53°B

Y

x

53°

B

ELEMENTOS DE MATEMÁTICAS DE CAMPOS VECTORIALES

Hace falta una introducción sobre definición de campos (escalares y/o vectoriales) , líneas de campo y mapa de líneas de campo…con ejemplos …….y precisar que nos limitaremos a campos estacionarios, “que varían

suavemente”, básicamente radiales y/o unidimensionales (con énfasis en los campos uniformes).

En las siguientes situaciones, B, representa un campo vectorial estacionario. No tiene significado físico. El concepto a evaluar es el de flujo del campo vectorial o sea, el número de líneas de campo que atraviesan una superficie (que puede ser cerrada o abierta). Matemáticamente, es el resultado de ∫ B. dA, en la cual dA es el vector área. Cuando

sea necesario, utilice el sistema de coordenadas que se muestra. E y

z

La característica del vector dA, deben haber ido explicadas por el profesor, previamente

1) Sea B, uniforme y horizontal. Su magnitud es de 8 unidades. Determine el flujo que atraviesa cada una de las superficies (abiertas) que se describen:

a. Cuadrado ( de 6 cm de lado) colocado perpendicular al campob. Cuadrado ( de 6 cm de lado) colocado horizontalmentec. Cuadrado ( de 6 cm de lado) colocado en posición oblicua , formando 53° con la horizontald. semiesfera (hueca) de radio 3 cm

a) b) c) d) 2) Sea B, uniforme, de magnitud 8 unidades y formando 35° con la horizontal. Determine el flujo que

atraviesa cada una de las superficies (abiertas) que se describen:

35°

a. Cuadrado ( de 6 cm de lado) colocado perpendicular al campob. Cuadrado ( de 6 cm de lado) colocado horizontalmentec. Cuadrado ( de 6 cm de lado) colocado en posición oblicua , formando 53° con la horizontald. semiesfera (hueca) de radio 3 cm

3) Sea B = y i , campo vectorial . Determine el flujo que atraviesa cada una de las superficies (abiertas o cerradas ) que se describen:

a. Cuadrado (de 6 cm de lado) colocado perpendicular al campo. b. Cuadrado ( de 6 cm de lado) colocado horizontalmentec. cubo de arista 6 cm

0,03 m

x

4) Se tiene un campo B = 9 yx2 i, determine el número de líneas de campo que atraviesan la superficie de la figura (cuadrado de lado 8 m)..

CAMPOS VECTORIALES RADIALES

Son campos vectoriales que convergen a un punto (campos radiales convergentes) o bien divergen (campos radiales divergentes) de él. Ese punto se denomina, centro del campo. El mapa de líneas de campo, en cada caso, es el que se muestra en la figura. Por supuesto, no son campos uniformes.

CONVERGENTE DIVERGENTE

Para describirlos, no se emplea un sistema de coordenadas cartesiano (x; y) , sino polares ( r ; ѳ) . Si el campo B es radial, quiere decir que solo depende de r. Ejemplos: B = 3r; B = 1/r3; B = 3r + 2, etc. ( r, recuerde, es la distancia del centro del campo al punto de interés)

5) Sea un campo vectorial divergente de un punto A. La magnitud de cada vector de este campo, viene dada por la expresión B= 6 r2. Determine el valor del flujo que atraviesa a) una esfera centrada en el punto A , de 12 cm de diámetro; b) un cubo de 12 cm de lado, centrado en el punto A; c) una esfera centrada en el pto. A, de 25 m de radio.

A A

X = 12 m

A(2,1) A (2; 1) A(2,1) A(2; 1)

En las siguientes situaciones, B, representa un campo vectorial estacionario. No tiene significado físico. El concepto a evaluar es el resultado de ∫B.dr, en la cual dr es el vector desplazamiento (desplazamiento muy pequeño, a lo

largo de una trayectoria dada). Cuando sea necesario, utilice el sistema de coordenadas que se muestra

INTEGRAL DE LINEA EN CAMPOS VECTORIALES6) Sea B, uniforme y horizontal. Su magnitud es de 8 unidades. Determine el valor de la integral de línea

∫A

C

B .dr , si lo puntos A y C y las trayectorias de integración, son los que se muestran en cada caso ¿Qué

es dr?

