Bloque 1 terminado

ESCUELA NORMAL EXPERIMENTALPOB. LIC. BENITO JUAREZ, B.C.

CLAVE: 02DNL0001B

Algebra su aprendizaje y su enseñanza

“ bloque 1 - ejercicios”

Maestro: Pablo Pérez Nava

Equipo 1:

Isabel AcostaAltagracia BáezCarol ina Lugo

Itzayana Will iamsLuis Abel Ol ivas

SUBSECRETARIA DE EDUCACION MEDIA SUPERIOR,SUPERIOR, FORMACIÓN DOCENTE Y EVALUACIÓN.

DIRECCIÓN DE FORMACIÓN Y ACTUALIZACIÓNDOCENTE

Bloque 1

Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos

Desarrollo del pensamiento algebraico

Bloque 1Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los

patrones numéricos

PresentaciónEste bloque de actividades tiene dos propósitos: (i) Presentarte un

acercamiento alternativo para el estudio del álgebra con la finalidad de reavi- var los conocimientos matemáticos que adquiriste en tus estudios en el bachi-llerato y (ii) Sujetar a tu análisis una propuesta didáctica en la que se aplicanlas facilidades que ofrece un procesador algebraico para favorecer el

aprendizaje del álgebra como un lenguaje que permite expresar y justificar

generali- zaciones sobre el comportamiento de patrones numéricos.

Las actividades de este bloque, y los demás que conforman este libro,

están diseñadas de acuerdo con un precepto teórico desarrollado por el

psicó- logo Jerome Bruner. Este precepto teórico consiste en el

establecimiento de un formato de comunicación entre el que enseña con el

que va a aprender de él, este formato, aunque aparentemente es rígido,

ofrece una flexibilidad que permite introducir sutilmente nuevos elementos

del código de comunicación, en nuestro caso, del código algebraico. La

presentación de las actividades pa- rece repetitiva, sin embargo no lo es,

siempre hay algún nuevo elemento ma- temático al pasar de una hoja de

trabajo a otra, ya sea el tipo de valores numéricos que se emplean o algún

nuevo elemento en la estructura algebraica de las expresiones que se inducen

en cada actividad. Por ejemplo, se transita de las funciones de la forma

f(x)=x+a, f(x)=ax y f(x)=ax+b, a las inversas de esas funciones. Se transita del

ámbito de las funciones lineales al de las ecuaciones lineales con una

incógnita; del ámbito de la producción de expresiones algebraicas para

expresar la regla que gobierna el comportamiento de un patrón numérico

al ámbito de la lectura de esas expresiones.

Te invitamos que analices estas actividades bajo la perspectiva del

tipo de aprendizaje matemático que los alumnos de educación básica pueden

des- arrollar si ellos las realizan. Nuestra mayor expectativa es que tu

análisis se vea enriquecido cada vez que concluyas un bloque de

actividades, con lo que estarás propiciando el desarrollo de competencias

docentes que en un futuro cercano pondrás en práctica como docente de

educación básica.

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

Valor deentrada

Valor desalida

1 5

2 6

3 7

4 8

5 9


HOJA DE TRABAJO

1

Patrones numéricos: Valores de entrada y

salida

Un estudiante tecleó en su calculadora una expresión algebraica que produce lo siguiente:

Si el valor de entrada es 1 el programa da por resultado 5; si introduce 2, da por resultado 6, y así sucesivamente.

1. ¿Qué resultado va a dar la calculadora tecleas 6 como valor de entrada? 10 ¿Si es 10 ? 14 ¿Si el valor de entrada es 0? 4

¿Qué operación hiciste para obtener esos resultados? Al valor de entrada se le sumo 4 unidades

2. ¿Puedes construir una expresión algebraica para que tu calculadora produzca los mis-mos resultados que la de ese estudiante? Escribe tu expresión en el cuadro de abajo.

x + 4 = y

3. Usa el programa que hiciste para encontrar los números que faltan en la tabla.

Valor de entrada

17 35.02 89.73 107.06 299.1 307.09 507 609.03

Valor de salida

21 39.02 93.73 111.06 303.1 311.09 511 613.03

¿Qué operaciones aritméticas hiciste para obtener los valores asociados a 511 y 613.03? Al valor de salida se le restaron 4 unidades

5. ¿Cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 511 es el correcto? Se invierte la expresión algebraica y es asi como el resultado aparece.

