FÍSICA TEÓRICA 1 − 2do. Cuatrimestre de 2020

APUNTES DE LA PRÁCTICA DEL 23/09:GUÍA 2 - SEPARACIÓN DE VARIABLES EN CILÍNDRICAS - PROBLEMAS 15, 16 Y 17

Objetivos:

• Repasar la construcción de una densidad de carga correspondiente a una carga puntual en coordenadascurvilíneas (no cartesianas).

• Practicar la resolución de problemas electrostáticos en cilíndricas, de forma tal de terminar de abarcarcasi todos los escenarios que nos interesan (problema 15).

• Familiarizarse con la función de Green (todavía no empezamos a usarla propiamente) y ensayar unaaplicación del método de imágenes (problema 16).

• Calcular densidades y cargas inducidas en un conductor (problema 17): empezamos a ver la física delproblema mas allá de todo lo que aprendimos en cuanto a transformaciones y simetrías.

• Aclarar qué significan los ejercicios e ítems con asterisco∗ que aparecen en las guías de problemas (veral final del problema 17).

Problema 15

Como ya vimos en coordenadas cartesianas, y como hicimos en el problema 14 para el interior de un cilindrofinito, la función de Green G(r, r′) con condiciones tipo Dirichlet corresponde a resolver el problema de unacarga puntual q = 1 ubicada en una posición arbitraria r′ dentro de la región de interés, con contornos a tierra.Para eso separamos el dominio del recinto en dos partes a partir de una superficie que contenga la carga. Deeste modo obtenemos dos regiones donde se tiene la ecuación de Laplace para el potencial electrostático, ypodemos establecer una base de soluciones para desarrollar el problema. Luego, imponemos específicamentelas condiciones de contorno sobre las soluciones de cada región, y pedimos la continuidad del potencial y elsalto de la derivada normal sobre la superficie que contiene la densidad de carga superficial correspondientea la carga puntual desarrollada en la misma base que el potencial.

Veamos entonces cómo hacer esto en el caso en que la región es el interior de un cilindro infinito deradio a cuya superficie satisface condiciones de Dirichlet. Vamos a usar coordenadas cilíndricas y vamos aintroducir una carga unitaria en el punto r′ de coordenadas (ρ′, ϕ′, z′).

Comencemos utilizando un corte en z = z′ (Fig. 2a). En ese caso la superficie es un plano y sobre ella ladensidad de carga es

σ(ρ, ϕ) = Kδ(ρ− ρ′)δ(ϕ− ϕ′), (1)

donde K es una función que determinamos pidiendo, en este caso, que la carga total sea unitaria:∫dρ ρ dϕσ(ρ, ϕ) =

∫Kδ(ρ− ρ′)δ(ϕ− ϕ′)ρdρdϕ = 1 =⇒ K =

1

ρ. (2)

1

(a) (b)

Figure 1: Funciones de Bessel (Yν = Nν).

Como la superficie elegida es un plano, necesitamos una base de soluciones en ϕ y ρ. Esta base viene dadapor funciones trigonométricas {eiνϕ}ν∈Z en ϕ y funciones de Bessel {Jν(kρ), Nν(kρ)}ν∈Z en ρ, mientras queen z tendremos exponenciales reales

{e−kz, ekz

}.

Podemos notar que el problema es simétrico ante una reflexión por el plano ϕ = ϕ′, dado que esteplano contiene a la carga y el cilindro es simétrico por esta transformación. Luego, considerando la basealternativa {cos ν(ϕ− ϕ′), sin ν(ϕ− ϕ′)}ν∈N0

y usando que la reflexión equivale a (ϕ − ϕ′) → −(ϕ − ϕ′),podemos descartar los senos de esa base (por ser funciones impares) y quedarnos solo con los cosenos{cos ν(ϕ− ϕ′)}ν∈N0

que son pares. Vale aclarar que este es un truco muy útil que les va a servir parasimplificar las cuentas y ganar tiempo pero si no se hubiesen dado cuenta y hubiesen optado por hacer com-binaciones lineales de exponenciales complejas también deberían eventualmente llegar al mismo resultado (osi usan los mencionados senos y cosenos, llegarían a que los senos se van del desarrollo como vimos en laclase por zoom del 21/09, problema 14).