C (2;7) C( 7; 6) C( 2;7) C(7; 6)

7) En el dibujo, se tiene el mapa de líneas de campo de un campo vectorial, radial, cuya magnitud, punto a punto, depende solo de la distancia, r, al “centro del campo”. Se dan tres ejemplos de esta dependencia

a. A = 8 r 2 r b. A = -7 /r3 r c. A = 2 r1/2 r

B

C

(nota : r , vector unitario

… se muestran los puntos B y C .El primero (B), está a 60 cm del “centro del campo” mientras que el segundo(C),

está a 15 cm del centro del campo. Determine el valor de ∫B

C

A .dr , a través de la trayectorias que se muestran :

B C

C

B

Centro de fuerzas

Ahora, mantenga los puntos B y C a la misma distancia del centro del campo, pero colóquelos en la posición que se

muestra. Determine el valor de ∫B

C

A .dr ,, para las trayectorias indicadas.

B B

C C

CAMPOS DE FUERZAS

¿CUÁLES SON LAS DIFERENCIAS ENTRE CAMPOS VECTORIALES Y CAMPOS DE FUERZAS?

Los campos vectoriales no tienen significado físico, no tienen que estar acompañados de dimensiones y unidades. Los campos de fuerzas, por el contrario, son casos particulares de campos vectoriales, en los cuales, los vectores tienen que ser definidos físicamente.

Así por ejemplo, su profesor debe explicarle que en la naturaleza, se presentan campos de fuerzas, originados en las propiedades de las partículas fundamentales constituyentes de la materia (propiedad masa y propiedad carga). El vector campo, en cada caso, es la fuerza que ejerce una partícula (colocada en el centro de fuerzas), sobre otra partícula colocada a distancia de la primera.

La partícula que aplica la fuerza se denomina “partícula fuente”. En la naturaleza encontramos, por ejemplo, el campo gravitatorio. Este es un campo vectorial, en el cual el vector en cada punto es la fuerza que se ejerce sobre una partícula con masa (m2) colocada en ese punto. ¿Quién la ejerce? : otra partícula con masa (m1), colocada en el centro de fuerzas. En otro ejemplo, el campo eléctrico, el vector es la fuerza que se ejerce sobre una partícula con carga (q2) colocada en ese punto. ¿Quién la ejerce? : otra partícula con carga (q1), colocada en el centro de fuerzas.

F = G m1m2 / r2 m2

F = K q1q2 / r2 q2

m1 atracción gravitatoria q1 repulsión eléctrica

En el caso de la atracción gravitatoria, el vector campo en un punto se escribe F = G(m1m2/r2) r….

¿Qué significa r?: es un vector unitario, en la dirección y sentido del vector que une el centro de fuerzas (posición de la partícula fuente, m1) con el punto de interés (posición de la partícula en estudio, m2).

¿CÓMO ES EL MAPA DE LÍNEAS DE FUERZAS DE ESTO CAMPOS?

Son campos vectoriales radiales, siempre convergentes en el caso del campo gravitatorio (porque las fuerzas son siempre atractivas) o, convergentes o divergentes en el caso del campo eléctrico, porque las fuerzas pueden ser atractivas o repulsivas, dependiendo del signo de las cargas.

Centro de fuerzas

¿SI LOS CAMPOS GRAVITATORIOS Y ELECTROSTÁTICOS SON RADIALES, NUNCA PODREMOS TENER CAMPOS CONSTANTES, UNIFORMES, HORIZONTALES O DE CUALQUIER OTRA FORMA?

Si es posible, porque cuando se tienen varias “fuentes de campos” (por ejemplo, varias partículas), sus campos individuales se superponen unos con otros, pudiendo dar como resultado campos de cualquier configuración. Es decir, este tipo de campos (gravitatorios, electrostáticos. magnéticos) aceptan el principio de superposición

Por ejemplo, el campo eléctrico puede llegar a ser uniforme, entre las placas conductoras cargadas de un osciloscopio…..o el campo magnético en la parte central interna de una bobina, es uniforme…o el campo gravitatorio, en la superficie de un planeta, es aproximadamente, uniforme.

