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Introducción a Matlab 6.1(2ª Parte)

Matemáticas de la Especialidad (Mecánica-Máquinas)Madrid, 1 de octubre de 2002

Javier García de JalónETSII - Departamento de Matemática Aplicada

a la Ingeniería Industrial

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Cadenas de caracteres (strings)q Las cadenas de caracteres

Ø Se definen entre apóstrofos: 'cadena', 'mi casa', 'ni ''idea'''Ø Los caracteres se guardan en un vector (2 bytes por carácter)

q Conversión entre caracteres y números Ø La función double(str) convierte una cadena en un vector de números ASCIIØ La función char(vect) convierte un vector de números en cadena de caracteres

q Matrices de caracteresØ Cada fila es una cadena de caracteresØ Todas las filas tienen el mismo número de elementos (se completan con

blancos las filas con menos caracteres)Ø Ejemplo: matchar=char('más', 'madera');

q Funciones para cadenas de caracteresØ Conversión: double(cad), char(vect), char(c1,c2,c3), int2str(n), num2str(d),

str2double(s), cellstr(str)Ø Comparación: strcmp(c1,c2), strcmpi(c1,c2), strncmp(c1,c2,n), c1==c2Ø Concatenación: frase=['str1', ' ', 'str2', ' ', 'str3'];Ø Búsqueda y sustitución: findstr(c1,c2), strmatch(frs, str), strrep(c1,c2,c3)Ø Descomposición de una frase en palabras: [p1,resto]=strtok(str)

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Hiper-matricesq Matrices con más de dos dimensiones

Ø La última dimensión representa la “profundidad” de la matriz

Ø Se pueden utilizar para almacenar varias matricesdistintas pero con el mismo tamaño y significado

Ø La función cat(d, A, B) sirva para concatenar dos matrices iguales según la dimensión "d"

q Ejemplo:HM[:,:,1]=rand(3);HM[:,:,2]=eye(3);

q Funciones de Matlab que permiten trabajar con hiper-matricesØ Todas las funciones que actúan sobre escalares se aplican elemento a elementoØ Las funciones que actúan sobre vectores (sum, max, ...) se aplican según la

primera dimensión, resultando una matriz de una dimensión menosØ Las funciones matriciales de Álgebra Lineal (inv, det, ...) se aplican sólo a sub-

matrices previamente extraídas de la hiper-matrizØ Otras funciones: size, ndims, squeeze, permute, ipermute, ... (ver en Help)

i

j

k

A(i,j,k)

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Matrices dispersas (sparse)q Matrices dispersas o sparse

Ø Son matrices que tienen la mayor parte de sus elementos cero

Ø Sólo se almacenan y sólo se opera con los elementos distintos de cero

q Almacenamiento de matrices sparseØ Se almacena un vector con los nnz

valores distintos de ceroØ Se almacena otro vector con los nnz

índices de fila de cada valorØ Se almacenan en un tercer vector las n posiciones en los vectores anteriores de

los primeros elementos distintos de cero de cada columnaØ Ejemplo: con load west0479; se carga en memoria un ejemplo de una matriz

de 479×479 con sólo 1887 elementos distintos de cero (ver con spy(west0479))Ø Las funciones S=sparse(A); y A=full(S); permiten pasar de matrices llenas a

dispersas y viceversaØ n=128; f=0.9; A=rand(n); A(find(A>f))=1; A(find(A<=f))=0; S=sparse(A);

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Matrices dispersas (2)q Funciones para crear matrices sparse

Ø speye(n), sprand(n,m), sprandn(n,m), sprandsym(n), spdiags(A)Ø sparse(A), sparse(m,n), sparse(i,j,val,m,n)

q Otras funciones para operar con matrices sparseØ full(S), find(S), [i,j,val]=find(S)Ø nnz(S), nonzeros(S), spy(S), issparse(S)Ø spfun('funName',S)Ø Reordenar los elementos: p=colmmd(S), p=symmmd(S), p=symrcm(S)

q Funciones de Álgebra LinealØ Se puede utilizar el operador \ igual que para matrices llenasØ [L,U,P]=lu(S), [L,u]=luinc(S), L=chol(S), L=cholinc(S), [Q,R]=qr(S),

