Calculo Automatizado de Estructuras

de 91

Me todos avanzados de ca lculo de Estructuras Sismorresistentes utilizando ordenadores

MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA CONSTRUCCIÓN

ESPECIALIDAD: Diseño y Construcción de

Edificaciones Sismorresistentes.

11-10-2015

Autor: MSc. Ing. José María Ruiz Ruiz.

pág. 1

Tabla de contenido Introducción. ................................................................................................................ 4

Desarrollo. ................................................................................................................... 6

Fundamentos del análisis matricial de las estructuras. ............................................ 9

Capítulo I. Introducción. ............................................................................................ 22

Capítulo II. Objetos y Elementos. .............................................................................. 22

Capítulo III. Sistemas de Coordenadas. .................................................................... 24

Capítulo IV. Elementos Marcos o Pórticos. ............................................................... 26

Eje longitudinal 1 ................................................................................................... 28

Propiedades de las Secciones. .............................................................................. 30

Propiedades del Material. ...................................................................................... 31

Propiedades Geométricas y Rigideces de la Sección. .......................................... 31

Punto de Inserción. ................................................................................................ 34

Desajustes en los Extremos. ................................................................................. 35

Longitud Libre. ....................................................................................................... 36

Efecto sobre las Fuerzas Interiores. Salida. .......................................................... 37

Efecto en los Extremos. Liberaciones. .................................................................. 37

Efecto del Desajuste en el Extremo. ...................................................................... 39

Masa. ..................................................................................................................... 39

Cargas Concentradas en el Elemento. .................................................................. 40

Cargas Distribuidas dentro del Elemento Marco. ................................................... 40

Magnitud de la Carga. ........................................................................................... 42

Efecto de los Desajustes en los Extremos. ............................................................ 44

Capítulo V. El Elemento Cáscara. ......................................................................... 44

Conectividad de los Nudos. ................................................................................... 46

Grados de Libertad. ............................................................................................... 48

Sistema de Coordenadas Locales. ........................................................................ 49

Eje Local 3. ............................................................................................................ 49

Orientación Predefinida. ........................................................................................ 49

Coordenada de Ángulo. ......................................................................................... 50

Propiedades de las Secciones. .............................................................................. 51

Formulación del Espesor. ................................................................................... 52

Propiedades de los Materiales. .............................................................................. 53

pág. 2

Masa. ................................................................................................................. 54

Carga de Peso Propio. ....................................................................................... 54

Cargas Uniformes. ............................................................................................. 54

Fuerzas Internas y Tensiones de Salida. .......................................................... 54

Capítulo VI. Nudos y Grados de Libertad. ................................................................. 57

Consideraciones en la Modelación. ....................................................................... 58


Grados de Libertad. ............................................................................................... 59

Grados de Libertad Disponible y No Disponibles. .................................................. 60

Grados de Libertad Constreñidos. ......................................................................... 61

Grados de Libertad Activos. ................................................................................... 61

Grados de Libertad Nulos. ..................................................................................... 62

Restricciones y Reacciones. .................................................................................. 62

Resortes o Muelles. ............................................................................................... 63

Cargas de Desplazamientos de los Apoyos. ......................................................... 65

Desplazamientos de las Restricciones. ................................................................. 67

Capítulo VII. Constricciones en los Nudos. ............................................................... 68

Capítulo VIII. Análisis Estático y Dinámico. ............................................................... 71

Cargas. .................................................................................................................. 72

Patrones de Carga. ................................................................................................ 72

Casos de Carga ..................................................................................................... 73

El Análisis Estático Lineal ...................................................................................... 74

Análisis Modal. ....................................................................................................... 74

Análisis de los Vectores de Ritz. ........................................................................ 75

Resultados del Análisis Modal. .............................................................................. 77

Análisis de Espectro de Respuesta. ...................................................................... 78


Funciones de Espectro de Respuesta. .................................................................. 80

Curva de Espectro de Respuesta. ......................................................................... 81

Combinación Modal. .............................................................................................. 82

Respuesta Periódica y Rígida. ............................................................................... 82

Método CQC. ..................................................................................................... 84

Método GMC. ..................................................................................................... 84

pág. 3

Método SRSS. ................................................................................................... 84

Método de la Suma de los Absolutos. ................................................................ 84

NRC Método del 10 Porciento. ........................................................................... 85

Combinación Direccional. ................................................................................... 85

Método SRSS. ................................................................................................... 85

Método de la Suma de Absolutos. ..................................................................... 86

Resultados del Análisis de Espectro de Respuesta. .............................................. 86

Amplitudes Modales. .......................................................................................... 87

Reacciones en la Base....................................................................................... 87

Capítulo IX. Bibliografía. ............................................................................................ 88

pág. 4

Introducción.

Cualquier proyecto de estructuras, antes de ser analizado y diseñado debe ser

previamente modelado.

En la etapa de creación del modelo, se representa la estructura real por medio de

una representación simplificada de los elementos que la conforman. Es muy

importante que se entienda el comportamiento de éstos a fin de evitar que se utilicen

más elementos de los que se necesitan mediante refinamientos innecesarios que

retrasan el análisis.

En general, los programas de análisis de estructuras permiten desarrollar el modelo

de una estructura a través de una interface o editor gráfico, el procesamiento

numérico de los datos y el análisis de los resultados por medio de las etapas de pre

procesamiento, procesamiento y post procesamiento, respectivamente.

Actualmente, el proceso de obtención del modelo de una estructura por medio de

estos programas no es complicado, pues en su etapa de pre procesamiento se

cuenta con diversas herramientas que facilitan el dibujo y la visualización del mismo.

Posteriormente a la fase de obtención del modelo físico, se deben determinar y

analizar las solicitaciones, los desplazamientos y deformaciones en la estructura.

Para ello se utilizan técnicas de análisis matricial de las estructuras (AME) y análisis

por el método de elementos finitos (MEF), que involucran una gran cantidad de

modelos matemáticos y métodos numéricos, para los cuales han sido desarrollados

las rutinas que constituyen los programas de cómputo.

En vista de la importancia que tienen actualmente estos programas en el análisis de

las estructuras es que se ha preparado este curso, el cual está sustentado en la

Modelación Mecánica de las Estructuras a través de Software Profesiones,

específicamente el SAP 2000, por medio de la explicación de las facilidades que

ofrece en sus etapas de pre procesamiento, procesamiento y post procesamiento.

Este programa, está orientado al análisis y diseño de estructuras en general y para

ello presenta un entorno especializado.

El curso se desarrollara a través de la solución de estructuras, cuyo nivel de

complejidad irá aumentando gradualmente, de manera que vayan siendo

incorporados los conceptos durante el proceso de obtención del modelo para el

análisis de la estructura.

Antes del desarrollo de los software de análisis estructural, los ingenieros analizaban

las estructuras como un conjunto de pórticos planos empleando métodos

aproximados como el de Cross, portal, voladizo o Muto, utilizando para las

operaciones numéricas manualmente, usando reglas de cálculo o calculadoras de

mano.

pág. 5

En 1970, el Dr. Edward L. Wilson, lanzó en EE.UU el primer programa completo de

análisis estructural, llamado SAP, el cual representaba para su época el estado del

arte de los procedimientos numéricos para la ingeniería estructural. En esa época, el

programa era utilizado en computadoras de gran tamaño, por lo que estuvo

restringido a las organizaciones gubernamentales y a las grandes compañías.

Los programas elaborados a inicios de los 70s tenían una serie de limitaciones,

como: una capacidad muy reducida de análisis, un complicado proceso de ingreso de

datos (que se realizaba a través de tarjetas perforadas, cintas perforadas y otras) y

una laboriosa lectura de los resultados, los cuales se obtenían en papel impreso.

Estas desventajas iniciales, que demandaban un gran cuidado en el ingreso de los

datos y en la lectura de los resultados, se fueron reduciendo con el tiempo debido al

aumento en la capacidad de almacenamiento de datos, memoria de las

computadoras, velocidad de los procesadores numéricos y flexibilidad de los

dispositivos periféricos de las nuevas computadoras, la implementación de nuevos

métodos numéricos, la invención de nuevos algoritmos, lenguajes de programación y

sistemas operativos con entornos gráficos más avanzados.

A finales de los años 70, aparecieron las computadoras personales, lo cual hizo que

los programas de análisis también se volvieran populares en las pequeñas

compañías y entre muchos usuarios individuales.

En el año 1980, se desarrolló la primera aplicación para análisis estructural en 3D

para computadoras personales.

Actualmente, los programas de análisis y diseño de estructuras permiten realizar

rápidamente la creación del modelo de análisis a través de interfaces gráficas por

medio de opciones de dibujo de un conjunto de objetos que poseen propiedades

(dimensiones, material, sección transversal, etc.) y que representan a los elementos

de la estructura. Éstos cuentan también con herramientas de edición, como cortar,

copiar y pegar; opciones para obtener la geometría global de la estructura a través

de plantillas o mediante la importación de archivos de dibujo de CAD. Asimismo,

cuenta con opciones de visualización del modelo (3d, planta, elevaciones), opciones

de visualización de resultados (en pantalla o archivos de texto), los cuales pueden

ser exportados a las diversas aplicaciones de Windows (Excel, Word, Access, etc.).

En estos programas, el proceso de obtención del modelo para el análisis, el

procesamiento numérico de los datos y la visualización de los resultados, se realiza

en entornos de trabajo perfectamente definidos, que corresponden a las etapas de

pre procesamiento, procesamiento y post procesamiento, respectivamente.

pág. 6

Desarrollo.

La obtención del conocimiento científico es posible por dos vías, la experimental y la

analítica.

La vía experimental está sustentada en la observación y procesamiento de

experimentos a distintas escalas y soportadas en la estadística como herramienta

matemática.

La vía analítica se fundamenta en el nivel de conocimiento que sobre un

determinado se tiene en un momento histórico concreto.

Esta vía analítica es la que caracteriza el modo de actuar del ingeniero en la solución

de los problemas del análisis y diseño de las estructuras.

Se pude representar este procedimiento de obtención del conocimiento por la vía

analítica de la siguiente manera, como se ve en el esquema.

El Fenómeno Físico Real: es el fenómeno en sí, con todas sus características y

propiedades que lo distinguen y lo definen. Es una realidad objetiva que existe en el

tiempo y el espacio. Se destaca el hecho de que un fenómeno físico observado como

objeto de estudio en el caso particular de la ingeniería, está vinculado a un proceso

mediante el cual el hombre pretende conocer para con ello transformar, inventar,

adaptar, perfeccionar y/o utilizar dicho fenómeno para un fin dado.

Es importante recordar que el ingeniero es el hombre que concibe y dirige, a través

de las matemáticas aplicadas, obras como los puentes, las carreteras, canales,

edificios, etc.

Fenómeno Físico Real

Modelo Físico para el Análisis

Modelo Matemático

Método Matemático de Solución

Obtención de la Solución

Validación de los Resultados

pág. 7

El Modelo Físico para el Análisis: es una representación simplificada del fenómeno

físico real, en la cual se reflejan, dentro de las infinitas propiedades del fenómeno, un

número finito de ellas, que son las que están más estrechamente ligadas al objetivo

del investigador y las que determinan las magnitudes de respuesta del sistema desde

el punto de vista del campo de la ciencia en que se desarrolla el análisis. Por

supuesto que también está condicionado por el grado de desarrollo de la ciencia en

un momento histórico dado.

El Modelo Matemático: es el conjunto de correlaciones que describen los procesos

que ocurren en el modelo físico y las ecuaciones que determinan las condiciones de

borde del problema dado. A cada modelo físico pueden corresponder varios modelos

matemáticos. En el caso de los problemas de la Ingeniería Civil, un modelo físico

dado puede ser matemáticamente descrito a través de modelos energéticos,

dinámicos, etc.

El Método Matemático de Solución: conjunto de procesos y procedimientos con la

ayuda de los cuales se pueden obtener, a partir de modelo matemático, las funciones

y/o valores numéricos de las magnitudes de respuesta que describen al modelo

físico.

Obtención de la Solución: es el tránsito desde el modelo matemático y a través del

método matemático seleccionado hasta los valores concretos de las características

y/o propiedades de respuestas buscadas.

Validación de los Resultados: es importante esta etapa, ya que es la que permite

validar si las características encontradas y que describen la respuesta obtenida,

como solución matemática del modelo matemático, del modelo físico de análisis,

describen de manera satisfactoria lo observado en el fenómeno físico real.

En el campo de ingeniería estructural existe lo que es conocido como el sistema de

invariantes del proceso de modelación mecánica de las estructuras, que no es más

que el conjunto de propiedades del fenómeno que son consideradas esenciales para

el ingeniero, estas son:

- Forma o geometría. Establece la manera en que la geometría del sistema debe

ser tenida en cuenta en el análisis. Existen por la forma, distintos tipos de

modelos, como partícula o como cuerpo y como sistema de partículas o sistema

de cuerpos. Como partícula significa que la forma y dimensiones del cuerpo no

influyen significativamente en le respuesta observada, sin embargo, como cuerpo,

significa que la forma y las dimensiones tienen influencia significativa en la

respuesta y, por tanto, tiene que ser considerada ya sea de forma exacta o

aproximada.

Los cuerpos pueden ser lineales, superficiales o volumétricos, en dependencia de

pág. 8

la relación existente entre las dimensiones que determinan el volumen del cuerpo.

Los cuerpos lineales son aquellos que una de sus dimensiones el

significativamente mayor que las otras dos, en este caso el cuerpo se modela

como una línea cuya forma se corresponde con la dimensión predominante y la

influencia de las otras dos dimensiones se mide a través de las características

geométricas de la sección transversal del cuerpo (área, centroide, momentos de

inercia, etc.)

Los cuerpos superficiales son aquellos en los que dos de sus dimensiones son

significativamente mayores que la tercera, estos se modelan como una superficie

media con las dimensiones predominantes y se considera la influencia de la otra

dimensión a través del espesor de la pieza.

Los cuerpos espaciales son aquellos en los que las tres dimensiones que

determinan el volumen del solido son del mismo orden y por tanto no se puede

prescindir en el análisis de ninguna de sus dimensiones.

- Materiales. Los materiales de los que están hechos los elementos de las

estructuras son decisivos en la forma en que estas se desempeñan ante las

acciones que se presentan durante su tiempo de vida útil. Los modelos adoptados

para los materiales dependerá en esencia a la relación entre tensiones y

deformaciones que estos manifiestan, así se tiene: materiales elásticos, plásticos y

elasto-plásticos.

Los materiales elásticos son aquellos en los que existe una relación lineal entre

pág. 9

tensiones y deformaciones, es decir, cumplen con la ley de Hooke. Los plásticos

son los que a valores de tensiones dados, las deformaciones ocurren sin

recuperación posterior. Los elasto-plásticos poseen ambos tipos de

comportamiento en diferentes intervalos de tensiones. Existen diversos modelos

para los materiales plásticos y elasto-plásticos.

- Condiciones de apoyo. A través de las condiciones de apoyo se expresa en el

modelo físico de la estructura la manera en que están vinculados los elementos

que la componen y a su vez también la manera en que la estructura es sustentada

por el medio, es decir, los apoyos a tierra. Los modelos de condiciones de apoyo

están asociados a los grados de libertad que están restringidos y por tanto las

fuerzas interiores que tienen capacidad de ser desarrolladas y transmitidas entre

los elementos y a tierra según corresponda.

- Las Cargas. Se entiende por carga a toda acción que sea capaz de generar un

estado tensional y/o deformacional en los elementos de la estructura, es decir, las

fuerzas, que son una medida de interacción mecánica entre los cuerpos

necesariamente son cargas, pero otras acciones, que no son modeladas como

fuerzas, también pueden constituir cargas, como el caso de las variaciones de

temperatura y los corrimientos en los apoyos.

Las cargas que son modeladas como fuerzas podrán ser concentradas o

distribuidas y estas a su vez pueden ser linealmente superficialmente distribuidas.

El modelo adoptado dependerá de la relación existente entre las dimensiones área

a través de la cual se transmite la acción y las dimensiones del cuerpo sobre el

que actúa la misma. A su vez las cargas distribuidas linealmente y

superficialmente puedes responder a diversas leyes matemáticas, como

uniformemente distribuidas, linealmente variables u otras funciones.

Resumiendo se puede decir que el modelo físico de una estructura es la

representación simplificada de la misma, donde aparecen todos los elementos del

sistema de invariantes, es decir, la forma o geometría, los materiales, las

condiciones de apoyo y las cargas.

Fundamentos del análisis matricial de las estructuras.

