Teora y clculo deTeora y clculo deestructurasestructurasMSA, una aplicacin para clculoestructural con PythonVigo, 25 de octubre de 2009. Espaa 2008, 2009 Jorge Rodrguez Arajogrrodri@gmail.comSe da permiso para copiar, distribuir y/o modificar este documento bajo los trminos de la licencia Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Spainndice 1.Clculo de estructuras..................................................................1 1.1Introduccin................................................................................................1 1.2Clculo........................................................................................................1 1.2.1 Clculo de reacciones........................................................................................2 1.2.2 Clculo de solicitaciones....................................................................................2 1.2.3 Clculo de desplazamientos y giros...................................................................2 1.3Resolucin de una estructura simple..........................................................2 1.4Clculo resistente........................................................................................4 1.4.1 Ejemplo..............................................................................................................5 1.5Esfuerzos trmicos......................................................................................6 1.6Pandeo........................................................................................................6 1.6.1 Clculo a pandeo...............................................................................................7 1.6.2 Longitud de pandeo...........................................................................................7 1.7Fatiga..........................................................................................................8 1.8Acciones en la edificacin...........................................................................8 2.Determinacin de desplazamientos y giros...............................10 2.1Teoremas de Mohr.....................................................................................10 2.1.1 Determinacin de giros y desplazamientos relativos.......................................10 2.1.2 Determinacin de giros y desplazamientos absolutos.....................................11 2.2Teorema de Castigliano.............................................................................13 2.2.1 Mtodo de la accin unidad.............................................................................13 2.3Potencial interno.......................................................................................13 2.4Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti...............................................14 3.Prtico simtrico.........................................................................16 3.1Clculo de acciones...................................................................................17 3.2Clculo de correas de cubierta..................................................................18 4.Estructuras reticuladas...............................................................19 4.1Introduccin..............................................................................................19 4.2Ejemplo.....................................................................................................19 4.3Principio de los trabajos virtuales..............................................................20 4.3.1 Aplicacin del P.T.V. al clculo de desplazamientos.........................................21 5.Mtodo de la rigidez...................................................................22 5.1Introduccin..............................................................................................22 5.2Mtodo......................................................................................................22 5.2.1 Descripcin estructural....................................................................................22 5.2.2 Matriz de rigidez de barra y vector de cargas nodales equivalente.................23 5.2.2.1 Matriz de rigidez de barra.......................................................................................23 5.2.2.2 Vector de cargas nodales........................................................................................23 5.2.2.3 Matriz de rotacin...................................................................................................23 5.2.3 Matriz de rigidez global y vector de cargas global de la estructura.................24 5.2.3.1 Matriz de rigidez de la estructura............................................................................24 5.2.3.2 Vector de cargas de la estructura...........................................................................24i 5.2.4 Introduccin de las condiciones de contorno...................................................24 5.2.5 Solucin del sistema de ecuaciones.................................................................24 5.2.6 Clculo de solicitaciones en los extremos de barras y reacciones...................24 5.2.7 Comprobacin del equilibrio............................................................................25 5.2.7.1 Equilibrio global......................................................................................................25 5.2.7.2 Equilibrio local.........................................................................................................25 5.3Barra con carga uniformemente distribuida..............................................25 5.3.1 Reacciones de empotramiento perfecto..........................................................25 5.3.2 Diagramas de esfuerzos..................................................................................26 5.3.3 Deformada.......................................................................................................26 5.4Comprobaciones.......................................................................................27 5.4.1 Comprobacin a resistencia.............................................................................27 5.4.2 Comprobacin a deformacin..........................................................................27 5.4.3 Comprobacin a pandeo..................................................................................28 5.5Implementacin (MSA)..............................................................................28 5.6Ejemplo.....................................................................................................29 5.6.1 Definicin del problema...................................................................................29 5.6.2 Solucin...........................................................................................................30 6.Clculo de una marquesina........................................................34 6.1Introduccin..............................................................................................34 6.1.1 Parametrizacin...............................................................................................34 6.1.2 Hiptesis de carga...........................................................................................34 6.2Clculo de reacciones...............................................................................35 6.2.1 Peso propio......................................................................................................35 6.2.2 Carga de viento...............................................................................................36 6.3Clculo de solicitaciones...........................................................................36 6.3.1 Diagramas de esfuerzos..................................................................................37 6.4Clculo resistente......................................................................................37 6.4.1 Clculo de la viga.............................................................................................37 6.4.2 Clculo del pilar...............................................................................................38 6.5Clculo de desplazamientos......................................................................38 6.6Placas de anclaje.......................................................................................39 6.6.1 Dimensionado de la placa................................................................................40 6.7Referencias...............................................................................................41 7.Anexo.........................................................................................42 7.1Principales materiales estructurales.........................................................42 7.2Propiedades mecnicas de los materiales elsticos..................................43 7.3Parmetros elsticos del material.............................................................44 7.4Otras caractersticas de los materiales.....................................................45 7.5Momentos de