Respecto de las funciones de Bessel lo que deben considerar es que las mismas son suaves y tieneninfinitos ceros y tienden a 0 en infinito. Además las Jν son continuas en todo R, mientras que las Nν divergenen el origen (Fig. 1). Como nuestro problema consiste de una región que contiene al origen debemos entoncesdescartar las funciones Nν . Por otro lado, así como en el caso cartesiano del interior de un cubo a potencial 0utilizamos como base solo a los senos que se anulaban en el borde x = a (esto es, los sin(knx) con kn = xn/a,siendo xn los ceros de sinx), de la misma forma para que el potencial se anule en ρ = a nos quedaremos solocon las soluciones Jν(kνnρ) con kνn = xνn/a, siendo xνn los ceros de Jν(x).

Como en este caso el problema no está acotado en z y es simétrico respecto de una reflexión en z = z′

utilizaremos la función e−kνn|z−z′| que es continua en todos los reales, par ante la reflexión (z−z′)→ −(z−z′)y que tiende a 0 en ±∞.

Hechas todas estas consideraciones expandimos a la función de Green del interior del cilindro no acotadocomo

G(r, r′) =∞∑ν=0

∞∑n=1

cos ν(ϕ− ϕ′)Jν(kνnρ)e−kνn|z−z′|Aνn. (3)

2

z

z = z′

r′

(a)

z

ρ = ρ′

r′

(b)

Para determinar las constantes Aνn utilizaremos la condición del salto de la derivada

∂G

∂z

∣∣z′−− ∂G

∂z

∣∣z′+

= 4πσ(ϕ, ρ) (4)

∞∑ν=0

∞∑n=1

cos ν(ϕ− ϕ′)Jν(kνnρ)[kνne

kνn(z−z′) − (−kνn)e−kνn(z−z′)]z=z′

Aνn = 4πσ(ϕ, ρ) (5)

∞∑ν=0

∞∑n=1

cos ν(ϕ− ϕ′)Jν(kνnρ)2kνnAνn = 4πσ(ϕ, ρ). (6)

Podemos despejar las constantes usando la ortogonalidad de los cosenos∫ 2π

0

dϕ cos ν(ϕ− ϕ′) cos ν ′(ϕ− ϕ′) = πδν,ν′ ×{

1,

2,

si ν > 0

si ν = 0(7)

y de las funciones de Bessel ∫ a

0

dρ ρ Jν(kνn′ρ)Jν(kνnρ) = δn,n′a2

2J2|ν|+1(xνn) (8)

de la siguiente manera∫ a

0

dρ ρ Jν′(kν′n′ρ)

∫ 2π

0

dϕ cos ν ′(ϕ− ϕ′)∞∑ν=0

∞∑n=1

cos ν(ϕ− ϕ′)Jν(kνnρ)2kνnAνn (9)

=

∫ 2π

0

∫ a

0

ρdρdϕ cos ν ′(ϕ− ϕ′)Jν′(kν′n′ρ)4πσ(ϕ, ρ) (10)

Aν′n′ =2

πa2J2|ν′|+1(xν′n′)2kν′n′

(1− δν,0

2

)∫ 2π

0

∫ a

0

ρdρdϕ cos ν ′(ϕ− ϕ′)Jν′(kν′n′ρ)4πσ(ϕ, ρ). (11)

3

Solo nos queda resolver ∫ 2π

0

∫ a

0

ρdρdϕ cos ν ′(ϕ− ϕ′)Jν′(kν′n′ρ)4πσ(ϕ, ρ) (12)

= 4π

∫ 2π

0

∫ a

0

ρdρdϕ cos ν ′(ϕ− ϕ′)Jν′(kν′n′ρ)1

ρ′δ(ρ− ρ′)δ(ϕ− ϕ′) (13)

= 4πJν′(kν′n′ρ′) (14)

y obtenemos

Aν′n′ =1

a2J2|ν′|+1(xν′n′)kν′n′

(1− δν,0

2

)4Jν′(kν′n′ρ

′). (15)

Por último, reemplazando, llegamos a la función de Green

G(r, r′) =2

a

∞∑n=1

[J0(k0nρ)J0(k0nρ

′)

x0nJ21 (x0n)

e−k0n|z−z′| + 2

∞∑ν=1

cos ν(ϕ− ϕ′)Jν(kνnρ)Jν(kνnρ′)

xνnJ2ν+1(xνn)

e−kνn|z−z′|

](16)

Pueden chequear este resultado a partir de lo que obtuvimos en el problema 14 para el cilindro finito delongitud L cuando usamos este mismo tipo de corte. Al tomar L → ∞ deberían recuperar el resultado dearriba. Esto está indicado en el inciso (iv), al final de la página 9, del apunte FT1_practica07.pdf de la clasedel 21/09.

