Cálculo de la matriz simétrica de insumo-producto

estudios

Metodologaspara la estimacinmatemtica de lamatriz de insumo-

producto simtrica

Rodolfo de Jess Haro Garca

C EM L A I N EG I

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METODOLOGAS PARA LA ESTIMACIN MATEMTICA DE LA MATRIZ

DE INSUMO-PRODUCTO SIMTRICA

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Rodolfo de Jess Haro Garca

Metodologas para la estimacin matemtica de la matriz de insumo-producto simtrica:

a partir de las matrices de oferta y utilizacin

asimtricas en una economa abierta

CENTRO DE ESTUDIOS MONETARIOS LATINOAMERICANOS Mxico, D. F. 2008

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Primera edicin, 2008

Centro de Estudios Monetarios Latinoamericanos, 2008 Durango nm. 54, Mxico, D. F., 06700 Derechos reservados conforme a la ley

ISBN 978-968-5696-25-8.

Impreso y hecho en Mxico Printed and made in Mexico

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A mis padres: Rodolfo Haro Villarreal y Mara Zapopan Garca Rodrguez , por su apoyo y sacrificios personales

para avanzar en mi programa educativo.

A mis hijos: Rodolfo de Jess y Ana Sofa, por su apoyo a lo largo de este proceso y Csar Rodolfo y Ricardo Felipe,

por su respaldo y sacrificios personales peculiares para cumplir con la primera etapa de esta investigacin, hace muchos aos.

A Ana Lilia, mi compaera en el viaje de la vida y columna vertebral moral de todo lo que implica desarrollar trabajos como

el presente, y el cario que ha sabido compartir conmigo y nuestros hijos.

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Rodolfo de Jess Haro Garca es licenciado en Economa, del Institu-to Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey; curs una maestra en Desarrollo Econmico, en la Boston University, as como el doctorado en Economa en la Atlantic International University. Es-ta investigacin es absoluta responsabilidad del autor. Sin embargo, no se hubiera logrado sin el soporte directo e indirecto de un sin-nmero de personas que han contribuido para cumplir con esta res-ponsabilidad: profesores, alumnos y compaeros de estudios y de trabajo, entre muchos otros. Conviene destacar el invaluable apoyo de Gilberto Calvillo Vives, presidente del INEGI en Mxico, quien reactiv despus de ms de 25 aos el proyecto de elaboracin de la matriz de insumo-producto para esta institucin, lo que a su vez me motiv a profundizar en el estudio cientfico de este importante tema. De la misma manera, agradezco tambin a Jaime Andrs de la Llata Flores, titular de la Direccin General de Estadsticas Econmi-cas del INEGI entidad responsable de la construccin de la matriz de insumo-producto de Mxico para 2003, y a Manuel Razo Ber-nal, con quien he compartido conceptos para construir un futuro mejor para las estadsticas de Mxico y a quien debo agradecer su in-sistencia desinteresada y respaldo para desarrollar esta investigacin. El contenido de este trabajo es igualmente producto del esfuerzo y dedicacin de Mara Ana Gonzlez Rosas que auxili en el trabajo mecanogrfico de principio a fin. Un especial reconocimiento a Ja-vier Alejandro Barrientos y Olivares y a Maribel Martnez Rodr-guez, por su valioso aporte en los captulos II.1 y II.2 a Javier Ale-jandro para mejorar la redaccin y a Maribel, porque colabor efi-cazmente en la estructuracin de los modelos presentados en esos captulos. Por ltimo, pero no menos importante, el invaluable alien-to y respaldo de mi familia para perseverar y terminar este trabajo. [Notas: las ideas, opiniones y comentarios expresados en este docu-mento son responsabilidad exclusiva del autor y no reflejan la posi-cin del INEGI o del CEMLA. Si requiere informacin ms detallada de esta obra, favor de comunicarse a: INEGI, Direccin de Atencin a Usuarios y Comercializacin; Av. Hroe de Nacozari Sur no 2301; Fraccionamiento Jardines del Parque, C.P. 20270; Aguascalientes, Ags., Mxico; telfonos: 01 800 111 46 34 y (449) 918 19 48; www. inegi.gob.mx; [email protected]; o al CEMLA: http: //www.cemla.org]

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Presentacin Esta publicacin es otro eslabn de una cadena de libros que a partir de 1968 se utilizan en los programas de adiestra-miento del CEMLA sobre los sistemas estadsticos macroeco-nmicos. Asimismo, los emplean los bancos centrales, los institutos de estadstica y otros centros de enseanza supe-rior para divulgar los conocimientos sobre esas materias. La mayora de ellos antes fueron apuntes para los cursos, y uno se public en conjuncin con el INEGI. Destacan las obras de Juan M. Brcich, Sistema de cuentas de producto-ingreso: ejer-cicios (1972); Estructura y transacciones del sistema financiero (1972); y Bases para la economa descriptiva (1998). En 1970 se public La balanza de pagos y su integracin con las cuentas na-cionales de Paul Host-Madsen, en 1986 Un sistema integral de contabilidad nacional y en 1988 Metodologa y anlisis de la ba-lanza de pagos, estos ltimos de Roberto Ibarra.

A partir de 1957 el CEMLA brinda cursos sobre metodolo-ga de las cuentas nacionales, de balanza de pagos y de esta-dsticas monetarias y financieras en su sede y en los bancos centrales e institutos de estadstica del Continente America-no en espaol e ingls. Hasta 1975 estuvieron bajo la res-ponsabilidad de Richard Ruggles, de John P. Powelson y de Juan M. Brcich. Posteriormente, quedaron a cargo de otros profesionales y a partir de 2000 de Edwin Rivera. Para im-partirlos el CEMLA ha contado con la colaboracin de los bancos centrales, del Departamento de Estadstica del Fon-do Monetario Internacional y de algunos institutos de esta-dstica, particularmente del INEGI. Igualmente el CEMLA ha llevado a cabo seminarios de expertos para analizar y deba-tir las actualizaciones de los manuales metodolgicos del Fondo Monetario Internacional y de Naciones Unidas sobre

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los temas de referencia, en algunas ocasiones conjuntamente con la CEPAL y con los bancos centrales miembros. El ms reciente seminario tuvo como propsito examinar los cam-bios propuestos al V Manual de Balanza de Pagos que se in-corporarn en una nueva versin y se realiz en Madrid ba-jo los auspicios del Banco de Espaa en 2006.

Esta investigacin (llevada a cabo por un experto en la materia) demuestra, una vez ms, la importancia y alcance de las matemticas para la construccin de la matriz simtri-ca y el anlisis de insumo-producto. Asimismo, sirve para sustentar las clasificaciones de actividades productivas y productos. Igualmente, es muy til para ampliar la cobertu-ra de las estadsticas econmicas con lo que se logra un Sis-tema de Cuentas Nacionales ms completo y de mejor cali-dad.

Este trabajo aborda un tema estratgico por largo tiempo tratado en forma enigmtica en los manuales de cuentas na-cionales e insumo-producto de la Organizacin de las Na-ciones Unidas y de la Oficina de Estadsticas de Europa, los que, adems, no siempre han sido traducidos correctamente a nuestro idioma. Por si esto fuera poco, tambin, expertos acadmicos y compiladores de los institutos estatales de es-tadstica han soslayado el detalle metodolgico del para-digma desplegado en esta investigacin aplicable al clculo de la matriz simtrica en pases con distintos grados de de-sarrollo.

Subrayamos con el autor la importancia de la matriz de insumo-producto y de la contabilidad social para verificar y validar sus series de tiempo, para respaldar el cambio de ao base, identificar las relaciones interindustriales, el co-mercio exterior, la ecologa y el cambio estructural de cada economa, regin o unin, entre otras estadsticas valiosas.

La construccin de una matriz simtrica a partir de los cuadros de oferta y utilizacin, ya sea producto-por-producto o actividad productiva-por-actividad productiva (industry-by-industry), requiere de informacin mucho ms detallada de los establecimientos, productos y actividades

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productivas de los que se capta, actualmente, mediante los censos econmicos para las cuentas nacionales.

Una de las aportaciones ms significativas de esta investi-gacin es el reconocimiento tanto por el autor como del INEGI y del CEMLA de la ingente necesidad que tienen los pases de construir matrices de insumo-producto. En este documento se enfatiza que la matriz de insumo-producto es indispensable para calcular los requisitos directos e indirec-tos de la produccin, ello porque, como es sabido, se genera un efecto multiplicador en la cadena de produccin, ya que un producto puede ser, a su vez, insumo de otros productos que necesitan, tambin, de otros insumos. Adems, este en-cadenamiento sirve para detectar deficiencias en la oferta interna de insumos para la elaboracin de un producto de-terminado, pues descubre la etapa en que se rompe la ca-dena de produccin interna y emerge la importacin de in-sumos. Dada la creciente complejidad tcnica de la produc-cin, es imperativo que expertos multidisciplinarios deter-minen las funciones de produccin y las canastas de bienes homogneos.

Roberto Ibarra Bentez Consultor del CEMLA

Mxico, D. F., 11 de julio de 2007

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Prlogo

El libro del doctor Haro se inscribe en los esfuerzos que se estn haciendo a nivel mundial para abordar el complejo problema de construir un Sistema de Cuentas Nacionales que permita comprender el funcionamiento, muy cambian-te, de las sociedades actuales y actuar racionalmente sobre el mismo.

Este cambio ha determinado que las normas generales de la Organizacin de las Naciones Unidas al respecto, se estn actualizando peridicamente, dejando un cierto margen pa-ra que sociedades especficas adopten modalidades que to-men en cuenta sus peculiaridades. Unido esto a la compleji-dad del problema, se llega a que dichas normas estn sujetas a amplios mrgenes de interpretacin y ambigedades e, incluso, algunas discrepancias con las que ha adoptado la Unin Europea.1

Las normas mas recientes de Naciones Unidas (de 1993) incorporan importantes cambios, entre los que destacan los que se refieren a diferentes formas de organizacin de la produccin que se detallan en las cuentas por sectores insti-tucionales y la definicin de nuevos conceptos, como el de Ingresos Mixtos, antes incluidos en el de Excedente de Explota-cin, que tienen especial relevancia para las economas en vas de desarrollo.

La complejidad de los problemas tratados derivan de varias fuentes: a) los esfuerzos por abarcar, dentro de lo

1 Estos esfuerzos, a nivel global, son liderados por la Organizacin de Naciones Unidas y la Unin Europea, as como por la CEPAL en Amrica Latina.