inercia.................................................................................45 7.6Forjados....................................................................................................46 7.7Cimentaciones...........................................................................................46 7.8Pasos para la ejecucin de una edificacin...............................................47 7.9Matriz de rigidez local 3D..........................................................................48iiClculo de estructuras 1.Clculo de estructuras 1.1IntroduccinUnaestructuraes unconjuntomecnicoencargadodesoportar ytransmitir undeterminado nmero de cargas hasta la cimentacin, donde sern absorbidas por el terreno.Paraello, laestructuraseencuentraconstituidaporunasseriedebarrasenlazadasentresipor medio de nudos. Estos nudos pueden ser articulados o rgidos segn permitan o no el giro entre barras en el puntodondeconfluyen. Si los nudos sonrgidos los ngulos entrebarrastras ladeformacinse conservarnylaflechaserpequea, mientrasquesi sonarticuladosnotransmitirnlosmomentos flectores dado que su giro ser libre.El conjuntoestructural bsicoes el prtico, queseencuentraconstituidopor dos elementos sustentadores verticales (pilares o columnas) sobre los que se apoya otro horizontal (viga o dintel) sobre elqueactanlascargasverticalesprovenientesdelforjadoodelacubiertaquesostiene. Adems, los prticos suelen recibir cargas horizontales debidas a la accin del viento.Mientrasqueel forjadoesel elementoencargadoderepartirlascargasal restodeelementos estructurales, la cubierta y dems cerramientos constituyen la envolvente del edificio, siendo su funcin la de resguardar el espacio interior a la edificacin.En las edificaciones tipo nave industrial, la envolvente del edificio suele estar compuesta en su gran mayora por panel de chapa tipo sndwich, donde una serie de ondulaciones (grecas) la dan rigidez. Estos paneles se apoyan en los prticos por medio de una serie de correas, normalmente de acero conformado enfro, quecomoelementosestructuralestransversalesalprticosonlosencargadosdesoportarlos cerramientos y transmitir su carga.Las vigas y los pilares son los principales elementos estructurales, y mientras la funcionalidad del primero es ofrecer resistencia a la flexin, la del segundo es ofrecerla a compresin.Lasvigassongeneralmenteprismticas, enel casodeserdehormign, ysusdimensionesse conocen como luz o largo para la dimensin principal, y base y canto para las de la seccin, siendo la base la longitud que define la superficie de apoyo. Cuando son de acero, presentan diferentes perfiles, como los que presentan forma de I o H, donde se busca maximizar el momento de inercia de la seccin al alejar de la lnea neutra las dos alas que se unen por medio de un alma. 1.2ClculoEl clculodeunaestructurasepuedereducir, deformagenrica, alos siguientes tres pasos fundamentales: clculo de reacciones, clculo de momentos y clculo de desplazamientos y giros.1Clculo de estructuras 1.2.1 Clculo de reaccionesPara el clculo de reacciones se plantean las ecuaciones de la esttica ( F=0 , M=0 ), y se resuelven las incgnitas.Cuando existan uniones articuladas, dado que permiten libremente el giro entre las dos secciones que unen, se tiene que la suma de momentos vista a cada uno de los lados ha de ser nula, lo que aadir una nueva ecuacin al sistema.Cuando la estructura es hiperesttica, o sea, el nmero de incgnitas es mayor que el de ecuaciones ( GH=I E>0 ), sesustituyenlasligadurasnecesariasporlasreaccionescorrespondienteshasta que el sistema sea isosttico, y se igualan sus desplazamientos a cero.Tipos de apoyosApoyo articulado mvilPermite desplazamiento y giro Apoyo articulado fijo Permite giro EmpotramientoNo permite ningn desplazamiento 1.2.2 Clculo de solicitacionesPornormageneral, losdesplazamientosygirosdebidosa esfuerzos normalesycortantesserndespreciablesfrentealos producidos por flexin o torsin, de tal modo que se puede reducir el problema al clculo de los momentos.Para ello, se secciona la estructura por cada unode los tramosenquenoexistencambiosenlosestadosdecargayse calculanlosesfuerzosnormales, cortantes, flectoresytorsoresen cada una de las secciones segn el criterio de signos adoptado. 1.2.3 Clculo de desplazamientos y girosPara el clculo de los desplazamientos se aplican principalmente los teoremas de Mohr y Castigliano, explicados ms adelante. 1.3Resolucin de una estructura simpleCalcular el desplazamiento y el giro en D para la estructura de la figura.2Ejes globalesXYZSi existe una carga aplicada sobre una rtula, se divide la estructura en dos y se suponen aplicadas en cada parte de la estructura dos cargas que sumarn finalmente la carga aplicada y cuyos desplazamientos sern iguales en ambas partes.Clculo de estructurasDadoqueenunaarticulacinel momentoesnulo, de modo que en ella slo pueden aparecer los esfuerzos normal y cortante, dividimoslaestructuraporlasrtulas, detal modo que:Dado que no existen cargas horizontales no existirn esfuerzos normales, y dado que la carga est centrada, ambas reacciones sern verticales e iguales de valor P.Ahora se pueden representar los tramos AC y EG, de tal modo que:KB=3 E ILKF=4 E ILLa rigidez al giro de una barra relaciona el momento ejercido en un extremo con el giro efectuado, de tal modo queK=Mu. Sabiendo que para barras empotradasK=4EI zL, y para barras con 3A BCL LEFGL L2PLDLCriterio de signosN>0V>0Mf>0Mt>02PDC ERC=P RE=PMf+PLA BCPL LMf-PLEFGPL LMf+-PLPL/2Clculo de estructurasapoyo articuladoK=3EIzL, se puede utilizar para determinar el giro en el extremo de una barra.Cuandoenundeterminadopuntoconfluyenmsdedosbarras, seutilizanloscoeficientesde reparto ( Cr) para determinar que parte del momento total aplicado sobre el nudo es absorbido por cada una de las barras que concurren en el, de modo que:Cr=KbarraK=MbarraMSiendo ( K ) la suma de las rigideces de las barras que concurren en un nudo (rigidez del nudo), dado que todos los extremos de barra que confluyen en un nudo rgido giran el mismo ngulo. 1.4Clculo resistenteCada solicitacin produce un determinado esfuerzo normal o cortante que debe ser absorbido de forma elstica por el material, de modo que la mxima tensin que debe soportar ser la causada por la suma de los esfuerzos debidos a cada una de las solicitaciones.Solicitaciones Tensiones generadasNTraccin / Compresin c=NS =Ee(Ley de Hooke)VCortadura t=VM eBIzM FFlexin c=M FyIz (Ecuacin de Navier)MTTorsin(barras cilndricas)t=MTrI p (Teora elemental de Coulomb)Tabla 1: Esfuerzos producidos por cada una de las solicitacionesEnlaecuacindeNavier, dadoque y esladistanciaalalneaneutra, el esfuerzonormal mximo se producir en las zonas ms alejadas del centro de gravedad de la seccin, motivo por el cual los perfileslaminadosempleadosenestructurasmetlicastienenesaformaenlaquealejandelcentrola mayor cantidad posible de material.Comoesadistanciaesunacaractersticageomtricadelaseccin, al igual queel momentode inercia, se caracteriza cada barra por medio de su mdulo resistente: W z= Izymax4Clculo de estructurasTeniendo en cuenta que normalmente los esfuezos debidos al cortanteserndespreciables, frente a los del normal y los del momento flector, se tiene que el material debe verificar:NS +M FW z cadmAs, elesfuerzonormal mximosedardondelasumadelastensionesdebidasalnormal yal flector sea mxima, teniendo en cuenta los sentidos de las tensiones generadas segn sean de traccin o compresin.Dadoqueenel estudioresistentedelos materiales seconsideraquesonhomogneos, para garantizar su resistencia en la prctica, hay que considerar un coeficiente de seguridad (y ) sobre su resistencia caracterstica ( f k), tenindose que la tensin admisible (cadm) vendr dada por:cadm= f kySiendo para el aceroys=1,15 , y para el hormignyc=1,5 . 1.4.1 EjemploDeterminar el perfil IPE necesario para que la viga de la figura, cuyas longitudes LAB y LBC son 4 y 1 metros respectivamente, verifique la condicin de resistencia cuando la carga P es de 5000 kg, siendo la tensin admisible (cadm = 1600 kg/cm2).6B=0RBLAB33 E I =PLBCLAB22 E I+PLAB33 E I 2 RBLAB3=3 P LBCLAB2+2 PLAB3 RB=3 PLBC+2PLAB2 LAB= 6875 kg5LBCLABA B CPEl estudio de los esfuerzos y la determinacin de aquellos que sean mximos es lo que justifica la determinacin de los diagramas de solicitaciones.Clculo de estructurasCondicin de resistencia IPE 330 cmax=M maxW z cadmcmax= 7,01 kg/mm2tmax=VmaxA cadm.3 tmax= 2,46 kg/mm2 1.5Esfuerzos trmicosUn elemento se encontrar sometido a esfuerzos trmicos cuando sufra contracciones o dilataciones por efecto de la variacin de la temperatura y estas se encuentren impedidas.Un caso habitual es en el que la temperatura provoca variaciones lineales de la longitud en funcin de la variacin de la temperatura, de modo que:Lf=Li1+oAT )dondeoes el coeficiente de dilatacin lineal trmica.Debido a esta dilatacin se producir en la barra una tensin normal de valor:c=oATE 1.6PandeoCuando un elemento esbelto se encuentra sometido a compresin, tpicamente pilares metlicos, se puede producir el fenmeno conocido como pandeo.6LBCLABA B CPRBMf5000 kgm2500 kgm-+Clculo de estructurasEl pandeo es la prdida de equilibrio que experimenta una barra prismtica de cuerpo elstico sometida a compresin axial. Cuando dicha barra es suficientemente esbelta (larga y delgada), y la carga sobrepasa un cierto valor denominado carga crtica, la barra pasa a estar enequilibrio inestable, lo que significa que la ms mnima alteracin (que siempre existe) provoca el agotamiento de la barra sin un nuevo incremento de la carga.Demodoquelacargacrticaodepandeo representa el menor valor de la carga de compresin que provoca que la barra pase del equilibrio estable al inestable, pudiendo ceder ancuandola tensinenel material nosupere el lmite elstico de compresin. 