Pasemos ahora a considerar un corte en ρ = ρ′ (Fig. 2b, donde se entiende que ambos cilindros soninfinitos). La base viene dada por

{eikz, cos ν(ϕ− ϕ′)

}y la densidad de carga sobre la superficie que divide

esσ(ϕ, z) =

1

ρ′δ(z − z′)δ(ϕ− ϕ′). (17)

Noten que en la expresión de arriba aparece ρ′ y no la coordenada ρ, la prima indica la superficie que tieneradio ρ′. Además, así como cuando no tenemos base en una dirección cartesiana debemos considerar unacombinación de exponenciales reales, cuando no tenemos base en la dirección radial debemos considerar unacombinación de las funciones de Bessel modificadas

{Iν(kρ), Kν(kρ)} . (18)

(a) (b)

Figure 2: Funciones de Bessel Modificadas.

4

Es importante tener en cuenta que las funciones Iν(x) son continuas en los reales y crecen exponencial-mente con el argumento, mientras que las Kν divergen en el origen y tienden a cero exponencialmente con elargumento. Deberemos entonces descartar las Kν para ρ < ρ′, y considerar una combinación de ambas paraρ > ρ′ que podemos escribir de la forma

c1Kν(kρ) + c2Iν(kρ) , (19)

y que debe anularse en ρ = a, o sea

c1Kν(ka) + c2Iν(ka) = 0 =⇒ c2 = −c1Kν(ka)

Iν(ka). (20)

De este modo, la combinación que podemos usar es

c1Kν(kρ) + c2Iν(kρ) =c1

Iν(ka)[Iν(ka)Kν(kρ)−Kν(ka)Iν(kρ)] (21)

= c [Iν(ka)Kν(kρ)−Kν(ka)Iν(kρ)] . (22)

Concluimos entonces que podemos expandir a la función de Green como

G(r, r′) =

∫ ∞−∞

dk∞∑ν=0

Aν(k) cos ν(ϕ− ϕ′)eikzIν(kρ<) (Kν(kρ>)Iν(ka)−Kν(ka)Iν(kρ>)) . (23)

Solo queda determinar las constantes Aν(k) usando el salto en la derivada al atravesar la superficie quecontiene la carga

∂G

∂ρ

∣∣ρ′−− ∂G

∂ρ

∣∣ρ′+

= 4πσ(ϕ, z) (24)

∫∞−∞ dk

∑∞ν=0Aν(k) cos ν(ϕ− ϕ′)eikz × (25)

[kI ′ν(kρ′) (Kν(kρ

′)Iν(ka)−Kν(ka)Iν(kρ′))− Iν(kρ′) (K ′ν(kρ

′)Iν(ka)−Kν(ka)I ′ν(kρ′))] (26)

= 4πσ(ϕ, z) (27)∫ ∞−∞

dk

∞∑ν=0

Aν(k) cos ν(ϕ− ϕ′)eikzkIν(ka) [I ′ν(kρ′)Kν(kρ

′)− Iν(kρ′)K ′ν(kρ′)] = 4πσ(ϕ, z). (28)

Usando la relación[I ′ν(x)Kν(x)− Iν(x)K ′ν(x)] =

1

x(29)

podemos simplificar la expresión anterior∫ ∞−∞

dk∞∑ν=0

Aν(k) cos ν(ϕ− ϕ′)eikzkIν(ka)

kρ′= 4πσ(ϕ, z) . (30)

Por último despejamos las constantes Aν(k) usando la ortogonalidad de los cosenos ec. (7) y la de lasexponenciales complejas ∫ +∞

−∞dz eiz(k−k

′) = 2πδ(k − k′) (31)