Valor deentrada

Valor desalida

7 14

8 16

9 18

15 30

18 32


HOJA DE TRABAJO

2Valores proporcionales

(1)

1. Se tecleó en la calculadora una expresión algebraica queproduce esta tabla de valores.

2. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 5? 10 ¿ Si es 25? 50 ¿Si es 17? 34

¿Qué operaciones aritméticas hiciste para obtener esos resultados? El valor de entrada se multiplica por dos

3. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga produzca la misma tabla de valores?Escribe tu programa en el cuadro de abajo.

2x=y

3. Teclea en tu calculadora el programa que hiciste para encontrar los valores que faltanen esta tabla.

Valor deentrada

25 37.03 59.83 117.18 136.1 200.79 275.5 326.69

Valor de salida

50 74.06 119.66 234.36 272.2 401.58 551 653.38

4. ¿Qué operaciones aritméticas hizo tu programa para obtener los valores de entrada pa-ra 551 y 653.38? solamente el valor de salida se dividio entre 2

5. ¿Cómo puedes comprobar que el valor de entrada que obtuviste para 653.38 es correc- to? Al invertir la expresión algebraica nos dara el resultado correcto


HOJA DE TRABAJO

3

Valores proporcionales

(2)

1. Completa la siguiente tabla.Valor de entrada

Valor de salida

2.5 7.5

3.1 9.3

4 12

5.3 15.9

6.2 18.6

15.8 47.4

73 219

3. ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para obtener los valores que faltan en la tabla? Se multiplico por 3

4. ¿Puedes programar tu calculadora para encontrar los valores de salida? Escribe tuprograma en el cuadro de abajo.

3x=y ó VE+VE+VE=VS

5. Comprueba que tu programa permite obtener los mismos valores que se muestran en latabla.

6. Completa la tabla de abajo usando el programa que construiste.

9 17 18.04 47.01 50.4 63.9 29.7 30.827 51 54.12 141.03 151.2 191.7 89.1 92.4

6. ¿Qué operaciones aritméticas hizo tu programa para obtener los valores de entradaasociados a 89.1 y 92.4? división entre 3

7. ¿Cómo puedes comprobar que el valor de entrada que obtuviste para 92.4 es correcto?Se invirte la expresión algebraica y el resultado es correcto

Valor deentrada

Valor desalida

1.1 3.2

2.6 6.2

3 7

4.3 9.6

5 11


HOJA DE TRABAJO

4Reglas de dos pasos

(1)

Un estudiante produjo la tabla de la izquierda usando un pro-grama.

1. ¿Qué valor de salida va a dar la calculadora si el valor de entrada es 50?101 ¿Si es 81? 163 ¿Y si es 274? 549

2. ¿Qué operaciones aritméticas hizo el programa para obtener esos valores de salida? Se multiplico por 2 y se le sumo una unidad

3. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga produzca la misma tabla de valores?Escribe tu programa en el cuadro de abajo.

2x+1=y

4. Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla.

Valorde entrada

12 16 19.05 48.02 51.45 62.7 43.6 47.2

Valorde sali-

da

25 33 39.1 97.04 103.9 126.4 88.2 95.4

5. Ese estudiante afirma que puede usar el programa que hiciste para comprobar que 88.2es el valor de salida correcto ¿Estás de acuerdo con él? si Indica con la mayor precisión posible cómo puedes usar tu programa para comprobar que el valor que obtuviste para 95.4 es el correcto. Se le resto una unidad y al resultado se dividio entre 2

Valor deentrada

Valor desalida

1 1

2 3

3 5

4 7

5 9


HOJA DE TRABAJO

5

Reglas de dos pasos (2)

Un estudiante construyó un programa que hace lo siguiente:

1. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 6? 11 ¿Si es7? 13 ¿Si es 15? 17

2. ¿Qué operaciones aritméticas hizo el programa para obtener esos valores? Se multiplico por 2 y se le resto una unidad

3. Programa tu calculadora para que produzca lamisma tabla que hizo ese estudiante. Escribe tu programa en el cuadro de la derecha.

Comprueba que tu programa produce los mismos valores de salida que se muestran en la tabla.

2x-1=y

4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla.

