4. Tipologías especiales: las geometrías cilíndricas.

Capítulo 4. Tipologías especiales: las geometrías cilíndricas.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- José Luis Galmés Giralt - Diseño innovador de diques verticales con geometrías cilíndricas.

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4. Tipologías especiales: las geometrías cilíndricas. 4.1 Introducción. Las tipologías de cajón especiales surgen de la necesidad de solventar limitaciones resistentes, ecológicas, funcionales o estéticas que no consiguen cubrir los diques verticales convencionales. Cuando no se puede evitar que las olas rompan sobre el cajón o se pretende reducir la reflexión, y no es viable colocar un dique en talud por motivos económicos o ecológicos, entonces podemos pensar en disipar la energía colocando tipologías de diques verticales especiales.

Falta todavía, sin embargo, un largo camino que recorrer en la investigación de estas tipologías ya que no fue hasta los años sesenta cuando se comenzaron a investigar soluciones hidrodinámicas ventajosas como agujeros, cámaras, eliminación del chapoteo etc.

Las variantes son múltiples y aunque cuesta establecer una clasificación general unívoca podríamos hablar de:

- Diques con cámaras disipativas en el lado de incidencia del oleaje. - Diques verticales mixtos (es decir, aquellos que trabajan como dique en talud

para episodios de marea baja, y por tanto pequeños calados, y como dique vertical cuando sube la marea, y la ola ya no rompe por fondo).

- Diques flotantes

- Diques con geometrías circulares o cilíndricas. En la presente tesina describiremos las ventajas y problemáticas de geometrías

constituidas a base de columnas verticales cilíndricas, ya que es esta tipología la que dispone de menos literatura publicada hasta la fecha de hoy, a pesar de las ventajosas potencialidades que presenta, y que se explican en el próximo capítulo. 4.2 Diques que presentan geometrías cilíndricas verticales. 4.2.1 ¿Por qué implementar una geometría cilíndrica vertical? Ventajas.

La investigación sobre el cálculo de las fuerzas actuantes en estructuras tubulares expuestas al oleaje tiene su origen a partir de la construcción de las primeras plataformas offshore, estructuras cuyos pilotes son, en general, cilindros verticales (ver Fig. 4.2.1 – 1).



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Fig. (4.2.1 – 1). Estructuras cilíndricas en plataformas Offshore. Fuente: Escola

Politécnica da Universidade de São Paulo. Algunas experimentaciones ya en los años 60 permitieron introducir las

geometrías cilíndricas en estructuras marítimas como pilotes de pantalanes, depósitos y diques. Sin embargo su presencia fue discreta y no será hasta los años 80, como consecuencia de la guerra del Yum Kippur y el cierre temporal del canal de Suez en 1973, que se producirá el boom de las estructuras offshore y con él la expansión del interés por las geometrías cilíndricas.

Las ventajas que presentan las geometrías cilíndricas verticales son múltiples

pero trataremos de sintetizarlas a continuación:

1. La mayoría de los diques rompeolas tienen una superficie vertical plana y ello constituye desde el punto de vista de las fuerzas de impacto, la situación más desfavorable. Si por el contrario, el frontal consiste en series de cilindros verticales, la presión del impacto se reduce porque el agua puede escapar no sólo verticalmente sino también horizontalmente.

Oumeraci y Partenscky (1991) demostraron que para un dique vertical compuesto por un frontal de semicilindros de diámetro el 65% de la profundidad a pie de cajón, las fuerzas horizontales de impacto se reducían entre un 25% y un 45%.

2. El oleaje incidente se refleja en el cilindro como un haz de trayectorias multidireccional que evita en parte los fenómenos de resonancia y agitación (clapotis). 3. Al impactar la ola sobre el cilindro hallamos un desfase de 90º entre el máximo empuje de arrastre y el máximo empuje inercial, ya que estas van relacionadas con las velocidades y las aceleraciones del flujo, respectivamente (ver ecuación de Morison en apartado 4.2.3). De este modo se reduce la fuerza de impacto máxima instantánea sobre la estructura. 4. Si están separados entre ellos y permiten el paso de parte del flujo, los cilindros favorecen la renovación del agua en el interior del puerto. Esta cualidad es deseable para ciertas circunstancias medioambientales.

Que se permita esta separación entre ellos dependerá de la tolerancia de transmisión de ondas largas que estemos dispuestos a asumir detrás del dique.

Las limitaciones en las condiciones de agitación interior de dársenas, y los problemas derivados del impacto ecológico en encauzamientos, combinados con terrenos de escasa capacidad portante, condujeron a desarrollar diseños de cajones con planta circular.



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En el apartado 4.2.4 se expondrá un caso de dique vertical con cilindros pilotados que se ensayó en I.N.H.A. y el estudio asociado a las dificultades para la extrapolación de datos desde el modelo reducido al prototipo real.