5

para obtener ∫ ∞−∞

dz

∫ 2π

0

dϕ cos ν ′(ϕ− ϕ′)e−ik′z∫ ∞−∞

dk

∞∑ν=0

Aν′(k′) cos ν(ϕ− ϕ′)eikz Iν(ka)

ρ′(32)

= 4π

∫ ∞−∞

dz

∫ 2π

0

dϕ cos ν ′(ϕ− ϕ′)e−ik′zσ(ϕ, z) (33)

Aν′(k′) =

ρ′

2π2Iν′(k′a)

(1− δν′,0

2

)4π

∫ ∞−∞

∫ 2π

0

dϕdz cos ν ′(ϕ− ϕ′)e−ik′zσ(ϕ, z). (34)

Solo queda resolver la integral∫ ∞−∞

∫ 2π

0

dϕdz cos ν ′(ϕ−ϕ′)e−ik′zσ(ϕ, z) =

∫ ∞−∞

∫ 2π

0

dϕdz cos ν ′(ϕ−ϕ′)e−ik′z 1

ρ′δ(z−z′)δ(ϕ−ϕ′) (35)

=1

ρ′e−ik

′z′ (36)

y reemplazar en el despeje de los coeficientes

Aν′(k′) =

ρ′

πIν′(k′a)

(1− δν,0

2

)2

1

ρ′e−ik

′z′ (37)

Finalmente, la función de Green para el interior del cilindro infinito es

G(r, r′) =2

π

∞∑ν=0

cos ν(ϕ− ϕ′)(1 + δν,0)

∫ ∞−∞

dk eik(z−z′) Iν(kρ<)

Iν(ka)[Kν(kρ>)Iν(ka)−Kν(ka)Iν(kρ>)] . (38)

Podemos chequear que el resultado anterior es una función real a partir de observar que el factor compuestopor funciones de Bessel es una función par en la variable de integración k (vean las propiedades que aparecenen FT1_practica07.pdf para mostrar que esto último es así). Como la parte imaginaria de eik(z−z′) = cos k(z−z′)+ i sin k(z−z′) es una función impar en la variable de integración, al integrar entre−∞ y +∞ sólo quedala parte real, que es par en k. Como era de esperar, sólo aparecen cos k(z − z′) en la expansión; esto muestraque la función es par respecto a z′, algo que pudimos haber asumido desde el inicio. Finalmente, podemosescribir

G(r, r′) =4

π

∞∑ν=0

cos ν(ϕ− ϕ′)(1 + δν,0)

∫ ∞0

dk cos k(z − z′)Iν(kρ<)

Iν(ka)[Kν(kρ>)Iν(ka)−Kν(ka)Iν(kρ>)] . (39)

El problema 15 continúa con la siguiente propuesta: Encuentre también la función de Green para elproblema externo utilizando el segundo tipo de corte. ¿Sabría cómo resolver el problema externo usando elprimer tipo de corte?

Queda para ustedes usar el mismo desarrollo de arriba (con base en dirección angular y en dirección z)para resolver el problema externo, esto es, para ρ ∈ [a;∞). Con la práctica de recién no deberían tenerinconvenientes en el planteo. ¡Háganlo! y cualquier duda consúltenlo.(Las dudas sí deberían surgirles cuando intenten plantear el problema externo utilizando el primer tipo decorte. Aviso: no se preocupen demasiado por este, no vamos a usar el primer tipo de corte, en cilíndricas,para resolver problemas que no incluyen el origen. De todas formas, en el Apéndice de estos apuntes, lesdejamos una referencia para que vean cómo resolver problemas en cilíndricas que no incluyen el origenusando la base de funciones de Bessel.)

