C06 Lugar Raices
34
Capitulo 6 El Lugar de las Raíces 1 Eac©2014
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Capitulo 6
El Lugar de las Races
1 Eac2014
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Logros del Tema Al finalizar este tema, usted ser capaz de responder las
siguientes preguntas:
2 Eac2014
Cmo se mueven las
races de la ecuacin
caracterstica en el plano
s cuando se modifica un
parmetro del sistema de
control?
Cmo obtener un
dibujo del lugar de
races a mano?
-
Que es el Lugar de las Races ?
Luga
r d
e la
s R
ace
s
3 Eac2014
Trayectorias seguidas por los polos de un sistema en lazo
cerrado (races) cuando un parmetro del sistema es cambiado.
Se grafica en el plano-s
F.T. Lazo Cerrado:
Ecuacin Caracterstica en Lazo Cerrado:
-
Que es el Lugar de las Races ?
Luga
r d
e la
s R
ace
s
4 Eac2014
Ecuacin Caracterstica:
Ejemplo.
-
Que es el Lugar de las Races ?
Luga
r d
e la
s R
ace
s
5 Eac2014
El lugar de las races (L.R.) no se limita a analizar el efecto de la
ganancia del controlador sobre los polos en lazo cerrado, sino
tambin el efecto de cualquier parmetro del sistema. Veamos un
ejemplo.
Ejemplo.
-
Formulacin del Problema
Luga
r d
e la
s R
ace
s
6 Eac2014
Nuestra Misin:
Encontrar los valores de las n races variando el valor:
-
Formulacin del Problema
Luga
r d
e la
s R
ace
s
7 Eac2014
Ejemplo de Lugar de las Races
Obtenido en Base a Propiedades
-
Criterio de la Magnitud y ngulo
Luga
r d
e la
s R
ace
s
8 Eac2014
Criterio de la Magnitud:
Criterio del ngulo:
-
Criterio de la Magnitud y ngulo
Luga
r d
e la
s R
ace
s
9 Eac2014
Interpretacin Grfica
Ejemplo:
Criterio de la Magnitud: Criterio del ngulo
-
Simetra
Lu
gar
de
las
Ra
ces
10 Eac2014
Ya que la ecuacin caracterstica esta formada por polinomios
con coeficientes reales, las races de esta ecuacin sern
siempre: nmeros reales o nmeros complejos conjugados.
Grficamente esto equivale a decir que habr simetra en el L.R.
con respecto al eje real.
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Reglas de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
11 Eac2014
REGLA #1 (Puntos de Partida)
Los puntos de
partida de las n ramas del L.R.
coinciden con los
polos en lazo
abierto.
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Reglas de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
12 Eac2014
REGLA #2 (Puntos de Llegada)
Los puntos de
llegada de q ramas del L.R.
coinciden con los
ceros en lazo
abierto.
Pregunta: A donde se van las restantes n q races.?
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Reglas de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
13 Eac2014
REGLA #2 (Puntos de Llegada)
Respuesta: Al infinito. Pero de que forma?
ANALISIS: Imagine ver el plano complejo desde una gran
distancia. Desde esa distancia, todos los polos y ceros de P(s)
parecen estar en el origen, entonces P(s) se parece a: 1/sn-q
Grficamente podemos ver a donde van los polos excedentes
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Reglas de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
14 Eac2014
REGLA #2 (Puntos de Llegada)
-
Reglas de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
15 Eac2014
REGLA #3 (L.R. sobre el Eje Real)
El criterio del ngulo nos permite determinar los segmentos de las
trayectorias del L.R. sobre el eje real:
Ejemplos:
El L.R. existe en todo segmento sobre el eje real donde el numero total de polos y ceros a la derecha sea impar
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Reglas de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
16 Eac2014
REGLA #4 (Puntos de Ruptura)
Una raz repetida en el L.R. se presenta como un punto en el que
dos o mas ramas se encuentran y luego se separan. El punto en
el que una o mas races repetidas ocurre se llama punto de ruptura. En este punto las races satisfacen simultneamente:
Aunque las soluciones de las ecuaciones de arriba no
necesariamente ocurren en el eje real, es comn que si ocurran
en el eje real. Cuando esto ocurre se presenta uno de los
siguientes fenmenos conforme K aumenta: (i) Dos races que son reales se encuentran y vuelven complejas. (ii) Dos races que
son complejas se encuentran y se vuelven reales.
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Reglas de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
17 Eac2014
REGLA #4 (Puntos de Ruptura)
Ejemplos:
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Reglas de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
18 Eac2014
REGLA #5 (Cruce con el Eje Imaginario)
Se puede determinar usando el Criterio de Routh-Hurwitz
haciendo que existan ceros en la primera columna y despejando
el valor de K.
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Reglas de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
19 Eac2014
REGLA #5 (Cruce con el Eje Imaginario)
OBSERVACION: [Margen de Ganancia]
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Reglas de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
20 Eac2014
REGLA #6 (ngulos de Partida y de Llegada)
Se puede determinar con el Criterio del ngulo.
Ejemplo:
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Reglas de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
21 Eac2014
REGLA #7 (El Centroide de las Raices)
El centroide de las races es definido por la siguiente ecuacin:
Observando la ecuacin caracterstica podemos notar que en el
caso , la suma de las races del polinomio es constante:
Entonces podemos deducir que en el caso , el centroide
de las races se mover. Saber esto puede ser til para determinar
una raz conociendo las otras.
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Ejemplo de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
22 Eac2014
Construya el grfico del L.R. para el siguiente sistema de control
por realimentacin:
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Ejemplo de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
23 Eac2014
REGLA #1 (Puntos de Partida)
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Ejemplo de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
24 Eac2014
REGLA #2 (Puntos de Llegada)
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Ejemplo de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
25 Eac2014
REGLA #3 (L.R. sobre el Eje Real)
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Ejemplo de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
26 Eac2014
REGLA #4 (Puntos de Ruptura)
En los puntos de ruptura tenemos:
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Ejemplo de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
27 Eac2014
REGLA #4 (Puntos de Ruptura)
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Ejemplo de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
28 Eac2014
REGLA #5 (Cruce con el Eje Imaginario)
Se puede determinar con el Criterio de Routh-Hurwitz
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Ejemplo de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
29 Eac2014
REGLA #5 (Cruce con el Eje Imaginario)
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Ejemplo de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
30 Eac2014
REGLA #6 (ngulos de Partida y de Llegada)
Se puede determinar con el Criterio del ngulo
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Ejemplo de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
31 Eac2014
REGLA #6 (ngulos de Partida y de Llegada)
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Ejemplo de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
32 Eac2014
Finalmente podemos trazar el esbozo del L.R. .
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Ejemplo de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
33 Eac2014
EJERCICIOS
Elabore un bosquejo del L.R. del sistema de control por
realimentacin para plantas que tienen los siguientes mapas de
polos y ceros:
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Ejemplo de Construccin del L.R. Lu
gar
de
las
Ra
ces
34 Eac2014
PROBLEMA
a. Haciendo un bosquejo rpido del L.R., muestre que el sistema
de control es inestable para cualquier controlador
proporcional.
b. Haciendo un bosquejo del L.R. del sistema de control,
muestre que el sistema de control puede llegar a ser estable
si:
Determine el valor de K para el cual el sistema se vuelve
marginalmente estable.
