Calculo de la funcion exponencial de una matriz

Rafael Morones E.Dept. de Matematicas, ITAM

22 de marzo de 2012

1. Introduccion.

Originalmente este texto estaba concebido para obtener la solucion de un sistema lineal de ecuacionesdiferenciales de primer orden, x = Ax, determinando la funcion exponencial matricial de la matriz Avıa el calculo de su forma canonica de Jordan. Sin embargo, una cita del texto de L. Perko [4] indicabala existencia de un metodo opcional desarrollado por E. J. Putzer [5] y, por otra parte, algunos metodosadicionales para casos especiales citados en los problemas del texto de Arrowsmith y Place [1] en losque se hace uso intensivo del teorema de Cayley-Hamilton. Esas notas tambien estaban restringidas amatrices de tamano [2× 2]. Esta restriccion implica la exclusion de problemas donde se puedan usarvectores propios generalizados para calcular la matriz M de transformacion por similaridad. Estascuestiones se ilustran con algunos ejemplos y se hace referencia a los apendices para una demostraciondel teorema de Cayley-Hamilton y a una breve exposicion sobre vectores propios generalizados.

Estas notas no son exhaustivas y, en consecuencia, se recomienda al lector acudir a las referencias quese citan en la bibliografıa.

2. Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Sea el problema de valores iniciales

x = Ax (1a)

x0 = x(t0) (1b)

donde

x = x(t), x ∈ Rn, t ∈ R.

A : [n× n] una matriz real tal que detA 6= 0.

x0 = [x1,0, . . . xn,0] un vector de condiciones iniciales tal que x0 6= 0.

Se define a continuacion la funcion exponencial matricial como una serie de potencias [1][4]

Definicion 1 Sea P una matriz real de tamano [n× n], entonces

exp(P ) = eP =

∞∑k=0

P k

k!(2)

1

Esto es

eP = I + P +1

2!P 2 + . . .+

1

n!Pn + . . .

Una consecuencia de esta esta definicion es que eP es una matriz de [n×n]. Se demuestra [4] que estafuncion es absoluta y uniformemente convergente respecto a la norma

||T || = max|x|≤1

|T (x)|

donde

T es un operador linealT : Rn → Rn,

y si T esta representado por una matriz A (de tamano n× n) entonces

||A|| =√n l, l : longitud maxima de los renglones de A.

|x| es la norma euclidiana de un vector en Rn.

Entre las propiedades mas interesantes de esta funcion se tienen:

Para dos matrices del mismo tamano P y Q tales que PQ = QP

eP eQ = eP+Q (3a)

y de donde se deduce que si Q = −P

eP+(−P ) = I, ecuacion que implica

e−P =(eP)−1

(3b)

que define a la inversa de una funcion exponencial matricial.

Dada la convergencia absoluta y uniforme de la serie, esta se puede derivar e integrar termino atermino y las series resultantes tambien gozan de estos tipos de convergencia. En particular, siP = At se tiene

d

dteAt = AeAt = eAtA (3c)

Con estos antecedentas es posible demostrar el siguiente

Teorema 1 Sea el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden (1a), sujeto a las condicionesiniciales (1b), entonces su solucion esta dada por

x(t) = eA(t−t0)x0 (4)

Demostracion.Derivando la serie que define e−At, se tiene

d

dte−Atx = e−Atx− e−AtAx

= e−At (x−Ax)

= 0

2

Resultado que implica quee−Atx = C

El vector constante C se obtiene de las condicones iniciales (1b)

e−At0x0 = C

Por lo que se tiene finalmentex(t) = eA(t−t0)x0

. . .2

Observacion. De este resultado se define, para un sistema lineal, el operador de evolucion o flujo deun punto x el cual inicialmente (t = t0) ocupaba la posicion x0, como

x(t) = φt−t0(x0)

2.1. Algunos ejemplos.

Los siguientes ejemplos corresponden a sistemas de ecuaciones diferenciales lineales en R2 y representantres clases de problemas cuya solucion es especialmente sencilla de obtener. Este no es el caso general,sin embargo, en la siguiente seccion se establecen las condiciones para reducir un problema complejoen uno mas simple.

Ejemplo 1. Resolver el sistema

x = Ax (5a)

x0 =

(x1(t0)x2(t0)

)=

(x1,0x2,0

), x21,0 + x22,0 6= 0 (5b)

donde

A =

(1 00 1

)(5c)

Solucion.

Un sistema como este se dice que esta desacoplado. Su solucion es inmediata(x1x2

)=

(c1e

t

c2et

)Y las constantes de integracion son(

c1c2

)=

(x1,0e

−t0

x2,0e−t0

)Por lo que la solucion bajo esta restriccion es(

x1x2

)=

(x1,0e

t−t0

x2,0et−t0

)

= et−t0(

1 00 1

)(x1,0x2,0

)Claramente

φt−t0(x0) = et−t0(

1 00 1

)x0

. . .3

3

Ejemplo 2. Resolver el sistema

x = Ax (6a)

x0 =

(x1(t0)x2(t0)

)=

(x1,0x2,0

), x21,0 + x22,0 6= 0 (6b)

donde

A =

(−1 2

0 −1

)(6c)

Solucion.

En este caso el sistema esta parcialmente acoplado. La solucion comienza resolviendo la segundaecuacion de (6a), esto es

x2 = c2e−t

La sustitucion de este resultado en la primera ecuacion, deviene en

x1 + x1 = c2e−t

la que es una ecuacion diferencial de primer orden, lineal. El factor integrante requerido paraobtener su solucion es µ(t) = et, por lo que

d

dt

(etx1

)= c2

yx1 = (c1 + c2t)e

−t

La solucion del sistema en forma matricial es

x =

(e−t 2te−t

0 e−t

)(c1c2

)Las constantes se obtienen, una vez mas de las condiciones iniciales(

x1,0x2,0

)=

(e−t0 2t0e

−t0

0 e−t0

)(c1c2

)Esto es (

c1c2

)=

(e−t0 2t0e

−t0

0 e−t0

)−1(x1,0x2,0

)

= et0(

1 −2t00 1

)(x1,0x2,0

)La solucion del sistema con estas condiciones iniciales es

x = e−(t−t0)(

1 2t0 1

)(1 −2t00 1

)(x1,0x2,0

)

= e−(t−t0)(

1 2(t− t0)0 1

)(x1,0x2,0

)En este caso el operador de evolucion es

φt−t0(x0) = e−(t−t0)(

1 2(t− t0)0 1

)x0

4

3. Formas canonicas de Jordan.

Los ejemplos de la seccion anterior son suficientemente sencillos para obtener una solucion casi in-mediata. En general la matriz A no tiene la estructura diagonal que tienen los ejemplos sino que esuna matriz con n2 entradas distintas de cero. Es deseable obtener una transformacion de coordenadasque reduzca esa matriz a una de forma diagonal o triangular superior (o inferior). Entonces, sea elsistema lineal

x = Ax (7)

donde

x un vector en Rn referido a la base canonica {e1, e2, . . . , en}.