[V,D]=eigs(S), svds(S), normest(S,tol), condest(S), sprank(S)

q Criterios prácticos para trabajar con matrices sparseØ Las funciones y operadores de Matlab tienden a conservar el carácter de los

argumentos —lleno o sparse— de la forma más lógica y razonableØ Consultar el Help para una información más detallada

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Estructuras (struct)q Estructuras:

Ø Agrupación de datos de naturaleza diversa bajo un nombre comúnØ Cada uno de esos datos tiene también su propio nombre y genéricamente se

llama campo (field)

q Ejemplo: la estructura alumno tiene como campos numero y nombrealumno.numero=97894; alumno.nombre='Luis Pérez';alumno=struct('numero', 97894, 'nombre', 'Luis Pérez');

q Otras características:Ø Pueden crearse vectores de estructuras:

alumno(50).numero=97894; alumno(50).nombre='Luis Pérez';Ø Una estructura puede contener otras estructuras (por ejemplo una fecha)Ø En cualquier momento se puede añadir un nuevo campo a una estructura o

eliminar un campo existente

q Funciones para operar con estructurasØ fieldnames(stc)Ø isstruct(ST), isfield(ST, s), rmfield(ST, s), getfield(ST, s), setfield(ST, s, v)

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Vectores y/o matrices de celdas (cell arrays)q Son vectores y/o matrices cuyos elementos pueden ser cada uno de

un tipo de dato diferenteØ Los elementos de un vector de celdas se definen con llaves { }

vc(1)={[1,2,3]}, vc(2)={['mi nombre']}, vc(3)={rand(3,6)}vc{1}=[1,2,3], vc{2}=['mi nombre'], vc{3}=rand(3,6)vc={[1,2,3], 'mi nombre', rand(3,6)}

Ø Es importante que el nombre vc no haya sido utilizado antes (usar clear vc;)

q Funciones para vectores de celdasØ cell(m, n), celldisp(ca), cellplot(ca), iscell(ca)Ø num2cell(x)

q Conversión entre vectores de celdas y estructurascell2struct(ca), struct2cell(stc)ST = cell2struct(vc, {'vector','cadena','matriz'}, 2);vcc= struct2cell(ST)';

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Programación de Matlab q Ficheros de comandos *.m

Ø Se llaman mediante el nombre del fichero (sin la extensión)Ø Los comandos se ejecutan secuencialmente como si se introdujeran desde

teclado.Ø Las variables creadas pertenecen al espacio de trabajo del entorno desde el

que se ejecuta el fichero (no son visibles en las funciones, salvo la que lo ha llamado)

q Funciones *.mØ Una función es una porción de código aislada del resto del programaØ Hay funciones propias de Matlab y funciones definidas por el usuario

(funcname.m)function [valores de retorno]=funcname(lista de argumentos)

Ø La función recibe datos a través de la lista de argumentos y devuelve resultados a través de los valores de retorno

Ø También puede intercambiar información a través de variables globales, declaradas como tales tanto en la función como en el programa que la llama

Ø Las variables definidas dentro de la función (y los argumentos) son variableslocales a la función. Cada función tiene su propio espacio de trabajo

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Funciones definidas por el usuarioq Se definen en ficheros *.m con el mismo nombre que la función

Ø Los valores de retorno deben ser calculados en algún momento antes del fin del fichero que defina la función

Ø Los argumentos se reciben siempre por valor (si se modifican dentro de la función, se saca una copia y se modifica la copia)

q Ejemplo de llamada: » [i,j]=funcname(A,B+C,H);q Las funciones de Matlab definidas en ficheros *.m

Ø Admiten número variable de argumentos y de valores de retornoØ Las variables nargin y nargout, accesibles dentro de la función, indican el

número de argumentos y valores de retorno con que la función ha sido llamadaØ varargin y varargout permiten utilizar cell arrays como datos y resultados

function [ret1, ret2]=funcname(arg1, arg2, arg3,…)...

ret1=......

