Bloque 5

BLOQUE

5220

Aprendizajes esperados

Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas.

Construye figuras simtricas respecto de un eje e identifica las propiedades de la figura original que se conservan.

Resuelve problemas que implican determinar la medida de diversos elementos del crculo, como: ngulos inscritos y centrales, arcos de una circunferencia, sectores y coronas circulares.

Explica la relacin que existe entre la probabilidad frecuencial y la probabilidad terica.

El Taj Mahal es la maravilla arquitectnica ms conocida de la India. Se encuentra en la ciudad de Agra, ubicada a unos 200 km al sureste de Delhi.

La construccin del edificio fue ordenada por el emperador Shah Jahan para que sirviera de mausoleo a su esposa Mumtaz Mahal. La obra se inici en 1631 y dur 20 aos. Trabajaron en ella ms de 20 000 obreros en turnos continuos y se emplearon 1 000 elefantes. El recinto de mrmol blanco sorprende por su desmedido lujo y su diseo de gran simetra.

S-COM_MAT2-B5-220-231C.indd 220 3/6/13 12:10 PM

221

Trabajen en equipo. Lean la informacin, disctanla y planteen cmo responder cada pregunta. Tengan en cuenta lo que estudiaron en primaria y en el grado anterior. Tambin pueden consultar Internet o un libro; lo importante es recordar y compartir los conocimientos matemticos que poseen.

a) Identifiquen los elementos simtricos que pueden hallar en la fotografa y co-mntenlos con sus compaeros.

b) Brahmagupta fue el ms grande de los matemticos de la India. Entre sus con-tribuciones, est el estudio de las ecuaciones de la forma ax + by = c en las que a, b y c son enteros. Se trata de hallar valores enteros de x y y que satisfagan la ecuacin. Observen la ecuacin 3x + 2y = 10. Pueden encontrar valores en-teros de x y y que satisfagan la igualdad? Recuerden que los nmeros enteros pueden ser positivos, negativos o cero.


Juegos y retos

222

Animalirretos

Puedes resolver los siguientes retos?

Qu gatos tan pesados!

Los gatos grandes pesan ms que los pequeos, pero todos los gran-des pesan lo mismo, igual que todos los pequeos. Cunto pesa cada gato?

El caballo y el burro

Un burro y un caballo cargaban varios sacos del mismo peso. El caballo se quejaba:

Ya no soporto tanta carga. De qu te quejas? Si me dieras un saco, yo llevara el doble de sacos que t; en cambio, si yo te diera un saco, tendramos la misma carga contes-t el burro.

Cuntos sacos llevaba cada animal?


223

Estampas

Cul es el valor de cada estampa?

Resuelve individualmente los problemas. Despus trabaja con tres o cuatro compaeros. Comenten las estrategias que siguieron para resolver los problemas y tambin comen-ten sus dificultades.

19

?

20

14

21

?

16

20

PISTAS Y ESTRATEGIAS


224

Leccin 78

PREGUNTA INICIAL

Sistemas de ecuaciones I

Cuntas soluciones tiene la ecuacin 3x + 2y = 5?

1 Trabaja con tres o cuatro compaeros. Cada equipo debe escoger uno de los siguientes problemas y encontrar varias soluciones. Todos los problemas deben ser elegidos al menos por un equipo.

a) Hallen rectngulos de 27 cm de permetro.

Registren sus resultados en una tabla como la siguiente.

Largo Ancho

b) Encuentren rectngulos cuyo largo mida el doble de centmetros que de ancho.


Largo Ancho

c) Encuentren nmeros enteros que sumen 5. Tengan en cuenta los nmeros negativos.


Primer nmero Segundo nmero

d) Encuentren nmeros enteros cuya diferencia sea 11. Tengan en cuenta los nmeros negativos.


Primer nmero Segundo nmero


225

Eje: Sentido numrico y pensamiento algebraicoTema: Patrones y ecuaciones

Resolucin de problemas que impliquen el planteamiento y la resolucin de un sistema de ecuaciones 2 2 con coeficientes enteros, utilizando el mtodo ms pertinente (suma y resta, igualacin o sustitucin)

2 Comparen sus soluciones de la actividad anterior con las de sus compaeros. Trabajen juntos quienes resolvieron los problemas a) y b) y a los que les correspondi c) y d).

a) Revisen si encontraron alguna solucin comn. Es decir, para los problemas a) y b), vean si hallaron un rectngulo cuyo permetro sea 27 cm y su largo mida el doble que el ancho; y para los problemas c) y d), revisen si hay dos nmeros cuya suma sea 5 y su diferencia, 11.

b) Si no encontraron soluciones comunes, bsquenlas con ayuda del profesor. c) Escriban las soluciones comunes.

Problemas a) y b) Problemas c) y d)

3 Efecta lo siguiente.

4 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial.

a) Escribe una ecuacin que represente las condiciones del problema a) de la actividad 1. Denota con literales el largo y el ancho del rectngulo.

Cuntas soluciones tiene esta

ecuacin?

c) Denota con literales dos nmeros y escribe una ecuacin que represente las condiciones del problema c) de la actividad 1.


ecuacin?

b) Escribe, con las mismas literales, una ecuacin que represente las condiciones del problema b) de la actividad 1.


ecuacin?

d) Usa las mismas literales y escribe una ecuacin que represente las condiciones del problema d) de la actividad 1.


ecuacin?

Un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas son dos ecuaciones en las que las incgnitas re-presentan los mismos valores.

Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incgnitas es aquel donde las incgnitas tienen exponente 1.

La pareja de valores que soluciona ambas ecuaciones de un sistema es la solucin del sistema.

Largo:9cm Losnmerosson8y3. Ancho:4.5cm

2x+2y=27 x=2y

R.T.Infinidad. R.T.Infinidad.

a+b=5 ab=11

R.T.Infinidad. R.T.Infinidad.


226

Leccin 79

PREGUNTA INICIAL

Sistemas de ecuaciones II

Qu solucin tiene el sistema formado por las ecuaciones x + 3y = 35 y y 2 = 8?

1 Observa las balanzas y efecta lo que se indica.

a) Completa la tabla y busca c) Completa la tabla y busca ms ms soluciones para la balanza 1. soluciones para la balanza 2.

Peso del bote azul Peso del bote rojo Peso del bote azul Peso del bote rojo1 kg 7 kg 1 kg 79 kg2 kg 5 kg3 kg4 kg

La balanza 1 est en equilibrio cuando La balanza 2 est en equilibrio cuando

b) Escribe una ecuacin (llmale d) Escribe una ecuacin (llmale ecuacin ecuacin 1) que represente a 2) que represente a la balanza 1; usa las la balanza 1. mismas literales que en b).

2 Escribe qu acciones se efectan en las balanzas y cmo se transforman las ecuaciones.

Accin efectuada: Ecuacin 1 anterior:

Ecuacin 1 nueva:

Balanza 1

4 Kg

Balanza 2

81 Kg

Balanza 1

4 Kg

Balanza 2

81 Kg

Balanza 1

4 Kg

Balanza 1

4 Kg

10kg 71kg

13kg 6kg 69kg

16kg 10kg 61kg

5kg 19kg 15kg 51kg

6kg 22kg 20kg 41kg

10kg 34kg 25kg 31kg

15kg 49kg 30kg 21kg

3botesazulespesanunorojoms4kg. unboterojoy2azulespesan81kg.

x+y=4x+4 2x+y=81

R.T.

R.T.Sequit

unboteazuldecadaplatillo.

x+y=4x+4

y=3x+4


227


Accin efectuada:

Ecuacin 2 anterior: Ecuacin 2 nueva:

3 Haz lo que se indica. Observa que la ecuacin 2 de la actividad anterior solo tiene una incgnita.

a) Resuelve la ecuacin. Cunto pesa el bote azul?

b) Encuentra el peso del bote rojo.

