas patente de los automóviles combina 3 letras

seguidas de 3 números. Si las letras disponibles son 26, ya que no se usan ni la ll ni la ñ,

¿cuál es el máximo de autos que pueden patentarse con este sistema?

El esquema de la situación del problema es el siguiente:

______ letra 1

______ letra 2

______ letra 3

____ Nº 1 ____ Nº 2 ____ Nº 3

- Para elegir la primera letra hay 26 posibilidades.

- Por cada elección de la primera, hay 26 para la segunda y por cada elección de las

primeras dos hay 26 para la tercera.

- Luego, por cada terna de letras elegida, hay 10 posibilidades para el primero de los

números (de 0 a 9).

- Por cada elección de las tres letras y el primer número hay 10 posibilidades para

elegir el segundo número.

- Finalmente, por cada elección de las tres letras y los dos primeros números hay 10

posibilidades para el tercer número.

El esquema queda entonces: 26 ___ 26 ___ 26 ___ 10 ___ 10 ___ 10 ___

Es posible patentar 17 576 000 autos distintos.

Si un hecho A está compuesto por x hechos

simples, cada uno de los cuales puede darse de n 1 , n 2 , n 3 , ... n x formas distintas, entonces A puede darse de n 1 . n 2 . n 3 . ... n x maneras distintas. Esta propiedad se conoce con el nombre de principio general de conteo.

M: 23293 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

151



NIP: 222503 - Pág.: 151 - MAT

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Problema 185 chicos fueron elegidos para representar a la escuela en un acto. Si durante el mismo

deben formar en fila uno detrás del otro; ¿de cuántas formas distintas pueden ubicarse?

- El primer lugar de la fila puede ser ocupado por cualquiera de los 5 chicos.

5 ______ Lugar 1 ______ Lugar 2 ______ Lugar 3 ______ Lugar 4 ______ Lugar 5

- Ubicado el primero, quedan 4 posibilidades para el segundo.

- Ya designados los dos primeros, hay 3 posibilidades para el tercero.

- Luego quedan 2 posibilidades para el cuarto.

- Finalmente, sólo queda una posibilidad para el último.

Entonces:

5 ______ Lugar 1 4 ______ Lugar 2 3 ______ Lugar 3 2 ______ Lugar 4 1 ______ Lugar 5

Tienen 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5! = 120 formas de disponerse en fila.

Problema 19¿Cuántos números impares de tres cifras distintas pueden armarse con los diez dígitos?

Para que un número sea impar, la última cifra debe ser impar; entonces es conveniente

comenzar por contar las posibilidades de esta última cifra. Si se empezara por la primera,

no se sabría al llegar a la última si la cifra que queda es par o impar.

Para la última cifra hay 5 posibilidades (1, 3, 5, 7 o 9): ______ Cifra 1

______ Cifra 2

5 ______ Cifra 3

Elegida la última cifra hay 9 posibilidades para la segunda (cualquiera de los 10 dígi-

tos; excepto el que ya se colocó en el último lugar): ______ Cifra 1

9 ______ Cifra 2

5 ______ Cifra 3

Elegidas las dos últimas cifras, quedan 8 posibilidades para la primera, pero en la pri-

mera cifra no puede ir el cero, porque el número no quedaría de tres cifras. Es necesario

entonces tomar ciertas precauciones.

Si la segunda cifra no es cero, hay 8 posibilidades para ese lugar: las 10 cifras menos

el cero y la que se puso en último lugar.

En este caso para el primer lugar quedan 7 opciones que son las 10 cifras menos el

cero y las que se pusieron en el segundo y tercer lugar.

Entonces queda: 7 ______ Cifra 1

8 ______ Cifra 2

5 ______ Cifra 3

= 280

Si la segunda cifra es cero, hay una única posibilidad para ese lugar.

En este caso para el primer lugar quedan 8 opciones que son las 10 cifras menos el cero

y la que se puso en el tercer lugar. 8 ______ cifra 1

1 ______ cifra 2

5 ______ cifra 3

= 40

Con los 10 dígitos pueden formarse 280 + 40 = 320 números impares de 3 cifras.

