La historia del cálculo

Suele considerarse que el cálculo es una creación de los matemáticos europeos del siglo XVII, cuyo trabajo más importante fue realizado por Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1711). Esta percepción tradicional en general es correcta. No obstante, cualquier teoría a gran escala es un mosaico cuyas baldosas fueron colocadas a lo largo de mucho tiempo; y en cualquier teoría viviente las baldosas continúan colocándose de manera continua. La declaración más poderosa que los historiadores se arriesgan a hacer es que un patrón se hizo evidente en cierto momento y lugar. Es el caso del cálculo. Podemos afirmar con cierta confianza que los primeros trabajos del tema aparecieron en el siglo XVII y que el patrón se aclaró mucho más gracias al trabajo de Newton y Leibniz. Sin embargo, muchos de los principios esenciales del cálculo se descubrieron desde mucho antes, en la época de Arquímedes (287-211 a.C.), y algunos de esos mismos descubrimientos se lograron de manera independiente en China y en Japón.

Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz

Además, si se escudriña con más profundidad en los problemas y métodos del cálculo, uno pronto se encuentra en la persecución de problemas que conducen a las áreas modernas de la teoría de funciones analíticas, geometría diferencial y funciones de una variable real. Para cambiar la metáfora del arte al transporte, podemos pensar que el cálculo es una gran estación de ferrocarril, donde los pasajeros que llegan de muchos sitios diferentes están juntos durante un tiempo breve antes de embarcarse hacia destinos diversos. En este ensayo tratamos de mirar en ambas direcciones desde esta estación, hacia los puntos de origen y los destinos. Empecemos con la descripción de la estación.

¿Qué es el cálculo? El cálculo suele dividirse en dos partes, denominadas cálculo diferencial y cálculo integral. El cálculo diferencial investiga las propiedades de las razones de cambio

comparativas de variables que están vinculadas por medio de ecuaciones. Por ejemplo, un resultado fundamental del cálculo diferencial es que si y=xn entonces la razón de cambio de y con respecto a x es n xn−1. Resulta que cuando se usa la intuición para pensar en ciertos fenómenos.

Movimiento de los cuerpos, cambios en la temperatura, crecimiento de poblaciones y muchos otros, se llega a postular ciertas relaciones entre estas variables y sus razones de cambio. Estas relaciones se escriben en una forma conocida como ecuaciones diferenciales. Así, el objetivo principal de estudiar cálculo diferencial consiste en comprender qué son las razones de cambio y cómo escribir ecuaciones diferenciales. El cálculo integral proporciona métodos para recuperar las variables originales conociendo sus razones de cambio. La técnica para hacer esto se denomina integración, y el objetivo fundamental del estudio del cálculo integral es aprender a resolver las ecuaciones diferenciales proporcionadas por el cálculo diferencial.

A menudo estos objetivos están encubiertos en libros de cálculo, donde el cálculo diferencial se utiliza para encontrar los valores máximo y mínimo de ciertas variables, y el cálculo integral se usa para calcular longitudes, áreas y volúmenes. Hay dos razones para recalcar estas aplicaciones en un libro de texto. Primero, la utilización completa del cálculo usando ecuaciones diferenciales implica una teoría más bien complicada que debe presentarse de manera gradual; entre tanto, al estudiante debe enseñársele algún uso de las técnicas que se proponen. Segundo, A menudo estos objetivos están encubiertos en libros de cálculo, donde el cálculo diferencial se utiliza para encontrar los valores máximo y mínimo de ciertas variables, y el cálculo integral se usa para calcular longitudes, áreas y volúmenes. Hay dos razones para recalcar estas aplicaciones en un libro de texto. Primero, la utilización completa del cálculo usando ecuaciones diferenciales implica una teoría más bien complicada que debe presentarse de manera gradual; entre tanto, al estudiante debe enseñársele algún uso de las técnicas que se proponen. Segundo, estos problemas fueron la fuente de las ideas que condujeron al cálculo; los usos que ahora hacemos del tema sólo se presentaron después del descubrimiento de aquél.

Al describir los problemas que llevaron al cálculo y los problemas que pueden resolverse usando cálculo, aún no se han indicado las técnicas fundamentales que hacen de esta disciplina una herramienta de análisis mucho más poderosa que el álgebra y la geometría. Estas técnicas implican el uso de lo que alguna vez se denominó análisis infinitesimal. Todas las construcciones y las fórmulas de la geometría y el álgebra de preparatoria poseen un carácter finito. Por ejemplo, para construir la tangente de un círculo o para bisecar un ángulo se realiza un número finito de operaciones con regla y compás. Aunque

Euclides sabía considerablemente más geometría que la que se enseña en cursos actuales modernos de preparatoria, él también se autoconfinó esencialmente a procesos finitos. Sólo en el contexto limitado de la teoría de las proporciones permitió la presencia de lo infinito en su geometría, y aun así está rodeado por tanto cuidado lógico que las demostraciones implicadas son extraordinariamente pesadas y difíciles de leer. Lo mismo ocurre en álgebra: para resolver una ecuación polinomial se lleva a cabo un número finito de operaciones de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíz. Cuando las ecuaciones pueden resolverse, la solución se expresa como una fórmula finita que implica coeficientes.

Sin embargo, estas técnicas finitas cuentan con un rango limitado de aplicabilidad. No es posible encontrar las áreas de la mayoría de las figuras curvas mediante un número finito de operaciones con regla y compás, y tampoco resolver ecuaciones polinomiales de grado mayor o igual que cinco usando un número finito de operaciones algebraicas. Lo que se quería era escapar de las limitaciones de los métodos finitos, y esto condujo a la creación del cálculo. Ahora consideraremos algunos de los primeros intentos por desarrollar técnicas para manipular los problemas más difíciles de la geometría, luego de lo cual trataremos de resumir el proceso mediante el que se trabajó el cálculo, y finalmente exhibiremos algo de los frutos que ha producido.

Las fuentes geométricas del cálculo Uno de los problemas más antiguos en matemáticas es la cuadratura del círculo; es decir, construir un cuadrado de área igual a la de un círculo dado.Como se sabe, este problema no puede resolverse con regla y compás. Sin embargo, Arquímedes descubrió que si es posible trazar una espiral, empezando en el centro de un círculo que hace exactamente una revolución antes de llegar al círculo, entonces la tangente a esa espiral, en su punto de intersección con el círculo, forma la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuya área es exactamente igual al círculo (vea la figura 1). Entonces, si es posible trazar esta espiral y su tangente, también lo es cuadrar el círculo. Arquímedes, no obstante, guardó silencio sobre cómo podría trazarse esta tangente.

Observamos que uno de los problemas clásicos en matemáticas puede resolverse sólo si es posible trazar cierta curva y su tangente. Este problema, y otros parecidos, originaron que el problema puramente matemático de encontrar la tangente a una curva se volviera importante. Este problema constituye la fuente más importante del cálculo diferencial. El truco “infinitesimal”

LA FIGURA MUESTRA la espiral de Arquímedes. La tangente al final de la primeravuelta de la espiral y los dos ejes forman un triángulo con área igual a ladel círculo centrado en el origen y que pasa por el punto de la tangente

Que permite la solución del problema es considerar la tangente como la recta determinada por dos puntos en la curva “infinitamente próximos” entre sí. Otra forma de decir lo mismo es que una pieza “infinitamente corta” de la curva es recta. El problema es que resulta difícil ser preciso sobre los significados de las frases “infinitamente próximos” e “infinitamente cortos”.Poco avance se logró en este problema hasta la invención de la geometría analítica en el siglo XVII por Pierre de Fermat (1601-1665) y René Descartes (1596-1650). Una vez que se pudo representar una curva por medio de una ecuación, fue posible afirmar con más confianza lo que se entendía por puntos “infinitamente próximos”, al menos para ecuaciones polinomiales como y=x2 Con simbolismo algebraico para representar puntos en la curva, era posible considerar dos puntos sobre la curva con coordenadas x0 y x1, de modo que x1−x0es la distancia entre las coordenadas x. Cuando la ecuación de la curva se escribía en cada uno de estos puntos y una de las dos ecuaciones se restaba de la otra, un lado de la ecuación resultante contenía el factor x1−x0que entonces podía eliminarse por división. Por lo tanto, si y0=x0

2 y y1=x12 entonces.

y1− y0=x12−x0

2=x1−x0=x1+ x0

y1− y0

x1−x0

=x1+x0

Cuando x1=x0 se concluye que ¿¿) y la expresión y1− y0

x1−x0

carece de

sentido. Sin embargo, la expresión x1+ x0 tiene el valor perfectamente

definido. 2x0 Entonces, es posible considerar a 2x0 como la razón de la diferencia infinitamente pequeña en y; es decir, ¿¿) a la diferencia infinitamente pequeña en x; es decir, x1−x0, cuando el punto (x1 , y1) está infinitamente cerca del punto ( y1 , y 0) sobre la curva y=x2 Como aprenderá al estudiar cálculo, esta razón proporciona suficiente información para trazar la recta tangente a la curva y=x2.

Excepto por pequeños cambios en la notación, el razonamiento anterior es exactamente la forma en que Fermat encontró la tangente a una parábola. Sin embargo, estaba abierta a una objeción lógica: en un momento, ambos lados de la ecuación se dividen entre x1−x0, entonces en un paso posterior decidimos que x1−x0=0. Puesto que la división entre cero es una operación ilegal, parece que estamos tratando de comernos nuestro pastel y no hacerlo; es decir, no se pueden hacer ambas cosas. Tuvo que pasar algún tiempo para responder de manera convincente a esta objeción.

Hemos visto que Arquímedes no pudo resolver el problema fundamental del cálculo diferencial: trazar la tangente a una curva. Sin embargo, Arquímedes pudo resolver algunos de los problemas fundamentales del cálculo integral. De hecho, encontró el volumen de una esfera mediante un sistema extremadamente ingenioso: consideró un cilindro que contenía un cono y una esfera e imaginó cortar esta figura en una infinidad de rebanadas delgadas. Al suponer las áreas de estas secciones del cono, la esfera y el cilindro, pudo demostrar cómo el cilindro equilibraría al cono y a la esfera si las figuras se colocan en los platos opuestos de una balanza. Este equilibrio proporcionó una relación entre las figuras, y como Arquímedes ya conocía los volúmenes del cono y del cilindro, entonces pudo calcular el volumen de la esfera.

Este razonamiento ilustra la segunda técnica infinitesimal que se encuentra en los fundamentos del cálculo: un volumen puede considerarse como una pila de figuras planas, y un área puede considerarse como una pila de segmentos de rectas, en el sentido de que si cada sección horizontal de una región es igual a la misma sección horizontal de otra región, entonces las dos regiones son iguales. Durante el Renacimiento europeo este principio se volvió de uso muy común bajo el nombre de método de los indivisibles para encontrar las áreas y los volúmenes de muchas figuras. Hoy en día se denomina principio de Cavalieri en honor de Bonaventura Cavalieri (1598-1647), quien lo usó para demostrar muchas de las fórmulas elementales que ahora forman parte del cálculo integral. El principio de Cavalieri también fue descubierto en otras tierras donde jamás llegó la obra de Euclides. Por ejemplo, los matemáticos chinos del siglo V Zu Chongzhi y su hijo Zu Geng hallaron el volumen de una esfera usando una técnica bastante parecida al método de Arquímedes.

Así, encontramos matemáticos que anticiparon el cálculo integral usando métodos infinitesimales para encontrar áreas y volúmenes en una etapa muy temprana de la geometría, tanto en la Grecia como la China antiguas. Así ocurre con el método infinitesimal para trazar tangentes; no obstante, este método para encontrar áreas y volúmenes estaba sujeto a objeciones. Por ejemplo, el volumen de cada sección plana de una figura es cero; ¿cómo es posible reunir una colección de ceros para obtener algo que no es cero? Además, ¿por qué el método no funciona en una dimensión? Considere las secciones de un triángulo rectángulo paralelas a uno de sus catetos.

Cada sección corta a la hipotenusa y al otro cateto en figuras congruentes; a saber, en un punto a cada uno. Sin embargo, la hipotenusa y el otro cateto no miden lo mismo. Objeciones como ésta eran preocupantes. Los resultados obtenidos con estos métodos fueron espectaculares. No obstante, los matemáticos prefirieron aceptarlos como un acto de fe, seguir usándolos e intentar construir sus fundamentos más tarde, justo como en un árbol cuando la raíz y las ramas crecen al mismo tiempo.

La invención del cálculo A mediados del siglo XVII se conocían muchas de las técnicas y hechos elementales del cálculo, incluso métodos para encontrar las tangentes de curvas simples y fórmulas de áreas acotadas por estas curvas. En otras palabras, muchas de las fórmulas que usted encontrará en los primeros capítulos de cualquier libro de texto de cálculo ya eran conocidas antes de que Newton y Leibniz iniciaran su obra. Lo que faltaba hasta fines del siglo XVII era tomar conciencia de que estos dos tipos de problemas están relacionados entre sí.

Para ver cómo se descubrió la relación, es necesario abundar más en las tangentes. Ya mencionamos que para trazar una tangente a una curva en un punto dado se requiere saber cómo encontrar un segundo punto en la recta. En la etapa inicial de la geometría analítica este segundo punto solía tomarse como el punto en que la tangente corta al eje x. La proyección sobre el eje x de la porción de la tangente entre el punto de tangencia y la intersección con el eje x se denominaba subtangente. En el estudio de las tangentes surgió un problema muy natural: reconstruir una curva, dada la longitud de su subtangente en cualquier punto. Por medio del estudio de este problema fue posible percibir que las ordenadas de cualquier curva son proporcionales al área bajo una segunda curva cuyas ordenadas son las longitudes de las subtangentes a la curva original. El resultado es el teorema fundamental del cálculo. El honor de haber reconocido de manera explícita esta relación pertenece a Isaac Barrow (1630-1677), quien lo indicó en un libro denominado Lectiones Geometricae en 1670. Barrow planteó varios teoremas semejantes al teorema fundamental del cálculo. Uno de ellos es el siguiente: Si se traza una curva de modo que la razón de su ordenada a su subtangente [esta razón es precisamente lo que ahora se denomina derivada] es

proporcional a la ordenada de una segunda curva, entonces el área bajo la segunda curva es proporcional a la ordenada de la primera.