¿QUE NECESITAMOS PARA DEFINIR EL CAMPO ELECTRÓSTATICO?: FUERZA ENTRE CARGAS ELÉCTRICAS (LEY DE COULOMB)

Hay que partir de la ley de Coulomb, la cual describe la fuerza que se ejerce entre dos cargas puntuales, separadas por una distancia x entre ellas. Las esferitas a que se refieren estos problemas, son cuerpos muy pequeños, puntuales, de ahí su denominación de “cargas puntuales”). Coulomb estableció que esa fuerza podía ser atractiva o repulsiva, dependiendo del signo de las cargas, siempre direccionada a lo largo de la línea recta que une ambas cagas e inversamente proporcional a la distancia que las separa. En símbolos

F = K (Q1 Q2 / X2) r

El profesor debe explicarle el significado de cada uno de esos términos… y de inmediato, aprovechando sus conocimientos de las leyes de Newton y el álgebra vectorial, usted podrá aplicarlos a los siguientes ejercicios. Recuerde el principio de superposición y aclare muy bien el significado de r . …las cargas que interactúan entre sí, pueden ser partículas fundamentales (electrón, protón), cuerpos macroscópicos cargados o cargas puntuales (cuerpos cargados de dimensiones muy pequeñas).

8) Dos esferitas de corcho, cargadas ambas con la misma carga q (valor y signo), suspendidas de hilos de longitud L, están en equilibrio. Si se conoce L, 2θ y la separación entre las esferitas, ¿Cuánto vale q? ¿Qué sucede con el ángulo 2θ , si una de las esferitas ahora duplica esa carga (la otra esferita mantiene su carga q, calculada inicialmente)? ¿Qué sucede con el ángulo 2θ, si es la masa de una esferita la que se triplica en relación a su valor inicial, manteniendo en ambas esferas la carga q calculada inicialmente?

Inicialmente, d = 12 cm ; 2θ = 22,4º ; m = 800 mg

9) Se tiene una carga de 3 μC y a 4 m de distancia, se coloca otra carga, de 12 μC. Determine si hay algún punto en el cual, cualquier carga positiva o negativa colocada en ese punto, no experimente fuerza alguna debida a esas dos cargas.

10) Dos cargas positivas idénticas (Q) están ubicadas en los vértices opuestos de un cuadrado. Otras dos cargas negativas idénticas (q) , se fijan en los otros dos vértices ¿Cuál debe ser el valor de q, para que se anule la fuerza sobre cualquiera de las cargas Q?. Tome Q = 12 µC q Q

Q q

11) Una esferita de carga q = 600 µC, está suspendido de un hilo de longitud L= 3 m y gira alrededor de otra esferita de idéntica carga, pero inmóvil. La dirección del hilo forma un ángulo θ = 35º con la vertical. Determine la rapidez angular ω con la cual gira la esferita.

12) Tres esferitas idénticas, cada una de masa m y carga Q, están suspendidas de un punto común mediante hilos de longitud L = 2 m . Las esferitas se repelen entre sí hasta que alcanzan el equilibrio, situándose en los vértices de un triángulo equilátero de lado a= 80 mm ¿Cuánto vale Q?

13) Cuatro esferitas idénticas están atadas mediante hilos aislantes e inextensibles de igual longitud, L = 20 cm, los cuales se unen a un punto común. Se coloca el sistema sobre una superficie horizontal sin fricción y a continuación se le comunica a cada esferita igual carga Q = 12 µC. Los hilos se tensan, pero la Tensión máxima que puede soportar cada uno de ellos es de 300 N ¿Se romperán?

14) Se tiene una carga puntual de 3 μC y a 4 m de distancia, se coloca otra carga puntual, de 12 μC. Determine si hay algún punto en el cual, cualquier carga puntual positiva o negativa

colocada en ese punto, no experimente fuerza alguna debida a esas dos cargas.

Con la fuerza coulombiana ya estudiada y el principio de superposición, se puede entonces comenzar a estudiar campos eléctricos de distribuciones de cargas …discretas o continuas , ..el profesor debe aclarar el significado de estos dos términos.