El producto de un número natural n (mayor que 1)

por todos los números naturales menores que él (hasta 1) se llama factorial de n y se simboliza n!. Además se define 1! = 1 y 0! = 1.Las calculadoras científicas calculan el factorial de un número usando la tecla o .

La cantidad de formas en que pueden ordenarse n

objetos en una fila se denomina permutación de n elementos y se calcula como n!.

n! x!

M: 23293 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 2




NIP: 222503 - Pág.: 152 - MAT

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Formación de grupos

Hay situaciones en los que interesa formar grupos, a veces bajo ciertas condiciones.

Los problemas que siguen son ejemplos de esto.

El Problema 3 de la página 138 dice:

En el club del barrio hay que elegir una comisión de tres personas con un presidente,

un vicepresidente y un secretario. Hay 6 personas con posibilidad de cubrir esos car-

gos. ¿De cuántas maneras puede armarse la comisión?

Como cualquiera de las seis personas puede cubrir los tres cargos, el esquema queda:

6 ______ Cargo 1 . 5 ______ Cargo 2

. 4 ______ Cargo 3

= 120

Entonces, con las 6 personas pueden armarse 120 comisiones.

Problema 20Seis amigos quieren organizar una fiesta. Tres de ellos serán los encargados del

buffet. ¿De cuántas maneras diferentes pueden armar los grupos de tres personas?

En este caso hay que armar grupos de tres personas como en el problema anterior. Sin

embargo no es importante ahora a cuál de las personas se elige primero. Con lo cual habrá

menos posibilidades porque, por ejemplo, si las tres personas A, B y C son las elegidas,

en cualquier orden que se las designe conforman el mismo grupo. Para el caso anterior en

que hay cargos distinguibles, el grupo ABC es uno y, por ejemplo, el grupo BCA es otro ya

que cambian los cargos desempeñados.

Una forma de resolver este problema es como si importara el orden y luego determinar

todos los casos que se contaron repetidos.

Si se quieren armar grupos de 3 personas e importa el orden en que se eligen hay:

6 . 5 . 4 = 120 grupos diferentes

Ahora hay que quitar las repeticiones. Pero ¿cuántos son los casos que están repetidos?

Si se supone el grupo formado por las personas A, B y C. Este grupo es siempre el mis-

mo cualquiera sea el orden en que se los coloque.

ABC; ACB; BAC; BCA; CAB y CBA son el mismo grupo.

Esto quiere decir que por cada vez que se elija un grupo de 3 personas entre las 6 se lo

estará contando 3! = 6 veces.

Como esto sucede por cada elección de un grupo, para eliminar estas repeticiones

habrá que dividir al total de 120 comisiones por 3! = 6.

Por lo tanto hay 6 . 5 . 4 _______ 3! = 120 ____ 6 = 20 grupos diferentes.

Se dice que cuando hay car-

gos; en el grupo importa el

orden y; cuando no los hay; que no

importa el orden.

La cantidad de grupos de q elementos ordenados que

pueden armarse con p objetos se llaman variaciones de q elementos tomados de p.

M: 23293 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

153



NIP: 222503 - Pág.: 153 - MAT

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Al número natural

p! ________

q! . (p–q)! se lo llama

número combinatorio y se

lo simboliza ( p q ) . Si se tienen

p elementos, este número da todas las formas de armar grupos de q elementos cada uno sin que importe el orden. Este tipo de agrupaciones se llaman combinaciones.

Número combinatorio

Problemas como los que se han resuelto anteriormente, en los que hay que formar

grupos, pueden resolverse de otra manera utilizando un concepto nuevo.

Problema 21Una empresa de turismo ofrece distintos paquetes turísticos

a. Elija dos ciudades de España entre 6 que le ofrecemos.

b. Elija tres ciudades de Italia entre 7 que le ofrecemos.