ret2=...

datos

resultados

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Programación en ficheros *.mq Bifurcaciones if y switch

q Bucles for y while (sentencia break)

if condicion 1sentencias 1

elseif condicion 2sentencias 2

elseif condicion 3sentencias 3

else % opcional sentencias 4

end

if condicionsentencias

end

switch expresioncase exp1

sentencias 2case exp2

sentencias 3otherwise % opcional

sentencias 4end

for i=1:inc:nsentencias

end

for i=vectorsentencias

end

for i=1:mfor j=1:n

sentenciasend

end

while condicionsentencias

end

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Variables persistentes y variables globalesq Las variables persistentes:

Ø Son variables locales de una función que conservan su valor entre las sucesivas llamadas a la función (por defecto las variables locales se crean cada vez)

Ø Las variables persistentes se crean dentro de una función anteponiendo la palabra persistent

q Las variables globales:Ø Son variables visibles y utilizables desde el programa principal y desde todas

aquellas funciones que las declaren utilizando la palabra globalØ Las variables globales se utilizan para compartir información entre una o más

funciones y el programa principal, sin necesidad de pasarlas como argumentos y/o valores de retorno

Ø Las variables globales son consideradas peligrosas, porque si se produce un error de programación pueden ser modificadas por quien no debe. Su uso debe restringirse a los casos imprescindibles

Ø Se les suelen asignar nombres largos y con mayúsculas (VELOCIDAD, TIEMPO, ...), de modo que sean fácilmente distinguibles de las demás variables

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Gráficos en Matlabq Matlab tiene capacidad de realizar gráficos 2-D y 3-Dq Los gráficos se abren en ventanas especiales como la mostradaq Algunos parámetros gráficos pueden ser controlados desde la propia

ventana, por medio de menús, como se ve en la figura

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Gráficos 2-Dq Función plot()

Ø Su misión principal es dibujar un vector de valores y en ordenadas frente a otro vector x en abscisas. Ambos vectores tienen el mismo número de elementos

Ø Forma más habitual:plot(x,y,'g+') % dibuja una línea verde con (+)

Ø Colores: y, m, c, r, g, b, w, k (black)Ø Tipos de línea: - : -. --Ø Marcadores; . o x + * s d ^ v > < p hØ Elementos que se pueden añadir (actúan sobre la figura activa): title('titulo'),

xlabel('tal'), ylabel('cual'), text(x,y,'texto'), gtext('texto'), grid

q Los comandos hold on y hold off permiten dibujar varias líneas en una misma figura. Por defecto, el nuevo dibujo sustituye al antiguo

q Borrado selectivo de líneas o elementos gráficos. Se debe guardar el id (handle) al crear la figuraØ Ejemplo:

miplot= plot(x,y), pause(5);delete(miplot);

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Gráficos 2-D (2)q Otras formas de la función plot()

Ø plot(y) Dibuja los valores de y en ordenadas en función de los índices1,2,...,n

Ø plot(x,A) Dibuja las columnas de A en ordenadas frente a x en abscisasØ plot(A,x) Dibuja las columnas de A en abscisas frente a x en ordenadas Ø plot(A,B) Dibuja las columnas de B en ordenadas frente a las de A en

abscisas (A y B deben tener tamaños compatibles)

q Comando subplot(): Indica en que partición de la figura se va a dibujarØ Forma general: subplot(m,n,i)Ø Ejemplo:

» x=0:pi/25:6*pi;» y=sin(x); z=cos(x);» w=exp(-x*.1).*y; v=y.*z;» subplot(2,2,1), plot(x,y);» subplot(2,2,2), plot(x,z);» subplot(2,2,3), plot(x,w);» subplot(2,2,4), plot(x,v);

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Gráficos 2-D (3)q Comando axis. Valores máximos y mínimos en los ejes. Tiene la

siguiente forma general:axis([xmin, xmax, ymin, ymax])

q Para cambiar el origen y la orientación:axis('xy'), axis('ij')

q Para que la escala sea igual en ambos ejes:axis('equal')

q Para que la zona representada sea cuadrada:axis('square')

q Para volver a los ejes por defectoaxis('normal')

q Para guardar los ejes actuales antes de cambiarlosv=axis;

q Para restablecerlos más adelanteaxis(v)

xy ij

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Gráficos 2-D (4)q Función [x,y]=fplot('funcion', limites, 'cadena', tol)