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posible,2 la totalidad de las actividades econmicas, lo que implica un balance global de la economa,3 lo cual se consi-gue adoptando como instrumento de anlisis el lgebra Ma-tricial, como lo hace el autor; b) la enorme cantidad de bie-nes y servicios existentes, as como de las tcnicas para su produccin, que va aumentando velozmente por los proce-sos de invencin-innovacin; c) la disponibilidad de instru-mentos, mtodos y algoritmos de clculo, que era una limi-tante formidable hasta hace pocos aos, ahora superada, en gran parte, con la capacidad de almacenamiento y velocidad de procesamiento de la informacin de las computadoras actuales y la disponibilidad presente de paquetes de proce-samiento y anlisis de la informacin; d) la variedad de tc-nicas y formas de organizacin de la produccin; e) la posi-bilidad de distintas formas de medicin para las variables (unidades fsicas o distintos tipos de precios, como: de mer-cado, de productor o consumidor, bsicos, etc.; y f) la posi-bilidad de opciones tericas para describir determinados fe-nmenos, como funciones de produccin lineales o tipo Cobb-Douglas.

El trabajo comentado adopta la hiptesis de coeficientes fijos de insumo-producto, que es la recomendada por Na-ciones Unidas y otros organismos internacionales, que co-rresponde a la corriente de anlisis estructural, que estimo la ms adecuada al problema a tratar. El autor, muy ade-cuadamente, pone gran nfasis en la correcta clasificacin de los bienes y actividades productivas, lo que impone un gran esfuerzo metodolgico en la construccin de las matri-ces de insumo-producto, con la colaboracin temporal o permanente de especialistas en varios campos de la produc-cin. 2 Por el momento, quedan fuera algunas actividades ilegales, como el narcotrfico, que son muy difciles de cuantificar. 3 Esto es distinto de la hiptesis de un equilibrio de todos los mercados. En algunos de ellos puede haber excesos de demanda u oferta, que pro-vocan variaciones no deseadas de existencias, que son parte de las medi-ciones a efectuar.

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En sntesis, estimo que el trabajo del doctor Haro es una valiosa contribucin a la muy esperada e indispensable deci-sin de reanudar la construccin de matrices de insumo-producto para la economa mexicana que, de una manera cientfica y apoyada en encuestas de carcter nacional e in-formaciones censales, permita un mejor anlisis de los pro-blemas econmicos existentes y el diseo de polticas ade-cuadas para su solucin.

Jos Ibarra Corrales Instituto de Investigaciones Econmicas de la UNAM

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Resumen del contenido

La estimacin matemtica de matrices de insumo-producto (MIPS) a partir de la compilacin de los cuadros asimtricos de oferta y utilizacin a precios bsicos (COUbp) basados en informacin proporcionada a las oficinas nacionales de es-tadstica a travs de encuestas y censos econmicos por los establecimientos productores y otras unidades econmicas, es un proceso crucial, debido a que la produccin no es homognea y sea cual sea el clasificador de actividades productivas utilizado se presenta una heterogeneidad pro-ductiva generada porque los productos secundarios se mez-clan con los productos principales o caractersticos. Conse-cuentemente, para ser til en el anlisis econmico, la esti-macin de las MIPS requieren de trabajo adicional, de tal manera que las unidades productivas integradas en cada ac-tividad productiva sean unidades de produccin tecnolgi-camente homogneas. Por lo tanto, la compilacin de los cuadros asimtricos de oferta y utilizacin, tiles para cum-plir con los requerimientos internacionales para la elabora-cin de las cuentas de produccin y los clculos de los agre-gados de las cuentas nacionales, es un proceso incompleto porque se enfrenta con el problema de la estimacin de los cuadros analticos o matrices simtricas de insumo-producto, que para servir a los objetivos del anlisis eco-nmico, la planeacin y los ejercicios de pronstico a travs de modelos de equilibrio general computables, entre otros propsitos requiere que las unidades productivas de cada actividad productiva sean homogneas desde el punto de vista de la produccin y la tecnologa.

Esta investigacin cumple con varios propsitos. En primer

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lugar, se presenta el significado econmico y la compleja ba-se terica del modelo de insumo-producto, el cual es el ci-miento y fuente que define el nivel de esfuerzo para la esti-macin de las matrices de insumo-producto simtricas. Asi-mismo, se precisa matemticamente la estructura subyacen-te a los COUbp. Finalmente, el objetivo y la contribucin principal: se describen y formalizan matemticamente los diversos mtodos propuestos en las normas y prcticas in-ternacionales en esta materia para la estimacin de las MIPS a partir de los COUbp. En este trabajo, se propone un m-todo matemtico integral para estimar las matrices simtricas producto-por-producto y actividad productiva-por-actividad productiva en el caso de una economa abierta incluyendo la matriz de consumo intermedio importado de dimensiones producto-actividad productiva, tema confusamente tratado en los manuales internacionales especializados.

Tambin se demuestra que en el caso de los mtodos no basados en los supuestos de la tecnologa de produccin y de la actividad productiva no es posible derivar matemti-camente la matriz simtrica de importaciones; por lo tanto, su estimacin requiere de un esfuerzo adicional de clasifica-cin de las actividades productivas y los productos, en rela-cin con aquellas diseadas y sugeridas por la ONU, tales como, CCP, CIIU, etc., ya que stas no corresponden tem por tem, una con la otra, entre el mayor nivel de agrega-cin de la CIIU y el mayor nivel de desagregacin de la CCP. Esto ha obligado a varios pases (por ejemplo, Canad, Es-tados Unidos, Japn, los miembros de la UE, entre otros), a construir sus propios clasificadores de productos pagando un alto costo por la prdida de comparabilidad internacio-nal. En estos casos, el trabajo se ha planeado de tal manera que la estimacin de las importaciones de la MIPS actividad productiva-por- actividad productiva sea por agregacin, lo que implica una correspondencia sin ambigedades entre los clasificadores de productos y actividades productivas. Es-te es un grave problema an en espera de una solucin por parte de la Comisin de Estadstica de la ONU.

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En el caso del mtodo de la tecnologa de la produccin, es factible desarrollar la matriz simtrica de importaciones y satisfacer los supuestos econmicos y la estructura de la compleja base terica del modelo de insumo-producto, el cual es el cimiento que justifica el elevado nivel de esfuerzos intelectual y tcnico dedicados a la estimacin de la MIPS producto-por-producto.

Palabras clave: anlisis insumo-producto, tablas de oferta y utilizacin, matriz de insumo producto simtrica.

Introduccin general

R. J. Haro Garca

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Metodologas para la estimacin matemtica de la matriz de insumo-producto simtrica

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Antecedentes

En Mxico, la elaboracin de matrices de insumo-producto simtricas (MIPS) se inici en la dcada de los aos cincuen-ta, cuando el Banco de Mxico, S. A., Nacional Financiera, S. A., la Secretara de Economa y la Secretara de Hacienda, elaboraron una matriz de insumo-producto para 1950 (va-se el estudio Estructura y Proyeccin de la Economa en Mxico, 1950, 1960 y 1965, vol. I, 1958).

Para la economa mexicana en total se han compilado ofi-cialmente seis matrices de insumo-producto, las primeras para los aos 1950 y 1960, en aquel periodo pionero, y otra para 1970, elaborada de manera conjunta por el Banco de Mxico, S. A., la Secretara de Programacin y Presupuesto y la ONU, que se desarroll con diferencias metodolgicas importantes si se le compara con las matrices de 1950 y 1960, ambas de 16 y 32 actividades productivas, precisa-mente por el procesamiento de la informacin que integr la nueva matriz con un nivel de desagregacin mayor: de 72 actividades productivas. Asimismo, la matriz de 1970 se constituy en la base metodolgica utilizada para la compi-lacin de las matrices correspondientes a los aos 1975, 1978 y 1980. Es importante sealar que las matrices de 1970, 1975, 1978 y 1980 se realizaron bajo la responsabili-dad compartida de lo que hoy es el INEGI, organismo que obtuvo su autonoma en 2006 y encargado de la contabili-dad nacional de Mxico y, por lo tanto, del futuro desarro-llo de la investigacin en insumo-producto.

Reinicio del anlisis de insumo-producto en Mxico

Hoy en da, el INEGI est elaborando la Matriz de Insumo-

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Producto de Mxico para 2003, con lo cual retoma una lar-ga tradicin, interrumpida durante ms de 25 aos, en la construccin de matrices de insumo-producto y contribuye al desarrollo y mejora en la calidad de las estadsticas eco-nmicas de Mxico.

La actualizacin de la matriz de insumo-producto permi-tir conocer los cambios experimentados en el marco tecno-lgico y productivo de la economa, mostrar la nueva com-posicin de costos de las actividades productivas y las fun-ciones de produccin subyacentes a stas, adems de las nuevas relaciones intersectoriales que representan la modifi-cacin estructural que ha experimentado la economa mexi-cana a partir de la dcada de los ochenta como consecuencia de la apertura comercial, la desincorporacin de empresas estatales y paraestatales y la desregulacin econmica.

La construccin de una nueva matriz de insumo-producto permitir a la contabilidad nacional incorporar los avances metodolgicos ms recientes que se han desarrollado en este tema, as como la adopcin de las recomendaciones interna-cionales que no se consideraron en la construccin de las matrices elaboradas en el pasado, en particular las normas de la ONU, tema central de esta investigacin. Los trabajos desempeados en la elaboracin de esta matriz significan un avance importante en la implementacin de las disposicio-nes internacionales aceptadas por los pases miembros de la Organizacin de Naciones Unidas, entre los cuales se en-cuentra Mxico.

Asimismo, la matriz de insumo-producto ser la base para la modernizacin del Sistema de Cuentas Nacionales de Mxico, al revelar la estructura productiva actual del pas y, con ello, actualizar las medidas de precio y volumen para la obtencin de clculos a precios corrientes y constantes y como marco de referencia para diversos estudios, entre los cuales est la determinacin de ponderaciones con propsi-tos mltiples como la elaboracin de nmeros ndice y el clculo del nuevo ao base. En consecuencia, el proyecto de construccin de la matriz de insumo-producto para


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Mxico tiene una gran importancia en muchos aspectos.

Rasgos generales de las matrices de insumo-producto asimtricas y simtricas: la nueva metodologa

Los cuadros de oferta y utilizacin (COU) son dos matrices asimtricas que describen la oferta y utilizacin de los bienes y servicios producidos e importados por un pas en unida-des monetarias y representan el marco central del sistema de cuentas nacionales que practican los pases ms desarrollados y que ha sido promovido por las Naciones Unidas a travs de la publicacin de los dos manuales vigentes: el que esta-blece el Sistema de Contabilidad Nacional (Naciones Uni-das, et al., 1993) y otro especializado en el tema de insumo-producto (Naciones Unidas, 2000).1 El objeto de estudio de esta investigacin, es la derivacin matemtica de la matriz simtrica de insumo-producto precisamente en este marco central del sistema de cuentas nacionales para el caso de una economa abierta.