6

Problema 16

Consideremos el problema de la función de Green de un cuarto de cilindro infinito. Como vieron en lateórica usando separación de variables en coordenadas cilíndricas la función angular Q(ϕ) debe satisfacer laecuación

Q′′(ϕ) + ν2Q(ϕ) = 0 (40)

y, en este caso, debe anularse en las paredes del cilindro que se hallan en ϕ = 0 y π/2:

Q(0) = Q(π/2) = 0. (41)

Así, la solución debe ser la función trigonométrica que se anula en el origen

Q(ϕ) = sin νϕ (42)

y al pedir que se anule en π/2 tenemos

νπ

2= nπ =⇒ ν = 2n. (43)

Luego, tomando como superficie que contenga a la carga unidad al plano z = z′, debemos expandir en unabase en ϕ y ρ, que vendrá dada por las funciones trigonométricas recién halladas y las Jν , ya que las Nν sedescartan pues la región contiene al origen. La función de Green se puede expandir como

G(r, r′) =∞∑n=1

∞∑m=1

sin(2nϕ)J2n(knmρ)e−knm|z−z′|Anm, (44)

donde ya usamos que en z tenemos exponenciales reales que son finitas en ±∞ y son simétricas respecto dez = z′. Nuevamente obtendremos las constantes Anm usando el salto de la derivada

∂G

∂z

∣∣z′−− ∂G

∂z

∣∣z′+

= 4πσ(ϕ, ρ) (45)

∫ π/2

0

dϕ sin(2n′ϕ)

∫ a

0

dρ ρ J2n′(kn′m′ρ)∞∑n=1

∞∑m=1

sin(2nϕ)J2n(knmρ) 2 knmAnm (46)

= 4π

∫ π/2

0

dϕ sin(2n′ϕ)

∫ a

0

dρ ρ J2n′(kn′m′ρ)σ(ϕ, ρ) (47)

y despejamos usando la ortogonalidad de los senos y las funciones de Bessel

An′m′ = 4π2

2kn′m′ (π/4) a2J22n′+1(xn′m′)

∫ π/2

0

dϕ

∫ a

0

ρdρ sin(2n′ϕ)J2n′(kn′m′ρ)σ(ϕ, ρ) (48)

=16

xn′m′ a J22n′+1(xn′m′)

∫ π/2

0

dϕ

∫ a

0

ρdρ sin(2n′ϕ)J2n′(kn′m′ρ)1

ρ′δ(ρ− ρ′)δ(ϕ− ϕ′) (49)

=16

xn′m′ a J22n′+1(xn′m′)

sin(2n′ϕ′)J2n′(kn′m′ρ′) (50)

G(r, r′) =16

a

∞∑n=1

∞∑m=1

sin(2nϕ) sin(2nϕ′)J2n(knmρ)J2n(knmρ

′)

xnmJ22n+1(xnm)

e−knm|z−z′|. (51)

7

Otra forma de resolver este problema es usando el método de imágenes. En la práctica de la materia, hastaahora, hemos coqueteado levemente con el método de imágenes. A partir de la clase que viene lo vamosa abordar con mayor rigurosidad, pero vamos a aprovechar este problema para comenzar a introducirlo,definitivamente, a nuestras vidas. Recuerden que una forma de anular el potencial de una carga puntual sobreun plano consiste en añadir otra carga de signo opuesto en la posición reflejada de la carga original respectoal plano que se quiere anular. Así, por ejemplo; conociendo la función de Green del cilindro completo,que llamaremos G1(r, r

′), podemos obtener una función para el medio cilindro, G1/2(r, r′), que se anula en

el plano definido por ϕ = 0. Para eso tomamos otra G1(r, r′), pero con la coordenada angular reflejada

ϕ′ → −ϕ′, y superponemos de la siguiente manera

G1/2(r, r′) = G1(r, ρ

′, ϕ′, z′)−G1(r, ρ′,−ϕ′, z′), (52)

en donde añadimos el signo menos delante del segundo término porque la carga allí debe tener signo opuesto,ver la Fig. 3a con el esquema gráfico de lo que acabamos de decir. La función G1/2(r, r

′) es la función deGreen tipo Dirichlet en el medio cilindro infinito que cubre la región 0 6 ϕ 6 π porque satisface

∇2G1/2(r, r′) = −4πδ3(r− r′) (53)

en la región interior al medio cilindro (con r′ dentro de la región), y porque tiene todas sus tapas a cero (lasuperficie curva lateral y la superficie plana lateral correspondiente a ϕ = 0, o ϕ = π, en este caso),

G1/2(r, r′)∣∣contornos

= 0 . (54)

Podemos comprobar que esta función satisface la condición de contorno en la superficie plana usando lasimetría de intercambio entre el punto campo y el punto fuente de la función de Green, esto es G(r, r′) =