DEL CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL AL CAMPO ELÉCTRICO DE VARIAS CARGAS PUNTUALES (DSTRIBUCIÓN DISCRETA DE CARGAS)

Partiendo de la ley de Coulomb, se puede establecer que una carga puntual crea, efectivamente, un campo de fuerzas. A través de la discusión, el profesor debe mostrarle que ese campo, necesariamente es radial, (solo depende de la distancia a la carga), divergente o convergente (dependiendo del signo de la carga) y convenientemente definido como la fuerza por unidad de carga positiva colocada en ese punto, E = F / q (N/C). Cuando se tiene más de una carga puntual, hay que aplicar superposición y el campo pierde su característica radial, como puede verse en el campo creado por dos cargas puntuales…

a) b)

c) d) e)

3 cm

f)

a) Campo de una carga puntual positiva; b) campo de una carga puntual negativa; c) campo de dos cargas puntuales, del mismo valor pero de signo opuesto…ESTA DISTRIBUCIÓN ES IMPORTANTE. SE DENOMINA “DIPOLO ELÉCTRICO” ; d) campo de dos cargas puntuales del mismo signo ; e) campo de cargas puntuales de sigo opuesto y que difieren en magnitud; f) campo de dos cargas idénticas, en tres dimensiones

15) Se muestran dos cargas puntuales positivas, con idéntica carga. Se quiere determinar una expresión de campo eléctrico debido a ambas cargas, a lo largo del eje bisector de la recta que las une y a partir de ella, obtener la magnitud del campo en el punto O. Dato : q = 4 μC

12 cm

q q

16) Problema con tres cargas puntuales. En el esquema de la figura, los puntos negros representan sendas cargas puntuales colocadas en los vértices de un triángulo rectángulo. trate de determinar el campo eléctrico en el punto D. Q1 = 8 μC ; Q2 = - 5 μC ; Q3 = 12 μC

Q1

6 m

D

Q2 9 m Q3 5 m

O

El aumentar el número de cargas, aumenta la complicación algebraica, trigonometría, geometría, etc., pero no agrega nada conceptualmente

A. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL ∫ B. DA , EN EL CASO DEL CAMPO ELÉCTRICO ,MEDIANTE LA LEY DE GAUSS: SE TRATA DE LA DETERMINACIÓN DEL FLUJO DE LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO QUE ATRAVIESA UNA

SUPERFICIE(∫ E. dA ), DENTRO DE LA CUAL HAY CARGAS ELÉCTRICAS….

Posteriormente, emplearemos la ley de Gauss para determinar la expresión del campo eléctrico de ciertas distribuciones de carga..pero lo haremos con relativa facilidad. … estos 7 ejercicios probarán si usted entiende el

significado de esta ley

17) Se muestran las líneas de campo eléctrico para dos cargas puntuales separadas por una pequeña distancia. Determine a) la proporción q1/q2 b) signos de q1 y q2

18) Una carga puntual q = 1,84 µC está en el centro de una superficie cúbica, de 55 cm de lado. Calcule Φ a través de esa superficie.

R : 208 kN m2/C19) Una carga puntual q de 12 μC, se coloca en un vértice de un cubo de lado a ¿Cuál es el flujo que pasa por

las caras del cubo?20) Una carga puntual +q de 6 ηC, se halla a una distancia d/2 de una superficie cuadrada de lado d y está

arriba del centro del cuadrado. Calcule el flujo eléctrico que atraviesa el cuadrado (suponga que d = 8 cm) R : 1123,6 x 1012 Nm2/C

21) En la figura se muestran cuatro superficies cerradas , S1 a S4, junto con las cargas – 2 Q , Q y – Q. Encuentre el flujo eléctrico a través de cada superficie

22) Una carga puntual Q se localiza justo arriba del centro de la cara plana de un hemisferio de radio R. Determine el flujo eléctrico …

a.…que atraviesa la superficie curvab.…que atraviesa la cara plana

23) En la atmósfera, a un altura de 300 m , se sabe que hay un campo eléctrico, dirigido verticalmente hacia abajo, de 58 N/c, mientras que a 200 m, el campo es de 110 N/C. Calcule la cantidad de carga contenida en un cubo imaginario de 100 m de lado, colocado a una altura entre 200 y 300 m