1.6.1 Clculo a pandeoLa carga crtica ( Ncr) se determina a partir de la expresin de la carga crtica de Euler (caso fundamental), conociendo lalongitud depandeo( Lp), dado queesla longitudequivalente a laque tendra en el caso fundamental.Ncr=n2EIminLp2 dondeImin es el momento de inercia mnimo de la seccin.Por medio del clculo de la esbeltez (\ ) se verifica que se puede aplicar la ecuacin de Euler (\>105 ) y se establece el coeficiente de seguridad a pandeo ( Csp=3,5 ).\= Lprgmin donde rgmin=.IminS es el radio de giro mnimo de la seccin.As, la tensin crtica se define como :ccr=NcrS =n2E\2 1.6.2 Longitud de pandeoSedenominalongituddepandeoaaquellaequivalentealadeunabarrabiarticuladasometidaaun esfuerzo normal de compresin que tenga la misma carga crtica que la considerada.As, la longitud de pandeo ( Lk) viene dada por el coeficiente de pandeo ( ) segn la longitud 7Existen tres tipos de equilibrio a los que puede estar sometido un cuerpo:- Equilibrio estable: cuando se separa el cuerpo de su posicin de equilibrio de forma infinitesimal este retorna a su antigua posicin.(esfera sobre superficie cncava)- Equilibrio indiferente: cuando se separa el cuerpo de su posicin de equilibrio de forma infinitesimal este permanece en su nueva posicin. (esfera sobre superficie plana)- Equilibrio inestable: cuando se separa el cuerpo de su posicin de equilibrio de forma infinitesimal este se aleja ms de su posicin inicial. (esfera sobre superficie convexa)Clculo de estructurasreal de la barra ( L ), de tal modo que:Lk=LEnel casode piezas de seccinconstante sometidas a compresin centrada, se tiene que: Barra biarticulada:=1 Barra biempotrada:=0,5 Barra empotrada- articulada:=0,7 Barra empotrada-libre:=2 1.7FatigaCuando un material se ve sometido a cargas alternantes, que provocan esfuerzos variables de forma continuada, se pude producir su rotura aunque en ningn caso se haya sobrepasado su lmite resistente.A este fenmeno en el que un material dctil sufre una rotura repentina y sin deformacin plstica (frgil) por debajo de su resistencia, o incluso de su lmite elstico, se lo conoce como rotura por fatiga.Para el acero se ha comprobado que existe una tensin por debajo de la cual el material no sufre la rotura por fatiga. A esta tensin se la denomina lmite de fatiga (ce) y consideraremos que su valor admisible vendr dado por:ce , ad=ceC siendoce=cR2, ycR la tensin de rotura. 1.8Acciones en la edificacinLas acciones que pueden aparecer sobre una edificacin se dividen en tres grupos: Acciones permanentes (G) Acciones variables (Q) Acciones accidentales (A)Y quedan recogidos en el documento bsico, DB SE-AE, del Cdigo Tcnico de la Edificacin.Acciones permanentes (G)Acciones que siempre se encuentran presentes.Peso propioAcciones debidas al propio peso de las edificaciones y a aquellas cargas cuyo carcter sea permanente, como en el caso de determinados equipos industriales de ubicacin fija.Acciones variables (Q)Acciones que por su carcter no son permanentes.8L = 1 = 2 = 0,5 = 0,7Clculo de estructurasSobrecarga de usoAcciones climticasViento Las acciones de viento se contemplan como fuerzas perpendiculares a la superficie expuesta y vienen determinadas por la presin dinmica del viento (funcin del emplazamiento geogrfico de la obra), por un coeficiente de exposicin (funcin de la altura del punto considerado y del grado de aspereza del entorno) y por un coeficiente elico de presin (funcin de la forma y orientacin de la superficie).En construcciones difanas sin forjados intermedios (naves) hay que considerar la superficie de huecos que presentan los cerramientos dado que pueden dar lugar a succiones en el interior.Nieve Dependen de la ubicacin geogrfica y de la altitud, y de un coeficiente de forma de la cubierta que determina la acumulacin de nieve.Trmicas Acciones debidas a las tensiones que provocan, cuando se encuentran impedidas, las dilataciones y contracciones causadas por las variaciones trmicas.Tanto en estructuras metlicas como de hormign no se contemplan mientras no existan elementos continuos de ms de ms de 40 m de longitud, en cuyo caso, para evitar su aparicin, se colocan juntas de dilatacin.Acciones accidentales (A)Acciones cuyo carcter es fortuito y eventual.SismoLas acciones debidas a movimientos ssmicos son contempladas por la Norma de construccin sismorresistente (NCSE).IncendioLas acciones producidas por un incendio son contempladas por el documento bsico de seguridad en caso de incendio (DB-SI).ImpactoSon cargas impulsivas (de aplicacin instantnea) producidas, normalmente, por la colisin de un vehculo, tpicamente, en garajes y naves.El anlisis del problema de impacto suele reducirse a la determinacin de la carga esttica equivalente, o sea, aquella que aplicada sobre la estructura provocara la misma deformacin que la de impacto.A partir de las diferentes acciones posibles, se generan una serie de hiptesis de clculo, por medio desumasponderadassegnel tipodeaccinyefecto, favorableodesfavorable, queservirnparael correcto diseo y dimensionado de la estructura.9Determinacin de desplazamientos y giros 2.Determinacin de desplazamientos y girosHayquetenerpresentequeunafuerzaproduceundesplazamientolinealensumismosentido, mientrasqueunmomentocausaungiro.As, ladeformacin6kseraquellacorrespondienteala accin exteriorFk, de modo que si se trata de una fuerza (P) es un desplazamiento (6), y si se trata de un momento (M) es un giro (u). 2.1Teoremas de Mohr 2.1.1 Determinacin de giros y desplazamientos relativosPrimer teorema de Mohr: El ngulo relativo girado entre dos secciones de una viga es igual al rea del diagrama de momentos flectores comprendido entre ambas secciones, dividido por la rigidez a flexin ( E Iz).uAB=ABM FE Iz dxSegundo teorema de Mohr: El desplazamiento sufrido por una seccin con respecto a la tangente enunpuntodelaviga esigualalreadeldiagramademomentosflectorescomprendidoentreambos puntos por la distancia desde su centro de gravedad al punto del que se quiere calcular su desplazamiento relativo,dividido por la rigidez a flexin.6B-tA=ABxB M FE Iz dxEJEMPLO: Determinarel desplazamientoyel giroenAdelavigaempotradaenvoladizoque presenta una carga vertical uniformemente repartida de valor q. M f=qxx210Ambos teoremas son aplicables a torsin sin ms que utilizar momentos torsores ( MT) y la rigidez a torsin ( G I p).LA BqxADeterminacin de desplazamientos y girosuA=0Lqx22 E I dx= qL36 E I6A=0Lqx22 E Ix dx=qL48E I EJEMPLO: Determinar el desplazamiento en B y el giro en A.Esta estructura puede ser descompuesta en dos, sabiendo que por el principio de superposicin, los efectos de las cargas combinadas son iguales a la suma de los efectos de las cargas aisladas. As:Partiendo del diagrama de momentos y por medio de la aplicacin del primer y del segundo teorema de Mohr se obtienen cada uno de los desplazamientos, que combinados, compondrn los de la estructura inicial. 2.1.2 Determinacin de giros y desplazamientos absolutosLa determinacin de los desplazamiento y/o giros absolutos por medio del tercer y cuarto teorema de Mohr requiere la aplicacin del teorema de la viga conjugada.Dadaunaviga, alaquellamaremosprimitiva, definimoslavigaconjugadadelaprimeracomo aquella de la misma longitud que la primitiva, cuya nica carga sea repartida de valor en cada seccin igual al momento flector dividido por la rigidez ( EIz), en la correspondiente seccin de la primitiva.Adems, la viga conjugada debe cumplir las siguientes condiciones de sustentacin:a) Cuando los extremos de la viga primitiva estn apoyados mediante articulaciones, los extremos de la conjugada deben estarlo de igual forma.b) Si unextremodelavigaprimitivaestvolado, el correspondienteextremodela conjugada debe estar empotrado, y viceversa.c) Los apoyos en puntos intermedios de la viga primitiva deben sustituirse por 11PABCL LMA BPC(II)Mf-PLMf- M(I)A BC M+Determinacin de desplazamientos y girosarticulaciones en las correspondientes secciones de la conjugada, y viceversa.Tercer teorema de Mohr: El ngulo girado por una seccin de la viga primitiva es igual al esfuerzo cortante en la correspondiente seccin de la viga conjugada, y su sentido de giro es dextrgiro cuando el esfuerzo cortante en la seccin de la viga conjugada es positivo.Cuarto teorema de Mohr: La flecha de una seccin de la viga primitiva es igual al momento flector en la correspondiente seccin de la viga conjugada, y su sentido es hacia abajo cuando el momento flector en la seccin de la viga conjugada es positivo.EJEMPLO: Determinar el giro de A por el tercer teorema de Mohr.Se calculan las reacciones en Ay By se obtiene el diagrama de momentos flectores que proporcionar la carga a la que se encontrar sometida la viga conjugada.