Estas relaciones proporcionaron un principio unificado para el gran número de resultados particulares sobre tangentes y áreas que se habían encontrado con el método de indivisibles a principios del siglo XVII: para encontrar el área bajo una curva había que hallar una segunda curva para la cual la razón de la ordenada a la subtangente sea igual a la ordenada de la curvadada. Así, la ordenada de esa segunda curva proporciona el área bajo la primera curva.

En este punto el cálculo estaba preparado para surgir. Sólo requería de alguien que proporcionara métodos sistemáticos para el cálculo de tangentes (en realidad, subtangentes) e invertiera ese proceso para encontrar áreas. Es el trabajo realizado por Newton y Leibniz. Estos dos gigantes de la creatividad matemática siguieron senderos bastante distintos en sus descubrimientos.

El método de Newton era algebraico y desarrolló el problema de encontrar un método eficiente para extraer las raíces de un número. Aunque apenas empezó a estudiar álgebra en 1662, ya alrededor de 1665 las reflexiones de Newton sobre el problema de extraer raíces lo condujeron al descubrimiento de la serie infinita que actualmente se denomina teorema del binomio; es decir, la relación

(1+x )r=1+rx+r (r−1)

2x2+

r (r−1)(r−2)1.2.3

r3… ..

Al combinar el teorema del binomio con técnicas infinitesimales, Newton pudo deducir las fórmulas básicas del cálculo diferencial e integral. Crucial en el enfoque de Newton fue el uso de series infinitas para expresar las variables en cuestión, y el problema fundamental que Newton no resolvió fue establecer que tales series podían manipularse justo como sumas finitas. Por tanto, en un sentido Newton llevó al infinito desde una entrada a su madriguera sólo para encontrar que una cara estaba frente a la otra.

A partir de la consideración de las variables como cantidades físicas que cambian su valor con el tiempo, Newton inventó nombres para las variables y sus razones de cambio que reflejaban esta intuición. Según Newton, un fluent (x) es una cantidad en movimiento o que fluye; su fluxión (x) es su razón de flujo, lo que ahora se denomina velocidad o derivada. Newton expuso sus resultados en 1671 en un tratado denominado Fluxions escrito en latín, pero su obra no fue publicada sino hasta que apareció una versión en inglés en 1736. (La versión original en latín fue publicada por primera vez en 1742.).

A pesar de la notación y de sus razonamientos que parecen insuficientes y rudimentarios hoy en día, el tremendo poder del

cálculo brilla a través del método de las fluxiones de Newton en la solución de problemas tan difíciles como encontrar la longitud de arco de una curva. Se pensaba que esta “rectificación” de una curva era imposible, pero Newton demostró que era posible encontrar un número finito de curvas cuya longitud podía expresarse en términos finitos.

El método de Newton para el cálculo era algebraico, como hemos visto, y heredó el teorema fundamental de Barrow. Por otro lado, Leibniz trabajó el resultado fundamental desde 1670, y su enfoque era diferente al de Newton. Se considera a Leibniz como el pionero de la lógica simbólica, y su opinión acerca de la importancia de la buena notación simbólica era mucho mejor que la de Newton. Inventó la notación dx y dy que sigue en uso. Para él, dx era una abreviación de “diferencia en x”, y representaba la diferencia entre dos valores infinitamente próximos de x. En otras palabras, expresaba exactamente lo que teníamos en mente hace poco cuando consideramos el cambio infinitamente pequeño x1 – x0. Leibniz consideraba que dx era un número “infinitesimal”, diferente de cero, pero tan pequeño que ninguno de sus múltiplos podía exceder cualquier número ordinario. Al ser diferente de cero, podía servir como denominador en una fracción, y así dy/dx era el cociente de dos cantidades infinitamente pequeñas. De esta forma esperaba superar las objeciones al nuevo método establecido para encontrar tangentes.

Leibniz también realizó una aportación fundamental en la técnica controvertida de encontrar áreas al sumar secciones. En lugar de considerar el área [por ejemplo, el área bajo una curva y = f (x)] como una colección de segmentos de recta, la consideraba como la suma de las áreas de rectángulos “infinitamente delgados” de altura y = f (x) y base infinitesimal dx. Por tanto, la diferencia entre el área hasta el punto x + dx y el área hasta el punto x era la diferencia infinitesimal en área dA = f (x) dx, y el área total se encontraba sumando estas diferencias infinitesimales en área. Leibniz inventó la S alargada (el signo ∫❑ integral) que hoy en día se usa universalmente para expresar este proceso de suma. Así expresaba el área bajo la curva y = f (x) como.

A=∫ dA=∫ f ( x )dx, y cada parte de este símbolo expresaba una idea geométrica simple y clara. Con la notación de Leibniz, el teorema fundamental del cálculo de Barrow simplemente indica que el par de ecuaciones.

A=∫ f ( x )dx, dA=dA=f ( x )dx

Son equivalentes. Debido a lo que acaba de plantearse, esta equivalencia es casi evidente.

Tanto Newton como Leibniz lograron grandes avances en matemáticas, y cada uno posee bastante crédito por ello. Resulta lamentable que la estrecha coincidencia de su obra haya conducido a una enconada discusión sobre la prioridad entre sus seguidores.Algunas partes del cálculo, que implican series infinitas, fueron inventadas en India durante los siglos XIV y XV. Jyesthadeva, matemático indio de fines del siglo XV, proporcionó la serie

θ=r ( senθcosθ

− sen3θ3cos3θ

+ sen5θ3 cos5θ

−…)

Para la longitud de un arco de círculo, demostró este resultado y de manera explícita planteó que esta serie converge sólo si u no es mayor que 45°. Si se escribe θ = arctan x y se usa el hecho de que senθcosθ

=tanθ=x, esta serie se convierte en la serie normal para arctan x.

De modo independiente, otras series fueron desarrolladas en Japón casi al mismo tiempo que en Europa. El matemático japonés Katahiro Takebe (1664-1739) encontró un desarrollo en serie equivalente a la serie para el cuadrado de la función arcsen. Él consideró el cuadrado de la mitad de arco a la altura h en un círculo de diámetro d; esto resultó ser la función f (h )=¿.Takebe carecía de notación para el término general de una serie, aunque descubrió patrones en los coeficientes al calcular geométricamente la función en el valor particular de h = 0.000001, d = 10 hasta un valor muy grande de cifras decimales —más de 50—, y luego al usar esta precisión extraordinaria para refinar la aproximación al sumar sucesivamente términos correctivos.

Después de Newton y de Leibniz quedaba el problema de dar contenido al esqueleto inventado por estos dos genios. La mayor parte de su obra fue completada por matemáticos de laEuropa continental, en especial por el círculo creado por los matemáticos suizos James Bernoulli (1655-1705) y John Bernoulli (1667-1748), así como el estudiante de este último, el marqués de L´Hôpital (1661-1704). Éstos y otros matemáticos trabajaron las conocidas fórmulas para las derivadas e integrales de funciones elementales que aún se encuentran en libros de texto actuales.Las técnicas esenciales de cálculo eran conocidas a principios del siglo XVIII, y un libro de texto del siglo XVIII como la Introducción al análisis del infinito, de Euler (1748), en caso de haber estado traducida al español se vería bastante como un libro de texto moderno.

El legado del cálculo Una vez que hemos abordado las fuentes del cálculo y el procedimiento con el que fue elaborado, a continuación analizaremos brevemente los resultados que produjo.El cálculo obtuvo una cantidad impresionante de triunfos en sus dos primeros siglos.

Resultó que docenas de fenómenos físicos previamente oscuros que implican calor, fluidez, mecánica celeste, elasticidad, luz, electricidad y magnetismo poseían propiedades mensurables cuyas relaciones podían describirse como ecuaciones diferenciales. La física se comprometió para siempre en hablar el lenguaje del cálculo.Sin embargo, de ninguna manera fueron resueltos todos los problemas surgidos de la física. Por ejemplo, no era posible encontrar, en términos de funciones elementales conocidas, el área bajo una curva cuya ecuación implicaba la raíz cuadrada de un polinomio cúbico. Estas integrales surgieron a menudo tanto en geometría como en física, y llegaron a conocerse como integrales elípticas porque el problema de encontrar la longitud sólo podía comprenderse cuando la variable real x se sustituye por una variable compleja z = x + iy. El replanteamiento del cálculo en términos de variables complejas condujo a mucho descubrimientos fascinantes, que terminaron por ser codificados como una nueva rama de las matemáticas denominada teoría de funciones analíticas.

La definición idónea de integración siguió siendo un problema durante algún tiempo. Como consecuencia del uso de procesos infinitesimales para encontrar áreas y volúmenes surgieron las integrales. ¿Debía la integral definirse como una “suma de diferencias infinitesimales” o como la inversa de la diferenciación? ¿Qué funciones podían integrarse? En el siglo XIX se propusieron muchas definiciones de la integral, y la elaboración de estas ideas llevó al tema conocido actualmente como análisis real.

Mientras las aplicaciones del cálculo han continuado cosechando cada vez más triunfos en un flujo interminable durante los últimos trescientos años, sus fundamentos permanecieron en un estado insatisfactorio durante la primera mitad de este periodo. El origen de la dificultad era el significado que había de asociarse a la dx de Leibniz. ¿Qué era esta cantidad? ¿Cómo podía no ser positiva ni cero? De ser cero, no podía usarse como denominador; de ser positiva, entonces las ecuaciones en que aparecía no eran realmente ecuaciones. Leibniz consideraba que los infinitesimales eran entes verdaderos, que las áreas y los volúmenes podían sintetizarse al “sumar” sus secciones, como habían hecho Zu Chongzhi, Arquímedes y otros. Newton tenía menos confianza acerca de la validez de los métodos infinitesimales, e intentó justificar sus razonamientos en formas que pudiesen cumplir las normas del rigor euclideano. En su Principia Mathematica escribió:

“Estos lemas tienen el cometido de evitar el tedio de deducir ad absurdum demostraciones implícitas, según el método de los geómetras de la antigüedad. Las demostraciones son más breves según el método de indivisibles, pero debido a que la hipótesis de indivisibles parece ser algo más dura y, en consecuencia, ese método se acepta como menos geométrico, en lugar de ello elijo reducir las demostraciones de las siguientes proposiciones a las sumas y razones primera y última de cantidades que desaparecen; es decir, a los límites de estas sumas y razones... En consecuencia, si en lo sucesivo debo considerar que las cantidades están formadas de partículas, o debo usar pocas líneas curvas por las [rectas] idóneas, no debe interpretarse que estoy queriendo decir cantidades indivisibles, sino cantidades divisibles que desaparecen. . .

. . . En cuanto a estas últimas razones con las que desaparecen las cantidades, no son en verdad las razones de cantidades últimas, sino límites hacia los cuales las razones de cantidades decrecientes sin límite siempre convergen; y a los que tienden de manera más próxima que con cualquier diferencia dada, aunque nunca van más allá, ni en el efecto alcanzado, hasta que las cantidades disminuyen in infinitum.”

En este pasaje Newton afirma que la falta de rigor implicado en el uso de razonamientos infinitesimales puede compensarse con el uso de límites. Sin embargo, su planteamiento de este concepto en el pasaje citado no es tan claro como uno desearía. Esta falta de claridad condujo al filósofo Berkeley a referirse desdeñosamente a las fluxiones como “fantasmas de cantidades”.

Sin embargo, los avances alcanzados en física usando cálculo fueron tan sobresalientes que durante más de un siglo nadie se preocupó en proporcionar el rigor al que aludía Newton (¡y los físicos siguen sin preocuparse al respecto!). Una presentación completamente rigurosa y sistemática del cálculo llegó sólo hasta el siglo XIX.

Según la obra de Augustin-Louis Cauchy (1789-1856) y Karl Weierstrass (1815-1896), la percepción era que los infinitesimales eran meramente de naturaleza heurística y que los estudiantes estaban sujetos a un riguroso enfoque “epsilon-delta” de los límites. De manera sorprendente, en el siglo XX Abraham Robinson (1918-1974) demostró que es posible desarrollar un modelo lógicamente consistente de los números reales en el que hay infinitesimales verdaderos, como creía Leibniz. Sin embargo, parece que este nuevo enfoque, denominado “análisis no estándar”, no ha sustituido a la presentación tradicional actual del cálculo.

Funciones y gráficas

Introducción Al usar los objetos e interactuar con las personas que nos rodean, resulta fácil establecer una regla de correspondencia que asocie, o apareje, a los miembros o elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto. Por ejemplo, para cada número de seguridad social hay una persona; para cada libro corresponde por lo menos un autor; para cada estado hay un gobernador, etcétera. En matemáticas estamos interesados en un tipo especial de correspondencia: una correspondencia con valor único denominada función.

Una función de un conjunto X en un conjunto Y es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x en X exactamente un elemento y en Y.

Terminología Una función suele denotarse por una letra como f, g o h. Entonces podemos representar una función f de un conjunto X en un conjunto Y por medio de la notación f = F---YEl conjunto X se llama dominio de f. El conjunto de elementos correspondientes y en el conjunto Y se denomina rango de la función. El único elemento y en el rango que corresponde a un elemento x selecto en el dominio X se denomina valor de la función en x, o imagen de x, y se escribe f(x). Esta expresión se lee “f de x” o “f en x”, y se escribe y _ f(x). Algunas veces también conviene denotar una función por y _ y(x). Observe en la FIGURA que el rango de f no necesariamente debe ser todo el conjunto Y. A muchos

profesores les agrada llamar a un elemento x en el dominio entrada de la función, y al elemento correspondiente f(x) en el rango salida de la función. Puesto que el valor de y depende de la elección de x, y se denomina variable dependiente; x se denomina variable independiente. A partir de este momento consideraremos que los conjuntos X y Y constan de números reales; así, la función f se denomina función con valor real de una sola variable real.

En todos los análisis y ejercicios de este texto, las funciones se representan de varias formas:

analítica, es decir, por medio de una fórmula como f(x) =X2

verbal, es decir, mediante una descripción con palabras; numérica, es decir, mediante una tabla de valores numéricos; y visual, es decir, con una gráfica.