R : 4,6 µC

…PARA QUE DESCANSE, MIENTRAS……

1. Si el flujo neto que atraviesa una superficie gaussiana es cero, ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas

a. No hay cargas dentro de la superficieb. La carga neta dentro de la superficie es ceroc. El campo eléctrico es cero en cualquier punto sobre la superficied. El número de líneas de campo eléctrico que entran a la superficie es igual al número

de líneas que sale de la superficie 2. Una superficie gaussiana esférica rodea una carga puntual q. Describa que sucede con el flujo

total a través de la superficie, sia. La carga se triplica

B. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGASAhora hay que pasar de una o varias cargas puntuales (prácticamente puntos matemáticos, sin dimensiones), a distribuciones continuas de carga, lineales, planas, volumétricas,… En principio, todo cuerpo macroscópico es eléctricamente neutro, porque tiene tantas cargas negativas como positivas…sin embargo, hay maneras de suministrarle o sustraerle carga a un cuerpo, por ejemplo, mediante frotación (fricción) … un agente externo invierte energía cuando frota un cuerpo contra otro,… esa energía puede ser suficiente como para extraer electrones de un cuerpo y pasarlos al otro… ¿Cuál cuerpo dona y cuál recibe esos electrones?: eso depende de la fuerza con la cual cada cuerpo, por separado, intenta retener a sus propios electrones ( valor de la “función trabajo”, se denomina) … es por eso, por ejemplo, que el vidrio frotado con asbesto , se carga negativamente pero al frotarlo con seda, cede electrones y se carga positivamente …en la tabla triboeléctrica se clasifican los materiales de acuerdo con estas propiedades…

TABLA TRIBOELÉCTRICA

1) asbesto 7) piel de gato 13 ) madera Metales (platino, oro) 2) piel de conejo 8) grafito 14) ámbar celuloide3) vidrio 9) seda 15) plásticos La sustancia que aparezca

por encima de la otra, se cargará positivamente

4) mica 10 ) piel humana 16) metales (cobre, platón) 5) lana 11) aluminio 17) caucho6) cuarzo 12) algodón 18) azufre

C. AISLANTES, CONDUCTORES, SEMICONDUCTORES Y SUPERCONDUCTORES

No es lo mismo cargar un cuerpo aislante que un cuerpo conductor. Ejemplo típico de conductores, son los metales. El enlace metálico permite que existan electrones prácticamente libres en todo el cuerpo del metal, disponibles para moverse con relativa facilidad…mientras que en un aislante (o dieléctrico), todos los electrones están firmemente ligados a los átomos o moléculas, no hay carga disponible para moverse libremente… en general, polímeros y cerámicas, son, típicamente, aislantes.

Cuando se carga a un conductor, por ejemplo con un exceso de electrones, se produce un reposicionamiento de esta carga hasta que se sitúa en la superficie del conductor, en estado de equilibrio…esto se hace en un lapso my pequeño ( del orden de 100 as!!…aproveche sus conocimientos de los prefijos griegos y trate de expresar ese tiempo en segundos).

El profesor debe explicarle con claridad, porque tiene que realizarse este movimiento de la carga en exceso y porque ésta se sitúa en la superficie del metal y no en su interior… (debe apoyarse en la ley de Gauss)

Esta discusión lo debe llevar a cuatro conclusiones, todas importantes, en el caso de conductores cargados…

La carga , en exceso, se sitúa en la superficie del conductor El campo eléctrico no existe dentro del conductor, sólo hay campo en el exterior del conductor y

en su superficie El campo eléctrico en la superficie del conductor, tiene que ser perpendicular a esa superficie,

en todos sus puntos. La magnitud del campo eléctrico en la superficie del conductor debe valer 2 π K σ, con σ =

densidad superficial de carga.

Cuando se carga un cuerpo dieléctrico (aislante) , la situación es muy diferente: la carga puede distribuirse dentro del volumen del cuerpo y el campo eléctrico dentro de dieléctrico puede ser diferente de cero…