A una matriz real de tamano [n× n] y tal que detA 6= 0.

y sea la transformacion de coordenadas

xi =

n∑j=1

mijyj

o en forma matricialx = My (8)

donde M es una matriz no singular, esto es, invertible y tal que el sistema original (7) se reduzca auno equivalente

y = Jy, donde y = y(t) (9)

mas sencillo de integrar. Si existe esta matriz M , se tiene de (8) que

x = M y = Ax = AMy

de dondey = M−1AMy (10)

Esta ecuacion define J comoJ = M−1AM

Las matrices definidas de esta manera se dice que[1, 2] son similares o semejantes.

Bajo la hipotesis de la existencia de tal matriz M se tiene que la solucion del sistema

y = Jy

esta dada pory(t) = eJty0

y en consecuencia, de la ecuacion (8)

M−1x = eJtM−1x0

esto esx = MeJtM−1x0

de donde se deduceeAt = MeJtM−1 (11)

En el siguiente teorema se demuestra la existencia de la matriz M para el caso de vectores x ∈ R2.

5

Teorema 2 Sea A : [2× 2] una matriz real, existe entonces una matriz no singular M tal que

J = M−1AM

corresponde a uno de los siguientes tipos

a) (λ1 00 λ2

), λ1 > λ2

b1) (λ0 00 λ0

), λ0 ∈ R

b2) (λ0 10 λ0

), λ0 ∈ R

c) (α −ββ α

), α ∈ R, β > 0

La matriz J dada por uno estos tipos se dice que es una forma canonica de Jordan para la matriz A.

Demostracion.Los valores propios de la matriz A (iguales que los de J) se obtienen del poliniomio caracterıstico

P(λ) = λ2 − Iλ+ II = 0 (12)

donde I = trA = a11 + a22, II = detA, y los valores propios son

λ1 =1

2

(I +√

∆), λ2 =

1

2

(I −√

∆)

(13)

donde ∆ = I2 − 4II, es el discriminante de la forma cuadratica. Se tienen los casos

a) λ1 > λ2. Sean u y v los vectores propios asociados a λ1, λ2 respectivamente, esto es

Au = λ1u y Av = λ2v

dado que λ1 6= λ2 entonces u y v son linealmente independientes. La matriz M se construye conestos vectores de la manera siguiente

M = [u...v]

Dado que J = M−1AM implica AM = MJ , se tiene que

AM = A[u...v]

= [Au...Av]

= [λ1u...λ2v]

= M

(λ1 00 λ2

)Esto demuestra este inciso.

6

b1) La matriz A es diagonal, esto es

A = λ0I = λ0

(1 00 1

)en consecuencia cualquier matriz M no singular resuelve el problema y en este caso J = A.

b2) La matriz A no es diagonal y sus valores propios son iguales (λ1 = λ2 = λ0). En este caso solo setiene un vector propio u, lo que implica que la multiplicidad geometrica (1: un solo subespacioinvariante generado por u) es menor que la multiplicidad algebraica (2). Para construir otrovector propio (v) linealmente independiente de u se hace uso de la teorıa de vectores propiosgeneralizados. Entonces, si v es tal vector propio, satisface entonces

(A− λ0I)v = u

de donde se deduceAv = u + λ0v

La matriz M = [u...v] satisface ahora

AM = A[u...v]

= [Au...Av]

= [λ0u...u + λ0v]

= [u...v]

(λ0 10 λ0

)= MJ.

Esto demuestra el inciso b).

c) En este caso ∆ < 0 y se tienen raices complejas. Los valores propios son λ1,2 = a ± bı, b > 0 ya ∈ R.

Demostracion.Sea el vector propio u = v + ıw asociado a λ1. Del lema (1) en el apendice B, v y w sonlinealmente independientes y se propone

M = [w...v]

una matriz no singular. Se requiere demostrar que

J = M−1AM =

(α −ββ α

)Se van a calcular la primera y segunda columnas de M−1AM , para esto, si e1 = [1, 0]T ye2 = [0, 1]T son lo vectores de la base canonica en R2

Me1 = [w...v]

(10

)= w

Me2 = [w...v]

(01

)= v

7

Y dado que M es invertiblee1 = M−1w, e2 = M−1v

Entonces, para la primera columna

M−1AMe1 = M−1Aw

= M−1(βv + αw)

= βM−1e2 + αM−1w

=

(αβ

)Un procedimiento similar demuestra que la segunda columna de M−1AM esta dada por

M−1AMe2 =

(−βα

)En consecuencia

J = M−1AM =

(α −ββ α

)quedando demostrado el teorema.

. . .2

3.1. Formas canonicas de Jordan en R3.

Las formas canonicas de Jordan para una matriz real A : [3 × 3] tambien tienen estructurassencillas ya que aun no se presenta la posibilidad de raices complejas de multiplicidad mayorque 1. Estas se enlistan a continuacion

a) A tiene 3 valores propios distintos λ1 > λ2 > λ3

J =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

b) A tiene tres raices reales, una de las cuales es de multiplicadad 2

J =

λ0 1 00 λ0 00 0 λ1

c) A tiene una raız real de multiplicidad 3

J =

λ0 1 00 λ0 10 0 λ0

d) A tiene una raız real y dos raices conjugadas complejas

J =

α −β 0β α 00 0 λ0

Para el calculo de formas canonicas de Jordan de orden superior, en el texto[4] se presenta unmetodo basado en el ındice de deficiencia de cada uno de los valores propios asociados a la matrizA. El lector interesado puede consultarlo en el capıtulo 1 de esta referencia.

8

3.1.1. Algunos ejemplos.

Se presentan dos ejemplos del calculo de la matriz eAt para el caso de una matriz A : [3 × 3]con valores propios distintos y uno para el caso de una con valores propios repetidos, usando lamatriz canonica de Jordan respectiva. Este procedimiento se contrasta con los metodos directospara el calculo de eAt que se discuten en la siguiente seccion.