M f=MLxMSe representa la viga conjugada con su carga correspondiente para poder aplicar el tercer teorema de Mohr.Calculandolareaccinvertical enAseobtieneel valor del giroaizquierdas queprovocael momento M.12MLA BM/LMf-MM A BM/LM/EIML/2EI2L/3 L/3Determinacin de desplazamientos y girosDe modo que: uA= M L3 E I 2.2Teorema de CastiglianoEl teorema de Castigliano permite determinar el desplazamiento en una seccin determinada, dado que vendr dado por la derivada parcial de la energa interna del sistema con respecto a la accin causante del desplazamiento en dicha seccin.6k= UFk 2.2.1 Mtodo de la accin unidadLa formadeaplicarel teoremade Castigliano espormedio de las integrales deMohr, lascuales simplifican enormemente los clculos. As:1. Si no existe una carga donde se quiere calcular el desplazamiento correspondiente, se supone y al final se iguala a cero.2. Secalculanlas solicitaciones, teniendoencuentaque normalmente bastar concalcular el momento flector, dado que el normal y el cortante suelen ser despreciables.3. Se derivan respecto a la carga, de tal modo que:N1= NFkM F1= MFFk MT1= MT Fk4. Se calculan las integrales de Mohr extendidas a toda la estructura, lo que nos dar la deformacin producida por cada solicitacin.6N=LNN1SE dx 6M F=LM FM F1EIzdx 6MT=L f t MTMT1GI pdxNOTA: Cuando la accin del punto de desplazamiento tiene la misma designacin simblica que alguna otra carga, habr que cambirsela para poder realizar la derivacin, as como asignrsela si viene dada por un valor numrico. 2.3Potencial internoCuando un cuerpo es sometido a deformacin se generan unas fuerzas internas que producirn un trabajo conocido como energa de deformacin o energa interna. Esta energa vendr dada por la suma de los trabajos directos e indirectos del sistema.El trabajo directo es aquel que viene dado por la ecuacin de Clapeyron:13Determinacin de desplazamientos y girosWii=12 Pi6iY el trabajo indirecto o mutuo: Wij=Pi6ijP j, donde por el teorema de Betti se sabe que los trabajos indirectos recprocos son iguales, o seaWij=W jii j .Por ejemplo, para un sistema cargado con una fuerza y un momento:U=12 P 6A+12 MuB=12 P26AA+12 M26BB+PM6ABComo el potencial interno no es funcin lineal de las acciones, no es aplicable el principio de superposicin a la energa interna. Sin embargo, la energa interna puede ser determinada por medio de la suma de las energas de deformacin debidas a cada una de las solicitaciones, cuyas expresiones son:UN=LN22ES dx UM F=LM F22EIz dxUV=L f cV22GS dx UM T=L f tMT22GI p dxDe modo que finalmente tendremos que la energa total del sistema vendr dada por la suma de las producidas por cada solicitacin.UTOTAL=U N+UV+U M F+U MTComolasenergasdetraccinycortadurasuelenserdespreciablescuandocoexistenconlasde flexin y torsin, el problema se reducir a la determinacin de la energa interna debida a flexin. 2.4Teorema de reciprocidad de Maxwell-BettiEl clculodedesplazamientosporMaxell-Betti consisteenestablecerdossistemasdeacciones distintas para una misma estructura, de tal modo que la suma de los productos de las acciones de uno de los sistemas por los correspondientes desplazamientos en el otro, es igual a la suma de productos de los desplazamientos en el primero por las correspondientes acciones del segundo.Fi I )6i II )=F j II )6j I )As:1. Se establece una accin para el sistema de cargas (II) en el punto donde se quiere calcular el desplazamiento.2. Se calculan los desplazamientos sobre el sistema de cargas (II) en todos aquellos puntos donde 14Determinacin de desplazamientos y girosexisten cargas aplicadas en el sistema (I).3. Se aplica Maxwell-Betti y se despeja el desplazamiento buscado.EJEMPLO: Determinar el desplazamiento de B en el sistema I aplicando el teorema de Betti.Se parte del sistema I y se define el sistema II para determinar el desplazamiento.De este modo:MuA II )=P6B I )Como por el primer teorema de Mohr tenemos que el giro de A en el sistema II a derechas vale: uA II )=PLL/ 26B I )=M L22Que como tiene signo menos, significa que el desplazamiento ser hacia arriba.15A BPCL LA BCL LM(I) (II)A BPC(II)Mf-PLPrtico simtrico 3.Prtico simtricoUnodelosconjuntosestructuralesmsrecurrido, enlasedificacionesindustriales, eselprtico rgido biempotrado a dos aguas. Este tipo de estructura consta de dos pilares empotrados a la cimentacin y a los que se encuentra rgidamente unido el dintel.Cuando el prtico es metlico es necesaria la comprobacin a pandeo, pero en el plano perpendicular al mismo, el pandeo se encontrar impedido gracias a la accin de arriostramiento de las correas y del muro de cerramiento perimetral.Esteconjuntopresentalaparticularidaddesersimtrico, tantodematerial, comodegeometra, como de condiciones de sustentacin, de modo que su resolucin terica se simplifica notablemente.Cuandounaestructuraessimtricapuedeserdescompuestaendos, cuyasumaserigual ala primera. Una con un estado de cargas simtrico y la otra con uno antisimtrico (las cargas a un lado del eje de simetra son de sentidos contrarios a los que le corresponderan si fuesen simtricas).La simplificacin que conlleva la descomposicin del problema en dos, viene de que, en la seccin situada en el plano de simetra,en la parte simtrica el desplazamiento horizontal, el giro y el esfuerzo cortante sonnulos (H= = V = 0),mientrasqueenla parte antisimtricalo sonel desplazamiento vertical, el esfuerzo normal y el momento flector (V = N = Mf = 0).Alaestructuraconcargasimtricaseladenominatambincomonotraslacional, dadoquesus 16Ilustracin 1: Prtico rgidoAB CED1565ABMCEDM = 0H = 0V = 0SimtricoABMCEDMV = 0N = 0Mf = 0Antisimtrico+Prtico simtriconudos no sufren desplazamiento lineal si slo se tiene en cuenta la flexin. 3.1Clculo de accionesUnanaveindustrialde15x30m2presentaunaestructuraconstituidaporprticosrgidosados aguas de 5 m de pilar y 6 metros de altura a cumbrera, con una separacin entre los mismos de 5 m. La cubierta se encuentra constituida por panel grecado tipo sandwich, que se apoya en la estructura a travs de una serie de correas de perfil en Z que se encuentran separadas 1,5 m. Esta edificacin presentara una serie de acciones que para el clculo estructural se consideran como cargas uniformemente repartidas y directamente aplicadas sobre el prtico. ACCIONESAcciones permanentes (G)Peso propio (G)- Peso de los paneles- Peso de las correasAcciones variables (Q)Sobrecarga de uso (Q1) - Sobre carga de mantenimientoViento (Q2)Nieve (Q3)Paraelclculodelasobrecargadeuso, dadoquelacubiertasloesaccesibleparapersonalde mantenimiento, segn CTE (DB-SE AE), la sobrecarga puntual de uso para cubiertas ligeras sin forjado y accesibles nicamente para conservacin es de 1 kN.Para convertir la carga puntual en distribuida se aplica un criterio de resistencia, de modo que el momento mximo producido por la carga aplicada en el punto medio del vano sobre una correa debe ser igual al producido por la carga distribuida equivalente.Momento mximo(se produce en el centro x = L/2)Viga biarticulada con carga puntual en el centroMc=PL4Viga biarticulada con carga uniformemente repartidaMc=qL2817LA BPLA BqPrtico simtricoAs, la carga distribuida que genera el mismo momento mximo que una puntual ( P = 100 kg) viene dada porq=2PL, de tal modo que paraL = 5 m:q = 40 kg/mFinalmente, como la distancia entre correas ( d ) ser de 1,5 m y la carga es absorbida por una nica correa (qd), tendremos una sobrecarga superficial de 26,67 kg/m2. 3.2Clculo de correas de cubiertaLas correas son los elementos resistentes cuya misin es soportar el peso de los cerramientos, en particular, el peso de la cubierta. Para ello se apoyan sobre los dinteles constituyendo vigas continuas que actuarn como soporte del faldn del tejado cuando la cubierta es inclinada.En este caso, el momento flector no coincide con ninguno de los ejes principales de inercia del perfil, con lo que se trata de un caso de flexin desviada, y por tanto, habr que resolverlo por superposicin.