El cuadro de insumo-producto asimtrico conocido como cuadro de utilizacin, es una matriz de doble entrada en la cual a cada actividad productiva seleccionada se le asigna un vector columna y a cada producto seleccionado un vector fi-la. Constituye un instrumento de gran importancia para la organizacin e integracin de un sistema nacional de esta-dsticas econmicas. Al igual que otros modelos existentes para registrar la actividad econmica, se propone obtener una visin amplia del proceso de produccin. En este senti-do, la matriz de insumo-producto asimtrica registra las transacciones de bienes y servicios realizadas por los agentes econmicos que operan en las distintas actividades produc-tivas de un pas en un perodo determinado, generalmente un ao.

1 Es importante enfatizar que las normas internacionales establecidas

por los pases europeos tambin constituyen una fuente central en esta materia; en especial Eurostat (1996) y Eurostat (2002).

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Una MIPS es una matriz de consumo intermedio cuadra-da cuyas dimensiones pueden ser producto-por-producto o actividad productiva-por-actividad productiva. En otras pa-labras, es una matriz de doble entrada en la cual a cada acti-vidad seleccionada (o producto) se le asigna un vector fila y un vector columna. En el vector fila se registra el destino de la produccin segn actividad productiva usuaria (o pro-ducto). En el vector columna se mide la produccin segn el origen de sus costos, ya sea para las actividades o los pro-ductos, dependiendo del tipo de simetra seleccionada para la estimacin de la MIPS.

La MIPS cuya simetra es actividad productiva-por-actividad productiva, muestra en cada elemento i, j la acti-vidad i que proporciona los insumos caractersticos de su universo productivo para la produccin de los productos caractersticos del universo productivo de la actividad j. El cuadro cuya simetra es producto-por-producto muestra en cada elemento i, j la produccin del producto i que es utili-zada como insumo para la produccin del producto j.

Estructura y contenido de la investigacin

El documento est organizado en tres partes: en la parte I se especifica el marco terico del modelo de insumo-producto en unidades monetarias y en unidades fsicas para una economa cerrada.

La segunda parte constituye el ncleo de las aportaciones que este documento pretende realizar y se ocupa de la deri-vacin matemtica de la matriz simtrica de insumo-producto en el marco central del sistema de cuentas nacio-nales para una economa abierta, caso no tratado en forma adecuada para el anlisis intersectorial en los distintos do-cumentos elaborados por los organismos internacionales que se ocupan de este campo de la economa, en los cuales se ha reducido el comercio internacional a un vector de im-portaciones y un componente adicional de la demanda final: el vector de exportaciones.


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La metodologa para estimar la matriz simtrica de insu-mo-producto derivada de los Cuadros de Oferta y Utiliza-cin a precios bsicos (COUbp) que se presenta en este do-cumento corresponde a las prcticas contables de los princi-pales pases y a la norma establecida por las Naciones Unidas.

La parte III incluye un resumen de la investigacin y las principales conclusiones y recomendaciones. Finalmente, se integra el apndice 1, donde se listan las variables utilizadas a lo largo del documento; el apndice 2 que muestra ejem-plos numricos complementarios a los captulos I.1 y I.2; la bibliografa; y, el ndice analtico de los conceptos ms im-portantes de la contabilidad nacional.

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I. El modelo de insumo-producto: la teora

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Introduccin

La matriz de insumo-producto simtrica producto-por-producto es ms apropiada para el anlisis econmico; por ello tambin se le conoce como matriz analtica, pues la si-metra permite sustentar lo que se conoce como modelo analtico terico de insumo-producto que se desarrolla en esta primera parte del documento. Dicho modelo supone que los insumos que se utilizan en la elaboracin de un pro-ducto, estn relacionados con la produccin de ese producto por una funcin de produccin tipo Leontief; es decir, aso-ciada a una funcin de costos lineal que depende de los co-eficientes de insumo-producto en unidades fsicas y los pre-cios de los distintos insumos. Usualmente se supone que los coeficientes de insumo-producto en unidades fsicas perma-necen fijos (al menos a corto plazo); con este supuesto, las relaciones de insumo-producto se transforman en relaciones tcnicas o tecnolgicas y cada columna de un cuadro de co-eficientes de insumo-producto con simetra producto-por-producto representa una tcnica de produccin o funcin de produccin tipo Leontief para ese producto en particular.

As es el sistema abierto concebido originalmente por el profesor Leontief, que se basa en un cuadro de coeficientes de insumo-producto que representa, en cada una de sus co-lumnas, una tcnica de produccin que produce un nico producto. Puesto que se parte del supuesto de que una acti-vidad productiva produce slo un producto, el cuadro de transacciones entre las distintas actividades productivas, que tambin se denomina cuadro de consumo o uso intermedio, es necesariamente cuadrado y constituye una matriz de in-sumo-producto simtrica producto-por-producto.

El modelo que se basa en este cuadro se denomina modelo

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de insumo-producto y es el objeto de anlisis de la parte I. Este modelo hace explcitas las relaciones entre el conjunto de variables reales, que tienen una gran significacin para el anlisis y la programacin econmica y constituyen un me-canismo muy importante para la estadstica nacional. Esta parte de la investigacin especifica el marco del modelo de insumo-producto terico y se compone de dos captulos: en el captulo I.1 se presenta el modelo terico de insumo-producto en unidades monetarias, tal como se expone en el manual vigente de insumo-producto que la ONU ha elabo-rado, en el cual tambin se trata si bien vagamente el mo-delo de insumo-producto en unidades fsicas; en el captulo I.2 se formaliza este modelo terico; es decir, se especifica el conjunto de ecuaciones que lo componen, tanto aquellas re-feridas a la parte en unidades fsicas como las concernientes al segmento en unidades monetarias; as tambin los siste-ms de ecuaciones para los precios por producto (o sistemas duales) correspondientes a los modelos de insumo-producto en unidades fsicas y monetarias.

Captulo I.1 El modelo de insumo-producto segn la normatividad internacional: la teora2 Introduccin

La importancia del modelo de insumo-producto y su

2 En el presente documento las letras maysculas simbolizan matrices,

las letras minsculas vectores columna y las letras griegas escalares. Asi-mismo, los vectores rengln se representan como vectores columna traspuestos y se representan con un smbolo prima (), como tambin es el caso de una matriz traspuesta; por ejemplo, el vector a traspuesto se representa como a y la traspuesta de la matriz A se representa como A. Las dimensiones de vectores y matrices slo pueden ser igual al n-mero de productos (p) o al nmero de actividades (a) y aparecen en los subndices, ya sea solos, cuando es el caso, o antes de la primera coma, a partir de la cual los subndices incluyen otros elementos explicativos de la variable de que se trate, en especial las unidades de medida; para los escalares se omite indicar su dimensin.


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anlisis se puede apreciar en la cita sealada a continuacin: El anlisis de insumo-producto como marco terico e instru-mento de la economa aplicada en una economa de mercado fue creado por Wassily Leontief con la preparacin de los pri-meros cuadros de insumo-producto para los Estados Unidos correspondientes a 1919 y 1929, que se publicaron en 1936. A partir de esa fecha, se han preparado los cuadros que describen las relaciones entre diversos productores de una economa para ms de 90 pases. Leontief recibi el premio Nbel de economa de 1973 por la creacin de los mtodos de insumo-producto (Naciones Unidas, 2000; 1.1).

El origen del modelo de insumo-producto es el cuadro econmico (Tableau Economique), cuya primera versin fue elaborada en 1758 por el economista francs Franois Quesnay (1696-1774), fundador de la escuela fisicrata. Sin embargo, el modelo de insumo-producto y su anlisis son una importante contribucin a la ciencia econmica por-que implican la conversin del cuadro econmico de Ques-nay: un instrumento de ndole descriptiva que muestra las relaciones de compras y ventas entre los distintos pro-ductores y consumidores de una economa (Naciones Unidas, 2000; 1.2) en un marco que posibilita el anlisis econmico estructural mediante la construccin de una gran variedad de modelos que abordan problemas funda-mentales de la economa globalizada contempornea.

En los prrafos siguientes de este captulo se explica el modelo bsico de insumo-producto sin modificar la esencia metodolgica con que se ha expuesto en la normatividad in-ternacional (especficamente Naciones Unidas, 2000; 1.1).

En Naciones Unidas (2000; 1.1), se presenta el modelo de insumo-producto bsico de una economa abierta conside-rando la suma del consumo intermedio total, de origen na-cional e importado, y la demanda final total, de origen na-cional e importado, menos las importaciones totales, lo que permite obtener como resultado la produccin de productos de origen nacional y el uso de los productos importados.

Este tratamiento arroja resultados tericos y analticos

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similares al modelo para una economa cerrada. Por ello, es posible la comparacin que se realiza con los modelos que se presentan en el captulo I.2.

I.1.1 Estructura de la matriz de insumo-producto segn la normatividad internacional

En teora, los cuadros de insumo-producto pueden estar especificados en unidades fsicas o en unidades monetarias. Sin embargo, el modelo terico bsico de insumo-producto que se presenta en el citado manual se refiere, principal-mente, al modelo de insumo-producto en unidades moneta-rias, que describiremos haciendo las precisiones que la nor-ma internacional establece para dicho modelo en unidades fsicas, el cual se analiza de manera detallada en el siguiente captulo. Slo se presenta el sistema abierto del profesor Leontief, en el cual el vector de demanda final es considera-do exgeno, supuesto que no altera los objetivos de esta in-vestigacin, como se comprobar ms adelante.

La estructura de la matriz de insumo-producto en unida-des monetarias se ilustra en los esquemas I.1.1 y I.1.2, en los cuales se supone una economa en la tradicin del an-lisis de insumo-producto (Leontief, 1966) (Ten Raa, 2006; p. 14) en la que cada actividad productiva produce un solo producto y, por lo tanto, la matriz de uso interme-dio total simtrica de productos en unidades monetarias (Upxp,um).