Valores propios distintos. Sea la matriz real

A =

2 −7 03 −8 00 0 1

(14)

Su polinomio caracterıstico es

p(λ) = λ3 + 5λ2 − λ− 5 = 0 (15a)

con valores propios, ordenados en sentido creciente

λ1 = −1, λ2 = −5 y λ3 = 1 (15b)

Dado que los valores propios son todos distintos, la forma canonica de Jordan asociada es

J =

−1 0 00 −5 00 0 1

,

forma canonica que corresponde al orden de los valores propios que se escogio en (15a). Eneste caso la funcion exponencial matricial es inmediata

eJt =

e−t 0 00 e−5 00 0 et

(16)

El calculo de eAt es un poco mas laborioso ya que requiere de la construccion de la matrizM y el calculo de su inversa M−1. Ya se discutio que la primera columna de M es el vectorpropio asociado a λ1:

(A− 1I...0) =

1 −7 0

...0

3 −9 0...0

0 0 0...0

∼

1 −7 0...0

0 12 0...0

0 0 0...0

,

de donde se obtiene que x =< 0, 0, x3 = arb. >, haciendo x3 = 1 se tiene el primer vectorpropio u(1) = [0, 0, 1]T .

Calculos similares para λ2 y λ3 determinan vectores propios correspondientes u(2) =[7, 3, 0]T y u(3) = [1, 1, 0]T , por lo que la matriz M es

M =

7 1 03 1 00 0 1

; M−1 =1

4

1 −1 0−3 7 0

0 0 4

9

El calculo de eAt es

eAt = MJM−1

=1

4

7 1 03 1 00 0 1

e−t 0 00 e−5 00 0 et

1 −1 0−3 7 0

0 0 4

=

1

4

7e−t − 3e−5t 7(e−t + e−5t) 03(e−t − e−5t) 3e−t + 7e−5t 0

0 0 4et

(17)

. . .3

Dos valores propios iguales. En los siguientes ejemplos se tranan los casos de una matriz detamano 3 × 3 con dos valores propios iguales y uno distinto. En un caso la dimension desubespacio generado por el valor propio repetido es igual a su multiplicidad algebraica. Enel otro caso, la dimension del subespacio propio es menor a la multiplicidad del valor propiorepetido y en consecuencia se genera otro vector linealmente independiente del obtenidousando el criterio de vectores propios generalizados.[6]

El primer ejemplo es calcular eAt cuando

A =

−1 −3 00 2 00 0 −1

(18)

Sus valores propios y su polinomio caracterıstico son

λ1 = 2, λ2 = λ3 = −1; p(λ) = (λ− 2)(λ+ 1)2 = λ3 − 3λ− 2

Para el calculo de sus vectores propios

• λ1 = 2, la matriz A− 2I es

A− 2I =

−3 −3 00 0 00 0 −3

,

y el sistema (A− 2I...0) tiene como solucion el vector propio u(1) = [−1, 1, 0]T .

• λ2 = −1, la matriz A+ I es

A+ I =

0 −3 00 2 00 0 0

,

y el sistema (A+ I...0) es reducible por renglones a la matriz

0 1 0... 0

0 0 0... 0

0 0 0... 0

,

que indica que la variable x2 = 0 pero las variables x1 y x3 son arbitrarias,1 escogiendoestas variables de manera que x21+x33 6= 0 en cada caso, se obtienen los vectores propios

1El hecho de que aparezcan dos renglones con entradas 0 indica que la dimension del subespacio generado por elvalor propio λ1 = −1 es 2 que corresponde a su multiplicidad.

10

u(2) = [1, 0, 0]T y u(3) = [0, 0, 1]T . En consecuencia, la matriz M y su correspondienteinversa, son

M =

1 −1 00 1 00 0 1

; M−1 =

1 1 00 1 00 0 1

La forma canonica de Jordan asociada se calcula como

J = M−1AM

=

−1 0 00 2 00 0 −1

y la correspondiente eJt

eJt =

e−t 0 00 e2t 00 0 e−t

Finalmente, la matriz buscada es

eAt = MeJtM−1

=

e−t e−t − e2t 00 e2t 00 0 e−t

Observacion. La estructura de la matriz A se presta para el calculo directo de lasolucion del sistema. La ultima ecuacion (renglon 3) esta completamente desacopladade las otras dos y puede integrarse directamente. Las ecuaciones 1 y 2 (primer y segundorenglones) estan parcialmente acopladas y puede integrarse direntamente la ecuacion2 (renglon2) para sustituir el resultado en la primera ecuacion e integrar. Se invita allector a llevar a cabo este proceso y comparar la solucion obtenida con el resultado dearriba.

El segundo ejemplo se desarrolla usando la matriz

A =

2 3 20 −1 10 0 −1

con valores propios y polinomio caracterıstico

λ1 = 2, λ2 = λ3 = −1; p(λ) = λ3 − 3λ− 2

En este caso solamente se pueden obtener dos vectores propios, uno asociado a λ1 = 2 y elotro λ2 = −1

u(1) = [1, 0, 0]T ,u(2) = [−1, 1, 0]T , respectivamente,

y consecuencia de que la multiplicidad geometrica del valor propio λ2 = −1 es > que sumultiplicidad algebraica. Para construir un vector propio generalizado linealmente inde-pendiente de u(2), se considera el sistema

A+ I...v = u(2)

de donde se encuentra que v = [−1 + v2, v2, 1]T , seleccionando v2 = 0 se tiene u(3) =[−1, 0, 1]T .

11

El resto del calculo es analogo al del ejemplo anterior y se tiene finalmente que

eAt =

e2t e2t − e−t e2t − (1 + t)e−t

0 e−t te−1

0 0 e−t

3.2. Calculo directo de la funcion exponencial matricial eAt.

Por otra parte, existen algunos metodos para el calculo de eAt directamente, especialmenteutiles para el caso en que la multiplicidad algebraica de un valor propio excede su multiplicidadgeometica, pero que pueden ser usados en cualquier tipo de matriz A cuadrada de entradasconstantes. Estos metodos hacen uso del teorema de Cayley-Hamilton en algun momento de suaplicacion y no requieren pasar por el calculo de una forma canonica de Jordan.

Un metodo directo. [1]

Proposicion 1 Sea la matriz A : [2×2] con valores propios λ1 6= λ2 y defınanse la matrices

Q1 =A− λ2Iλ1 − λ2

, Q2 =A− λ1Iλ2 − λ1

entonces

A = λ1Q1 + λ2Q2 (19a)

Q1Q1 = Q21 = Q1, Q2Q2 = Q2

2 = Q2, Q1Q2 = Q2Q1 = 0 (19b)

Ak = λk1Q1 + λk2Q2, ∀ k ∈ N (19c)

eAt =

∞∑k=0

(At)k

k!= eλ1tQ1 + eλ2tQ2 (19d)

Demostracion.La demostracion de las ecuaciones (19a) y (19b) es inmediata.