En el apartado 4.2.5 se hará una presentación breve a modo de ejemplo de otras

geometrías cilíndricas utilizadas como dique vertical desde los orígenes de esta tipología hasta hoy. 4.2.2 Flujo potencial inducido por una onda periódica. El estudio del flujo potencial alrededor de un pilote nos servirá de base para la aproximación al problema de las fuerzas inducidas por el oleaje.

Consideraremos un pilote circular de radio r a= sometido a la acción de un flujo oscilatorio en el tiempo y calcularemos la fuerza actuante sobre el mismo como la integral de la distribución de presiones alrededor del cilindro, calculada mediante la teoría potencial.

El flujo (velocidad por unidad de superficie) actuante sobre el pilote se define, a

una distancia lo suficientemente lejana, por U(t)1, donde:

( ) ( )0 0 cos sini tU t U e U t i tω ω ω= ⋅ = ⋅ − ⋅ (4.2.2 – 1)

siendo 2Tπω ⋅= la frecuencia angular.

Fig. (4.2.2 – 1). Fuente: F.L.Martín, Universidad de Cantabria

Asumiendo el fluido incompresible y el flujo irrotacional (necesario para poder

definir un flujo potencial), se puede definir un potencial de velocidades ( ), , ,r z tφ θ en un sistema de coordenadas polares2 que satisface la ecuación de Laplace tal que:

2 2 2

22 2 2 2

1 10

r r r r zφ φ φ φφ

θ∂ ∂ ∂ ∂∇ = + ⋅ + ⋅ + =∂ ∂ ∂ ∂

(4.2.2 – 2)

1 Se tomará la parte real. 2 Se ha tenido en cuenta la geometría del pilote.



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con 0

0 2r

h z

θ πη

< < ∞�� ≤ ≤ ⋅�� − ≤ ≤�

En coordenadas cilíndricas, las componentes del campo de velocidades se

expresan como:

1

r

z

ur

ur

uz

θ

φ

φθ

θ

∂� = −� ∂�

∂� = − ⋅� ∂�∂� = −� ∂�

(4.2.2 – 3)

Las primeras condiciones de contorno del problema que se han considerado son las dos que siguen:

• Periodicidad temporal:

( ) ( ), , , , , ,r z t r z t Tφ θ φ θ= + (4.2.2 – 4)

• Impermeabilidad en el fondo, considerado este horizontal.

0z hz

φ=−

∂ =∂

(4.2.2 – 5)

Buscamos que una vez aplicadas estas condiciones de contorno, la solución del problema sea del tipo:

( ) ( ) cosh ( ), , , ,

coshi tk h z

r z t r ek h

ωφ θ φ θ ⋅ += ⋅⋅

(4.2.2 – 6)

Adicionalmente se impondrá la condición de impermeabilidad en el cilindro:

( ), 0rr a

u arφθ

=

∂= − =∂

(4.2.2 – 7)

La solución de ( ),rφ θ puede obtenerse mediante separación de variables llegándose a la siguiente expresión:

( ) ( )2

2, 1 cosa

r U t rr

φ θ θ� �= ⋅ ⋅ + ⋅� �

(4.2.2 – 8)

Resultando ser el campo de velocidades:



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( )

( )

2

2

2

2

1 cos

11 sin

0

r

z

au U t

r r

au U t

r r

uz

θ

φ θ

φ θθ

φ

� � �∂= − = ⋅ − ⋅� � �∂ �� ∂� = − ⋅ = ⋅ + ⋅� � �∂ �� ∂= − =�

∂��

(4.2.2 – 9)

Dado que se ha considerado flujo potencial, la ley de presiones puede obtenerse

a partir de la ecuación de Bernoulli para un flujo no estacionario. Para calcular la distribución de las presiones alrededor del cilindro se hace uso de que la ecuación se cumple en cualquier punto del dominio. De este modo evaluamos Bernoulli en un punto aguasarriba suficientemente alejado del cilindro (a) y en la pared del cilindro (b).

( ) :0º

r l

a l a

θ

=�� >>�� =�

( ) {:b r a=

Por tanto,

( , )p rgz

θρ

+2 2 ( , )

2r

r a

u u p rgz

tθ φ θ

ρ=

� �+ ∂+ − = + �∂� �

2 2

, 0º2

r

r l

u ut

θ

θ

φ

= =

� �+ ∂+ − �∂� �(4.2.2 – 10)

Cancelando los términos de elevación y sustituyendo por el potencial (4.2.2 – 8)

se puede obtener la diferencia de presiones entre el fluido lejos del pilote y en el pilote como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22, , 0 1 4sin 2 cos

2U t dU t

p a p l a ldt

θ ρ θ θ� �

− = ⋅ ⋅ − + − ⋅ ��

(4.2.2 – 11)

donde se han despreciado los términos de orden 2

2

al

ϑ � ��

por ser muy pequeños.