En este cuadro se muestra en cada elemento i, j el total (en unidades monetarias) de la produccin del producto i que

Esquema I.1.1 Matriz simtrica producto-por-producto

Productos

Demanda final para los productos

Uso total de productos

Productos Upxp,um Fpxf,um qp,um Valor agregado bruto Vvxp,um Total de produccin

de productos

qp,um


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Esquema I.1.2 Matriz simtrica producto-por-producto

Productos

Demanda final pa-ra los productos

Uso total de productos

Productos Upxp,um fp,um = Fpxf,um u qp,um

Valor agregado bruto vp,um = u Vvxp,um

Produccin total de productos

qp,um

se utiliza como insumo para la produccin total (en unida-des monetarias) del producto j; por ello hablamos de una matriz de insumo-producto simtrica de dimensiones pro-ducto-por-producto.3

As, el modelo que se basa en este cuadro se llama modelo de insumo-producto simtrico.4 En la presentacin del mo-delo de insumo-producto de la norma internacional (Na-ciones Unidas, 2000; 1.1), se mantiene una exposicin

3 Es decir, se supone que los productores no realizan ninguna pro-

duccin secundaria; slo producen sus productos principales o caracte-rsticos. En consecuencia, la distincin entre actividades productivas y productos es irrelevante. En relacin con la terminologa debe sealarse que en el documento normativo internacional traducido al espaol (Na-ciones Unidas. 2000; 1.4), se insiste en el uso de la palabra industria; sin embargo, en esta investigacin se ha sustituido por la palabra actividad productiva porque en castellano es ms apropiada, ya que la industria si bien de importante ponderacin es slo un subconjunto de las activi-dades productivas; se refiere a la fabricacin mecnica de los productos.

4 En el campo de las matemticas, la matriz hipottica U, sera sim-trica si fuese cuadrada, como es el caso y, al mismo tiempo, Uij = Uji pa-ra todo i, j = 1,2,3,...,n. La simetra es respecto a la diagonal principal y U sera tambin igual a su traspuesta U. Es decir, una matriz es simtri-ca cuando es igual a su traspuesta (la matriz U es simtrica si U = U). El concepto de simetra en el caso de la matriz de insumo-producto es radicalmente distinto; una matriz es simtrica cuando tanto en las filas como en las columnas se utilizan las mismas unidades. En este caso se habla de una matriz simtrica porque cada rengln i se refiere al mismo producto a que se refiere la columna j cuando i = j; el concepto simetra se refiere a esa armona de posicin de los conceptos de cada columna con los conceptos del rengln correspondiente; armona de unos respec-to de los otros conceptos.

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simplificada de su estructura; por ello, en el esquema I.1.1, los distintos elementos de la demanda final se representan por la matriz de demanda final total por producto para las f categoras de demanda final en unidades monetarias Fpxf,um, mientras que en el esquema I.1.2 se suman los renglones de esta matriz y la demanda final se simplifica al vector de de-manda final total por producto en unidades monetarias (fp,um).5

Asimismo, en el esquema I.1.1 los elementos del valor agregado se caracterizan por la matriz de valor agregado por producto para las v categoras de valor agregado en unidades monetarias Vvxp,um, mientras que en el esquema I.1.2 se suman las columnas de esta matriz y el valor agre-gado es reducido a un vector fila nico (vp,um) que denomi-namos vector de valor agregado bruto por producto en unidades monetarias.

A continuacin describiremos dicho modelo en unidades monetarias usando el esquema I.1.2.6

En otras palabras, se explicar el modelo bsico de insu-mo-producto y los distintos elementos de la demanda final se integrarn en un solo vector, el cual incluye los gastos de consumo final y la formacin bruta de capital de los sectores de los hogares, del gobierno y de las instituciones sin fines de lucro que sirven a los hogares. Adems, los distintos ele-mentos del valor agregado se integrarn en un solo vector.

I.1.2 Modelo de insumo-producto simtrico, importancia y estructura general: el modelo bsico de la normatividad internacional La norma internacional establece claramente que el anlisis de

5 Si estuvisemos en el caso del modelo bsico de insumo-producto

del captulo 1 de Naciones Unidas (2000), el vector fp,um sera la demanda final total neta de importaciones totales; es decir, la demanda final de origen nacional e importado, menos las importaciones totales.

6 Esta simplificacin en la demanda final y el valor agregado se man-tiene a lo largo de la investigacin, porque no afecta los resultados anal-ticos que son objeto de la misma.


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insumo-producto se convirti en un instrumento de anlisis [las cursivas son del autor de este libro] econmico cuando Leontief introdujo un supuesto de funciones de producciones lineales de coeficientes fijos que relacionan los insumos usados por una ac-tividad productiva en cada columna con su flujo de productos, es decir, para una unidad del producto de cada actividad productiva, se requiere una cantidad fija de insumo de cada clase. (Nacio-nes Unidas, 2000; 1.7).7 Se supone que los insumos que se utilizan en la elaboracin de un producto estn relacionados por una funcin de produccin de coeficientes lineales y fijos (al menos a corto plazo). Con esta suposicin, las relaciones de insumo y producto se transforman en relaciones tcnicas y cada columna de un cuadro de coefi-cientes de insumo-producto representa una tcnica de produc-cin. (Naciones Unidas, 2000; 1.2).

A partir del esquema I.1.2, en la MIPS los totales de cada fila y de su correspondiente columna deben ser iguales y miden respectivamente, el valor de la produccin segn ventas (fila) y segn costos (columna), de ah que los vecto-res de oferta y utilizacin de productos de origen nacional por producto en unidades monetarias, (qp,um y qp,um) resulten de la suma de los renglones y de las columnas. En efecto, cada vector fila constituye una igualdad que establece que el valor de la produccin de ese producto equivale a la suma de las ventas intermedias y finales netas; o sea:

qp,um = Upxp,um u + fp,um (I.1.1)

donde u es un vector columna unitario. Pero en virtud de que se puede asegurar que siempre:

u = (diag(qp,um))-1 (qp,um) (I.1.2)

En este caso:

qp,um = Upxp,um (diag(qp,um))-1 qp,um + fp,um = Apxp,um qp,um + fp,um (I.1.3)

7 En la norma citada de Naciones Unidas (2000), el concepto de fun-

cin de produccin se aplica al modelo en unidades monetarias. Esto es incorrecto, en virtud de que las funciones de produccin estn definidas para relaciones insumo-producto en unidades fsicas.

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donde queda definida la matriz simtrica de coeficientes tcnicos totales producto-por-producto en unidades mone-tarias de la siguiente manera:

Apxp,um = Upxp,um (diag(qp,um))-1 (I.1.4)

Dado que suponemos que la matriz simtrica de coeficien-tes tcnicos totales producto-por-producto en unidades mo-netarias Apxp,um es conocida y los valores (unidades moneta-rias) del vector de demanda final total por producto en uni-dades monetarias fp,um constituyen datos determinados ex-genamente es decir, fuera del modelo, entonces es posible resolver el sistema de ecuaciones y encontrar el nivel de produccin de los diversos productos en unidades moneta-rias que es necesario para satisfacer un nivel especfico de la demanda final de productos en unidades monetarias.

Matemticamente, el vector de produccin de productos en unidades monetarias qp,um en el sistema puede resolverse en la forma siguiente:

qp,um = Apxp,um qp,um + fp,um (I.1.5)

qp,um - Apxp,um qp,um = fp,um (I.1.6)

(I - Apxp,um) qp,um = fp,um (I.1.7)

qp,um = (I - Apxp,um)-1 fp,um (I.1.8)

donde I representa la matriz identidad que es una matriz cuadrada en que todos los elementos en la diagonal son iguales a 1 y los dems elementos son iguales a cero. Cada columna de la matriz (I - Apxp,um)-1 muestra los requerimientos totales, tanto directos como indirectos, por unidad de de-manda final y es comnmente conocida como la matriz in-versa de Leontief.

Interpretacin econmica de la inversa

Las estructuras de insumos representadas en la matriz Apxp,um y analizadas en los prrafos anteriores de este captulo,


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muestran el tipo y la cantidad de los diversos insumos que requiere cada actividad productiva para la produccin de una unidad monetaria del producto que elaboran, pero no indican nada acerca de los efectos indirectos. La norma in-ternacional establece un ejemplo muy ilustrativo:

el efecto de la produccin de un vehculo automotor no cesa en el acero, los neumticos y otros componentes que se requie-ren. Genera una larga cadena de interaccin en los procesos de produccin, puesto que hay que producir cada uno de los pro-ductos usados como insumo y stos a su vez necesitarn varios insumos. La produccin de los neumticos, por ejemplo, re-quiere caucho, acero y tela, etc., que, a su vez necesitan varios productos como insumos, incluido el servicio de transporte prestado por los vehculos automotores que hace necesaria la produccin de estos vehculos en primer lugar. Un ciclo de ne-cesidades de insumos requiere otro ciclo de insumos que a su vez requiere otro ciclo ms. Esta cadena de interacciones sigue hasta el infinito. Pero la suma de todas estas reacciones en ca-dena se determina a partir del valor de la inversa de Leontief. (Naciones Unidas, 2000; 1.15).

En el siguiente captulo se precisa la importancia terica de este concepto, se formaliza su relevancia analtica y en el apndice se presenta el ejemplo ilustrativo que aparece en el captulo 1 del Manual de insumo-producto, en el que, sin embargo, se establece que:

Las condiciones necesarias y suficientes para que (I - Apxp,um) pueda invertirse son que (I - Apxp,um) sea una matriz cuadrada y que ninguna fila o columna de (I - Apxp,um) sea proporcional res-pectivamente a otras filas y columnas, o una combinacin lineal de otras filas y columnas, es decir, todas las filas y columnas son linealmente independientes. El sistema de ecuaciones puede tener una solucin slo si (I - Apxp,um) puede invertirse. (Nacio-nes Unidas, 2000; 1.60).

Tambin establece que el modelo econmico simple de insumo-producto en el cual una actividad productiva elabo-ra una nica mercanca es un sistema de ecuaciones lineales. Entonces. (I - Apxp,um)-1 o sea, la inversa de Leontief siempre es no negativa cuando: a) la matriz Apxp,um se mide en trminos

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de valores; y b) ai,j, cualquier elemento de Apxp,um, es no nega-tivo y menor que 1, lo que en condiciones econmicas nor-males, siempre se satisface porque el valor de cualquier in-sumo utilizado es menor que el valor de produccin del producto (Naciones Unidas, 2000; 1.61). Esta aseveracin es incorrecta y se aclarar en el siguiente captulo, al establecer las condiciones para la productividad de la inversa de Leon-tief; en realidad debe hablarse de que la suma de renglones y columnas sea menor a 1.8

I.1.3 Modelo de insumo-producto simtrico, los precios como costos de produccin

Para la produccin de una unidad monetaria del produc-to j, se requiere una serie de insumos en cantidades fsicas cuantificadas en los coeficientes tcnicos en unidades fsicas de la columna correspondiente. Entonces, si pi es el precio por unidad producida del producto e i, el costo de los in-sumos intermedios necesarios para la produccin de una unidad del producto j puede escribirse como pp Apxp,uf, don-de pp es el vector de precios de los distintos productos en unidades monetarias, los cuales se determinan de acuerdo con la siguiente ecuacin (Naciones Unidas, 2000; 1.27 y 1.30):

pp = Apxp,uf + vp,puf (I.1.9)

donde dado que Apxp,uf es la matriz de coeficientes de insu-mo-producto en unidades fsicas vp,puf es el vector de valor agregado en unidades monetarias por unidad fsica de pro-duccin de los p productos.