De la expansion binomial se tiene

Ak = (λ1Q1 + λ2Q2)k

=

k∑j=0

(kj

)(λ1Q1)k−j(λ2Q2)j

= λk1Q1 + λk2Q2, k = 1, 2, . . .

consecuencia de las ecuaciones (19a) y (19b). La demostracion de (19d) tambien es inmedi-ata ya que

eAt = lımn→∞

n∑j=0

Aj

j!tj

= lımn→∞

n∑j=0

λj1Q1 + λj2Q2

j!tj

= lımn→∞

n∑j=0

λj1Q1

j!tj + lım

n→∞

n∑j=0

λj2Q2

j!tj

= eλ1tQ1 + eλ2tQ2

. . .2

12

Proposicion 2 Para una matriz A como en la proposicion anterior excepto con valorespropios iguales λ1 = λ2 sea ahora la matriz

Q = A− λ0I, donde λ0 = λ1 = λ2

entonces

i) La matriz Q es nilpotente de grado 2.

ii)eAt = (I + t(A− λoI))

Demostracion.

i) Si Q es nilpotente de grado 2 entonces Qk = 0 para toda k ≥ 2 donde k es un natural.Entonces

Q2 = QQ

= (A− λ0I)(A− λ0I)

= (A− λ0I)2 = 0

del teorema de Cayley-Hamilton, ya que el polinomio caracterıstico de A es

φ(λ) = |(λI −A)2|

La demostracion de que Qk = 0 para naturales k > 2 se hace por induccion en k.

ii) Para obtener la exponencial matricial para este caso, se requiere un resultado previo.

Ak = (λ0I +Q)k = λk0I + kλk−10 Q

entonces

eAt = lımn→∞

n∑j=0

(λj0j!I +

j

j!Q

)tj

= eλ0tI + t lımn→∞

n∑j=0

λj−10

(j − 1)!tj−1Q

= eλ0t (I + t(A− λ0I))

. . .2

Algoritmo de Putzer, metodo 1.[5] Sea el problema de valores iniciales

x = Ax, (0,x0), 0 ≤ t <∞; x ∈ Rn, x =dx

dt∈ Rn (20)

donde A : [n× n] es una matriz real constante.

Se propone obtener la solucion de este problema en la forma

x(t) = eAt (21)

sin calcular la forma canonica de Jordan asociada a la matriz A. Este procedimiento esparticularmente util en el caso de raices repetidas del polinomio caracterıstico, sin embargo,

13

del enunciado del problema,A aparte de satisfacer su descripcion, es arbitraria. El polinomiocaracterıstico de A se define como

p(λ) = det(λI[n] −A

)= λn + cn−1λ

n−1 + . . .+ c0 (22)

Se define el operador diferencial lineal de coeficientes constantes

L ≡ p(D) = Dn + cn−1Dn−1 + . . .+ c1D + c0, (23)

de manera que la funcion z(t) es la solucion del problema de valores iniciales

Lz = 0, z(0) = z(0) = . . . z(n−2) = 0, z(n−1) = 1 (24)

La obtencion de la solucion de un problema lineal como este no ofrece ningun problema.Se definen tambien el vector

Z(t) =

z(t)z(t)

...z(n−1)

y la matriz C =

c1 c2 · · · cn−1 1c2 c3 · · · 1· ·· ·· · 0

cn−1 11

(25)

Y se tiene

Teorema 3 (Putzer, Metodo 1) La matriz exponencial

eAt =

n−1∑j=0

qj(t)Aj

resuelve el problema de valores iniciales (20) y donde q0, q1, . . . , qn−1 son los elementosdel vector

q = CZ.

Demostracion.Se requiere demostrar que la funcion

Φ(t) =

n−1∑j=0

qj(t)Aj

resuelve el problema (20) esto es

•dΦ

dt= AΦ

y

• satisface la condicion inicialΦ(0) = In

14

y dada la unicidad de la solucion de un problema de valores iniciales: Φ(t) ≡ eAt.Observacion. Primero, ¿ como se ven las funciones qk(t) ?, llevando a cabo el productoCZ

q0q1...

qn−1

=

c1z + c2z + . . .+ z(n−1)

c2z + c3z + . . .+ z(n−2)

...z

de donde se deduce que

qj =

n−j−1∑k=1

ck+jz(k−1) + z(n−j−1) (26)

De este resultado se tiene que

para t = 0, q0 = 1, q1 = . . . = qn−1 = 0

y en consecuencia

Φ(0) =

n−1∑j=0

qj(0)Aj = q0(0)A0 = In

y se satisface la condicion inicial.

Resta demostrar que la funcion Φ satisface la ecuacion diferencial pero esto es equivalentea demostrar que

dΦ

dt−AΦ = 0

entonces, de la definicion de Φ

dΦ

dt−AΦ =

n−1∑j=0

dqjdtAj −A

n−1∑j=0

qjAj

=

n−1∑j=0

qAj −n−1∑j=0

qjAj+1

El termino∑n−1j=0 qjA

j+1 requiere un poco de atencion. En efecto

n−1∑j=0

qjAj+1 =

n−2∑j=0

qjAj+1 + qn−1A

n

Pero del Teorema de Cayley-Hamilton

An +

n−1∑j=0

cjAj = 0

por lo tanton−1∑j=0

qjAj+1 =

n−2∑j=0

qjAj+1 − qn−1

n−1∑j=0

cjAj

15

y

dΦ

dt−AΦ =

n−1∑j=0

qAj −n−1∑j=0

qjAj+1

=

n−1∑j=0

qAj −n−2∑j=0

qjAj+1 + qn−1

n−1∑j=0

cjAj

=

n−1∑j=0

qAj −n−1∑j=1

qj−1Aj + qn−1

n−1∑j=0

cjAj

= (q0 + c0qn−1) In +

n−1∑j=1

(qj − qj−1 + cjqn−1)Aj

Entonces, si Φ satisface la ecuacion diferencial, los coeficientes de esta serie de potenciasen la matriz A todos son 0. Esto es se requiere demostrar que

q0 + c0qn−1 = 0 (27a)

qj − qj−1 + cjqn−1 = 0, para j = 1, 2, . . . , (n− 1) (27b)

Derivando la ecuacion (26)

qj = c1+j z + c2+j z + . . .+ cn−1z(n−j−1) + z(n−j)

=

n−j−1∑k=1

ck+jz(k) + z(n−j) (28)

De aquı que, para j = 0 y z = qn−1

q0 =

n−1∑k=1

ckz(k) + z(n)

= c1z + c2z + . . .+ cn−1z(n−1) + z(n),

por lo que

q0 + c0qn−1 = c0qn−1 + c1z + c2z + . . .+ cn−1z(n−1) + z(n)

= c0z + c1z + c2z + . . .+ cn−1z(n−1) + z(n)

= 0

ya que es la ecuacion diferencial (24).