Límites: un enfoque informal

Introducción Las dos grandes áreas del cálculo, denominadas cálculo diferencial y cálculo integral, se basan en el concepto fundamental de límite. En esta sección, el enfoque que haremos a este importante concepto será intuitivo, centrado en la comprensión de qué es un límite mediante el uso de ejemplos numéricos y gráficos. En la siguiente sección nuestro enfoque será analítico; es decir, usaremos métodos algebraicos para calcular el valor del límite de una función.

Teoría de Límites.

Sucesiones: una sucesión numérica no es más que una lista, o serie, ordenada de números reales.

Ordenada, ya que si los números no ocupan una posición bien determinada, como las cifras que hay dentro del bombo de un sorteo de lotería, no forman una serie, es en el momento de su extracción ordenada cuando configuran la serie de extracción, de modo que cada cifra sale una o varias veces, paro cada vez en una posición distinta.

El valor de los números en la serie puede o no depender de la posición en la que éstos se encuentran, de ahí que puede haber series aleatorias, sin ninguna relación en cuanto al orden y valor de los números, y series que siguen una ley o criterio de formación.

Término de una serie es cada uno de los elementos que la componen y consta de dos partes bien diferenciadas:

Orden del término, que nos indica qué posición ocupa dentro de la sucesión el número en cuestión, así el primero, el segundo, ....., el vigésimo, etc. ...

Valor del término, es el valor numérico asociado al mismo.

Notación: para referirnos a un término de la sucesión lo haremos

poniendo an=b , donde n indica el orden o posición del término, a es el nombre genérico del término, y b es el valor numérico del término.

Terminología: para nombrar términos de una sucesión utilizaremos letras minúsculas, a, b, c, etc. .... junto con un subíndice, un número, que nos indica la posición dentro de la serie. Cuando nos refiramos a una posición genérica utilizaremos una letra minúscula n, k, i, j, etc. ...

Ejemplo: a7=

374 nos dice que el término séptimo de la

serie tiene el valor numérico asociado de treinta y siete cuartos.

Término general: es la forma en la que nos referiremos a un

término cualquiera de la sucesión, se suele indicar por an ; ak ; ai etc. ..

Términos equidistantes de los extremos: son aquellos que se encuentran a igual distancia del primero y del último, por ejemplo:

2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18 ; 22 , son equidistantes el 6 y el 18 y el 10 y el 14.

Si nos fijamos en el orden, el segundo y el penúltimo, el

tercero y el antepenúltimo, en general el ak+1 y el an−k , es decir a2 y an-1 ; a3 y an-2 , etc. ...

Clases de sucesión: Limitadas, cuando constan de un número finito de términos,

10, 12, 40, etc.

1 ; 1 . 1 ; 1 . 2 ; 1 .3 ; 1 . 4 ; 1 .5 ; 1 . 6 ; 1 .7 ; 1 . 8 ; 1 . 9 ; 2 Ilimitadas, cuando el número de términos es infinito.

1 ; 2 ; 3 ; ⋯⋯ ; n+1 ; ⋯⋯∞

Acotadas superiormente: una sucesión está acotada superiormente si existe un número real M,, igual o mayor que todos los elementos de la sucesión.

Ejemplo: , acotada superiormente por 1 e inferiormente por 0.

Acotadas inferiormente: una sucesión está acotada inferiormente si existe un número real m,, igual o menor que todos los elementos de la sucesión.

Ejemplo: acotada superiormente por 0,5 e inferiormente por 0.

Acotadas: cuando lo está superior e inferiormente.

Positivas: una sucesión se define positiva si

.

Ejemplo: , desarróllala y compruébalo.

Negativas: una sucesión se define negativa si

Ejemplo: , desarróllala y compruébalo.

Alternantes: una sucesión se dice alternante cuando el signo de sus términos se va alternando entre positivo y negativo.

Ejemplo: , desarróllala y compruébalo.Monotonía:

Monótonas crecientes: una sucesión es creciente si cada término de la misma es igual o mayor que el inmediatamente anterior al mismo.

Monótonas estrictamente crecientes: una sucesión

es estrictamente creciente si cada término de la misma es mayor que el inmediatamente anterior al mismo (no puede haber ninguno que sea igual).

Ejemplo: , desarróllala y compruébalo.

Monótonas decrecientes: una sucesión es decreciente si cada término de la misma es igual o menor que el inmediatamente anterior al mismo.

Monótonas estrictamente decrecientes: una

sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la misma es menor que el inmediatamente anterior al mismo (no puede haber ninguno que sea igual).

Ejemplo: , desarróllala y compruébalo. Monótonas constantes: aquella en la que todos los términos

toman el mismo valor constantemente.

Punto de acumulación, aproximación: un punto a es un

punto de acumulación de una sucesión cuando en cualquiera de

sus entornos reducidos ξ¿ (a , ε )={ x∈ℜ/a−ε<x<a+ε , y x≠a }=ξ (a , ε )−{a } ,

por pequeño que sea , existen términos de la sucesión.

Ejemplo: , se puede ver que los términos negativos van tendiendo hacia −2 y los positivos hacia 2.

Límite de una sucesión: se dice que una sucesión tiene límite un número a cuando, fijado un entorno del punto a, de radio tan pequeño como queramos, se puede encontrar un término, ap, de la sucesión a partir del cual todos los demás caen dentro del entorno.

, en términos de

distancia

Ejemplo: tiene límite y este vale 2, ya que, aun fijando un radio de entorno grande, como de una décima, tenemos que para que se cumpla la definición

, es decir, a partir del término

41 todos ellos están dentro del entorno de 2, . Si queremos podemos fijar un entorno aún más pequeño, por ejemplo de diezmilésimas, en cuyo caso

, es decir que a partir del término 40001, todos los demás estarán dentro del

entorno . Como la sucesión es ilimitada podemos

concluir que .

Unicidad del límite: si una sucesión tiene límite éste es único.

Demostración (reducción al absurdo): supongamos que existieran dos límites, a y a’, distintos para una misma

sucesión , necesariamente podremos encontrar dos entornos, uno de a y otro de a’, disjuntos, es decir, sin puntos o elementos comunes, en términos de conjuntos,

, del siguiente modo:

Sea , es decir, la distancia entre los dos límites,

tomemos entonces y , de este modo los entornos ya no solapan.

Por otro lado, de la definición de límite tenemos:

Si

Si

Sea ahora , existirá entonces , de

modo que por ser y al mismo tiempo ser , entonces ap estará o pertenecerá simultáneamente a

ambos entornos, con lo que en contradicción a como hemos construido éstos, luego no puede ser y el límite ha de ser único.

Las sucesiones que tienen por límite un número real finito se llaman convergentes.

Si una sucesión tiene límite entonces está acotada superior e inferiormente. Lo contrario no es cierto necesariamente

Por definición de límite dentro del cual se encuentran todos los términos de la sucesión a partir de un cierto término p-ésimo. Sea entonces

’ ’

a’a

, éste será una cota superior para

la sucesión, y del mismo modo será una cota inferior para la misma.

Toda sucesión monótona y acotada es convergente. Por ser monótona será creciente o decreciente, luego

una de las dos de las siguientes afirmaciones y demostraciones será suficiente.

Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente tiene límite, y éste coincide con su extremo inferior.

Se demuestra que si es una sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente, tendrá un extremo inferior m, el cual será a su vez el límite de la sucesión, ya que m será la mayor de todas las cotas inferiores y si es un número positivo, m + no puede ser una cota inferior. Lo cual nos lleva a que debe existir un término ap

de la sucesión para el que se verifique que m + > ap > m. Por otro lado, por ser una sucesión monótona

decreciente , es decir, m es el límite de la sucesión.

Toda sucesión creciente y acotada superiormente tiene límite, y éste coincide con su extremo superior.

Si es una sucesión monótona creciente y acotada superiormente, tendrá un extremo superior k, el cual será a su vez el límite de la sucesión, ya que k será la menor de todas las cotas superiores y si es un número positivo, k − no puede ser una cota superior. Lo cual nos lleva a que debe existir un término ap de la sucesión para el que se verifique que k − < ap < k. Por otro lado, por ser una sucesión monótona creciente

, es decir, k es el límite de la sucesión.

Operaciones con límites:

Límite de una suma: , siendo a

y b los límites respectivos de y Lo mismo sería si se tratara de una resta.

Límite de un producto: , siendo a

y b los límites respectivos de y

Límite de un cociente: , siendo a y b los

límites respectivos de y , siempre que

Límite de una potencia: , siendo a y b

los límites respectivos de y Límite de una constante por una sucesión:

, siendo b el límite de Límite de la potencia de una sucesión:

, siendo a el límite de Cálculo práctico de límites: Se trata de sustituir n por su valor en el límite, , y realizar las

operaciones indicadas, teniendo en cuenta que:

; ; ;

; ;

; ;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Ejemplos:

E1.-

E2.-

E3.-

E4.-

E5.-

E6.- El número e, o número de Neper: definimos el número e

como el límite de la sucesión , es decir, Expresiones indeterminadas, tipos de indeterminaciones:

, se suele dar al calcular el límite de sucesiones definidas

como cociente de polinomios . Para superar la indeterminación debemos dividir todos los términos de ambos polinomios por n elevado al mayor exponente que aparezca en uno cualquiera de los dos polinomios, o en ambos (ver ejemplos 1 y 3), antes de proceder a calcular de nuevo el límite. En estos casos se suelen dar tres circunstancias básicas:

, donde p y q son los grados de los polinomios P y Q respectivamente, y a y b son los coeficientes de los términos de mayor grado de P y Q, respectivamente.

, suele darse en muy variados casos, así pues veamos algunos y cómo superarla en cada caso según la circunstancia:

E1.- , en este caso procedemos primero a realizar las operaciones de dentro del paréntesis antes de volver a calcular el límite, así

y el

límite ahora será

E2.- , en este caso procederemos como si hiciéramos una racionalización a la inversa, multiplicamos y dividimos todo por el “conjugado” de la expresión, así pasaríamos al nuevo límite

E3.- , en este caso procederemos a hacer una doble racionalización inversa del numerador y del denominador, quedándonos, una vez reducidos términos, el siguiente límite

, suele darse en los límites de potencias de base polinómica y exponente polinómico. Siempre podemos superarla con la

siguiente aproximación, si , entonces el verdadero

valor del límite coincidirá con el de la expresión .

E1.- , podemos resolver aplicando la fórmula o razonando, personalmente prefiero razonar ya

que las fórmulas tienden al olvido, así pues intentaré hacer que mi límite se parezca lo más posible al del número e, para ello sumo y resto uno a la expresión del paréntesis,

que ya se va pareciendo más al límite del número e, el último arreglo nos deja

ya que el límite del exponente es 1. Hazlo aplicando la fórmula y comprueba el resultado.

E2.- , vamos a intentar hacerlo de modo parecido al anterior, así

E3.-

, siempre se puede convertir en una indeterminación del

tipo , ya que Límites de funciones: sea f(x) una función real de variable real

definida en el intervalo abierto , y sea , f no tiene porqué estar necesariamente definida en c, entonces decimos que

tiene límite en el punto c, y escribimos , si ,

respectivamente radios de entornos de L y c, tales que

siempre que , o en otros términos,

Límites laterales: siempre nos podemos acercar a un punto del intervalo por dos sentidos, por la derecha y por la izquierda del punto, y así podemos decir que hay dos límites en función de por dónde nos aproximemos al punto, de este modo:

Límite lateral por la derecha:

si tomamos valores por la

derecha de c, esto es, , entonces las imágenes

estarán todas comprendidas en un entorno de L1, . Límite lateral por la izquierda:

si tomamos valores por la

izquierda de c, esto es, , entonces las imágenes

estarán todas comprendidas en un entorno de L2, .

Límites y continuidad: una función real de variable real

definida en un intervalo abierto es continua en un punto c de dicho intervalo si está bien definida en él y además

.

Condiciones necesarias y suficientes de continuidad de una función en un punto:

, ambos finitos y además iguales entre sí y con el valor de la función en el punto,

esto es,

Clasificación de los puntos de discontinuidad: Primer grado, o evitable. Se suele dar en los siguientes

casos: Cuando por error hemos dejado sin definir un punto. Por

ejemplo:

f ( x )≡¿ {x+1 si x<5¿ {6 si 5<x<7 ¿ ¿¿¿

, en este caso el punto x = 5 ha que dado sin definir, para evitar la discontinuidad

basta con hacer f ( x )≡¿ {x+1 si x≤5 ¿ {6 si 5<x<7 ¿ ¿¿¿

. Cuando por error damos un valor que no corresponde en

el punto, por ejemplo:

f ( x )≡¿ {x+1 si x<5¿ {−6 si x=5 ¿¿¿¿

, ya que por la izquierda de 5 toma el valor 6 y por la derecha también, luego sería lógico decir que en 5 debería tomar el valor 6, y no –6 como figura.

Segundo grado, primera especie, o inevitable de salto finito. Se suele dar en el caso:

La función está definida por zonas y en el límite de alguna zona no coinciden los valores por la derecha y por la izquierda, por ejemplo:

f ( x )≡¿ {x+1 si x≤5 ¿ {−6 si 5<x<7 ¿ ¿¿¿

, se ve que por la izquierda de 5 toma el valor 6 y por la derecha el valor –6, hay un salto de 12 unidades. Lo mismo pasa en 7.

Segundo grado, segunda especie, o salto infinito. Se suele dar en los casos:

En funciones definidas por zonas, cuando en alguna de las zonas la función explota, o cuando en alguno de los límites de zona la función explota, por ejemplo:

f ( x )≡¿ {x+1 si x≤5 ¿ {6 si 5<x<7 ¿ ¿¿¿, en este caso al acercarnos a

7 por la derecha la función explota a .

f ( x )≡¿ {x+1 si x≤5 ¿ {6 si 5<x<7 ¿ ¿¿¿, en este caso en los límites de

zona no hay problemas, pero en la zona Ⅲ, es decir, para x ≥ 7, en x = 12, la función explota.