Como puede apreciarse, el campo de presiones resultante está formado por dos

términos de diferente naturaleza. El primero, de carácter estacionario, es proporcional a ( )2U t , mientras que el segundo es de carácter inercial dado que se expresa en función

de la aceleración ( )dU t

dt.

A continuación procedemos a analizar la contribución de cada uno de ellos al

campo de presiones.



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Término estacionario. La contribución estacionaria al campo de presiones se expresa como (ver Fig. 4.2.2 - 2):

( ) ( ) ( ) ( )2

2, , 0 1 4sin2

U tp a p lθ ρ θ− = ⋅ ⋅ − (4.2.2 – 12)

Fig. (4.2.2 – 2) Fuente: F.L.Martín, Universidad de Cantabria

Como puede observarse, la ley de presiones es simétrica alrededor del cilindro y, por tanto, la presión en la parte frontal 0ºθ = y posterior 180ºθ = del cilindro son idénticas. De manera intuitiva, se puede adivinar que la presión neta en el sentido del flujo es nula.

La fuerza neta, nd F

�� por unidad de longitud del cilindro en la dirección normal

al mismo, (cos ,sin )n θ θ=�

, puede calcularse mediante la siguiente integral:

2

0nd F p n ds

π= ⋅ ⋅�

�� (4.2.2 – 13)

donde ds a dθ= ⋅ ,

Fig. (4.2.2 – 3). Fuente: F.L.Martín, Universidad de Cantabria

Por tanto, la fuerza neta por unidad de longitud en la dirección del flujo, denominada fuerza de arrastre, DdF , es (ver Fig. 4.2.2 – 3):



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( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 2

0 0, cos 1 4sin ,0 cos

2d

U tdF p a a d p l a d

π πθ θ θ ρ θ θ θ

� �= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ �

� ��

(4.2.2 – 14) Operando se llega a que el valor de esta integral es cero, lo cual concuerda con el resultado intuitivo obtenido anteriormente, de que la distribución simétrica de presiones conduce a una fuerza neta nula sobre el cilindro. No obstante es evidente que este resultado no coincide con nuestras observaciones reales, puesto que, cuando sumergimos un objeto en un fluido en movimiento, observamos como éste experimenta una fuerza neta en la dirección del flujo. Esta paradoja se conoce como paradoja de D’Alembert y se debe a la hipótesis no válida de que el flujo es potencial y despreciar, consecuentemente, la existencia de vorticidad y de desprendimiento de capas límite (ver Fig. 4.2.2 – 4, 5). En realidad, nunca se produce presión positiva detrás del cilindro, contrariamente a lo que pronostica la teoría potencial.

Fig. (4.2.2 – 4). Fuente: Naval Civil Eng. Lab, Port Hueneme, California.

Fig. (4.2.2 – 5). Fuente: Worcester Polytechnic Institute, U.S.A.



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El desprendimiento de la capa límite (ver Fig. 4.2.2 – 5) se explica porque la presión inicialmente decrece en el frontal del cilindro y se incrementa a lo largo de la parte posterior. Ello lleva (en concordancia con la ecuación de Bernoulli) a un incremento de la velocidad en el frente y a un frenado en la parte posterior, allá donde el fluido experimenta un gradiente de presión neta contrario a la dirección del movimiento. Si el momento cinético no es lo suficientemente alto como para superar el incremento de presión se puede dar una inversión en el signo del flujo y en el momento

en que 0

0y

uy =

∂ =∂

decimos que la capa límite se ha separado.

En un flujo estacionario real, la distribución de presiones depende del número de Reynolds expresado como:

ReU D

ν⋅= (4.2.2 – 15)

donde U es una velocidad característica normal al eje del cilindro, D es el diámetro y ν es la viscosidad cinemática del fluido. Goldstein (1938) presentó por primera vez la distribución de presiones medida experimentalmente para dos números de Reynolds diferentes, comparándolas con la distribución obtenida teóricamente para flujo potencial.

Fig. (4.2.2 – 6). Fuente: H. Schlichting, Boundary Layer Theory, Mc.Graw Hill. La distribución de presiones se aproxima paulatinamente a la teórica a medida que Re aumenta porque los puntos de separación de la capa límite se van desplazando hacia la parte posterior del cilindro. De este modo se reduce la amplitud de la estela y con ello el arrastre. Para valores de Reynolds todavía más elevados en el rango de valores transcrítico, el punto de separación vuelve a desplazarse algo hacia adelante. (Ver Figs. 4.2.2 – 7, 8).