Valor deentrada

10 11 15 13 27 69 259.14

Valor desalida

19 21 29 25 53 137 517.28

5. ¿Cómo puedes comprobar que el valor de entrada que obtuviste para 137 es correcto? Al invertir la expresión algebraica se obtiene el resultado


HOJA DE TRABAJO

6

Patrones con valores negativos

(1)

1. Completa la siguiente tabla.

-10 -9.7 -7.8 -6.2 -5.3 -4.6 -0.7 0 1.3 12.4-9.5 -9.2 - 7.3 -5.7 -4.8 -4.1 -0.2 .5 1.8 12.9

2. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga el trabajo de completar la tabla?.

Escribe tu programa en el cuadro de la de-recha.

x+.5=y

Usa el programa que hiciste para obtener los valores que se muestran en la tabla ante- rior. ¿Pudiste obtener los mismos valores? si Si no es así, modifica tu programa e intenta de nuevo.

3. Completa la siguiente tabla usando el programa que hiciste.

-20 -14.7 -13.8 -12.3 -10.8 -9.6 -.5 2.5-19.5 -14.2 -13.3 -11.8 -10.3 -9.1 0 3

4. Usa tu programa para comprobar que los valores de entrada que obtuviste para -10.3 y0 son correctos. ¿Obtuviste los mismos valores? si Si no, modifica tu programa e intenta de nuevo.

Valor deentrada

Valor desalida

-15 -16.5-14.5 -16

-12.4 -13.9-10.2 -11.7-5.8 -7.3-4.6 -6.1

-0.9 -2.40 -1.5


HOJA DE TRABAJO

7Patrones con valores negativos

(2)

Encuentra los valores que faltan.

1. ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar los valores que faltan en la tabla?Escribe un ejemplo usando uno de los valores de entrada de la tabla.

Al numero cero solamente se le resto 1.5 y por tanto el resultado es negativo

2. ¿Puedes programar tu calculadora para reproducir los valores de la tabla?

Escribe tu programa en el cuadro de la derecha.

x-1.5=y

Asegúrate de que tu programa permite encontrar los mismos valores que se muestran en la tabla.

3. Completa la siguiente tabla usando el programa que hiciste.

-20 -15.8 -13.8 -10.4 -10.83 -8.22 -.05 11.5-21.5 -17.3 -15.3 -11.9 -12.33 -9.72 -1.55 10

4. Explica cómo usarías tu programa para comprobar que el valor de entrada que obtuvis-te para -9.72 es correcto. Se invierte y en lugar de restar se suma

Valor de entrada

Valor de salida

10.5 5.25

14.42 7.21

15.3 7.65

16.7 8.35

20.1 10.05


HOJA DE TRABAJO

8

Constante de proporcionalidad fraccionaria

(1)

Se construyó la siguiente tabla usando un programa:

1. ¿Qué resultado producirá la calculadora si el valor de entrada es 6? 3 ¿Si es 19.3? 9.65 ¿Si es 56? 28 ¿Si es 177? 88.5

2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que cualquiera de tus compañe-ros(as) pueda entenderte. Solamente se dividio entre dos

3. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca la misma tabla? Escríbelo en elcuadro de abajo.

x/2=y

Comprueba que tu programa te permite obtener los mismos valores que se muestran en latabla.

Valor deentrada

Valor desalida

6 9

8 12

14 21

15 22.5

18 27


HOJA DE TRABAJO

9

Constante de proporcionalidad fraccionaria (2)

Se produjo esta tabla usando un programa en la calculadora:

1. ¿Qué resultado me va a dar la calculadora el valor de entrada es 10? 15 ¿Si es 13.4? 20.1 ¿Si es 15.6? 23.4

2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que cualquiera de tus compañe-ros(as) pueda entenderte se dividio entre 2 el valor de entrada y a este mismo se le sumo el residuo

3. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca los mismos valores que se mues-tran n la tabla? Escribe tu programa en el cuadro de abajo.

X+(x/2)=y

4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla.

Valor deentrada

20 22 35 38 44 50 72 82

Valor desalida

30 33 52.5 57 66 75 108 123

5. Explica cómo usarías tu programa para comprobar que el valor que encontraste para 57 es el correcto. 2y=3x por tanto dos veces y entre dos es igual a x; 2 veces 57 dividido entre 3 es igual al valor de entrada

4 4.04

6 6.06

9 9.09

10 10.1

12 12.12

15.5 15.655

17.8 17.978

19.2 19.392

20.4 20.604

50.2 50.702


HOJA DE TRABAJO

10


¿Puedes encontrar los valores que faltan?