El análisis estructural es el estudio de las estructuras como sistemas discretos. La

teoría de las estructuras se basa esencialmente en los fundamentos de la mecánica

con los cuales se formulan los distintos elementos estructurales. Las leyes o reglas

que definen el equilibrio y la continuidad de estructura se pueden expresar de

distintas maneras, por ejemplo ecuaciones diferenciales parciales de un medio

continuo tridimensional, ecuaciones diferenciales ordinarias que definen a una barra

pág. 10

o a las distintas teorías de vigas, o llanamente ecuaciones algebraicas para una

estructura discretizada. Mientras más se profundiza en la física del problema, se van

desarrollando teorías que más apropiadas para resolver ciertos tipos de estructuras y

que demuestran ser más útiles para cálculos prácticos. Sin embargo, en cada nueva

teoría se hacen hipótesis acerca de cómo se comporta el sistema o el elemento. Por

lo tanto, debemos estar siempre conscientes de estas hipótesis cuando se evalúen

resultados fruto de las teorías que aplicamos o desarrollamos.

El análisis estructural puede abordarse utilizando dos enfoques principales: los

sustentados en el método de las fuerzas y los basados en el método de los

desplazamientos. Estos últimos son los que mayor auge han tenido debido a han

dado la posibilidad de que sus formulaciones haya sido posible su sistematización y

formulación matemática haciendo uso del algebra matricial, han permitido desarrollar

formulaciones algebraicas a problemas complejos del análisis matemático, el uso de

métodos numéricos para resolver ecuaciones complejas y sobre todo, además, el

desarrollo de rutinas que han sido posibles de utilizar a través de las modernas

técnicas de la informática.

La solución de los problemas del análisis de las estructuras se basa en tres principios

básicos:

Principio de continuidad: en todo elemento o estructura, los desplazamientos

deben poder representarse por funciones continuas.

Se expresan a través de las relaciones entre los desplazamientos y las

deformaciones:

pág. 11

Donde u, v y w son los corrimientos o desplazamientos en el punto en el espacio y

las y son las deformaciones unitarias.

Ecuaciones que pueden ser escritas matricialmente de la siguiente manera:

{

}

[

]

{ }

De forma más general, las ecuaciones de continuidad se pueden expresar

matricialmente como:

* + , -* +

Donde los vectores * + y * +, que representan las deformaciones y los

desplazamientos, respectivamente, están relacionados por la matriz , -, que es la

matriz continuidad.

Modelos constitutivos: Son las ecuaciones que expresan la relación entre las

tensiones y las deformaciones en base a un modelo constitutivo adoptado de la

respuesta del material, que puede ser elástico o inelástico y para este último en

dependencia de la las características de las cargas, si estáticas o dinámicas, si son

de corta o larga duración. Acá se ilustra el modelo constitutivo más empleado en la

práctica de la ingeniería que corresponde a un material elástico, conocido como Ley

de Hooke.

pág. 12

Estado tensional 3D.

𝜎 𝐸− 𝜐

𝜎

𝐸− 𝜐

𝜎 𝐸

−𝜐𝜎 𝐸 𝜎

𝐸− 𝜐

𝜎 𝐸

−𝜐𝜎 𝐸− 𝜐

𝜎

𝐸 𝜎 𝐸

𝜏

𝐺,

𝜏 𝐺,

𝜏

𝐺 𝑑𝑜𝑛𝑑 : 𝐺

𝐸

2(1 𝜐)

Ecuaciones físicas o constitutivas del estado tensional 3D

Matricialmente pueden ser escritas de la siguiente manera:

{

}

[ 1 − − − 1 − − − 1 2(1 ) 2(1 ) 2(1 )]

{

𝜎 𝜎 𝜎 𝜏 𝜏 𝜏 }

De forma más general, las ecuaciones constitutivas se pueden escribir como:

* + , -* +

Donde los vectores * + y * +, que representan las deformaciones y las tensiones,

respectivamente, están relacionados por la matriz , -, que es la matriz constitutiva de

flexibilidad, la cual es no singular, y, por tanto, existe , - .

Luego:

* + , - * + , -* +

pág. 13

Donde la matriz , - es conocida como la matriz rigidez y se demuestra que:

, - 𝐸

(1 )(1 − 2 )

[ (1 − ) (1 − ) (1 − )

(1 − 2 )

2

(1 − 2 )

2

(1 − 2 )

2 ]

Principio del equilibrio: Expresan el estado de equilibrio necesario en la estructura

en su conjunto y en cada punto de ella entre las fuerzas interiores y las acciones

externas que actúan sobre la misma.

𝜎

𝜏

𝜏

𝜏

𝜎

𝜏

𝜏

𝜏

𝜎

Donde las componentes Fx, Fy y Fz son las fuerzas de cuerpo en las direcciones X,

Y y Z, respectivamente. Estas ecuaciones matricialmente pueden ser escritas como:

[

]

{

𝜎 𝜎 𝜎 𝜏 𝜏 𝜏 }

{ } {

}

En forma compacta se puede escribir como:

, - * + * +

El enfoque del método de los desplazamientos se puede resumir de la siguiente

forma. Para el caso de estructuras 2D.

1- Formación del vector de fuerzas aplicadas en los nudos o vector de fuerzas

nodales. Expresado en sistema de coordenadas generales X, Y y Z.

[ 𝑃 𝑃 ...𝑃 ]

Donde 𝑃 [

𝑃 𝑃 𝑀

]

pág. 14

2- Formación del vector de desplazamientos de los nudos o vector de

desplazamientos nodales.

[ 𝑍 𝑍 ...𝑍 ]

Donde 𝑍 [

𝑍 𝑍 𝜃

]

3- Formación del vector de fuerzas interiores en los extremos de los elementos.

Expresadas en ejes locales. Para cada una de las barras de la estructura.

[��( )]=[�� ( )

�� ( )]=

[ ��

( )

�� ( )

�� ( )

�� ( )

�� ( )

�� ( )]

4- Formación del vector de desplazamientos en los extremos de los elementos.

Expresadas en ejes locales. Para cada una de las barras de la estructura.

[��( )]=[��

( )

�� ( )]=

[ ��

( )

�� ( )

�� ( )

�� ( )

�� ( )

�� ( )]

5- Formación de la matriz rigidez de cada una de las barras expresadas en ejes

locales.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

[ ] ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

pág. 15

Que puede entenderse que tiene la siguiente estructura:

( )

( )

[ ]

( )

( )

La matriz rigidez de la barra prismática y plana, empotrada – empotrada es como

sigue:

[ ]

𝐸

−𝐸

12𝐸 (1 )

6𝐸

(1 )

−

12𝐸 (1 )

6𝐸

(1 )

6𝐸 (1 )

(4 )𝐸

(1 )

−

6𝐸 (1 )

(2 − )𝐸

(1 )

−𝐸

𝐸

−

12𝐸 (1 )

−6𝐸

(1 )

12𝐸 (1 )

6𝐸

(1 )

6𝐸 (1 )

(2 − )𝐸

(1 )

6𝐸 (1 )

(4 )𝐸

(1 )

En la que el término:

Donde:

y

∫

dx

6- Los, vectores desplazamientos y fuerzas interiores que están expresados en

ejes locales de las barras, al igual que la matriz rigidez de cada barra, es

necesario expresarlos respecto a los ejes generales de referencia, para lo cual

se define la matriz rotación de cada barra, en base a los cosenos directores de

los ejes locales respecto a los ejes generales de referencia, que definen la matriz

rotación de la barra, , -, dada como:

pág. 16

, -

𝜐

𝜐

𝜐

𝜐

𝜐

𝜐

Donde:

: Coseno director del eje local con el eje global X

: Coseno director del eje local con el eje global Y

: Coseno director del eje local con el eje global Z

: Coseno director del eje local con el eje global X

: Coseno director del eje local con el eje global Y

: Coseno director del eje local con el eje global Z

𝜐 : Coseno director del eje local 𝑍 con el eje global X

𝜐 : Coseno director del eje local 𝑍 con el eje global Y

𝜐 : Coseno director del eje local 𝑍 con el eje global Z

De forma que en coordenadas globales, el vector de fuerzas en los extremos de las

barras y los desplazamientos en los extremos de las barras son:

*𝑃+( ) , -{��( )}

*𝑍+( ) , -{��( )}

Y para expresar la matriz rigidez de la barra en coordenadas globales, se tiene que:

, - , -{ }, -

7- Una vez obtenida la matriz rigidez de cada barra expresadas respecto al sistema

pág. 17

global, se procede al ensamblaje de la matriz rigidez de la estructura, proceso

que se realiza garantizando la compatibilidad de la geometría de la estructura,

asegurando que en cada nudo estén acumulados todos los componentes de la

matriz rigidez de cada una de las barras que concurren a cada uno de los nudos

de la estructura.

A continuación se desarrollará un ejemplo de una estructura simple, aplicando las

formulaciones vistas hasta aquí.

La estructura es una armadura simple en 2D, considere: las barras son iguales, con

A=5x10-3m2 y E=2x1011N/m2. La geometría es la que se muestra. Obtenga las

fuerzas interiores en las barras, el desplazamiento del nudo libre y las reacciones en

los apoyos producidas por el sistema de fuerzas exteriores mostrado.

Barra 1: Barra 2:

.6 .8

.8 − .6

Obtención de la matriz rigidez de cada barra para el caso de la barra con solo carga

axial (en ejes locales):

[ ] [

𝐸

−𝐸

−𝐸

𝐸

]

pág. 18

Para la barra 1:

[ ] 𝐸

[1 −1−1 1

] (5 1 )(2 1 )

15[1 −1−1 1

] 6.67 1 [1 −1−1 1

]

Para la barra 2:

[ ] 𝐸

[1 −1−1 1

] (5 1 )(2 1 )

2 [1 −1−1 1

] 5 1 [1 −1−1 1

]

Obtención de la matriz rotación de cada una de las barras:

, - [

𝑜 𝑛 𝑜 𝑛

]

Para la barra 1:

, - [

.6 .8 .6 .8

]

Para la barra 2:

, - [

.8 − .6 .8 − .6

]

Obtención de la matriz rigidez de cada una de las barras expresadas en ejes

generales:

, - , -{ }, -

Para la barra 1:

, - [

.6 .8 .6 .8

] 6.67 1 [1 −1−1 1

] [ .6 .8 .6 .8

]

Desarrollando:

.36 .48 − .36 − .48

( ) (

)

[ ] 6.67 1

.48 .64 − .48 − .64

− .36 − .48 .36 .48

( ) (

)

− .48 − .64 .48 .64

pág. 19

Para la barra 2:

, - [

.8 − .6 .8 − .6

] 5 1 [1 −1−1 1

] [ .8 − .6 .8 − .6

]

.64 − .48 − .64 .48

( ) (

)

[ ] 5 1

− .48 .36 .48 − .36

− .64 .48 .64 − .48

( ) (

)

.48 − .36 − .48 .36

Ensamblaje de la matriz rigidez para toda la estructura:

Nudo 1 Nudo2 Nudo 3

, - 𝑑𝑜1 𝑑𝑜 2 𝑑𝑜 3

[

]

Desarrollando queda la matriz rigidez de la estructura como sigue:

2.4 3.2 −2.4 −3.2

3.2 4.27 −3.2 −4.27

, - 1 −2.4 −3.2 5.6 .8 −3.2 2.4

−3.2 −4.27 .8 6. 7 2.4 −1.8

−3.2 2.4 3.2 −2.4

2.4 −1.8 −2.4 1.8

Formación del vector *𝑃+ de fuerzas en los nudos y del vector *𝑍+ de

desplazamientos en los nudos.

pág. 20

Vector *𝑃+ de fuerzas en los nudos.

𝑃 Nudo 1

𝑃

*𝑃+ 3 1

Nudo 2

𝑃 Nudo3

𝑃

Vector *𝑍+ de desplazamientos en los nudos.

Nudo 1

*𝑍+ 𝑍

Nudo 2 𝑍

Nudo3

Planteamiento de la ecuación general del método de los desplazamientos:

, -*𝑍+ *𝑃+

Sustituyendo:

2.4 3.2 −2.4 −3.2

x

=103x

𝑃

3.2 4.27 −3.2 −4.27 𝑃

1 −2.4 −3.2 5.6 .8 −3.2 2.4 𝑍 3

−3.2 −4.27 .8 6. 7 2.4 −1.8 𝑍

−3.2 2.4 3.2 −2.4 𝑃

2.4 −1.8 −2.4 1.8 𝑃

Solución del sistema de ecuaciones:

𝑃 −1 8 𝑃 −144 𝑃 −192 𝑃 144 que son las reacciones

en los apoyos del sistema.

𝑍 5.46 1 𝑍 −7.2 1

que son las componentes del

desplazamiento del nudo libre.

pág. 21

Cálculo de los desplazamientos en los extremos de las barras, en ejes locales:

Barra1:

{�� } , - *𝑍 + [

.6 .8 .6 .8

] {

5.46 1

−7.2 1

} {

2.7 1 }

Barra 2:

{�� } , - *𝑍 + [

.8 − .6 .8 − .6

] {

5.46 1

−7.2 1

} {4.8 1

}

Cálculo de las fuerzas interiores en los extremos de las barras, en ejes locales:

Barra 1:

{�� } [ ]{�� } 6.67 1 [

1 −1−1 1

] {

2.7 1 } {

−18 18

}

Barra 2:

{�� } [ ]{�� } 5. 1 [

1 −1−1 1

] {4.8 1

} {

24 −24

}

Fuerzas en los extremos de las barras de la estructura:

Desplazamiento del nudo libre:

pág. 22

Traducción Libre del Manual Básico de Análisis.

Capítulo I. Introducción.

Este manual describe los rasgos esenciales y más comúnmente usados en la

modelación y análisis ofrecidos por el programa SAP2000. Es indispensable que

usted lea este manual y entienda las hipótesis y procedimientos usados por el

programa antes de intentar crear a un modelo o realizar un análisis.

Como el material soporte, usted debe leer primero el capítulo "El Modelo Estructural”

en el manual SAP2000 Getting en la bibliografía. El presente manual (Referencia

Básica del Análisis) Describe los rasgos globales de un modelo en SAP2000 y

proporcionará más detalles en algunos de los elementos, propiedades, cargas, y

tipos del análisis.

Capítulo II. Objetos y Elementos.

Los miembros estructurales físicos en un modelo en SAP2000, están representados

por objetos. Usando las interfaces de usuario usted puede “dibujar” la geometría de

un objeto y entonces “asignar” propiedades y cargas definen completamente el

modelo del miembro físico.

Los siguientes tipos de objetos están disponibles, y aparecen listados en orden de su

dimensión geométrica.

Objetos puntos, de dos tipos:

- Objeto nudo: Estos son creados automáticamente en las esquinas o

extremos de todos los otros tipos de objetos debajo, y pueden ser

explícitamente adicionados para modelar apoyos u otro comportamiento

localizado.

- Objeto de apoyo a tierra (un nudo): Usados para modelar un

comportamiento de apoyo especial tales como aisladores, amortiguadores,

espacios, resortes multilineales y más. Estos no aparecen tratados en el

presente manual.

Objetos líneas, de diversos tipos.

- Elementos marcos o pórticos: Usados para modelar vigas, columnas,

arriostres y armaduras; ellos pueden ser rectos o curvos.

- Objetos cables: Usados para modelar cables flexibles.

- Objetos tendones: Usados para tendones de pretensado dentro de otros

pág. 23

objetos.

- Objetos de enlace conectantes (de dos nudos): Usados para modelar

miembros de comportamiento especial tales como aisladores,

amortiguadores, espacios, resortes multilineales y más. A diferencia de los

objetos marcos, cables y tendones, los objetos de enlaces conectantes

pueden tener longitud cero. Este manual no cubre este tema.

Objetos Áreas: Usados para modelar paredes, pisos, y otros miembros superficiales

y delgados, así como sólidos bidimensionales (tensional plano, deformacional plano y

solidos axisimétricos). En este manual solo son tratados los elementos tipo cascaras.

Objetos Solidos: Usados para modelar solidos tridimensionales. No se tratan en

este manual.

Como una regla general, la geometría del objeto debe corresponder al miembro

físico. Esto simplifica la visualización del modelo y ayuda con el proceso de diseño.

Si usted tiene experiencia en el uso de programas tradicionales de elementos finitos,

incluyendo versiones anteriores de SAP2000, usted probablemente ha usado para

discretizar en los modelos físicos elementos finitos más pequeños para los

propósitos del análisis. La modelación basada en objetos, elimina grandemente la

necesidad de hacer esto.

Para usuarios que son novatos en la modelación con elementos finitos, el concepto

basado en objetos parecerá absolutamente natural.

Cuando usted ejecuta un análisis, SAP2000 automáticamente convierte su modelo

basado en objeto en un modelo basado en elementos que es usado para el análisis.

Esto modelo basado en elementos es llamado el modelo de análisis, y consiste en

elementos finitos tradicionales y nudos (los nodos). Los resultados del análisis son

reportados en el modelo basado en objetos.

Usted tiene el control sobre cómo la malla ha sido realizada, así como el grado de

refinamiento, y cómo manipular las conexiones entre los objetos que se interceptan.

Usted también tiene la opción de subdividir al modelo manualmente, resultando en

una correspondencia uno a uno entre objetos y elementos.