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Introducimos aquí que cuanto más se hayan desplazado los puntos de desprendimiento hacia atrás, menor es el coeficiente de arrastre dC ver Fig. (4.2.2 – 8).

Fig. (4.2.2 – 7). Fuente: Hydrodynamics Around Cylindrical Structures.

Fig. (4.2.2 – 8). Fuente: Hydrodynamics Around Cylindrical Structures.

El fuselado de un cuerpo reduce la magnitud del gradiente de presión adverso al distribuirlo sobre una mayor distancia. Por esa razón las geometrías fuseladas facilitan



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que los puntos de separación de la capa límite se vayan muy atrás, reduciendo con ello la vorticidad y el coeficiente de arrastre dC ver Fig. (4.2.2 – 9).

Fig. (4.2.2 – 9). Alejamiento del punto de separación S de la capa límite según la

geometría. Para cuerpos con puntos de separación fijos, el coeficiente de fricción es más o menos constante. Fuentes: Prabir Basu y Massachusetts Institute of Technology. De los resultados presentados en la Fig. (4.2.2 – 6) se deduce que para la región aguas arriba del cilindro representada por sθ θ≤ , donde sθ es el ángulo de separación de la capa límite, el campo de presiones puede ser descrito de forma aproximada mediante las expresiones correspondientes a flujo potencial.

Sin embargo, para sθ θ≥ , que depende del número de Reynolds, la presión es

casi constante. Por tanto, la fuerza neta sobre el cilindro puede aproximarse mediante la solución para flujo potencial en 0 sθ θ< < y utilizando un valor constante de la presión en la estela tal que:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

22

0

2 220

2 1 4sin cos 2 cos2

1 4sin cos 2 cos

2

s

s

s

s

d estela

estela

U tdF a d p a d

pU t a d d

U t

θ π

θ

θ π

θ

ρθ θ θ θ θ

ρ θ θ θ θ θρ

⋅= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =

� � �

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ �⋅ �

��

� �

� �

(4.2.2 – 16)

Es evidente que el término entre corchetes depende del número de Reynolds dado que, tanto el ángulo de separación sθ como el valor constante de la presión estelap , dependen de dicho número. De esta manera, la fuerza neta en la dirección del flujo por unidad de longitud de cilindro, se puede obtener en función de un coeficiente que llamaremos dC (del inglés “drag”, arrastre) que, fijada una geometría cilíndrica y un flujo oscilatorio incidente, depende del número de Reynolds como se expone a continuación:



23

2

(Re)2d d

UdF C Dρ= ⋅ ⋅ ⋅ (4.2.2 – 17)

Término oscilatorio. Analizando el segundo término de la ecuación (4.2.2 – 11) y procediendo a su integración de manera análoga a como se procedió para el término estacionario, la componente de la fuerza en la dirección del flujo por unidad de longitud de cilindro es:

( ) ( )2 22 2

0 02 cos cosi

dU t dU tdF a d l a d

dt dt

π πρ θ θ ρ θ θ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅� � (4.2.2 – 18)

La segunda integral es 0 y la primera tiene como resultado:

( ) ( ) ( )222

4i M M

dU t dU t dU tDdF a C C V

dt dt dtπρ π ρ ρ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

(4.2.2 – 19) En esta expresión, en general válida para cualquier geometría arbitraria bi- o tridimensional, se ha introducido el coeficiente de inercia MC , que para un cilindro circular liso y flujo potencial continuo es aproximadamente igual a 2. idF será, por tanto, la fuerza de inercia elemental por unidad de longitud de pilote originada por el fluido acelerándose alrededor del cilindro, incluso en ausencia de fricción.

Si cambiamos el sistema de referencia para hacer la descripción más clara, y pensamos que es el cilindro el que se mueve, y no el fluido, entonces las fuerzas de inercia serían las fuerzas que moverían un cilindro de densidad la del fluido, más las fuerzas que moverían el volumen que éste desplaza al avanzar. 4.2.3 Ecuación de Morison.

La conocida ecuación de Morison considera de manera conjunta las

componentes de arrastre e inercial que se han tratado hasta ahora por separado (ya que estas actúan sobre la estructura de manera conjunta) para estimar la fuerza total que se va a producir sobre un objeto colocado en un flujo en movimiento.

La formulación se ha venido utilizando desde 1950 principalmente para estimar

la fuerza ejercida por el oleaje sobre cilindros cuyo diámetro D es menor que 0.05 veces la longitud de onda incidente L (diámetros muy pequeños en relación a la longitud de onda).1

1 En ejemplo que se expondrá en el capítulo 4.2.4 tendremos 160L m= y 5D m= con lo que se

cumple efectivamente que el parámetro de difracción 05.003125.0 <=LD .