1. Explica cómo encontraste el valor asociado a 15.5 de manera que cualquiera de tuscompañeros(as) pueda entenderte. Solamente se siguió la expresión algebraica que radica en multiplicar el valor de entrada por 1.01

2. ¿Puedes programar tu calculadora para obtener los valores de la tabla? Escribe tu programa en el cuadro de la derecha.

X*1.01=y

Comprueba que tu programa produce los mismos números que aparecen en la tabla. Si no,modifícalo e intenta de nuevo.


1 2.2 3.1 4.3 9 12 32 38.41.01 2.222 3.131 4.343 9.09 12.12 32.32 38.784

4. Explica cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 38.784 es el correcto.

Al invertir la expresión algebraica en lugar de multiplicar se dividirá entre 1.01

Número deentrada

Número desalida

3 8

9 2011.5 2512 26

15 3218 38


HOJA DE TRABAJO

11

Lectura de expresiones algebraicas

(1)

1. Se va a usar el programa2+2×b para completar esta tabla. Encuentra los valores que faltan sin usar la calculadora.

Teclea ese programa en tu calculadora y comprueba si tus respuestas son correctas. Si tus respuestas no fueron correcta corrígelas de acuerdo con lo que obtuviste en la calculadora y explica a qué se debió tu error.

2. Observa el programa 3+5×a. Sin usar la calculadora, completa la siguiente tabla de acuerdo con los valores que ese programa produciría.

Valor de entrada

2 4 5 8 10 12 15 20

Valor desalida

13 23 28 43 53 63 78 103

3. Teclea el programa en tu calculadora y úsalo para comprobar tus respuestas. ¿Tus res-puestas coincidieron con los resultados que te da la calculadora? si Si no fue así, ¿a qué crees que se deba que sean distintos tus resultados y los de la calculadora? En ese caso seria por el uso de paréntesis al utilizar operaciones diferentes

4. Teclea en tu calculadora el programa (3+5)×a y completa la siguiente tabla.

Valor deentrada

2 4 5 8 6.625 12 9.75 20

Valor desalida

16 32 40 64 53 96 78 160

5. Compara los resultados que obtuviste con los de la tabla del inciso (2). ¿A qué crees que se deban las diferencias? Explícalo con un ejemplo 3+5=5*1=5 la diferencia radica en que primero se hace la suma y por tanto al multiplicar nos dara un valor diferente a si hacemos primero la multiplicación y posteriormente la suma

7 23

9 29

10 32

12 38

16 50


HOJA DE TRABAJO

12

Lectura de expresiones algebraicas

(2)

La siguiente tabla se produjo con un programa en la

calculadora:

1. Un estudiante dice que el programa 2+3×b le permite producir los valores de esa tabla.¿Estás de acuerdo con él? si Escribe un ejemplo que tu justifique tu res-puesta 1*3=3+2=5

2. Una estudiante dice que el programa 2+b+b×2 también produce los valores de esa tabla. ¿Estás de acuerdo con ella? si Escribe un ejemplo que justifique tu respuesta. 2*2=4+2+2=8

3. Otra estudiante dice que el programa 5×a+2−2×a también produce los valores de esa tabla. ¿Estás de acuerdo con ella? si Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta. 5*2=10+2=12-(2*2)=12-4=8

4. ¿Puedes encontrar otro programa que permita obtener los valores de esa tabla? Escri-

be todos los programas que encuentres. 4*a-a+2

Valor deentrada

Valor desalida

7 20

7.5 21.5

8.2 23.6

9 26

9.6 27.8


HOJA DE TRABAJO

13

Reglas de dos pasos

(3)

1. Una estudiante hizo un programa que proce la siguiente ta-

bla:

2. Si el valor de entrada es 10, ¿qué valor de salida dará la calculadora? 29 Si el valor de entrada es 12, ¿qué valor de salida dará la calculadora? 35

3. La calculadora dio 17.5 como valor de salida. ¿Cuál es el valor de entrada? Explica con detalle qué hiciste para encontrar el valor asociado a 17.5.

4. ¿Puedes programar tu calculadora paraque produzca la tabla del inciso (1)? Es- cribe tu programa en el recuadro.

3x-1=y

Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla.