En este manual, el término "elemento" se usará más a menudo que el de “objeto”, ya

que lo que se describe aquí es la porción de análisis de elementos finitos del

programa que opera en el modelo del análisis basado en elementos. Sin embargo,

debe estar claro que las propiedades descritas aquí para los elementos realmente se

asignan en la interfaz a los objetos, y la conversión a los elementos del análisis es

automática.

pág. 24

Capítulo III. Sistemas de Coordenadas.

Cada estructura puede usar muchos sistemas de coordenadas diferentes para

describir la localización de los puntos y las direcciones de las cargas, los

desplazamientos, las fuerzas interiores, y las tensiones. La comprensión de estos

sistemas de coordenadas diferentes es crucial para ser capaces de definir el modelo

apropiadamente e interpretar los resultados.

Temas

Sistema de Coordenadas Global.

Direcciones Horizontales y Vertical.

Sistemas de Coordenadas Locales.

Los sistemas de coordenadas son usados para localizar las diferentes partes del

modelo estructural y definir las direcciones de las cargas, los desplazamientos, las

fuerzas interiores, y las tensiones.

Todos los sistemas de coordenadas en el modelo se definen con respecto a un

sistema de coordenadas globales simple X-Y-Z. Cada parte del modelo (nudos,

elementos, o constricciones) tiene su propio sistema de coordenadas locales 1-2-3.

Además, usted puede crear sistemas de coordenadas alternativos que son usados

para definir localizaciones y direcciones. Todos los sistemas de coordenadas son

tridimensionales, dextrógiros y rectangulares (Cartesianos).

SAP2000 siempre asume que el eje Z es vertical, con +Z siendo ascendente. La

dirección ascendente se usa para ayudar a definir los sistemas de coordenadas

locales, aunque los sistemas de la coordenada locales en sí, no tienen una dirección

ascendente.

Para más información y rasgos adicionales, vea el Capítulo “Los Sistemas de

Coordenadas" de en el CSI Análisis Manual de Referencia y el Menú de Ayuda en la

interfaz gráfica del usuario del SAP2000.

Sistema de Coordenadas Global.

El sistema de coordenadas global es un sistema de coordenadas tridimensional,

dextrógiro y rectangular. Los tres ejes, denotados como X, Y, y Z, son mutuamente

perpendiculares y satisfacen la regla de la mano derecha. La localización y

orientación del sistema de coordenadas global es arbitraria.

Pueden especificarse localizaciones del sistema de coordenadas globales usando las

variables x, y, y z. Un vector en el sistema de coordenadas globales puede ser

especificado dando la localización de dos puntos, un par de ángulos, o especificando

una dirección de la coordenada. Se indican las direcciones de la coordenada usando

los valores ±X, ±Y, y ±Z. Por ejemplo, +X define un vector paralelo a y dirigido a lo

pág. 25

largo del eje de X positivo. El signo es requerido.

Se definen todos los demás sistemas de coordenadas en el modelo con respecto al

sistema de coordenadas globales.

Direcciones Horizontales y Vertical.

SAP2000 siempre asume que el eje vertical es el Z, con +Z que en la dirección

ascendente. Los sistemas de coordenadas locales para los nudos, los elementos, y

cargas de aceleración en la base, se definen con respecto a esta dirección

ascendente. La carga de peso propio siempre actúa hacia abajo, en el la dirección

de -Z.

El plano X-Y es horizontal. La dirección horizontal primaria es +X. Los ángulos en el

plano horizontal son medidos desde la mitad positiva del eje X, con ángulos positivos

medidos en sentido contrario a las agujas del reloj cuando usted está mirando hacia

abajo al plano X-Y.

Para más información y rasgos adicionales, vea el Capítulo “Los Sistemas de

Coordenadas" en el CSI Análisis Manual de Referencia y el Menú de Ayuda en la

interfaz gráfica del usuario del SAP2000.

Sistemas de Coordenadas Locales.

Cada parte del modelo estructural (nudos, elementos o constricciones) tiene su

propio sistema de coordenadas locales, usado para definir las propiedades, cargas y

respuesta para esa parte. Los ejes del sistema de coordenadas locales se denotan

como 1, 2, y 3. En general, los sistemas de coordenadas locales pueden variar de

nudo a nudo, de elemento a elemento, y constricción a constricción.

No hay ninguna dirección ascendente preferida para los sistemas de coordenadas

locales. Sin embargo los sistemas de coordenadas locales de nudos y de elementos

se definen con respecto a la dirección ascendente global, +Z.

El sistema de coordenadas locales del nudo, 1-2-3, normalmente es el mismo el

sistema de coordenadas global X-Y-Z.

Para los elementos Marco y los elementos Cáscara, uno de los ejes locales del

elemento es determinado por la geometría del elemento individual. Usted puede

definir la orientación de los restantes 2 ejes especificando un solo ángulo de rotación.

El sistema de coordenadas locales para una constricción tipo diafragma, es

normalmente determinado automáticamente de la geometría o de la distribución de

masa de la constricción. Opcionalmente, usted puede especificar un eje global que

determine el plano de una constricción tipo diafragma, los restantes dos ejes son

automáticamente determinados.

Para más información:

Ver los temas: “Sistema de coordenadas locales para los elementos Marcos,

pág. 26

Cáscaras, Constricciones y Grados de Libertad en los Nudos”.

Capítulo IV. Elementos Marcos o Pórticos.

El elemento del Marco es usado para modelar el comportamiento de vigas,

columnas, armaduras o cerchas y arriostres en el análisis de estructuras en el plano

y tridimensionales. Aunque no se discute en este manual, algunos de los temas en

este capítulo aplican a otros objetos tipo línea: el marco encorvado, el cable, y el

tendón.

Temas.

Conectividad de los nudos.

Grados de Libertad.

Sistema de Coordenadas Locales.

Propiedades de las Secciones.

Puntos de Inserción.

Desajuste de los Extremos.

Liberaciones en los Extremos.

Masa.

Carga de Peso Propio.

Cargas Concentradas en el Elemento.

Cargas Distribuidas en el Elemento.

Fuerzas Internas de Salida.

El elemento del Marco usa una formulación general tridimensional viga-columna, que

incluye los efectos de flexión biaxial, torsión y axial. Vea Bathee y Wilson (1976).

Estructuras que pueden ser modeladas con este tipo de elemento incluyen:

- Pórticos planos y tridimensionales.

- Armaduras planas y tridimensionales.

- Emparrillados planos.

Un elemento tipo Marco se modela como una línea recta que conecta dos nudos. En

la interfaz gráfica del usuario, usted puede dividir los objetos curvos en múltiples

objetos rectos.

Cada elemento tiene su propio sistema de coordenadas locales para la definición de

las propiedades de la sección, las cargas y para la interpretación de los resultados.

Cada elemento tipo Marco puede ser cargado por el peso propio, múltiples cargas

concentradas y múltiples cargas distribuidas.

Los puntos de inserción y desajustes en los extremos están disponibles para

considerar las dimensiones finitas de las intersecciones entre vigas y columnas. Las

pág. 27

liberaciones en los extremos también están disponibles para modelar diferentes

condiciones de fijación en los extremos de los elementos.

Las fuerzas interiores en el elemento se producen en los extremos de cada elemento

y en un número de estaciones de salida, igualmente espaciadas a lo largo de la

longitud del elemento, definidas por el usuario.

Para más información ver características adicionales, ver el Capítulo “Elementos

Marcos” en el Manual de Referencia de Análisis.


Un elemento Marco es representado por una línea recta que conecta dos nudos, i y j,

a menos que se modifique por los desajustes de los nudos como se describe abajo.

Los dos nudos no pueden compartir la misma localización en el espacio. Los dos

extremos del elemento se denotan los extremos i y j del elemento, respectivamente.

Por defecto, el eje centroidal del elemento corre a lo largo de la línea que conecta los

dos nudos. Sin embargo, usted puede cambiar esto usando el punto de inserción,

como se describe en el Tema "Punto de la Inserción".

Desajuste de los Nudos. A veces el eje del elemento no puede especificarse

convenientemente por los nudos que conectan a otros elementos en la estructura.

Usted tiene la opción de especificar desajustes del nudo independientemente en

cada extremo del elemento. Éstos son dados como las tres componentes de

distancia (X, Y, y Z) paralelo a los ejes globales, medido desde el nudo al extremo

del elemento (en el punto de inserción).

Las dos localizaciones dadas por las coordenadas de los nudos i y j, más los

desplazamientos de los nudos correspondientes, definen el eje del elemento. Estas

dos situaciones no pueden ser coincidentes. Generalmente se recomienda que los

desplazamientos sean perpendiculares al eje del elemento, aunque esto no es

requerido.

Los desajustes o desplazamientos a lo largo del eje del elemento normalmente son

especificados usando los desajustes en los extremos de los elementos en lugar de

en los nudos. Vea “Desajustes en los Extremos de los Elementos". Los desajustes en

los extremos de los elementos son parte de la longitud del elemento, tienen

propiedades y cargas del elemento, y pueden o no ser rígidos. Los desajustes en los

nudos son externos al elemento, y no tienen ni masa ni cargas. Internamente el

programa crea una constricción totalmente rígida a lo largo de los desajustes de los

nudos.

Los desajustes de los nudos se especifican a lo largo con el punto cardinal como

parte de la asignación del punto de inserción, aunque ellos son rasgos

independientes.

pág. 28

Para más información: Ver el "Punto de Inserción" y “Desajustes en los Extremos” en

este capítulo.

Grados de Libertad.

El elemento Marco activa todos los seis grados de libertad en ambos nudos de su

conectividad. Si usted quiere modelar un elemento cercha que no transmite

momentos en los extremos usted pudiera:

- Establecer las propiedades geométricas de las secciones de inercia respecto

a ambos ejes principales como cero.

- Liberar ambas rotaciones de flexión, R2 y R3 en ambos extremos y liberar la

rotación torsional R1, en los mismos extremos.

Para más información ver “Grados de Libertad”, “Nudos y Grados de Libertad”,

“Propiedades de la Sección” y “Liberaciones en los Extremos.


Cada elemento Marco tiene su propio sistema de coordenadas locales del elemento

que es usado para definir las propiedades de la sección, las cargas y los resultados.

Los ejes de este sistema local se denotan como 1, 2 y 3. El primer eje es dirigido a lo

largo de la longitud del elemento, los restantes 2 ejes están en el plano perpendicular

al elemento con una orientación que usted especifica.

Es importante que usted entienda claramente la definición del sistema de

coordenadas locales del elemento 1-2-3 y su relación con el sistema de

coordenadas globales X-Y-Z. Ambos sistemas son dextrógiros. Depende de usted

definir sistemas locales los cuales simplifiquen la entrada de datos y la interpretación

de los resultados.

En la mayoría de las estructuras la definición del sistema de coordenadas locales del

elemento es extremadamente simple, usando la orientación predefinida y la

coordenada de ángulo del elemento Marco. Los métodos adicionales están

disponibles.

Para más información: Ver “Sistemas de Coordenadas” y “Sistemas de

Coordenadas Avanzados” en el Capítulo "El "Elemento del Marco” en el Manual

Referencia de Análisis.

Eje longitudinal 1

El eje local 1 siempre es el eje longitudinal del elemento, la dirección positiva se

dirige del extremo i al extremo j. Específicamente, el extremo i es el nudo i más su

desajuste en el nudo (si existe), el extremo j es el nudo j más su desajuste en el

nudo (si existe). El eje es determinado independientemente del punto cardinal.

pág. 29

Orientación Predeterminada.

La orientación predefinida de los ejes locales 2 y 3 es determinada por la relación

entre el eje local 1 y el eje global de Z:

- El plano local 1-2 se toma ser vertical, es decir, paralelo al eje Z.

- El eje local 2 se toma ser ascendente (+Z), a menos que el elemento sea

vertical, en cuyo caso el eje local 2 se toma ser horizontal a lo largo de la

dirección del eje global +X.

- El eje local 3 siempre es horizontal, es decir, queda en el plano X-Y.

Se considera que un elemento es vertical si el seno del ángulo entre el eje local 1 y el

eje Z es menor que 0.001.

El eje local 2 forma el mismo ángulo con el eje vertical que el que forma el eje local 1

con el plano horizontal. Esto significa que el eje local 2 apunta hacia arriba,

verticalmente, para los elementos horizontales.

Ángulo de Coordenada.

El ángulo de coordenada del elemento Marco es usado para definir orientaciones del

elemento que son diferentes a la orientación predefinida. Es el ángulo a través del

cual los ejes locales 2 y 3 están rotados respecto al eje local 1 positivo de la

orientación predefinida. La rotación para un valor positivo del ángulo es en sentido

contrario a las agujas del reloj cuando el eje local +1 está apuntando hacia usted.

Para los elementos verticales, el ángulo, es el que existe entre el eje local 2 y el eje

horizontal +X. Por otra parte, el ángulo es el que existe entre el eje local 2 y el plano

vertical que contiene al eje local 1. Vea la figura 1.

pág. 30

Figura1. El ángulo de coordenada del elemento Marco con respecto a la orientación predefinida.


Una sección de Marco es un conjunto de propiedades geométricas y del material que

describen la sección transversal de uno o más elementos tipo Marco. Las secciones

se definen independientemente de los elementos y son asignados a ellos.

Sistema de Coordenadas Locales

Las propiedades de la sección son definidas con respecto al sistema de coordenadas

locales de un elemento Marco como sigue:

- La dirección del eje local 1 está a lo largo del eje del elemento. Es normal a la

sección y pasa por la intersección de los dos ejes principales centroidales de

la sección.

pág. 31

- Las direcciones de los ejes locales 2 y 3 definen el plano de la sección.

Normalmente la dirección del eje 2 se toma a lo largo de la dimensión mayor

(la profundidad) de la sección, y la del eje local 3 a lo largo de su dimensión

menor (el ancho), pero esto no es requerido.

Propiedades del Material.

Las propiedades del material para la sección son especificadas por la referencia a un

material previamente definido. Las propiedades del material usadas por la sección

son:

- El módulo de elasticidad, para la rigidez axial y a flexión.

- El módulo de elasticidad a cortante, para la rigidez torsional y a cortante. Este

se calcula a partir del coeficiente de deformación transversal o coeficiente de

Poisson de la relación 𝐺

( ).

- La densidad de masa (por la unidad de volumen), m, para calcular la masa del

elemento.

- La densidad de peso (por la unidad de volumen), w, para calcular la carga de

peso propio.

- El indicador del tipo de diseño, que indica si los elementos que poseen esta

sección deben diseñarse como acero, hormigón, aluminio, acero conformado

en frío o no serán diseñados.

Propiedades Geométricas y Rigideces de la Sección.

Se usan las seis propiedades geométricas básicas, junto con las propiedades de los

materiales, para generar las rigideces de la sección. Éstas son:

- El área de la sección transversal (a). Que determina la rigidez axial de la

sección.

- El momento de inercia respecto al eje local 3 de flexión en el plano 1-2 (i33)

y el momento de inercia respecto al eje local 2 para la flexión en el plano 1-3

(i22).

- La constante del torsional (j) define a rigidez torsional de la sección. La

constante torsional en general no es igual al momento polar de inercia, solo

lo es para el caso de secciones circulares.

- Las áreas efectivas a cortante en los planos 1-2 (as2) y 1-3 (as3) que

definen las rigideces a cortante de la sección. Se dan las fórmulas para

calcular las áreas efectivas a cortante de secciones típicas en la figura 2.

Fijando los momentos de inercia y la constante torsional como ceros, causa que las

pág. 32

rigideces de la sección asociadas sean nulas, que corresponde a un elemento

biarticulado, elemento tipo cercha. Fijando la constante torsional j y uno de los

momentos de inercia como ceros, i33 o i22, causa un comportamiento plano del

elemento.

Estableciendo las áreas efectivas a cortante como ceros, causa que las

deformaciones por cortante sean nulas. En efecto, un área nula a cortante se

interpreta como que es infinita, la rigidez a cortante es ignorada si la rigidez a flexión

correspondiente es nula.

Tipo de Forma.

Para cada sección, las seis características geométricas (a, j, i33, i22, as2 y as3)

pueden ser especificadas directamente, calculadas de las dimensiones de la sección

o pueden leerse de un archivo de base de datos de propiedades especificado.

pág. 33

Figura 2. Tipos de secciones y fórmulas para el cálculo de las áreas efectivas a cortante.

Cálculo Automático de las Propiedades de la Sección.

Las seis propiedades geométricas de la sección pueden ser calculadas

automáticamente de las dimensiones especificadas para las formas simples

mostradas en figura 3. Se Muestran las dimensiones requeridas para cada forma.

Figura 3. Cálculo automático de las propiedades de la sección.

pág. 34

Figura 4. Puntos cardinales de la sección.

Cada tipo de forma almacenada en un archivo de base de datos puede ser

referenciada por una o dos etiquetas diferentes, por ejemplo, el tipo de forma

W36x300 en el archivo AISC.PRO puede ser referenciada por la etiqueta "W36X300"

o por la etiqueta "W920X446". Los tipos de forma almacenados en el archivo

CISC.PRO pueden ser referenciados solo por una etiqueta.

