FUNCION DE TRANSFERENCIAPOLOS Y CEROS

Ing. EDUARDO ALE

En MATLAB podemos definir funciones de transferencia almacenando los coeficientes del numerador y del denominador en sendos vectores. Supongamos la función de transferencia siguiente:

Para esta función definimos los vectores:num y den como: [am, am – 1, …….., a1, a0 ] y [ bn,bn-1,…,b1,b0],

REPRESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

COMANDO tf

Este comando se encarga de crear una función de transferencia o convertir un sistema a una función de transferencia. >>tf(num,den) Convierte el modelo de las matrices a la forma de una función de transferencia, dependiendo de los valores de la misma. 

Se puede hacer mediante 2 metodos.

La primera es directamente en la línea de comandos y

La segunda, definiendo los vectores y guardarlos en un archivo que después haremos un llamado de dicho archivo en la línea de comandos.

Primer metodo, es en la línea de comandos de manera directa:

Hay que definir la matriz [num] y [den]

>>num=[2,17,50,63];>>den=[1,10,41,76,52];

>>tf(num,den)

Transfer function: 2 s^3 + 17 s^2 + 50 s + 63----------------------------------------------s^4 + 10 s^3 + 41 s^2 + 76 s + 52

>>num=[2,17,50,63];>>den=[1,10,41,76,52];

>>tf([2,17,50,63],[1,10,41,76,52]) Transfer function: 2 s^3 + 17 s^2 + 50 s + 63----------------------------------------------s^4 + 10 s^3 + 41 s^2 + 76 s + 52

El segundo método definiendo los vectores y guardarlos en un archivo que después haremos un llamado de dicho

archivo en la línea de comandos 

>>num=[2,17,50,63];>>den=[1,10,41,76,52];

>>H=tf(num,den)Transfer function: 2 s^3 + 17 s^2 + 50 s + 63----------------------------------------------s^4 + 10 s^3 + 41 s^2 + 76 s + 52

Este comando es similar al anterior, a diferencia que cuando se usa el sys, ésta es una variable de almacenamiento, es decir podemos asignarle cualquier variable.Con esto ya no es necesario poner nuevamente todos los elementos de la matriz, sólo podemos llamarla con una sola variable Este comando se encarga de crear una función de transferencia o convertir un sistema a una función de transferencia

>>sys = tf(num,den)

COMANDO sys

>>num=[2,17,50,63];>>den=[1,10,41,76,52];>>sys=tf(num,den);

Transfer function: 2 s^3 + 17 s^2 + 50 s + 63----------------------------------------------s^4 + 10 s^3 + 41 s^2 + 76 s + 52

POLOS , ZEROS Y CONSTANTE K DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA POLINOMICA O

RACIONAL

Mediante este comando, se especifica los valores exactos de los Ceros, Polos y la Constante K.

>>[z,p,k]=tf2zp(num,den) Realiza la CONVERSION de la función de transferencia a una funcion de ceros y polos, k, o sea encuentra los polos, zeros y la ganancia correspondiente k. 

COMANDO tf2zp

Podemos asimismo encontrar los polos y ceros de una función de transferencia, a partir de los polinomios en s que constituyen el numerador y el denominador, mediante el comando tf2zp( ).

La función tf2zp convierte la función de transferencia polinómica o racional

En la función transferencia cero-polo-ganancia

>>num=[2,17,50,63];>>den=[1,10,41,76,52];>> [z,p,k] = tf2zp(num,den)z = -4.5000 -2.0000 + 1.7321i -2.0000 - 1.7321ip = -3.0000 + 2.0000i -3.0000 - 2.0000i -2.0000 + 0.0000i -2.0000 - 0.0000ik = 2

Así construyo la Función de Transferencia:

2 (s + 4.5)(s + 2 - 1.7321i)(s + 2 - 1.7321i)------------------------------------------------------------ (s + 3 - 2i)(s + 3 + 2i)(s + 2)(s + 2)

REPRESENTACION FACTORIZADA DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA ZERO-POLO-

GANANCIA

Por otro lado, una función de transferencia puede también definirse a partir de sus polos, sus ceros y una constante de escala en la forma standard

Si comparamos esta expresión con la anterior vemos que k=am⁄bn . De manera análoga podemos definir los vectores z y p como:[z1, z2, …, zm] y [p1, p2, …, pn] por otro lado la constante k.

Para obtener la función de transferencia factorizada en función de sus polos y zeros

>>sys=zpk(sys)

Recordando la palabra sys se comporta como una variable y ésta obedece con un llamado en la línea de comandos como se muestra en el ejemplo siguiente:

>>num=[2,17,50,63];>>den=[1,10,41,76,52];>> sys=tf(num,den) Transfer function: 2 s^3 + 17 s^2 + 50 s + 63-----------------------------------------------s^4 + 10 s^3 + 41 s^2 + 76 s + 51

COMANDO zpk(sys)

>> sys=zpk(sys) Zero/pole/gain: 2 (s+4.5) (s^2 + 4s + 7)-------------------------------------(s + 2) ^2 (s^2 + 6s + 13)

REPRESENTACION FACTORIZADA DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA UTILIZANDO

EL COMANDO ZPK

COMANDO zpk(z,p,k) Este comando nos permite transformar de una función de transferencia a un modelo más simplificado, es decir crea una función donde podemos distinguir de manera más clara los Ceros, Polos y la Constante K.

>>zpk(z,p,k)

También se puede decir que es la forma factorizada de la función de transferencia.