Observa cmo se resuelve un sistema de ecuaciones con dos incgnitas con el m-todo de sustitucin.

Sistema: x + 3y = 8

x y = 4

a) Se despeja una variable en una ecuacin, es decir, se deja sola la variable en uno de los miembros.

x + 3y = 8 x = 8 3y

b) Se sustituye la expresin obtenida en la otra ecuacin. x y = 4 8 3y y = 4

c) Se resuelve la ecuacin con una sola incgnita que se obtuvo. 8 2y = 4 2y = 4 y = 1

d) Se sustituye el valor de la variable encontrada en este caso (y = 1) en la ecuacin del paso a) y obtenemos el valor de la otra variable, en este caso x.

x = 8 3(1) x = 5

4 Comenten en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Hallen el mejor mtodo para resolverla.


Balanza 1

4 Kg

Balanza 2

81 Kg

Balanza 2

81 Kg4 Kg

Comounboterojo

equivalea3azulesy4kg,sesustituyun

boterojoenunplatillodelabalanza2.

2x+y=81 5x+4=81

15.4kg

50.2kg


228

Leccin 80

PREGUNTA INICIAL

Sistemas de ecuaciones III

Un sistema est formado por la ecuacin 2x + 5y = 6, y por la ecuacin 2x y = 11. Qu se obtiene si restas la segunda ecuacin de la primera?

1 Efecta lo que se pide.

En una papelera Ivn compr tres lpices y dos cuadernos del mismo precio por $30.00, y Mara cuatro lpices y tres cuadernos iguales que los de Ivn, por $44.00. Cunto cuesta cada lpiz y cada cuaderno?

a) Anota una ecuacin para cada esquema. Esquema 1 Ecuacin 1

+ =$30

Esquema 2 Ecuacin 2

+ =$44

b) Explica cmo a partir del esquema 1 se forma el esquema 3 y anota una nueva ecua-cin. Realiza lo mismo para el esquema 2 y el esquema 4.

Esquema 3

+ =$90

Se obtuvo Ecuacin 3: Esquema 4

+ =$88

Se obtuvo Ecuacin 4:

c) Deduce, de acuerdo con los esquemas 3 y 4, el valor de un lpiz.

d) Resta cada miembro de la ecuacin 4 a la 3. Si no recuerdas cmo restar polinomios, consulta la leccin 28.

Primer miembro Segundo miembro

=

=

=

3x+2y=30

4x+3y=44

multiplicandopor3. 9x+6y=90

multiplicandopor2. 8x+6y=88

R.T.$2.00.

9x+6y 90

8x+6y 88

x 2


229



e) Resuelve la ecuacin que encontraste y anota el valor de los lpices y los cuadernos.

Precio de un lpiz: Precio de un cuaderno:

2 Completa la solucin de un sistema de ecuaciones con el mtodo de eliminacin.

5x + 4y = 2 Ecuacin 17x 6y = 32 Ecuacin 2

Se multiplican las ecuaciones para que los coeficientes de una de las variables sean iguales u opuestos (uno el inverso aditivo del otro).

Multiplicamos la ecuacin 1 por 3: 15x + 12y = 6;y la ecuacin 2 por 2: 14x 12y = 64.

Se suman las ecuaciones y se obtiene una ecuacin con una incgnita.

15x + 12y = 6 14x 12y = 64

Se soluciona la ecuacin.

Se sustituye el valor encontrado en una ecuacin para hallar el valor de la otra incgnita.

3 Explica cmo se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.

Sistema: x + 2y = 142x + 6y = 30

Pasos Explicacin

x = 14 2y

2x = 30 6y

2x2 =

30 6y2

x = 15 3y

14 2y = 15 3y

2y + 3y = 15 14 y = 1

x + 2(1) = 14 x + 2 = 14

x = 14 2 x = 12

4 Comenta con tus compaeros tu respuesta a la pregunta inicial y resuelve el sistema de ecuaciones.

El sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas se resolvi al usar un mtodo llamado por igualacin.

$2.00 $12.00

29x =58 29x=58 x= 58

29 =2

5(2)+4y=2 4y=12 10+4y=2 y= 12

4 =3

Sedespejaunadelasincgnitasenunaecuacin.

Sedespejalamismaincgnitaenlaotraecuacin.

Seigualanlossegundosmiembrosdelasecuaciones

obtenidasenelpasoanterior.

Seresuelvelaecuacin.

Sesustituyeelvalorencontradoenunaecuacin

parahallarelvalordelaotraincgnita.


230

Leccin 81

PREGUNTA INICIAL

Sistemas de ecuaciones IV

Un sistema est formado por las ecuaciones 4x 3y = 14 y x + y = 6, y otro por las ecua-ciones 4x 3y = 14 y 4x + 4y = 10. Qu relacin hay entre ambos?

1 Resuelve los problemas. Utiliza el mtodo que creas ms conveniente para resolver cada sistema.

a) En el sistema 2x + 3y = 4 3x 5y = 7,

por qu nmeros hay que multiplicar las ecuaciones para obtener los siguientes sistemas?

i) 6y + 9y = 12 ii) 10y + 15y = 20 6y 10y = 14 9y 15y = 21

b) Las balanzas estn en equilibrio y las pesas son de un kilogramo.

i) Si las frutas del mismo tipo pesan lo mismo, cunto pesa cada calabaza y cada meln?

Cada calabaza pesa y cada meln

c) Las dos balanzas siguientes estn en equilibrio.

Cuntos limones se necesitan para equili-brar la pia?

Se necesitan limones.

1 Kg1 Kg

1 Kg 1 Kg1 Kg

1 Kg1 Kg

1 Kg

Por3ypor2. Por5ypor3.

3kg 2kg

42

3


231



d) Raquel tiene cinco animales, entre perros y pjaros. Entre todos tienen 14 patas. Cuntos perros y cuntos pjaros hay?

Hay perros y pjaros.

e) Halla dos nmeros; su diferencia es 14 y el mayor es el triple que el menor.

Los nmeros son:

f) Si dos tornillos y cuatro tuercas pesan 17 g, y 5 tornillos y 3 tuercas, 32 g, cunto pesa cada tornillo y cada tuerca?

Cada tornillo pesa g

y cada tuerca, g

g) Los Garca viajarn a un remoto pas donde solo existen monedas de 9 soles y 7 so-les. Si en un comercio gastaran 55 soles, cuntas monedas deberan entregar para pagar el precio exacto?

Tendrn que pagar con de 7 soles y de 9 soles.

2 Compara tus respuestas y mtodos de solucin con los de tus compaeros. Comenten por qu eligieron cada mtodo para resolver los sistemas.

3 En tu cuaderno resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando primero el mtodo de igualacin y luego el mtodo de suma y resta.

2x + 3y = 135x y = 7

Qu mtodo result ms eficiente?

Elabora en tu cuaderno una explicacin en la que establezcas en qu caso es ms eficiente el mtodo de suma y resta.

4 En tu cuaderno resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando primero el mtodo de sustitucin y luego el mtodo de suma y resta.

2x + 3y = 47y = 5x 24

Qu mtodo result ms eficiente?

Elabora en tu cuaderno una explicacin en la que establezcas en qu caso es ms eficiente el mtodo de sustitucin.

5 Inventa un problema que pueda resolverse con un sistema de ecuaciones. Antalo en tu cuaderno.

6 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Resuelvan los sistemas de ecuaciones.

2 3

21y7

5.5

1.5

4 3

R.P.

R.P.


232

Leccin 82

PREGUNTA INICIAL

Grficas de sistemas de ecuaciones I

En un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, cada ecuacin se puede graficar en el plano cartesiano. Si graficas las dos ecuaciones del sistema, qu se obtiene?

1 Lleva a cabo lo que se pide.

2x y = 11 ecuacin 1 x y = 7 ecuacin 2

a) Despeja y en ambas ecuaciones del sistema.

ecuacin 1: ecuacin 2:

b) Como habrs observado, obtuviste expresiones de la forma y = mx + b. Escoge valo-res para x, calcula los correspondientes de y, y grafica las ecuaciones en el siguiente plano cartesiano. Prolonga los segmentos de recta de manera que localices el punto donde se cruzan.