De este modo, se tiene que la tensin mxima que debe soportar una correa de cubierta viene dada por la suma de las tensiones producidas por las acciones descompuestas segn los ejes del perfil.M zW z+M yW ycadm [flexin desviada]Una viga que cubre tres o ms vanos, o sea, que tiene ms de tres apoyos, se la conoce como viga continua, y su principal ventaja reside en que presenta una menor flexin, y por tanto una menor flecha, aunque es muy sensible a los asientos diferenciales.Mmax=qL21018LqL Lyqzqqz = qsen qy = qcos Estructuras reticuladas 4.Estructuras reticuladas 4.1IntroduccinLas estructuras reticuladas o reticulares son aquellas que se encuentran constituidas por entramados de barras unidos por nudos articulados. Debido a esto, si slo existen cargas sobre los nudos, las barras se encontrarn sometidas nicamente a esfuerzos normales, o sea, slo trabajarn a traccin o a compresin. Dadoquemientrasqueconunnudorgidotodaslasbarrasqueconfluyenenlsufrirn desplazamientosygiros iguales, connudos articulados los girossernlibres, loqueimplicaqueel momento flector en la misma sea nulo, y por tanto no se transmitir.Para la resolucin de una estructura reticulada todas lascargasdebenestaraplicadasenlosnudos, paradeese modo considerar que todas las barras se encuentran sometidasatraccin, siendoel signoel queindiquesi se trata de un esfuerzo de traccin (+) o de compresin (-). As, cuando alguna barra se encuentre cargada, para resolver la estructura, se trasladar la carga a la correspondiente sobre los nudos, y cuando sea el momento de resolver el desplazamiento o el giro de la barra cargada se tendrn en cuentalos momentos flectores queaparecensobredicha barra por el hecho de encontrarse cargada. Adems, recordarquecuandolabarraestsometidaatraccin, el nudo lo est a compresin, y viceversa.Si la estructura es hiperesttica interiormente ( GH=3+b 2n > 0, dondebes el nmero de barras ynel de nudos), para su resolucin hay que eliminar un nmero de barra igual aGHy sustituirlas por las fuerzas que ejerceran, fijando las condiciones que imponan sus coacciones. 4.2EjemploDeterminar los esfuerzos normales en las barras, cuando la barra que se encuentra cargada es la BC.19Ilustracin 2: Modelo estructural para soporte de colectores solaresABCL cos()L sen()LEstructuras reticuladasGH=3+b 2n = 3 + 3 23 = 0 Estructura isosttica 1. Clculo de reacciones.RHA=qvLABRVA=qpLAC22qvLAB22)/ LACRVC=qpLAC22+qvLAB22)/ LAC 4.3Principio de los trabajos virtualesSi superponemosalosdesplazamientosenequilibriouncampodedesplazamientosarbitrarios compatibleconlascondicionesdevnculoydemagnitudinfinitesimal (desplazamientosvirtuales), el incremento de trabajo hecho por las fuerzas externas durante la aplicacin de los desplazamientos ser igual al experimentado por el trabajo realizado por las fuerzas internas, o sea, el trabajo virtual externo ser igual al trabajo virtual interno.20ABCLACLABqpqvABCqpLACqvLABRHARVCRVADEstructuras reticuladas 4.3.1 Aplicacin del P.T.V. al clculo de desplazamientosEn estructuras reticulares con cargas nicamente en los nudos resulta sencilla la aplicacin del P.T.V. al sistema dadoque el trabajo slo ser debido a los esfuerzos normales, de tal modo que:1. Se determinan los esfuerzos normales sobre nuestro problema (sistema congruente de desplazamientos).2. Se calculan los esfuerzos normales sobre un sistema formado por la misma estructura pero con unanicacargadevalor unitarioycorrespondienteal desplazamientoquesedeseahallar (sistema de fuerzas de equilibrio).Recordemos que se entiende por correspondiente a una fuerza de la misma direccin y sentido, y aplicadasobrelamismaseccinqueel desplazamientorequerido, oaunmomentodeigual direccin y sentido, y punto de aplicacin que el giro que se busca.3. Finalmente, por el principiodelos trabajos virtuales, setienequeparasistemas denudos articulados y cargas sobre los nudos, el desplazamiento correspondiente en el punto de aplicacin de la carga unitaria viene dado por:6=Ni' NiLS Edonde:Ni - son los esfuerzos de traccinsoportados por cada una de las barras en elsistema de fuerzas real.Ni'- son los esfuerzos de traccin soportados por cada una de las barras en el sistema de fuerzas virtual.21Mtodo de la rigidez 5.Mtodo de la rigidez 5.1IntroduccinUn sistema estructural, constituido por un entramado de barras rectas de seccin constante y que cumplen las hiptesis de pequeas deformaciones, se puede resolver por medio de la ecuacin matricial querelacionalascargasenlosnudos( L )ysusdesplazamientos( D )atravsdelamatrizde rigidez ( S ) de la estructura.L=SDLa definicin de la matriz de rigidez se realiza de forma sistemtica,de modo que el mtodo se sintetiza en una serie de etapas mediante las cuales se da solucin al sistema estructural.1. Descripcin de la estructura.2. Clculo de la matriz de rigidez de cada barra y del vector de cargas nodales equivalente.3. Clculodelamatrizderigidezglobal (ensamblaje) ydel vector de cargas global de la estructura.4. Introduccin de las condiciones de contorno.5. Clculo de desplazamientos y giros (solucin del sistema de ecuaciones).6. Clculo de solicitaciones en los extremos de las barras.7. Clculo de reacciones. 5.2Mtodo 5.2.1 Descripcin estructuralLa estructura se define respecto a un sistema de referencia global (X, Y, Z)respecto al que se establecen las coordenadas de los nudos y sus cargas.Sin embargo, cada barra presenta su propio sistema de referencia local (x, y, z) respecto al cual se definen sus caractersticas, as como las acciones aplicadas sobre ella. Este sistema presenta el eje x coincidiendo con el geomtrico de la barra, mientras que los ejes y y z lo hacen con los ejes principales de la seccin transversal de la barra.22Ilustracin 3: Sistema de referencia localhtwyzxbEntrada de datosEntrada de datosAlgoritmo de clculoAlgoritmo de clculoSalida de resultadosSalida de resultadosMtodo de la rigidez 5.2.2 Matriz de rigidez de barra y vector de cargas nodales equivalente 5.2.2.1 Matriz de rigidez de barraLa matriz de rigidez ( k ) de una barra respecto al sistema de referencia local ( x ,y ,z) que sigue la orientacin indicada por los nudos inicial ( 1 ) y final ( 2 ) de la barra se define de forma nica como:k=| E AL0 0E AL0 0012 E IL36 E IL2012 E IL36E IL206 E IL24 E IL06 E IL22 E ILE AL0 0E AL0 0012 E IL36 E IL2012 E IL36 E IL206 E IL22 E IL06 E IL24 E ILAs, por medio de esta matriz quedan relacionadas las fuerzas en extremo de barra ( f ) con los desplazamientos nodales en ejes locales ( d ). 5.2.2.2 Vector de cargas nodalesLas cargas aplicadas sobre las barras deben ser sustituidas por unas equivalentes que, aplicadas en los nudos, produzcan en la estructura los mismos efectos que las originales, siendo estas cargas equivalentes ( p ) las reacciones de empotramiento perfecto cambiadas de signo. 5.2.2.3 Matriz de rotacinDadoqueunabarrapuedepresentarunaorientacinarbitraria(o ), medidaenel sentido levgiro, se define la matriz de rotacin ( r= f o) ) para convertir los vectores y matrices entre los sistemas de referencia absoluto y local, de tal modo que:r=|coso sino 0 0 0 0sino coso 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 coso sin o 00 0 0 sino cos o 00 0 0 0 0 1As, la matriz de rigidez de la barra en el sistema de referencia global ( K ), se define como:23Mtodo de la rigidezK=rtkrY el vector de cargas global de la barra, como:P=rtp 5.2.3 Matriz de rigidez global y vector de cargas global de la estructura 5.2.3.1 Matriz de rigidez de la estructuraLa matriz de rigidez de la estructura ( S ) se construye como la suma de las rigideces correspondientesacadanudoyaportadasporcadabarra. Paraelloseidentificanlassubmatricesque componen la matriz de rigidez de la barra y se suman a su posicin correspondiente en S.S=KK=|K11K12K21K22 5.2.3.2 Vector de cargas de la estructuraEl vector de cargas de la estructura ( L ) se construye como la suma de las cargas aplicadas en cada nudo, incluyendo las producidas por cada barra.L=PP=|P1P2 5.2.4 Introduccin de las condiciones de contornoLas filas y columnas de cada desplazamiento impedidoseponenacero, salvoelelementodela diagonalqueseigualauno, yseeliminalaaccin (carga) correspondiente. 