 >>num=[2,17,50,63];>>den=[1,10,41,76,52];>>zpk(z,p,k) Zero/pole/gain: 2 (s+4.5) (s^2 + 4s + 7)-------------------------------(s+2)^2 (s^2 + 6s + 13)

>>H=tf(num,den)Transfer function:

2 s^3 + 17 s^2 + 50 s + 63----------------------------------------------s^4 + 10 s^3 + 41 s^2 + 76 s + 52

>>zpk(H)Zero/pole/gain:

2 (s+4.5) (s^2 + 4s + 7)-------------------------------(s+2)^2 (s^2 + 6s + 13)

COMANDO sys=zpk(z,p,k)

Este comando nos permite que partiendo de los valores de los Ceros, Polos y la Constante, se obtiene la forma simplificada la función de transferencia (función en forma de productos), es decir el agrupamiento de los ceros y polos como se muestra en el siguiente ejemplo.

>>sys=zpk(z,p,k)

>>sys=zpk(z,p,k)Zero/pole/gain:

2 (s+4.5) (s^2 + 4s + 7)--------------------------------(s+2)^2 (s^2 + 6s + 13)

>>H=zpk(z,p,k) Zero/pole/gain:

2 (s+4.5) (s^2 + 4s + 7)---------------------------------(s+2)^2 (s^2 + 6s + 13)

REPRESENTACION POLINOMICA O RACIONAL DE LA FUNCION DE

TRANSFERENCIA A PARTIR DE LOS POLOS, ZEROS, K

Este comando nos permite que ingresando los valores de los Ceros, Polos y la Constante., podemos obtener los valores de los coeficientes de la función de transferencia, es decir los valores de los coeficientes de los numeradores y denominadores,

>>[num,den] = zp2tf(z,p,k) 

COMANDO zp2tf

Observamos que estos valores no son los mismos que nuestros vectores A=[2 17 50 63], B=[1 10 41 76 52], entonces si multiplicamos

por 2 a toda la matriz resultaría:

A=[2 17 50 63], B=[1 10 41 76 52],

Como resultado se tiene la función de transferencia  2 s^3 + 17 s^2 + 50 s + 63

----------------------------------------------s^4 + 10 s^3 + 41 s^2 + 76 s + 52

 

>>num=[-4.5000,-2.0000+1.7321i,-2.0000-1.7321i];>>den=[-3.0000+2.0000i,-3.0000-2.0000i,-2.0000+0.0000i,-2.0000-0.0000i];>> k =1;>>Con K=2; sale el numerador sin multiplicarlo>>[num,den]=zp2tf(z,p,k)num=1.0000 8.500 25.0000 31.5000den=1.0000 10.000 41.00000 76.0000 52.0000

DIAGRAMAS DE POLOS Y ZEROS

COMANDO pzmap

Este comando nos permite que al ingresar los valores de los numeradores y denominadores de la función de transferencia, automáticamente nos da los valores de los Ceros y Polos y lo plasma en forma gráfica.

>>pzmap(num,den)

>>num=[2,17,50,63];>>den=[1,10,41,76,52];>>H=tf([2,17,50,63],[1,10,41,76,52])Transfer function: 2 s^3 + 17 s^2 + 50 s + 63----------------------------------------------s^4 + 10 s^3 + 41 s^2 + 76 s + 52

>>pzmap(H)>>pzmap(num,den)

2 (s + 4.5)(s + 2 - 1.7321i)(s + 2 + 1.7321i)--------------------------------------------------------(s + 3 - 2i)(s + 3 + 2i)(s + 2)(s + 2)

Ahora podemos graficarlo en su forma polar mediante el comando sgrid.>>sgrid(H)

Este comando nos permite plasmar en forma gráfica los valores de los Ceros y Polos donde los ceros están representados con un círculo y los polos con una exis.

>>zplane(z,p)

Los múltiples ceros y polos son indicados por el número de multiplicidad mostrado en la parte superior derecha de cero o polo. Donde z y/o p, es una matriz que traza los ceros o polos en diferentes columnas

COMANDO zplane(z,p)

>>z =[-4.5000,-2.0000+1.7321i,-2.0000-1.7321i];>>p =[-3.0000+2.0000i,-3.0000-2.0000i,-2.0000+0.0000i,-2.0000-0.0000i];>>zplane(z,p)

>>zplane(z)

Este comando nos permite ubicar los Ceros y plasmarlo en forma gráfica

 

COMANDO zplane(z)

>>zplane(p) Este comando nos permite ubicar los polos y plasmarlo en forma gráfica. 

COMANDO zplane(p)

CÁLCULO DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA

 Para calcular las raíces de un polinomio se define un vector con todos coeficientes del mismo, desde el de mayor orden hasta el término independiente, y se aplica el comando roots a dicho vector. s3+5s2+8s+3=0» p=[1 5 8 3]» roots(p) ans = -2.2328 + 0.7926i -2.2328 - 0.7926i -0.5344  También se puede hacer lo mismo directamente, sin definir ningún vector:» roots([1 5 8 3])

LABORATORIO # 1

1.- DEFINIR EL COMANDO: tf, zpk, tf2zp, zp2tf, pzmap, zplane(z,p), zplane(z), zplane(p)

2.- PROPONER 5 EJEMPLOS DE FUNCION DE TRANSFERENCIA.

3.- APLICAR LOS COMANDOS DEL PUNTO 1 A LOS EJEMPLOS QUE SE PROPONE (INFORME MECANIZADO DEL MATLAB)