Ø 'función' es el nombre del fichero *.m que define la función a dibujarØ limites: vector de dos [xmin,xmax] o cuatro elementos

[xmin,xmax,ymin,ymax]Ø 'cadena': control de color, marcadores y tipo de línea (como en plot())Ø tol: tolerancia de error relativo (por defecto 1e-03)Ø El resultado de fplot() se puede dibujar inmediatamente (sin recoger valores de

retorno) o posteriormente con plot(), pasándole los valores de retorno recogidos de fplot()

q Introducción de puntos con el ratón: función ginput()Ø [x,y]=ginput introduce los puntos que se van clicando hasta que se

pulsa introØ [x,y]=ginput(n) introduce los n puntos que se clican a continuaciónØ [x,y,bot]=ginput devuelve también un vector de enteros con información

sobre el botón que se ha pulsado

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Gráficos 2-D (5)q Forma general de dibujo de líneas: función line()

Ø line([xini, xend]', [yini, yend]', 'color', 'g')Ø line([xini1 xini2; xend1 xend2], ([yini1 yini2; yend1 yend2]); permite

también dibujar varias líneas a la vez:Ø line([X], [Y]); cada columna de [X] contiene la x inicial y final de un punto, y

lo mismo las columnas de [Y] con las coordenadas yØ Control de las características de la línea: se realiza por medio de pares

parámetro/valor, como por ejemplo: line(x,y,'Color','r','LineWidth',4,'MarkerSize',12,'LineStyle','—

','Marker','*')

q Dibujo de polígonos Ø Con la función plot()Ø Con llamadas repetidas a la función line()Ø Con la función fill(x,y,c). En este caso el polígono se rellena con el color c. Si

c es un vector de colores de la misma dimensión que x e y se rellena interpolando.

Ø Con llamadas a la función patch(x,y,c)

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Ventanas y moviesq Control de ventanas. Función figure. Ventana activa

Ø figure, figure(n) Crean una nueva ventana activa, si no existe. Se le asignael número indicado o un número consecutivo

Ø close, close(n) Cierran la ventana activa o la número nØ clf, gcf Borran el contenido de la ventana activa u obtienen el

número de la ventana activaØ figure(gcf) Trae a primer plano la ventana activa

q Creación de películas o movies:M=moviein(12)x=-2*pi:pi/24:2*pi; inc=pi/8;for i=1:12

y=sin(x+i*inc);plot(x, y);M(:,i)=getframe; % captura el frame y lo guarda

end

q Para ver la película Movie(M, 10, 15)

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Gráficos 3-Dq La función plot3(x,y,z) permite dibujar líneas en un espacio 3-D

Ø Se pueden definir colores, tipos de línea y marcadores de modo similar a 2-D

q Función line(): dibuja líneas entre puntos en el espacio 3-DØ Existe una versión 3-D de la función line() completamente análoga a la 2-D

line([xini,xend]', [yini,yend]', [zini,zend]','color','k');line(X,Y,Z,'color','b');

q Función patch(): dibuja polígonos en el espacio 3-Dpatch(X,Y,Z,C);

q Las funciones mesh(), surf() y contour() permiten dibujar superficies 3-D con distintos tipos de representación

q Control de la dirección de observación: función view(az, el). Ø Los ángulos se definen en grados. Por defecto: az = -37.5, el = 30

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Gráficos 3-D (2)q Funciones plot3(x, y, z), plot(x, y, z, 's'), mesh(X,Y,Z) y surf(X,Y,Z)clear all, close all

x=[-3:0.4:3]; y=x;[X,Y]=meshgrid(x,y);Z=test3d(X,Y);

subplot(2,2,1)figure(gcf),fi=[0:pi/20:6*pi]; plot3(cos(fi),sin(fi),fi,'g');pause(3);

subplot(2,2,2)mesh(Z)pause(3)

subplot(2,2,3)figure(gcf), surf(Z)pause(3)

subplot(2,2,4)contour3(Z,16)

function z=test3d(x,y)z = 3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2) ...