5.2.5 Solucin del sistema de ecuacionesLa resolucin del sistema de ecuaciones proporciona el vector de desplazamientos nodales ( D ) en funcin de sus cargas ( L ), de tal modo que:D=S1L 5.2.6 Clculo de solicitaciones en los extremos de barras y reacciones Las solicitaciones( f ) enlos extremos de cadabarrasecalculanpor mediodela matriz de rigidez de la misma gracias a que los desplazamientos de sus extremos son conocidos, y se aplica una transformacin para expresar sus valores en el sistema de coordenadas local de la barra.F=KD f =rF Las reacciones ( R ) se expresan en el sistema de coordenadas global, siendo el resultado de 24Para resolver estructuras reticuladas hay que igualar los momentos de inercia a 0 ( Iz=0 )Mtodo de la rigidezsumar los esfuerzos de extremo de barra que confluyen en el nudo ms las cargas que sobre el se encuentran aplicadas.R=F 5.2.7 Comprobacin del equilibrio 5.2.7.1 Equilibrio globalPara comprobar los resultados obtenidos por el mtodo de la rigidez se aplican las ecuaciones de equilibrio global de la estructura, cargas frente a reacciones.F X=0FY=0M Z=0 5.2.7.2 Equilibrio localPara verificar la precisin del clculo se plantean las ecuaciones locales de cada barra.Fx=0F y=0M z=0Laprecisindelasolucinfinalsemideatravsdel clculodel errorcuadrticomediodelos errores determinados a travs de las ecuaciones de equilibrio de cada barra.Fx=N1+N2+Fx1+Fx2F y=V1+V2+Fy1+Fy2M z=M1+M2+M z1+M z2+V2 Fy2) L 5.3Barra con carga uniformemente distribuidaReacciones de empotramiento perfecto generadas por una carga uniformemente distribuida. 5.3.1 Reacciones de empotramiento perfectoLasreaccionesdeempotramientoperfectosonlasqueaparecencuandounabarracargadase encuentra empotrada.Para el clculo de las reacciones se expresa la carga distribuida como concentrada aplicada en el centro.252 1qLMtodo de la rigidezDadoquelacargaestaplicadadeformasimtricalasreaccionesymomentosgeneradosson igualesenambosextremos, perodadoquelosmomentostienensentidosopuestos, lossignossern distintos segn sea levgiro (positivo) o dextrgiro (negativo).V1=V2=qL2M1=M2=qL212 5.3.2 Diagramas de esfuerzosLa ley de momentos ( M x) ) de una barra sometida a la accin de una carga uniformemente distribuida ( q ) vine dada por: M x)=M1+V1xqxx2

x| 0, LY por tanto, el momento flector mximo, que es aquel donde la derivada vale cero:V1 qx=0 x=V1qMmax=M1+ V122q 5.3.3 DeformadaLa ecuacin de la elstica o deformada ( y x) ) se obtiene a partir de la ecuacin diferencial de la lnea elstica:y' ' x)=M x)EIzIntegrando:y' x)=1EIzM1 x+V1 x22+q x36 )+C126V1M2M1V2qLM1V1xMtodo de la rigidezy x)=1EIzM1 x22 +V1 x36 +q x424)+C1 x+C2y' 0)=C1=u1 yy0)=C2=61 5.4ComprobacionesPara calcular y dimensionar los elementos de una estructura hay que verificar que se cumplen los criterios de tensin, flecha y esbeltez. Siendo el primero el criterio resistente, que indican que el material soportar la tensina la que seencontrar sometido enlaestructurabajolascondicionesprevistas,el segundo el criterio de servicio, que responde a las deformaciones mximas admisibles bajo un determinado uso, y el tercero el de estabilidad.As, para el dimensionado de los elementos estructurales habrn de verificarse los estados lmite de servicio (ELS) y ltimo (ELU). Estado lmite ltimo de resistencia. Estado lmite de servicio de deformacin. Estado lmite ltimo de pandeo. 5.4.1 Comprobacin a resistenciaSe ha de comprobar que ninguna de las secciones bajo carga mayorada sobrepase la resistencia del material minorada (tensin ltima del material).As, la resistencia de una seccin a solicitacin compuesta ( N + M + V ):NA +M zWz+M yW y f yd siempre queV 12 Av f yd.3con f yd= f yy =cu yAv=htwPara el acero ms tpicamente usado en Espaa, S275JR, la tensin de lmite elstica:f y=275N/mm2. 5.4.2 Comprobacin a deformacinSehadecomprobarbajocargassinmayorarlalimitacindeflecha, lacualseespecificasegn servicio en forma de flecha mxima relativa, que es aquella cuyo valor es funcin de la longitud del tramo.ff admLaflechadeunelementoestructuraleseldesplazamientoenladireccinnormalasudirectriz, siendo por tanto el valor puntual de la deformacin ( y x) ) que sufre una pieza sometida a flexin (27Mtodo de la rigidezM x) ). 5.4.3 Comprobacin a pandeoSe ha de comprobar, bajo cargas mayoradas, la resistencia a pandeo en aquellos elementos esbeltos sometidos a compresin como los pilares metlicos. Dado que si se alcanza la carga crtica ( Ncr), el equilibriodel elementoestructural pasarainestableycualquierperturbacin, porpequeaquesea, provocarunacurvaturainicial queircreciendohastallegaral colapsodelapieza, dandolugaral fenmeno de pandeo.As, se definen los coeficientes de pandeo ( ) segn las condiciones de vnculo en los extremos, con lo que se obtiene la longitud de pandeo ( Lk=L ), y con ella la carga crtica de Euler:Ncr=nLk)2EIFinalmente, la comprobacin a pandeo:cccr=n2E\2\=Lki [esbeltez mecnica]i=. IA [radio de giro]Para que la teora de Euler sea aplicable:\103,9 , aunque hay que tener en cuenta que se recomienda que no supere 200.En la antigua Norma Bsica de la Edificacin, la comprobacin a pandeo se realiza por medio de la determinacin de unos coeficientes de pandeo (o=cuccr) tabulados, que se determinan en funcin de la resistencia del material ( f y) y de la esbeltez mecncia (\ ) del perfil. Tenindose:NoA + MWzcu 5.5Implementacin (MSA)Para la implementacin del mtodo se utiliza el lenguaje Python junto a una serie de paquetes para clculo matricial (Numpy) y representacin grfica (matplotlib).ConlaunindeestossoftwaressetieneunaherramientadeprogramacinsimilaraMATLAB, multiplataforma, open source y con coste cero.28Mtodo de la rigidezAunqueMSAseencuentraendesarrollosepuededescargarlaltimaversindisponibleenla pgina del proyecto:http://code.google.com/p/msapy/Dado que se trata de un proyecto totalmente abierto, se esperan sugerencias, comentarios, colaboraciones...Lasestructurasreticularessloadmitencargasenlosnudos, mientrasquelasdenudosrgidos, tambin admiten cargas uniformemente distribuidas en el sentido perpendicular a la barra. 5.6Ejemplo 5.6.1 Definicin del problemaEl problema se define en el archivo input.csv como:

Material;Tipo;E[N/m2];fyd[N/m2];M0;MAT;29000;330;Propiedades;Tipo;A[m2];Iz[m4];Wz[m3];P0;PROP;0,12;0,006;0,001;

Nudos;X[m];Y[m];Tipo;FX[N];FY[N];MZ[Nm];N0;2,40;1,80;rj;0;0;0;N1;0;0;fs;0;0;0;29210250012,40 2,401,80I = 0,006A = 0,12E = 29000Descarga MSA [ Requiere Python, Numpy y matplotlib ] Mtodo de la rigidezN2;4,80;1,80;fs;0;0;0;Barras;Ni;Nf;qy[N/m];Tipo;B0;1;0;0;PROP;B1;0;2;-250;PROP; 5.6.2 SolucinInforme de resultadosNudosCoordenadas CargasX [m] Y [m] FX [N] FY [N] MZ [Nm]0 2.4 1.8 0 0 01 0.0 0.0 0 0 02 4.8 1.8 0 0 0BarrasPropiedades CargasL [m] A E Iz qy [N/m]1/0 3.00000 0.12 29000 0.0060000 00/2 2.40000 0.12 29000 0.0060000 -25030Mtodo de la rigidezNudosReaccionesRX [N] RY [N] MZ [Nm]0 0.00 0.00 0.001 204.49 184.84 46.472 -204.49 415.16 -247.32Esfuerzos31Mtodo de la rigidez32Mtodo de la rigidezBarras N1 V1 M1 N2 V2 M21/0 274.50 25.18 46.47 -274.50 -25.18 29.070/2 204.49 184.84 -29.07 -204.49 415.16 -247.32DesplazamientosNudosDesplazamientosdX [m] dY [m] gZ [rad]0 0.141029 -0.582434 -0.1499991 0.000000 0.000000 0.0000002 0.000000 0.000000 0.000000______________________________Informe generado mediante MSA, con la aplicacin del mtodo matricial de la rigidez.MSA - Copyright 2009, Jorge Rodrguez Arajo (grrodri@gmail.com).33Clculo de una marquesina 6.Clculo de una marquesina 6.1IntroduccinEl problemaconsisteenresolverel clculodelaestructurametlicadeunamarquesina, cuyo modelo se plantea a continuacin, aunque quedar pendiente el dimensionado de la placa de anclaje y de la cimentacin necesaria. 6.1.1 Parametrizacin 6.1.2 Hiptesis de cargaLa estructura estar afectada por las acciones debidas al peso propio, la sobrecarga de nieve y la sobrecarga de viento; estando afectadas cada una de ellas por el correspondiente coeficiente de ponderacin segn su clase (accin permanente o variable) y efecto (favorable o desfavorable).CTE-DB-SE-AEAs, para la determinacin de las acciones actuantes se tendrn en cuenta: Peso propio de la estructura. Carga permanente debida al peso de la cubierta y las correas que la soportan. Sobrecarga de viento segn la zona elica, la situacin topogrfica y la altura de la estructura. Sobrecara de nieve sobre la cubierta dependiendo de suinclinaciny de la altitudde la localizacin de la obra. 34b/cos a/cos DHaLABCLsen btan atan bClculo de una marquesinaSe descompone en dos y se aplica superposicin: (I) + (II) 6.2Clculo de reacciones 6.2.1 Peso propioV D=qpLM D=qp2cos o b2a2)35ABCDqpqvABCDqp(I)VDMDClculo de una marquesina 6.2.2 Carga de vientoH D=qvLsin oM D=qv2tan2o b2a2) 6.3Clculo de solicitacionesPara encontrar las solicitaciones internas se descomponen las cargas, de modo que: + Con lo que se tiene que la carga normal y cortante distribuida a lo largo de la longitud ( L ) de la viga es:wN=qpsin o+qvsin ocos owV=qpcos o qvsin osino36HDMDABCDqv(II)(I)qpqpcos qpsen (II)qvqvcos qvsen Lsen Clculo de una marquesina 6.3.1 Diagramas de esfuerzos