La solucin para el vector de precios pp es:

pp = vp,puf (I - Apxp,uf)-1 (I.1.10)

En un modelo simplificado de insumo-producto con

8 Una matriz cuadrada es productiva o cumple con las condiciones de Hawkins-Simon, si todos los menores principales son positivos.


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coeficientes constantes, el anlisis de precios se muestra en esta ecuacin, en la que, ntese, se est utilizando la matriz de coeficientes tcnicos en unidades fsicas. Sin embargo, si esta matriz de coeficientes tcnicos se mide en trminos monetarios, es decir Apxp,um, entonces vp,pum es el vector de va-lor agregado por unidad monetaria de produccin de los distintos productos (por ejemplo, por dlar de produc-cin), en cuyo caso, cada elemento del vector precios p es igual a la unidad (igual a 1). (Vase Naciones Unidas, 2000; 1.35.)

Esto sera el caso del ao base:

u = uApxp,um qp,um + vp,pum (I.1.11)

u = vp,pum (I - Apxp,um)-1 (I.1.12)

As, se pueden calcular las variaciones de los precios como resultado de los cambios del valor agregado; cul ser el efecto en los precios por unidad monetaria de produccin de los distintos productos si el valor agregado por unidad monetaria del segundo producto aumenta 10%? (Naciones Unidas, 2000; 1.37). En este caso, si el sistema inicial es el siguiente:

u = 0.7 0.5 0.5

1.007 0.257 0.375

0.351 1.171 0.340

0.141 0.468 1.136

Y el valor agregado por unidad monetaria de produccin de los distintos productos cambia de vp,pum= (0.7, 0.5, 0.5) a vp,pum= (0.7, 0.55, 0.5), el nuevo vector de precios resultan-te es:

pp = (1.017, 1.058, 1.018) (I.1.13) Como el nuevo valor de vp,pum por unidad monetaria de

produccin de los distintos productos para el segundo pro-ducto aumenta a 0.55 (es decir, 10% mayor que el valor an-terior de vp,pum), el precio por unidad monetaria de produccin

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del segundo producto aumenta casi 6% mientras que los precios de otros productos suben casi 2% (Naciones Unidas, 2000; 1.38). Si definimos los precios relativos como la razn entre el nuevo precio y el de la base o inicial, en este caso los precios relativos seran igual a (1.017, 1.058, 1.018) ya que los precios iniciales son todos igual a 1.

Es posible derivar las siguientes reglas para el anlisis de las variaciones de los precios relativos atribuibles a los cam-bios tcnicos, segn reflejan las modificaciones de los coefi-cientes de insumo-producto o de valor agregado (Naciones Unidas, 2000; 1.39):

Las variaciones de los precios relativos, dados los cambios de los coeficientes tcnicos, o de valor agregado, sern los mismos, sea que el cuadro de insumo-producto se realice en unidades fsicas o en unidades monetarias.

Las modificaciones del valor agregado o de los coeficien-tes pueden incorporarse directamente en el cuadro de in-sumo-producto en unidades monetarias sin hacer otros ajustes, en tanto se usen para la comparacin los precios de perodo de base en el que cada precio es igual a 1; en consecuencia, la suma de los coeficientes de cada colum-na, incluidos los coeficientes con valores nuevos no tienen que ser necesariamente iguales a 1.

De ese mismo ejemplo, si se usa el nuevo vector precios para actualizar la matriz de coeficientes de insumo-producto en unidades monetarias como se seala en la siguiente ecuacin:

Apxp,um = diag(pp) Apxp,uf (diag(pp))-1 (I.1.14)

Entonces, la suma de cada columna de la matriz de coefi-cientes de insumo-producto (incluyendo el valor agregado) en unidades monetarias actualizada ser igual a 1. El anexo 2 muestra un ejemplo muy ilustrativo de estas afir-maciones.


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Captulo I.2 El modelo formal de insumo-producto: la teora

Introduccin

Los cuadros de insumo-producto pueden estar en unida-des fsicas o monetarias y el modelo terico bsico de insu-mo-producto que se explica enseguida presenta ambos casos y la vinculacin entre ellos. Sin embargo, conviene sealar que el propsito de la presente investigacin es determinar la estructura numrica y matemtica de los cuadros asim-tricos, sean cuadrados o rectangulares, de oferta y utiliza-cin y los mtodos matemticos para transformar el cuadro de utilizacin asimtrico en un cuadro simtrico de insumo-producto, siempre cuadrado por definicin.

As una vez analizados los mtodos de transformacin de la asimetra de los COUbp a la MIPS, propsito de los captu-los de la segunda parte, el presente captulo es la pieza fundamental para determinar la validez de la aseveracin generalizada de que la obtencin del cuadro simtrico a partir de los COU, siempre calculados en unidades moneta-rias, es una estimacin apropiada para cumplir con los obje-tivos analticos del modelo terico de insumo-producto. So-bre todo, responder a la pregunta: cul es el mtodo ms apropiado para obtener la MIPS a partir de los COU? Esta idea se ha establecido sin ambigedades en la propia nor-matividad internacional, como se observa en el prrafo si-guiente:

habida cuenta de que se ha determinado que los cuadros de insumo-producto (asimtricos) [la palabra asimtricos es introdu-cida por el autor de esta investigacin] elaborados como cua-dros de oferta y utilizacin en trminos monetarios constituyen un instrumento poderoso para compilar las cuentas de produc-cin en las cuentas nacionales, desde 1968 se los incorpora en el Sistema de Cuentas Nacionales de las Naciones Unidas. Esto aumenta la exactitud de los cuadros de insumo-producto por medio del procedimiento de equilibrar la oferta y la utilizacin de cada producto bsico en una economa dada cuando se

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efecta una transaccin en el mercado a precios diferentes y con distintos usuarios. Por esta ltima razn, en el manual se presta atencin principalmente a la construccin de un cuadro de insumo-producto simtrico como parte de un sistema de cuentas nacionales, pero el producto final debera satisfacer los requi-sitos bsicos de un modelo de insumo-producto [las cursivas son del autor de esta investigacin]. (Naciones Unidas, 2000; 1.3).

En consecuencia, en el presente captulo se analiza la es-tructura bsica del modelo de insumo-producto desde la perspectiva terica, tanto en unidades fsicas como moneta-rias, siendo esta ltima la que constituye el centro de aten-cin de la transformacin de las estructuras asimtricas en unidades monetarias a una estructura simtrica en unidades monetarias cuya pretensin es estimar la matriz de insumo-producto terica que se conceptualiza en los siguientes p-rrafos.

I.2.1 Estructura bsica de la matriz de insumo-producto en unidades fsicas9

La configuracin de la matriz de insumo-producto en unidades fsicas se muestra en los esquemas I.2.1 y I.2.2, que representan la estructura productiva de la economa. Se supone que cada actividad productiva elabora un slo pro-ducto, por lo que la matriz de consumo intermedio o matriz simtrica de uso intermedio de productos en unidades fsi-cas (Upxp,uf) es cuadrada de dimensiones producto-por-producto y simtrica.10 Cada elemento Upxp,uf,i,j muestra el

9 Esta seccin y las siguientes de este captulo, estn basadas en Kyn

(1985), pero se han realizado adaptaciones y cambios a la versin ori-ginal y se han agregado algunos temas, as que los errores y omisiones son responsabilidad exclusiva del autor de esta investigacin.

10 Al igual que en el captulo anterior, se supone que los productores no realizan ninguna produccin secundaria; slo producen sus produc-tos principales o caractersticos y, en consecuencia, la distincin entre actividades productivas y productos es irrelevante. Formalmente, esto implica el supuesto de que no hay produccin conjunta. Es decir, en cada actividad productiva se obtiene slo un producto homogneo, el


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total (en unidades fsicas) del producto i que se utiliza como insumo para la produccin total (en unidades fsicas) del producto j (qj); por ello hablamos de una matriz de insumo-producto simtrica producto-por-producto.

Esquema I.2.1 Matriz de insumo-producto en unidades fsicas

Productos Productos 1 2 ... n

Demanda intermedia

Demanda final

Produccin y utilizacin total

1 2 . . . . . n

Upxp,uf,1,1, Upxp,uf,1,2, ...Upxp,uf,1,n Upxp,uf,2,1, Upxp,uf,2,2, ...Upxp,uf,2,n

. . ... . . . ... . . . ... . . . ... . . . ... .

Upxp,uf,n,1, Upxp,uf,n,2, . .Upxp,uf,n,n

mp,uf,1 mp,uf,2

.

.

.

.

. mp,uf,n

f p,uf,1 f p,uf,2

.

.

.

.

. f p,uf,n

q p,uf,1 q p,uf,2

.

.

.

.

. q p,uf,n

En la matriz de insumo-producto en unidades fsicas, ca-da rengln representa un nico producto que se utiliza para diferentes propsitos, ya sea como insumo o como producto para la demanda final; por esto, en cada rengln, todas las cantidades fsicas estn expresadas en las mismas unidades de medida. Asimismo, si comparamos diferentes renglones que representan diferentes productos, podramos consta-tar que algunos estn expresados en diferentes unidades de medida.

Definiciones I.2.1

Vectores de la matriz de insumo-producto en unidades f-sicas. Las variables del esquema I.2.1 se pueden representar

cual es distinto al que se produce en el resto de las actividades produc-tivas. Adems, implcitamente suponemos que slo existe una tecnolo-ga para la produccin de cada producto y, para todo i y j , ui,j 0 y qj 0.

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Esquema I.2.2 Matriz de flujos intermedios en unidades fsicas

Productos

Productos 1 2 ... n

Upxp,uf =

1 2 . . . . . n

Upxp,uf,1,1, Upxp,uf,1,2, ... Upxp,uf,1,n Upxp,uf,2,1, Upxp,uf,2,2, ... Upxp,uf,2,n

. . ... . . . ... . . . ... . . . ... . . . ... .

Upxp,uf,n,1, Upxp,uf,n,2, ... Upxp,uf,n,n

en notacin matricial de la siguiente manera: el vector de produccin bruta en unidades fsicas para los n productos: qp,uf= (qp,uf,1, qp,uf,2, ..., qp,uf,n); el vector de demanda interme-dia en unidades fsicas para los n productos: mp,uf = (mp,uf,1, mp,uf,2, ..., mp,uf,n) y el vector de demanda final en unidades f-sicas para los n productos: fp,uf = (fp,uf,1, fp,uf,2, ..., fp,uf,n).