¿Cuántos recorridos distintos ofrece la empresa?

Si le importara el orden de la elección de las ciudades de España, el turista tendría:

6 _______ ciudad 1

. 5 _______ ciudad 2

= 30 opciones de elegirlos.

Como no importa el orden, hay que dividir por 2! = 2. Esto es: 30 : 2 = 15.

El número 6 . 5 puede pensarse como 6! __ 4! ya que 6! __ 4! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 _______________ 4 . 3 . 2 . 1 = 6 . 5.

Si se divide luego por 2!; resulta: 6! __ 4! : 2! = 6! ______ 4! . 2! ; esta expresión se denomina número

combinatorio ( 6 4 ) . Hay 15 recorridos posibles por España.

La cantidad de recorridos que hay por Italia es un caso de combinaciones de 7 elemen-

tos agrupados de a 3 (porque no importa el orden de las ciudades elegidas).

Para hallar la cantidad de grupos se puede calcular el número combinatorio ( 7 3 ) es

( 7 3 ) = 7! ______ 3! . 4! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 ___________________ 3 . 2 . 1 . 4 . 3 . 2 . 1 = 7 . 6 . 5 _______ 3 . 2 . 1 = 35.

Hay 35 maneras de elegir 3 ciudades para el tour por Italia.

La empresa tiene en total 50 paquetes turísticos.

Problema 22Un programa de TV realiza un juego con los televidentes que consiste en elegir 4 car-

tones de una serie de 10 que en su reverso están numerados con un dígito. El número

de cuatro cifras que resulte de la elección (en el orden en que lo seleccionaron) es el

dinero que el participante gana.

¿De cuántas formas puede realizarse la elección?

El número combinatorio ( 10 4 ) da todas las posibles elecciones de 4 números entre los

10, pero sin que importe el orden. Como el orden sí interesa (no es lo mismo ganar, por

ejemplo, $ 9435 que $ 3459), elegido cualquiera de los grupos de 4 números hay que con-

siderar todas las formas de permutarlos. Esto es 4 . 3 . 2 . 1 = 4!.

Entonces, el número total de elecciones posibles es ( 10 4 ) . 4! = 5040

Una situación como ésta es una variación de 10 elementos agrupados de a 4.

Las variaciones de p elementos agrupados de

q pueden calcularse con la cuenta:

( p q ) . q!

M: 23293 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 2




NIP: 222503 - Pág.: 154 - MAT

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Combinatoria y probabilidad

Algunos problemas de probabilidades pueden resolverse usando los recursos del cál-

culo combinatorio. El problema que sigue es un ejemplo de esto.

Problema 23De los de 200 alumnos de una escuela se desea elegir 65 de ellos para representarla en

una actividad especial. Si los alumnos se eligen al azar y cuarto año tiene 65 alumnos:

a. ¿cuál es la probabilidad de que en la elección todos los alumnos sean de 4to?

b. ¿cuál es la probabilidad de que no se haya elegido ningún alumno de 4to año?

El espacio muestral tiene la cantidad de grupos de 65 alumnos que se pueden armar

con los 200 alumnos de la escuela. La cantidad de grupos es entonces: ( 200 65 ) Si se define el evento A “todos los alumnos elegidos son de 4to año”, A tiene un único

elemento. Hay entonces un único caso favorable.

La probabilidad de que se elijan esos alumnos es entonces: p = 1 _____ ( 200 65 )

.

Podría pensarse que el evento B “ningún alumno elegido es de 4to año” es el comple-

mento del anterior, sin embargo esto no es cierto, en el complemento de A hay grupos que

tienen alumnos de 4to año y otros que no lo son.

Los elementos de B son todos los grupos que no tienen ningún alumno de 4to, hay que

elegirlos entre los 135 restantes. Luego # (B) = ( 135 65 ) y p(B) = ( 135 65 )

_____ ( 200 65 )

Problema 24En una escuela de gimnasia entrenan 12 varones y 8 mujeres. Se debe elegir un grupo

de 4 chicos para que represente a la escuela en un torneo. ¿Cuál es la probabilidad de

que el grupo elegido esté formado por dos varones y dos mujeres?