6.4Clculo resistenteEl clculo resistente responde a que las tensiones mximas no sobrepasen el umbral admisible por el material, y dado que los valores mximos se producen en las mismas secciones, se tiene que:cmax=N maxA

cNmax+M maxWz

cMmaxcadm 6.4.1 Clculo de la vigaTanto el esfuerzo normal mximo como el momento flector se darn en la barra BC, justo antes del nudo:x=bcoso [desde B]37DABCM--DABCN+--DABCV+-+Clculo de una marquesinaEsfuerzo normal mximo:Nmax=wNbcosoMomento flector mximo:Mmax=wvb22cos2oDado que el momento flector en la viga, desde los extremos al nudo, vale:M=wvx22 6.4.2 Clculo del pilarAunque el pilar (barra CD) se encontrar arriostrado por las correas de la cubierta se realizar su comprobacin a pandeo.Esfuerzo normal mximo:Nmax=qpLMomento flector mximo:Mmax=wv2cos2o b2 a2)Enelpilarhayquetenerpresentesuorientacin, dadoqueelmduloresistenteencargadode soportar el esfuerzo de flexin cambiar segn esta. 6.5Clculo de desplazamientosDado que el pilar se encuentra empotrado en su base y puesto que los efectos sobre el desplazamiento tanto del normal como del cortante sern despreciables, se tiene que el desplazamiento mximo de la estructura, que se da en el extremo B de la viga, ser causado por el momento flector, de tal modo que:6B=uCb+6CBcosoPor Mohr:u=0Lq x22E I dx= q L36 E I6=0Lq x22 E Ixdx= q L48E I38Clculo de una marquesina 6.6Placas de anclajeDebido a que el hormign de la cimentacin no resistira las tensiones transmitidas directamente por el pilar metlico se utilizan bases de apoyo. De este modo, se aumenta la superficie de apoyo entre pilar y cimentacin hasta disminuir la tensin a valores admisibles para el hormign.Las placas de anclaje se encuentran formadas por la placa base a la que se suelda directamente el pilar, las cartelas de rigidez y los pernos de anclaje que embebidos en el hormign la fijan a la cimentacin,inmovilizando el pilar ante posibles tracciones.39Geometra VigaH [m] 3 Perfil I PEL [m] 5 Dimensin 400 [] 35 E [N/mm] 210000a [m] 1 A [mm] 84500b [m] 4 1160000Nmax [N] 67488,13Cargas Mmax [Nm] 107467,7820000 0,85000 92,6413820,76 93,4418027,99PilarReacciones Perfil HEB100000 Dimensin 30014339,41 E [N/mm] 210000201502,09 A [mm] 149001680000Nmax [N] 100000Mmax [Nm] 201502,096,71119,94126,65Wz [mm3]qp [N/m] Nmax [N/mm]qv [N/m] Mmax [N/mm]wN [N/m] max [N/mm]wV [N/m]VD [N]HD [N]MD [Nm]Wz [mm3]Nmax [N/mm]Mmax [N/mm]max [N/mm]PilarCartelaPlaca deanclajePernoHormign de limpiezaZapataClculo de una marquesina Placa base: se confecciona a partir de chapas cuyos espesores (e) ms usuales se encuentran entre 22 mm y 40 mm (22, 25, 30, 40). Cartelasderigidez: aumentan larigidez de laplacabase (apartir deespesores deplacade30 mm), con unos espesores que se suelen encontrar entre los 12 y los 15 mm (12, 14, 15). Pernos:constituyenelelementodeuninentreelcimientoylabase, yportanto, lafijanala cimentacin. Se colocan, al menos, 4 pernos en pilares empotrados y 2 en apoyados (articulacin), con un dimetro mnimo de 20 mm (20, 25, 32). 6.6.1 Dimensionado de la placaEl dimensionado de la placa consiste en la determinacin de sus dimensiones (a, b), que dependen de la resistencia del hormign, y espesor (e), que depende de la resistencia a flexin de la placa.Para la determinacin de las dimensiones (a, b) de la placa se asume que la tensin de compresin sobre el hormign se distribuye uniformemente en una zona (y) cuya extensin es menor que 1/4 de la longitud de la placa (a) y que la traccin (T) es absorbida por los pernos.As, se plantean las ecuaciones de equilibrio, que quedaran definidas como:40badBANVMHClculo de una marquesinaT+N=bycc F=0M+Na2d)=byccad y2) M=0As, si seestablecenunasdeterminadasdimensionesparalaplacase puederesolverelsistema. Dadoquesepuededespejaryenlaecuacinde equilibrio de momentos para sustituirla en la de equilibrio de fuerzas, y de este modo obtener la tensin que debe soportar el perno (T). Asumiendo que:a = 16 + ap + 16(cm.)b = 8 + bp +8 (cm.)d = 6 cmslo habr que comprobar que y < a/4 como se haba supuesto. En caso contrario se aumentarn las dimensiones de la placa hasta que se cumpla que y < a/4.Para determinar el espesor de la placa (e) se ha de verificar su comportamiento a flexin. Para ello se define el vuelo como:v=a ap2, de modo que:Siyv :M=byccv y2)Siyv :M=bccvv2Tenindose que:e.6Mbcu, dado que: MW cu yW=be26. Cuando el espesor sale mayor de 30 o 35 mm se debe pasar a poner cartelas, lo que aumentar el mdulo resistente de la placa. 6.7Referencias[1] CTE-DB-SE-AE: Cdigo tcnico de la edificacin. Documento bsico. Seguridad estructural. Acciones en la edificacin.[2] CTE-DB-SE-A: Cdigo tcnico de la edificacin. Documento bsico. Seguridad estructural. Acero.41NVMTdycapbpAnexo 7.Anexo 7.1Principales materiales estructuralesLos principales materiales estructurales son el acero, el hormign armado y el hormign prefabricado.El hormignarmadose compone de hormigny acero. El hormignaporta la resistencia a compresin y acta como proteccin para la armadura de acero, tanto ante corrosin como ante el fuego,que aporta la resistencia a traccin y a esfuerzos cortantes. La armadura estformada por barras de acero corrugado para que se cumpla la necesaria adherencia entre el acero y el hormign, que permite que este material compuesto se comporte como un todo.ACERO HORMIGN ARMADOHORMIGN PREFABRICADOConsideraciones del diseoVENTAJAS:Rapidez de montaje y menor peso para la misma resistencia DESVENTAJAS:Problemas de corrosin, resistencia al fuego, pandeo y fatigaVENTAJAS:Coste, rigidez y ptimo comportamiento frente a efectos atmosfricos y al fuego.DESVENTAJAS:Menos espacios difanosVENTAJAS:Rapidez de montaje y elevada resistenciaDESVENTAJAS:Precio elevadoElementos estructuralesPerfiles laminados (IPE, HEB,...) o conformados y sus combinaciones.Pilares y vigas (porticos).Forjados.Losas y vigetas.Enlaces Uniones remachadas, atornilladas o soldadas.Para que el comportamiento de las uniones sea el de un nudo rgido se sueldan, en los perfiles laminados de acero, una serie de placas metlicas para crear continuidad, rigidizadores.Nudos rgidos realizados in situ y las juntas de dilatacin para evitar esfuerzos trmicos.Tabla 2: Comparativa de los principales materiales estructuralesPropiedades del aceroMdulo de elasticidad (E) 210000 N/mm2Mdulo de rigidez (G) 81000 N/mm242AnexoCoeficiente de Poisson () 0,3Densidad () 7850 kg/m3Coeficiente de dilatacin trmica () 1,210-5 1/C 7.2Propiedades mecnicas de los materiales elsticosCuandounmaterial essometidoaesfuerzosdetraccinocompresinpresentardostiposde comportamiento (elstico y plstico) segn la magnitud de los esfuerzos a que se encuentre sometido.Enunprimerlugarexperimentarunadeformacindecarcterelstico, dadoqueel material recupera su forma original cuando cesan las fuerzas externas que provocan su deformacin. La resistencia a la deformacin, en caso de ser lineal el intervalo, viene dada por medio del mdulo elstico ( E ), y su relacin se conoce como Ley de Hooke.Si el esfuerzo sobrepasa un punto conocido como lmite elstico ( Re) del material, el cuerpo se deformar de manera permanente o plstica.Si el esfuerzo continua, se alcanza el punto conocido como resistencia a traccin ( Rm), que es el valormximodetensinquepuedesoportarunmaterialsinqueseproduzcalaestriccinyposterior