POLOS E ZEROS

n

m

n

m

nn

mm

abK

pspspszszszsK

asasabsbsb

sAsBsH

=

+++

+++=

=

+++

+++==

))...()(())...()((

......

)()()(

21

21

01

01

VER TRANSP-22!

POLOS E ZEROS

CircuitodoFunodapolosppp

CircuitodoFunodazeroszzz

n

m

:,...,,

:,...,,

21

21

POLOS E ZEROSExemplo:

RCp

RCK

psK

RCs

RC

RCsRC

RCssCRsCsH

1;1

;11/1

)1(

11

1/1

/1)(

1

1

==

=

+=

+=

=

+=

+=

Plano s

POLOS E ZEROSExemplo:

1

1)(ps

KsH

=

POLOS E ZEROSExemplo:

1

1)(ps

KsH

=

japbK

japbKjabH

pjabKjabH

psKsH

+=

+=+

+=+

=

11

1

1

)(

1)(

1)(

POLOS E ZEROSExemplo: em particular, para s = j:

11

)(pj

Kpj

KjH

=

=

POLOS E ZEROSExemplo: em particular, para s = j:

POLOS E ZEROSExemplo: em particular, para s = j:

POLOS E ZEROSExemplo: em particular, para s = j:

POLOS E ZEROSExemplo: em particular, para s = j:

POLOS E ZEROSExemplo: em particular, para s = j:

11

)(pj

Kpj

KjH

=

=

Plotando magnitude para K = 1 e p1 = 1:

POLOS E ZEROSUma funo mais geral:

))()(())(()(

321

21

pspspszszsKsH

+++

++=

POLOS E ZEROS

Plotando a magnitude desta funo para z1=1, p1=2, p2=3, z2=4, p3=5 e K=1:

))()(())(()(

321

21

pspspszszsKsH

+++

++=

0.10

POLOS E ZEROSUma funo mais geral ainda:

))()()()(()()(

54321

2

pspspspspszssKsH

+++++

+=

Complexos

conjugados

Complexos

conjugados

POLOS E ZEROS

Plotando a magnitude desta funo para z1=0, p1=2+j2, p2=2-j2, z2 =3, p3=5+j4, p4=5-j4, p5=6 e K=1000:

))()()()(()()(

54321

2

pspspspspszssKsH

+++++

+=

Hendrik Wade Bode (1905-1982) americano filho de holandeses.

DIAGRAMA DE BODE

O Bel uma unidade logartmica, definido como:

=

iPPBel 010log

Onde Pi a potncia de entrada e Po a potncia de sada. Como uma unidade muito grande, pois 1 Bel equivale a um ganho de potncia igual a 10, ou seja, Po = 10 x Pi, foi criado o decibel, que a dcima parte do Bel, ou seja, 10 dB = 1 Bel.

DIAGRAMA DE BODE

=

iPPxdB 010log101

Para grandezas onde o quadrado proporcional potncia (tenso, corrente eltrica, presso sonora, fora e velocidade) temos:

=

i

o

VVdB 10log20

DIAGRAMA DE BODEA magnitude de uma funo de transferncia AC expressa em decibis:

)(log20)( 10 jHjH dB =

Se o ganho em decibis for positivo, significa dizer que

1)( jH

DIAGRAMA DE BODEOs Diagramas de Bode so uma alternativa para visualizao da variao da funo de transferncia com a frequncia angular.

Os diagramas consistem de duas curvas:

dBjH )( e )( jH versus

Em ambos os casos, a frequncia angular plotada em uma escala logartmica, pois assim nos permite incluir uma faixa muito maior de frequncias.

Normalmente o Diagrama de Bode usado quando a faixa de interesse de frequncia larga e quando os polos e zeros encontram-se no eixo real ou muito prximo.

DIAGRAMA DE BODEUm outro uso do Diagrama de Bode demonstrado na figura abaixo.