Ecuacin 1 Ecuacin 2x y x y

1 2 3 4 5 6 7 8

6

5

4

3

2

1

6543218 7 6 5 4 3 2 1

0

7

8

78

Y

X

y=2x11 y=x7

2 7 0 7 5 1 7 0


233


c) Contesta en tu cuaderno.

i) Cules son las coordenadas del punto donde se cortan las rectas? ii) Resuelve el sistema de ecuaciones por el mtodo que te resulte ms eficiente. iii) Explica qu relacin hay entre las coordenadas del punto donde se intersecan los

segmentos de recta y las soluciones del sistema de ecuaciones.

2 Grafica el sistema de ecuaciones y escribe las coordenadas donde se cortan las rectas.

3x y = 24 ecuacin 1 x + y = 0 ecuacin 2

Coordenadas donde se cortan las rectas:

3 Resuelve el sistema de ecuaciones anterior con el mtodo de suma y resta, luego grafcalo y compralo con el punto de interseccin.

La solucin del sistema es:

4 Comenta en grupo cmo es posible determinar el punto de interseccin antes de graficar el sistema y obtengan conclusiones.

Representacin grfica de un sistema de ecuaciones 2 2 con coeficientes enteros. Reconocimiento del punto de interseccin de sus grficas como la solucin del sistema

1 2 3 4 5 6 7 8

6

5

4

3

2

1

654321

0

7

8

78

Y

X8 7 6 5 4 3 2 1

x=6,y=6

(6,6)


234

Leccin 83

PREGUNTA INICIAL

Grficas de sistemas de ecuaciones II

Cmo se puede saber cuntas soluciones tiene un sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas al ver su grfica?

1 Grafica el siguiente sistema de ecuaciones.

2x + y = 3 ecuacin 14x + 2y = 8 ecuacin 2

a) En tu cuaderno, resuelve el sistema de ecuaciones usando el mtodo de suma y resta; luego responde.

i) Por qu crees que no pudiste resolverlo?

b) Con ayuda de la grfica explica por qu el sistema de ecuaciones no tiene solucin.

Un sistema de ecuaciones que no tiene solucin es indeterminado.

1 2 3 4 5 6 7 8

6

5

4

3

2

1

6543218 7 6 5 4 3 2 1

0

7

8

78

Y

X


235


2 Grafica el siguiente sistema de ecuaciones.

6x + 2y = 18 ecuacin 1

3x + y = 9 ecuacin 2

a) En tu cuaderno, resuelve el sistema de ecuaciones usando el mtodo de igualacin, luego responde:

i) Por qu crees que no pudiste resolverlo?

b) Con ayuda de la grfica explica por qu el sistema tiene muchas soluciones.

3 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Obtengan conclusiones.

Representacin grfica de un sistema de ecuaciones 2 2 con coeficientes enteros. Reconocimiento del punto de interseccin de sus grficas como la solucin del sistema

Un sistema de dos ecuaciones lineales puede tener una solucin, ninguna o infinidad de soluciones.

1 2 3 4 5 6 7 8

6

5

4

3

2

1

654321

0

7

8

78

Y

X8 7 6 5 4 3 2 1


236

Leccin 84

PREGUNTA INICIAL

Simetra I

Qu significa que una figura sea simtrica a otra?

1 Efecta lo siguiente.

Necesitas una hoja de papel, comps, regla, transportador, un espejo rectangular, lpiz y un color rojo.

a) Dobla la hoja de papel a la mitad.

b) Traza un tringulo en una de las mitades y, con la punta del comps, haz orificios en sus vrtices, de manera que traspases las dos mitades de la hoja.

c) Desdobla la hoja. Observa que los orificios que hiciste son los vrtices de otro tringulo. Trzalo.

d) Marca de rojo el doblez de la hoja y coloca de canto el espejo, como se muestra. Comenta con tu grupo lo que observas.

e) Seala los vrtices de los tringulos, como se muestra en el dibujo.

f) Une con segmentos punteados los puntos simtricos. Marca con azul las lneas punteadas de una mitad de la hoja y con verde las de la otra mitad.

Los dos tringulos que trazaste son simtricos.La lnea roja que marcaste es el eje de simetra.

Observa

A, B y C se leen A prima,B prima y C prima, respectivamente.

Recuerda

Los vrtices de un tringulo son los puntos donde se unen los lados.

A A

B B

C C

A A

B BC C


237

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Figuras y cuerpos

Construccin de figuras simtricas respecto de un eje, anlisis y explicitacin de las propiedades que se conservan en figuras tales como: tringulos issceles y equilteros, rombos, cuadrados y rectngulos

Usando tu regla y transportador mide las distancias y los ngulos que se indican.

Para el tringulo ABC Para el tringulo ABC

Segmento Medida del segmentoABACBC

ngulo Medida del ngulo

ABC

BCA

CAB

Segmento Medida del segmentoABACBC

ngulo Medida del ngulo

ABC

BCA

CAB

a) Cmo son las medidas de los lados y de los ngulos del tringulo ABC respecto a las

del tringulo ABC? __________________________________________________

_____________________________________________________________________

Comparte tus resultados y comenta: usando su respuesta anterior se puede decir que los tringulos ABC y ABC son idnticos?3

En una hoja de papel efecta lo que se indica.

a) Dobla la hoja a la mitad, como en el inciso a) de la actividad 1. Dibuja un rectngulo en una de las mitades cuyas medidas sean 3 cm de ancho y 7 cm de largo.

b) Haz orificios en los vrtices del rectngulo como lo hiciste con el tringulo, de ma-nera que traspases las dos mitades de la hoja.

c) Puedes afirmar que, si unes los puntos sobre la otra mitad de la hoja, se formar un rectngulo cuyo ancho mide 3 cm, y 7cm su largo? Explica tu respuesta en tu cuaderno.

Une los puntos y verifica si se form un rectngulo con las medidas indicadas. Discu-te en grupo si esto pasa con cualquier figura geomtrica que se trace de esta forma. Comenten sus respuestas a la pregunta inicial.

2

R.T.Lasmedidasdelossegmentosylosngulos

correspondientessoniguales.

1.6

2.9

2.3

95

33

52

1.6

2.9

2.3

95

33

52


238

Leccin 85

PREGUNTA INICIAL

Cul es el simtrico de un punto?

1 Resuelve lo siguiente.

a) Las siguientes figuras se trazaron como en las actividades de la leccin anterior. Luego se uni el punto A con A mediante un segmento de recta punteado.

b) Une los puntos B con B, C con C y D con D con un segmento de recta punteado como se unieron los puntos A y A.

c) Mide la distancia sobre la lnea punteada de A a la interseccin del eje de simetra (recta roja) y de A a la interseccin del eje de simetra.

i) Cmo son esas distancias entre s?

ii) Crees que pase lo mismo para los puntos B y B, C y C, D y D? Mdelas y re-gistra tus resultados en el siguiente espacio.

d) Escribe tus conclusiones en el cuaderno sobre lo que observaste.

En figuras simtricas como las anteriores, el punto A se llama simtrico de A, el punto B, simtrico de B, y as sucesivamente.

Simetra II

AA

B

C

D

B

C

D

R.T.Sepretendequelosalumnosexpresenquelasdistanciasmedidassoniguales.

Soniguales.


239


3 Verifica que se cumpla la informacin anterior para estas figuras simtricas.

2 Las siguientes figuras son simtricas, el eje de simetra es el segmento rojo. El punto A es el simtrico de A, B es el simtrico de B y C es el simtrico de C.