El experimento consiste en elegir al azar 4 chicos de los 20.

Se pretende estudiar el evento A: “que sean 2 mujeres y 2 varones”

Para hallar la cantidad de elementos que tiene el espacio muestral, es decir los posi-

bles grupos que se pueden armar, es necesario elegir 4 personas cualesquiera del grupo.

Como no importa el orden, la cantidad la da el número combinatorio ( 20 4 ) .Para hallar la cantidad de elementos de A, o sea, los casos favorables, hay que calcular

cuántos de esos grupos están formados por 2 mujeres y 2 varones. La selección de dos muje-

res la da el número combinatorio ( 8 2 ) y la selección de dos varones, el número combinato-

rio ( 12 2 ) . Como por una de las ( 8 2 ) formas de elegir a las mujeres hay ( 12 2 ) formas de elegir

a los varones, el total de casos favorable es ( 8 2 ) . ( 12 2 ) .

La probabilidad de que ocurra el evento es p(A) = ( 8 2 ) . ( 12 2 )

_________ ( 20 4 )

= 1848 _____ 4845 = 616 _____ 1615 .

M: 23293 C1: 10798 C2: 10830 C3: 10000 C4: 10000

155



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Potencias de un binomio

Los números combinatorios pueden usarse para encontrar una forma de desarrollar

binomios elevados a distintas potencias naturales.

Problema 25Encontrar una expresión algebraica equivalente a (a + b) 7 que esté escrita en forma

polinómica.

Para encontrar una expresión algebraica equivalente a (a + b) 7 se puede usar la pro-

piedad distributiva o intentar analizar si hay alguna regularidad entre los coeficientes.

(a + b) 0 = 1

(a + b) 1 = a + b

(a + b) 2 = (a + b) . (a + b)

= a 2 + ab + ba + b 2

= a 2 + 2ab + b 2

(a + b) 3 = (a + b) 2 . (a + b)

= ( a 2 + 2ab + b 2 ) . (a + b)

= a 3 + a 2 b + 2 a 2 b + 2ab 2 + ab 2 + b 3

= a 3 + 3 a 2 b + 3ab 2 + b 3

( a + b) 4 = (a + b) 3 . (a + b)

= ( a 3 + 3 a 2 b + 3ab 2 + b 3 ) . (a + b)

= a 4 + a 3 b + 3 a 3 b + 3 a 2 b 2 + 3 a 2 b 2 + 3a b 3 + ab 3 + b 4

= a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4a b 3 + b 3

¿Qué relación tienen los coeficientes de los desarrollos de estos binomios a medida que

aumenta el exponente?

Si se observan detenidamente los coeficientes que fueron quedando en el desarrollo

anterior:

(a + b) 0 → 1

(a + b) 1 → 1

+

1

(a + b) 2 → 1

+

2

+

1

(a + b) 3 → 1

+ 3

+

3

+

1

(a + b) 4 → 1 4 6 4 1

se deduce que pueden obtenerse los coeficientes de los términos de las potencias siguientes:

(a + b) 4 → 1 4 6 4 1

(a + b) 5 → 1 5 10 10 5 1

(a + b) 6 → 1 6 15 20 15 6 1

y así siguiendo.

M: 23293 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 2




NIP: 222503 - Pág.: 156 - MAT

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Sean p, q y r números naturales o cero

que verifican que p = q + r, entonces

( p q ) = p! _______

q! (p – q)!

( p r ) = ( p p – q ) =

p! _____________

(p–q)!(p–(p–q))!

= p! _______

(p–q)! q!

Luego ( p q ) = ( p r ) . En este caso los números combinatorios se llaman complementarios.

Por ejemplo, ( 7 3 ) y

( 7 4 ) son combinatorios

complementarios. El valor de ambos es 35.