I.2.2 Modelo bsico de insumo-producto simtrico para la produccin en unidades fsicas

Como se describi en el captulo anterior, el anlisis de in-sumo-producto se convirti en un instrumento (de anlisis) econmico cuando Leontief introdujo un supuesto de fun-ciones de produccin lineales de coeficientes fijos que rela-cionan los insumos usados por una actividad productiva en cada columna con su flujo de productos, es decir, para una unidad de produccin del producto de cada actividad pro-ductiva, se requiere una cantidad fija de cada insumo. Esto es, se supone que los insumos que se utilizan en la produc-cin de un producto estn relacionados por una funcin de produccin lineal de coeficientes fijos, rendimientos cons-tantes a escala y elasticidad de sustitucin igual a cero. Con este supuesto, las relaciones de insumo y producto se trans-forman en relaciones tcnicas y cada columna de un cuadro


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de coeficientes de insumo-producto en unidades fsicas re-presenta una tcnica de produccin. A continuacin se des-cribe el modelo completo.

Definicin I.2.2.

Coeficientes tcnicos. El coeficiente tcnico ai,j representa el requerimiento mnimo en unidades fsicas del producto i tecnolgicamente determinado para la produccin de una unidad fsica del producto j; ai,j 0.

Supuesto I.2.1

La funcin de produccin de Leontief (coeficientes fijos) se usa en forma generalizada en todos los procesos produc-tivos. La ecuacin para la produccin del producto j es:

qj = min (Upxp,uf,1,j /a1,j, Upxp,uf,2,j /a2,j, Upxp,uf,3,j /a3,j, , Upxp,uf,n,j /an,j)(I.2.1)

Las funciones de produccin de Leontief se pueden re-presentar en notacin matricial con la matriz simtrica de uso intermedio de productos en unidades fsicas de la si-guiente manera:

Upxp,uf = Apxp,uf diag(qp,uf) (I.2.2)

Que determina la matriz de coeficientes tcnicos:

Apxp,uf = Upxp,uf (diag(qp,uf))-1 (I.2.3)

donde ai,j (elemento de la matriz Apxp,uf) es el coeficiente tc-nico o coeficiente de insumo-producto de la definicin I.2.1.

Supuesto I.2.2

No hay desperdicio en los procesos productivos. Esto es, la cantidad total (en unidades fsicas) del producto i que se utiliza como insumo para la produccin total (en unidades fsicas) del producto j (Upxp,uf,i,j) no puede ser menor; de otra manera implicara desperdicio de insumos.

As, la cantidad mnima del producto i (Upxp,uf,i,j) requerido

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para producir una cierta cantidad del producto j (qp,uf,j), se determina de la siguiente manera:

Upxp,uf,i,j = ai,j qp,uf,j ; para: i = 1,2, ..., n; j = 1,2, , n (I.2.4)

Supuesto I.2.3

Todos los mercados estn en equilibrio en unidades fsi-cas. Es un supuesto fundamental del modelo; es la identidad que lo determina.

Para cada producto i, la identidad oferta-demanda en unidades fsicas est asegurada. En efecto, cada fila constitu-ye una igualdad que establece que la produccin del pro-ducto i en unidades fsicas (qp,uf,i) es igual a la suma de los usos de la produccin de este producto, ya sea como insumo intermedio en unidades fsicas (mp,uf,i) o para la demanda fi-nal en unidades fsicas (fp,uf,i); en consecuencia, los totales de cada fila (demanda, ver esquema I.2.1) son iguales a la pro-duccin de cada producto (oferta) en unidades fsicas:

qp,uf,i = nj=1 ai,j qp,uf,j + fp,uf,i ; para: i = 1,2, ..., n (I.2.5)

El vector qp,uf es la suma de tales renglones, constituye el supuesto fundamental del modelo; la identidad oferta-demanda para todos los productos: todos los mercados es-tn en equilibrio en unidades fsicas:11

qp,uf = Upxp,uf u + fp,uf (I.2.6)

En virtud de que:

u = (diag(qp,uf))-1 (qp,uf) (I.2.7) Obtenemos:

qp,uf = Upxp,uf (diag(qp,uf))-1 qp,uf + fp,uf (I.2.8)

11 Esta identidad, y todas aquellas referidas al equilibrio que aparecen

en este documento, incluye en la demanda final las variaciones de las existencias, concepto que ms que asegurar equilibrio en todos los mer-cados mide su desequilibrio ex post.


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Sustituyendo el supuesto I.2.1 (la funcin de produccin de Leontief de coeficientes fijos Apxp,uf) en I.2.8, de una iden-tidad oferta-demanda para todos los productos, obtenemos la ecuacin analtica:

qp,uf = Apxp,uf qp,uf + fp,uf (I.2.9)

A partir de la ecuacin analtica I.2.9 el supuesto funda-mental del modelo, todos los mercados estn en equilibrio, se puede resolver; de I.2.9 derivamos:

qp,uf - Apxp,uf qp,uf = fp,uf (I.2.10)

Dado que la matriz de coeficientes Apxp,uf es conocida, el vector de produccin en unidades fsicas (qp,uf) en el sistema puede resolverse matemticamente de la siguiente manera (primero simplificamos):

(I - Apxp,uf) qp,uf = fp,uf (I.2.11)

donde (I Apxp,uf) es la matriz de Leontief y la matriz (I - Apxp,uf)-1 = Rpxp,uf es la inversa de Leontief.12 De esta manera, al considerar que el vector de demanda final en unidades fsi-cas fp,uf es determinado exgenamente, entonces es posible resolver el sistema de ecuaciones y encontrar el nivel de produccin de las actividades productivas y productos (qp,uf) necesario para satisfacer un nivel especfico de la demanda final. Si (I - Apxp,uf)-1 existe, entonces la solucin sera:

qp,uf = (I - Apxp,uf)-1 fp,uf = Rpxp,uf fp,uf (I.2.12)

12 A manera de corolario, si bien por definicin Apxp,uf es semipositiva

(Apxp,uf 0), (I Apxp,uf) no lo es, excepto en el caso trivial cuando es una matriz diagonal (ver Esquema I.2.3). La matriz de coeficientes tcnicos Apxp,uf puede ser singular porque es probable que tenga algunos renglo-nes iguales a cero (los correspondientes a productos que no se utilizan como insumos en ninguna actividad productiva). Sin embargo, incluso en este caso la matriz de Leontief (I Apxp,uf) puede ser no singular. Cabe sealar que si bien es difcil que exista la inversa de la matriz simtrica de coeficientes tcnicos en unidades fsicas Apxp,uf, la inversa de la matriz de Leontief generalmente existe.

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Esquema I.2.3 Matriz de Leontief

I - Apxp,uf =

1 2 . . . . . n

1-a1,1 -a1,2 . . . . . . -a1,n -a2,1 1-a2,2 . . . . . . -a2,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -an,1 -an,2 . . . . . . 1-an,n

Teorema I.2.1

La inversa de Leontief existe y es semipositiva (Rpxp,uf 0) si la tecnologa, representada por la matriz de coeficientes tcnicos en unidades fsicas (Apxp,uf), es productiva.13

Derivado de este teorema si la tecnologa es productiva entonces: a) si el vector de demanda final es semipositivo el vector del nivel de produccin de las actividades producti-vas y productos tambin es semipositivo; y b) si el vector de demanda final es estrictamente positivo el vector del nivel de produccin de las actividades productivas y productos tambin es estrictamente positivo. En ambos casos el sistema tiene una solucin econmicamente aceptable, como obser-vamos a continuacin:

fp,uf 0 => qp,uf 0 (I.2.13)

fp,uf > 0 => qp,uf > 0 (I.2.14)

13 La inversa de Leontief existe y es semipositiva (Rpxp,uf 0) si la ma-

triz Apxp,uf 0 es productiva. Este teorema no se demuestra en este traba-jo, pero est ligado al ampliamente conocido teorema de Frobenius y Perron. Tanto el teorema de Frobenius y Perron como las condiciones de productividad de la matriz de coeficientes tcnicos, estn contenidos en Kyn Oldrich (1985). Vase tambin Gantmacher (1959 y 1960), Gantmacher (1959) y la literatura especializada donde se establecen las condiciones para la productividad de una matriz semipositiva como la matriz Apxp,uf.


31

I.2.3 Interpretacin econmica y propiedades de la inversa de Leontief en unidades fsicas

Hemos definido la inversa de Leontief de la siguiente manera:

Rpxp,uf = (I - Apxp,uf)-1 (I.2.15)

Teorema I.2.2

Si Apxp,uf es productiva y slo en ese caso:

a) (Apxp,uf)k 0 y b) limk (Apxp,uf)k = 0

Estas dos propiedades garantizan que limk kz=1 (I - (Apxp,uf )z) sea una matriz semipositiva finita.14

Teorema I.2.3

La inversa de Leontief es igual a la suma de la matriz identidad y la sumatoria kz=1 (I - (Apxp,uf )z).

Rpxp,uf = (I - Apxp,uf)-1 = (I + Apxp,uf + Apxp,uf2 + Apxp,uf3 + Apxp,uf4 )(I.2.16)

Demostracin Teorema I.2.3

Esto requiere slo premultiplicar la inversa de Leontief Rpxp,uf = (I - Apxp,uf)-1 por la matriz de Leontief (I - Apxp,uf), cuyo re-sultado, por definicin es igual a la matriz identidad; es decir:

I = (I - Apxp,uf) (I - Apxp,uf)-1 = (I - Apxp,uf) (I + Apxp,uf + Apxp,uf2 + Apxp,uf3 + )

= I - Apxp,uf + Apxp,uf - Apxp,uf2 + Apxp,uf2 - Apxp,uf3 + Apxp,uf3 + 0 = I (I.2.17)

Queda entonces demostrado (Q.E.D.)

Como addenda a esta demostracin anotamos las siguien-tes obvias derivaciones:

14 Para la demostracin de este teorema vase Gantmacher (1959 y 1960), Gantmacher (1959) y la literatura especializada para una matriz semipositiva, como es el caso de la matriz Apxp,uf .

