Sistemas de control 67-22 Versión 2003

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Tema Análisis de Respuesta en Frecuencia Sub - tema Diagramas Logarítmicos, Diagramas de Bode Volver

La respuesta de un sistema, en estado estacionario, ante una entrada sinusoidal se la conoce como respuesta en frecuencia. Interesa conocer la respuesta ante una entrada sinusoidal ya que una señal real periódica será en general una poliarmónica, la que a su vez se podrá descomponer en series de senos y cosenos donde se tendrá en cuenta las funciones pares o impares, análisis de Fourier mediante, luego si el sistema es lineal se analizarán las sinusoides por separado. Sea la siguiente entrada sinusoidal y su correspondiente transformada de Laplace:

sistema) del no( señal la de frecuencia

)s(Xs

X )tsen(X)t(x 22L

=ω

=ω+

⋅ω→⋅ω⋅=

la salida tendrá una forma como la que sigue:

fase de ángulo)tsen(Y)t(y

=ϕϕ+⋅ω⋅=

Se define que para un sistema como el indicado la transferencia sinusoidal se obtiene cuando se reemplaza “s” por “jω”, lo que equivaldría a decir que la transferencia sinusoidal tiene en cuenta solo la parte imaginaria de s, o que toma un imaginario puro.

(9) jYY

)j(X)()j(G

)s(X)s()s(G

ωω

=ω⇔=

X(s) Y(s)G

Analizando la expresión (9), vemos que G(jω) es un número complejo y como tal posee módulo y argumento. (Ver deducciones al final)

] ] ]

] [ ][ ]

] entrada.y salida de señales las entre desfase de ángulo)(

)(Re)(Im)(

)()()(

entrada.y salida de amplitudes las entrerelación )(

)()()( )()(

)(

=⋅

⋅⋅

=⋅

⋅−⋅=⋅

=⋅

⋅⋅⋅=⋅⇒⋅

⋅=⋅

ω

ωω

ω

ωωω

ω

ωωωωω

ω

jG

jGjGarctgjG

jXjYjG

jG

jXjGjYjXjY

jG

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Por lo tanto conociendo la transferencia sinusoidal del sistema puedo saber como será la amplitud de la salida y el ángulo de desfase, la frecuencia se mantiene constante

Resumiendo, el análisis que realizaremos presupone :

Régimen permanente.

Entrada sinusoidal.

La salida mantiene la frecuencia pero no la amplitud ni la fase ( Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales).

Existe G(jω).

La respuesta en frecuencia nos brinda información indirecta acerca de la respuesta transitoria, además existe una relación con el “tipo” de sistema siendo posible calcular los coeficientes de error estático, de velocidad y aceleración (que a su vez describen el comportamiento de los distintos ”tipos” de sistemas).

La respuesta en frecuencia se puede presentar en variadas formas, entre ellas se destaca la de los gráficos logaritmicos o de bode:.

I. )j(Glog20 : sea o decibeles,en )j(G ω⋅ω .

II. .directamente en ángulo ])j(G ω

Ambos en función de ω en escala logarítmica ( o bien del log (ω/ωn))

Para trazar los diagramas de Bode se analizan ciertos factores, luego se trata de descomponer a una transferencia cualquiera G(jω) en base a estos factores lo que simplifica la construcción.

Los factores a analizar son:

(a) k; ganancia.

(b) (j.ω)± 1; (+) derivativo, (-) integral.

(c) (1 + j.ω.T)± 1 ; de primer orden.

(d) 12

nj

nj21

±

ωω

⋅+

ωω

⋅⋅ζ⋅+ ; de segundo orden

Al analizar éstos factores, lo que se buscará es representar gráficamente las asíntotas de la curva, ésta es algo más difícil de evaluar en forma exacta, de todas formas las asíntotas nos brindarán la información buscada con suficiente exactitud. Al final resolveremos un ejemplo para aclarar la mecánica con que se abordan estos problemas.

Así mismo se recomienda el uso de programas tales como el MATLAB para la realización del trazado de las asíntotas o bien del diagrama, aquí indicamos las instrucciones para hacer el diagrama de magnitud y fase de un primer orden con constante de tiempo 10 en Matlab.

num=[1]; den=[0.1,1];

bode(num,den);

1,01

1)(⋅⋅+

=⋅ω

ωj

jG

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Ganancia k. Si la transferencia es G(s) = k, la correspondiente transferencia sinusoidal será:

0)j(G 1k

0)j(G 1k :sí

decibeles.en , )klog(20)j(G0k ; k)j(G

dB

dB

dB

<ω⋅⇒<

>ω⋅⇒>

⋅=ω⋅

>=ω⋅

)klog(20)G(j sidB

⋅=ω⋅=ρ ; para algún valor definido de “k” se tiene:

Factores integral y derivativo

Integral (jω)-1.

