Máster Universitario en Ingeniería de las Estructuras, Cimentaciones y Materiales

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

MATERIALES COMPUESTOS ESTRUCTURALES

Cálculo de un laminado arbitrario

CURSO 2009-2010

Alberto Ruiz-Cabello López

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo pretende abordar el cálculo de un laminado arbitrario a partir de la Teoría Clásica de Laminados. Para ello se ha desarrollado una aplicación informática basada en el leguaje de programación Visual Basic, empleando el software Excel como interfaz de entrada/salida de datos.

Para abordar el análisis tensional de un laminado arbitrario se parte de la consideración de cada lámina de forma individual. La lámina individual se comporta como un material ortótropo, definido por cuatro constantes elásticas, ��, ��, ��� y ���; la ecuaciones constitutivas tienen una formulación sencilla en ejes de ortotropía.

Para analizar globalmente el laminado, las ecuaciones constitutivas de cada lámina se deben expresar en una misma base (ejes globales), de forma que podamos aplicar la compatibilidad de deformaciones entre las diferentes láminas. Se supone que la deformación es lineal a lo largo de todo el espesor de la placa laminada. Las cargas a considerar en el laminado son cargas contenidas en el plano del laminado y cargas de flexión, esto es: ��, ��, ���, �, � y

��. Estas cargas, conforme a la hipótesis de compatibilidad, generan una deformación global

en el laminado que queda caracterizada mediante tres componentes de deformación plana, �, �, ��, y tres curvaturas, ��, ��, ���.

Finalmente, la aplicación de las condiciones de equilibrio de esfuerzos y de momentos permite obtener un sistema de ecuaciones a partir del cual pueden caracterizarse las relaciones tensión-deformación para el laminado completo.

Los parámetros específicos a considerar en nuestro cálculo son los siguientes:

�� = 2.05 · 10� ��

�� = 1.03 · 10� ��

��� = 0.28

��� = 7.17 · 10� ��

�� = 2700 ��

�� = 64 ��

�! = 1980 ��

�! = 294 ��

# = 92 ��

1. ANÁLISIS DE UN LAMINADO CUALQUIERA

La primera parte del programa se aplica a un laminado arbitrario, para el cual se determinan:

a) Matrices de rigidez ABCD y flexibilidad abcd del laminado.

Se introducen las constantes elásticas en la hoja de cálculo “MAT_T_D” así como el número de laminas y se pulsa el comando “Lectura 1”. A continuación se introduce la orientación de cada lámina (ángulo que forma el eje principal de la lámina con el eje X), así como el espesor de la lámina correspondiente; al pulsar el comando “Lectura 2” se generan las matrices de rigidez y flexibilidad.

b) Deformaciones y esfuerzos en el laminado

En la misma hoja “MAT_T_D” se introducen los esfuerzos o las deformaciones y se pulsa el botón de comando correspondiente (“Esfuerzos” o “Deformaciones”).

Figura 1. Datos. Matrices ABCD y abcd. Tensiones y deformaciones globales

c) Tensiones y deformaciones en cada lámina en ejes globales y de ortotropía

En la hoja de cálculo “TEN_DEF” se pulsa el botón de comando “Cálculo de tensiones y deformaciones”. Se obtienes las tensiones y deformaciones en ejes globales y de ortotropía para cada lámina.

Figura 2. Tensiones y deformaciones en ejes globales y de ortotropía

d) Evaluación de los criterios de rotura Máxima Ten sión, Máxima Deformación

Se ha verificado el laminado conforme al criterio de rotura de la Máxima Tensión. Para ello, en la hoja de cálculo “CR” se debe pulsar el botón de comando “Criterio de rotura”. Se obtienen las tensiones locales de cada lámina junto al valor límite correspondiente, así como un porcentaje de aprovechamiento. Se indica también la forma de rotura de cada lámina o el máximo aprovechamiento resistente que se alcanza (si no se produce rotura).

Figura 3. Criterio de rotura de la máxima tensión

2. DIAGRAMAS DE PROPIEDADES ELÁSTICAS APARENTES

Para resolver esta parte del ejercicio se han desarrollado subrutinas específicas que emplean el código utilizado en la primera parte. Es posible definir una forma de reparto de los porcentajes arbitraria a partir de un parámetro interno del programa; es decir, se pueden definir intervalos porcentuales a discreción (1%, 5%, 15%). Cuanto menor sea el intervalo, mayor número de resultados obtendremos.

La obtención de las propiedades elásticas aparentes se realiza imponiendo un esfuerzo unitario, bien sea ��, o ��, o ���, y determinando la deformación respectiva, �, �, ��. La

inversa de la deformación es el valor de dicha propiedad (respectivamente ��, �� y ���).

Para una misma combinación porcentual de láminas a 0º y a 90º, existen diferentes combinaciones para las láminas a 45º y -45º, lo que equivale a obtener diferentes valores de las propiedades elásticas aparentes correspondientes a un mismo par (% 0˚, % 90˚). Esta circunstancia se aprecia en la representación tridimensional; para una misma coordenada del plano horizontal se representan varios puntos a lo largo de la vertical. El rango de variación en la vertical es reducido, y crece cuanto menor es la presencia total de láminas a 0º y 90º (estas observaciones son aplicables al apartado 3, en el que se representan los diagramas de resistencia mecánica.

La representaciones gráficas se han efectuado empleando el programa GNUplot (a partir de datos configurados en Excel).

Se incluyen a continuación los diferentes diagramas:

Figura 4. �� aparente

Figura 5. �� aparente

Figura 6. ��� aparente

3. DIAGRAMAS DE RESISTENCIA MECÁNICA

El diagrama de resistencia mecánica representa, para cada configuración de las láminas, el valor del esfuerzo necesario para provocar la rotura de la primera lámina y de la última lámina. Para determinar la resistencia a la rotura de la última lámina, de forma simplificada se aplica la carga sobre el laminado completo; es decir, las láminas que rompen previamente no se suprimen.

Los porcentajes de reparto considerados son los mismos que en el apartado previo.

Se incluyen a continuación los diferentes diagramas:

Diagrama de resistencia mecánica a tracción uniaxia l )*:

Figura 7. Rotura primera lámina

Figura 8. Rotura última lámina

Diagrama de resistencia mecánica a tracción uniaxia l )+:

Figura 9. Rotura primera lámina

Figura 10. Rotura última lámina

Diagrama de resistencia mecánica a cortadura )*+:

Figura 11. Rotura primera lámina

Figura 12. Rotura última lámina