Usted puede seleccionar un archivo de base de datos para ser usado al definir una

sección tipo Marco dada. El archivo de base de datos en uso puede cambiarse en

cualquier momento mientras se definen las secciones. Si ningún nombre de archivo

es especificado como base de datos, se usará el archivo predefinido

SECTIONS8.PRO. Usted puede copiar cualquier archivo de base de datos de

propiedad al archivo SECTIONS8.PRO.

Todas las bases de datos de propiedad de sección, incluyendo el archivo

SECTIONS8.PRO, deben localizarse en el directorio que contiene los archivos de

datos, o en el directorio que contiene los archivos de programas del SAP2000. Si un

archivo de base de datos especificado está presente en ambos directorios, el

programa usará el archivo en el directorio de archivos de datos.

Punto de Inserción.

Por defecto el eje local 1del elemento corre a lo largo del eje neutro de la sección, es

decir, en el centroide de la sección. Es a menudo conveniente especificar otra

situación de la sección, como el tope de una viga o una esquina externa de una

columna. Esta localización se denomina el punto cardinal de la sección.

Las opciones disponibles para el punto cardinal se muestran en la figura 4. El valor

pág. 35

predeterminado de localización es el punto 10.

Los desajustes del nudo se especifican a lo largo del elemento con el punto cardinal

como parte de la asignación del punto de inserción, aun cuando ellos son rasgos

independientes. Se usan los desplazamientos del nudo primero para calcular el eje

del elemento y por consiguiente el sistema de coordenadas locales, entonces el

punto cardinal se localiza en el plano local 2-3 resultante.

Este hecho es útil, por ejemplo, para modelar vigas y columnas cuando las vigas no

están en el centro de la columna. La figura 5 muestra una elevación y vista en planta

de un arreglo común de un pórtico, dónde las vigas exteriores están desajustadas

respecto a la línea central de la columna para garantizar el plano de fechada del

edificio. También se muestran en esta figura los puntos cardinales para cada

miembro y las dimensiones del desajuste del nudo.

Desajustes en los Extremos.

Los elementos tipo Marco se modelan como elementos lineales conectados a los

puntos (los nudos). Sin embargo, los miembros estructurales reales tienen secciones

transversales con dimensiones finitas. Cuando se conectan dos elementos, como

una viga y columna, en un nudo, hay algún traslapo de las secciones transversales.

En muchas estructuras las dimensiones de los miembros son grandes y la longitud

del traslapo puede ser una fracción significativa de la longitud total del elemento a

que se une.

pág. 36

Figura 5. Ejemplo que muestra el desajuste de los nudos y los puntos cardinales.

Usted puede especificar dos desajustes en los extremos para cada elemento usando

los parámetros ioff y joff que corresponden a los extremos i y j, respectivamente. El

desajuste en el extremo ioff es la longitud de traslapo para un elemento dado con

otros elementos a los que se une en el nudo i. Esta es la distancia desde el nudo a la

cara de la conexión para el elemento dado. Una definición similar se aplica para el

desajuste en el extremo joff del nudo j. Vea la figura 6.

Los desajustes en los extremos pueden ser calculados automáticamente por la

interfaz gráfica del usuario en el SAP2000 para los elementos seleccionados

basados en las dimensiones máximas de la sección de todos los demás elementos

que se conectan a ese elemento a un nudo común.

Longitud Libre.

Se define la longitud libre, denotad como Lc, a la longitud entre los desajustes de los

extremos (las caras de apoyo) como:

pág. 37

− ( 𝑜 𝑜 )

Donde L es la longitud del elemento total. Vea la figura 6.

Si se especifican los desajustes en los extremos tal que la longitud libre es menor

que el 1% de la longitud del elemento total, el programa emitirá una advertencia y

reducirá ese desajuste en el extremo proporcionalmente para que la longitud libre

sea igual a 1% de la longitud total. Normalmente los desajustes en los extremos

deben ser una fracción mucho más pequeña que la longitud total.

Figura 6. Desajuste en los extremos en el elemento Marco.

Efecto sobre las Fuerzas Interiores. Salida.

Todas las fuerzas y momentos interiores son reportadas en las caras de los soportes

y en otros puntos igualmente espaciados dentro de la longitud del elemento. Ningún

resultado es presentado dentro del desajuste de los extremos, que incluye el nudo.

Efecto en los Extremos. Liberaciones.

Siempre se asumen que las liberaciones están las caras de apoyo, es decir, en los

extremos de la longitud libre del elemento. Si se especifica una liberación de

momento o cortante en ambos planos de flexión en algún extremo, el extremo con

desajuste se asume como rígido a flexión y cortante en ese plano y ese extremo.

pág. 38

Figura 7. Liberaciones en los extremos en el elemento Marco.

Liberaciones en los extremos.

Normalmente, los tres grados de libertad traslacionales y rotacionales en cada

extremo del elemento Marco son continuos con aquéllos a los que se conecta a

través del nudo. Sin embargo, es posible liberar (desconectar) uno o más de los

grados de libertad del elemento en el nudo cuando es conocido que la

correspondiente fuerza o momento en el elemento es cero. Las liberaciones son

siempre especificadas en el sistema de coordenadas locales del elemento y no

afecta ningún otro elemento conectado a ese nudo.

En el ejemplo mostrado en la figura 7, el elemento diagonal tiene una conexión de

momento en el extremo i y una conexión articulada en el extremo j. Los otros dos

elementos que se conectan en el nudo son continuos. Por consiguiente, para

modelar la condición de articulación en el extremo j del elemento diagonal debe

liberarse la rotación R3 en ese extremo. Esto asegura que el momento es cero en la

articulación del elemento diagonal.

Extremos Inestables.

Cualquier combinación de liberaciones en los extremos puede ser especificada para

un elemento Marco, con tal de que el elemento permanezca estable, esto asegura

que todas las cargas aplicadas en el elemento se transfieran al resto de la estructura.

Los siguientes conjuntos de liberaciones conducen a inestabilidad, ya sean solos o

en la combinación, y no se permite:

pág. 39

- Liberar U1 en ambos extremos.



- Liberar R1 en ambos extremos.

- Liberar R2 en ambos extremos y U3 en cualquier extremo.

- Liberar R3 en ambos extremos y U2 en cualquier extremo.

Efecto del Desajuste en el Extremo.

Las liberaciones en los extremos siempre están definidas en las caras de apoyo del

elemento, es decir, en los extremos de la longitud libre del elemento. La presencia

de una liberación de momento o cortante causará que el desajuste en el extremo

será rígido en el correspondiente plano de flexión en el correspondiente extremo del

elemento.

Masa.

En un análisis dinámico, la masa de la estructura es usada para calcular las fuerzas

inerciales. La masa aportada por el elemento Marco se concentra en los nudos i y j.

Ningún efecto inercial es considerado dentro del propio elemento. La masa total del

elemento es igual a la integral a lo largo de la longitud de la densidad de masa, m,

multiplicada por el área de la sección transversal, a.

La masa total se prorratea en los dos nudos de la misma manera que una carga

equivalente distribuida transversalmente, causaría como reacciones en los extremos

de una viga simplemente apoyada. Se ignoran los efectos de liberaciones en los

extremos al prorratear la masa. La masa total se aplica a cada uno de los tres grados

de libertad traslacionales: UX, UY, y UZ. No se calcula ningún momento de inercia de

masa para los grados de libertad rotacionales.


La carga de peso propio puede ser aplicada en cualquier patrón de carga para

activar el peso propio de todos los elementos en el modelo. Para un elemento Marco,

el peso propio es una fuerza distribuid a lo largo de la longitud del elemento. La

magnitud del peso propio es igual a la densidad de peso, w, multiplicado por el área

de la sección transversal, a.

El peso propio siempre actúa hacia abajo, en la dirección global de -Z. El peso propio

puede escalarse por un factor simple que se aplica a la estructura completa.

pág. 40

Cargas Concentradas en el Elemento.

Las cargas concentradas se usan para aplicar fuerzas y momentos concentrados en

localizaciones arbitrarias dentro del elemento Marco. La dirección de las cargas

puede ser especificada en el sistema de coordenadas globales o en el sistema de

coordenadas locales del elemento.

La localización de la carga puede especificarse en una de las maneras siguientes:

- Especificando una distancia relativa, rd, medida desde el nudo i. Esto tiene

que cumplir que: 𝑑 1. La distancia relativa es una fracción de la

longitud del elemento.

- Especificando una distancia absoluta, d, medida desde el nudo i. Esto tiene

que cumplir que: 𝑑 , donde L es la longitud del elemento.

Cualquier número de cargas concentradas puede aplicarse a cada elemento. Las

cargas dadas en coordenadas globales se transforman al sistema de coordenadas

locales del elemento. Vea la figura 8. Las cargas múltiples que están aplicadas en la

misma localización son sumadas.

Figura 8. Ejemplos de definición de cargas concentradas dentro del elemento Marco.

Cargas Distribuidas dentro del Elemento Marco.

La carga distribuida dentro del elemento es usada para aplicar fuerzas y momentos

distribuidos dentro de los elementos Marco. La distribución de la carga puede ser

uniforme o trapezoidal. La dirección de la carga puede ser especificada en el sistema

pág. 41

de coordenadas globales o en el sistema de coordenadas locales del elemento.

Longitud de la Carga.

Las cargas pueden aplicarse a toda o parte de la longitud del elemento. Pueden

aplicarse cargas múltiples a un elemento simple. Las longitudes cargadas pueden

solaparse, en cuyo caso las cargas aplicadas son sumadas.

Figura 9. Ejemplos de definición de cargas distribuidas dentro del elemento Marco.

Una longitud cargada puede ser especificada en una de las siguientes maneras:

- Especificando dos distancias relativas, rda y rdb, medidas desde el extremo i.

Ellas tienen que cumplir que: 𝑑 𝑑 1. La distancia relativa es la

fracción de la longitud del elemento.

- Especificando dos distancias absolutas, da y db, medidas desde el extremo i.

Ellas tienen que cumplir que: 𝑑 𝑑 , donde L es la longitud del

elemento.

- No especificando ninguna distancia, lo cual indica que se refiere a la longitud

pág. 42

completa del elemento.

Figura 10. Ejemplos de definición de cargas distribuidas dentro del elemento Marco.

Magnitud de la Carga.

La intensidad de carga es una fuerza o momento por unidad de longitud. Para

aplicar cada componente de fuerza o momento, puede darse un valor simple de

carga si la carga es uniformemente distribuida. Se necesitan dos valores de carga si

la magnitud de la carga varía linealmente en su rango de aplicación (carga

trapezoidal). Ver las figuras 9 y 10.

Fuerzas Interiores. Resultados.

Las fuerzas interiores en el elemento Marco son las fuerzas y momentos resultantes

de integrar las tensiones en la sección transversal del elemento. Estas fuerzas

pág. 43

interiores son:

- P: la fuerza axial,

- V2: la fuerza cortante en el plano 1-2.

- V3: la fuerza cortante en el plano 1-3.

- T: el momento torsor.

- M2: el momento flector en el plano1-3 (alrededor del eje 2).

- M3: el momento flector en el plano1-2 (alrededor del eje 3).

Figura 11. Fuerzas y momentos internos en el elemento Marco.

Estas fuerzas y momentos interiores están presentes en cada sección trasversal a lo

largo de la longitud del elemento.

La convención de signos se ilustra en figura 11. Las fuerzas y momentos interiores

pág. 44

positivos que actúan en la cara positiva del eje 1 se orientan en la dirección positiva

de los ejes de coordenadas locales del elemento.

Las fuerzas y momentos interiores se calculan en puntos igualmente espaciados a lo

largo de la longitud del elemento. El parámetro del nseg especifica el número de

segmentos iguales (o espacios) a lo largo de la longitud del elemento entre los

puntos de salida. Para el valor predefinido de "2", la salida se produce en los dos

extremos y en el punto medio del elemento. Vea “Efecto de los Desajuste de los

Extremos”.

Las fuerzas interiores en el elemento Marco se calculan para todos los casos de

cargas: estáticos lineales y no lineales, formas modales, espectro de respuesta,

historia en el tiempo, etc.

Es importante notar que los resultados del espectro de respuesta siempre son

positivos, y que la no existe correspondencia entre los valores diferentes, esta ha

sido perdida.

Efecto de los Desajustes en los Extremos.

Cuando están presentes los desajustes en los extremos, las fuerzas y momentos

interiores son reportadas en las caras de los soportes y en (nseg – 1) puntos

igualmente espaciados en de la longitud libre del elemento. Ningún resultado se

produce dentro de la longitud del desajuste en el extremo, el cual incluye el nudo. El

resultado solo se producirá en los nudos i y j cuando el desajuste del extremo

correspondiente sea cero.

Capítulo V. El Elemento Cáscara.

El elemento Cáscara es usado para modelar cáscaras, membranas, y conducta de

placas en el plano y estructuras tridimensionales. El objeto de elemento Cáscara es

un tipo de objeto tipo área. Dependiendo del tipo de propiedades de la sección que

usted asigna al área, el objeto también podría usarse para modelar estados

tensionales y deformacionales planos y el comportamiento de sólidos axisimétricos.

Temas.


Grados de Libertad.



pág. 45

Masa.


Cargas Distribuidas Uniformes.

Fuerzas Internas y Tensiones de Salida.

El elemento Cáscara es una formulación de tres o cuatro nodos que combinan el

comportamiento de membrana y placa por separado. El elemento de cuatro nodos

no tiene que ser necesariamente plano.

El comportamiento de membrana emplea una formulación isoparamétrica que incluye

las componentes de rigidez traslacionales en el plano y una componente de rigidez

rotacional en la dirección normal al plano del elemento. Vea Taylor y Simo (1985) e

Ibrahimbegovic y Wilson (1991).

El comportamiento de flexión de placa incluye las componentes de rigidez rotacional

bidireccional fuera del plano y una componente de rigidez traslacional en la dirección

normal al plano del elemento. Por defecto es usada la formulación de placa delgada

de Kirchhof, que desprecia la deformación transversal por cortante. Opcionalmente,

usted puede escoger una formulación de placa gruesa de Mindlin/Reissner que

incluye los efectos de deformación transversal por cortante.

Las estructuras que pueden ser modeladas con este tipo de elemento incluyen:

- Las cáscaras tridimensionales, como los tanques y domos.

- Las estructuras de placas, como las losas de piso.

- Las estructuras membranales, como las paredes de cortante.

Para cada elemento Cáscara en la estructura, usted puede escoger modelar el

comportamiento como membrana pura, placa pura o de la cáscara completa.

Generalmente se recomienda que se use el comportamiento de cáscara completa, a

menos que la estructura entera sea plana y este adecuadamente restringida.

Cada elemento Cáscara tiene su propio sistema de coordenadas locales para definir

las propiedades de los materiales, las cargas y para interpretar los resultados. Cada

elemento puede ser cargado por fuerzas gravedad o uniformemente distribuidas en

cualquier dirección.

Se emplea una formulación variable de cuatro a ocho puntos para la integración

numérica en el cálculo de la rigidez del elemento Cáscara. Las tensiones y las

fuerzas y momentos interiores, en el sistema de coordenadas locales del elemento,

se evalúan en los puntos 2 por 2 de la integración numérica de Gauss y se

extrapolan a los nudos del elemento. Un error de aproximación en las tensiones o las

fuerzas interiores del elemento puede estimarse de la diferencia en valores

calculados de diferentes elementos unidos a un nudo común. Esto dará un indicador

de la exactitud de la aproximación del elemento finito dado y puede usarse entonces

pág. 46

como base para la selección de una nueva malla de elementos finitos más exacta.

Conectividad de los Nudos.

Cada elemento Cáscara puede tener una de las siguientes formas, como se muestra

en la figura 12:

- Cuadrilátero, definido por cuatro nudos j1, j2, j3, y j4.

- Triángulo, definido por tres nudos j1, j2, y j3.

La formulación cuadrilátera es la más exacta de las dos. El elemento triangular solo

es recomendado para las transiciones. La formulación de la rigidez del elemento de

tres nodos es razonable, sin embargo, su recuperación en las tensiones es pobre. El

uso del elemento cuadrilátero por enmallar varias geometrías y transiciones se

ilustran en la figura 13.

Las localizaciones de los nudos deberán encontrarse de las siguientes condiciones

geométricas:

- El ángulo interior en cada esquina debe ser menor de 180°. Los mejores

resultados para el elemento cuadrilátero se obtendrán cuando estos ángulos

son cercanos 90°, o por lo menos en el rango de 45° a 135°.

- La razón de aspecto de un elemento no debe ser demasiado grande. Para el

triángulo, ésta es la razón del lado más largo al lado más corto. Para el

cuadrilátero, ésta es la razón de la distancia más larga entre los puntos

medios de lados opuestos a la más corta. Los mejores resultados se obtienen

para razones de aspecto cercanas a la unidad, o al menos menor que cuatro.

