Apuntes: Binomio por combinaciones

Hemos desarrollado la formula del binomio al partir de casos especificos para obtener una forma general comùn. No obstante, tambièn podemos aprovechar nuestro

conocimiento de las combinaciones para hallar esta formula de otra manera. Tomemos en cosideración el desarrollo de (a+b)5, pero esta vez desde otro punto de vista:

(a+b)5 = (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)

5 factores

Para desarrollar (a+b)5, consideremos cada término de la manera siguiente:

Primer tèrmino: Multiplicamos todas las aes juntas juntas para obtener b5

Segundo tèrmino: Necesitamos combinat todos los términos de la forma a5.. ¿Cómo se forman estos términos de la forma multiplicación que nos da el desarrollo? Uno de estos tèrminos se forman multiplicando las eas de los primeros cuatro factores por la b del último factor.

(a+b) (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)

Producto = a4b

Otro de estos tèrminos se forma así:

(a+b) (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)

Producto = a4b

Y ya puede usted advertir que el número de esos términos es igual al número de maneras de escoger sólo una de las besde los cinco factores. Estos se puede lograr de cinco maneras, que es posible expresar así:

5 C1 o así: 5 , se obtiene el coeficiente de a4b.

Tercer término: Buscamos los términos de la forma a3 b2 El numero de maneras de seleccionar dos bes de cinco términos , o sea 5C2.

Cuarto término: El número de términos de forma a2 b3 corresponde al número de maneras de elegir tres bes de cinco términos, es decir: 5C3.

Quinto término: El número de maneras de escoger cuatro bes del cinco términos es 5C4., o sea el coeficiente a b4.

Sexto termino: Multiplicar todas las bes para obtener b5.

Estas condiciones, podemos escribir el desarrollo de (a+b)5 en esta forma:

a5 + 5C1a4 b1 + 5C2a3 b2+ 5C3a2 b3+ 5C4a1 b4

Para que esta forma resulte coherente podemos escribir el coeficiente a5 así:

5C0 y el b5 5C5

Se puede elaborar un argumento semejante para cada uno de los términos del desarrrollo de (a+b)n.