G(r′, r), entonces

G1/2(r, r′)|ϕ=0 = G1/2(r

′, r)|ϕ=0 = [G1(r′, ρ, ϕ, z)−G1(r

′, ρ,−ϕ, z)]ϕ=0 (55)

= G1(r′, ρ, 0, z)−G1(r

′, ρ, 0, z) = 0. (56)

Finalmente, para obtener la función de Green del cuarto de cilindro G1/4(r, r′) que se anula también en

ϕ = π/2, debemos sumar las funciones de Green de las cargas anteriores reflejadas respecto de este plano ycambiarles el signo (Fig. 3b). Así, la función de Green resulta ser

G1/4(r, r′) = G1(r, ρ

′, ϕ′, z′)−G1(r, ρ′,−ϕ′, z′)−G1(r, ρ

′, π − ϕ′, z′) +G1(r, ρ′, ϕ′ + π, z′), (57)

queda para ustedes hacer el chequeo gráfico o analítico.

−q

ϕ = 0

q

(a)

−qq

ϕ = 0

ϕ = π2

q−q

(b)

Figure 3: Método de imágenes para obtener la función de Green del medio o cuarto de cilindro

8

Problema 17

Tomamos un plano paralelo a los otros dos que contenga a la carga puntual, como muestra la figura

z

z = z′

z = 0

z = Lr′

División en regiones para plantear la función de Green en el problema entre dos planos a potencial nulo.

Como ya vimos, la base de soluciones es {cos ν(ϕ− ϕ′), Jν(kρ)}, y en z aparecen exponenciales reales.Necesitamos que el potencial se anule en z = 0, entonces elegimos sinh kνnz en la región de abajo, mientrasque para la región de arriba, z′ ≤ z ≤ L, usamos sinh k(z − L) para anular el potencial en z = L. Además,para que resulte continua proponemos la combinación sinh(kz<) sinh k(z> − L) y escribimos la función deGreen como

G(r, r′) =∞∑ν=0

cos ν(ϕ− ϕ′)∫ ∞0

dkJν(kρ) sinh kz< sinh k(z> − L)Aν(k). (58)

Sólo falta pedir el salto en la derivada para obtener los coeficientes Aν(k)

∂G

∂z

∣∣z′−− ∂G

∂z

∣∣z′+

= 4πσ(ϕ, ρ) (59)

∞∑ν=0

∫ ∞0

dk cos ν(ϕ− ϕ′)Jν(kρ)k [cosh kz′ sinh k(z′ − L)− sinh kz′ cosh k(z′ − L)]Aν(k) = 4πσ(ϕ, ρ)

(60)y despejamos usando la ortogonalidad de los cosenos y funciones de Bessel correspondientes∫ 2π

0

dϕ cos ν ′(ϕ− ϕ′)∫ ∞0

dρ ρJν′(k′ρ)

∞∑ν=0

cos ν(ϕ− ϕ′)∫ ∞0

dk Jν(kρ) k sinh(−kL)Aν(k) (61)

= 4π

∫ 2π

0

dϕ

∫ ∞0

dρ cos ν ′(ϕ− ϕ′)Jν′(k′ρ)σ(ϕ, ρ) (62)

Aν′(k′) = 4π

1

π sinh(−kL)

(1− δν′,0

2

)∫ 2π

0

dϕ

∫ ∞0

ρdρ cos ν ′(ϕ− ϕ′)Jν′(k′ρ)σ(ϕ, ρ) (63)

=4

sinh(−kL)

(1− δν′,0

2

)∫ 2π

0

dϕ

∫ ∞0

ρdρ cos ν ′(ϕ− ϕ′)Jν′(k′ρ)δ(ρ− ρ′)δ(ϕ− ϕ′)

ρ′(64)

=4

sinh(−kL)

(1− δν′,0

2

)Jν′(k

′ρ′). (65)

9

Finalmente, reemplazamos los coeficientes obtenidosy expresamos la función de Green

G(r, r′) = 4∞∑ν=0

cos ν(ϕ− ϕ′)(1 + δν,0)

∫ ∞0

dk Jν(kρ)Jν(kρ′)

sinh(k z<) sinh[k(L− z>)]

sinh(kL)(66)

Queda para ustedes resolver este problema con el otro tipo de corte y chequear ese resultado con el límitea→∞ del problema 14 que vimos en la clase del 21/09 [FT1_practica07.pdf, página 9, inciso (ii)].