La razón de aspecto no debe exceder de diez.

- Para el cuadrilátero, los cuatro nudos no necesitan ser coplanares. Una

cantidad pequeña de distorsión en el elemento es considerada por el

programa. El ángulo entre las normales en las esquinas da una medida del

grado de distorsión. La normal en una esquina es perpendicular a los dos

lados que concurren en la esquina. Los mejores resultados se obtienen si el

mayor ángulo entre cualquier par de esquinas es menor que 30°. Este ángulo

no debe exceder de 45°.

Normalmente estas condiciones pueden ser encontradas con un refinamiento

adecuado de la malla.

pág. 47

Figura 12. Conectividad del elemento Cáscara y definición de las caras.

pág. 48

Figura 13. Ejemplos de mallas usando elementos Cáscaras cuadriláteros.

Grados de Libertad.

El elemento Cáscara siempre activa todos los seis grados de libertad en cada uno de

sus nudos de conexión. Cuando el elemento es usado como una membrana pura,

usted debe asegurar que las restricciones u otros apoyos están provistos para los

grados de libertad de traslación normal y las rotaciones por flexión en el plano.

Cuando el elemento se usa como placa puro, usted debe asegurar que las

restricciones u otros apoyos están provistos para los grados de libertad de traslación

en el plano y la rotación respecto al eje normal.

El uso del comportamiento de cáscara completa (membrana más placa) es

recomendado para todas las estructuras tridimensionales.

pág. 49


Cada elemento Cáscara tiene su propio sistema de coordenadas locales del

elemento que es usado para definir las propiedades de los materiales, las cargas y

los resultados. Los ejes de este sistema local se denotan como 1, 2 y 3. Los dos

primeros ejes están en el plano del elemento con una orientación que usted define,

el tercer eje es normal a dicho plano.

Es importante que usted entienda claramente la definición del sistema de

coordenadas locales del elemento 1-2-3 y su relación con el sistema de coordenadas

globales X-Y-Z. Ambos sistemas de coordenadas son dextrógiros. Depende de usted

definir sistemas locales que simplifiquen las entradas de datos y faciliten la

interpretación de los resultados.

En la mayoría de las estructuras la definición del sistema de coordenadas locales del

elemento es extremadamente simple, usando la orientación predefinida y la

coordenada de ángulo del elemento Cáscara. Los métodos adicionales están

disponibles.

Eje Local 3.

El eje local 3 siempre es normal al plano del elemento Cáscara. Este eje se dirige

hacia usted cuando recorre j1-j2-j3 en sentido contrario a las agujas del reloj en el

elemento triangular. Para los elementos cuadriláteros, el plano del elemento es

definido por los vectores que conectan los puntos medios de los dos pares de lados

opuestos.

Orientación Predefinida.

La orientación predefinida de los ejes locales 1 y 2 es determinada por la relación

entre el eje local 3 y el eje global Z:

- El plano local 3-2 se considera ser vertical, es decir, paralelo al eje de Z.

- El eje local 2 se considera tener un sentido ascendente (+Z) a menos que el

elemento sea horizontal en cuyo caso el eje local 2 se considera ser horizontal

a lo largo de la dirección del eje global +Y.

- El eje local 1 siempre es horizontal, es decir, queda en el plano X-Y.

Se considera que el elemento es horizontal si el seno del ángulo entre el eje local 3

y el eje global Z es menor que 0.001.

El eje local 2 forma el mismo ángulo con el eje vertical Z que el que forma el eje local

3 con el plano horizontal. Esto significa que el eje local 2 es hacia arriba

verticalmente para los elementos verticales.

pág. 50

Coordenada de Ángulo.

La coordenada de ángulo del elemento Cáscara, ang, es usada para definir

orientaciones del elemento que son diferentes de la orientación predefinida. Es el

ángulo a través del cual los ejes locales 1 y 2 están girados sobre el eje local 3

positivo de la orientación predefinida. La rotación para un valor positivo de ang es en

sentido contrario a las agujas del reloj cuando el eje local +3 está dirigido hacia

usted.

Para los elementos horizontales, ang es el ángulo entre el eje local 2 y el eje

horizontal +Y. Por otra parte, ang es el ángulo entre el eje local 2 y el plano vertical

que contiene el eje local 3. Vea la figura 14.

pág. 51

Figura 14. Coordenada de ángulo de elementos Cáscaras con respecto a la orientación predefinida.


Una sección de un elemento Cáscara es un conjunto de propiedades del material y

características geométricas que describen la sección transversal de uno o más

elementos Cáscaras. Las secciones son definidas independientemente de los

elementos Cáscaras y después son asignadas a los objetos áreas.

Al definir una sección área, usted tiene una opción de tres tipos de elementos

básicos:

- Cáscara: con todos los grados de libertad traslacionales y rotacionales, capaz

de soportar las fuerzas y momentos.

pág. 52

- El estado plano (tensional o deformacional): un sólido bidimensional, con los

grados de libertad traslacionales, capaz de soportar fuerzas pero no

momentos.

- Sólido axisimétrico: el sólido axisimétrico, con los grados de libertad

traslacionales, capaz de soportar fuerzas pero no momentos.

Para las secciones Cáscara, usted puede escoger uno de los siguientes subtipos de

comportamientos:

- Membrana: comportamiento de membrana pura, solamente las fuerzas en el

plano y el momento respecto a la normal pueden ser soportados.

- Placa: comportamiento de placa pura, pueden soportarse solo los momentos

de flexión y la fuerza transversal.

- Cáscara: comportamiento de Cáscara completa, una combinación de

comportamiento de membrana y de placa, todos las fuerzas y momentos

pueden ser soportados.

Generalmente se recomienda que usted use el comportamiento de cáscara

completa, a menos que la estructura entera sea plana y esté adecuadamente

restringida.

Formulación del Espesor.

Dos formulaciones del espesor son disponibles, las que determinan si son incluidas o

no las deformaciones por cortante en el comportamiento de flexión de placa del

elemento Placa o Cáscara:

- La formulación de placa gruesa (Mindlin/Reissner), que incluye los efectos de

la deformación de cortante transversal.

- La formulación de placa delgada (Kirchhoff), que desprecia las

deformaciones por cortante transversal.

Las deformaciones por cortante tienden a ser importantes cuando el espesor del

elemento es mayor que aproximadamente entre un décimo a un quinto de las luces.

Ellas también pueden ser bastante significativas en la vecindad de concentraciones

de tensiones de flexión, como las cercanías a cambios súbitos en espesor o

condiciones de apoyo y cerca de agujeros o esquinas entrantes.

Incluso para problemas de flexión de placas delgadas, donde las deformaciones por

cortante son verdaderamente despreciables, la formulación de placa gruesa tiende a

ser más exacta, aunque algo más rígida, que la formulación de placa delgada. Sin

embargo, la exactitud de la formulación de placa gruesa es más sensible a grandes

razones de aspecto y distorsiones de la malla que la formulación de placa delgada.

Generalmente se recomienda que usted use la formulación de placa gruesa a menos

que usted esté usando una malla distorsionada y usted sabe que las deformaciones

pág. 53

por cortantes serán pequeñas, o a menos que usted esté intentando encontrar una

solución teórica de placa delgada.

La formulación del espesor no tiene el efecto en el comportamiento de membrana,

solo sobre el comportamiento de flexión de placa.

Propiedades de los Materiales.

Las propiedades del material para cada sección son especificadas por la referencia a

un material previamente definido. Las propiedades del material usadas por la sección

de un elemento Cáscara son:

- El módulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson, para calcular la rigidez de

la membrana y de la placa.

- El módulo de elasticidad a cortante, para la rigidez torsional y a cortante. Este

se calcula a partir del coeficiente de deformación transversal o coeficiente de

Poisson de la relación 𝐺

( ).

- La densidad de masa (por la unidad de volumen), m, para calcular la masa del

elemento.

- La densidad de peso (por la unidad de volumen), w, para calcular la Carga del

Peso Propio.

Propiedades ortotrópicas están también disponibles.

Espesor.

Cada sección de un elemento Cáscara tiene un espesor de membrana constante y

un espesor de placa constante. El espesor de la membrana, th, se usa por calcular:

- La rigidez de la membrana para la Cáscara completa y secciones de

membrana pura.

- El volumen del elemento para el peso propio y cálculos de la masa del

elemento.

El espesor de placa (flexión), thb, es usado para calcular:

- La rigidez de la placa para la Cáscara completa y para secciones de placa

pura.

Normalmente estos dos espesores son iguales. Sin embargo, para algunas

aplicaciones, como modelar las superficies corrugas o plegadas, el comportamiento

de membrana de y placa no pueden ser representadas adecuadamente por un

material homogéneo de un solo espesor. Para este propósito, usted puede

especificar un valor de thb que es diferente del th.

pág. 54

Masa.

En un análisis dinámico, la masa de la estructura se usa para calcular las fuerzas

inerciales. La masa contribuida por el elemento Cáscara se concentra en los nudos

del elemento. Ningún efecto inercial es considerado en el interior del propio

elemento.

La masa total del elemento es igual a la integral sobre el plano del elemento de la

densidad de masa, m, multiplicada por el espesor, th. La masa total se prorratea a

los nudos de tal manera que es proporcional a los términos de la diagonal de la

matriz de masa consistente. Vea a Cocinero, Malkus, y Plesha (1989) para más

información. La masa total se aplica a cada uno de los tres grados de libertad

traslacionales UX, UY, y UZ. No se calcula ningún momento de inercia de masa para

los grados de libertad rotacionales.


La carga del peso propio puede ser aplicada en cualquier patrón de carga para

activar el peso propio de todos los elementos en el modelo. Para un elemento

Cáscara, el peso propio es una fuerza que es uniformemente distribuida sobre el

plano del elemento. La magnitud del peso propio es igual a la densidad de peso, w,

multiplicado por el espesor, th.

El peso propio siempre actúa que hacia abajo, en la dirección global de +Z. El peso

propio puede ser escalado por un solo factor que es aplicado a toda la estructura.

Cargas Uniformes.

La carga uniforme es usada para aplicar las fuerzas uniformemente distribuidas a la

superficie media de los elementos Cáscaras. La dirección de la carga puede

especificarse en el sistema de coordenadas globales o en el sistema de coordenadas

locales del elemento.

Las intensidades de carga son dadas como las fuerzas por unidad de área.

Intensidades de carga especificadas en diferentes sistemas de coordenadas se

convierten al sistema de coordenadas locales y son adicionadas. La fuerza total que

actúa en el elemento en cada dirección local es dada por la intensidad de carga total

en esa dirección multiplicada por el área de la superficie media. Esta fuerza se

prorratea a los nudos del elemento.

Fuerzas Internas y Tensiones de Salida.

Las tensiones en el elemento Cáscara son las fuerzas por unidad de área que actúan

dentro del volumen del elemento para resistir las carga. Estas tensiones son:

pág. 55

- Las tensiones directas en el plano: S11 y S22

- La tensión de cortante de en el plano: S12

- Las tensiones transversales de cortantes: S13 y S23

- La tensión transversal directa: S33 (siempre asumida como cero)

Se asume que las tres tensiones en el plano son constantes o varían linealmente a

través del espesor del elemento.

Se asume que las dos tensiones de cortante transversal son constantes a través del

espesor. La distribución real de tensiones de cortantes es parabólica, siendo ceros

en el tope y fondo de la superficie y tomando el máximo o mínimo valor en la

superficie media del elemento.

Las fuerzas interiores en el elemento Cáscara (también llamadas tensiones

resultantes) son las fuerzas y momentos que son resultado de integrar las tensiones

sobre el espesor del elemento. Estas fuerzas interiores son:

- Las fuerzas directas en la membrana: F11 y F22

- La fuerza cortante en la membrana: F12

- Los momentos flectores de la placa: M11 y M22

- El momento torsor en la placa: M12

- Las fuerzas cortantes transversales de la placa: V13 y V23

Es muy importante notar que estas tensiones resultantes son fuerzas y momentos

por unidad de longitud del plano. Ellas están presentes en cada punto en la superficie

media del elemento.

Los convenios de signos para las tensiones y las fuerzas interiores se ilustran en la

figura 15. Las tensiones que actúan en una cara positiva están orientadas en la

dirección positiva de los ejes de coordenadas locales del elemento. Las tensiones

que actúan en una cara negativa están orientadas en la dirección negativa de los

ejes de coordenadas locales del elemento. Una cara positiva es aquella cuya normal

exterior (dirigida hacia afuera del elemento) está en la dirección positiva de los ejes

locales 1 o 2.

Las fuerzas interiores positivas corresponden a un estado de tensiones positivas que

es constante a través del espesor. Los momentos interiores positivos corresponden a

un estado de tensión que varía linealmente a través del espesor y es positiva en el

fondo.

Las tensiones y las fuerzas interiores son evaluadas por el método de integración

estándar de Gauss de 2 por 2 puntos y extrapoladas a los nudos. Aunque ellas son

reportadas en los nudos, las tensiones y las fuerzas interiores existen a lo largo del

elemento. Vea a Cocinero, Malkus, y Plesha (1989) para más información.

Las tensiones y las fuerzas interiores de elemento Cáscara se calculan para todos

pág. 56

los casos de carga: estático lineal y no lineal, formas modales, espectro de

respuesta, historia en el tiempo, etc.

Figura 15. Tensiones y fuerzas interiores en el elemento Cáscara.

También se calculan los valores principales de las tensiones y las direcciones

principales asociadas para los casos de carga estáticos y formas modales. El ángulo

dado es medido en sentido contrario a las agujas del reloj moderado (cuando es visto

desde el tope) desde el eje local 1 a la dirección del valor principal máximo.

Es importante notar que los resultados del espectro de respuesta siempre son

positivos, y que la correspondencia entre los valores diferentes ha sido perdida. Por

esta razón, los valores principales no están disponibles.

pág. 57

Capítulo VI. Nudos y Grados de Libertad.

Los nudos desempeñan un papel fundamental en el análisis de cualquier estructura.

Los nudos son los puntos de conexión entre los elementos y ellos son las

localizaciones primarias de la estructura en que los desplazamientos o son conocidos

o serán determinados. Las componentes del desplazamiento (las traslaciones y

rotaciones) en los nudos son llamados los grados de libertad.

Temas.

Consideraciones en la Modelación.


Grados de Libertad.

Restricciones y Reacciones.

Resortes o Muelles.

Masas.

Cargas de Fuerzas.

Cargas de Desplazamientos de Apoyo.

Los nudos, también conocidos como puntos nodales o nodos, son una parte

fundamental de todo modelo estructural. Los nudos realizan una variedad de

funciones:

- Todos los elementos se conectan a la estructura (unos a otros) en los nudos.

- La estructura se apoya a los nudos que poseen restricciones y/o muelles o

resortes.

- Pueden especificarse comportamiento de cuerpo rígido y condiciones de

simetría haciendo uso de las constricciones que se que aplican en los nudos.

- Las cargas concentradas pueden aplicarse en los nudos.

- Pueden concentrarse masas e inercias rotacionales en los nudos.

- Todas las cargas y masas aplicadas en los elementos son realmente

transferidas a los nudos.

- Los nudos son las localizaciones primarias en la estructura en que los

desplazamientos o son conocidos (los apoyos) o serán determinados.

Los nudos en el modelo de análisis corresponden a objetos puntuales en el modelo

estructural objeto de estudio. Usando la interfaz gráfica del SAP2000, los nudos (los

puntos) se crean automáticamente en los extremos de cada objeto Marco y en las

esquinas de cada objeto Cáscara. Los nudos también pueden definirse

independientemente de cualquier elemento.

pág. 58

La red automática de objetos Marco y Cáscara creará nudos adicionales

correspondientes a cualquier elemento Marco y Cáscara que se cree.

Los nudos en sí mismos pueden ser considerados como elementos. Cada nudo

puede tener su propio sistema de coordenadas locales para definir los grados de

libertad, las restricciones, las propiedades del nudo y las cargas y para interpretar los

resultados del nudo. En la mayoría de los casos, sin embargo, el sistema de

coordenadas globales X-Y-Z es usado como el sistema de coordenadas locales para

todos los nudos en el modelo.

Existen seis grados de libertad de desplazamientos en cada nudo (tres traslaciones y

tres rotaciones). Estas componentes del desplazamiento se alinean a lo largo del

sistema de coordenadas locales de cada nudo.

Los nudos pueden estar cargados directamente por cargas concentradas o

indirectamente por desplazamientos en los apoyos que actúan en las restricciones o

muelles soportes.

Los desplazamientos (las traslaciones y rotaciones) se obtienen en cada nudo. Las

fuerzas y momentos exteriores e interiores que actúan en cada nudo también son

obtenidas.

Consideraciones en la Modelación.