Para j ≥ 1, se requiere ahora demostrar que

qj + cjqn−1 = qj−1

Para demostrar la igualdad se examinan ambos lados de la ecuacion por separado

Lado izquierdo:

qj + cjqn−1 =

n−j−1∑k=1

ck+jz(k−j) + z(n−j)

=

n−j−1∑k=0

ck+jz(k) + z(n−j), j = 1, 2, . . . , n− 1 (29)

16

Lado derecho: De la ecuacion (26)

qj−1 =

n−j∑k=1

ck+j−1z(k−1) + z(n−j)

=

n−j−1∑k=0

ck+jz(k) + z(n−j)

cambiando el ındice k − 1→ k en la sumatoria

De la comparacion de este resultado con la ecuacion (29) se tiene el resultado buscado.En consecuencia Φ(t) satisface el sistema (1a) y las condiciones iniciales (1b) y

Φ(t) ≡ eAt

. . .2

3.2.1. Ejemplo.

El primer ejemplo es uno ya resuelto usando el algoritmo asociado a la forma canonica deJordan. Determinar la matriz eAt donde

A =

2 −7 03 −8 00 0 1

cuyo polinomio caracterıstico tiene tres valores propios distintos

p(λ) = λ3 + 5λ2 − λ− 5; y λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = −5

Este algoritmo de Putzer requiere resolver la ecuacion diferencial

z′′′ + 5z′′ − z′ − 5z = 0, condiciones iniciales z(0) = z′(0) = 0, z′′(0) = 1

La solucion de este problema es inmediata

z(t) =1

24e−5t − 1

8e−t +

1

12et

Con esta funcion y los coeficientes del polinomio caracterıstico se construyen las matrices

Z =

z(t)

z′(t)

z′′(t)

=

124e−5t − 1

8e−t + 1

12et

− 524e−5t + 1

8e−t + 1

12et

2524e−5t − 1

8e−t + 1

12et

(30)

y

C =

−1 5 15 1 01 0 0

(31)

Las funciones q se obtienen de

q = CZ =

q0

q1

q2

=

− 1

24e−5t + 5

8e−t + 5

12et

− 12e−t + 1

2et

124e−5t − 1

8e−t + 1

12et

(32)

17

La funcion exponencial matricial buscada es

eAt =

2∑j=0

qjAj

= q0I3 + q1A+ q2A2

=1

4

−3e−5t + 7e−t 7(e−5t − e−t) 0

−3(e−5t − e−t) 7e−5t − 3e−t 0

0 0 4et

y que es la matriz obtenida arriba.

Observacion. Cabe hacer notar que las operaciones con matrices fueron llevadas a cabousando Maple 9 ya que algunos productos matriciales involucran un numero apreciable deoperaciones algebraicas y un pequeno error puede llevar facilmente a un resultado equivo-cado.

Algoritmo de Putzer, metodo 2. En el teorema siguiente cuya demostracion se presenta, lamatriz A : [n × n] tambien es constante pero por lo demas es arbitraria. Se requiere quetenga los valores propios λ1, λ2, . . . , λn no necesariamente distintos pero siguiendo unorden arbitrario prestablecido.

Teorema 4 (Putzer, Metodo 2) La funcion matriz exponencial

eAt =

n−1∑j=0

rj+1Pj (33)

resuelve el sistema (1a), (1b).

Donde

P0 = I, Pj =

j∏k=1

(A− λkI) (34a)

r1, r2 . . . rn solucion del sistema:

r1 = λ1r1, r1(0) = 1 (34b)

rj = rj−1 + λjrj , rj(0) = 0, j = 2, 3, . . . , n (34c)

Demostracion.Como en la demostracion del teorema Putzer, Metodo 1 se define una funcion Φ y sedemuestra que satisface el sistema (1a) las condiciones iniciales asociadas (1b). Ası, sean

Φ(t) =

n−1∑j=0

rj+1Pj , y r0(t) = 0,

entoncesdΦ

dt=

n−1∑j=0

rj+1Pj ,

18

y

dΦ

dt− λnΦ(t) =

n−1∑j=0

rj+1Pj − λnn−1∑j=0

rj+1Pj

= r1P0 + r2P1 + . . .+ rn−2Pn−1 +

−λn (r1P0 + r2P1 + . . .+ rnPn−1)

= (λ1P0 + P1 − λnP0) r1 + (λ2P1 + P2 − λnP1) r2 + . . .+

+ (λn−1Pn−2 + Pn−1 − λnPn−2) rn−1 + (λnPn−1 − λnPn−1)rn

=

n−2∑j=0

(Pj+1 + (λj+1 − λn)Pj) rj+1

Dado quePj+1 = (A− λj+1I)Pj

(ver (34a)), se tiene

dΦ

dt− λnΦ(t) =

n−2∑j=0

((A− λj+1I)Pj + (λj+1 − λn)Pj) rj+1

=

n−2∑j=0

(A− λnI)Pj rj+1

Pero el lado derecho de esta ecuacion no se altera si se suma y resta el mismo polinomio

dΦ

dt− λnΦ(t) =

n−2∑j=0

(A− λnI)Pj rj+1 + (A− λnI)(Pn−1rn − Pn−1rn)

= (A− λnI)

n−1∑j=0

Pj rj+1 − (A− λnI)Pn−1rn

= (A− λnI)Φ− Pnrn

Del teorema de Cayley-Hamilton se tiene que Pn = 0, en consecuencia la ecuacion de arribaimplica

dΦ

dt= AΦ(t)

Tambien, por otra parte para t = 0Φ(0) = I

y con esto se demuestra el teorema. . . .2

3.2.2. Ejemplo.

El siguiente ejemplo es un viejo conocido, calcular eAt donde

A =

2 −7 03 −8 00 0 1

19

Dado que el polinomio caracterıstico y los respectivos valores propios son

p(λ) = λ3 + 5λ2 − λ− 5; y λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = −5

De acuerdo con esta variante metodo de Putzer y considerando los valores propios en el ordenespecıfico indicado arriba, es necesario primero resolver el siguiente sistema de EDO

dr1(t)

dt= (1)r1(t), r1(0) = 1

dr2(t)

dt= r1(t) + (−1)r2(t), r2(0) = 0

dr3(t)

dt= r2(t) + (−5)r3(t), r3(0) = 0

Las soluciones a este sistema de ecuaciones son

r1(t) = et (35a)

r2(t) =1

2

(et − e−t

)(35b)

r3(t) =1

12et − 1

8e−t +

1

24e−5t (35c)

Por otra parte, esta variante del metodo de Putzer requiere del calculo de las siguientes matrices

P0 = I3, P1 = P0(A−I3), P2 = P1(A+I3); P3 = P2(A+5I3) = 0 (Teorema de Cayley-Hamilton)

Ası:

P1 =

1 −7 03 −9 00 0 0

P2 =

−18 42 0−18 42 0

0 0 0

,

y la exponcial matricial es

eAt =

2∑j=0

rj+1Pj =1

4

7e−t − 3e−5t 7(−e−t + e−5t) 03(e−t − e−5t) −3e−t + 7e−5t 0

0 0 4et

3.3. Un ultimo ejemplo.

Sea la matriz

F =

−2 0 0 0 0 0

0 −1 1 0 0 00 0 −1 0 0 00 0 0 3 1 10 0 0 0 3 10 0 0 0 0 1

(36)

20

Calcular la funcion eFt.