En figuras simtricas la distancia de un punto al eje de simetra es igual a la distancia de su simtrico al mismo eje. La medida de ambas distancias se calcula sobre el seg-mento de recta que los une, ya que este segmento es perpendicular al eje de simetra.

a) Une con segmentos punteados los puntos A, B y C con sus simtricos.

b) Comprueba que la distancia de A al eje de simetra es la misma que la de su simtrico A al eje. Haz lo mismo con B y B, y con C y C. Registra las medidas en tu cuaderno.

c) Renete con un compaero para elaborar una explicacin de por qu el eje de sime-tra y el segmento que une A con su simtrico A son perpendiculares.

En grupo discute tus respuestas. Comenten la siguiente informacin.

Revisa en grupo tu respuesta a la pregunta inicial. Comenten si un punto es sim-trico o tiene simetra.


B

B

C

A

A

C

C

C

D

D

E

E

A

AB

B

R.P.


240

Leccin 86

PREGUNTA INICIALSimetra III

Qu propiedades deben cumplir dos figuras simtricas?

1 Las dos figuras son simtricas con respecto a la lnea roja.

a) Completa las tablas. Mide lo que se indica.

b) El segmento AB es el correspondiente del segmento AB. Cmo son sus medidas:

diferentes o iguales?

c) Verifica si esto sucede con los dems segmentos correspondientes. Anota tus resul-tados y conclusiones en tu cuaderno.

2 Traza la figura simtrica al siguiente tringulo.

Segmento Medida del segmentoABADBCCD

Segmento Medida del segmentoABADBCCD

a) Nombra los vrtices de ambas figuras y verifica si cada lado mide lo mismo que su correspondiente en la otra figura.

A

B

C

D

A

B

C

D

3.1cm 3.1cm

3.1cm 3.1cm

3.1cm 3.1cm

3.1cm 3.1cm

Soniguales.


241


Simetra III

Qu propiedades deben cumplir dos figuras simtricas?

Las dos figuras son simtricas con respecto a la lnea roja.

ngulo formado en el vrtice Medida del ngulo

ABCD

ngulo formado en el vrtice Medida del ngulo

ABCD

Nombra los vrtices de ambas figuras y verifica, para cada ngulo, si mide lo mis-mo que su correspondiente. Compara tus resultados con el resto del grupo, lean la siguiente informacin y comntenla. Revisen la pregunta de incicio de la leccin y comenten qu otras propiedades pueden aadir.

a) El ngulo formado en el vrtice A es correspondiente al ngulo formado en A.

i) Cmo son sus medidas, diferentes o iguales?

ii) Verifica si esto sucede con los dems ngulos correspondientes. Anota tus resul-tados en tu cuaderno.

3 Completa las tablas a partir de los rombos simtricos. Mide lo que se indica.

En figuras simtricas la medida de lados correspondientes, as como la de nguloscorrespondientes, es la misma.

4 Traza la figura simtrica al rectngulo.


C

D

A

B

A

A

B

C

D

B

C

D

126 54 126 54

126 54 126 54

A

B

C

D

Soniguales.


242

Leccin 87

PREGUNTA INICIALSimetra IVCmo es la figura simtrica de un rombo o de un rectngulo?

1 En cada caso, traza la reflexin respecto al segmento azul, como en el ejemplo.

2 Comenta con dos o tres compaeros cmo resolviste la actividad anterior. Redacten en sus cuadernos un procedimiento para localizar puntos simtricos respecto a un eje de simetra.

3 Traza la reflexin de los puntos A, B y C del tringulo respecto al segmento de recta rojo.

b) a)

c) d)

A

A P

M E

A

C

B

a) El tringulo ABC es un tringulo equiltero. Mide sus lados o sus ngulos para verificarlo.

b) Une los tres puntos que trazaste anteriormente. El tringulo que se forma es tambin un tringulo equiltero? Justifica tu respuesta:

P

M

B

AC

E

R.T.Sesequilteroporqueseconservanlasmedidasdelosngulos

ydelossegmentos.


243


a) Traza la reflexin de los puntos A, B, C y D. Une los puntos para obtener un cuadriltero simtrico a ABCD.

La figura ABCD es un trapecio issceles. El cuadriltero que trazaste es tambin un tra-pecio issceles? Justifica tu respuesta.

b) Traza la reflexin de los puntos A, B, C y D. Une los puntos para obtener un paralelogra-mo simtrico a ABCD.

La figura ABCD es un rombo. El cuadrilte-ro que trazaste es tambin un rombo? Justi-fica tu respuesta.

c) Traza la figura simtrica al rectngulo ABCD.

Explica por qu la figura que trazaste es un rectngulo con las mismas medidas.

Compara tus resultados con tus compaeros. Establezcan por qu una figura simtrica a un tringulo equiltero es tambin un tringulo equiltero. Sealen con qu otras figuras pasa esto. Analicen sus conclusiones con respecto a lo que respondieron en la pregunta inicial.

C

DA

B


4 Para cada una de las siguientes figuras efecta lo que se pide.

A

D

C

B

A

D

C

B

D

C

C

DB

D

C

A

B

B

A

R.T.S,porqueDAyBCsonparalelos,

entoncesDAyBCtambinloson;adems,puestoqueDB=CA,entoncesDB=CA.

R.T.S,porquelosladosdelafiguraque

resultadelareflexinsiguensiendoiguales.

R.T.Porquelosladosdelareflexintienen

lamismamedidaquelosdelafigura

original,tambinseconservanlosngulos.


244

Leccin 88

PREGUNTA INICIAL

Sectores circulares

El radio del crculo es 2 cm y el rea coloreada mide 9.42 cm2. Cul es la medida del ngulo marcado? Considera = 3.14.

1 Lee el problema y efecta lo que se pide.

Se quiere colocar un ruteador inalmbrico en una bodega con forma rectangular en la que se han instalado unas oficinas. El alcance del ruteador es de 48 m.

a) Cul es la superficie mxima de cobertura que puede abarcar? _______________

b) Si se coloca el ruteador sobre una de las paredes, cul es la superficie mxima de

cobertura que puede abarcar? ______________ Y en una esquina? ______________

c) Traza un ejemplo de cada rea de cobertura.

d) Indica la relacin entre las tres reas que calculaste. __________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

2 Efecta lo que se pide.

El rea de cobertura que trazaste cuando el ruteador est en una pared o en una esquina es un sector circular, que es la superficie del crculo delimitada por un ngulo central.

Hay una relacin entre la medida del ngulo central con el rea del sector circular que delimita. Para descubrirla, mide los ngulos centrales de los siguientes sectores circu-lares y completa la tabla.

i) ii) iii) iv)

v) vi) vii) viii)

7234.56m2

3617.28m2 1808.64m

2

R.T.Elreaqueabarcaen

unaesquinaeslamitaddelaqueabarcaenlaparedylacuartapartedelaque

abarcaenelcentro.


245

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Medida

Clculo de la medida de ngulos inscritos y centrales, as como de arcos, el rea de sectores circulares y de la corona

Crculo i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii)

ngulo central 90Parte coloreada

del crculo14

a) Si el radio de cada crculo midiera 3 cm, cul sera el rea de todo el crculo? (con-

sidera que = 3.14)

b) Completa la tabla.

Crculo i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii)rea coloreada

(cm2)

3 Discute con dos o tres compaeros un procedimiento para calcular el rea de un sector circular conociendo el radio y el ngulo central. Escrbanlo en sus cuadernos.

4 Observa que los sectores circulares de la actividad 2 determinan arcos de crculo sealados con una lnea gruesa roja. Encuentra la longitud de la lnea. Recuerda que el radio mide 3 cm y considera = 3.14. Aproxima a tres cifras decimales.