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Para parámetros de difracción mayores (ver Fig. 4.2.3 – 1) se aplican otras teorías como:

- Froude-Krylov (si la fuerza de inercia predomina pero el cilindro sigue

siendo “pequeño” en relación a L). - la teoría de la difracción (si el tamaño del cilindro empieza a poder ser

comparable a la longitud de onda).

Fig. (4.2.3 – 1). Fuente: F.L.Martín, Universidad de Cantabria.

La ecuación de Morison divide la fuerza (y el momento) que produce el oleaje sobre un cilindro en las dos componentes anteriormente presentadas sumándolas linealmente: la fuerza de arrastre (“drag”) DF y la fuerza de inercia (“inertia”) IF :

1. DF es la contribución estacionaria del campo de presiones. Se debe a la diferencia de presiones respecto a la distribución hipotética que tendría lugar si no se desprendieran capas límite y no se formara una estela con vorticidad.

Estrictamente hablando consta de una componente normal (pressure drag) y

una tangencial por fricción (shear drag, viscous drag). 2. IF es la contribución oscilatoria del campo de presiones. Se trata de la fuerza de

inercia por unidad de longitud de pilote originada por el fluido acelerándose alrededor del cilindro (incluso estando en ausencia de fricción).



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Ambas fuerzas son proporcionales a los coeficientes empíricos dC y MC

(denominados coeficientes de arrastre y de inercia, respectivamente) y a la integral en la vertical del cilindro de sendas funciones dependientes de la velocidad del flujo considerado oscilatorio ( , , , )u u H L t z= : DF es proporcional al cuadrado de la velocidad, mientras que IF es proporcional a la aceleración local del fluido fruto de la componente oscilatoria de la velocidad..

Fig. (4.2.3 – 2) The University of West Indies.

D IdF dF dF= +

dsuuDCdF dD ⋅⋅⋅⋅⋅= ρ21 1

2

4I M

DdF C u ds

π ρ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅�

(4.2.3 – 1)

Siendo:

1. dC el coeficiente de fricción supuesto constante en todo el paso de la ola2. 2. D el diámetro del cilindro. 3. ρ la densidad del fluido.

1 garantiza que la fuerza se produzca siempre en el sentido del flujo. 2 El coeficiente de fricción en un flujo oscilatorio no es estrictamente constante en el tiempo aunque según Keulegan y Carpenter podemos considerarlo más o menos como tal durante el ciclo de una ola.



26

4. ( , , , )u u H L t z= la componente horizontal de la velocidad de la partícula de agua.

5. 1M mC C= + el coeficiente de inercia que depende de la geometría, donde mC es el coeficiente másico añadido debido a perturbaciones del flujo (ver Fig. 4.2.3 – 5).

6. ( , , , )u u H L t z=� �

la componente horizontal de la aceleración de la partícula de agua.

7. 4

2D⋅πVolumen por unidad de longitud de cilindro.

Fig. (4.2.3 – 3). Fuente: Sebastian Daniel Bade, Technische Universität Berlin.

Para la formulación y resolución de las integrales sobre la longitud del cilindro, así como para la determinación de las velocidades orbitales, se considera generalmente el fluido incompresible e irrotacional y se desprecian los términos convectivos de la aceleración, lo que conduce a la teoría lineal de ondas (también conocida como teoría de Airy1).

Se recomienda verificar que el rango de aplicación de la teoría utilizada para el

cálculo de las velocidades orbitales no se aleje del caso que se estudia y que se tengan en cuenta posibles influencias en la velocidad por acciones externas como pueden ser las interacciones con otros cuerpos si el cilindro no está aislado.

Una alternativa a la integral analítica es pasar a magnitudes finitas e integrar

numéricamente. En el ejemplo que se expone al final del capítulo se calculará la fuerza

1 Ver Anejo 1 para aclaración teórica y Fig. (4.2.3 – 4) para rangos de aplicabilidad.



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por metro lineal de cilindro para un determinado t1 y se integrará numéricamente el empuje total.

Así discretizamos ��

� �

�

mKN

:

21

2 4d M

DF C D u u C u

πρ ρ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅�

(4.2.3 – 2)

Fig. (4.2.3 – 4). Fuente: Shore Protection Manual.

1 Para conocer la fuerza máxima que se va a producir sobre el cilindro habrá que detectar el instante en el que la suma de ambas componentes (arrastre e inercial) sea máxima (ver ejemplo en capítulo 4.2.4) y conocer para ese mismo momento los valores de la velocidad y aceleración asociadas a las cotas iz ’s seleccionadas para la discretización.



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El coeficiente dC , observaciones: El coeficiente dC depende de:

• La geometría del objeto y de la influencia que pueda tener con otros objetos situados cerca del mismo.

