CÁLCULO DE VOLÚMENES MEDIANTE EL MÉTODO DE CAPAS CILÍNDRICAS.

INTRODUCCIÓN

Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional.

Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.

Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje OX o al eje OY. Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución.

CÁLCULO DE VOLÚMENES

VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE CAPAS (CASCARONES CILÍNDRICOS)

Se conoce como el método de capas o cascarones cilíndricos porque utiliza capas cilíndricas. Un cascarón cilíndrico es un sólido acotado por dos cilindros circulares rectos concéntricos. Para hallar el volumen de un sólido de revolución por el método de capas se utilizan las siguientes fórmulas:

1. Se considera el sólido de revolución obtenido al girar en torno del eje y, y la región R en el primer cuadrante entre el eje x y la curva y=f(x), que queda entre x=a y x=b gira en torno al eje y. El volumen del sólido está dado por:

2. Una fórmula similar se cumple cuando los papeles de x y y se invierten, es decir la región R en el primer cuadrante entre el eje x y la curva y=f(x), que queda entre x=a y x=b gira en torno al eje y. El volumen del sólido está dado por:

DIFERENCIA DE LA FÓRMULA DE CAPAS: Se asume que 0 ≤ g (x) ≤ f (x) en un intervalo [a, b] con a ≥ 0. Sea la región R del primer cuadrante que está entre las curvas y= g(x) y y= f(x) para x=a y x=b. Entonces el volumen V del sólido de revolución obtenido al girar R en torno al eje y, está dado por:

Sea la región R del primer cuadrante que está entre las curvas x= g(y) y x= f(y) para y=c y y=d. Entonces el volumen V del sólido de revolución obtenido al girar R en torno al eje x, está dado por:

EJEMPLOS DE MÉTODO DE CORTEZAS Ó CAPAS CILÍNDRICAS:

Supongamos que se quiere rotar la región limitada por la curva y=4 x−x2 y el eje x alrededor del ejey.Este método se basa en utilizar anillos cilíndricos de poco grosor llamados cortezas y que se ilustra en la siguiente figura:

El volumen de una corteza cilíndrica de radio exterior r2, radio interior r1 y altura está dado por:

Que también se puede escribir como:

Planteamiento general

El método de los casquetes cilíndricos. Para comenzar a entender en detalle el método de los casquetes cilíndricos debemos establecer cómo calcular el volumen V de un casquete cilíndrico de altura h cuyo radio interior es r1 y cuyo radio exterior es r2 como el que aparece en la Figura 4. Naturalmente procedemos restando el volumen V1 del cilindro interior al volumen V2 del cilindro exterior, así:

Figura 4

En esta expresión podemos reconocer varias cosas. Si ponemos r = 1/2 (r2 + r1), el radio medio de los cilindros, y si ponemos r = r2 − r1, el grosor del casquete cilíndrico, entonces podemos expresar el volumen V de la forma siguiente:

Esta expresión puede recordarse fácilmente si se piensa en que el casquete cilíndrico se abre y se aplana convirtiéndose en una caja rectangular de escaso grosor como lo muestra a continuación:

Ahora bien, consideremos el problema general de hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x, es decir, la recta horizontal y = 0 y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b. La región aparece representada en la Figura 5 y el sólido de revolución que engendra en la Figura 5.1

Figura 5

Figura 5.1

Dividamos el intervalo [a, b] en n subintervalos [xi−1, xix = (b − a) / n. Sea xi* el punto medio del i-ésimo subintervalo. Consideremos el rectángulo Ri construido sobre el i-ésimo subintervalo con una altura de f (xi*) y hagámoslo girar en torno del eje y. Entonces se produce un casquete cilíndrico que tiene como radio medio xi*, como altura f (xi*) y cuyo grosor es x = xi−1 − xi. (Véase Figura 6). Por lo tanto, el volumen Vi de este casquete cilíndrico está dado por:

Figura 6

Para obtener un cálculo aproximado del volumen total del sólido de revolución debemos poner n casquetes cilíndricos de éstos, unos dentro de los otros, como lo ilustra la Animación 5 y después sumar los volúmenes de todos ellos:

Se puede probar que esta aproximación será mejor entre más grande sea n, el número de casquetes cilíndricos. Por eso, se puede poner:

Y de esta manera hemos llegado a formular una regla general para el cálculo de volúmenes con el método de los casquetes cilíndricos. Es la siguiente:

Regla general: El volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b, está dado por la integral:

En el Ejemplo 1 y en el Ejemplo 2 que aparecen a continuación se ilustra la aplicación directa de la regla general. Los ejemplos siguientes sirven para ilustrar ciertos casos especiales en los que hay que hacer unas pequeñas modificaciones a la regla para ajustarla a una situación determinada. Puede pasar por ejemplo que la región que gira esté limitada por dos curvas (Ejemplo 3) o que gire alrededor de una recta vertical distinta al eje y (Ejemplo 4).