En todas aquellas funciones definidas en forma de fracción cuando el denominador se anula, por ejemplo:

f ( x )= 2x+1

log (x2−1 ) , cuando (x2−1 )=1 , la función explota,

es decir, cuando x=±√2 .Álgebra de límites: sean f(x) y g(x) dos funciones reales de

variable real, ambas definidas en un intervalo abierto y sea

tal que ambas tienen límite en él,

Límite de una suma de funciones:

Límite de un producto de funciones:

Límite de un cociente de funciones: ,

siempre que

Límite de la potencia de una función:

Límite de una potencia de funciones: Límites e indeterminaciones: al igual que con las sucesiones, en los límites de funciones se nos pueden presentar las mismas indeterminaciones que con aquellas, la forma de superarlas será la misma que entonces. Además se nos puede presentar la

indeterminación en los casos, sobre todo, de cocientes de funciones polinómicas en las que ambas tengan raíces comunes en el punto en el que calculamos el límite, así:

, esto nos dice que tanto el polinomio numerador como el denominador son divisibles por

. Debemos descomponer ambos en factores, simplificar y volver a calcular el límite de la expresión simplificada, así

Si aún persistiera la indeterminación deberíamos seguir simplificando hasta eliminar todas las raíces.

Límites infinitos, asíntotas verticales: se dice que una

función tiene límite infinito cuando , en términos de definición de límite

, se dice que la función explota. La recta es una asíntota vertical para la función.

De igual modo pueden ocurrir uno de los siguientes casos:

, en este caso explota por la izquierda del punto.

, en este caso explota por la derecha del punto.

, en este caso explota por ambos lados y en el mismo sentido.

, en este caso explota por ambos lados pero mientras por un lado lo hace en un sentido por el otro lo hace en sentido opuesto.

Límites en el infinito, asíntotas horizontales: cuando al tender la variable a más o menos infinito las imágenes se mantienen en un entorno de un valor finito, así

, y de igual modo

. En ambos casos

la recta es una asíntota horizontal para la función.Límites en el infinito, asíntotas oblicuas: cuando al

tender la variable a más o menos infinito las imágenes de se mantienen en un entorno de un valor finito, así

, y de igual modo

. En ambos casos hay una asíntota oblicua para la función de pendiente L y ordenada

en el origen , es decir, de ecuación .

Resumen del comportamiento asintótico: Hay asíntotas verticales cuando:

Dado un valor de x concreto, x0:

∃ Lím

x→ x0+f ( x )=Lím

x→ x0−f ( x )=±∞

∃ Lím

x→ x0+f ( x )≠Lím

x→ x0−f ( x )

, y uno de los dos no es finito.

La recta de ecuación es una asíntota vertical. Hay asíntotas horizontales cuando:

∃ Lím

x→∞f ( x )=L1 , siendo L1un valor finito .

La ecuación de la

asíntota horizontal será , y si L1 = 0, entonces es el eje de abscisas.

∃ Lím

x→−∞f ( x )=L2 , siendo L2unvalor finito .

La ecuación de la

asíntota horizontal será , y si L2 = 0, entonces es el eje de abscisas.

∃Lím

x→∞f ( x )= Lím

x→−∞f (x )=L , finito

, en este caso habría una única asíntota horizontal común a toda la gráfica

. Hay asíntotas oblicuas cuando:

∃ Lím

x→±∞

f ( x )x

=L≠0, en cuyo caso:

a= Lím

x→±∞

f ( x )x

=L

∃ Lím

x→∓∞(f ( x )−ax )=b

La ecuación de la asíntota será: y=ax+b Un modo sencillo para su cálculo en funciones

racionales es: Hacemos la división de la fracción y el cociente es la

fórmula de la asíntota. Ejemplo:

Esquemáticamente: (Para funciones racionales)

a) Una función tiene tantas asíntotas verticales como raíces reales distintas tenga el denominador y que no pertenezcan al numerador.

b) Una función tiene una asíntota horizontal si el grado del numerador es menor o igual que el del denominador.

c) Una función tiene una asíntota oblicua si el grado del numerador es uno más que el del denominador.

DERIVADA

El concepto de derivada surgió como resultado de grandes esfuerzos de los matemáticos (durante muchos años), dirigidos a resolver dos problemas:

1. Determinar la recta tangente a una curva en uno de sus puntos.

2. Encontrar el valor de la velocidad instantánea en movimientos no uniformes.

En el siglo XVII un gran matemático como Isaac Newton dio una respuesta completa a estos problemas mediante la invención del cálculo diferencial.

Un siglo más tarde, un matemático tan importante como Euler contribuyó a mejorar el concepto inventado por Newton.

Pero no fue hasta principios del siglo XIX cuando Cauchy, al relacionar el concepto de derivada con el de límite, hizo que el cálculo de derivadas se transformase en un proceso claro y sistemático que permite hoy en día manejar este concepto con mayor soltura que los grandes matemáticos anteriores a Cauchy.

Al estudiar las funciones podemos proceder con un enfoque estático (¿cuánto vale “y” para un valor concreto de “x”?) o bien mediante un enfoque dinámico (¿con qué rapidez se produce la variación de la variable “y” en relación a la variación de la variable “x”?).

En esta unidad didáctica haremos un estudio de las funciones desde un punto de vista dinámico, empezaremos estudiando la variación relativa (que se corresponde con el concepto de tasa de variación media de una función) y a partir de aquí definiremos la variación instantánea que se corresponderá con el concepto de derivada de una función en un punto.

Concepto de derivada de una función en un punto

Observa la gráfica de estas dos funciones:

La

función f ( x )=√ x crece 3 unidades al pasar del punto A(0,0 )al B(9,3 )

La función g( x )=x2 crece 3 unidades al pasar del punto A(1,1 )al

B(2,4 ).

Sin embargo el crecimiento medio de cada una de estas funciones es muy distinto:

Para la función: f ( x )=√ x su crecimiento medio es:

39=1

3 en el intervalo [0,9]

Para la función: g( x )=x2 su crecimiento medio es:

31=3

en el intervalo [1,2]

Se define la Tasa de variación media (TVM) de una función y=f ( x ) en un intervalo [ a ,b ] como el cociente:

TVM [ a,b ]=f (b )−f (a)

b−a

Frecuentemente el intervalo [ a ,b ] se designa: [ a ,a+h ] en el que h es la longitud del intervalo. En tal caso tendremos que:

TVM [ a,a+h ]=f (a+h )−f (a )

h

Geométricamente la TVM de la función y=f ( x ) en un

intervalo [ a ,a+h ] nos da la pendiente de la recta secante que une los puntos A y B siendo:

A( a , f (a )), B(a+h , f (a+h))

Observa la gráfica de la función: f ( x )=√ x (en azul), los puntos de

coordenadas A(1,1 )B(9,3 )C (4,2) .

La recta secante que une A con B tiene por pendiente, según hemos

visto, la TVM de la función f ( x )=√ x en el intervalo [1,9 ] .

La recta secante que une A con C tiene por pendiente, según hemos

visto, la TVM de la función f ( x )=√ x en el intervalo [1,4 ].

La recta tangente a la función f ( x )=√ x en el punto A se obtiene como límite de las rectas secantes. Es lógico, por tanto, que su pendiente sea el límite de las pendientes de las rectas secantes

cuando la longitud del intervalo: h se hace cero (h→0 ).

Así pues, si el incremento medio de una función en un intervalo se mide por la TVM de dicha función en ese intervalo, el incremento instantáneo de una función en un punto se mide por la pendiente de la recta tangente a esa función en dicho punto.

Esa pendiente de la recta tangente a f ( x ) en el punto A=(a , f (a )) , que se designa por f

'( a) , se obtiene mediante el siguiente límite:

f '( a)=límh→0

f (a+h )−f (a )h

Acabamos de ver que la derivada de una función en un punto, f'( a) ,

se obtiene como un límite. Para que este límite exista, sabemos que

han de existir los límites laterales correspondientes, que en este caso se les denomina derivadas laterales y se obtienen:

f '( a−)=límh→0−

f (a+h )−f (a )h

que es la derivada por la izquierda de

f ( x ) en A

f '( a+ )=límh→0+

f ( a+h )−f (a )h

que es la derivada por la derecha de

f ( x ) en A .

Si las derivadas laterales existen y valen lo mismo, es decir,

f '( a−)=f ' (a+ ) diremos que la función f ( x )es derivable en A y su

valor es: f'( a)=f ' (a−)=f ' (a+ )

Ejemplo.-

Sea la función g( x )=x2. Calcula la derivada,si existe, en el punto de

abscisa a=1

g' (1−)=límh→0−

g(1+h )−g(1 )h

=límh→0−

(1+h )2−1h

=límh→0−

h2+2hh

=límh→0−

h+2=2

g' (1+ )=límh→0+

g (1+h)−g(1)h

=límh→0+

(1+h )2−1h

=límh→0+

h2+2hh

=límh→ 0+

h+2=2

g' (1)=g '(1−)=g' (1+ )=2

La función g( x )=x2 es derivable en a=1 y su derivada vale: 2, que

como ya sabemos es la pendiente de la recta tangente a la función en

el punto de abscisa a=1 .

Ejemplo.-

Sea la función g( x )=3√x calcula la derivada, si existe, en el punto de

abscisa a=0

g' (0−)=límh→0−

g (0+h )−g(0 )h

=límh→0−

h1

3−0h

=límh→ 0−

h−2

3=límh→0−

13√h2

=+∞

g' (0+ )=límh→ 0+

g(0+h)−g (0)h

=límh→0+

h1

3−0h

=límh→ 0+

h−2

3=límh→0+

13√h2

=+∞

Las derivadas laterales valen lo mismo pero no son finitas de ahí

que digamos que g( x )=3√x no es derivable en a=0 . De hecho la

recta tangente a la función en el punto de abscisa a=0 es perpendicular al eje X(coincide con el ejeY).

Derivabilidad y continuidad.-

Una función puede ser continua en un punto y no ser derivable en él.

Acabamos de ver en el ejemplo anterior para g( x )=3√x , que es

continua en x=0 , sin embargo no es derivable en x=0 (en ese punto la recta tangente es perpendicular)

Fíjate ahora en este otro ejemplo.-

La función: f ( x )=¿ {x2+2 si x≤1 ¿ ¿¿¿

es una función continua en todo su dominio, de hecho sólamente

hay que demostrarlo para x=1 , y efectivamente se cumple que:

límx→1−

f (x )=límx→1+

f ( x )=f (1 )=3

Sin embargo esta función no es derivable en x=1 ya que:

f '(1−)=límh→0−

f (1+h )−f (1)h

=límh→ 0−

[ (1+h )2+2 ]−3h

=límh→0−

2h+h2

h=lím

h→0−2+h=2

f '(1+ )=límh→0+

f (1+h )−f (1 )h

=límh→0+

[ (1+h )+2 ]−3h

=límh→0+

hh=lím

h→ 0+1=1

Por tanto f'(1−)≠f ' (1+ )⇒no existe f ' (1) , f ( x ) no es derivable en

x=1 .

Hemos visto que

Continuidad no implica Derivabilidad.

Sin embargo:

Si una función es Derivable en un punto necesariamente es Continua en ese punto

Este resultado tiene una demostración muy sencilla basada en el concepto de límite y la definición de función continua en un punto.

Como las demostraciones teóricas se salen de los objetivos para un curso de matemáticas aplicadas a las CCSS, evitamos escribir la demostración.

Ejercicios 1

Calcula la derivada de la función f ( x )=x2−2x en los puntos de abscisa: -2,-1,0,1,2,3,4.

Solución.-

Tenemos para la función f ( x )=x2−2x que su derivada en los puntos dados vale:

x -2

-1

0 1 2 3 4

f '( x ) -6

-4

-2

0 2 4 6

Podemos observar que se trata de una función f' que asocia a cada

abscisa el valor de la derivada de f en ese punto (la pendiente de la

recta tangente af en el punto dado).

A f' se le denomina Función Derivada de la función f .El nombre

de derivada viene de que esta función f' deriva (proviene) de la

función f .

Los puntos de la tabla anterior: (-2,-6);(-1,-4);............;(4,6).

Corresponden todos a la gráfica de la recta de ecuación: y=2x−2 , es decir, la función derivada de

f ( x )=x2−2x es f'( x )=2x−2.

Para probarlo basta con obtener la expresión de la derivada de f en un punto cualquiera x mediante el cálculo del límite que ya conocemos.

f '( x )=límh→0

f ( x+h)−f ( x )h

=límh→0

( x+h )2−2 ( x+h )−( x2−2x )h

=límh→0

x2+2 xh+h2−2 x−2h−x2+2 xh

=límh→0

2xh+h2−2hh

=límh→0

(2x+h−2 )hh =lím

h→0

(2 x+h−2 )=2 x−2 .

x f(x) f'(x)

-10 120,0000 -22,0000

-9 99,0000 -20,0000

-8 80,0000 -18,0000

-7 63,0000 -16,0000

-6 48,0000 -14,0000

-5 35,0000 -12,0000

-4 24,0000 -10,0000

-3 15,0000 -8,0000

-2 8,0000 -6,0000

-1 3,0000 -4,0000

0 0 -2,0000

1 -1,0000 0

2 0 2,0000

3 3,0000 4,0000

4 8,0000 6,0000

5 15,0000 8,0000

6 24,0000 10,0000

7 35,0000 12,0000

8 48,0000 14,0000

9 63,0000 16,0000

10 80,0000 18,0000

Ejercicios 2

Dada la función cuya expresión analítica es: f ( x )=1

x . Calcula:a) su función derivada mediante el límite del cociente incremental.

b) los valores de f '(2 ) f ' (−2 ) f ' ( 1

2 ) f ' (√5 )

c) para que valor(es) de x es f'( x )=−1 f ' ( x )=1 f '( x )=0

a)f '( x )=lím

h→0

f ( x+h)−f ( x )h

=límh→0

1x+h

−1x

h=lím

h→0

x−( x+h )( x+h ) . x .h

=límh→0

x−x−h( x+h ) . x .h

=límh→0

−h( x+h ) . x .h

=límh→0

−1( x+h ) . x

=−1

x2

b)

f '(2 )=−1

(2 )2=−1

4f '(−2 )= −1

(−2 )2=−1

4

f '( 12)= −1

( 12 )

2=−1

14

=−4 f '( √5 )= −1

(√5 )2=−1

5

c) f '( x )=−1⇒−1

x2=−1⇒ x2=−1

−1⇒ x=√1=±1

f '( x )=1⇒−1

x2=1⇒ x2=−1⇒ x=√−1 no hay

f '( x )=0⇒−1

x2=0⇒ no hay

∆S

∆ΦR

r

CINEMATICA

MOVIMIENTO CIRCULAR

Es un tipo de movimiento en el plano, en el cual la

partícula gira a una distancia fija alrededor de un

punto llamado centro. El movimiento circular puede

ser de dos tipos:

Movimiento circular uniforme

Movimiento circular uniformemente variado.