Crculo i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii)Longitud del arco (cm)

5 Calcula las reas coloreadas (A) y la longitud de los arcos rojos (L). El radio de los crculos mide 10 cm. Considera que = 3.14 y aproxima a tres cifras decimales.

a) b) c)

A = cm2 A = cm2 A = cm2

L = cm L = cm L = cm

6 Calcula el rea de la parte coloreada. El radio del crculo mide 5 cm. Considera = 3.14.

A = cm2

7 Revisa tu respuesta a la pregunta inicial con el grupo. Discutan cul es el procedimiento y la solucin correcta.

20 12038

60

4.33

180 270 120 150 230 160 290

28.26cm2

7.065 14.13 21.195 9.42 11.775 18.055 12.56 22.765

4.71 9.42 14.13 6.28 7.85 12.037 8.373 15.177

34.889 66.289 104.667

6.978 13.258 20.933

36.99

1

2

3

4

1

3

5

12

23

36

4

9

29

36


246

Leccin 89

PREGUNTA INICIAL

Trapecios y coronas circulares

Cul es el rea de la figura?Considera que = 3.14.

1 Resuelve el problema con un compaero. Consideren = 3.14.

Una pista de atletismo tiene las siguientes medidas en metros.

a) Cul es el permetro de la parte interior de la pista (marcada con rojo)?

b) Y el de la parte exterior de la pista (sealada con azul)?

c) Cul es el rea que ocupan los carriles de la pista?

d) Compara tus respuestas y estrategias de solucin con las de dos compaeros.

2 En pareja discute cul es el mtodo para calcular el rea de una corona circular si se conocen las longitudes de los radios de las circunferencias concntricas. Tambin discutan cmo calcular el rea y el permetro de un trapecio circular si conocen la longitud de los radios y el ngulo que forman. Anoten sus conclusiones en sus cuadernos.

Una corona circular es la superficie compren-dida entre dos circunferencias concntricas.

Un trapecio circular es una superficie limitada por dos radios y una corona circular.

10 cm

5 cm

84.399.76

9.76

36.50

398m

. 459.2928m

4183.588864m2


247

Eje: Forma, espacio y medidaTema: Medida

Clculo de la medida de ngulos inscritos y centrales, as como de arcos, el rea de sectores circulares y de la corona

3 Calcula el rea total de las zonas rojas en cada salvavidas. Considera = 3.14.

El radio de los salvavidas mide 5 dm y el del agujero 2.5 dm.

a) b)

A = dm2 A = dm2

4 Calcula el rea de cada figura. Las partes curvas son la mitad o la cuarta parte de una circunferencia.

a)

'

A = cm2

b)

A = m2

Compara tus respuestas de las actividades 3 y 4 con las de tus compaeros. Comen-ten si tuvieron que hacer algn trazo sobre las figuras para facilitar el clculo y qu frmulas utilizaron.

6 cm

3 cm

0.3 m

0.8 m

2.1 m

1 m

29.4375 23.55

12.36375

1.7394


Juegos y retos

248

Buscando espas

Buscando espas se juega en parejas. Cada persona necesita dos tableros como los que se ilustran a continuacin.

Tablero 1 Tablero 2

Reglas

1. Cada jugador marca tres puntos en el plano ubicados sobre una misma lnea recta, sobre los vrtices de la cuadrcula del tablero 1; cada punto representa un espa. La lnea sobre la que se encuentran los espas debe abarcar todo el plano; repre-senta el canal de comunicacin entre los espas. Aqu hay dos ejemplos.

2. Se sortea quin ser el jugador 1.

X X

Y Y

4

3

2

1

4 3 2 1 1 2 3 4

1

2

3

4

0

4

3

2

1

4 3 2 1 1 2 3 4

1

2

3

4

0

Y Y

X X


249

3. El jugador 1 intenta adivinar dnde estn los espas de su contrincante, mencionan-do una coordenada al jugador 2, por ejemplo: (3, 4). Solo son vlidas las coordenadas con nmeros enteros.

4. El jugador 2 revisa su tablero 1. Si el jugador 1 atina a un espa, el jugador 2 dice acertaste; si solo acierta una coordenada de alguno de los espas, dice casi; si acierta a la lnea, menciona lnea; y, en cualquier otro caso, fallaste.

5. Cuando un jugador atina a un espa o a la lnea, tiene derecho a seguir tirando. Si falla, cede el turno a su contrincante.

6. Los jugadores deben indicar los resultados de sus tiros en el tablero 2, por ejem-plo, con taches cuando fallen y con crculos si aciertan a un espa o a la lnea.

7. Gana quien logre tres aciertos primero, es decir, quien haga decir acertaste tres veces a su contrincante.

Recuerda que un punto en el plano cartesiano se denota con una pareja de valores (x, y) que se llaman coordenadas.

Para ubicar un punto de coordenadas (x, y) en el plano, el valor x se localiza en el eje x y el valor y, en el eje y. El punto es la interseccin de la lnea vertical imaginaria que pasa por el eje x y la horizontal que pasa por el y. Por ejemplo:

El punto de coordenadas (2, 3) se localiza as:

El punto de coordenadas (0, 3) est sobre el eje y.

Para ganar el juego, observa que algunas lneas tienen muchos puntos, cuyas coordena-das son enteras. Para ubicar a tus espas puedes buscar rectas que tengan pocos puntos con coordenadas enteras, pero por lo menos debe haber tres.

PISTAS Y ESTRATEGIAS

4

3

2

1

4 3 2 1 1 2 3 41

2

3

4

0

Y

X

4

3

2

1

4 3 2 1 1 2 3 41

2

3

4

0

Y

X


250

Leccin 90

PREGUNTA INICIAL

Grficas de relaciones lineales I

Qu diferencia hay entre la grfica de la funcin y = 2x, y la grfica de la funcin y = 2x?

1 Observa las grficas y haz lo que se pide.

a) Un automvil que viaja por una carretera plana a 50 m sobre el nivel del mar (snm) empieza a subir por una pendiente hacia una casa ubicada a 250 m snm. Traza una l-nea recta que una los dos puntos rojos. Contesta de acuerdo con la grfica resultante.

i) A qu altura sobre el nivel del mar estar el automvil tras avanzar horizontalmente 200 m?

ii) Escribe cuntos metros debe recorrer el automvil en forma horizontal para llegar a la casa.

iii) Completa la tabla.

x 0 200 400 600 800

y

iv) Qu pasa con los valores de y si aumentan los de x?

v) Cuntos metros sube el automvil por cada 200 m que avanza horizontalmente?

vi) Y por cada 100 m?

vii) Escribe la ecuacin que relaciona el avance horizontal con el vertical, es decir, que relaciona los valores de x con los de y.

y =

viii) La ecuacin que anotaste es de la forma y = mx + b. Anota el valor de m de la

ecuacin anterior.

La grfica de una funcin de la forma y = mx + b es una lnea recta. A m se le llama pendiente de la recta. Esta funcin es creciente si la pendiente es un nmero positi-vo. En este caso, cuando aumenta el valor de x, tambin aumenta su correspondiente valor de y.

300

200

100

100 200 300 400 500 600 700 800

Avance horizontal (m)

Ava

nce

vertical (m

)

Y

X

A100m

Deberecorrer800m

50 100 150 200 250

R.T.Tambinaumentan.

R.T.Sube50m

R.T.Sube25m

1

4x+50

251

Eje: Sentido numrico y pensamiento algebraicoTema: Proporcionalidad y funciones

Lectura y construccin de grficas de funciones lineales asociadas a diversos fenmenos

b) Un ciclista se encuentra a 250 m snm y empieza a descender por una pen-diente que llega a 0 m snm. Traza una lnea que una los puntos rojos. Contesta de acuerdo con la grfica.

i) Escribe a qu altura sobre el nivel del mar estar el ciclista tras avanzar 150 m horizontalmente.

ii) Escribe cuntos metros debe avanzar el ciclista en forma horizontal para llegar

al nivel del mar.

iii) Completa la tabla.

x 0 150 300 450 600 750

y

iv) Cuntos metros baja el ciclista por cada 150 m que recorre en forma horizon-

tal? Y por cada 100 m? v) Escribe la ecuacin que relaciona el avance horizontal con el vertical.

y =

vi) Anota el valor de m de la ecuacin anterior.