• El número de Reynolds. • La rugosidad relativa que presenta el objeto. • La importancia relativa entre la amplitud de movimiento orbital de la partícula y

el diámetro del cilindro (número de Keulegan - Karpenter). Número de Reynolds: El número de Reynolds para un flujo sobre un cilindro vertical se define como:

ReU D

ν⋅= donde U es una velocidad característica normal al eje del cilindro, D es el

diámetro del cilindro y ν es la viscosidad cinemática del fluido.

Según el nº de Reynolds, para un cilindro circular podemos distinguir cinco dominios principales del coeficiente dC . Cada dominio se separa del precedente y del posterior a través de una zona de transición más o menos extensa.

A continuación se presenta como ejemplo una explicación de cada uno de los

dominios para el caso particular de un cilindro circular liso y flujo continuo (no oscilatorio).

Fig. (4.2.3 – 5). Fuente: Hydrodynamics Around Cylindrical Structures..



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1. Dominio de no separación (valor orientativo para flujo continuo y cilindro circular liso Re < 5):

Los flujos con Re < 5 se llaman “Creeping Flows” o flujos de arrastre y no se

consideran propiamente hidrodinámicos. Los valores que se obtienen para dC son muy elevados debido a la fricción superficial que se obtiene. El coeficiente dC varía

de forma lineal 12.5RedC = .

2. Dominio con estela laminar (valor orientativo para flujo continuo y cilindro

circular liso 5 <Re < 200) :

Al ir aumentando el número de Reynolds la capa límite se desprende y se forma una estela laminar muy ancha aguas abajo del cilindro. Para 5 < Re < 40 se forman dos pares de vórtices simétricos que no se separan y para 40 < Re < 200 las capas límite de uno y otro lado del cilindro se desestabilizan e interaccionan entre ellas produciendo vórtices de Von Kármán débiles. Los valores de dC van disminuyendo a medida que aumenta Re aunque con una pendiente menos acusada que para el dominio de no separación.

Inicio de la turbulencia en la estela, transición hacia el dominio subcrítico

Fig. (4.2.3 - 6). Fuente: Massachusetts Institute of Technology

3. Dominio subcrítico (valor orientativo flujo continuo y cilindro circular liso

5200 Re 4 10< < ⋅ ):

La estela se vuelve turbulenta pero la capa límite se mantiene laminar, el coeficiente dC se mantiene más o menos constante y adquiere un valor cercano a

1, 2dC � . Tenemos fuertes vórtices de Kárman.

Fig. (4.2.3 - 7). Fuente: Escuela de Ingenieros Industriales, Terrassa (U.P.C).



30

4. Dominio supercrítico (valor orientativo en flujo continuo y cilindro circular liso 5 74 10 Re 1 10⋅ < < ⋅ ):

Desplazamiento del punto de separación de la capa límite hacia la parte posterior

del cilindro. Separación laminar de la capa límite pero capa límite en parte turbulenta y en parte laminar. Descenso brusco del coeficiente de fricción. Los vórtices de Von Kárman pierden intensidad.

Fig. (4.2.3 - 8). Fuente: Massachusetts Institute of Technology.

Transición: → Separación de la capa límite y la capa límite, ambas turbulentas. 5. Dominio transcrítico (valor orientativo flujo continuo y cilindro circular liso

7Re 4 10> ⋅ ):

Separación de capa límite y capa límite totalmente turbulentas. El punto de separación de la capa límite vuelve a desplazarse un poco hacia delante y se ensancha algo la estela. Reaparecen los vórtices de Von Kárman fuertes.

Fig (4.2.3 - 9) Fuente: Hydrodynamics Around Cylindrical Structures.



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Rugosidad relativa.

Nikuradse en 1933 utilizó granos de arena para crear distintas rugosidades en sus

experiencias con tuberías y definió el concepto de rugosidad relativa KsD

, donde Ks es

el tamaño de grano y D el diámetro del tubo.

La rugosidad relativa de la superficie del cilindro KsD

juega un papel

importantísimo a la hora de definir el perfil de la curva entre el coeficiente de arrastre y el número de Reynolds.

En efecto, una rugosidad relativa más elevada desplaza la zona de transición de

capa límite laminar a turbulenta hacia la izquierda del gráfico (números de Reynolds más bajos) y provoca que la “caída de dC ” se produzca “antes” (ver Figs. 4.2.3 – 10, 11). Estas propiedades son utilizadas por los fabricantes de pelotas de golf ya que éstas se mueven en rangos de Reynolds en un entorno de 5Re 10= . Los hoyuelos aseguran una capa límite turbulenta y por tanto una menor resistencia.