CANTIDADES CINEMÁTICAS ANGULARES

Radio de giro ( R ): Es la distancia constante desde

la partícula hasta el centro de giro.

Vector posición ( r ) : Es el vector que ubica la partícula en cualquier punto de su trayectoria.

Desplazamiento angular (∆Φ) : Es el cambio de posición angular de la partícula durante el

movimiento. Se mide en radianes.

Longitud lineal (∆S): Es el cambio de posición lineal de la partícula durante el movimiento. Se mide en metros. El desplazamiento lineal se relaciona con el desplazamiento angular con la ecuación ∆S = R Δθ

Velocidad angular media: Mide el desplazamiento angular por unidad de tiempo. Se mide en rad/s. La velocidad angular se calcula con:

ωm = ∆Φ /∆t = Φ2 – Φ1/ t2 – t1

Velocidad tangencial media: Mide el desplazamiento por unidad de tiempo. Se mide en m/s. La velocidad se calcula con:

ω

R

ac

vT

vm = ∆r / ∆t = r2 - r1 / t2 –t1

El vector velocidad tangencial se puede expresar con la siguiente ecuación

vT = w R ( - Sen Φ i + Cos Φ j )

La velocidad lineal o tangencial se relaciona con la velocidad angular con la

ecuación v = R ω

Aceleración centrípeta: Como puede observarse en la figura la velocidad cambia de dirección, debido a la aceleración ac, La aceleración centrípeta es normal al vector velocidad y produce el cambio de dirección del vector velocidad

La magnitud de la aceleración centrípeta se calcula con:

v2 / R o ω2 R

El vector aceleración centrípeta se puede expresar

con la siguiente ecuación aC = w2 R ( - Cos Φ i - Sen Φ j )

La figura muestra las direcciones de la velocidad y aceleración en distintos

puntos del movimiento circular uniforme de una partícula.

La velocidad tangencial instantánea se puede calcular tomando el límite a la velocidad angular

media

Aceleración tangencial: Se produce cuando varía la magnitud de la rapidez de la partícula. En el movimiento circular uniforme es de modulo constante.

vT

a

R

VT

aT

La aceleración tangencial media es el cambio de magnitud de la velocidad tangencial por unidad de tiempo

aTm = v2 –v1 / t2 –t1

El vector aceleración tangencial se puede expresar con la siguiente

ecuación

aT = α R ( - Sen Φ i + Cos Φ j )

La aceleración tangencial instantánea se puede calcular tomando el límite a la aceleración tangencial

media

Vector aceleración

Las aceleraciones centrípeta y tangencial son componentes del vector aceleración

El vector aceleración se puede expresar con la ecuación

a2 = aT2 + aC

2

Velocidad angular y aceleración angular

Una partícula en movimiento circular de radio r, genera un arco s y un

ángulo θ siendo Δs = R Δθ. Otra manera de describir el movimiento circular

es analizando las variables angulares: el desplazamiento angular Δθ, la

velocidad angular y la aceleración angular. En la figura se muestra el

ángulo barrido Δθ = θ2 – θ1, en un intervalo de tiempo Δt = t2 – t1.

La velocidad angular ω es un vector perpendicular al plano del movimiento,

representado en el eje del movimiento circular. Por convención el sentido de

ω se determina por la regla de la mano derecha, los cuatro dedos siguen el

sentido de giro de la partícula y el dedo pulgar indica el sentido de ω.

Si la velocidad angular instantánea de un móvil cambia de ω1 a ω2 en el

intervalo de tiempo Δt, el móvil tiene una aceleración angular.

Aceleración angular (α): Mide el cambio de velocidad angular por unidad

de tiempo en rad/s2, puede ser media o instantánea. Es un vector colineal

con el vector velocidad angular. En el movimiento circular uniformemente

variado es constante

La aceleración angular media se puede calcular con la expresión

αm = Δω / Δt en rad/s2

La aceleración angular instantánea se

puede calcular tomando el límite a la

aceleración angular media

α

α

El modulo de la aceleración angular instantánea se puede calcular con la expresión :

α = aT / R en rad/s2

La aceleración angular en el MCUV es constante y su grafica se representa en la figura

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

La partícula recorre arcos iguales en

tiempos iguales. Sus características son:

La rapidez tangencial es constante

La aceleración es perpendicular a la

velocidad y su modulo es constante

Las velocidades angulares media e

instantánea son iguales

La aceleración angular es cero

La aceleración tangencial es cero

Ecuaciones

La magnitud de ω = v / R en rad/s

La magnitud de aC = v2 / R = ω2 R en

m/s2

El vector velocidad v = ω x r

El periodo T = 2π / ω y ω = 2π ּט

El desplazamiento angular θ = θo + w t

Gráficas

.

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO

Consideremos ahora un móvil en una trayectoria circular en la que su

velocidad cambia tanto en dirección como en magnitud, como se puede ver

en la figura

La velocidad siempre es tangente a la trayectoria, Se puede observar que

además de aceleración radial o centrípeta, ar, hay aceleración tangencial, at, por lo que la aceleración total a hace un ángulo respecto a la

trayectoria.

La aceleración radial (normal o centrípeta) se debe al cambio en la dirección

de la velocidad v y tiene magnitud donde r es el radio de la

trayectoria.

La magnitud de la aceleración radial no es constante, como en el caso de movimiento circular uniforme, pues la velocidad v cambia de magnitud.

La aceleración tangencial, at es originada por el cambio en la rapidez de la

partícula En el movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)

la at es de magnitud constante.

a t

a t

a r

a t

a t

a r

a r

a ra r

aa

aa

a

aa r

=

=

θo

θ

En la figura se observa

claramente que el vector

aceleración total a es el

resultado de sumar la

componente radial ac y la

componente tangencial at,

a = ar + at

Las componentes ar y at son

vectores perpendiculares

entre sí

El módulo del vector

aceleración total es

a = √ ar + at

En el movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA) la

aceleración angular es de magnitud constante y su grafica se observa en la

figura

La velocidad angular ω se relaciona con el

desplazamiento angular, θ a partir de la

definición

ω = ω0 + α t

donde ω0 es la velocidad angular inicial en el

tiempo t0 = 0. Cuando ω es variable en el

tiempo, la velocidad angular media ωm es la

semi suma de las velocidades inicial y final

en un intervalo t:

ωm =

ω+ωo

2

Desplazamiento angular (Δθ)

Del área bajo la curva de la

velocidad angular obtenemos la

expresión del desplazamiento

angular θ

θ = θ0 + ω0 t + ½ α t2

Eliminando t en las dos últimas ecuaciones, se llega a ω 2 = ω02 + 2 α (θ

- θ0)

Relaciones entre las cantidades angulares y linealesEl movimiento circular se describe sea con las llamadas cantidades lineales como desplazamiento s, velocidad v, aceleraciones radial y tangencial. o con las cantidades angulares definidas en los párrafos anteriores. Veremos enseguida las relaciones entre sí.

Recordemos que el arco s descrito por un móvil es : s = r θ, la velocidad tangencial o lineal v se define

Δs Δθ v = = r = r ω

Δt ΔtEn ésta última expresión se observa que en el movimiento circular la velocidad tangencial depende directamente de la distancia del móvil respecto del eje de giro, dado por r. A mayor distancia r, mayor velocidad lineal.

En el movimiento circular uniformemente acelerado la aceleración tangencial esta dada por

a t =ΔvΔt

=Δ (rω)Δt

= rΔωΔt

= rα

Por ultimo la aceleración radial o normal sabemos esta definida por:

ar =v2

r=

(rω )2

r=ω2r

Las ecuaciones usadas tanto con magnitudes lineales o angulares se muestran en la tabla

En el movimiento circular de la figura hay que considerar los siguientes casos

Ejemplo 3

Una partícula se mueve en una trayectoria circular de 4m de radio y el módulo de su velocidad es v = 1 + 3t, donde t se expresa en segundos y “v” en m/s. Determine en qué instante la magnitud de la aceleración tangencial es 3/5 de la aceleración total.

Solución

a=√at2+at2 , a t=35a , a t=3

53a t=√at2+at2

elevando al cuadrado

259a t

2=at2+ac

2 , 169

at2=[

(1+3 t )2

r]2

Reemplazando at = 3 y despejando

T = 1,0 s

CINEMATICA DE PARTICULAS

La Mecánica es la parte de la Física que estudia las fuerzas, la materia y el movimiento.

Dentro de la Mecánica, la Cinemática estudia el movimiento, sin interesar las causas que lo producen (ni los efectos que es capaz de producir).Es la “geometría” el movimiento.

En la Cinemática se estudia distintos tipos de movimientos; sus trayectorias y las leyes espacio-temporales, o sea, las leyes del movimiento. La Cinemática se estudia con un metro y un reloj, midiendo las distancias y tiempos, y estableciendo relaciones para determinar las características del movimiento: la velocidad y la aceleración.

Definimos a la unidad patrón de longitud, el metro (símbolo m) como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299.792.456 segundos (esto supone que la velocidad de la luz es exactamente 299.792.458 m/seg).

Definimos a la unidad patrón de tiempo, el segundo (símbolo seg) de modo que la frecuencia de la luz emitida en una determinada transición del cesio es de 9.192.631.770 ciclos por segundo.

Con estas definiciones, las unidades fundamentales de longitud y de tiempo son accesibles a cualquier laboratorio del mundo.

La noción del “movimiento” está orientada a la del “sistema de referencia”, o sea, al cuerpo o sistema de cuerpos con respecto a los cuales referimos la posición del que se mueve. Cuando estamos sentados en un barco en marcha, estamos en “reposo” con respecto al barco y nos movemos “con respecto” a la tierra. Recíprocamente, el árbol que está en reposo con respecto a la tierra, se mueve “con respecto” al pasajero que está sentado en el barco (si imaginamos como sistema fijo al barco).

Si el pasajero camina con movimiento rectilíneo y uniforme (ya veremos que significa) sobre el barco en movimiento tendrá una velocidad “con respecto al barco” y otra mayor o menor “con respecto a la costa”, según camine hacia la proa o hacia la popa.

Estos son los problemas del movimiento relativo.

Por ejemplo: si el pasajero camina hacia la proa del barco, que se está moviendo como dijimos con movimiento rectilíneo y uniforme con respecto a la costa, con una velocidad de 60 cm/seg, decimos que ésta es su velocidad relativa (con respecto al barco); si el barco

se desplaza a 5m/seg, ésta es su velocidad de arrastre (con respecto a la costa), pues la velocidad del barco “arrastra” al pasajero. La velocidad total del pasajero que camina, con respecto a la costa, será entonces de 5,60 m/seg.

Esta es la base del “principio de adición de velocidades”, aunque debe tenerse en cuenta que la velocidad es una magnitud vectorial y por lo tanto, si los movimientos son de diferente duración, deben sumarse los vectores que representan las respectivas velocidades.

En definitiva:

V→= V r

→+ V a

→

Donde:

V→= velocidad total

V r

→= velocidad relativa

V a

→= velocidad de arrastre

Más adelante, cuando veamos conceptos de Mecánica Relativa, volveremos sobre el tema.

Por ahora digamos que TRAYECTORIA es: “las sucesivas posiciones de un cuerpo móvil, con respecto a un sistema de referencia que suponemos fijo”.

Variando los ejes, es decir, variando el sistema de referencia puede cambiar la forma de la trayectoria.

Por ejemplo: estoy en un vagón que se desplaza con movimiento rectilíneo y uniforme (recorriendo espacios iguales en tiempos iguales). Mi sistema de referencia lo fijo al mismo vagón (ejes ortogonales). Si suelto la piedra que tengo en la mano, la misma va hacia abajo, hacia mis pies, recorriendo una recta.

Pero, para personas que están en una estación, con sus ejes fijos a la misma, al pasar el tren y al soltar yo la piedra, ven que al caer la misma describe una parábola (cae y se desplaza hacia delante, lo mismo que yo). Por eso para mí, y para las personas de la estación, la piedra cayó a mis pies.

Consideremos como “partícula”, una unidad completa de masa despreciable que se mueve sin interesarnos sus rotaciones alrededor del centro de masa.

Fig. 3

En definitiva, un cuerpo, que puede ser considerado una partícula, está en equilibrio respecto a un sistema ortogonal de ejes que suponemos fijo, si las coordenadas de tres puntos no alineados del mismo permanecen constantes.

Basta que una coordenada varíe con el tiempo para que la partícula esté en movimiento. En la figura1, el cuerpo cae, o sea que se mueve paralelamente al eje z; por lo tanto su coordenada z va disminuyendo, en cambio permanecen fijas las coordenadas de x e y.

Si las coordenadas de A, B, C no varían el cuerpo está fijo (se entiende que el cuerpo es rígido). Basta que varíe uno solo de ellos para que el cuerpo esté en movimiento, respecto al sistema de referencia, supuesto fijo (Ver figura 2).

2-MOVIMIENTO DE PARTICULAS EN TRAYECTORIAS CURVAS.

Las trayectorias curvas pueden ser planas o alabeadas.Trazamos una trayectoria curva alabeada, cuya ecuación será del tipo P = P(t), es decir función no lineal de t (siendo t una variable muda).Cuando debamos derivar con respecto al arco lo indicaremos.Dando valores a t, los puntos P, extremo del vector

posición P→

, describirá la curva C.En la figura está indicado el punto P determinado al asignarle a la variable un valor dado “t”.

Fig. 4

Si aumentamos la variable en un t, el vector posición será ahora el

P→( t + Δt ) indicando su extremo el punto P1 sobre la curva C.