2 Contesta.

a) Si el nmero de lados de un polgono aumenta, qu sucede con la suma de sus

ngulos interiores? La funcin que relaciona el nmero de

lados y la suma de los ngulos interiores es creciente o decreciente?

b) La funcin T = 100 0.001 h, que relaciona la altura sobre el nivel del mar con el

punto de ebullicin, es creciente o decreciente?

3 Compara tus respuestas de esta leccin con las de tus compaeros.

4 Revisa tu respuesta a la pregunta inicial y determina si las funciones son crecientes o decrecientes.

Una funcin de la forma y = mx + b es decreciente si la pendiente es un nmero negati-vo. En este caso, cuando aumenta el valor de x, el valor correspondiente de y disminuye.

300

200

100

100 200 300 400 500 600 700 800

Avance horizontal (m)

Avance

vertical (m)

Y

X

A200msnm

Debeavanzar750m

250 200 150 100 50 0

Baja50m Baja33.333m

1

3x+250

1

3

Tambinaumenta.

Escreciente.

Esdecreciente.


252

Leccin 91

PREGUNTA INICIAL

Grficas de relaciones lineales II

Cuntos puntos necesitas para graficar una funcin de la forma y = mx + b?

1 Lee la situacin y efecta lo que se pide.

En un depsito de agua hay 240 litros, pero, por una fuga, se estn perdiendo 0.25 litros cada minuto.

a) Escribe algebraicamente la funcin que relaciona el nmero de minutos transcurri-dos con la cantidad de litros de agua en el depsito.

b) Elabora la grfica de la funcin en el siguiente espacio.

c) La funcin es creciente o decreciente?

2 Encuentra dos parejas de valores de la funcin y anota si es creciente o decreciente.

a) y = 12x 2 b) y =5x+ 16

x x

y y

La funcin es La funcin es

80 160 560240 640320 720400 800480 880 960

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

litros

minutos

Esdecreciente.

0 2 0 1

2 1

creciente. creciente.

y2400.25x

1

6

31

6


253



3 Trabaja con un compaero.

a) Observen el valor de m en las funciones de la pgina anterior y en las de la leccin pasada. Anoten la relacin entre m y el que la funcin sea creciente o decreciente.

4 Grafica y contesta.

a) Elabora la grfica que relaciona grados centgrados con Fahrenheit. Recuerda que 0 C equivale a 32 F y 0 F, aproximadamente a 18 C.

i) A qu temperatura en grados Fahrenheit corresponden 10 C?

ii) Y 5 C?

iii) A qu temperatura en grados centgrados corresponden 15 F?

iv) Si la temperatura en una regin de Estados Unidos de Amrica es 40 F, hace

mucho calor?


F

C40 30 20 10 10 200

50

40

30

20

10

10

20

30

Simespositiva,lafuncinescreciente;siesnegativaesdecreciente.

R.T.Correspondena14F

R.T.Correspondena41F

R.T.Correspondena9.4444C

R.T.No.Hacefroporquelatemperaturaesunpocomayor

que4C.


254

Leccin 92

PREGUNTA INICIAL

Grficas de relaciones lineales III

Qu diferencia hay entre la grfica de la funcin y = 2x, y la grfica de la funcin y = 2x + 1?

1 Lee las situaciones y contesta.

a) La tabla de la derecha muestra algunos registros del grado de alcohol en la sangre de una persona que ingiri cinco cervezas con alimento pero ya dej de beber. Traza la grfica.

i) De acuerdo con la grfica, el nivel de alcohol va creciendo o disminuyendo con-

forme transcurre el tiempo?

ii) Aproximadamente cuntos grados de alcohol registraba esta persona en el mo-

mento en que dej de beber?

iii) En la Ciudad de Mxico es delito conducir un vehculo con 0.40 grados de alcohol.

Cunto debe esperar aproximadamente la persona antes de manejar?

iv) Aproximadamente qu nivel de alcohol tendra esta persona en la sangre media

hora antes de que llegue a cero?

v) Si la funcin que corresponde a este fenmeno es de la forma y = mx + b, el valor

de m es positivo o negativo? Por qu?

Cul es el valor de b?

Tiempo en horas

Grados de alcohol

1 0.904 0.457 0.00

1 2 3 4 5 6 7

1

0.8

0.6

0.4

0.2

Horas

Grado

s de

alcoh

ol

0

Vadisminuyendo.

1.05gradosdealcohol.

Aproximadamente4horas,24minutos.

Tendra0.075gradosdealcohol.

Negativo. Porquela

funcinesdecreciente.

b=1.05


255



b) Se ha visto en cierta especie de serpientes de Veracruz que la relacin entre su lon-gitud y la de su cola es lineal. En la tabla se presentan, en centmetros, dos de sus especmenes. Traza la grfica.

Largo de la cola (cm)

Largo total (cm)

6 45.514 105

i) Cul es la longitud de una serpiente cuya cola mide 15 cm?

ii) Y la de una cuya cola mide 1 cm?

iii) Cuando nacen, estas serpientes miden aproximadamente 8 cm. Cul es el largo

de la cola de una serpiente recin nacida?

iv) Existe una serpiente cuya cola mida 0.5 cm? Por qu?

c) Dos compaas de telefona celu-lar, A y B, cobran una renta men-sual y una tarifa por minuto en las llamadas. Enseguida se grafi-can los cobros de cada compaa.

i) Cul es la renta mensual de la compaa A?

ii) Y de la compaa B?

iii) Discute con tus compaeros en qu situaciones conviene contratar cada una. Escriban sus conclusiones en sus cuadernos.

2 Comenta tu respuesta a la pregunta inicial.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

130120110100908070605040302010

Largo de la cola (cm)

Relacin entre largo de la cola y largo totalY

X

Larg

o total (cm

)

Costo ($)

125

100

75

50

25

0 Minutos

A

B

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

Tarifas telefnicas de A y B

Es112.4375cm

Es8.3125cm

Es0.958cm

No. R.T.Porquela

mnimalongitudes0.958cm

$25.00

$50.00


256

Leccin 93

PREGUNTA INICIAL

Comportamiento de grficas lineales I

Qu diferencia hay entre la grfica de la funcin y = 2x + 3, y la grfica de la funcin y = 4x + 3?


Un parque donde hay 100 rboles se desea reforestar sembrando 20 diarios.

a) Completa la tabla.

Tiempo (das) 1 2 3 4 5 6 7rboles 120

b) Escribe una funcin que permita saber el nmero de rboles que hay en el parque cada da. Denota con y el nmero de rboles que hay, y con x el nmero de das trans-

curridos a partir del momento en que inicia la reforestacin.

c) Grafica la ecuacin anterior en el plano cartesiano.

d) Supn que en el parque haba originalmente 140 rboles.

Anota la ecuacin correspondiente.

e) Grafica la ecuacin anterior en el plano cartesiano.

f) Supn que en el parque haba originalmente cuatro rbo-

les. Anota la ecuacin correspondiente.

g) Grafica la ecuacin anterior en el plano cartesiano.

h) Compara tus ecuaciones y grficas con las de tus compae-ros. Corrijan si es necesario.

i) Escribe qu tienen en comn y en qu se diferencian los segmentos de recta que

trazaste.

j) Anota qu tienen en comn y en qu se diferencian las ecuaciones que anotaste.

k) Si cambia el nmero de rboles que se siembran por da, la recta sera paralela a la

primera? Por qu?

Las ecuaciones que anotaste tienen la forma y = mx + b y su grfica es una recta en el plano cartesiano.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Das

Can

tidad

de rbo

les

300280260240220200

6080

100120140160180

4020

140 160 180 200 220 240

y=20x+100

y=20x+140

y=20x+4

R.T.Tienenlamismainclinacin,perovarasuposicin.

R.T.Elcoeficientedexesigual,peroeltrminoindependienteesdistinto.