Fig. (4.2.3 – 10) Fuente: Mecánica de Fluidos. Frank M. White. Hay que destacar sin embargo, que cuanto más rugoso es el cilindro, si bien es

cierto que la “caída” del coeficiente de arrastre es más temprana con Reynolds, ésta es también menos acusada a medida que la superficie se hace menos lisa. Cuanto más liso sea el cilindro, mayor será el descenso del coeficiente dC , llegándose a reducir éste en el caso de un cilindro liso hasta el 50% y en la esfera hasta el 75%.



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Este comportamiento está claramente relacionado con la temprana transición a capa límite turbulenta inducida por el aumento de la rugosidad.

Para las zonas de influencia que hemos diferenciado anteriormente:

1. Flujo sin separación: el coeficiente de arrastre dC es � linealmente

dependiente del número de Reynolds y la rugosidad del cilindro no influye.

2. Rango subcrítico y zona laminar: dC es prácticamente independiente tanto de la rugosidad del cilindro como del número de Reynolds.

3. Régimen supercrítico (la capa límite pasa de laminar a turbulenta): dC baja

bruscamente, depende fuertemente de la rugosidad relativa KsD

y aumenta

suavemente con Re. 4. Régimen transcrítico, el coeficiente de arrastre dC depende fuertemente de

la rugosidad relativa KsD

y ya no varía por mucho que aumente Re.

En la figura 4.2.3 - 11 mostramos un gráfico con las tendencias de dC en

función de la rugosidad, donde apreciamos cómo la inflexión se va desplazando hacia la izquierda a medida que la rugosidad aumenta, y cómo los valores para rugosidades altas en la zona supercrítica superan ampliamente a los del cilindro liso.

Fig. (4.2.3 – 11) Fuente: Hydrodynamics Around Cylindrical Structures..



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Número de Keulegan - Carpenter El número de Keulegan – Carpenter KC (1956) se define:

máxu TAKC

D D⋅= = (4.2.3 – 3)

donde:

1. máxu es la máxima velocidad horizontal de flujo oscilatorio. 2. T es el periodo. 3. D es el diámetro del cilindro.

y representa la relación entre la amplitud orbital A del movimiento de la partícula y el diámetro del cilindro.

Este cociente adimensional se introduce para cuantificar la influencia que supone el hecho de que el movimiento de las partículas sea periódico orbital y no continuo como habíamos supuesto hasta ahora1. El aumento de KC tiene un efecto sobre la curva RedC vs aproximadamente contrario al producido por un aumento de rugosidad. En efecto, la crisis de arrastre se desplaza en el gráfico hacia números de Re más elevados y los valores del coeficiente

dC , dado un determinado régimen hidráulico, tienden a ser más reducidos cuanto mayor es el coeficiente KC .

dC vs Re y KC para un cilindro circular liso.

Fig (4.2.3 - 12). Fuente: Hydrodynamics Around Cylindrical Structures.

1 Hacemos aquí el comentario que para un valor infinito de KC, recuperaríamos las características de un flujo continuo.



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Si KC es muy pequeño, el movimiento orbital de las partículas de agua en relación al diámetro del cilindro es tan reducido, que podrían ser que no separarse los vórtices a pesar de que el número de Reynolds fuera alto.

En la Fig. (4.2.3 - 13) se observa la evolución según Sarpkaya de dC en función

del número de KC para diversos valores de ReKC

β = . Comprobamos cómo al elevar el

número de Re (entorno 4 55 10 5 10⋅ − ⋅ ) a igualdad de KC el coeficiente dC se reduce.

Fig. (4.2.3 - 13) Evolución dC vs KC para un cilindro circular liso. Fuente: Sarpkaya.

KC actúa además como indicador de la vorticidad que presenta el flujo. Por eso

KC será una medida de la importancia relativa de la fuerza de arrastre dentro de las dos componentes que contempla la fórmula de Morison.

Para pequeños valores de KC , la fuerza inercial es grande en comparación con

la fuerza de arrastre. Análogamente, para magnitudes mayores de KC , la predominante es la fuerza de arrastre. La explicación es que un aumento de KC implica que a igualdad de velocidad orbital máxima, el recorrido que hace una partícula en cada semiperiodo es mayor, por lo que las aceleraciones que ésta sufre son más moderadas.

Conocer la proporción entre d

i

FF

será como veremos importante a la hora de

extrapolar a la realidad los datos obtenidos en modelo reducido (ver capítulo 5).

A continuación procedemos a presentar un ejemplo de la importancia relativa de las fuerzas fricativas e inerciales según las condiciones hidráulicas:

1. Si ↓KC entonces la fuerza inercial resulta ser dominante en el momento de la carga y ésta resulta estar más o menos en fase con la aceleración (ver Fig. 4.2.3 – 14).



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Fig. (4.2.3 – 14). Fuente: Naval Civil Engineering Laboratory, Port Hueneme, California.