Solucion.

Como se puede observar la matriz puede ser particionada en cuatro bloques de tamano 3× 3:

F =

B11

... B12

· · ·... · · ·

B21

... B22

Mas aun, las variables del bloque B11 son completamente independientes de las del bloque B22 porlo que ambos bloques pueden ser procesados de manera independiente. Por simplicidad se denotaranestos bloques como F1 = B11 y F2 = B22.

i) La matriz F1

F1 =

−2 0 00 −1 10 0 −1

tiene como polinomio caracterıstico y valores propios

p(λ) = λ3 + 4λ2 + 5λ+ 2, λ1 = −2, λ2 = λ3 = −1

La matriz exponencial de eF1t se obtendra siguiendo el metodo tradicional de obtener la formacanonica de Jordan y tambien por la variante 2 del metodo de Putzer.

Forma canonica de Jordan. Para el valor propio λ1 = −2 se tiene

F1 + 2I3 =

0 0 00 1 10 0 1

Por lo que la solucion del sistema

(F1 + 2I3)x = 0

tiene como solucionx = [x1 = arb., 0, 0]T

Con la seleccion de x1 = 1 se tiene el primer vector propio u = [1, 0, 0]T .

El valor propio λ2 = −1 tiene multiplicidad 2, su multiplicidad geometrica se observa de laestructura de la matriz

F1 + I3 =

−1 0 00 0 10 0 0

de donde se tiene que solamente se puede obtener un vector propio linealmente independi-ente asciado a este valor propio.

El segundo vector propio se obtiene de resolver el sistema

(F1 + I3)x = 0

21

El vector x tiene la forma x = [0, x2 = arb., 0]T , escogiendo x2 = 1 se tiene el vectorpropio u2[0, 1, 0]T . El tercer vector requerido para generar la matriz M es un vector propiogeneralizado y se obtiene de resolver el sistema

(F1 + I3)x = u2

El vector x = [0, x2 = arb., 1]t, asignando el valor x2 = 0 se tiene el tercer vector u3 =[0, 0, 1]t. En consecuencia

M = [u1

... u2

... u3] = I3

En consecuenciaJ = F1

y

eF1t =

e−2t 0 00 e−t te−t

0 0 e−t

. . .3

Metodo de Putzer,v. 2. Como ya se ha establecido este metodo requiere de la solucion delsistema

dr1dt

= −2r1

dr2dt

= r1 − r2dr3dt

= r2 − r3

sujeto a las condiciones iniciales

r1(0) = 1, r(0) = 0, r3(0) = 0

Su solucion es

r1(t) = e−2t

r2(t) = −e−2t + e−t

r3(t) = (t− 1)e−t + e−2t

Y tambien requiere las matrices

P0 = I3

P1 = P0 (F1− λ1I3)

=

0 0 00 1 10 0 1

P2 = P1 (F1− λ2)

=

0 0 00 0 10 0 0

22

La exponencial matricial de F1 es

eF1 t = r1(t)P0 + r2(t)P1 + r3(t)P2

(37)

=

e−2t 0 00 e−t te−t

0 0 e−t

(38)

ii) La matriz F2 Esta submatriz es interesante porque tiene un valor propio con multiplicidad3. Su exponencial matricial se obtendra mediante el calculo de su forma canonica de Jordan, elcalculo de la matriz Q descrita arriba en la Proposicon (2) y el metodo de Putzer en su version2. La matriz a tratar es

F2 =

3 1 10 3 10 0 3

(39)

Forma canonica de Jordan. El polinomio caracterıstico y los valores propios son

p(λ) = (λ− 3)3, λ1 = λ2 = λ3 = 3 = λ

Para el calculo de los vectores propios se requiere

F2− 3 I3 =

0 1 10 0 10 0 0

De la solucion sistema

(F2− 3 I3)x = 0

se obtiene el primer vector propio u1 = [1, 0, 0]T . Este vector es unico dado que dim (Vλ) =1 < 3 su multiplicidad algebraica. Los otros dos vectores propios necesarios para construira la matriz M se obtienen de la cadena de vectores propios generalizados asociada al vectorpropio u

(F2− 3 I3)V1 = u (40)

(F2− 3 I3)2V2 = u (41)

De la solucion de la ecuacion (40) se obtiene el vector [x1 = arb., 1, 0]T asignando un valorx1 de manera que los vectores u1 y u2 sean linealmente independientes, un valor adecuadoes x1 = 0, y el vector u2 = [0, 1, 0]T .

La solucion de la ecuacion (41) arroja un vector con componentes [x1 = arb., x2 = arb., 1]T .De la seleccion de los valores de x1 = x2 = 0 se tiene el tercer vector linealmente indepen-diente de los dos primeros, u3 = [0, 0, 1]T . En consecuencia M = I3, la matriz J es F2 yla matriz exponencial es

eF2 t =

e3t te3t (1 + t2 )te3t

0 e3t te3t

0 0 e3t

Matriz Q De acuerdo con la Proposicon (2), la matriz

Q = F2− 3I3 =

0 1 10 0 10 0 0

23

y dado que

eF2 t = e3t(I3 + tQ+t2

2Q2)

=

e3t te3t (1 + t2 )te3t

0 e3t te3t

0 0 e3t

Un procedimiento muy eficiente.

Metodo de Putzer,v. 2. Como ya esta establecido, se requiere el calculo de las matrices

P1 = F2− 3I3, P2 = (F2− 3I3)2

y la solucion del sistema

dr1dt

= r1, r1(0) = 1

dr2dt

= r1 + 3r2, r2(0) = 0

dr3dt

= r2 + 3r3, r3(0) = 0

que es

r1(t) = e3t

r2(t) = te3t

r3(t) =1

2t2e3t

Y

eF2 t = r1I3 + r2P1 + r3P2

=

e3t te3t (1 + t2 )te3t

0 e3t te3t

0 0 e3t

que es el resultado esperado.

Para regresar al problema original, la matriz eFt se construye usando las matrices eF1 t y eF2 t

por bloques, esto es

eFt =

e−2t 0 0 0 0 0

0 e−t te−t 0 0 00 0 e−t 0 0 00 0 0 e3t te3t (1 + t

2 )te3t

0 0 0 0 e3t te3t

0 0 0 0 0 e3t

24

4. Apendices.

25

.1. Transformaciones por similaridad.