No. R.T.Porquelarazndecambiovariara.


257


Anlisis de los efectos al cambiar los parmetros de la funcin y = mx + b, en la grfica correspondiente

2 Grafica las funciones y completa las tablas. Despus responde.

a) y = 2x + 1

x

y

b) y = 2x 4

x

y

c) y = 2x 1

x

y

d) y = 2x 34

x

y

e) Qu tienen en comn las ecuaciones?

f) Qu valor vara?

g) Qu tienen en comn las rectas del plano cartesiano?

h) En qu se diferencian?

i) Escribe otra ecuacin cuya grfica sea una lnea similar a las anteriores y trzala en

el plano cartesiano.


La grfica de una ecuacin de la forma y = mx + b es una lnea recta y m determina su inclinacin. El valor de m es la pendiente de la recta. Las rectas que tienen la misma pendiente son paralelas.

65

43

2

1

654321

87654321 1 2 3 4 5 6 7 80

Y

X

0 1

1 1

0 4

2 0

0 1

1 1

0 34

1

2

14

R.TElcoeficientedexes2.

R.T.Eltrminoindependiente.

R.T.Sonparalelas.

R.T.CruzanelejeYendistintospuntos.

y=2x+5


258

Leccin 94

PREGUNTA INICIAL

Comportamiento de grficas lineales II

Qu diferencia hay entre la grfica de la funcin y = 2x + 5, y la grfica de la funciny = 2x 1?


En un experimento la temperatura inicial de una sustancia, 20 C, aumenta 5 C cada minuto.

a) Completa la tabla.

Tiempo (minutos) 0 1 2 3 4 5 6Temperatura (C) 20

b) Escribe una ecuacin que permita obtener la temperatura cada minuto. Denota con

x el tiempo y con y la temperatura.

c) Grafica la ecuacin anterior en el plano cartesiano.

d) Supn que la temperatura aumenta 10 C cada mi-nuto. Anota la ecuacin correspondiente.

e) Grafica la ecuacin anterior en el plano cartesiano de la izquierda.

f) Supn que la temperatura disminuye 10 C cada minuto. Anota la ecuacin correspondiente.

g) Grafica la ecuacin anterior en el plano cartesiano de la izquierda.

h) Supn que la temperatura disminuye 5 C cada mi-nuto. Anota la ecuacin correspondiente y grafcala.

i) Cmo son las rectas que trazaste?

j) Anota qu tienen en comn y en qu se diferencian las ecuaciones que anotaste.

k) Si la temperatura inicial de la sustancia fuera 10 C y aumentara 5 C cada minuto,

cmo sera la grfica?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Tiempo(minutos)

Tempe

ratura (C)

9080706050

2010

010203040

3040

25 30 35 40 45 50

y=5x+20

y=10x+20

y=10x+20

y=5x+20

R.T.Noparalelasypasanporelmismopunto.

R.T.Tienenelmismotrminoindependiente,peroelcoeficientedexvara.

R.T.Pasaraporelpunto(0,10)yseraunrecta

paralelaaladelaecuaciny=5x+20.


259


Anlisis de los efectos al cambiar los parmetros de la funcin y = mx + b, en la grfica correspondiente

2 Grafica las funciones en el plano cartesiano de abajo y completa las tablas. Despus contesta.

a) y = x + 2

x

y

b) y = x + 2

x

y

c) y = 12x + 2

x

y

d) y = 2x + 2

x

y

e) Qu tienen en comn las ecuaciones?

f) Qu valor cambia?

g) Qu tienen en comn las rectas que trazaste?

h) Cul es la diferencia entre las rectas?

i) Escribe otra ecuacin cuya grfica sea similar a las anteriores y trzala en el plano

cartesiano.

3 Encuentra en las siguientes funciones el valor de y cuando x es 0.

a) y = 2x + 8 si x = 0, y = b) y = 3x 2 si x = 0, y =

c) y = x + 2 si x = 0, y = d) y = 4x 5 Si x = 0, y =


1 2 3 4 5 6 7 8

6

5

43

2

1

654321

87654321 0

7

8

78

0 2

2 0

0 2

2 0

0 2

4 0

0 2

1 0

R.T.Eltrminoindependiente.

R.T.Elcoeficientedex.

R.T.Pasanporelmismo

punto(0,2).

R.T.Lainclinacin.

y=3x+2

8 2

2 5


260

Leccin 95

PREGUNTA INICIAL

Grficas de probabilidad I

Si se lanzan 20 veces dos dados, cuntas veces se espera que la suma de los puntos sea 2?

1 Efecta lo que se indica.

Se lanzan dos dados de distinto color y se observa la suma de los puntos. Completa la tabla. Puedes usar calculadora; aproximen hasta tres dcimos.

Suma de los puntos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nmero de formas de obtener la suma 1 2

Probabilidad de obtener esa suma

118

Compara tus resultados con los de tus compaeros y, con ayuda del profesor, deter-mina si son correctos. Despus expresen la probabilidad con nmeros decimales.

2 Completa la grfica poligonal de probabilidad con los resultados que obtuviste.

a) Qu suma tiene mayor probabilidad de salir? _______________________________

b) Qu sumas tienen la misma probabilidad de salir que 3? _________________________

Compara tu grfica con las de tu grupo. Anoten sus conclusiones en sus cuadernos.

3 Trabaja en equipo. Lancen 50 veces dos dados y registren sus resultados en la siguiente tabla.

Suma de puntos

Proba

bilid

ad

0.05

0.1

2 63 7 104 8 115 9 12

0.15

0.2

0.25

3 4 5 6 5 4 3 2 1

1

36

1

12

1

9

5

36

1

6

5

36

1

9

1

12

1

18

1

36

Lasuma7.

Solo11.


261

Eje: Manejo de la informacinTema: Nociones de probabilidad

Comparacin de las grficas de dos distribuciones (frecuencial y terica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio


Nmero de veces obtenido

Probabilidad frecuencial



Probabilidad frecuencial

a) Qu suma tuvo una mayor probabilidad frecuencial? ___________________

b) Hay alguna suma que tenga la misma probabilidad frecuencial que 4? ___________

4 Elabora, en grupo, una grfica poligonal con los resultados obtenidos.

a) Comparen la grfica anterior con la que completaron en la actividad 2. En qu se

parecen y en qu son distintas? Expliquen su respuesta. _______________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

b) Comparen sus resultados con el resto del grupo y, con ayuda del profesor, regstren- los en la siguiente tabla.

c) Elaboren una grfica en el pizarrn con los datos de la tabla anterior y comprenla con la de la actividad 2. Comenten en grupo sus respuestas a la pregunta inicial.

Suma de puntos

Proba

bilid

ad frec

uenc

ial

0.05

0.1

2 63 7 104 8 115 9 12

0.15

0.2

0.25

R.P.

R.P.

R.P.

R.P.

R.P.

R.P.


262

Leccin 96

PREGUNTA INICIAL

Grficas de probabilidad II

Qu grfica es la ms representativa de una situacin de probabilidad: la grfica de probabilidad clsica o la grfica de probabilidad frecuencial?

1 En equipo, considera el experimento aleatorio que se presenta. Efecten lo que se indica.

En una bolsa no transparente se colocan quince tarjetas con los siguientes nmeros.

a) Consideren los siguientes eventos que resultan de sacar una tarjeta al azar.

E1: Se obtiene un nmero par E3: Se obtiene un nmero mayor que 100 E2: Se obtiene un nmero impar E4: Se obtiene un nmero menor que 100

b) Completen la tabla para calcular el nmero de casos favorables de cada uno de los resultados. Para calcular la probabilidad de cada evento, dividan el nmero de casos favorables del evento entre el nmero de resultados posibles (15).

c) Qu evento es el ms probable?__________________________________________

d) Qu evento es el menos probable?_________________________________________

e) En el siguiente plano traza la grfica de la probabilidad frecuencial. Antes de que la grafiques contesta lo siguiente.

i) Qu significado tiene en la grfica el evento ms probable? __________________

___________________________________________________________________

ii) Qu significa en la grfica el evento menos probable? _____________________

_________________________________________________________________

Evento E1 E2 E3 E4

Casos favorables del evento

Probabilidad clsica

10 5 5 10

2

3

1

3

1

3

2

3

LoseventosE1yE4.