R. J. Haro Garca

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I = (I - Apxp,uf )Rpxp,uf = Rpxp,uf Apxp,uf Rpxp,uf =>

Rpxp,uf = I + Apxp,uf Rpxp,uf (I.2.18)

Apxp,uf Rpxp,uf = Apxp,uf (I + Apxp,uf Rpxp,uf) = Apxp,uf + Apxp,uf2 Rpxp,uf =>

Rpxp,uf = I + Apxp,uf + Apxp,uf2 Rpxp,uf (I.2.19)

Estas ecuaciones nos permiten entender el significado de la inversa de Leontief. Tomemos la solucin al sistema; de I.2.12:

qp,uf = Rpxp,uf fp,uf (I.2.20)

y sustituyamos Rpxp,uf:

qp,uf = Rpxp,uf fp,uf = (I + Apxp,uf + Apxp,uf2 + Apxp,uf3 + ) fp,uf = fp,uf +Apxp,uf fp,uf + Apxp,uf2 fp,uf + Apxp,uf3 fp,uf + (I.2.21)

Los productos intermedios o insumos requeridos direc-tamente para producir fp,uf, es decir la primera ronda de in-sumos necesarios para producir fp,uf (insumos directos = m(1)) se determina mediante la siguiente ecuacin:

mp,uf(1) = Apxp,uf fp,uf (I.2.22)

Asimismo, los productos intermedios necesarios para producir mp,uf(2), es decir, los insumos necesarios para la pro-duccin de los insumos necesarios para producir fp,uf la se-gunda ronda de insumos (mp,uf(2)) se obtiene de la siguiente manera:

mp,uf(2) = Apxp,uf2 fp,uf = Apxp,uf mp,uf(1) (I.2.23)

y as sucesivamente hasta la k-sima ronda de insumos (m(k)):

mp,uf(k) = (Apxp,uf )k fp,uf = Apxp,uf mp,uf (k-1) (I.2.24)

mp,uf(3) = Apxp,uf3 fp,uf = Apxp,uf2 mp,uf(1) = Apxp,uf mp,uf(2)

mp,uf(k) = (Apxp,uf )k fp,uf = Apxp,uf mp,uf(k-1) que sera la k-sima ronda de insumos


33

Las ecuaciones de las rondas de productos intermedios necesarios (I.2.22), (I.2.23) y (I.2.24), etc., nos permiten re-escribir la solucin al sistema en dos versiones, lo cual, a su vez, nos proporciona mediante la comparacin de stas una interpretacin sin ambigedades de la inversa de Leon-tief (Rpxp,uf):15

qp,uf = fp,uf + mp,uf (1) + mp,uf (2) + mp,uf (3) +

Insumos indirectos

P

rodu

cci

n

tota

l

D

eman

da

final

In

sum

os

dire

ctos

qp,uf = (I + Apxp,uf + Apxp,uf 2 + Apxp,uf 3 + ) fp,uf

Composicin de Rpxp,uf:

Rpxp,uf = I + Apxp,uf + Apxp,uf 2 + Apxp,uf 3 +

Rpxp,uf = I + Apxp,uf + Apxp,uf 2 Rpxp,uf

Rpxp,uf = I + Apxp,uf Rpxp,uf

Las estructuras de insumos representadas en la matriz de coeficientes tcnicos simtrica en unidades monetarias Apxp,um fueron analizadas en el captulo anterior, muestran el tipo y la cantidad en unidades monetarias de los diversos insumos que requiere cada actividad productiva para producir una unidad monetaria de su producto, pero no indican nada acerca de los efectos indirectos. Recordemos que la norma internacional establece un ejemplo muy ilustrativo:

15 Ver ejemplo en el apndice 2.

R. J. Haro Garca

34

el efecto de la produccin de un vehculo automotor no cesa en el acero, los neumticos y otros componentes que se requie-ren. Genera una larga cadena de interaccin en los procesos de produccin, puesto que hay que producir cada uno de los pro-ductos usados como insumo y stos a su vez necesitarn varios insumos. La produccin de los neumticos, por ejemplo, re-quiere caucho, acero y tela, etc. que, a su vez necesitan varios productos como insumos, incluido el servicio de transporte prestado por los vehculos automotores que hace necesaria la produccin de estos vehculos en primer lugar. Un ciclo de ne-cesidades de insumos requiere otro ciclo de insumos que a su vez requiere otro ciclo ms. Esta cadena de interacciones sigue hasta el infinito. Pero la suma de todas estas reacciones en ca-dena se determina a partir del valor de la inversa de Leontief. (Naciones Unidas, 2000; 1.15).

I.2.4 Modelo bsico de insumo-producto simtrico para la produccin en unidades monetarias: modelo primario

Multiplicando cada rengln de la matriz de insumo-producto en unidades fsicas por el precio unitario de cada producto segn corresponda obtenemos la matriz de in-sumo-producto en unidades monetarias ilustrada en el es-quema I.2.4. De esta manera todas las celdas quedan expre-sadas en unidades monetarias. En seguida se especifica el modelo completo.

Supuesto I.2.4.

Los precios son idnticos para todos los elementos de un rengln cualquiera; es decir, los componentes del consumo intermedio y la demanda final correspondientes a un ren-gln. Los precios son de mercado y sirven como unidades de medida contables.

Definiciones I.2.3.

Vectores de la matriz de insumo-producto en unidades monetarias relacionados con los vectores de la matriz de


35

insumo-producto en unidades fsicas y convertidos a uni-dades monetarias con el vector de precios:

Vector de precios de los distintos productos en unidades monetarias:

pp= (p1, p2, p3, , pn) (I.2.25)

Vector de produccin en unidades monetarias:

qp,um = diag(pp) qp,uf = diag(pp) (qp,uf,1, qp,uf,2,, qp,uf,n) (I.2.26)

Los elementos tpicos de qp,um son: qp,um,i = pi qp,uf,i.

Esquema I.2.4 Matriz de insumo-producto en unidades monetarias

1 2 n

Deman-da inter-media

Deman-da final

Produc-

cin

1 2 . . . n

Upxp,um1,1, Upxp,ufm1,2, ... Upxp,ufm,1,n Upxp,um,2,1, Upxp,um,2,2, ... Upxp,um,2,n

. . ... . . . ... . . . ... . Upxp,um,n,1, Upxp,um,n,2, ... Upxp,um,n,n

mp,um,1 mp,um,2

.

.

. mp,um,n

fp,um,1 fp,um,2

.

.

. fp,um,n

qp,um,1 qp,um,2

.

.

. qp,um,n

Consumo intermedio

s1 s2 sn

ci

Valor agre-gado

v1 v2 vn

f

Produccin q1 q2 qn q

Vector de demanda final en unidades monetarias:

fp,um = diag(pp) fp,uf = diag(pp) (fp,uf,1, fp,uf,2,, fp,uf,n) (I.2.27)

Los elementos tpicos de fp,um son: fp,um,i = pi fp,uf,i.

Vector de demanda intermedia total de productos utili-zados en unidades monetarias:

mp,um = diag(pp) mp,uf = diag(pp) (mp,uf,1, mp,uf,2,, mp,uf,n) (I.2.28)

R. J. Haro Garca

36

Los elementos tpicos de mp,um son: mp,um,i,j = pi mp,uf,i.

Matriz de uso intermedio total de productos en unidades monetarias:

Upxp,um = diag(pp) Upxp,uf (I.2.29)

Ntese que la demanda intermedia de productos en uni-dades monetarias es igual a la suma de los renglones de la matriz de consumo intermedio en unidades monetarias, en virtud de que:

mp,uf = Upxp,uf u => mp,um = diag(pp) mp,uf = diag(pp) Upxp,uf u (I.2.30)

Para el caso de la matriz de consumo intermedio en uni-dades monetarias, los elementos tpicos son:

Upxp,um,i,j = pi Upxp,uf,i,j (I.2.31)

Definiciones I.2.4

Otros vectores de la matriz de insumo-producto en uni-dades monetarias. Hay otras identidades que no se podran formular para el caso del modelo en unidades fsicas:

Vector de consumo intermedio total utilizado para la produccin de cada producto en unidades monetarias:

sp= (s1, s2, , sn) (I.2.32)

es decir:

sp= udiag(pp) Upxp,uf (I.2.33)

As, el vector de consumo intermedio total utilizado para la produccin de cada producto en unidades monetarias calculado en funcin de la matriz de consumo intermedio en unidades monetarias se puede expresar de la siguiente manera:

sp= u Upxp,um (I.2.34)

Vector de valor agregado en la produccin de los produc-tos en unidades monetarias:


37

vp,um= (v1, v2, , vn) (I.2.35) Vector de produccin en unidades monetarias calculado

por costos:

qp,um= sp+ vp,um (I.2.36)

Definiciones I.2.5

Agregados econmicos. Las identidades previamente des-critas nos permiten obtener los siguientes agregados eco-nmicos:

Consumo intermedio total en unidades monetarias:

ci = u diag(pp) mp,uf = u sp (I.2.37)

ci = spu = udiag(pp) Upxp,uf u = u mp,um (I.2.38)

PIB total en unidades monetarias en una economa cerra-da y sin impuestos ni subsidios:

f = q - ci = vp,umu (I.2.39)

Valor bruto de produccin total en unidades monetarias:

q = f + ci (I.2.40)

q = pp qp,uf = u qp,um (I.2.41)

Consumo intermedio total:

ci = ppmp,uf = u mp,um = spu (I.2.42)

PIB agregado:

f = ppfp,uf = u qp,um - u sp = vp,umu (I.2.43)

Ntese tambin que el vector de demanda final en unida-des monetarias es siempre igual por definicin al valor agregado total, es decir, en virtud de que:

qp,um = mp,um + fp,um (I.2.44)

y:

R. J. Haro Garca

38

vp,um= qp,um- sp (I.2.45)

entonces:

f = ufp,um = uqp,um - ump,um = q - ci = qp,umu - spu = vp,umu(I.2.46)

Supuesto I.2.5

Si suponemos que:

pp 0, qp,uf 0, Upxp,uf 0

entonces:

qp,um 0; mp,uf 0; mp,um 0; sp 0; Upxp,um 0

Supuesto I.2.6

Todos los mercados estn en equilibrio. Es un supuesto fundamental del modelo en unidades monetarias; es la identidad que lo determina.

La ecuacin I.2.30 nos permite obtener el vector de de-manda intermedia de productos en unidades monetarias sumando los renglones de la matriz de consumo intermedio:

mp,um = Upxp,um u (I.2.47)

Premultiplicando por diag(pp) la identidad de equilibrio en todos los mercados en unidades fsicas (ecuacin I.2.6, que se reproduce):

qp,uf = Upxp,uf u + fp,uf (I.2.48)

Supuesto I.2.7.