La localización de los nudos y los elementos es crítica en la determinación de la

precisión del modelo estructural. Algunos de los factores que usted necesita

considerar al definir los elementos (y los nudos) en la estructura son:

El número de elementos debe ser suficiente para describir la geometría de la

estructura. Para las líneas rectas y bordes, un elemento es adecuado. Para

las curvas y las superficies curvadas, debe usarse un elemento para cada

arco de 15° o menos.

Las fronteras del elemento, y los nudos, deben ser localizados en puntos,

líneas, y superficies de discontinuidad:

- Las fronteras estructurales, por ejemplo, esquinas y bordes.

- Los cambios en las propiedades de los materiales.

- Los cambios en el espesor y otras propiedades geométricas.

- Los puntos de apoyo (restricciones y muelles).

- Los puntos de aplicación de cargas concentradas, excepto los

elementos Marco que pueden tener cargas concentrada aplicadas en

su interior.

En regiones que tienen grandes gradientes de tensiones, es decir, donde las

tensiones cambian rápidamente, una malla de elementos Cáscara debe ser

refinada usando elementos más pequeños y los nudos espaciados más

pág. 59

cercanamente. Esto puede requerir el cambiar la malla después de uno o

más análisis preliminares que pueden ser realizados modificando los

parámetros del mallado automatizado de un objeto área.

Más de un elemento debe ser usado para modelar la longitud de cualquier

tramo para el cual es importante el comportamiento dinámico. Esto es

requerido porque la masa siempre se concentra en los nudos, aun si es

contribuida por los elementos.


Cada nudo tiene su propio sistema de coordenadas locales usado para definir los

grados de libertad, las restricciones, las propiedades y las cargas en el nudo y para

interpretar los resultados en el nudo. Los ejes del sistema de coordenadas locales

del nudo se denotan como 1, 2, y 3. Por defecto estos ejes son idénticos a los ejes

globales X, Y, y Z respectivamente. Ambos sistemas son sistemas de coordenadas

dextrógiros.

El sistema de coordenadas locales predefinido es adecuado para la mayoría de las

situaciones. Sin embargo, para ciertos propósitos de la modelación puede ser útil

usar diferentes sistemas de coordenadas locales en algunos o todos los nudos.

Grados de Libertad.

La deformación del modelo estructural es gobernada por los desplazamientos de los

nudos. Cada nudo del modelo estructural puede tener hasta seis componentes de

desplazamientos:

El nudo puede trasladarse a lo largo de sus tres ejes locales. Estas

traslaciones son denotadas como U1, U2, y U3.

El nudo puede girar sobre sus tres ejes locales. Estas rotaciones son

denotadas como R1, R2, y R3.

Estas seis componentes de desplazamientos son conocidas como los grados de

libertad del nudo. Los grados de libertad locales del nudo se ilustran en la figura 16.

Además de los nudos regulares definidos como parte del modelo estructural, el

programa crea automáticamente nudos maestros que gobiernan el comportamiento

de cualquier constricción que puede haber sido definida. Cada nudo maestro tiene

los mismos seis grados de libertad que los nudos regulares.

Cada grado de libertad en el modelo estructural tiene que ser uno de los tipos

siguientes:

- Activo: el desplazamiento se calcula durante el análisis.

- Restringido: el desplazamiento se especifica y la reacción correspondiente se

pág. 60

calcula durante el análisis.

- Constreñido: el desplazamiento es determinado de los desplazamientos en

otros grados de libertad.

- Nulo: el desplazamiento no afecta a la estructura y es ignorado por el análisis.

- No disponible: el desplazamiento ha sido excluido explícitamente del análisis.

Figura 16. Los 6 grados de libertad de desplazamientos en el sistema de coordenadas locales del

nudo.

Grados de Libertad Disponible y No Disponibles.

Usted puede especificar explícitamente el conjunto de grados de libertad globales

que están disponibles en cada nudo en el modelo estructural. Por defecto, todos los

seis grados de libertad están disponibles en cada nudo. Este valor predeterminado

generalmente debe usarse para todas las estructuras tridimensionales.

Para ciertos tipos de estructuras planas, sin embargo, usted puede desear restringir

los grados de libertad disponibles. Por ejemplo, en el plano X-Z: una armadura plana

necesita solamente UX y UZ, un pórtico plano necesita solamente UX, UZ, y RY y un

emparrillado plano o losa de piso plana necesita solamente UZ, RX, y RY.

Los grados de libertad que no son especificados como que están disponible son

llamados grados de libertad no disponibles. Cualquier rigidez, carga, masa,

restricción o constricción que se aplican a los grados de libertad no disponible son

ignoradas por el análisis.

Los grados de libertad disponibles pueden ser restringidos, constreñidos, activos o

nulos

Grados de Libertad Restringidos.

Si el desplazamiento de un nudo a lo largo de cualquiera de los grados de libertad

pág. 61

disponibles es conocido, como en un punto de apoyo, ese grado de libertad se

restringe. El valor conocido del desplazamiento puede ser cero o no, y puede ser

diferente en los patrones de cargas diferentes. La fuerza a lo largo del grado de

libertad restringido que se requiere para imponer la restricción al desplazamiento

especificada es llamada la reacción y es determinada por el análisis.

Los grados de libertad no disponibles están esencialmente restringidos. Sin embargo,

ellos están excluidos del análisis y ninguna reacción es calculada, aun cuando no

sean nulas.

Grados de Libertad Constreñidos.

Cualquier nudo que es parte de una constricción puede tener uno o más de sus

grados de libertad disponibles constreñidos. El programa crea automáticamente un

nudo maestro para gobernar el comportamiento de cada constricción. El

desplazamiento de un grado de libertad constreñido es calculado entonces como una

combinación lineal de los desplazamientos a lo largo de los grados de libertad

correspondiente al nudo maestro.

Si un grado de libertad constreñido es también restringido, la restricción será

aplicada al conjunto completo de nudos constreñidos.

Grados de Libertad Activos.

Todos los grados de libertad disponibles que ni se restringen ni constriñen tienen que

ser activos o nulos. El programa determinará automáticamente los grados de libertad

activos como sigue:

- Si cualquier carga o rigidez es aplicada a lo largo de cualquier grado de

libertad traslacional en un nudo, entonces todos los grados de libertad

traslacionales disponibles en ese nudo se hacen activos a menos que ellos

estén restringidos o constreñidos.

- Si cualquier carga o rigidez es aplicada a lo largo de cualquier grado de

libertad rotacional en un nudo, entonces todos los grados de libertad

rotacionales disponibles en ese nudo se hacen activos a menos que ellos

estén restringidos o constreñidos.

- Todos los grados de libertad en un nudo maestro que gobierna grados de

libertad constreñidos son hechos activos.

Un nudo que se conecta a cualquier elemento Marco o Cáscara tendrá todos sus

grados de libertad disponibles activados. Una excepción es un elemento Marco con

rigidez solo tipo cercha, el cual no activará los grados de libertad rotacionales.

pág. 62

Todo grado de libertad activo tiene una ecuación asociada a ser resuelta. Si hay N

grados de libertad activos en la estructura, hay N ecuaciones en el sistema, y se dice

que la matriz rigidez de la estructura es de orden N. La cantidad de esfuerzo de

cálculo exigido para ejecutar el análisis se incrementa con N.

La carga que actúa a lo largo de cada grado de libertad activo es conocida (puede

ser cero). El desplazamiento correspondiente será determinado en el análisis.

Si hay grados de libertad activos en el sistema en los cuales la rigidez se conoce

que es cero, como la traslación fuera del plano en un pórtico plano, éstos tienen que

ser restringidos o hechos no disponibles. De otra manera, la estructura es inestable y

la solución de las ecuaciones estáticas no será posible.

Grados de Libertad Nulos.

Los grados de libertad disponibles que no están restringidos, constreñidos, o activos,

son llamados los grados de libertad nulos. A causa de que ellos no tienen carga o

rigidez, sus desplazamientos y reacciones son ceros, y ellos no tienen efecto sobre el

resto de la estructura. El programa los excluye automáticamente del análisis.

Restricciones y Reacciones.

Si el desplazamiento de un nudo a lo largo de cualquiera de sus grados de libertad

tiene un valor conocido, ya sea cero (por ejemplo, en los puntos de apoyo) o no cero

(por ejemplo, debido al asentamiento de un apoyo), una restricción debe aplicarse a

ese grado de libertad. El valor conocido del desplazamiento puede diferir de un

patrón de carga a otro, pero el grado de libertad se restringe para todos los patrones

de carga. En otras palabras, no es posible tener el valor del desplazamiento conocido

en un patrón de carga y desconocido (libre) en otro.

También deben aplicarse las restricciones a los grados de libertad disponibles en el

sistema en el cual la rigidez se conoce que es cero, como la traslación del fuera del

plano y las rotaciones planas de un pórtico plano. De otro modo, la estructura es

inestable y la solución de las ecuaciones estáticas no será posible.

La fuerza o momento a lo largo del grado de libertad que se requiere en la restricción

se denomina reacción de apoyo y es determinada por el análisis. La reacción puede

diferir de un patrón de carga a otro. La reacción incluye las fuerzas (o momentos) de

todos los elementos conectados al grado de libertad restringido, así como a todas las

cargas aplicadas al grado de libertad.

Se muestran ejemplos de restricciones en la figura 17.

pág. 63

Figura 17. Ejemplos de restricciones.

Resortes o Muelles.

Cualquiera de los seis grados de libertad en cualquiera de los nudos de la estructura

puede tener condiciones de apoyo de resortes ya sean traslacionales o rotacionales.

Estos resortes conectan elásticamente el nudo a tierra. Los apoyos de resortes a lo

pág. 64

largo de los grados de libertad restringidos no contribuyen a la rigidez de la

estructura.

Las fuerzas en los resortes que actúan en un nudo están relacionadas a los

desplazamientos de ese nudo por una matriz simétrica de 6x6 de coeficientes de

rigidez de los resortes. Estas fuerzas tienden a oponerse a los desplazamientos. Los

coeficientes de rigidez de los resortes son especificados respecto al sistema de

coordenadas locales del nudo. Las fuerzas y momentos en los resortes F1, F2, F3,

M1, M2 y M3 en un nudo son dados por:

Ecuación (1)

Donde u1, u2, u3, r1, r2 y r3 son los desplazamientos (traslacionales y rotacionales)

de un nudo y los términos u1, u2, u3, r1, r2, y r3 son los coeficientes de rigidez del

resorte especificados.

El desplazamiento del extremo conectado a tierra del resorte puede especificarse

como cero o no (por ejemplo, debido al asentamiento de apoyo). Este

desplazamiento de la tierra puede variar de un patrón de carga a otro.

Masas.

En un análisis dinámico, la masa de la estructura es usada para calcular las fuerzas

inerciales. Normalmente la masa se obtiene de los elementos que poseen densidad

de masa del material y el volumen del elemento. Esto produce automáticamente las

masas concentradas (desacopladas) en los nudos. Los valores de masa del

elemento son iguales para cada uno de los tres grados de libertad traslacionales. No

se produce ningún momento de inercia de masa para los grados de libertad

rotacionales. Esta aproximación es adecuada para la mayoría de los análisis.

Con frecuencia es necesario ubicar masas concentradas adicionales y/o momentos

de inercia de masa en los nudos. Éstas pueden aplicarse a cualquiera de los seis

grados de libertad en cualquiera de los nudos de la estructura.

Para lograr eficiencia computacional y exactitud en la solución, SAP2000 siempre

emplea masas concentradas. Esto significa que no hay ninguna masa acoplada entre

pág. 65

los grados de libertad entre nudos diferentes. Estas masas desacopladas siempre

están referidas al sistema de coordenadas locales de cada nudo. Se ignoran los

valores de masa a lo largo de los grados de libertad restringidos.

Las fuerzas inerciales que actúan en los nudos están relacionadas con las

aceleraciones en los nudos por una matriz de valores de masa de 6x6. Estas fuerzas

tienden a oponerse a las aceleraciones. Las fuerzas y momentos de inercia F1, F2,

F3, M1, M2 y M3 en un nudo referidas al sistema de coordenadas locales del nudo

están dadas por:

Donde son las aceleraciones traslacionales y rotacionales en el

nudo y los términos u1, u2, u3, r1, r2, y r3 son los valores de masa especificados.

Cargas de Fuerzas.

Se emplea la carga de fuerza para aplicar fuerzas y momentos concentrados en los

nudos. Los valores son especificados en coordenadas globales como se muestra en

la figura 19. La carga de fuerza puede variar de un patrón de carga a otro. Las

fuerzas y momentos aplicados a lo largo de los grados de libertad restringidos se

suman a la correspondiente reacción de apoyo pero no afecta la estructura.

Cargas de Desplazamientos de los Apoyos.

La carga de desplazamiento de la base de suelo es usada para aplicar los

desplazamientos especificados (las traslaciones y rotaciones) al extremo conectado

a tierra de nudos restringidos y apoyos de resortes. Los valores del desplazamiento

se especifican en coordenadas globales como se muestra en la figura 19. Estos

valores se convierten a coordenadas locales del nudo antes de aplicarse al nudo a

través de las restricciones y los resortes.

Las restricciones pueden ser consideradas como conexiones rígidas entre los grados

de libertad del nudo y la tierra. Los resortes pueden ser considerados como

conexiones flexibles entre los grados de libertad del nudo y la tierra.

pág. 66

¡Es muy importante entender que la carga de desplazamiento de la base se aplica a

la tierra, y no afecta la estructura a menos que la estructura se apoye por

restricciones o muelles en la dirección de la carga!

Figura 18. Fórmulas para las masas y momentos de inercia.

pág. 67

Figura 19. Valores especificados para la de carga de fuerza y la carga de desplazamiento de los

apoyos a tierra.

Desplazamientos de las Restricciones.

Si un grado de libertad particular de un nudo se restringe, el desplazamiento del nudo

es igual al desplazamiento de la tierra a lo largo de ese grado de libertad local. Esto

aplica sin tener en cuenta si están presentes o no los resortes.

El desplazamiento de la tierra, y entonces el desplazamiento del nudo, puede variar

de un patrón de carga a otro. Si ninguna carga de desplazamiento de la tierra es

especificada para un grado de libertad restringido, el desplazamiento del nudo es

cero para ese patrón de carga.

Las componentes de desplazamientos en la base que no están a lo largo de los

grados de libertad restringidos no cargan la estructura. Un ejemplo de esto se ilustra

en la figura 20.

pág. 68

Figura 20. Desplazamiento de la base en grados de libertad restringidos y no restringidos.

Desplazamientos en los Resortes.

Los desplazamientos de la base en un nudo son multiplicados por los coeficientes de

rigidez del resorte para obtener las fuerzas y momentos efectivos que se aplican al

nudo. Los desplazamientos del resorte aplicados en una dirección sin rigidez del

resorte resultan en cero cargas aplicadas. El desplazamiento de la base, y entonces

las fuerzas y momentos aplicados pueden variar de un patrón de carga a otro.

En un sistema de coordenadas locales de nudos, las fuerzas y momentos aplicados

F1, F2, F3, M1, M2 y M3 a un nudo debido a los desplazamientos de la tierra están

dados:

Ecuación (2)

Donde ug1, ug2, ug3, rg1, rg2 y rg3 son las traslaciones y rotaciones en la tierra y

los términos u1, u2, u3, r1, r2, y r3 son los coeficientes de rigidez del resorte

especificados.

Las fuerzas y momentos netos del resorte que actúan en el nudo son la suma de las

fuerzas y momentos dados por las ecuaciones (1) y (2), note que éstos son de signos

opuestos. En un grado de libertad restringido, el desplazamiento del nudo es igual al

desplazamiento de la base, y entonces la fuerza neta en el resorte es cero.

Capítulo VII. Constricciones en los Nudos.

Las constricciones son usadas para enfatizar ciertos tipos de comportamientos de

cuerpo rígido, para conectar conjuntamente diferentes partes del modelo e imponer

ciertos tipos de condiciones de simetría.

Una constricción consiste en un conjunto de dos o más nudos constreñidos. Los

desplazamientos de cada par de nudos en la constricción están relacionados por las

ecuaciones de la constricción. Los tipos de comportamiento que pueden ser

enfatizados por las constricciones son:

pág. 69

Comportamiento de cuerpo rígido: en el cual los nudos constreñidos se

trasladan y giran juntos como si estuvieran conectados por eslabones rígidos.

Los tipos de comportamiento rígido que pueden ser modelados son:

- Cuerpo rígido: totalmente rígido para todos los desplazamientos.

- Diafragma rígido: rígido para el comportamiento de membrana en un

plano.

- Placa rígida: rígido para la flexión de placa en un plano.

- Varilla rígida: rígido para la traslación a lo largo de un eje.

- Viga rígida: rígido para la flexión de la viga en un eje.

Comportamiento del igual desplazamiento: en el cual las traslaciones y

rotaciones especificadas son iguales en los nudos constreñidos.