- 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2) ... - 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2);

shading flatshading interpshading faceted

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Gráficos 3-D (3)q Función [X,Y]=meshgrid(x,y);

Ø Sirve para crear matrices con las coordenadas x e y de todos los puntos de la retícula. Ejemplo:x=[1, 2, 4];y=[1, 3]';[X,Y]=meshgrid(x,y)X =

1 2 41 2 4

Y =1 1 13 3 3

Ø En las filas de la matriz X se repite al vector x tantas veces como elementos tiene y. En las columnas de la matriz Y se repite al vector y tantas veces como elementos tiene x.

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Gráficos 3-D (4)q Mapas de colores: colormap(name)

Ø Un color se puede definir por un nombre (los colores básicos: 'y','m','c','r','g','b',…) o por medio de tres números entre 0 y 1 (las componentes RGB)

Ø Un mapa de colores es una matriz de tres columnas (componentes RGB), cuyas filas representan colores. Por defecto tienen 64 filas.

Ø Cada mapa de colores tiene un nombre y un estilo que caracteriza sus coloresØ Algunos mapas de colores estándar: hsv, hot, gray, bone, copper, pink, white,

flag, lines, colorcube, vga, jet, prism, cool, autumn, spring, winter, summerØ Un mapa de colores se puede ver con las sentencias

» colormap(copper)» pcolor([1:65;1:65]')

Ø Al dibujar una figura con el mapa de colores activo los valores máximos se dibujan con los colores altos del mapa y los valores bajos con los colores bajos

q Función caxis([cmin,cmax])Ø Cambia la asignación de colores, ajustando cmin y cmax a los valores

máximos y mínimos del mapa de colores (en lugar de a los valores más altos o más bajos)

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Ejemplo: Simulación movimiento 2-Dq Se pretende estudiar el movimiento 2-D

de un bloque rectangular sometido a la acción de la gravedad

q El sistema tiene 3 grados de libertadq Ecuaciones diferenciales del movimiento:

que se pueden reducir a:

q Matlab sólo integra ecuaciones diferenciales de orden 1. Definiendo:

las ecuaciones del movimiento se pueden expresar como se indica en el recuadro

x

y

x

x

y

y

ϕ

0 0mx my mg Iϕ= = − =&& && &&

0 0x y g ϕ= = − =&& && &&

u x v y ω ϕ≡ ≡ ≡& & & ( , )0

0

x uy v

tuv g

ϕ ω

ω

= = = == = −

=

y f y

&&& &&&&

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Ejemplo: Simulación movimiento 2-D (2)q Los integradores de Matlab se utilizan en la forma siguiente:

[t, Y] = ode45('deriv', tspan, y0, options);

donde:Ø t es un vector con los instantes de tiempo en los que se dan resultadosØ Y es una matriz cuyas filas contienen los 6 resultados en cada instanteØ ode45 es el nombre de una función que utiliza el método de Runge-KuttaØ 'deriv' es una cadena de caracteres con el nombre de una función que calcula

la derivada del vector de estadoØ tspan es un vector con los instantes de tiempo en que se desean resultadosØ y0 es un vector columna de seis elementos con las velocidades y posiciones

inicialesØ options es una estructura que permite controlar algunos factores de la

integración numérica

q Una vez terminada la integración numérica hay que representar gráficamente los resultados

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Ejemplo: Simulación movimiento 2-D (3)q Las coordenadas de los vértices

del bloque deben transformarse a coordenadas generales

q Para todos los puntos del bloqueØ PL=[ a -a -a a a

b b -b -b b]; Ø PG=R*PL+g*ones(1,size(PL,2);Ø line(PG(1,:),PG(2,:),'color','k');

x

y

x

y

ϕ

P

ϕ x y

x

y cos sin o bien,

sin cos

cos sin

sin cos

x x yy x y

x xy y

ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

= ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅

− =

r = Rr