Calculo-clases pucp
42
Capítulo 4 La Derivada
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Clases de matematica pucp
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Capítulo 4
La Derivada
La Derivada
)()()(
lim)(
:)()2
)()()(
lim)(
:)1
0
'
0
'
existesih
xfhxfxf
xfdederivadaLa
existesih
afhafaf
aenfdederivadaLa
realfunciónunafSea
h
h
Nota
ax
afxf
h
afhafaf
existeafSi
axh
)()(lim
)()(lim)(
:)(
0
'
'
Recta Tangente
Si f ’(a) existe:
La pendiente de la recta tangente a y = f(x)
en el punto (a,f(a)) es mT = f ’(a).
La recta tangente a y = f(x)
en el punto (a,f(a)) es y = f ’(a).(x-a)+f(a).
Nota
La recta tangente a y = f(x)en el punto (a,f(a)) es x = a.
esh
afhafy
esh
afhafSi
h
h
)()(lim
)()(lim
0
0
Recta Normal
La recta normal a una gráfica en un punto dado
es la recta perpendicular a la recta tangente en
ese punto.
Velocidad
Si una partícula P se mueve en una recta
y e(t) es la coordenada de P en el instante t,
la velocidad de P en el instante t es: v(t) = e’(t)
y la aceleración de P en el instante t es: a(t) = v’(t)
Función Derivable
Sea f una función real
1) f es derivable en a,
si existe f ’(a).
2) f es derivable en el intervalo abierto I,
si existe f ’(x) para todo x I.
3) f es derivable,
si existe f ’(x) para todo x Dom(f).
Teorema
Si f(x) = mx+b f ’(x) = m.
Corolario
Si f(x) = c f ’(x) = 0.
Notación
dx
dyyDy
xfySidx
xdfxfDaf
aenfdederivadaLadx
xdfxfDxf
xfdederivadaLa
x
axaxx
x
'
:)()3
|)(
|)]([)(
:)2
)()]([)(
:)()1
'
'
Derivadas Laterales
1) La derivada por la derecha de f en a:
2) La derivada por la izquierda de f en a:
)()()(
lim)()(
lim)(0
' existesiax
afxf
h
afhafaf
axh
)()()(
lim)()(
lim)(0
' existesiax
afxf
h
afhafaf
axh
Teorema
))()(())(( ''' mafmafmaf
Teorema
Si f es derivable en a f es continua en a
Teorema
1' )(
)()(
n
n
nxxf
ZnxxfSi
Teorema
0,2
1)(
0,)(
'
xx
xf
xxxfSi
Teorema
)()()cos()()2
)cos()()()()1'
'
xsenxfxxf
xxfxsenxf
Teorema
Si f es derivable en x
(c.f)’(x) = c.f ’(x)
( Dx[c.f(x)] = c.Dx[f(x)] )
Teorema
Si f y g son derivables en x
(f+g)’(x) = f ’(x)+g’(x)
( Dx[f(x)+g(x)] = Dx[f(x)]+Dx[g(x)] )
Corolario
Si f1,…,fn son derivables en x
(f1+…+fn)’(x) = f1’(x) +…+fn’(x)
Teorema
Si f y g son derivables en x
(f.g)’(x) = f ’(x).g(x)+f(x).g’(x)
( Dx[f(x).g(x)] = Dx[f(x)].g(x)+f(x).Dx[g(x)] )
Teorema
Si f y g son derivables en x g(x) 0
2
'''
))((
)().()().()()(
xg
xgxfxgxfx
g
f
Teorema
)()(
)()(1' existesinxxf
ZnxxfSin
n
Teorema
1) Dx[tan(x)] = sec2(x)
2) Dx[cot(x)] = -csc2(x)
3) Dx[sec(x)] = sec (x).tan(x)
4) Dx[csc(x)] = -csc(x).cot(x)
Teorema(Derivada de la función compuesta)
Si g es derivable en x y f es derivable en g(x) (f o g)’(x) = f ’(g(x)).g’(x)
Nota (Regla de la cadena)
dx
du
du
dy
dx
dy.
Teorema
)()(
)()(1' existesinxxf
QnxxfSin
n
Teorema
xaxfxxf
aaxfaxf
xxfxxf
exfexf
a
xx
xx
1.)ln(
1)()(log)()4
).ln()()()3
1)()ln()()2
)()()1
'
'
'
'
Teorema
)()(
)()(1' existesinxxf
IRnxxfSin
n
Teorema (Derivada de la función inversa)
Sea f una función montona y derivable en I =[a,b],
f ’(x) 0, x I.
))(
1(
)))((
1)()((
)(
1)()()(
1''1
''1
dx
dydy
dx
xffxf
xfyfxfySi
Teorema
21
2
1
2
1
1
1)]([tan)3
1
1)]([cos)2
1
1)]([)1
xxD
xxD
xxsenD
x
x
x
1||
1)]([csc)6
1||
1)]([sec)5
1
1)]([cot)4
2
1
2
1
21
xxxD
xxxD
xxD
x
x
x
Derivación Implícita
),(
))((0)],([
0),(
yxGdx
dy
xfyyxFD
yxFSi
x
Derivada Paramétrica
)(
)(
)(
)(
dt
dxdt
dy
dx
dy
tgy
tfxSi
Derivadas de orden superior
)1(,))(()(
)()(')()1(
')1(
nxfxf
xfxfnn
Nota
)())(())(()(
)())(())(()(
)()(
''''''')2()3(
''''')1()2(
')1(
xfxfxfxf
xfxfxfxf
xfxf
Notación
n
nnx
n
axn
n
axnx
n
n
nnx
n
dx
ydyDyxfySi
dx
xfdxfDaf
dx
xfdxfDxf
][:)()3
|)(
|)]([)()2
)()]([)()1
)(
)(
)(
Nota
dx
dx
xfdd
dx
xfd
xfDDxfD
xfxf
n
n
n
n
nxx
nx
nn
1
1
1
')1()(
)(
)()3
)]]([[)]([)2
))(()()1
Nota
dt
dx
dtdx
ydd
dxdx
ydd
dx
yd
tgy
tfxSi
n
n
n
n
n
n
)(
)(
)(
)(
1
1
1
1
La diferencial
Sea y = f(x).
La diferencial de x: dx = x.
La diferencial de y: dy = f ’(x).dx
Aproximación por diferenciales
dyyxyyyx
y
xSix
yy
xfxxfy
xfySi
x
'.'
:0
lim'
).()(
:)(
0
Aproximación lineal
)()).(()(
)()()(
:
)()(lim)(
'
'
'
afaxafxf
afax
afxf
axSiax
afxfaf
ax