Condiciones de simetría par e impar (antimetría)

El uso de constricciones reduce el número de ecuaciones en el sistema a ser

resuelto y normalmente producirá una mayor eficiencia computacional.

Constricción tipo Diafragma.

Una constricción de diafragma causa que todos sus nudos constreñidos se mueven

juntos como un diafragma plano que es rígido a las deformaciones de la membrana.

Efectivamente, todos los nudos constreñidos se conectan a cada uno de los otros por

eslabones que son rígidos en el plano, pero no afectan la deformación fuera del

plano (placa).

Esta constricción puede ser usada para:

Modelar los pisos de hormigón en estructuras de edificios, las que

típicamente tienen una elevada rigidez en el plano.

Modelar los diafragmas en la superestructura de los puentes.

El uso de la constricción tipo diafragma para estructuras de edificios elimina los

problemas de exactitud numérica creados cuando la rigidez en el plano del diafragma

de piso es grande y se modela con elementos tipo membrana. También es muy útil

en el análisis dinámico lateral (horizontal) de los edificios, ya que resulta en una

reducción significativa en la dimensión del problema de valores propios a ser

resuelto. Vea la figura 2 para una ilustración de un diafragma de piso.


Cada constricción tipo diafragma conecta un conjunto de dos o más nudos juntos.

Los nudos pueden tener cualquier localización arbitraria en el espacio, pero para

mejores resultados, todos los nudos deben estar en el plano de la constricción. De

otra manera, pueden generarse momentos flectores que están restringidos por la

pág. 70

constricción, lo cual rigidiza irrealistamente a la estructura.

Figura 21. Uso de la constricción tipo diafragma para modelar losas de piso rígidas.

Definición del Plano

Las ecuaciones de la constricción para cada constricción tipo diafragma son escritas

con respecto a un plano particular. La localización del plano no es importante, solo su

orientación.

Por defecto, el plano es automáticamente determinado por el programa de la

distribución espacial de los nudos constreñidos. Si no puede ser encontrada ninguna

única dirección, es asumido el plano horizontal (X-Y), esto puede ocurrir si los nudos

son coincidentes o colineales, o si la distribución espacial es más tridimensional que

plana.

Usted puede sobrescribir la selección plana automática especificando el eje global

(X, Y, o Z) que es normal al plano de la constricción. Puede ser útil, por ejemplo,

especificar un plano horizontal para un piso con un salto pequeño en él.


pág. 71

Cada constricción tipo diafragma tiene su propio sistema de coordenadas locales, los

ejes se denotan como 1, 2, y 3. El eje local 3 siempre es normal al plano de la

constricción. El programa escoge automática y arbitrariamente la orientación de los

ejes 1 y 2 en el plano. La orientación real de los ejes planos no es importante ya que

solo la dirección normal afecta las ecuaciones de la constricción.

Ecuaciones de la Constricción.

Las ecuaciones de la constricción relacionan los desplazamientos de cualquieras dos

nudos constreñidos (subíndices i y j) en una constricción tipo diafragma. Estas

ecuaciones son expresadas en términos de las traslaciones en el plano (u1 y u2) y la

rotación (r3) respecto a la normal, y las coordenadas del plano (x1 y x2), todos

tomados respecto al sistema de coordenadas locales de la constricción:

−

−

Donde: − y −

Capítulo VIII. Análisis Estático y Dinámico.

Los análisis estáticos y dinámicos son usados para determinar la respuesta de la

estructura a los distintos tipos de cargas. Aquí se describen los tipos básicos de

análisis disponibles en el SAP2000.

Temas

Cargas.

Casos de Carga

Análisis Estático Lineal

Análisis Modal.

Resultados del Análisis Modal.

Análisis de Espectro de Respuesta.

Resultados del Análisis de Espectro de Respuesta.

Muchos tipos diferentes de análisis están disponibles en el programa SAP2000,

estos incluyen:

- Análisis estático lineal.

- Análisis modal para los modos de vibración, usando Eigenvectors o Vectores

pág. 72

de Ritz.

- Análisis del espectro de respuesta para la carga sísmica.

Otros tipos de análisis lineal y no lineal, están disponibles, pero no son tratados en

este manual .

Estos tipos diferentes de análisis pueden ser todos definidos en el mismo modelo, y

los resultados pueden ser combinados para los reportes de salida.

Cargas.

Las cargas representan las acciones sobre la estructura, tales como las fuerzas, las

presiones, los desplazamientos de los apoyos, los efectos térmicos, la aceleración

del suelo, y otros. Usted puede definir nombres para los modelos de las cargas que

pueden contener cualquier mezcla de cargas sobre los objetos. El programa calcula

automáticamente las cargas de aceleración del suelo incorporadas.

Para calcular cualquier respuesta de la estructura a causa de los modelos de cargas,

usted tiene que definir y ejecutar los casos de carga que especifican cómo los

patrones de carga serán aplicados (por ejemplo, estáticamente, dinámicamente, etc.)

y cómo la estructura será analizada (por ejemplo, linealmente, no linealmente, etc.)

El mismo patrón de carga puede aplicarse de modo diferente en los casos de carga

diferentes.

Por defecto, el programa crea un caso de carga estático lineal que corresponde a

cada uno de los patrones de carga que usted definió.

Patrones de Carga.

Usted puede definir tantos nombres de patrones de carga como desee. Típicamente

usted tendría patrones de carga por separado para la carga muerta, la carga viva, la

carga del viento, la carga de nieve, la carga térmica, y así sucesivamente. Las cargas

que necesitan variar independientemente, ya sea por razones del diseño o a causa

de como ellas serán aplicadas a la estructura, deben ser definidas como patrones de

carga por separado.

Después de definir un nombre del patrón de carga, usted debe asignar los valores de

carga específicos a los objetos que conforman ese patrón de carga. Cada patrón de

carga puede incluir:

- Las cargas peso de propio en los elementos Marco y/o Cáscara.

- Cargas concentradas y distribuidas en los elementos Marcos.

- Cargas uniformes en los elementos Cáscara.

- Cargas tipo fuerza y/o desplazamiento en la base en los nudos.

pág. 73

- Otros tipos de cargas también están disponibles en el CSI Manual de

Referencia de Análisis.

Cada objeto puede estar sometido a múltiples patrones de carga.

Cargas de Aceleración.

El programa calcula automáticamente tres cargas de aceleración que actúan en la

estructura debido a las aceleraciones traslacionales unitarias en cada una de las tres

direcciones globales. Ellas son determinadas por el principio de d'Alembert, y se

denotan como mx, my, y mz. Estas cargas son usadas para aplicar las

aceleraciones en la base en los análisis de espectro de respuesta y también son

usados como vectores de carga iniciales para el análisis según los vectores de Ritz.

Estas cargas son calculadas para cada nudo y elemento y se suman sobre toda la

estructura. Las cargas de aceleración para los nudos son simplemente iguales al

valor negativo de la masa traslacional en el sistema de coordenadas locales. Estas

cargas son transformadas al sistema de coordenadas globales.

Las cargas de aceleración para todos los elementos son las mismas en cada

dirección y es igual al valor negativo de la masa del elemento.

Las cargas de aceleración pueden ser transformadas a cualquier sistema de

coordenadas. En el sistema de coordenadas globales, la carga de aceleración a lo

largo de las direcciones positivas de los ejes X, Y y Z se denotan UX, UY, y UZ,

respectivamente. En un sistema de coordenadas locales definido para el análisis de

espectro de respuesta, la carga de aceleración a lo largo de las direcciones positivas

de los ejes locales 1, 2, y 3 se denominan U1, U2, y U3, respectivamente.

Casos de Carga

Cada análisis diferente realizado es llamado caso de carga. Usted asigna una

etiqueta a cada caso de carga como parte de su definición. Estas etiquetas pueden

usarse para crear combinaciones adicionales y para controlar los reportes de salida.

Los tipos básicos de casos de carga son:

- Análisis estático lineal .

- Análisis modal.

- Análisis de espectro de respuesta.

Usted puede definir cualquier número de cada tipo diferente de caso de Carga para

un solo modelo. Otros tipos de casos de carga también están disponibles.

Por defecto, el programa crea un caso de carga estática lineal para cada patrón de

carga que usted define, así como un solo caso de carga modal para las primeras

formas propias de la estructura.

pág. 74

Las combinaciones de cargas lineales y envolventes de los distintos casos de carga

están disponibles a través de la interfaz gráfica del SAP2000.

El Análisis Estático Lineal

El análisis estático de una estructura involucra la solución del sistema de ecuaciones

lineales representada por:

, -* + * +

Donde [K] es la matriz de rigidez, {R} es el vector de cargas aplicadas y {U} es el

vector de desplazamientos resultantes en los nudos. Vea Bathe y Wilson (1976).

Para cada caso de carga estático lineal que se define, usted puede especificar una

combinación lineal de uno o más modelos de carga y/o carga de aceleración para ser

aplicada en el vector {R}. La mayoría de las veces, sin embargo, es deseable

resolver un solo patrón de carga en cada caso de carga estático lineal y combinar los

resultados posteriormente.

Análisis Modal.

Usted puede definir tantos casos de carga modales como desee, aunque para la

mayoría de los problemas, un caso es suficiente. Para cada caso de carga modal, se

puede escoger el análisis por Eigenvector o vectores de Ritz.

Análisis por Eigenvector.

El análisis por Eigenvector determina las frecuencias y los correspondientes modos

de oscilaciones libres no amortiguadas del sistema. Estos modos naturales

proporcionan una excelente visión del comportamiento de la estructura. Ellos también

pueden usarse como base para el análisis por espectro de respuesta, aunque se

recomiendan los vectores de Ritz para este fin.

El análisis de Eigenvector involucra la solución del problema de los valores propios:

, − 𝑀-* +

Donde [K] es la matriz rigidez, [M] es la matriz masa diagonal, , - es la matriz

diagonal de valores propios, y * + es la matriz de vectores propios correspondiente a

cada valor propio.

Cada par de valor propio y vector propio se denomina modo de vibración natural de

la estructura. Los modos se identifican por los números de 1 a n en el orden en que

los modos se encuentran por el programa.

El valor propio es el cuadrado de la frecuencia circular, , para ese modo. La

pág. 75

frecuencia natural o cíclica es f y el período es T, para cada modo y se relacionan

por:

1

2

1

2

Usted puede especificar el número de modos, n, a ser encontrados. El programa

buscará los n menores valores de frecuencias (los n valores mayores de período) de

los modos.

El número de modos realmente encontrados, n, está limitado por:

- El número de modos pedidos, n.

- El número de grados de libertad de las masas en el modelo.

Un grado de libertad de masa es cualquier grado de libertad activo que posee la

masa traslacional o momento de inercia de masa rotacional. La masa puede haber

sido asignado directamente al nudo o puede obtenerse de los elementos.

Solo los modos que realmente sean encontrados estarán disponibles para cualquier

proceso de análisis subsecuente de espectro de respuesta.

Análisis de los Vectores de Ritz.

La investigación ha indicado que las formas modales de oscilación libres no son la

mejor base para un análisis de superposición modal de estructuras sometidas a

cargas dinámicas. Se ha demostrado (Wilson, Yuan, y Dickens, 1982) que el análisis

dinámico basado en un conjunto especial de vectores de Ritz, dependientes de la

carga, conducen a resultados más precisos que el uso del mismo número de formas

modales naturales.

La razón por la que los vectores de Ritz conducen a excelentes resultados es que

ellos son generados teniendo en cuenta la distribución espacial de la carga dinámica,

considerando el uso directo de las formas modales naturales se desprecia esta

importante información.

La distribución espacial de los vectores de carga dinámicos sirve como un vector

inicial de carga para comenzar el procedimiento. El primer vector de Ritz es el vector

de desplazamientos estáticos que corresponde al vector de carga inicial. Los

vectores restantes son generados de una relación recurrencia en la cual la matriz

masa se multiplica por el vector de Ritz previamente obtenido y es usado como el

vector de carga para la próxima solución estática. Cada solución estática es llamada

un ciclo de generación.

Cuando la carga dinámica es elaborada de diversas distribuciones espaciales

independientes, cada uno de éstos puede servir como un vector de carga inicial para

generar un conjunto de vectores de Ritz. Cada ciclo de generación crea tantos

pág. 76

vectores de Ritz como vectores de carga iniciales existen. Si un vector de Ritz

generado es redundante o no excita ningún grado de libertad de masa, es

descartado y el vector de carga inicial correspondiente será eliminado de todos los

ciclos de generación subsecuentes.

Para el análisis sísmico, incluyendo el análisis de espectro de respuesta, usted debe

usar las tres cargas de aceleración como los vectores de carga inicial. Esto produce

mejores resultados del espectro de respuesta que los que resultan usando el mismo

número de modos del análisis por Eigenvector.

Se usan técnicas estándares de solución de valores propios para ortogonalizar el

conjunto de vectores de Ritz generados, resultando en un conjunto final de modos de

vectores de Ritz. Cada modo de los vectores de Ritz consiste en una forma modal y

una frecuencia. El conjunto completo de modos de vectores de Ritz puede ser usado

como una base para representar el desplazamiento dinámico de la estructura.

Una vez que la matriz rigidez es triangularizada solo es necesario resolver

estáticamente para un vector de carga para cada vector de Ritz requerido. Esto

resulta en un algoritmo extremadamente eficiente. El método también incluye

automáticamente las ventajas de las técnicas numéricas probadas de condensación

estática, reducción de Guyan y la corrección estática debido al truncamiento de los

modos superiores. El algoritmo es detallado en Wilson (1985).

Cuando un número suficiente de modos de vectores de Ritz han sido encontrados,

algunos de ellos pueden aproximarse a las formas modales naturales y sus

frecuencias. En general, sin embargo, los modos de vectores de Ritz no representan

las características intrínsecas de la estructura de la misma manera que lo hacen las

formas propias. Los modos de vectores de Ritz están comprometidos con los

vectores de cargas iniciales.

Usted puede especificar el número total de modos, n, a ser encontrados. El número

total de modos realmente encontrados, n, está limitado por:

- El número de modos pedidos, n.

- El número de grados de libertad de masa presentes en el modelo.

- El número de modos de oscilación libres o naturales que son excitados por

los vectores de carga iniciales (algunos modos naturales adicionales pueden

arrastrarse a causa de ruidos numéricos).

Un grado de libertad de masa es cualquier grado de libertad activo que posee la

masa traslacional o momento de inercia de masa rotacional. La masa puede haber

sido asignado directamente al nudo o puede obtenerse de los elementos.

Solo los modos que realmente sean encontrados estarán disponibles para cualquier

proceso de análisis subsecuente de espectro de respuesta.

pág. 77

Resultados del Análisis Modal.

Cada caso de carga modal resulta en un conjunto de formas y valores propios. Cada

modo consiste en una forma modal (deformada normalizada) y un conjunto de

propiedades modales. Éstos están disponibles para ser mostrados o impresos por la

interfaz gráfica de SAP2000. Esta información es la misma sin tener en cuenta si

usted usa Eigenvector o análisis de los vectores de Ritz, y se describen a

continuación:

Períodos y Frecuencias.

Las siguientes propiedades de tiempo son dadas para cada modo:

- El período, T, en unidades de tiempo.

- La frecuencia natural o cíclica, f, en unidades de ciclos por tiempo, ésta es el

inverso de T.

- La frecuencia circular, , en unidades de radianes por tiempo.

- Valor propio, , en las unidades de radianes cuadrados por tiempo cuadrado.

Rigidez y Masa Modal.

Para cada forma modal, solo los valores de las deflexiones relativas son importantes.

El escalado global es arbitrario. En SAP2000, las formas de los modos están cada

una normalizada, o escalada con respecto a la matriz masa tal que:

𝑀 𝑀 1

Esta cantidad es llamada la masa modal. Similarmente la rigidez modal es definida

como:

Sin tener en cuenta como están escalados los modos, la razón de rigidez modal a la

masa modal siempre ofrece el valor propio, es decir:

𝑀

Factores de Participación.

Los factores de participación modales son los productos de las tres cargas de

aceleración con las formas modales. Los factores de participación para el modo n

correspondiente a las cargas de aceleración en las direcciones globales X, Y, y Z se

dan por:

pág. 78

Donde es la forma modal y , y son las cargas de aceleración unitarias.

Estos factores son las cargas generalizadas que actúan en el modo debido a las

cargas de aceleración. Ellos están referidos al sistema de coordenadas globales.

Estos factores de participación indican cuan fuertemente es excitado cada modo por

la respectiva carga de aceleración.

Razón de Masa Participativa.

La razón de masa participativa para un modo proporciona una medida relativa de

cuán importante es el modo en el cálculo de la respuesta a la carga de aceleración

en cada una de las tres direcciones globales. Así, es útil para determinar la precisión

de análisis de espectro de respuesta.