Uniendo P con P1 obtenemos el vector ΔP→

que indica la variación del vector posición al incrementar t en t.Supongamos que la variable t es el tiempo así que, en el tiempo t el móvil está en el punto P sobre la trayectoria C y el tiempo (t + t), está en el punto P1 sobre la misma trayectoria

Definición: se llama velocidad media entre los puntos P y P1 a la magnitud vectorial:

El móvil se mueve sobre el arco de curva PP1, pero se interpreta como velocidad media

entre P y P1, a la magnitud vectorial vm→

que representa la velocidad del móvil sobre la cuerda PP1; es decir, la de un móvil ficticio que sale del punto P al mismo tiempo que el real y llegan, el real sobre el arco y el móvil ficticio sobre la cuerda, al mismo tiempo al punto P1.

Velocidad instantánea:

ó sea:

d P→

dt= P '

: son distintas notaciones {d P→dt

: Leibniz ¿}¿{}La derivada del vector posición respecto al tiempo, es un vector tangente a la trayectoria en el punto P. Este es el vector derivado y es igual a la velocidad instantánea v.

S

vm→= Δ P⃗

Δt y |v⃗m|=

|Δ P⃗|Δt

v⃗=d P⃗dt

=P⃗ 'v⃗= limΔt→0

v⃗m= limΔt→0

ΔP⃗Δt

=d P⃗dt

Fig. 5a

Módulo de la velocidad instantánea:

Pero por lo que sabemos |dP| = ds, o sea el módulo del vector dP, que es tangente al arco en el punto P, es igual a la longitud del arco ds ó la longitud de la cuerda dPP1.

Recordando que:

Es decir, que en el límite ds = dPP1

2.3.Hodógrafa: En la función no lineal P = P (t) damos valores a t, o sea t1, t2, t3, etc., determinando el extremo del

vector posición P→

los puntos 1, 2, 3, etc. y las velocidades

v1

→, v2

→, v3

→

etc. en esos puntos son tangentes a la trayectoria C (ver figura 5a). Tomamos un punto O’, cualquiera del espacio, y desde él trazamos vectores equipolentes a las mencionadas velocidades (figura5b).Uniendo los extremos de los vectores equipolentes de las velocidades obtendremos una curva C’, llamada “hodógrafa” de la curva C.

Uniendo en la hodógrafa los

siendo v→=d P⃗dt

|v⃗|=|d P⃗|dt

limarco→ 0

cuerdaarco

=1

|d P→|=ds ⇒ |v

→|=ds

dtderivada de la funcion trayectoria S con respecto al tiempo

Fig. 5b

puntos 1’ y 2’, obtendremos el vector

Δv→

⇒ v2

→= v1

→+ Δv

→

Se define como aceleración

media:

Y como aceleración instantánea:

Es una magnitud vectorial que es tangente a la curva hodógrafa en el punto 1’.

Ahora veremos, respecto a la trayectoria C, donde está el vector a→

.

Para dibujar más claramente modificaremos la forma de la

trayectoria.

Consideremos un punto P de la misma, obtenido al darle un cierto

valor a la variable t, y obtenemos el vector posición OP→

= P (t) (no dibujado en la figura).

En el punto P obtenemos el vector velocidad, que lo representamos como un vector tangente a la trayectoria (ver figura 6).

Consideremos el Triedro de Frenet: to→

en la dirección de la tangente;

no

→

analíticamente perfectamente ubicado y gráficamente hacia la

a⃗m=Δv⃗Δt

a⃗= limΔt→0

a⃗m= limΔt→0

Δv⃗Δt

=d v⃗dta⃗=d v⃗

dt

curvatura de flexión (concavidad) de la curva C y bo

→

perpendicular a

to→

y no

→

. Estos últimos determinan el plano osculador.

Por lo tanto, observando la figura 6:

v→=v . to

→

⇒

⇒ a→=d v→

dt=d (v .to )

→

dt=dvdt

to→+v .

d to→

dt (1)

to→, no

→: plano oscilador

no

→, bo

→

:plano normal

bo

→, to→

: plano rectificante

Pero

dt o→

dt , si bien da un vector en la dirección de la normal principal, no es el vector curvatura de flexión.

Una de las formas de resolver es:

A la expresión (1) multiplico y divido por

dsds siendo ds un diferencial

de trayectoria a→= dv

dtto→

+ vd to

→

dt.dsds

= dvdt

to→+ v .

d to→

ds.dsdt

d to→

ds= n

→= n . no

→

donde el módulo n es la curvatura de flexión c, la que a su vez es igual a la inversa del radio de curvatura ρ en ese punto (Primera fórmula de Frenet-Serret)

d t→

o

ds= n . n

→

o=

c . n⃗o =1ρ

. n⃗o siendo

dsdt

= v

Reemplazando ambas expresiones resulta:

a→= dv

dtto→

+ v2

ρ. no

→

Fig. 7.1

Es una suma de vectores que demuestra que el vector aceleración se encuentra en el PLANO OSCULADOR

Veamos que como es lógico el movimiento rectilíneo es un caso especial del movimiento general ya que la recta es una curva de radio infinito..

En el movimiento rectilíneo la función del movimiento es :P = P (t)Es función lineal de t

P( t ) + ΔP = P ( t + Δt ) ∴ P( t + Δt ) − P( t ) = ΔP

La velocidad media de 1 a 2 es :

Vm = P/tLa velocidad instantánea en el punto 1:

Como las velocidades nunca cambian de dirección (siempre están sobre la recta), se las pueden considerar como magnitudes escalares pues se suman y se restan sus módulos, pues los vectores son colineales.

Además:

Como en una recta el radio de curvatura ,

entonces no hay aceleración normal. Como to→

coincide con la dirección de la recta trayectoria, entonces:

Solo hay aceleración tangencial y como tiene la dirección constante de la recta se la puede considerar como un escalar.

Por eso solamente, en los movimientos rectilíneos se define:

v→= lim

Δt→ 0

ΔP→

Δt=d P

→

dt

|v→|=|dP|dt

a→=d v→

dt=dvdt

t→

o+v2

ρn→

o

a→= dv

dtto

→

v=dPdt

a=dvdt

Fig. 7.2

Movimiento rectilíneo y uniforme.Consideramos un movimiento rectilíneo donde las sucesivas

posiciones quedan determinadas por los vectores x1

→

y x2

→

Se define la

velocidad de la partícula, en estas condiciones, como: v→=

d x→

dt

siendo, x→

el vector posición sobre la recta; y v→

el vector velocidad que resulta colineal con el vector posición.

Consideremos escalarmente el movimiento.

Si establecemos la relación, entre los espacios recorridos y los tiempos empleados en recorrerlo, vemos que si el movimiento es rectilíneo y uniforme, obtendremos una constante que representa a la velocidad del movimiento (figura 7.2).

Por lo tanto en estos casos podemos considerar a la velocidad como un escalar por tener siempre la misma dirección

Leyes del movimiento rectilineo y uniforme.

1) En un movimiento rectilíneo y uniforme la velocidad es constante

2) En un movimiento rectilíneo y uniforme el espacio recorrido es

directamente proporcional al tiempo empleado e = v . t

x1 − 0

t1 − 0=x2 − 0

t2 − 0=x2−x1

t2−t1= Δx

Δt= lim

Δt→0

ΔxΔt

=dxdt

=v

Fig. 8

Fig. 9

Fig. 10

Para las representaciones gráficas recordar que la ecuación de una

recta que pasa por el origen es y = m.x.

En la representación de la 2da. ley:

En la representación de la 1ra. Ley (figura 9), al cabo de un cierto tiempo t, la superficie del rectángulo representa el espacio recorrido por el móvil en ese tiempo, con esa velocidad, pues si:

v = x

t x = v . t

Si el móvil hubiera tenido un cierto espacio inicial a considerar (ver figura 10):

x = xo + v.t

tg α=dxdt

= ΔxΔt

= v ∴ tg α = v

Velocidad media rectilínea: es aquella en la cual el móvil recorre el mismo espacio en el mismo tiempo pero con movimiento rectilíneo y uniforme; esto se aplica cuando se tiene un movimiento rectilíneo pero totalmente variado, con el cual un móvil recorre un cierto espacio en un cierto tiempo.

Ejemplo: supongamos que un móvil recorre 60 km, en forma rectilínea; los primeros 30 km los recorre a v1 = 20 km/h y los segundos 30 km a una velocidad v2 = 60 km/h. Calcular la velocidad media rectilínea.

Sabemos que: v = e

t

t1= e1 / v1= 30 km / 20 km/h = 1,5 h

t2= e2 / v2= 30 km / 60 km/h = 0,5 h

t = t1 + t2 = 1,5h + 0,5h = 2 h

vm = (e1 + e2 ) / (t1 + t2) = (30 + 30)km / 2h = 60 km / 2h = 30 km / h Correcto

Ppromediando las velocidades de cada tramo:

( 20 km/h + 60 km/h) / 2 = (80 km/h ) / 2 = 40 km/h Incorrecto

Las velocidades se promedian con respecto al tiempo y no con respecto al espacio recorrido.

Movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado o variado.Definamos la aceleración como la variación de la velocidad en la unidad de tiempo.

En estos casos la aceleración es constante.

a→=

d v→

dt a = dv

dt

Leyes del movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado.

Primera ley: La aceleración del movimiento es constante. a = cte

Segunda ley: La velocidad es directamente proporcional al tiempo empleado y a la aceleración. v = a . t.

Tercera ley: El espacio recorrido es proporcional al cuadrado del tiempo empleado. e = ½ a t2

Graficando la primera ley:

Graficando la segunda ley:

En la figura11 :

tg = a = v / t = v / t = dv / dt

El espacio recorrido con a = cte es:

vm = (0 + v ) / 2 = ½ a.t (primer caso)

vm = (vo + vo + a.t)/ 2 = vo + ½ a.t (segundo caso)

El móvil recorre el mismo espacio en el mismo tiempo, con esta velocidad media (área rectángulo OABC = área trapecio OA’B’C’) o sea, área bajo la recta.

x = vm.t = ½ a.t2 (primer caso)

x = vm.t = (vo + ½ a.t ).t = vo.t + ½ a.t2 (segundo caso)

a(m/

a=f(t)

t(s)

Fig. 12

Si existiera un espacio inicial xo:

x = xo + vo.t + ½ a.t2

Ordenando:

x = ½ a.t2 + vo.t + xo que representa a la función del tipo y = m.x2 + b.x + c que es una función de segundo grado cuya representación gráfica es una parábola :

Si x = ½ a.t2 + vo.t + xo

entonces la velocidad v = dx/dt = tg = a.t + vo y la aceleración es a = dv/dt = cte (1)

Es decir, la derivada primera respecto al tiempo de la función espacio (recordar que la trayectoria es rectilínea) es la velocidad; y la derivada segunda de la función espacio respecto al tiempo dos veces o la derivada primera de la velocidad respecto al tiempo es la aceleración de la partícula.

Conociendo como datos la velocidad inicial vo y el espacio inicial xo, integrando la expresión (1) tenemos:

a = dvdt ⇒

∫vo

vdv = ∫o

ta . dt

v − vo = a . t

Despejando

v = vo + a . t

Integrando la expresión de la velocidad:

v = dxdt

⇒ dx = v . dt

∫xo

xdx =∫0

t

(vo + a . t ) dt

x − xo = ∫0

tvo . dt + a .∫0

tt . dt

Despejando: x = x0 + v0 . t + 1

2. a . t2

Fig. 13y +v -a -

Una relación muy útil, en los movimientos rectilíneos y uniformemente variados, es la de la velocidad respecto a los espacios recorridos. Es decir, velocidad en función del espacio.

Sabemos que:

a = dv/dt

Multiplicando el segundo miembro por dx/dx = 1, la expresión no altera y queda:

a = dvdt .

dxdx Agrupando las variables

a = dxdt

dvdx =

v .dvdx

⇒ v . dv = a . dx

∫vo

vv . dv = a . ∫xo

xdx

Recordar a = constante

v2 − vo

2

2= a ( x − xo )

Esta ecuación es usada cuando se estudia la caída de los cuerpos en el vacío y en un campo gravitatorio. En este caso, teniendo en cuenta la Fig. 13

Problema de Aplicación de Movimiento rectilíneo Uniformemente Acelerado

Desde el borde de una cornisa situada a 48 m del suelo se lanza hacia arriba una pelota y 5 segundos más tarde la pelota toca el suelo. (Figura 17).

a=gyo=0vo=0y=hentonces queda : v=√2 gh

Fig. 17

y +v +a -

a)

b)

c)

d)

Verificación:

y = yo+vo t−12g . .t2

y=48 m+v o t−12

9 ,81mseg2

.t2

cuando t = 5 seg ⇒ e=0 ( toca el suelo)

0=48 m+vo 5 seg −12

9 ,81mseg2

.(5 seg )2

48 m+vo5 seg=122 ,625 mvo5 seg=122,625 m−48 m=74 ,625 m

vo=74 ,625 m

5 seg=14 ,925

mseg

v=v o−9 ,81m

seg2t

v=14 ,925mseg

−9 ,81m

seg2t

cuando v=0 y h es máxima

0=14 ,925mseg

−9 ,81mseg 2

t

t=14 ,925

mseg 2

9 ,81mseg2

=1 ,52 seg

x=48+22 ,686−11 ,33=59 ,356 m

x=48m+14 ,925mseg

.1 ,52 seg−12

9 ,81m

seg2.(1,52 seg ) 2

v=v o−gt=14 ,925mseg

−9 ,81m

seg 2. 5 seg=−34 ,125

mseg

v=−√2gh=−√2.9 ,81.59 ,356=−34 ,12mseg

Fig. 14

CAIDA EN UN PLANO INCLINADO – Sin rozamiento -.Sea el triángulo ABC, rectángulo en B. Si desde C a B dejamos caer libremente una partícula , tendremos:

e = 12a . t2

Caso General

Si proyectamos g sobre el plano inclinado tendremos que:

at = g. sen

Entonces sobre el plano inclinado, al cabo del mismo tiempo t determinado en (1), tendremos que la distancia x recorrida es:

Pero x = h. sen porque en el mismo tiempo t , la caída vertical es h y su proyección sobre el plano es x (ver figura 14) y además h =1/2.g.t2 por lo tanto la expresión (3) queda:

x = h . sen

Es decir, que al cabo del tiempo t, que tarda la partícula para caer libremente desde C, sobre el plano inclinado (sin rozamiento) recorre la distancia x.