rotura del material cuando se encuentra sometido a traccin.Estosvaloresseleensobrelacurvaqueseobtieneal realizarel ensayodetraccinsobreuna muestra de material, curva convencional de traccin.As, en el ensayo de traccin realizado sobre una barra de acero corrugado de dimensiones iniciales: 100 mm de longitud y 8,03 mm de dimetro,se obtuvo la siguiente curva de traccin,cuyos valores de tensin (c ) y elongacin (e ) vienen dados por:c= FS0 e=LL0L0, siendo S0=n D02443AnexoTras la rotura, la probetapresentaba una longitud final entre los puntos calibrados de 113,39 mm y un dimetro de 5,72 mm en la zona de estriccin, siendo de este modo los valores finales obtenidos:Lmite elstico ( Re) = 493,65 MPaMdulo elstico ( E ) = 61,02 MPaResistencia a tensin ( Rm) = 590,68 MPaEn materiales como el acero, debido a que el lmite elstico no se encuentra bien definido, pero sin embargo, se aprecia claramente la zona de cedencia1, se toma como valor representativo la tensin de fluencia (cf), dado que adems, se comprueba que la resistencia a traccin suele estar en torno a 0,8 veces el lmite de fluencia.De este modo, para definir el esfuerzo normal mximo que puede soportar un material (admisible) sedefineuncoeficientedeseguridad( Cs) quegarantizarqueenningnpuntoseexcede su resistencia a traccin, de tal modo que:cadm=cfCs 7.3Parmetros elsticos del materialEl comportamiento elstico lineal de un material queda caracterizado por tres parmetros interrelacionados: El mdulo elstico o mdulo de Young ( E ) establece la relacin entre el esfuerzo normal y la deformacin lineal provocada:1 La regin de cedencia es aquella que aparece al final de la regin elstica y que se caracteriza por una rpida deformacin plstica del material sin un aumento de la carga.440,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,300100200300400500600700Curva de traccinEnsayo de traccin de una barra de acero corrugado [mm/mm] [MPa]cf ReRmAnexoc=Ee Cuando un material se alarga debido a estar sometido a un esfuerzo de traccin se observa que adems se estrecha, mientras que cuando se acorta por estar sometido a compresin se ensancha. As, se tiene que la deformacin en la direccin de aplicacin del esfuerzo provoca una variacin proporcional de la dimensin transversal que viene dada por el coeficiente de Poisson (u ).u= contraccintransversalalargamientolongitudinal Finalmente, se tiene que ambos se relacionan por medio del mdulo de elasticidad transversal (G ), que proporciona el esfuerzo cortante que provoca una determinada deformacin angular:G=E21+u)t=G y 7.4Otras caractersticas de los materialesUnmaterialdctilesaquelquepuededeformarsesinromper, mientrasqueesfrgil cuandose rompe con facilidad, mejor dicho, cuando se rompe sin deformacin (rotura rpida y sin previo aviso).As, mientrasquelaroturadeunmaterialdctilsecaracterizaporpresentarunareduccinde seccin denominada estriccin, la de uno frgil se caracteriza por ser plana, dado que no existe deformacin plstica apreciable ya que la propagacin de la fisura es muy rpida.La tenacidad es la capacidad de un material para absorber energa en el intervalo plstico,y por tantoindicalacantidaddetrabajoquesepuedehacersobreunmaterialantesdequeseproduzcala fractura.Comoconsecuenciadelavariacindelatemperatura el material se deforma (contraccino dilatacin) proporcionalmente a un coeficiente de dilatacin que produce la aparicin de tensiones en su interior si sus movimientos estn impedidos.Cuando un material se encuentra sometido a temperatura elevada y se le aplica un esfuerzo, puede deformaseyromper acargas inferiores alas determinadas atravs del ensayodetraccin. Aeste fenmeno de deformacin plstica por debajo del lmite elstico cuando el material se encuentra sometido a temperatura se lo denomina termofluencia. 7.5Momentos de inerciaEl momento de inercia ( Iz) es una caracterstica geomtrica de la seccin respecto a un eje, normalmente el que determina la lnea neutra, y se define como:45AnexoIz=S y2dsEl momento de inercia polar ( I p) se define como la suma de los productos de las reas elementales por los cuadrados de las respectivas distancias al polo.I p=S r2ds=I x+IyLas expresiones de algunos momentos tpicos son: Seccin rectangular Seccin circularIzIz=BH312Iz=nR44I pI p=nR42Tabla 3: Momentos tpicos 7.6ForjadosAl menos existen cuatro tipos de forjado de hormign armado, los cuales son: Forjado unidireccional: es el forjado clsico formado por bovedillas que reparten el peso a las viguetas, quesonlasencargadasdetransmitirlacargaalasvigas. Porencimadel conjunto vigueta-bovedilla va una capa de compresin formada por los negativos, el mallazo y el hormign, siendo los negativos las varillas de acero encargadas de soportar los momentos flectores negativos. Forjadoreticularobidireccional: esel forjadotpicodeplantasdeaparcamiento, dadoque distribuye las cargas por igual a un lado y a otro (en ambas direcciones). Forjado colaborante: forjado utilizado junto a estructuras metlicas, dado que mejora la unin entre ambos. Placa alveolar: forjado prefabricado unidireccional de alta resistencia y aligerado mediante una serie de alvolos que los atraviesan longitudinalmente. 7.7CimentacionesLascimentacionessonlasencargadasdetransmitirlascargasal terreno, detal modoquesu 46El teorema de Steiner puede facilitar el clculo del momento de inercia al simplificar la integral.Dado que el momento de inercia de una seccin respecto a un eje e' que no pasa por el centro de gravedad es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo e que pase por el centro de gravedad, mas el producto de la seccin total por el cuadrado de la distancia entre esos dos ejes:Ie'=Ie+d2SAnexotipologa y dimensiones vendrn determinadas por las caractersticas de este.As, el estudio geotcnico es el encargado de facilitar las caractersticas resistentes y de composicindel terreno, necesarios parael clculodelacimentacinyseleccindelos materiales utilizables segn la agresividad qumica del terreno.La capacidad de soporte del terreno viene dada por la presin admisible, siendo esta especificada a partir de una determinada cota.Paraestablecerlacotadereferenciasobrelaqueseespecificarnlasdiferentescondicionesdel terreno se suele utilizar la calle o la rasante de la parcela, de tal modo que, por ejemplo, la capacidad de soporte del terreno vendra especificada como: el terreno nos ofrece una tensin admisible de 1,5 kg/cm2 una vez superada la pequea alteracin superficial (-1,00 m) hasta (-2,00 m), cota a partir de la cual ya contamos con 2,0 kg/cm2.Las cimentaciones tpicas son superficiales, pudiendo ser: Mediante zapatas aisladas, con o sin arriostramiento, pero apoyadas a partir de la cota 1 m. Mediante zapatas corridas, en zanjas que alcancen como mnimo -1 m, rellenas de hormign en masa hasta la cota estructural admisible donde se apoyarn las definitivas zapatas.De este modo se tiene que el ancho de las zapatas vendr dado por la carga a transmitir y la tensin admisible del terreno segn la cota final de apoyo de la zanja. 7.8Pasos para la ejecucin de una edificacin1. Solicitud y concesin de permisos y licencias2. Acondicionamiento del terreno: limpieza del terreno, nivelado, replanteo de cimentaciones y excavacin de los elementos de cimentacin.3. Cimentaciones4. Estructura y forjados5. Cubierta y faldones6. Cerramientos y tabiquera (divisin interna)7. Pavimentos y solados8. Pintadas y alicatados (baos)9. Falsos techos y aislamientos trmicos y acsticos10. Urbanizacin exterior, aparcamientos y jardines47Anexo 7.9Matriz de rigidez local 3D48k =EAL0 0 0 0 0012EIzL30 0 06EI zL20 012EIyL306EIyL200 0 0GIpL0 00 06EI yL204EI yL006EIzL20 0 04EIzLEAL0 0 0 0 0012EIzL30 0 06EIzL20 012EI yL306EI yL200 0 0GI pL0 00 06EIyL202EIyL006EIzL20 0 02EIzLEAL0 0 0 0 0012EIzL30 0 06EIzL20 012EIyL306EIyL200 0 0GIpL0 00 06EIyL202EI yL006EIzL20 0 02EIzLEAL0 0 0 0 0012EIzL30 0 06EIzL20 012EIyL306EIyL200 0 0GI pL0 00 06EIyL204EIyL006EIzL20 0 04EIzL)BibliografaLibros[L1] Tensiones y deformaciones en materiales elsticos. Jos Antonio Gonzlez Taboada.Enlaces[E1] Clculo de estructuras. Enrique Nieto Garca.Normativa[N1] Cdigo tcnico de la edificacin (CTE).i