Ciertas sumas que respetan una secuencia pueden

escribirse en forma abreviada usando el símbolo de sumatoria Σ (letra sigma mayúscula griega). Por ejemplo:

1 + 4 + 9 + 25 + 36 + 49 puede

escribirse como ∑ i =1

7

i 2 .

∑ i =1

7

(10i + 2) =

12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72

El binomio de Newton puede escribirse abreviadamente así:

(a + b) n = ∑ i=0

n

( n i ) . a i b n–i

Si se escriben los coeficientes unos debajo de otros puede armarse un triángulo:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Este triángulo recibe el nombre de triángulo de Pascal o también de Tartaglia.

Para conocer los coeficientes de (a +b) 7 hay que conocer la fila 8 de este triángulo. Ésta es:

1 7 21 35 35 21 7 1

En la parte literal se observa que las potencias de a y b suman siempre el exponente del

binomio. Además, una de las potencias va aumentando de 0 hasta el exponente del bino-

mio (7), mientras que la otra va decreciendo desde el exponente del binomio hasta 0.

Así; el desarrollo de (a + b) 7 será:

(a + b) 7 = 1 . a 7 b 0 + 7. a 6 b 1 + 21 . a 5 b 2 + 35 . a 4 b 3 + 35 . a 3 b 4 + 21 . a 2 b 5 + 7 . a b 6 +1 . a 0 b 7

= a 7 + 7 a 6 b + 21 a 5 b 2 + 35 a 4 b 3 + 35 a 3 b 4 + 21 a 2 b 5 + 7a b 6 + b 7

Como es engorroso buscar los coeficientes a partir del triángulo de Pascal, se busca

otra manera de hallarlos. Los coeficientes de los distintos términos también pueden pen-

sarse a partir de los números combinatorios.

En (a + b) 7 los coeficientes son: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7 y 1 que son los valores de dis-

tintos números combinatorios que siguen una secuencia:

1 = ( 7 0 ) ; 7 = ( 7 1 ) ; 21 = ( 7 2 ) ; 35 = ( 7 3 ) ; 35 = ( 7 4 ) ; 21 = ( 7 5 ) ; 7 = ( 7 6 ) ; y 1 = ( 7 7 )

Los números combinatorios dan entonces los distintos coeficientes del binomio.

De esta forma, el desarrollo de (a + b) n , cuando n es natural, es:

(a + b) n = ( n 0 ) . a n + ( n 1 ) . a n–1 b + ( n 2 ) . a n–2 b 2 + ... + ( n n–1 ) . a b n–1 + ( n n ) . b n

Otros ejemplos de desarrollos utilizando el Binomio de Newton pueden ser:

(a + b) 6 = ( 6 0 ) . a 6 + ( 6 1 ) . a 5 b + ( 6 2 ) . a 4 b 2 + ( 6 3 ) . a 3 b 3 + ( 6 4 ) . a 2 b 4 + ( 6 5 ) . a b 5 + ( 6 6 ) . b 6

= a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6a b 5 + b 6

(2x – 3y) 4 = ( 4 0 ) . (2x) 4 + ( 4 1 ) . (2x) 3 (–3y) + ( 4 2 ) . (2x) 2 (–3y) 2 + ( 4 3 ) . (2x) (–3y) 3 + ( 4 4 ) . (–3y) 4

= 1 . 16 x 4 + 4 . 8 x 3 . (–3y) + 6 . 4x 2 . 9y 2 + 4 . 2x . ( –27y 3 ) + 1 . 81 y 4

= 16x 4 – 96x 3 y + 216x 2 y 2 – 216xy 3 + 81y 4

24. Desarrollen las siguientes potencias, usando el binomio de Newton:

a. (x + 2y) 4 b. (3x – y) 5

c. (2 – a) 6 d. ( –2x + 3y) 3

25. Hallen el coeficiente de:

a. x 2 y en el desarrollo de (x – y) 3

b. a 3 b 2 en el desarrollo de (a–2b) 5

c. a 4 en el desarrollo de (1 + a) 6

26. ¿Cuál es el término de grado 4 en el desarrollo de:

a. (3 + 2x) 6 ? b. (x – 2) 4 ?