LoseventosE2yE3.

R.T.Elpuntoque

lecorrespondeseencuentramsarribaquelosdems.

R.T.Elpuntoquele

correspondeseencuentramsabajoquelosdems.


263

Eje: Manejo de la informacinTema: Nociones de probabilidad

La probabilidad frecuencial y la clsica de un evento son ms parecidas mientras ms veces se repite el experimento.

a) Qu grfica representa la probabilidad clsica y cul representa la probabilidad

frecuencial? _____________________________________________________________b) Explica en tu cuaderno cmo determinaste tu respuesta anterior.

f) Recorten papeles y numrenlos con los nmeros de las tarjetas. Col-quenlos en una bolsa y efecten el experimento 50 veces; registren los resultados en la siguiente tabla. Tengan en cuenta que un mismo n-mero puede ser un resultado favo-rable para dos eventos diferentes. Por ejemplo, si sale el papel con el nmero 500 el resultado es favora-ble para los eventos 1 y 3.

Resultado R1 R2 R3 R4


Frecuencia relativa

Proba

bilid

ad frec

uenc

ial

g) En el plano del inciso e), grafiquen los resultados anteriores. Comparen sus resulta-dos y anoten sus conclusiones en sus cuadernos.

2 En el siguiente plano se graficaron la probabilidad clsica y frecuencial (se sacaron 100 pelotas para calcular esta probabilidad) del experimento de extraer de una bolsa una pelota y observar su color. En la bolsa hay 20 pelotas: cinco son rojas, cuatro son azules, ocho son verdes y tres son negras.

3 Comenta en grupo tu respuesta a la pregunta inicial.Comparacin de las grficas de dos distribuciones (frecuencial y terica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio

R.P.

R.P.

Laazulrepresentalaprobabiloidadclsicaylaroja,lafrecuencial.


264

TIC

Sistemas de ecuaciones en la hoja de clculo

Para hacer la grfica de un sistema de ecuaciones se puede utilizar una hoja de clculo.

Supongamos que queremos graficar las rectas y = 12x + 2 y y = 2x + 1.

a) El procedimiento es: abrir una hoja de clculo y poner el nombre de las rectas y de las lite-rales: escribir Recta A en la celda A1; Recta B, en la celda D1; x, en las celdas A2 y D2; y y, en las celdas B2 y E2.

b) Despus, dar el valor a cada una de las litera-les: escribir 4 en las celdas A3 y D3; en las celdas A4 y D4, la frmula =A3+1 y =D3+1, respectivamente para los valores de x. Para los valores de y, escribir en las celdas; B3 la frmula =(A3/2)+2 y en E3, =(D3*2)+1. Para completar los valores de ambas literales, se-leccionar las celdas A4: A11, B3:B11, D4:D11, y E3:E11, y dar clic en el men Edicin / Relle-nar / Hacia abajo. Observa que no tuvimos que hacer este procedimiento con cada columna.

c) Para trazar las grficas hay que seleccionar las celdas A1:B11 y dar clic en el men Insertar / Grfico, con lo que aparecer el asistente para grficos. En el paso 1 de 4 selecciona el tipo de grfico XY (Dispersin) y un subtipo que no contenga marcado-res. Da clic en Siguiente.

d) En el paso 2 de 4 selecciona la pestaa Serie y da un clic en el botn Agregar. En el campo Nombre escribe =Hoja1!$D$1; en el campo Valores de X, =Hoja1!$D$3:$D$11; y el cam-po Valores de Y, =Hoja1!$E$3:$E$11. Da clic en Finalizar.

En este ejemplo se us una versin particular de una de las aplicaciones de hoja de clculo. En otras versiones o en otras aplicaciones se pueden efec-tuar las mismas funciones pero posiblemente los pasos varen un poco. Si ests en ese caso, pide ayu-da a tu profesor para que investigues cmo hacerlo.

Elige un sistema de ecuaciones de este libro y grafcalo utilizando una hoja de clculo.


265

Matemticas para la vida

Resuelve lo siguiente junto con un compaero.

1. En una fbrica de ropa compran 57 000 botones al mes a $0.35 cada uno. Uno de los gerentes sugiere comprar una mquina que cuesta $50 000.00 y permitir fabricar cada botn a $0.10, pero habr que pagar $9 000.00 al mes por concepto de gasto de energa, operacin y manteni-miento de la mquina.

a) Expliquen por qu la expresin c = 0.35 57 000x sirve para calcular cunto se ha gastado en botones comprados mes con mes.

b) Anoten una expresin para calcular cunto se gastara para fabricar los botones mes con mes. c) Usando sus ecuaciones, determinen en qu mes el ahorro por fabricar botones compensa el pre-

cio de la mquina.

La produccin es la actividad econmica que aporta valor agregado por creacin y suministro de bienes y servicios, es decir, es cualquier utilizacin de recursos que permita transformar uno o ms bienes en otro u otros. Los bienes pueden cambiar en sus caractersticas o en su ubicacin. Por ejemplo, produccin es transformar fresas en mermelada, pero tambin es transportar la mer-melada de Guanajuato al Distrito Federal. El proceso de produccin muchas veces se vale de las matemticas para producir ms con menos y as obtener mayores ganancias.

La produccin


266

Evaluacin

Subraya la respuesta correcta.

1 Cul es la solucin del sistema x + y = 5

2x 3y = 5?

a) x = 2 y y = 3 b) x = 2 y y = 5 c) x = 7 y y = 2 d) x = 7 y y = 2

2 El valor de una botella de vidrio y su contenido es de $17.00. Si la botella vale $8.50 menos que su contenido, cul es el valor de la botella?

a) $4.25 b) $4.50 c) $8.50 d) 12.75

3 En un cine se venden boletos para adulto en $30.00 y para nio, en $20.00. Un da se vendieron 42 boletos y se recaudaron $1 010.00. Cuntos boletos de cada tipo se vendieron?

Qu sistema de ecuaciones sirve para resolver el problema?

a) 30x + 20y = 42 b) 30x + 20y = 1 010 x + y = 1 010 x + y = 42

c) 20x + 30y = 42 d) 20x + 30y = 42 x + y = 1 010 x + y = 42

4 Dnde est graficado un sistema de ecuaciones lineales con una sola solucin?

a) b) c) d)

5 Cul es un par de figuras simtricas?

a) b) c) d)


267

6 Cul es el rea de la figura? Considera 3.14

a) 6.29 cm2 b) 9.42 cm2 c) 18.84 cm2 d) 28.26 cm2

7 De qu color es la recta cuya ecuacin es y = x + 2?

a) amarilla

b) azul

c) verde

d) rosa

8 De qu color es la recta cuya ecuacin es y = 3x + 1?

a) azul b) verde

c) amarilla d) rosa

9 De qu color es la recta con la ecuacin y = 12x + 2?

a) azul b) verde

c) amarilla d) rosa

10 La grfica muestra la probabilidad terica de obtener nmero par al lanzar un dado, y la probabilidad frecuencial obtenida con 20 lanzamientos. Qu afirmacin es falsa?

a) En total, se obtuvieron ms nmeros pares de lo esperado.

b) Salieron ms nmeros impares que pares.c) En los primeros lanzamientos salieron pocos

nmeros impares.d) Al final, la probabilidad frecuencial result ms

pequea que la terica.

3 cm120

y

x2 44 2

2

4

4

2

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

02 4 6 8 10 12 14 16 18 20

FrecuencialTerica

Prob

abilida

d

Lanzamientos


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