5.° grado: Matemática

SEMANA 8

Calculamos la longitud de un túnel usando razones trigonométricas

DÍA 3

Los recursos que utilizaremos serán:

Cuaderno de trabajo de matemática: Resolvamos problemas 5_día 3, ficha 8, página 106.Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma.

Días 3 y 4:Resolvamos

Leemos y observamos la siguiente situación

Longitud del túnelUna empresa construyó un túnel que atraviesa un cerro y conecta dos distritos limeños, tal como se observa en el gráfico.

1050 m 127°

37°

A partir de la situación responde:

1. Teniendo como información las medidas realizadas por los ingenieros, ayuda a determinar la longitud del túnel.

Comprendemos la situación Lee y responde las siguientes preguntas:

1. Según la situación, ¿qué se construyó para conectar los dos distritos limeños? Marca tu respuesta.

a) Un puenteb) Un túnelc) Una carretera

2. ¿Qué forma tiene el cerro donde se construyó el túnel? Marca y explica tu respuesta.

a) Triángulo rectángulob) Triángulo isóscelesc) Triángulo escaleno

3. ¿Qué información de la situación es indispensable utilizar para encontrar la longitud del túnel? Puedes marcar una o más respuestas.

El ángulo de 37°.El túnel atraviesa dos distritos limeños.La longitud de un lado del triángulo, mide1050 metros.El túnel atraviesa el cerro.El ángulo de 127°.Los dos ángulos del triángulo suman 164°.

Explica aquí tu respuesta.

1. Describe el procedimiento que seguirías para dar respuesta a la consigna de la situación.

Diseñamos una estrategia o plan

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Razón trigonométrica

Se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados de untriángulo rectángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos.

α

a

b

cEn el triángulo de la figura:

α: un ángulo agudo del triángulo (0°˂ α ˂ 90°)

c: hipotenusaa: cateto opuesto al ángulo αb: cateto adyacente al ángulo α

En este triángulo se cumple:

c ˃ 0, a ˃ 0, b ˃ 0

c ˃ a, c ˃ b

a + b ˃ c

𝑐2= 𝑎2+ 𝑏2

Teorema de Pitágoras

Recordemos

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Recordemos

sen α =cateto opuesto

hipotenusa=𝑎

𝑐

cos α =cateto adyacente

hipotenusa=𝑏

𝑐

ctg α =cateto adyacente

cateto opuesto=𝑏

𝑎

tg α =cateto opuesto

cateto adyacente=𝑎

𝑏

sec α =hipotenusa

cateto adyacente=𝑐

𝑏

csc α =hipotenusa

cateto opuesto=𝑐

𝑎

α

a

b

c

Razones trigonométricas de ángulos agudos en triángulos rectángulos notables

Las razones trigonométricas de estos ángulos se obtienen de los siguientes triángulos rectángulos:

Resolución de triángulos rectángulos

Significa encontrar la medida de sus tres lados y sus tres ángulos interiores.Nos encontramos con los siguientes casos:

a) Se conoce la longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo.

b) Se conoce la medida de un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ángulo.

c) Se conoce la medida de un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente a dicho ángulo.

a) Se conoce la longitud de la hipotenusa y la medida de un ángulo agudo:

α

x

y

c

y = c ∙ cos α

x = c ∙ sen α

α

c

𝑦

𝑐= cos α y = c ∙ cos α

• Cálculo de y:

• Dato 1: la medida de un lado:hipotenusa (c).

• Dato 2: la medida de

un ángulo agudo: α.

• Incógnitas: la medida de

los lados: x, y.

• Cálculo de x:

𝑥

𝑐= sen α x = c ∙ sen α

b) Se conoce la medida de un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ángulo:

α

a

y

x

y = a ∙ ctg α

a

α

x = a ∙ csc α

𝑦

𝑎= ctg α y = a . ctg α

• Cálculo de y:

• Dato 1: la medida de un lado:

cateto opuesto (a).

• Dato 2: la medida del ángulo

agudo: α.

• Incógnitas: la medida de

los lados: x, y.

𝑥

𝑎= csc α x = a ∙ csc α

• Cálculo de x:

c) Se conoce la medida de un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente a dicho ángulo:

α

y

b

x y = b ∙ tg αx = b ∙ sec α

α

b

𝑦

𝑏= tg α y = b ∙ tg α

• Cálculo de x:

• Cálculo de y:

• Dato 1: la medida de un lado:cateto adyacente: (b).

• Dato 2: la medida de un ángulo agudo: α.

• Incógnitas: la medida de los lados: x, y.

𝑥

𝑏= sec α x = b ∙ sec α

Nota: Para efectos prácticos, cuandose requiera calcular la longitud deun lado de un triángulo rectángulo,en cualquiera de los tres casosmencionados, se sugiere formar lasiguiente igualdad:

Ejemplo:En el gráfico, la hipotenusa mide my uno de los ángulos agudos mide Ɵ. Calcula el valor de x.

Ɵ

x

m

Resolución: Aplicando la regla práctica.

𝑥

𝑚= sen Ɵ x = m ∙ sen Ɵ

lado incógnita

lado dato= R. T. (ángulo dato)

Ejecutamos la estrategia o planTeniendo como información las medidas tomadas por los ingenieros, ayuda a determinar la longitud del túnel.

Resolución• Represento la situación:

• Trazo la altura BH para formar los triángulos rectángulos AHB y BHC.

127°

37°

xA

B

C

cos 16°= cateto adyacente

hipotenusa= 24

25tg 37°=

cateto opuesto

cateto adyacente=

3

4

Razones trigonométricas

53°

37°

x

A

B

CH

74°

16°

a bb

h

74°

Recuerda: Triángulos notables

• En el triángulo rectángulo AHB calculamos a y h.

A

B

H

74°

16°

a

h

a = 1008 m

Cálculo de a:

Sabemos que cos 16° = 24

25.

Del triángulo tenemos:

cos 16° =𝑎

1050m

24

25=

𝑎

1050m

Cálculo de h:

Sabemos que sen 16° = 7

25

Del gráfico tenemos:

sen 16° = ℎ

1050m

7

25=

ℎ

1050m

h = 294 m

• En el triángulo rectángulo BHC calculamos b:

• Calculamos la longitud del túnel:

En el triángulo ABC, x = a + b.

Reemplazando:

x = 1400 m

53°

37°

B

CH

bb

h = 294 m

Sabemos que tg 37° = 3

4.

Del triángulo tenemos:

tg 37° =294

𝑏

3

4=

294

𝑏b = 392 m

53°

37°

x

A

B

CH

74°

16°

a b

h

x = 1008 m + 392 m

Respuesta: La longitud del túnel es 1400 metros.

Reflexionamos sobre lo desarrollado

1. Describe el procedimiento seguido. 2. ¿Qué ventajas presenta hacer el dibujo?

3. ¿Qué condiciones habría que tener en cuenta para determinar la longitud del túnel mediante un gráfico?

Para seguir aprendiendo en casa

Disponible en la sección Guía de actividades día 4.

Estimada y estimado estudiante, con la finalidad de afianzar tus aprendizajes matemáticos te invitamos a revisar la actividad del día 4, donde encontrarás otras situaciones similares que deberás resolver.

Días 3 y 4

Gracias