27. Calculen ( √__

2 – 2 √__

3 ) 4 .

ACTIVIDADES

M: 23293 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

157



NIP: 222503 - Pág.: 157 - MAT

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28. Con los 10 dígitos; ¿cuántos números pueden formarse:

a. de tres cifras distintas?

b. de tres cifras?

c. pares de cuatro cifras distintas?

d. de cuatro cifras que empiecen con un múltiplo de 3 y terminen con

un múltiplo de 4?

29. De los 16 jugadores concentrados de un equipo de fútbol saldrán

los 11 titulares que jugarán el domingo. ¿Cuántas maneras distintas

tiene el director técnico de elegir a los titulares suponiendo que

cualquiera pudiera jugar en cualquier puesto?

30. El capitán del equipo de tenis de Copa Davis tiene 5 jugadores

disponibles para elegir los dos que jugarán los partidos de singles.

¿Cuántas opciones tiene para elegirlos?

31. Ocho socios de un club son candidatos a ser seleccionados para

formar una comisión directiva formada por presidente, vicepresidente

primero, vicepresidente segundo y secretario. ¿De cuántas maneras

puede formarse la comisión si :

a. no hay condiciones?

b. entre ellos ya consensuaron quién será el presidente?

c. hay uno de ellos que no acepta ser secretario?

32. ¿Cuántos anagramas de la palabra “persona” pueden formarse?

¿Y de la palabra “historia”?

33. ¿Cuántos boletos de colectivo capicúa de cinco cifras pueden

formarse?

34. Dos chicos y tres chicas se sientan uno al lado del otro en una fila.

¿De cuántas maneras pueden ubicarse

a. si no hay restricciones?

b. si no debe haber juntas dos personas del mismo sexo?

c. si los chicos se sientan juntos y las chicas también?

d. si los chicos se sientan juntos?

35. Un barman prepara tragos especiales combinando no menos de

2 ni más de 5 de las 9 bebidas distintas que dispone. ¿Cuántos tragos

distintos puede armar?

36. Una persona se decide a pintar su casa. Dispone de 10 pomos de

pintura de distinto color para pintar la cocina, la habitación grande, la

habitación chica, el comedor y el baño. Pintando cada ambiente de un

solo color; ¿de cuántas formas distintas le puede quedar pintada la casa?

37. Una heladería tiene 15 gustos distintos. Si los vasitos y cucuruchos

pueden tener un solo gusto o dos; ¿cuántas combinaciones distintas

pueden armarse?

38. En una jornada sobre Matemática seis oradores tendrán la palabra en el

acto inaugural. ¿De cuántas maneras pueden ordenarse las exposiciones si

se sabe que hay uno de ellos que no quiere hablar primero?

39. En un juego de Loto se sortean 5 números de una lista que va del 0

al 36. ¿Cuál es la probabilidad de ...

a. acertar los 5 números?

b. ganar con 4 aciertos?

40. Un juego de azar consiste en llenar una boleta de pronósticos

deportivos referidos al fútbol. Está compuesta de 13 partidos en los que

hay que elegir; en cada uno; si gana el equipo local; el visitante o empatan.

Suponiendo que en cada partido es igualmente probable ganar, perder o

empatar, calculen la probabilidad de ganar con 13 aciertos.

41. Un profesor tomará lección a 4 de los 20 alumnos del curso. ¿Cuál

es la probabilidad de que le toque dar lección a un determinado

alumno, si el profesor los elegirá al azar?

42. Juana, Julieta y Jazmín posan una al lado de la otra para una foto.

Si se ubican aleatoriamente; ¿cuál es la probabilidad de que Jazmín no

quede en el medio?

43. Una prueba “múltiple choice” tiene 10 preguntas con 4

alternativas cada una. ¿De cuántas maneras distintas se puede

resolver la prueba?