La transferencia es G(j.ω) = (j.ω)-1.

ω⋅−=ω⋅⋅=ω⋅ − log20)j(Glog20)j(G 1dB

(10)

Sí ω⋅−=

ω⋅=ω⋅=ω⋅ − 1j

j1)j()j(G 1 ; el argumento es : G (11) ] ω∀−=ω⋅ , º90)j(

Como lo que se representa es el logaritmo de la frecuencia ω conviene analizar por décadas. ω

dB)j(G ω⋅

1/10 20 1 0 10 -20 100 -40

Disminuye 20 dB por década.

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Derivativo (j.ω)+1.

|G(jω)|dB

log(ω)

log(ω)

G(jω)]

1/10 1 10 100

1/10 1 10 100

20

0

-20

0º

-90º

Realizando un análisis similar se llega a:

décadapor decibeles 20 sube ; )log(20)j(GdB

ω⋅=ω⋅

Se puede generalizar lo anterior de la siguiente manera:

|G(jω)|dB

log(ω)

log(ω)

G(jω)]

1/10 1 10 100

1/10 1 10 100

20

0

180º

90º

40

Factor Pendiente Argumento

(j.ω) - n - 20 . n [dB / década] - 90º . n [∀ω]

(j.ω) + n + 20 . n [dB / década] + 90º . n [∀ω]

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Factores de primer orden (1 + j.ω.T)±1.

Si tengo, 22 T1

1)j(G Tj1

1)j(⋅ω+

=ω⋅⇒⋅ω⋅+

=ω⋅G

( )

( )22dB

21

22

22dB

T1log220)j(G

T1log20T1

1log20)j(G

⋅ω+−=ω⋅

⋅ω+⋅=

⋅ω+⋅=ω⋅

−

( )22 T1log10)j(G ⋅ω+⋅−=ω⋅

Para bajas frecuencias el m

Para altas frecuencias se p

(( Tlog20)j(G

log10)j(G

dB

2dB

⋅ω⋅−=ω⋅

ω⋅−=ω⋅

lo adecuado es analizarlo p

Analizo el argumento.

]

T11

T1T

arctg)j(G

22

22

⋅ω+

⋅ω+⋅ω−

=ω

Para valores extremos de ω

dB

ódulo será “cero”.

uede considerar la siguiente expresión:

))T 2⋅

or décadas:

ω - 20 . log (ω . T)

1/T 0

10/T -20

100/T -40

Disminuye 20 dB por década.

)Tarctg()Tarctg( ⋅ω−=⋅ω−=

se tendrá:

ω G(j.ω)]

ω → 0 0º

1 / T - 45º

ω → ∞ - 90º

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Similarmente para (1 + j.ω.T)+1 :

( )Tlog20)j(GdB

⋅ω⋅=ω⋅ ,

|G(jω)|dB

log(ω)

log(ω)

G(jω)]

1/10T 1/T 10/T 100/T

-20

-40

0º

-45º

0

-90º

1/100T

1/100T 100/T10/T1/10T 1/T

ω - 20 . log (ω . T)

1/T 0

10/T 20

100/T 40

Aumenta 20 dB por década.

] ( )Tarctg)j(G ⋅ω=ω⋅

ω G(j.ω)]

ω → 0 0º

1 / T 45º

ω → ∞ 90º

Mirando el diagrama anterior y teniendo en cuenta estas tablas intente realizar el gráfico correspondiente a (1 + j.ω.T)+1 .

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Aquí también se puede generalizar para un exponente “n”.

Factor Pendiente Argumento Frecuencia de corte

(1+j.ω.T) - n

Asíntota de baja frecuencia en 0 dB.

Asíntota de alta frecuencia –20.n dB/década

Se multiplica por “n” ∀ω 1/T

(1+j.ω.T) + n

Asíntota de baja frecuencia en 0 dB.

Asíntota de alta frecuencia +20.n dB/década

Se multiplica por “n” ∀ω 1/T

Factores de segundo orden12

nnjj21

±

⋅ωω

+

⋅ωω

⋅ζ⋅+

Si recordamos la transferencia:

ωω

⋅=ω⋅

ωω

⋅=ω⋅⇒

=⋅−=ω⋅⇒

ωω

⋅ζ⋅+

ωω

−⋅−=ω⋅

ωω

⋅ζ⋅+

ωω

−

⋅=ω⋅

⋅ωω

+

⋅ωω

⋅ζ⋅+

=ω⋅

n

4

n

2

n

2

22

ndB

2

n

2

22

n

dB

2

nn

log-40)j(G

: tienese tantolopor

log-10)j(G sfrecuencia altas para

0)1log(10)j(G sfrecuencia bajas para

41log10)j(G

41

1log20)j(G

jj21

1)j(G

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ω |G(j.ω)|

ωn 0

10.ωn -40

100. ωn -80

Disminuye 40 dB por década.

