7/24/2019 [C-3] Parcial Nº2 2015-2

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Universidad de Talca . C´ alculo III. Plan com´ un (2015-2)   Prueba N o 2 

Apellido paterno: Apellido materno: Nombre:

Pregunta 1 Pregunta 2 Pregunta 3 Total Nota

Instrucciones:   •   NO HAY CONSULTAS. Las respuestas sin desarrollo o sin justificaci on, no dan puntaje.

•   Conteste en forma ordenada, una pregunta por hoja y justifique adecuadamente cada respuesta.

•  Debe realizar su prueba en su respectiva seccion, de lo contrario sera calificado con nota mınima.

•   Queda prohibido el uso de calculadoras, formulario y   celulares.

Nota  = 1+Puntos

10.   Duracion  = 60 minutos

1)   [20 ptos.] Calcular el volumen del solido acotado por las curvas  z  = 0,  z  =  x2 + y2, e interiora  x2 + y2 = 16 y exterior a  x2 + y2 = 9

2)   [20 ptos.] Sea I  =

   1/2

0

   y−y

(x2 + y2) dxdy +

   1

1/2

   2−3y

−y

(x2 + y2) dxdy

Calcular la integral usando cambio de variable

u =  x + y v =  x − y

3)   [20 ptos.] Expresar sin calcular el volumen limitado por

x2 + y2 + z 2 = 4

yx2 + y2 + (z −

√ 2)2 = 2

usando coordenadas:

a) Cilındricas

b) Esfericas

7/24/2019 [C-3] Parcial Nº2 2015-2

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Pauta

1)   V   = 4

   π/2

0

   4

3

r2r d r d θ

   10 pts

= 4

   π/2

0

r4

4

4

3

dθ =

   π/2

0

(256− 81) dθ

   5 pts

= 175π

2   5 pts

2) Grafico de la region  R  y  R∗

   5 pts

x = −y ⇒ u = 0,   x =  y ⇒ v = 0x =

  u + v

2  , y =

  u− v

2  ,   x = 2− 3y ⇒ v = 2u− 2

J  =  1 1 11   −1

= −1

2

5 pts

Por lo que la nueva integral queda:

I  =   1

0

   0

2u−2

12

(u2 + v2)−1

2

dv du

   5 pts

=   524  

5 pts

3) a) Cilındricas

   2π

0

   √ 20

   √ 4−r2

√ 2−

√ 2−r2

r dz dr dθ   8 pts

b) Esfericas

   2π

0

   π/4

0

   2

0

ρ2 sin φd r d φd θ +

   2π

0

   π/2

π/4

   2√ 

2 cosφ

0

ρ2 sin φd r d φd θ   6+6 pts