44. ¿Cuál es el término de potencia 3 en el desarrollo del

binomio en cada caso?

a. (a + 3) 4 b. ( b + 1) 2 c. (a + 4) 5

45. Completen dos filas más del triángulo y determinen

regularidades considerando las diagonales. Por ejemplo,

aparecen 1, 2 , 3, 4..... en una diagonal.

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN

M: 23293 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 2




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46. Decidan si los siguientes experimentos son aleatorios o

deterministas. Para los que sean aleatorios indiquen, si es posible, si

la probabilidad de que ocurra el suceso es alta o baja.

a. Se elige al azar una persona que pasa caminando por la vereda y

se le consulta su nacionalidad. El suceso es si es griego.

b. Una persona va a visitar a un amigo que se mudó. Sabe en qué

cuadra vive pero no se acuerda de la dirección. En la cuadra hay 20

casas y decide elegir una al azar y preguntar. Interesa saber si esta

persona dará con su amigo en ese primer intento.

c. Se suelta una piedra desde una altura de 3 m y se calcula cuánto

tarda en llegar al suelo.

47. Se arrojan dos dados tetraédricos distintos cuyas caras están

numeradas del 1 a 4.

a. Muestren todas las combinaciones de resultados que pueden

darse en ambos dados.

b. Calculen la probabilidad de obtener:

I. el mismo número en ambos dados.

II. en el segundo dado el doble que en el primero.

III. una suma entre ambos resultados que sea un número primo.

48. Si se elige un número al azar del conjunto

A = {–3 ; √___

12 ; 4 ; 2 __ 5 ; 0,23 ; 2,3͡ ; 3 π};

¿cuál es la probabilidad de que sea racional?

49. La ruleta tiene números de 0 a 36. ¿Cuál es la probabilidad de

que en una vuelta salga:

a. el 5? b. un número par? c. un número mayor que 15?

50. Una persona compró 15 números correspondientes a una rifa.

Si la probabilidad de ganar el premio es 1 ___ 200 ; ¿cuántos números se

pusieron a la venta?

51. Se arrojan dos dados distintos. Calculen la probabilidad de

obtener:

a. un doble 4;

b. cualquier doble;

c. un total de 10 puntos;

d. un número impar en ambos dados;

e. resultados que difieran en 3;

f. un múltiplo de 2 en el primer dado o un múltiplo de 3 en el

segundo;

g. un múltiplo de 2 o un múltiplo de 3;

h. un múltiplo de 2 y un múltiplo de 3;

52. En una ciudad; las 2 __ 7 partes del parque automotor es importado.

Si una persona está parada en una esquina viendo qué tipos de

autos pasan; ¿cuál es la probabilidad de que:

a. los dos próximos autos que pasen sean nacionales?

b. los tres próximos autos sean extranjeros?

c. por lo menos uno de los próximos dos autos sea nacional?

53. Si una computadora devuelve al azar una combinación de las

letras M; R y Z:

a. escriban todas las combinaciones posibles que puede devolver la

máquina.

b. cuando la máquina devuelve una combinación; ¿cuál es la

probabilidad de que ...

I. las letras salgan en orden alfabético?

II. la R salga antes de las otras dos?

III. la Z quede escrita después de la M?

54. Se arroja un dado dos veces y se consideran los siguientes dos eventos:

A: “ambos números son primos”

B: “los dos números obtenidos difieren en 3”

a. Calculen p(A); p(B); p(A o B); p(A y B); p ( A/B ) y p ( B/A ) .

b. ¿Son A y B eventos mutuamente excluyentes?

c. ¿Son A y B eventos independientes?

55. Un equipo de fútbol juega 3 partidos. Si se considera que

es igualmente probable ganar, perder o empatar; ¿cuál es la

probabilidad de que:

a. gane los tres partidos?

b. gane más partidos de los que pierde?

c. gane por lo menos un partido?

d. empate o gane todos los partidos?