Ejemplo 1

El problema del comienzo. Volvamos al problema planteado al comienzo de esta página, el de hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3. Como los señalamos en la Introducción, este volumen no puede calcularse fácilmente con el método de las secciones transversales pero sí con el método de los casquetes cilíndricos. En este caso la región que gira está delimitada por la curva f(x) = −x3 + 4x2 − 3x + 1, por el eje x y por las rectas verticales x = 0 y x = 3. La altura de los casquetes cilíndricos varía de acuerdo a la función f(x) como lo muestra la Animación 6 y por eso, la integral para el volumen es:

Ejemplo 2

El volumen de un cono. Demostrar, empleando el método de los casquetes cilíndricos, que el volumen de un cono de altura h y con radio r en su abertura (Figura 7) está dado por:

Figura 7

Solución. Para comenzar, observemos que este cono puede ser visto como el sólido que se produce al hacer girar, alrededor del eje y, la región triangular cuyos vértices son (0,0), (r,0) y (0,h), donde h y r son números reales positivos (Animación 7).

La ecuación de la recta que pasa por los puntos (r, 0) y (0, h) es:

Puesto que su pendiente es m = − h/r y su intercepto con el eje y es el punto (0, h).

Ahora bien, para aplicar el método que nos ocupa, consideremos que el cono está formado por una serie de casquetes cilíndricos, incrustados los unos dentro de los otros, cuyos radios varían de 0 a r y cuyas alturas varían de 0 a h. Naturalmente, la altura de cada cilindro está dada por la recta y = ( −h/r ) x + h. Los casquetes cercanos al centro son altos y su radio es pequeño, mientras que los que se sitúan más al exterior tienen un radio amplio pero su altura es pequeña.

Debe ser claro entonces que un casquete cualquiera, de radio x, tiene como altura:

Tal como se puede apreciar en la Figura 8. Por lo tanto, el volumen del cono viene dado por la integral:

Figura 8

Ejemplo 3

Una región delimitada por dos curvas.

Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar, alrededor del eje y, la región que está delimitada por la parábola y = − x2 + 4x − 3, por la cúbica y = x3 − 6x2 + 12x − 5 y por las verticales x = 1 y x = 3.

Solución. La región en cuestión aparece dibujada en la Figura 9. En este caso, a diferencia de los ejemplos anteriores, hay dos funciones involucradas que son:

El sólido de revolución que se genera al hacer girar esta región alrededor del eje y puede verse en la Animación 9. Obsérvese que está limitado arriba y abajo por dos superficies de revolución curvas y en la parte interior y en la exterior por dos superficies cilíndricas.

Animación 9

Consideremos ahora que este sólido está formado por una serie de casquetes cilíndricos incrustados, como antes, los unos dentro de los otros (Animación 10). Esta vez los casquetes no sólo varían en cuanto a su radio y a su altura, sino que varían además en cuanto a su ubicación respecto del eje x, puesto que su base inferior está situada en la parábola y = − x2 + 4x − 3 mientras que su base superior está situada en la cúbica y = x3 − 6x2 + 12x − 5 . Por lo tanto, un casquete cilíndrico de radio x tiene como altura (Figura 10).

Por lo tanto, el volumen de este sólido de revolución está dado por la integral:

Ejemplo 4 Alrededor de una vertical distinta al eje y.

Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor de la recta vertical x = 1, la región que está comprendida entre el eje x, las rectas verticales x = 2, x = 3, y la curva y = f (x) donde:

La región en cuestión aparece representada en la Figura 11. Lo especial de este ejemplo es que la región gira alrededor de una recta vertical que no es el eje y como en los ejemplos anteriores. Esto puede apreciarse en la Animación 11 y trae como consecuencia que el radio medio de un casquete cilíndrico cualquiera, que tiene como altura f (x), es x − 1 y no x como en los casos anteriores puesto que el casquete cilíndrico tiene como eje de rotación la recta vertical x = 1 (Figura 12). Por eso la integral del volumen es:

Figura 11

Figura 12

Esta integral puede descomponer en dos integrales, así:

La primera integral no tiene problema. Para evaluar la segunda podemos hacer la sustitución u = x2 − 2x, por lo cual du = 2(x − 1) dx y, respecto de los límites de integración, si x = 2, entonces u = 0 y si x = 3, entonces u = 3. Así pues:

EJEMPLOS DE MÉTODO DE CORTEZAS O CAPAS CILÍNDRICAS:

BIBLIOGRAFÍA

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