Podemos probar que el tiempo es el mismo, pues de (3):

Además, si queremos saber qué velocidad v1 alcanzará la partícula al llegar al punto A, es decir, después de haber recorrido toda la hipotenusa AC, tendremos:

h=12g . t2⇒ t=√2h

g (1 )

y siendov=√2gh (2)

x=12a t . t

2

x=12g . senα . t2 (3 )

t=√2. xg. senα

=√2h . senαg . senα

=√2hg

(1' )

y vemos que (1 )=(1' )

Es decir, si bien sobre el plano inclinado la aceleración de caída, fijado el ángulo, es conocido y menor que g, el tiempo total a recorrer de C a A sobre el plano inclinado será mayor que (1) y la velocidad que adquirirá la partícula al llegar a A será la misma, que en caída libre al llegar a B. (Velocidad numérica o módulo).

MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS CON ACELERACIONES NO CONSTANTES.

Supongamos que la aceleración es variable y en función del tiempo. a = f (t)a = 6t – 4Por ejemplo:

Siendo los datos: xo = 10 m vo = 20 m/seg

Sabemos que la aceleración instantánea es:

Además:

Movimiento rectilíneo y relativo de dos partículas.

Se considera el mismo origen, el mismo sentido y el mismo tiempo para las dos partículas.

v1=√2 .at . l . (4 )

pero recordando que at=g . sen α y l = hsen α

v1=√2 .g . sen α.hsen α

y recordando además que (ver figura 14 )sen α . l =hv1=√2gh

vemos que v1=v pues (2)=(4 )

a=dvdt

⇒dv=a .dt

dv=(6 t−4 )dtdv=6 tdt−4dt

Integrando: ∫v o=20

vdv=6∫0

ttdt−4∫0

tdt

v−20=6 .t2

2−4 t

v=3 t2−4 t+20

v=dxdt

⇒dx=v .dt

dx=(3 t2−4 t+20)dtdx=3t2dt−4 tdt+20dt

Integrando :

∫xo=10

xdx=3∫0

tt 2dt−4∫0

ttdt+20∫0

tdt

x−10=3t 3

3−4

t 2

2+20 t

x=t3−2 t2+20 t+10

Fig.15

La coordenada de posición relativa de B con respecto a A, la llamamos xB/A:

xB/A = xB – xA (1)xB = xA + xB/A

Si xB/A es positiva, B se encuentra a la derecha de A.

Si xB/A es negativa, B se encuentra a la izquierda de A.

Por ejemplo, tomemos las dos partículas en la semirrecta negativa:

xB/A = -xB – (-xA)

En la figura 16, B está en –2 y A en –3

Luego:

xB/A = - 2 – (- 3) = -2 + 3 = 1

Si xB/A es positivo (+), B está a la derecha de A

Derivando la ecuación (1) se obtiene la velocidad relativa entre las dos partículas:

Si vB/A, velocidad relativa de B con respecto a A, es positiva indica que, B observado desde A se mueve en sentido positivo de las velocidades.

Si vB/A es negativo indica que, B observado desde A se mueve en el sentido negativo de las velocidades.

Lo mismo sucede para la aceleración relativa entre las dos partículas.

dx B/ A

dt=dxBdt

−dx A

dtvB / A=vB−v A

dv B/ A

dt=dv B

dt−dvA

dtaB / A=aB−aA

Ejemplo de aplicación de movimiento rectilíneo y relativo de dos partículas.

En el instante t=0 un automóvil A pasa con movimiento rectilíneo y uniforme por una marca que está en el suelo, con una velocidad de VA= 20 m/seg (72 km/h). También en el mismo instante t = 0 desde esa misma marca y con la misma dirección y sentido, parte otro automóvil B que estaba detenido con una aceleración constante de aB = 2 m/seg2 .

Calcular:

a) ¿Cuándo el auto B alcanzará al A?b) ¿A qué distancia de la marca?c) ¿Qué velocidad final tiene B en ese momento?

Solución:

Primero hay que identificar qué tipo de movimiento tiene cada auto y cuáles son las leyes que gobiernan a esos movimientos

1. El auto A va con MRU donde el espacio es :

eA = vB t = 20mseg

t (seg )

2. El auto B va con MRUA donde el espacio es:

eB = vBot + 1

2aB t

2 = 12aB t

2 = 12

2m

seg2t2 ( seg2 )

Respuesta:

a) Cuando

eA = eB ∴ 20 t = t2 ∴ t = 20 seg

20mseg

t ( seg ) = 12

2m

seg2t 2 (seg )2 ∴ t = 20 seg

b) La distancia es, calculada con:

El auto A : e = 20 m/seg . 20 seg = 400 mEl auto B : e = ½ a t2 = ½ . 2 m/seg2 . 400 seg2 = 400m

Fig. 18

Fig. 19

c) La velocidad final de B será:

VB = aB . t = 2 m/seg2 . 20 seg = 40 m/seg

VB = 40 m/seg . km/1000 m . 3600 seg/1 h = 144 km/h

Los diagramas de velocidad de cada auto son

Velocidad Angular y aceleración angular.Así como en un movimiento rectilíneo y variado, la velocidad media es:

Consideremos una partícula que se mueve en una trayectoria circular de

centro O , radio r y desplazamiento angular θ como la de la figura 19.

Entonces, la velocidad angular media se define como el ángulo barrido por el radio R en la unidad de tiempo:

La velocidad angular instantánea, se define como:

Así como la aceleración media en un movimiento rectilíneo se define como:

vm=x−xot−to

= ΔxΔt

ω→

m=θ−θo

t−to= Δθ

Δt

ω→= lim

Δt→0

ΔθΔt

=dθdt

Fig. 20

Fig. 21

Tanto la velocidad como la aceleración angular son magnitudes vectoriales. Están ubicadas en la normal a la circunferencia, en el punto O y con sentido regla de la mano derecha.

Relación entre la velocidad angular y la velocidad lineal.Consideremos una partícula que se mueve en una trayectoria circular de centro O y radio r . La velocidad angular ϖ y la velocidad lineal v⃗ se relacionan por la expresión:

Entonces:Otra forma de obtener la relación entre la velocidad angular y la velocidad lineal es trabajando con los módulos:

ds = dθ . rDividiendo la igualdad por dt

v =

dsdt

= dθdt

. r ⇒

a→=

d v→

dt y también v→= v . t

→

o

entonces a→=

d (v . t→

o )dt

llegando finalmente a: a→= dv

dtto→+ v2

ρno→

En el caso de una circunferencia el radio ρ es constante e igual a r

a→

m=v−vot−to

=ΔvΔt

,

en tonces en un movimiento circular la aceleración angular media es:

α→

m=ω→−ω

→

o

t−to=Δω

→

Δty la aceleración angular instantánea es:

ω→= lim

Δt→0

Δω→

Δt=d ω

→

dt

v⃗=ω⃗∧r⃗|v⃗|=|ω⃗∧ r⃗|=|ω⃗|.|⃗r|. sen90 °

v=ω . r

v=ω . r

Entonces la ecuación se transforma en:

En una circunferencia = r

Aceleración lineal en función de las dos magnitudes angulares (α y ω) en una circunferencia.

CUERPO LANZADO HORIZONTALMENTE –Sin rozamiento, en el vacío y en un campo gravitatorio-.

Un cuerpo se desliza por un plano inclinado bajo la única acción de la

componente de su peso paralela al plano (P→

t ).

Al encontrarse el plano inclinado con el plano horizontal, dicha componente

(Pt

→

) desaparece y el cuerpo queda animado solo por la velocidad que traía

hasta ese punto. A partir de allí la velocidad es constante (v→

o ). En consecuencia el movimiento en el eje x es rectilíneo y uniforme.

A partir del punto O la aceleración de la gravedad genera un movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado, en el eje y.

En consecuencia:

En el eje x: la velocidad vx es constante y la aceleración ax es 0 ya que el movimiento es rectilíneo y uniforme

En el eje y: la aceleración ay es la aceleración de la gravedad g

a→=d (ω . r )dt

. t⃗o+ω2 . r2

ρ. n⃗o

a→=dωdt

. r . t⃗o+ω2 .r2

ρ.n⃗o

a→⃗=α . r . t⃗o+

ω2 . r2

ρ. n⃗o

a⃗=α . r . t⃗o+ω2. r . n⃗o

Fig 22

Para determinar las velocidades en cada eje :

ax =dvxdt

⇒ dvx = ax .dt

a y =dv y

dt⇒ dv y = ay . dt

Integrando:

En el eje x ∫0

xdvx = 0 . ∫0

tdt

En el eje y ∫0

ydv y= g . ∫0

tdt

Resolviendo la integral:En el eje x, la velocidad es: vx = v0 = cteEn el eje y, la velocidad es: v y = g . t

Para determinar las posiciones en cada eje:

vx =dxdt

⇒ dx = v x . dt = v0 . dt

v y =dydt

⇒ dy = v y . dt = g . t . dt Integrando ambas expresiones:

En el eje x: ∫0

xdx = vo∫ dt

En el eje y: ∫0

ydy = g . ∫0

tt . dt

entonces:

La posición en el eje x es: x = v0 . t

La posición en el eje y es: y = 1

2. g . t2

La velocidad que anima al cuerpo en un punto de la trayectoria es

v = √vx2 + vy2

Las coordenadas de la posición del cuerpo en la trayectoria son:

{x = v0 . t ¿ ¿¿¿

Las aceleraciones son:

a→

x =dv x

dt= d

dtcte = 0 ¿}¿¿ a

→= a

→

x + a→

y = 0 + g ∴ a→= g

→¿ ¿¿

la aceleración a→

es vertical

En el caso de un cuerpo lanzado horizontalmente, el movimiento vertical es independiente del movimiento horizontal y viceversa

Analicemos la aceleración de este movimiento:

Recordando: a→= dv

dtt→

o + v2

ρ.n→

o donde

dvdt

t→

oes la aceleración tangencial

a→

y

v2

ρ. n→

oes la

aceleración normal

a→

n

Analicemos la aceleración tangencial:

Vimos que: V=√V o2+g2 . t2 (2 )

Si a t=dVdt

=2. g2 . t

2.√V o2+g

2 . t2=g2 . tV

De (2) : V 2=Vo

2+g2 . t2

despejando t=√V 2−Vo2

g2 ⇒ t=

√V 2−Vo2

gReemplazando este valor en at tendremos:

a t=g2√V 2−V

o2

V . g=g .√V 2−V

o2

V 2∴ a t=g√1−

Vo

2

V 2(3 )

Analicemos la aceleración normal :a2=a

t2+a

n2

an2=a2−a

t2=g2−g2(1−

Vo2

V 2)

an2=g2−g2+g2.

Vo2

V 2

an2=g2 .

Vo2

V 2⇒ an=g .

V o

V(4 )

Fig. 23

Se concluye que:

El movimiento no es uniformemente acelerado porque la aceleración tangencial y normal no son constantes, según fórmula (3 ) y (4 ) porque :

Cuando t=to=0⇒V=V o⇒at=0 y an = g

Cuando t→∞⇒V→∞ ⇒ at=g y an = 0

Radio de curvatura.

Por definición, la aceleración normal es:

TIRO OBLICUO EN EL VACIO y en un campo gravitatorio.Desde el origen de coordenadas un cuerpo es lanzado con una velocidad

inicial vo→

formando un ángulo α con la horizontal, según muestra la figura 23.

Al peso P→

lo descomponemos según los ejes x e y : P→

= F→

x + F→

y pero

an=V 2

ρ⇒ ρ=V 2

an

ρ=V 2

g .V o

V

=V 3

g .V o

∴

ρ = V 3

g . V 0

radio de curvatura en función de

las velocidadesAnalicemos :

Cuando V=V o obtenemos ρmínimo ρmín=V

02

gCuando V →∞ entonces ρ → ∞

En el eje x : F→

x = 0 ∴ m . ax = m .dv x

dt= 0 ∴ vx = cte

La componente de la velocidad inicial según el eje x es: v0x

= v0 . cos α

vx = v0x= vo . cos α pero en el vacío vx es constante

En el eje y: F→

y = −m . g = m .dvo

y

dt∴ −g =

dvoy

dt⇒ dvoy

=−g . dt

integrando:

∫vo

vdvo y

=−g . ∫to

tdt

v y − vo y=−g . t ⇒ v y = vo y − g . t

La componente de la velocidad inicial según el eje y es: voy

= vo . sen α

entonces vy = vo sen α - g.t

Cálculo de los espacios

vx =dxdt

∴ dx = v x . dt = vo . cos α dt int egrando esta expresión

∫o

xdx = ∫o

tvo . cos α . dt

x = vo . cos α . t espacio sobre el eje x o ALCANCE

v y =dydt

∴ dy = v y . dt = (vo . sen α − g . t ) dt int egrando esta exp resión

∫o

ydy = ∫o

t(vo . sen α − g . t ) dt

y = vo sen α .t - 12 g . t2 espacio sobre el eje y

o ALTURA

Cálculo de la altura máxima

Cuando se llega a la altura máxima, la componente de la velocidad en el eje y es cero :

vy = vo sen α - g.t = 0 ∴ t =

vo sen α

g (1) tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima

hmax = vo . sen α . t − g . t2

2 Reemplazando t obtenemos

hmáx = vo . sen α . (vo . sen α

g) − 1

2g(

vo

2 . sen2 α

g2)

hmáx=vo

2 . sen2α

g− 1

2

vo

2 sen2 α

g = 12

vo

2 sen2α

g

hmáx=12

vo2 sen2 α

g

La altura máxima obtenida es la que corresponde a un ángulo dado, pero la mayor de las alturas máximas corresponderá para α = 90º, es decir el cañón apuntando hacia arriba sobre el eje y:

hmaxmax

= 12

v2o

g

Cálculo de la distancia máxima (alcance).