Sean las matrices A, B de tamano [n × n] y sea λ un valor propio comun. Si u es un vector propioasociado a λ se tiene que

Au = λu

Sea P una matriz no singular de tamano [n × n], entonces el vector w = Pu no es, en general, unvector propio asociado a λ ya que

PAu = λ(Pu) = λw (42)

que no es lo mismo que A(Pu) = λ(Pu). Sin embargo P−1Pu = u y sustituyendo este valor en laecuacion (42)

PAP−1(Pu) = λ(Pu),

es decirPAP−1w = λw

por lo que w es un vector propio de la matriz B = PAP−1. Las formas PAP−1 y P−1AP sonequivalentes[3] y determinan si dos matrices son semejantes o similares de acuerdo a la siguiente

Definicion 2 Sean las matrices A, B de tamano n × n, se dice que son semejantes si existe unamatriz P : [n× n] no singular tal que

B = P−1AP

y se escribe A ∼ B.

Similaridad es una relacion de equivalencia lo que se establece en la siguiente

Proposicion 3 Sean las matrices A, B y C reales de tamano n× n. Entonces

A ∼ A,

Si A ∼ B entonces B ∼ A, y

Si A ∼ B y B ∼ C entonces A ∼ C.

Demostracion.Una relacion de equivalencia es reflexiva, simetrica y transitiva. Esto es

a) A ∼ A. La matriz identidad I[n] de tamano n× n es no singular y

A = I−1[n]AI[n]

b) A ∼ B. Entonces existe una matriz no singular P tal que

A ∼ B ⇒ B = P−1AP

De esta ecuacion se tiene que

A = PBP−1

denotando R = P−1, esta ecuacion se escribe como

A = R−1BR

y en consecuencia B ∼ A.

26

c) En el ultimo caso la hipotesis esA ∼ B y B ∼ C

ecuacion que implica la existencia de matrices P y Q, de tamano n× n, no singulares tales que

B = P−1AP y C = Q−1BQ

Entonces

C = Q−1BQ

= Q−1(P−1AP )Q

= (Q−1P−1)A(PQ)

Pero (PQ)−1 = Q−1P−1, en consecuencia

C = (PQ)−1A(PQ)

. . .2

El siguiente teorema es fundamental en la obtencion de la solucion de x = Ax

Teorema 5 Las matrices A y B de tamano [n × n] tales que A ∼ B entonces tienen los mismosvalores propios.

Demostracion.La hipotesis es A ∼ B se requiere demostrar que A y B tienen los mismos valores propios.

Es suficiente con demostrar que ambas matrices tienen el mismo polinomio caracterıstico. Dado queA ∼ B existe una matriz no singular P tal que

B = P−1AP,

mas aun det(P−1) det(P ) = 1. El polinomio caracterıstico de A es

det(A− λI) = 0

Ahora

0 = det(A− λI)

= det(P−1) det(A− λI) det(P )

= det(P−1(A− λI) det(P ))

= det(P−1(A)P − λI)

= det(B − λI)

Esto demuestra el teorema. . . .2

27

.2. Teoremas usados en el texto.

El siguiente lema se usa en la demostracion del inciso c) del teorema (2).

Lema 1 Sea la matriz real C : [2 × 2] con valores propios α ± ıβ, con β > 0. Sea tambien el vectorpropio u = v + ıw, entonces

Cv = αv − βw y Cw = βv + αw

Demostracion.El resultado es inmediato ya que

Cu = C(v + ıw)

Cv + ıCw = λu

= (α+ ıβ)(v + ıw)

= (αv − βw) + ı(βv + αw)

Y se demuestra el lema despues de comparar partes reales e imaginarias de ambos lados de la ecuacionanterior. . . .2

.2.1. Teorema de Cayley-Hamilton.

El teorema que lleva este nombre dice

Teorema 6 Toda matriz A satisface su ecuacion caracterıstica. Esto es, si

φ(x) = |xA−A|, entonces, φ(A) = 0.

Demostracion.La demostracion requiere de un resultado asociado al teorema fundamental del algebra, el llamadoteorema del residuo

Teorema 7 Sea f(x) un polinomio monico de grado n y sea a ∈ C entonces

f(x)− f(a) = (x− a)g(x) (43)

donde g(x) es un polinomio de grado n− 1.

Entonces, del teorema del residuo, que sigue siendo valido para polinomios con matrices constantescomo coeficientes, se tiene que para cualquier polinomio f

f(x)I − f(A) = (xI −A)g(x) (44)

para algun polinomio g(x) con matrices constantes como coeficientes.

Por otra parte, de la expansion de Laplace de un determinante

(xI −A) · adj(xI −A) = |xI −A| · I = φ(x)

28

donde φ(x) es el polinomio caracterıstico de la matriz A y adj(xI − A) es una matriz cuyas entradasson polinomios en x y que puede escribirse como un polinomio en x con coeficientes matriciales. Dela ecuacion (44)

φ(x)I − φ(A) = (xI −A)ψ(x)

para algun polinomio ψ. Entonces

φ(A) = φ(x)I − (xI −A)ψ(x)

= (xI −A)adj(xI −A)− (xI −A)ψ(x)

= (xI −A) [adj(xI −A)− ψ(x)I]

Ahora, la matriz entre parentesis cuadrados debe ser nula ya que si no lo es puede escribirse comoun polinomio en x de tipo xrC, donde C es una matriz distinta de la matriz 0. Por lo tanto el ladoderecho tiene un termino con la potencia mas alta en x, xr+1C que no se cancela con ningun otrotermino de ese lado; mientras que el lado izquierdo no depende de x. Esto es una contradiccion y enconsecuencia el lado derecho es 0, y

φ(A) = 0

como era requerido.

. . .2

.2.2. Formas canonicas de Jordan.

En los siguientes teoremas se indica el calculo del polinomio caracterıstico y de la funcion exponencialmatricial de una matriz A de tamano n× n.

Teorema 8 (Polinomio caracterısitco.) [3] Sea A de tamano n× n entonces su polinomio carac-terıstico esta dado por

p(λ) = (−λ)n + ξ1(−λ)n−1 + · · ·+ ξn−1λ+ ξn

Donde

ξ1 =

n∑i=1

aii = a11 + a22 + · · ·+ ann, la traza de A

ξ2 =∑j>i

∣∣∣∣ aii aijaji ajj

∣∣∣∣la suma de todos los menores principales de orden 2.

ξr = la suma den!

r!(n− r)!menores principales de orden r que preservan el orden natural de las columnas.

ξn = detA

Distintos casos de valores propios.

n raices reales distintas.