)()()()()()(

)()()( 21

21

2

1

sHsHsEsEsEsE

sEsEsH oo ===

Supondo que a funo de transferncia do primeiro bloco no varia na presena do segundo, podemos escrever:

DIAGRAMA DE BODEOu seja:

dBdB

dB

jHjH

jHjH

jHjHjH

|)(||)(|

|)(|log20|)(|log20

|)()(|log20|)(|

21

210110

2110

+=

=+

==

DIAGRAMA DE BODE

Fatorizao de H(s) em funes de transferncia simples, das quais conhecemos os diagramas.

DIAGRAMA DE BODEFazer os Diagramas de Bode da seguinte funo de transferncia:

KjH =)(

.)(log20|)(| 10 cteKjH dB ==

oKjH 0)( ==

DIAGRAMA DE BODE

KjH =)( .)(log20|)(| 10 cteKjH dB ==

oKjH 0)( ==

log10 log10

DIAGRAMA DE BODEFazer os Diagramas de Bode da seguinte funo de transferncia (um zero na origem):

jjH =)(

)(log20|)(|log20|)(|log20|)(|

1010

10

=

==

jjjH dB

ojjH 90)( ==

DIAGRAMA DE BODE jjH =)(

)(log20|)(| 10 =dBjH

ojH 90)( =

Esta a equao de uma reta numa escala logartmica, com inclinao de +20 dB/dc.

log10 log10

DIAGRAMA DE BODEFazer os Diagramas de Bode da seguinte funo de transferncia (zero duplo na origem):

2)()( jjH =

)(log40|)(|log40)|(|log20|)(|

1010

210

=

==

jjjH dB

ojjH 1802)( ==

DIAGRAMA DE BODE2)()( jjH =

)(log40|)(| 10 =dBjH

ojH 180)( =

Esta a equao de uma reta numa escala logartmica, com inclinao de +40 dB/dc.

log10 log10

DIAGRAMA DE BODEFazer os Diagramas de Bode da seguinte funo de transferncia:

njjH )()( =

)(log20|)(|log20|))((|log20|)(|

1010

10

njnjjH ndB

=

==

on njnjjH 90))(()()( ===

Esta a equao de uma reta numa escala logartmica, com inclinao +20n dB/dc.

DIAGRAMA DE BODE

)(log20|)(| 10 njH dB =onjH 90)( +=

log10 log10

DIAGRAMA DE BODEFazer os Diagramas de Bode da seguinte funo de transferncia:

jjH 1)( =

)(log20|)(|log20|)1(|log20|)/1(|log20|)(|

10

1010

10

=

==

jjjH dB

ojjH 90)( = =

Esta a equao de uma reta numa escala logartmica, com inclinao de -20 dB/dc.

DIAGRAMA DE BODE

ojH 90)( =

jjH 1)( =

)(log20|)(| 10 =dBjH

log10

log10

DIAGRAMA DE BODEFazer os Diagramas de Bode da seguinte funo de transferncia:

2)(1)(

j

jH =

)(log40|)(|log40|)1(|log20

|))/(1(|log20|)(|

10

1010

210

=

==

jjjH dB

ooo

jjjjH1809090

)()()()( 2

=

= = =

Esta a equao de uma reta numa escala logartmica, com inclinao de -40 dB/dc.

DIAGRAMA DE BODE

2)(1)(

j

jH =

)(log40|1|log20|)(| 1010 =dBjHojH 180)( =

log10

log10

DIAGRAMA DE BODEFazer os Diagramas de Bode da seguinte funo de transferncia:

njjH

)(1)(

=

)(log20|)(|log20|)1(|log20

|))/(1(|log20|)(|

10

1010

10

njnjjH ndB

=

==

on njnjjH 90))(()()( == =

Esta a equao de uma reta numa escala logartmica, com inclinao de 20n dB/dc.

DIAGRAMA DE BODE

)(log20|)(| 10 njH dB =

onjH 90)( =

log10

log10

DIAGRAMA DE BODEFazer os Diagramas de Bode da seguinte funo de transferncia:

+=+

= 1)()(11

1

zs

zzssH

)/(log20|)(| Para0|1|log20|)(| Para

)1)/((log20

|)1/(|log20|)(|

1101

101

2110

110

zjHzjHz

z

zjjH

dB

dB

dB

> >

=< >

=< >

=< >

=