El alcance se obtiene cuando el proyectil toca el eje de las x y = 0

y = 0=V o . sen α . t−1

2. g .t2

V o . senα . t=1

2.g . t2

⇒

t=

2.V o . senα

g

(2) tiempo que tarda en alcanzar la distancia máxima

Vemos que el tiempo que tarda en alcanzar la distancia máxima (2) es el doble del tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima, entonces la distancia máxima será:

x = vo . cos α . t ⇒

xmax=V o . cosα .2 .V o . sen α

g=V

o2 .2 . sen α .cos α

g es decir que

xmax=V

o2 . sen2α

g

Para obtener el mayor alcance máximo el ángulo α = 45 º entonces sen 2 α = sen 90º = 1

xmáxmáx= v2o

g

En el tiro oblicuo en el vacío y en un campo gravitatorio, se observa que la trayectoria es una parábola. A continuación veamos cuál es la posición de esa parábola.

Sabiendo que x = vo . cos α . t (1)

y = vo . sen α . t − 1

2g . t2

(2)

De (1) despejamos t y lo reemplazamos en (2)

t = xvo . cos α

y = vo sen α .x

v o . cos α− 1

2g

x2

vo2 . cos2 α

= tg α . x − 12

g .x2

vo

2

.1

cos2 α pero

1

cos2α = 1 + tg2α entonces reemplazando nos queda:

y = tg α . x − 12

g .x2

v2o− 1

2g .

x2

v2o

. tg2α

y ordenando según la variable x tendremos

y =− (12

gvo2

+ 12

gvo2

tg2α ) x2 + tg α . x

Esta ecuación es del tipo y = -k. x2 + tg α . x donde k y tgα son constantes

y = - a x2 + b . x

Esta última es la ecuación rectangular de una parábola con concavidad hacia abajo (por el signo negativo del término independiente de x2) y que pasa por el origen.

Parábola de seguridad

Si ordenamos la ecuación de la parábola según tgα tenemos:

y=−12g .

x2

v2otg2 α + x . tgα − 1

2g .

x2

v2o igualando a cero toda la expresión nos

queda

−12g .

x2

v2otg 2α + x . tgα − 1

2g .

x2

v2o− y = 0

ecuación de segundo grado donde tg α es la incógnita

tg α =

− x ± √x2 −4 (− 12

g .x2

v2o )(−1

2g .

x2

v2o− y) .

−g .x2

v2o

.

Tenemos que hallar el valor de y ; para ello llamamos:

“a” al valor “

g

2 v2o y “c” al valor “tg α ” entonces en la

ecuación de 2º grado: - a x2 c2 + c . x - a . x2 - y = 0 esta es una ecuación del tipo

ϕ = - a x2 c2 + c . x - a . x2 - y = 0

Para encontrar la solución singular de esta ecuación diferencial

asociada a ϕ se debe eliminar c entre ϕ y

dϕdc

dϕdc

= − 2 . a . x2 c + x = 0 ⇒ c = x

2 a x2= 1

2 . a . x

c = 12 a x

Reemplazando en ϕ

ϕ = 0 = −a . x2 .1

4 a2 .x2+ x

2 . a . x− a x2 − y = −1

4 a+ 1

2 a− a x2 − y = 1

4a − a x2 − y = 0

y = −a . x2 + 14 a reemplazando a por su valor

y = −g . x2

2 . v2o

+ v2o

2 . g

Fig. 25

Esta última es la ecuación de una parábola con la concavidad hacia abajo (por el signo negativo del término cuadrático) y con su eje vertical coincidiendo con el eje de las y del sistema cartesiano

Se dispara un proyectil desde la cima de una colina de 200 m de altura, con una velocidad de 200 m/seg. formando un ángulo de 30° con la horizontal. (figura 25)Despreciando la resistencia del aire, calcular:

a) La distancia horizontal hasta el punto de caída del proyectil.b) La altura máxima que alcana el proyectil con respecto al

suelo.Recordemos una vez más que los movimientos verticales y horizontales son independientes.

Movimiento vertical:

Movimiento horizontal:

V y=V o . senα−g . tV y=200 .0,5−9,8 .t=100−9,8 .t

y=V o . sen α .t−12g . t2

y=200. 0,5 . t−12

. 9,8 . t2=100 . t−4,9 .t2

Vy2=V

oy2+2 .a.e

Vy2=(200 . 0,5)2−2 . 9,8. y=10000−19 ,6 . y

V x=V o . cosαV x=200 . 0 ,866

V x=173mseg

⇒ x=173 .t

Fig. 26

a) Distancia horizontal: b) Altura máxima:

Movimiento circular uniforme.Es un movimiento cuya trayectoria es una circunferencia y el móvil recorre arcos iguales en tiempos iguales. Es decir, la velocidad angular w es constante: el radio barre (o describe) áreas iguales en tiempos iguales.En el punto A construimos el triedro

de Frenet. El versor tangente t→

o ; el

versor normal principal n→

o y el b→

o , normal al plano oscilador (no dibujado)Observación: las curvas planas están desarrolladas totalmente en el plano oscilador (figura 26)Si r = cte, es : v = w . r también v = cte Es decir, el módulo de la velocidad lineal es constante mientras que el

vector velocidad v→

, cambia constantemente ya que es tangente a cada punto de la trayectoria

|v→| = v = cte ; v⃗ cte.

y=100 . t−4,9 . t2

−200=100. t−4,9. t2

4,9 . t2−100 . t−200=0⇒t=22 seg (elegimos el t positivo )⇒ x=173 . 22=3806m

Vy2=10000−19 ,6 . y

Cuando es hmax⇒V y=00=10000−19 ,6 . y

y=1000019 ,6

=510 ,20m

hmax=510 ,20+200=710 ,20m

También podemos hallar hmax partiendo de:V y=100−9,8 . tV y=0

t=1009,8

=10 ,2 seg

y=100 . t−4,9 . t2

y=100 . 10 ,2−4,9 .(10 ,2)2

y=1020−509 ,79=510 ,21m

Fig. 27

Y también la aceleración angular α = 0 ya que α = dω

dt= d cte

dt= 0

Si to = 0 es decir si comienzo el estudio en ese punto A (s = so , to = 0)

s , so son dos puntos sobre la circunferencia

b)si = 0, tenemos v = cte y la fórmula general de la aceleración:

Este vector tiene el mismo sentido que no

→

o sea que:

a⃗ = a⃗n =

v2

r. n⃗o

y a⃗ t = 0

Y en magnitudes angulares:

y a→t= α . r . t

→

o = 0

En todos los puntos solamente habrá un vector aceleración igual a su aceleración normal principal, dirigido hacia el centro de la circunferencia.

Movimiento circular uniformemente acelerado.La característica de este movimientos es que: = cte , y, como v = ω . r es :

a = dvdt

= dωdt

. r = α . r=cte de donde

|at→| = α . r = cte

a ) Como v=dsdt

∴ ds=v .dt e int egrando

∫so

sds=v∫0

tdt ∴

s − so = v ( t − to )s−so=v . t ∴ s = so + v . t

a→= dv

dtt⃗o+ v

2

rn⃗o ⇒ a

→= v2

rn→

o

a⃗=α . r . t⃗ o+ω2. r . n⃗o

como α=0

a⃗=a⃗n=ω2 . r .n⃗o

Fig. 28

Entonces a = at = α . r es decir que la componente tangencial de la aceleración lineal es constante en su módulo.

Pero si bien la aceleración angular = cte, también vemos que la velocidad lineal es distinta (va cambiando con el tiempo, no es constante) pero la aceleración tangencial si es constante; a t = α . r = cte , es decir que la componente tangencial de la aceleración es constante en su módulo mientras que la aceleración normal va

creciendo; a→

n =v2

r. n→

o ¿cte o sea que la aceleración total

a→= a

→

t + a→

n va creciendo

En función de las magnitudes angulares la aceleración es:

Si

at=dvdt

dv=a t .dt

∫vo

vdv=at∫0

tdt

v−vo=at . t

Si

v=dsdt

ds=v .dt=(v o .dt+at . t .dt )

∫so

sds=vo∫0

tdt+a t∫0

tt .dt

s−so=vo. t+12at . t

2

s=so+vo . t+ 12at . t

2v=v o+a t . t

a⃗=dvdt

t⃗o+v2

rn⃗o

Como v=ω . r

a⃗=d (ω . r )dt

. t⃗o+ω2 . r2

r. n⃗o

a⃗=dωdt

r . t⃗ o+ω2 . r . n⃗o ⇒ a⃗=α . r . t⃗o+ω

2. r . n⃗o

Además en el movimiento circular uniforme tenemos:

w = cte ; v = cte

entonces: w = wm

Es decir, debemos acordarnos de las fórmulas lineales y reemplazar:

x por

xo por o

v por w

Si el movimiento hubiera sido circular uniformemente acelerado y queremos expresarlo en función de las magnitudes angulares : w y , tenemos:

Entonces despejando la velocidad

angular (ω )

(En los movimientos rectilíneos y uniformemente acelerados: v = vo + a.t)

Debemos recordar los rectilíneos y reemplazar:

v por w

vo por wo

a por

Para hallar el ángulo descripto, recordamos que la velocidad media :

ωm = ωo + 1

2α . t

Y el ángulo barrido a esa velocidad media será:

Si o (ángulo inicial) 0

ω=θ−θot−t o

despejando el ángulo θ

θ=θo+ω( t−t o )Si to=0

θ=θo+ω . t

Si α=cte⇒α=αm

α=ω−ωo

t−toω=ωo+α( t−to )Si to=0 ω=ωo+α . t

ωm=ωo+ω2

=ωo+ωo+α . t

2=ωo+

12α .t

⇒

θ=ωm . t=ωo .t+12α . t2

(En los movimientos rectilíneos y uniformemente acelerados: x = xo +vo.t + ½ a.t2)

Recordar y reemplazar:

x por

xo por o

vo por wo

a por

Velocidad angular en función del ángulo descripto:

α=dωdt

multiplico pordθdθ

entonces α=dωdt

.dθdθ

α=dθdt

.dωdθ

perodθdt

= ω

α=ω .dωdθ

ω .dω=α .dθ

∫ωo

ωω .dω=α∫θ

o

θdθ

ω2=ωo2+2.α .(θ−θo )

Recordar: v2 = vo2 + 2.a.(x – xo) ; y reemplazar:

v por w

vo por wo

a por

x por

xo por o

Periodo T: Se llama periodo de un movimiento circular uniforme al tiempo que tarda un punto móvil en dar una vuelta completa. Como el movimiento circular es repetitivo, el periodo es el intervalo (espacio de tiempo) en que se vuelve a repetir el movimiento.

Frecuencia f: Es el número de vueltas del punto móvil que realiza en la unidad de tiempo.

f = 1/T (1/seg)

Además si consideramos que en este movimiento la velocidad lineal es:

θ=θo+ωm . t= θo + ωo .t+ 12α . t2

v=dsdt

=2. π .rT

(1)

ω=dθdt

=2.πT

(2 )

De (1) despejamos 2π y lo reemplazamos en (2) obtenemos v= ω . r

Problema de ejercitación.

Un árbol (eje) gira a n = 90 r.p.m. (revoluciones por minuto). Después

de desconectar el motor adquiere movimiento uniformemente

desacelerado y se detiene al cabo de t1 = 40 seg.

Determinar el número de revoluciones efectuadas por el árbol

durante ese tiempo.

La velocidad angular wo inicial del árbol en rotación retardada es igual a la velocidad angular que éste desarrollaba antes de desconectar el motor.

En el instante que se detiene el árbol, cuando t = t1, la velocidad angular w1

= 0. Poniendo estas velocidades en (b).

.

Si x=vo . t+12

.a .t2⇒θ=ωo . t+12α .t2 (a )

v=vo+a .t⇒ω=ωo+α .t ( b)

ωo=2 .π .nrevmin

ωo=2 .π .n60

revseg

ωo=2 .π .n60

=π .n30

0=π .n30

+α .t1

α=−π .n30 . t1

Fig. 29

Si designamos el número total de revoluciones hechas por el árbol, durante el tiempo t1, por N, el ángulo total de rotación en el mismo t1 será igual a: 1

= 2..N

Colocando estos valores de y en (a)

Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)

Supongamos que un punto móvil gira sobre una circunferencia con movimiento circular uniforme: w = cte.Entonnes : w = cte ; | v | = cteEn el punto A, el móvil tiene una velocidad v y una aceleración normal (que es la única que posee) an, dirigida hacia el centro de la circunferencia. Las proyecciones de ambas sobre el eje de las x son vx y ax

respectivamente.Entonces podemos considerar que mientras el móvil real, en la figura 29, recorre la circunferencia en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj, con un movimiento circular uniforme; el móvil ideal, que representamos por el punto A1 recorre alternativamente el eje de las x, desde M a M1 y viceversa. La proyección describe un movimiento armónico simple.

Sabemos que:

En la figura 29, el triángulo OA1A:

2 .π .N=π .n30

. t1−12

.π .n30. t1

.t12

2 .π .N=2 .π .n2 .30

. t1−12

.π .n30

. t1

N=n. t1

120=90 .40

120=30rev

ω=dθdt

=θt

( por ser uniforme)

θ=ω . tx=r . cosθo sea:x=r . cosω . t (1)

vx=dxdt

=−r .ω . senωt (2)

ax=dv x

dt=−r .ω2 .cosωt (3 )

Dividiendo la (3) por la (1)ax

x=−rω2 . cosωtr . cosωt

=−ω2=cte

Fig. 30

Fig. 31

Es decir, la aceleración del móvil ideal sobre el eje x, es proporcional al apartamiento (elongación), con respecto al centro O, y tiene signo contrario a las de las elongaciones x (y además las aceleraciones siempre están dirigidas hacia el centro).

Cuando x = r, la elongación se llama amplitud.

Observando la figura 30, en el punto M, la velocidad del móvil ficticio, (proyección del móvil real que está sobre la circunferencia), es 0 y la aceleración es máxima y de sentido contrario a las x positivas.

Cuando el móvil real está en A, la velocidad del móvil ficticio es máxima y la ax = 0.

El móvil real parte de M hacia A, M’, A’ y vuelve a M, con movimiento circular uniforme. Su proyección, el móvil ficticio, sale de M pasa por O, llega a M’, vuelve a pasar por O y termina en M.

Algunas veces conviene proyectar sobre el eje “y”.En este caso:

ax=−ω2 .x

y=r . sen θy=r . senω . tv y= y '=r .ω . cosωt

a y= y ''=−rω2 . senωta y

y=−rω2 . senωtr . senωt

=−ω2

a y=−ω2. y