Valor deentrada

3 6 5.1 5.4 9.4 11.2 22 27

Valor desalida

8 17 14.3 15.2 27.2 32.6 65 80

Valor deentrada

Valor desalida

10 2.5

15 3.75

20 5

25 6.25

30 7.5


HOJA DE TRABAJO

14


1. Una estudiante hizo un programa que produce lo si-guiente:

2. Si el valor de entrada es 56, ¿qué valor de salida arrojará la calculadora? 14

3. Si la calculadora da 87 como valor de salida. ¿Cuál es el valor de entrada? 348 4. Explica con detalle qué hiciste para encontrar el valor asociado a 87 la expresión dice que se debe dividir para encontrar el valor de salida pero al tener el valor de salida lo que se debe hacer para encontrar el valor de entrada es lo contrario es decir multiplicar por 4


x/4=y


Valor deentrada

3 4 5.1 6.6 9.4 10.8 22 35

Valor desalida

0.75 1 1.275 1.65 2.35 2.7 5.5 8.75

2 5

3 7.5

4 10

5 12.5


HOJA DE TRABAJO

15

1. Un estudiante hizo un programa que produce la siguiente tabla:

2. Si el valor de entrada es 6, ¿qué valor de salida va a dar la calculadora? 15 3. ¿Si el valor de entrada es 7? 17.5 ¿Si es 55? 137.5

4. La calculadora dio 35 como valor de salida. ¿Cuál es el valor de entrada? 14

5. ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar el valor asociado a 35?

6. ¿Puedes programar tu calculadora para 7.que haga produzca la tabla del inciso (1)? Escribe tu programa en el recuadro.

2x+(x/2)=y


Valor deentrada

3 3.4 5.1 6.2 9.4 9.4 12.2 14

Valor de salida

7.5 8.5 12.75 15.5 23.5 23.5 30.5 35

0.15 0.015

0.27 0.027

0.3 0.03

1.5 0.15

2.03 0.203


HOJA DE TRABAJO

16Constante de proporcionalidad fraccionaria

(5)

1. Esta tabla se hizo utilizando un programa.

2. Si el valor de entrada es 10 ¿qué valor de salida dará la calculadora? 1

3. La calculadora dio 37 como valor de salida, ¿cuál es el valor de entrada? 370

4. ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar el valor asociado a 37? Se dividio el valor de salida entre 0.1

4. ¿Cómo puedes comprobar que el valor que asociado a 37 es el correcto? Explícalo con detalle. Es solo que l aexpresion algebraica al principio se multiplica por 0.1 y al buscar el valor contrario se hace la operación contraria que es dividir entre el mismo valor


x*0.1=y


3 4 5.1 6.3 9.4 11.8 12.2 3500.3 0.4 0.51 0.63 0.94 1.18 1.22 35


Actividades que se sugieren para el futuro docente

1. Con base en la experiencia que has vivido al realizar las actividades de este bloque explica el papel que desempeñan las tablas de valores en este acercamiento didáctico. ¿Puede sustituirse ese papel con otro tipo de recurso? Discute ampliamente tu respuesta con tus compañeros(as) y tu profesor.

2. Con base en la experiencia que has vivido al realizar las actividades de este bloque explica el papel que desempeña el uso de un procesador algebraico en este acercamiento didáctico. ¿Puede sustituirse ese papel con otro tipo de recurso? Discute ampliamente tu respuesta con tus compañeros(as) y tu profesor.

3. En la presentación de este bloque de actividades se afirma que a través de ellas

se transita del ámbito de las funciones lineales al de las ecuaciones lineales

con una incógnita. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar

sustento para esa afirmación. Discute tu respuesta con tus compañeros(as) y tu

profesor.


“se transita de las funciones de la forma f(x)=x+a, f(x)=ax y f(x)=ax+b, a las in-

versas de esas funciones”. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sustento para esa afirmación. Discute tu respuesta con tus compañeros(as)

y tu profesor.


“se transita del ámbito de la producción de expresiones algebraicas para

expresar la regla que gobierna el comportamiento de un patrón numérico, al

ámbito de la lectura de esas expresiones”. Identifica en qué parte de las

actividades se puede encontrar sustento para esa afirmación. Discute tu

respuesta con tus compañe- ros(as) y tu profesor.

6. En la presentación de este bloque de actividades se mencionan las funciones de la

forma f(x)=x+a, f(x)=ax y f(x)=ax+b. Indaga en fuentes bibliográficas o en Inter- net cuáles son las definiciones de los siguientes conceptos:

(i) Dominio de una función.

(ii) Contradominio de una función.(iii) Imagen de una función.(iv) Regla de correspondencia de una función.

Ejemplifica esos conceptos con extractos de las actividades que has realizado en este bloque.

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