Un supuesto fundamental del modelo es que todos los mercados estn en equilibrio en unidades monetarias. Es la identidad en unidades monetarias que lo determina. Para cada producto i se satisface la identidad oferta-demanda en unidades monetarias. En efecto, cada fila constituye una igualdad que establece que la produccin del producto i en


39

unidades monetarias (qp,um,i) es igual a la suma de los usos de la produccin de este producto, ya sea como insumo inter-medio en unidades monetarias (mp,um,i) o para la demanda final en unidades monetarias (fp,um,i); en consecuencia, los to-tales de cada fila (demanda) son iguales a la produccin de cada producto (oferta), ambos en unidades monetarias:

qp,um, i = nj=1 ai,j qp,um,j + fp,um,i ; para: i = 1,2, ..., n

El vector qp,um es la suma de tales renglones, constituye el supuesto fundamental del modelo; la identidad oferta-demanda para todos los productos: todos los mercados es-tn en equilibrio en unidades monetarias. En este caso ai,j es-t definido en unidades monetarias.

De otra manera, mediante la sustitucin de las ecuaciones I.2.26, I.2.27 y I.2.29 obtenemos la identidad fundamental oferta-demanda para todos los productos: todos los merca-dos estn en equilibrio en unidades monetarias:16

qp,um = Upxp,um u + fp,um (I.2.49)

Premultiplicando la ecuacin I.2.2 por diag(p) y utilizan-do el hecho de que el vector unitario u es igual a (diag(pp))-1 diag(pp), obtenemos:

diag(pp) Upxp,uf = diag(pp) Apxp,uf diag(qp,uf)

= diag(pp) Apxp,uf (diag(pp))-1 diag(pp)diag(qp,uf) (I.2.50)

Pero la matriz de consumo intermedio en valores mone-tarios de la ecuacin I.2.29 que se reproduce, nos indica que:

Upxp,um = diag(pp) Upxp,uf (I.2.51)

Y tambin podemos determinar (vase ecuacin I.2.26) que:

diag(qp,um) = diag(pp) diag(qp,uf) (I.2.52)

16 En esta igualdad el valor de la produccin del producto i, qp,um,i, equivale a la suma de las ventas intermedias y finales.

R. J. Haro Garca

40

Supuesto I.2.8

Si definimos la matriz de coeficientes tcnicos en unidades monetarias:

Apxp,um = diag(pp) Apxp,uf (diag(pp))-1 (I.2.53)

Y suponemos que los precios relativos permanecen cons-tantes, podemos representar las funciones de produccin de Leontief de coeficientes fijos, en unidades monetarias de la siguiente manera:

Upxp,um = Apxp,um diag(qp,um) (I.2.54)

Teorema I.2.4

La identidad fundamental oferta-demanda para todos los productos que muestra que todos los mercados estn en equilibrio en unidades monetarias es una ecuacin analtica que relaciona el vector de valor bruto de produccin (qp,um) con la matriz de coeficientes tcnicos en unidades monetarias (Apxp,um) y la demanda final en unidades monetarias (fp,um).

Demostracin teorema I.2.4

A partir de las ecuaciones I.2.49, y 1.2.54 sabemos que:

qp,um = Apxp,um diag(qp,um) u + fp,um

As, la identidad fundamental oferta-demanda para todos los productos: todos los mercados estn en equilibrio en unidades monetarias se convierte en la ecuacin analtica del modelo primario en unidades monetarias: qp,um = Apxp,um qp,um + fp,um (I.2.55)

Q.E.D.

De esta manera, al considerar que el vector de demanda final en unidades monetarias fp,um es exgeno, entonces es posible resolver el sistema de ecuaciones y encontrar el nivel de produccin de las actividades productivas y productos


41

(qp,um) necesario para satisfacer un nivel especfico de la de-manda final. Si (I - Apxp,uf)-1 existe, entonces la solucin sera la sealada a continuacin:

qp,um = (I - Apxp,um)-1 fp,um (I.2.56)

I.2.5 El modelo dual bsico para los precios por producto para la ecuacin del modelo primario en unidades fsicas

Teorema I.2.5

La ecuacin de precios del modelo dual es funcin de la matriz de coeficientes tcnicos en unidades fsicas.

Demostracin teorema I.2.5

El modelo en unidades monetarias tambin permite la formulacin de un modelo de ecuaciones dual (ecuaciones de precios). A partir de la definicin I.2.36 y considerando la ecuacin I.2.34 obtenemos:

qp,um= u Upxp,um + vp,um (I.2.57)

Si utilizamos esta identidad, la identidad (diag(qp,um))-1 diag(qp,um) = I, las definiciones I.2.53 y I.2.54 para obtener la matriz de coeficientes tcnicos en unidades monetarias y la definicin I.2.52 obtenemos:

qp,um= u Upxp,um (diag(qp,um))-1 diag(qp,um) + vp,um= uApxp,um diag(qp,um) +

vp,um = udiag(pp) Apxp,uf (diag(pp))-1diag(pp) diag(qp,uf) + vp,um (I.2.58)

Ahora postmultiplicamos la ecuacin anterior por (diag(qp,uf))-1:

qp,um(diag(qp,uf)) -1 = pp Apxp,uf + vp,um(diag(qp,uf))-1 (I.2.59)

Pero como el vector de valor agregado por unidad fsica de produccin en unidades monetarias se define:

vp,puf = vp,um (diag(qp,uf))-1 (I.2.60)

R. J. Haro Garca

42

y como los precios se determinan mediante la siguiente ecuacin:

qp,um (diag(qp,uf))-1 = pp (I.2.61)

entonces I.2.59 se convierte en la ecuacin del modelo dual; ecuacin de precios con la matriz de coeficientes tcnicos en unidades fsicas:

pp= pp Apxp,uf + vp,puf (I.2.62)

Q.E.D.

Esta ecuacin de precios es dual a la ecuacin I.2.9 del mo-delo primario en unidades fsicas que reproducimos otra vez:


La ecuacin de precios relaciona los precios con los valo-res agregados en unidades monetarias por unidad fsica producida. Para una cierta tecnologa, representada por la matriz de coeficientes tcnicos en unidades fsicas Apxp,uf, cada vector de valor agregado en unidades monetarias por uni-dad fsica producida determina nicamente un vector de precios pp. Como antes podemos resolver este problema.

Dado un vector de valor agregado vp,puf encontrar el va-lor de precios que satisfaga I.2.62. Suponiendo que Apxp,uf es productiva, la solucin a este problema sera:

pp= vp,puf(I - Apxp,uf)-1 = vp,puf Rpxp,uf (I.2.64)

Es evidente que, para cada vp,puf 0 existe un nico pp 0, dado que Rpxp,uf 0. Como antes, tambin podemos es-cribir:

pp= vp,puf(I + Apxp,uf + Apxp,uf 2 + Apxp,uf 3 + ...) (I.2.65)

Alternativamente:

pp= vp,puf+ vp,puf Apxp,uf + vp,puf Apxp,uf 2 + vp,puf Apxp,uf 3 + (I.2.66)

donde vp,puf es el valor agregado en la ltima etapa de la produccin de los productos, vp,puf Apxp,uf es el valor agregado


43

de la produccin de los insumos directos y vp,pufApxp,uf2+ vp,pufApxp,uf 3 + es el valor agregado en la produccin de los insumos indirectos.

As, el precio slo es valor agregado acumulado; es decir, la suma del valor agregado de la ltima etapa del proceso productivo y de las etapas previas, materializado en los in-sumos directos e indirectos.

Existe cierta asimetra entre la ecuacin primaria en uni-dades monetarias:


y la ecuacin dual que se deriva del teorema I.2.5:

pp= pp Apxp,uf + vp,puf (I.2.68)

En el primer caso se usa la matriz de coeficientes de in-sumo-producto en unidades monetarias (Apxp,um), mientras que en el segundo caso se usa la matriz de coeficientes de insumo-producto en unidades fsicas (Apxp,uf).

Por ello, la ecuacin I.2.68 es la ecuacin dual a la ecua-cin I.2.9 del modelo primario en unidades fsicas que re-producimos nuevamente:


I.2.6 Estructura bsica de la matriz de insumo-producto en unidades monetarias y el modelo dual bsico para los precios por producto del ao base (pp,b) y los precios calculados por producto (pp,c)

Veamos ahora si es posible formular la verdadera ecua-cin dual a la ecuacin primaria en unidades monetarias, que es:


Es decir, una ecuacin de precios que use la matriz de co-eficientes de insumo-producto en unidades monetarias (Apxp,um), en lugar de la matriz de coeficientes de insumo-

R. J. Haro Garca

44

producto en unidades fsicas (Apxp,uf). Esto es posible, pero debemos distinguir entre dos conjuntos de precios: los del ao base y los calculados a partir de la ecuacin del modelo, antes conocidos en la literatura como precios artificiales (que podran ser precios planeados o esperados o resultado de un anlisis de impacto).

Definiciones I.2.6

Si definimos las siguientes variables:

(pp,b): vector de precios del ao base de los distintos pro-ductos; usados en la compilacin de la matriz de insumo-producto en unidades monetarias. Estos no son necesa-riamente precios vigentes en las operaciones de mercado; pueden ser precios de productor o bsicos y deben ser uniformes para todos los productos de cada rengln. Ms adelante se trata el tema.

(pp,c ): vector de precios de los distintos productos calcula-dos a partir de la ecuacin del modelo.

Es razonable suponer que pp,b > 0 y pp,c 0, aunque en la mayora de los casos el vector pp,c tambin ser estrictamente positivo.

Podemos especificar la ecuacin dual de precios del mo-delo en unidades fsicas utilizando el vector de precios calcu-lados pp,c en la ecuacin I.2.68 del modelo definido lneas arriba, es decir, en la siguiente ecuacin los precios calcula-dos sustituyen al vector antes utilizado en el modelo (pp) (cuya solucin es posible si conocemos vp,puf):

pp,c= pp,c Apxp,uf + vp,puf (I.2.71)

Si postmultiplicamos esta ecuacin por (diag(pp,b))-1, obte-nemos:

pp,c(diag(pp,b))-1= pp,c Apxp,uf (diag(pp,b))-1+ vp,puf (diag(pp,b))-1 (I.2.72)


45

e insertamos entre pc y Apxp,uf la siguiente matriz identidad:

I = (diag(pp,b))-1diag(pp,b) (I.2.73)

obtenemos:

pp,c(diag(pp,b))-1 = pp,c(diag(pp,b))-1diag(pp,b)Apxp,uf (diag(pp,b))-1 +

vp,puf(diag(pp,b))-1 (I.2.74)

Definicin I.2.7

pp,ind, como el vector de ndices de precios o precios relati-vos, cuya funcin es transformar los precios del ao base en precios calculados relativos con respecto al ao base que se pueden especificar matemticamente mediante la si-guiente ecuacin:

pp,ind= pp,c (diag(pp,b))-1

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