56. 20 personas se suben a un colectivo que tiene exactamente la misma

cantidad de asientos.¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse?

57. ¿De cuántas maneras distintas puede disponerse uno al lado del

otro para sacarse una fotografía una familia de 5 integrantes si:

a. el hijo menor debe aparecer primero y el hijo mayor último?

b. el matrimonio debe aparecer siempre junto?

58. ¿De cuántas maneras pueden ubicarse 7 personas en:

a. una fila?

b. una mesa redonda? (tener en cuenta que un ordenamiento es

distinto de otro cuando para alguna persona cambie quien tiene a

su izquierda o a su derecha).

M: 23293 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

159



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.723

AUTOEVALUACIÓN1. Se arrojan tres monedas de distinto valor y se anota si sale cara o ceca

A. El espacio muestral de este experimento tiene:

9 elementos. 27 elementos.

8 elementos. No es posible saber

cuántos elementos tiene.

B. ¿Cuál de los siguientes sucesos es más probable:

No sale ninguna ceca. Sale a lo sumo una cara.

Salen por lo menos No salen exactamente

dos caras. dos cecas.

2. Sean A y B dos eventos no imposibles entonces:

p(A y B) = p(A) + p(B) p(A y B) = p(A) . p (B/A)

p(A o B) = p(A) + p(B) p(A o B) = p(A) . p(B)

3. Un estudiante universitario tiene que seleccionar tres materias

para cursar en turnos sucesivos. Para el primer horario dispone de

una oferta de 4 materias, para el segundo tiene 2 para elegir y para el

tercero tiene 3. La cantidad de formas distintas en que podría elegir la

terna de materias es:

1 18 9 24

4. Se extraen sucesivamente, sin reposición, dos cartas de un mazo de

40. Sabiendo que la primera carta extraída es de oros, la probabilidad

de que la segunda también lo sea es:

1 __ 4 9 ___ 39 9 ___ 40 3 ___ 52

5. Un banco adopta la siguiente política para intimar a pagar a sus

deudores. Al 20% los llama por teléfono, al 30% les envía una carta

documento y al 50% les realiza una denuncia judicial. Sabiendo que

de los que intima telefónicamente, el 30% paga su deuda, que de

los que reciben la carta documento, el 50% paga y que de los que

son denunciados a la justicia paga un 80%, la probabilidad de que

un deudor pague es:

61 ___ 100 3 __ 25

3 ___ 100 2 __ 5

6. La cantidad de números capicúa de 5 cifras es:

1000 900

648 720

7. En el torneo de fútbol participan 16 equipos. Juegan todos contra

todos ida y vuelta.

La cantidad total de partidos es:

16 . 15 16!

16 . 16 – 16 16 . 16 – 1

(16 . 16 – 16) . 2 16 . 16 . 2 – 1

8. La probabilidad de acertar un número en la quiniela es:

1 ___ 99 1 ___ 100

10 ___ 100 Ninguna de las anteriores.

9. La probabilidad de ganar al Loto es:

1 ___ 37 5 ___ 37

( 1 ___ 37 ) 5 Ninguna de las anteriores.

10. Una escuela tiene que elegir un grupo de 4 alumnos ente los 10

mejores promedios.

A. ¿Cuántas formas distintas tiene de realizar la elección si es

importante el orden en que los elige:

( 10 4 ) 10 ___ 4!

( 10 4 ) . 4! 10! ___ 6 !

B. ¿Cuántas formas distintas tiene de realizar la elección si no es

importante el orden en que los elige:

( 10 4 ) ( 10 4 ) . 6!

( 10 4 ) . 4! 10! ___ 6!

a b

c d

a b

c d

a b

c d

fe

a b

c d

a b

c d

a b

c d

a b

c d

a b

c d

a b

c d

a b

c d

M: 23293 C1: 10798 C2: 10830 C3: 10000 C4: 10000

a b c d

a b c d




NIP: 222503 - Pág.: 160 - MAT

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