La razón de masa participativa para el modo n correspondiente a la carga de

aceleración en las direcciones globales X, Y y Z están dadas por:

𝑝 ( )

𝑀

𝑝 ( )

𝑀

𝑝 ( )

𝑀

Donde , y son los factores de participación definidos en el tópico anterior y

𝑀 , 𝑀 y 𝑀 son las masas totales no restringidas que actúan en las direcciones

globales X, Y y Z. Las razones de masas participativas son expresadas en porciento.

Las sumas acumulativas de las razones de masas participativas de todos los modos,

hasta el modo n, se reportan, con los valores individuales para el modo n. Esto

proporciona una medida simple de cuántos modos son requeridos para lograr un

nivel dado de precisión para la carga de aceleración en la base del terreno.

Si todas las formas propias de la estructura están presentes, la razón de masa

participativa para cada una de las tres cargas de aceleración generalmente debe ser

100%. Sin embargo, éste puede no ser el caso en la presencia de ciertos tipos de

constricciones dónde las condiciones de simetría impiden a algunas de las masas

responder a las aceleraciones de traslación.

Análisis de Espectro de Respuesta.

Las ecuaciones de equilibrio dinámicas asociadas con la respuesta de una estructura

al movimiento de la base del terreno es dada dan por:

, -* ( )+ , -* ( )+ ,𝑀-* ( )+ ( ) ( ) ( )

pág. 79

Donde , - es la matriz rigidez, , - es la matriz amortiguamiento, ,𝑀- es la matriz

masa diagonal; * ( )+, * ( )+ y * ( )+ los vectores desplazamientos relativos,

velocidades, y aceleraciones con respecto a la base; , y son las cargas de

aceleración unitarias y ( ), ( ) y ( ) son las componentes de las

aceleraciones de la tierra uniforme.

El análisis de espectro de respuesta busca la respuesta máxima probable de estas

ecuaciones en lugar de la historia completa en el tiempo. La aceleración del

terremoto en cada dirección es dada como una curva de espectro de respuesta

digitalizada de pseudoaceleración espectral contra el período de la estructura.

Aunque pueden especificarse las aceleraciones en las tres direcciones, solo un

simple, resultado positivo es producido para cada magnitud de respuesta. Las

magnitudes de respuesta incluyen desplazamientos, fuerzas interiores y tensiones.

Cada uno de los resultados calculados representa una medida estadística de la

máxima magnitud probable para esa magnitud de respuesta. Puede esperarse que la

respuesta real esté dentro de un rango dado por este valor positivo y su opuesto

(negativo).

Ninguna correspondencia entre dos magnitudes de respuesta diferentes está

disponible. No hay información disponible acerca de cuándo este valor extremo

ocurre durante la carga sísmica, o acerca de lo que los valores de otras cantidades

de la respuesta que ocurren en ese instante.

El análisis de espectro de respuesta ha sido ejecutado usando la superposición

modal (Wilson y Abrocha, 1982). Se pueden haber calculado los modos usando el

análisis de Eigenvector o el análisis de los vectores de Ritz. Se recomiendan los

vectores de Ritz ya que ellos dan resultados más precisos para el mismo número de

modos considerados. Usted tiene que definir un caso de carga modal que calcula los

modos, y entonces se refiere a ese caso de carga modal en la definición del caso de

espectro de respuesta.

El espectro de respuesta puede considerar la respuesta rígida en las altas

frecuencias si es pedido y si se han calculado los modos apropiados. Cuando se

usan los modos del Eigenvector, usted debe pedir que esos vectores de corrección

estática se calculen. Esta información está automáticamente disponible en los modos

de Ritz generados para la aceleración del suelo. En cualquier caso, usted debe estar

seguro de tener los modos dinámicos suficientes por debajo de la frecuencia rígida

del movimiento del terreno.

Cualquier número de análisis de espectro de respuesta pueden ser definidos en un

modelo. Usted asigna una única etiqueta a cada caso de carga de espectro de

respuesta. Cada caso puede diferir en los espectros de aceleración aplicados, el

pág. 80

caso de carga modal que genera los modos y de la manera que se combinan los

resultados.


Cada caso de espectro de respuesta tiene su propio sistema de coordenadas locales

de espectro de respuesta que define las direcciones de carga de las aceleraciones

del terreno. Se denotan los ejes de este sistema local como 1, 2, y 3. Por defecto

éstos corresponden a las direcciones de los ejes globales X, Y, y Z, respectivamente.

Usted puede cambiar la orientación del sistema de coordenadas locales

especificando un ángulo de coordenada, ang (el valor predeterminado es el cero). El

eje local 3 siempre coincide con el eje global vertical Z. Los ejes locales 1 y 2

coinciden con los ejes X e Y si el ang del ángulo es cero. Por otra parte, el ang es el

ángulo en el plano horizontal que se forma entre el eje global X y el eje local 1

medido en sentido contrario a las agujas del reloj. Esto se ilustra en la figura 22.

Figura 22. Definición del sistema de coordenadas locales del espectro de respuesta.

Funciones de Espectro de Respuesta.

Una función de espectro de respuesta es una serie de pares ordenados digitalizados

de valor de período estructural y el valor correspondiente de pseudoaceleración

espectral. Usted puede definir cualquier cantidad de funciones, asignando una única

etiqueta a cada una. Usted puede escalar los valores de aceleración donde quiera

que sea usada la función.

Especifique los pares de valores de período y aceleración como:

, , , . . . ,

Donde (n + 1) es el número de pares de valores dados. Todos los valores de

pág. 81

aceleración para los valores de períodos tienen que ser mayores o iguales que cero.

Estos pares deben especificarse en orden creciente del período.

Curva de Espectro de Respuesta.

La curva del espectro de respuesta para una dirección dada es definida por los

puntos digitalizados de pseudoaceleración de respuesta espectral contra el período

de la estructura. La forma de la curva es dada especificando el nombre de una

función de espectro de respuesta.

Si no se especifica ninguna función, una función constante de valor de aceleración

unitaria es considerada para todos los valores de períodos estructurales evaluados.

La pseudoaceleración de respuesta espectral de la función puede escalarse por el

factor sf. Después de escalar los valores de aceleración, estos deben tener unidades

consistentes. Vea la figura 23.

La curva del espectro de respuesta escogida debe reflejar el amortiguamiento que

está presente en la estructura modelada. Note que el amortiguamiento es inherente a

la curva del espectro de respuesta en sí. Este no es afectado por el factor de

amortiguamiento, damp, usado para la CQC o el método de GMC de combinación

modal, aunque normalmente estos dos valores de amortiguamiento deben ser

iguales.

Si la curva del espectro de respuesta no se define sobre un rango de períodos

suficientemente grande para cubrir los modos calculados en el caso de carga modal,

la curva se extiende a períodos más grandes y más pequeños usando un valor

constante de aceleración igual al período definido más cercano.

pág. 82

Figura 23. Curva digitalizada de espectro de respuesta.

Combinación Modal.

Para una dirección dada de aceleración se calculan los máximos desplazamientos,

fuerzas interiores y tensiones a través de la estructura para cada uno de los modos

de oscilación considerados. Estos valores máximos modales se combinan para una

magnitud de respuesta dada para obtener un solo valor positivo, para la dirección

dada de la aceleración haciendo uso de uno de los métodos siguientes mostrados

más abajo. El método de combinación modal puede ser afectado por el factor de

amortiguamiento, damp, especificado para el caso de carga de espectro de

respuesta. Las curvas de espectro de respuesta dadas serán ajustadas, si es

necesario, para reflejar este valor de amortiguamiento.

Respuesta Periódica y Rígida.

Para todos los métodos de combinación modal, excepto el de Suma de Absolutos,

hay dos partes de la respuesta modal para una dirección dada de carga: periódica y

rígida. La distinción aquí es una propiedad de la carga, no de la estructura. Se

definen dos frecuencias, f1 y f2 las que definen la respuesta rígida que contiene el

movimiento del terreno, dónde 1 2.

Para los modos estructurales con frecuencias menores que f1 (períodos más largos),

la respuesta es totalmente periódica. Para los modos estructurales con las

pág. 83

frecuencias superiores a f2 (períodos más cortos), la respuesta es totalmente rígida.

Entre las frecuencias f1 y f2, la cantidad de respuesta periódica y rígida es

interpolada, como es descrito por Gupta (1990).

Las frecuencias f1 y f2 son propiedades de la entrada sísmica, no de la estructura.

Gupta define a f1 como:

1 2

Donde es la aceleración espectral máxima y es la velocidad espectral

máxima para el movimiento del suelo considerado. El valor predefinido para el f1 es

la unidad.

Gupta define a f2 como:

2 1

3 1

2

3

Donde es la frecuencia rígida de la entrada sísmica, es decir, es la frecuencia

superior para la cual la aceleración espectral es esencialmente constante e igual al

valor para el período en cero (frecuencia infinita). Otros han definido el f2 como:

2

Las reglas siguientes aplican al especificar f1 y f2:

- Si 2 , ninguna respuesta rígida es calculada y toda la respuesta es

periódica, sin considerar el valor especificado para f1.

- Por otra parte, la condición siguiente debe satisfacerse:

1 2.

Especificando 1 es igual a especificar que 1 2.

Para cualquier magnitud de respuesta dada (desplazamiento, tensión, fuerzas, etc.),

la respuesta periódica, Rp, se calcula por uno de los métodos de combinación modal

descritos abajo. La respuesta rígida, Rr, siempre se calcula como una suma

algebraica (totalmente correlacionada) de la respuesta de cada modo con la

frecuencia superior a f2 y una porción interpolada de la respuesta de cada modo

entre f1 y f2. La respuesta total, R, se obtiene por uno de lo siguiente dos métodos:

- SRSS: Recomendado por Gupta (1990) y NRC (2006) que asume que estas

dos partes son estadísticamente independientes:

√

- Suma de absolutos, por compatibilidad con métodos más antiguos:

| | | |

Note que la opción de usar el SRSS o la Suma de Absolutos para combinar la

respuesta periódica y rígida es independiente de la combinación modal o de los

métodos de combinación direccionales descritas más abajo.

pág. 84

Método CQC.

La técnica de la Combinación Cuadrática Completa para calcular la respuesta

periódica es descrita por Wilson, Der Kiureghian y Bayo (1981). Este es el método

predefinido como combinación modal.

El método de CQC tiene en cuenta el acoplamiento estadístico entre modos

cercanamente espaciados causados por el amortiguamiento modal. Si se

incrementan los amortiguamientos modales se incrementa el acoplamiento entre los

modos cercanamente espaciados. Si el amortiguamiento es el cero para todos los

modos, este método se degenera al método de SRSS.

Método GMC.

La técnica de la Combinación Modal General para calcular la respuesta periódica es

el procedimiento de combinación modal completa descrito por la ecuación 3.31 en

Gupta (1990). El método de GMC tiene en cuenta el acoplamiento estadístico de

entre los Modos cercanamente espaciados de manera semejante al método de

CQC, pero usa los coeficientes de correlación de Rosenblueth con el tiempo de

duración del movimiento fuerte del terremoto fijado como infinito. El resultado es

esencialmente idéntico al del método CQC.

Si se incrementan los amortiguamientos modales se incrementa el acoplamiento

entre los modos cercanamente espaciados. Si el amortiguamiento es el cero para

todos los modos, este método se degenera al método de SRSS.

Método SRSS.

Este método para calcular la respuesta periódica combina los resultados modales

tomando la raíz cuadrada de la suma de sus cuadrados. Este método no tiene en

cuenta ningún tipo de acoplamiento de los modos, sino asume que la respuesta de

los todos los modos es estadísticamente independiente.

Método de la Suma de los Absolutos.

Este método combina los resultados modales tomando la suma de sus valores

absolutos. Esencialmente se asume que todos los modos son puestos en

correlación total. Este método es normalmente híper conservador. La distinción

entre la respuesta periódica y rígida no es considerada por este método. Todos los

pág. 85

modos son tratados de igual manera.

NRC Método del 10 Porciento.

Esta técnica para calcular la respuesta periódica es el método del 10% de la Guía

de la Comisión Reguladora Nuclear de EE.UU. 1.92.

El método del 10% asume el acoplamiento total y positivo entre todos los modos

cuyas frecuencias difieren de cada otra en 10% o menos de la más pequeña de las

dos frecuencias. El amortiguamiento modal no afecta al acoplamiento.

NRC Método de la Doble Suma.

Esta técnica para calcular la respuesta periódica es el método de la Doble Suma de

la Guía de la Comisión Reguladora Nuclear de EE.UU. 1.92.

El método del Doble Suma asume un acoplamiento positivo entre todos los modos,

con coeficientes de correlación que dependen del amortiguamiento de una manera

similar a los métodos CQC y GMC y que también depende en la duración del

terremoto. Usted especifica esta duración como el parámetro td como parte de la

definición de los casos de carga.

Combinación Direccional.

Para cada magnitud de desplazamiento, fuerza, o de tensión en la estructura, la

combinación modal produce un solo resultado y positivo para cada dirección de

aceleración. Estos valores direccionales para una magnitud de respuesta dada son

combinados para producir un solo resultado positivo. Dos métodos están disponibles

para combinar la respuesta direccional, SRSS y Suma de Absolutos.

Método SRSS.

Este método combina la respuesta para las direcciones diferentes de carga tomando

la raíz cuadrada de la suma de sus cuadrados:

√

Donde ,

y son los valores de la combinación modal por cada dirección.

Este método es invariante con respecto al sistema de coordenadas, es decir, los

resultados no dependen de su opción del sistema de coordenadas cuando las

curvas de espectro de respuesta dadas son las mismas en cada dirección. Éste es

el método recomendado para la combinación direccional y es el método predefinido.

pág. 86

Método de la Suma de Absolutos.

Este método combina la respuesta para las direcciones diferentes de cargas

tomando la suma de sus valores absolutos. Un factor de escala, dirf, es considerado

para reducir la interacción entre las direcciones diferentes.

| | | | | |

Este método es usualmente híper conservativo.

Especificar 0 < dirf < 1 para combinar los resultados direccionales para la suma de

absolutos escalada. Aquí, los resultados direccionales se combinan tomando el

máximo, sobre todas las direcciones, de la suma de los valores absolutos de la

respuesta en una dirección más el valor dirf multiplicado por la respuesta en las

otras direcciones.

Por ejemplo, si el dirf = 0.3, la respuesta espectral, R, para un desplazamiento

dado, fuerza, o tensión será: ( , , )

Donde: .3( )

.3( )

.3( )

Y , y son los valores de la combinación modal para cada dirección. Este

método es invariante con respecto al sistema de coordenadas, es decir, los

resultados no dependen de su opción del sistema de coordenadas cuando las

curvas de espectros de respuesta dadas son las mismas en cada dirección. Éste es

el método recomendado para la combinación direccional y es el método predefinido.

Resultados del Análisis de Espectro de Respuesta.

Cierta información sobre cada caso de carga de espectro de respuesta está

disponible para ser impreso por la interfaz gráfica del SAP2000. Esta información se

describe en los subtópicos siguientes.

Amortiguamiento y Aceleraciones.

Se dan los amortiguamientos modales y las aceleraciones del terreno que actúan en

cada dirección para cada modo. El valor de amortiguamiento impreso para cada

modo es justamente el factor de amortiguamiento especificado para el caso de carga

(a menos que el amortiguamiento avanzado sea definido para el modelo en cuyo

caso será más grande).

Las aceleraciones impresas para cada modo son los valores reales obtenidos de la

interpolación del período modal en la curva del espectro de respuesta después de

pág. 87

escalarlo por el valor especificado de sf. Las aceleraciones siempre son referidas a

los ejes locales del análisis de espectro de respuesta. Ellos se identifican en la salida

como U1, U2, y U3.

Amplitudes Modales.

Las amplitudes modales del espectro de respuesta, que ofrecen los multiplicadores

de las formas modales que contribuyen a la forma desplazada de la estructura para

cada dirección de la carga de aceleración. Para un modo y una dirección de

aceleración dadas, éste es el producto del factor de la participación modal y la

aceleración del espectro de respuesta, dividido por el valor propio, , del modo.

Esta amplitud, multiplicada por cualquier magnitud de la respuesta modal

(desplazamiento, fuerza, tensión, etc.), da la contribución de ese modo al valor de la

misma magnitud de respuesta informada para el caso de carga de espectro de

respuesta.

Las direcciones de las aceleraciones siempre se dan en los ejes locales del análisis

de espectro de respuesta. Ellos se identifican en la salida U1, U2, y U3.

Reacciones en la Base.

Las reacciones en la base son las fuerzas y momentos totales respecto al origen

global requerido de los apoyos (restricciones y resortes) para resistir las fuerzas de

inercia debida a la carga del espectro de respuesta. Éstos están impresos para cada

modo individual después de ejecutar solamente la combinación direccional, y

entonces sumadas para todos los modos después de realizar la combinación modal y

la combinación direccional.

Las fuerzas y los momentos de reacción siempre se dan respecto a los ejes locales

del análisis del espectro de respuesta. Ellos se identifican en la salida como F1, F2,

F3, M1, M2, y M3.

pág. 88

Capítulo IX. Bibliografía.

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