29

Teorema 9 Sea A una matriz real con n valores propios reales distintos, entonces existe una matriz

no singular M = [u1

... · · ·... un], donde uk es el vector propio asociado al valor propio λk y λ1 >

λ2 . . . > λn, tal queJ = M−1AM = diag(λk), k = 1, 2, . . . n

AdemaseAt = M diag(eλk)M−1, k = 1, 2, . . . n

donde diag es una matriz diagonal de tamano [n× n].

2n raices complejas conjugadas distintas.

Teorema 10 Sea A : [2n×2n] una matriz real con 2n valores propios complejos distintos λk = ak+ıbky λk = ak − ıbk a los que corresponden los vectores propios uk = vk + ıwk y uk = vk − ıwk, entoncesel conjunto {v1,w1, . . . ,vn,un} es una base de R2n y

M = [v1

... w1

... · · ·... vn

... wn]

es una matriz no singular tal que

J = M−1AM

= diag

(ak −bkbk ak

); k = 1, . . . , , n

es una matriz real, de tamano [2n× 2n], con bloques de 2× 2 a lo largo de la diagonal principal.

Mas aun, sea la matriz ortogonal

Rk =

(cos bkt − sen bktsen bkt cos bkt

),

entonceseAt = M diag

(eaktRk

)M−1

Raices reales repetidas.

Teorema 11 Sea A : [n×n] una matriz real con valores propios λk, k < n repetidos de acuerdo a sumultiplicidad algebraica. Entonces

Existe una base de vectores propios generalizados para Rn.

Si {u1, . . . , un} es una base de vectores propios generalizados para Rn, la matriz

M = [u1

... . . .... un]

es no singular y la matriz A se puede descomponer en las matrices

A = S +N

dondeM−1SM = diag(λk)

La matriz N = A− S es nilpotente de orden p ≤ n.

30

La matrices S y N conmutan en su producto.

La exponencial matricial es

eAt = M diag(eλkt

)M−1

(I +Nt+ · · ·+ Np−1tp−1

(p− 1)!

)Y tambien el siguiente

Corolario 1 Con las hipotesis del teorema anterior, si A tiene un solo valor propio de multiplicidadalgebraica n, entonces

S = diag(λ), N = A− S, N es nilpotente de orden p

y

eAt = eλt(I +Nt+ · · ·+ Np−1tp−1

(p− 1)!

)Raices complejas repetidas.

El tratamiento para este caso es muy similar al de raices reales repetidas.

Teorema 12 Sea la matriz real A : [2n×2n] con valores propios complejos λk = ak+ıbk y λk = ak−ıbktales que la forma cuadratica λ2 − 2ak + (a2k + b2k) tiene multiplicidad algebraica menor 2n, entonces

Existe una base de vectores propios generalizados complejos para C2n

u∗k = vk + ıwk y u∗k = vk − ıwk, k = 1, . . . , n

Una base para R2n es {v1,w1, . . . ,vn,wn}.

Para alguna de estas bases de R2n la matriz

M = [v1

... w1

... · · ·... vn

... wn]

es no singular y la matriz A se puede descomponer en las matrices

A = S +N

donde

M−1SM = diag

(ak −bkbk ak

)La matriz N = A− S es nilpotente de orden p ≤ 2n.

La matrices S y N conmutan en su producto.

La exponencial matricial

eAt = M diag

(eakt

(cos bkt − sen bktsen bkt cos bkt

))M−1 ×

×(I +Nt+ · · ·+ Np−1tp−1

(p− 1)!

)

31

.3. Vectores propios generalizados.

A continuacion se definen vector propio generalizado y una cadena de vectores propios generalizadosasociados y se enumeran sus propiedades mas importantes.

Su origen se encuentra en a necesidad de determinar una base para expresar una transformacion linealT : Rn → Rn de la que A es su matriz asociada cuando A tiene un valor propio λ de multiplicidadalgebraica k > 1. Se define la multiplicidad geometrica de λ como la dimension (dimEλ) del subespaciogenerado por sus vectores propios linealmente independientes. Por simplicidad, si A tiene n−k valorespropios distintos y la multiplicidad geometrica de λ es igual a la algebraica, entonces se tienen n −k vectores linealmente independientes asociados a los n − k valores propios distintos y ademas kvectores linealmente independientes generadores de Eλ. En consecuencia, se tienen en total n vectoreslinealmente independientes suficientes para una base de T . Por el contrario, si dimEλ < k no setiene el numero suficiente de vectores linealmente independientes para una base de T . Sin embargo,esposible completar esa base construyendo vectores propios generalizados [6].

Definicion 3 Sea A una matriz con un valor propio λ con multiplicidad mayor que 1. Se dice que ven un vector propio generalizado de la matriz A de rango k asociado a λ, si

(A− λI)k v = 0 y (A− λI)k−1 v 6= 0

Definicion 4 Para un vector propio generalizado v como en la definicion anterior, se define unacadena de vectores propios generalizados de longitud k de la manera siguiente. Sea vk = v, entonces

vk−1 = (A− λI)vk = (A− λI)v

vk−2 = (A− λI)vk−1 = (A− λI)2v

...

v1 = (A− λI)v2 = (A− λI)k−1v

Entre las propiedades mas importantes de una cadena de vectores propios generalizados se listan

Si {v1,v2, . . . ,vk} es una cadena de vectores propios generalizados de longitud k asociados alvalor propio λ entonces esta cadena es un conjunto de vectores linealmente independientes.

Vectores propios generalizados para la matriz A asociados a distintos valores propios son lineal-mente independientes entre sı.

Si S1 = {v1,v2, . . . ,vk} y S2 = {u1,u2, . . . ,um} son dos cadenas de vectores propios generaliza-dos de longitudes k y m respectivamente, asociados al mismo valor propio λ, entonces, si vk y umson linealmente independientes S1 ∪ S2 es un conjunto de vectores linealmente independientes.

La suma de las longitudes de todas las cadenas linealmente independientes asociadas al valorpropio λ es igual a su multiplicidad.

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Referencias

[1] D. K. Arrowsmith and C. M. Place, Dynamical systemsdifferential equations, maps and chaotic behaviour, Chapman & Hall, London - Weinheim - NewYork - Melbourne - Madras, 1996.

[2] P. M. Cohn, Elements of linear algebra, Chapman and Hall, Boca Raton London New York Wash-ington, D.C., 1994.

[3] G. Hadley, Linear algebra, Addison Wesley Publishing Co., Reading, Massachusetts, U.S.A., 1961.

[4] L. Perko, Differential equations and dynamical systems, TAM vol 7, Springer-Verlag, 1991.

[5] E. J. Putzer, Avoiding the jordan canonical form in the discussion of linear systems with constantcoefficients, American Mathematical Monthly (1996), no. 1, 2–7.

[6] A. J. Insel S. H. Friedberg and L. Spence, Linear algebra, Prentice Hall, New York, 2003.

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