En el ítem (b) se pide ubicar una carga q a una altura z′ entre los planos y calcular las densidades de cargay las cargas totales inducidas sobre cada plano conductor. Para eso, podemos tomar la función de Green queacabamos de calcular y multiplicarla por q. Además, para simplificar el problema desde el inicio, podemoselegir que la carga se encuentra sobre eje z de manera que el potencial que produce en la región entre los dosconductores es

Φ(r) = 2q

∫ ∞0

dk J0(kρ)sinh(k z<) sinh[k(L− z>)]

sinh(kL)

∣∣∣z,z′

(67)

mientras que el potencial es nulo arriba z > L, y abajo z < 0. Deben asegurarse de estar de acuerdo con laexpresión de anterior; no depende del ángulo pues la carga está sobre el eje (simetría de rotación), y se usóque J0(0) = 1. La densidad de carga superficial sobre el conductor ubicado en z = 0 es

σ0(ρ) =1

4π

(−∂zΦ(r)

∣∣z=0+

+ ∂zΦ(r)∣∣z=0−

)= − 1

4π∂zΦ(r)

∣∣z=0+

(68)

= − q

2π

∫ ∞0

dk J0(kρ) ksinh[k(L− z′)]

sinh(kL). (69)

Para obtener la carga total Q0 sobre el conductor, integramos en toda la superficie del plano

Q0 =

∫ 2π

0

dϕ

∫ ∞0

dρ ρ σ0(ρ) (70)

= −q∫ ∞0

dk ksinh[k(L− z′)]

sinh(kL)

∫ ∞0

dρ ρ J0(kρ) (71)

= −q∫ ∞0

dk ksinh[k(L− z′)]

sinh(kL)

δ(k)

k(72)

= −q limk→0

sinh[k(L− z′)]sinh(kL)

(73)

= −q(

1− z′

L

)(74)

Observen que en (72) usamos que la delta asociada a la variable radial de cilíndricas cumple∫ ∞0

dk δ(k)f(k) = f(0) (75)

Operando análogamente para el plano en z = L, tenemos

σL(ρ) =1

4π∂zΦ(r)

∣∣z=L−

(76)

= − q

2π

∫ ∞0

dk J0(kρ) ksinh(kz′)

sinh(kL)=⇒ QL = −q z

′

L(77)

10

Podemos observar que la carga total es q + Q0 + QL = 0, algo que podemos chequear a partir de encerrar(hipotéticamente) al sistema de la configuración con una superficie de Gauss: como el campo es nulo porarriba y por abajo, la carga encerrada es cero.

Finalmente, el ítem (c)∗ nos hace observar que si bien la densidad superficial no tiene una expresión muysimple, el resultado para la carga total es llamativamente simple: Es una función lineal de la altura z′ de lacarga de prueba q. La carga total sobre cada plano puede obtenerse de consideraciones más generales que norequieren calcular el potencial explícitamente. Lo que se usa es el llamado Teorema de Reciprocidad. Entrelos problemas del capítulo 1 del Jackson figura este teorema y su aplicación al caso de los dos planos. Enla tercera edición son los problemas 1.12 y 1.13. Quedan propuestos como problemas opcionales, así comotodos los ejercicios o ítems asteriscos que aparezcan en las guías de problemas.

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Apéndice: Problema entre dos cilindros con condiciones homogéneas en los lateralesy no homogéneas en las tapas.

Dejamos una parte del libro de Smythe, “Static and Dynamic Electricity”, por si tienen intriga de cómoplantar y resolver esta clase de ejercicios. Lo que Smythe llama Yν(kρ) es la función de Neumann Nν(kρ):

Apéndice. Páginas del Smythe (Static and Dynamic Electricity) para el problema entredos cilindros con condiciones no homogéneas en las tapas

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Errata de versiones anteriores:

• En las ecuaciones (10-13) el límite de integración superior del radio pasó de∞ a a.

• En las ecuaciones (46-49) los límites de integración pasaron a ser ρ entre 0 y a y ϕ entre 0 y π/2.

• En la ecuación (57) se corrigió G1/2 por G1/4.

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