En cuanto al argumento es:

] ( )

ωω−

ωω⋅ζ⋅

−=ω⋅ 2

n

n

1

2arctg)j(G

ω G(j.ω)]

ω → 0 0º

ωn -90º

ω → ∞ -180º

A esta altura le propongo al lector que realice los diagramas de módulo y argumento, además esboce los diagramas correspondientes a :

12

nnjj21)j(G

+

⋅ωω

+

⋅ωω

⋅ζ⋅+=ω⋅ .

A continuación resolveremos algunos ejercicios para aclarar los conceptos.

Ejercicio Nº1

Sea la siguiente transferencia:

( )( )1s01.0s

1s2.0s5)s(G2

+⋅⋅+⋅+⋅

=

sustituimos “s” por “j.ω” :

( )( )( )1j01.0j

1j2.0j5)j(G2

+ω⋅⋅⋅ω⋅+ω⋅⋅+ω⋅⋅

=ω⋅

los factores a considerar son:

1) k=5

2) (j.ω)2 + 0.2.j.ω + 1 ; comparándola con la forma que posee la transferencia de segundo orden : ωn = 1; ζ = 0.1

3) (j.ω)-1

4) (0.01.jω + 1)-1; comparándola con la transferencia de primer orden: T = 0.01

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Recuerde que tanto ωn como T son frecuencias para las cuales el diagrama se quiebra (frecuencias de transición).

Basta con graficar los cuatro diagramas en uno (una gran ventaja en los diagramas logarítmicos es que el producto de funciones se transforma en suma), y posteriormente sumarlos para obtener el diagrama de Bode de la transferencia G(s).

|G(jω)|dB

log(ω)

log(ω)

G(jω)]

1 10 100 1000

-20

-40

0º-45º

0

-90º

1/10

40

20

80

180º

90º

270º

1001 10 10001/10

-180º

(1)

(2)

(3)

(4)

(1)

(2)

(3) (4)

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Sistemas de control 67-22 Versión 2003 Ejercicio Nº2

( ) ( )5s3ss1s)s(G 2 +⋅+⋅

+=

Primero opero algebraicamente para que los factores involucrados sean los estudiados anteriormente y estén expresados en igual formato(por ej. Constantes de tiempo):

+

ω⋅⋅

+ω⋅⋅⋅ω⋅

+ω⋅⋅=ω⋅

ω⋅

+

⋅

+⋅⋅

+⋅=

+⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅

+=

15

j1j31j

1j151 )G(j

: "j"por s"" doreemplazan

15

s1s31s

1s151)s(G

1s511s

31s53

1s)s(G

2

2

2

los factores a graficar son:

1) 151 .

2) j.ω + 1, T=1.

3) (j.ω)-1.

4) 1

1j31 −

+ω⋅⋅ , T=1/3 , 1/T=3.

5) 12

15

j−

+

ω⋅ , ωn= 5

Graficando las curvas correspondientes a los cinco factores intervinientes, la curva correspondiente al módulo de la transferencia G(j.ω) responde a la siguiente tabla:

G(j.ω) [dB/Década] Tramo

-20 -∞ , 1

0 1 , 5

-40 5 , 3

-60 3 , +∞

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|G(jω)|dB

log(ω)

log(ω)

G(jω)]

1 10 100 1000

-20

-40

0º45º

0

-90º

1/10

40

20

180º

90º

-270º

-180º

(1)

(2)

(3)

(5)

(1)

(2)

(3)

(5)

(4)5 3

(4)

51 3 10 100 10001/10

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Márgenes de fase y de ganancia. Algunas páginas atrás aprendimos a construir el diagrama de “Bode” (recuerde que la

gráfica del módulo representa las asíntotas del verdadero diagrama, que es una curva suave), ahora debemos presentar dos elementos que serán muy útiles para analizar la estabilidad del sistema; además nos indicarán dónde estamos parados con respecto a la estabilidad, esto es: “establecer un margen”.

Margen de fase “γ”: es el ángulo que hay que restar o sumar al desfase entre las señales de entrada y salida, a la frecuencia de cruce del diagrama del módulo de la transferencia, de modo que el desfase sea ±180º (ya que bajo esta condición el error no tiende a disminuir por el contrario aumenta). Gráficamente lo anterior implica que si la curva del argumento no corta la línea de ±180º el sistema es estable; de lo contrario tendremos un “margen de fase”, hasta llegar a una situación de inestabilidad, matemáticamente es:

º180+ϕ=γ

Margen de ganancia “kg”: es la inversa de magnitud del |G(j ω)| a la frecuencia de cruce del gráfico de fase, o sea ω1 tal que ϕ : º180−=

1−

Este margen indica cuanto storne inestable.

( )ϕ

ω1log20 ⋅⋅= jGkg

e puede incrementar la ganancia hasta que el sistema se

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