2. Si por el contrario ↑KC entonces las fuerzas de arrastre no lineales son las de mayor relevancia y resultan estar más o menos en fase con la velocidad (ver Fig. 4.2.3 – 15).

Fig. (4.2.3 – 15). Fuente: Naval Civil Engineering Laboratory, Port Hueneme, California.



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Efecto combinado de la rugosidad, Re, y el número de Keulegan Carpenter: Presentamos ahora la evolución de dC con la rugosidad y Re para dos números de Keulegan Carpenter distintos:

Fig. (4.2.3 - 16) Fuente: F.L.Martín, Universidad de Cantabria. El coeficiente MC , observaciones:

El valor del coeficiente de inercia MC se asocia a las características y geometría del objeto pero depende también de las características del flujo. Aparece en el término oscilatorio de la fórmula de Morison.

Es en cualquier caso mayor que la unidad y representa al total de agua que se

moviliza para permitir el avance del fluido alrededor del cilindro. Esta masa de agua consiste en el agua desalojada por el cilindro más la acumulada por efecto de alteración del flujo.

A continuación veremos como el coeficiente MC dependerá de:

• La geometría del objeto. • La rugosidad relativa que presente el objeto. • El número de Keulegan - Carpenter. • La afectación de posibles objetos cercanos que puedan provocar un

efecto de bloqueo o elevación de la superficie libre por efecto de la reflexión.

En 1945 Lamb derivó la expresión analítica del coeficiente de inercia en función

de la masa añadida, mC , para un cilindro bidimensional de sección elíptica en un flujo de corriente continua, para el que obtuvo que:

m

bC

a= (4.2.2 – 4)



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Donde b es el semieje menor de la elipse y a el semieje mayor como se aprecia

en la Fig. (4.2.3 – 15). Obsérvese que para 0b → , es decir, para geometrías muy hidrodinámicas, 0mC → como cabía esperar. Esto pone de manifiesto que la masa añadida se debe a

perturbaciones en el flujo.


Número de Keulegan – Carpenter

Las experiencias llevadas a cabo por The Naval Civil Engineering Laboratory, Port Hueneme (California) demuestran que el parámetro MC prácticamente no varía

para cilindros circulares con el número de Reynolds si, fijado KC , el cociente ReKC

β =

es mayor que 6000, mientras que para valores menores, MC presenta grandes oscilaciones.

También afirman que para cilindros lisos ideales en un flujo con KC’s elevados

se cumple que 2MC � si 6000β > . Sin embargo, para KC ‘s muy elevados o en el límite KC ∞� hablar de MC deja de tener sentido porque el término oscilatorio se anula ya que no hay aceleración de la partícula dado que el flujo es prácticamente continuo.



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Fig. (4.2.3 – 18). Adaptación de “Shore Protection Manual”.

Tomando un caso real, con rugosidades no nulas, se han obtenido los resultados

que se exponen a continuación Fig. (4.2.3 – 18 A y B) y que efectivamente concuerdan en tendencia con las observaciones anteriores. Sin embargo, queremos poner aquí de manifiesto que, para KC altos, la influencia de la rugosidad en el valor de MC es especialmente grande para números de Reynolds elevados y corremos el peligro de quedar del lado de la inseguridad si tomamos el coeficiente de diseño 1.5MC =

recomendado por el Shore Protection Manual para 5Re 5 10> ⋅ .


Fig. (4.2.3 - 20) Evolución CM vs KC para cilindro circular liso. Fuente: Sarpkaya 1976



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Fuerza transversal, vórtices y resonancia.

Como hemos visto en el apartado 4.2.2 la teoría del fluido perfecto lleva a la conclusión de que cuando un cuerpo sólido arbitrario se mueve a través de un fluido infinitamente ancho y en reposo no experimenta fuerza neta alguna, debido a la teórica simetría de las presiones que efectúa tanto respecto al eje X como al Y (paradoja de d’Alembert).

Se ha explicado ya lo que ocurre en los casos reales en lo que se refiere a las

fuerzas ejercidas en la dirección del flujo pero nada se ha dicho sobre las fuerzas transversales que se han supuesto simétricas respecto del eje de simetría X (ver Fig. 4.2.3 – 21).

Y es que en teoría la velocidad de la partícula debería aumentar para poder

sortear el cilindro con continuidad de flujo y debería recuperar la velocidad inicial una vez superado el obstáculo. Según esta suposición y basándonos en el teorema de Bernoulli, se deduciría que la presión tendría que bajar en los laterales del cilindro y recuperar la misma en la cara de aguasabajo, de forma simétrica respecto al eje X. * P∞ y U∞ son la presión y la velocidad de la corriente no perturbada.

Fig. (4.2.3 – 21). Fuente: Sclichting H, Boundary Layer Theory, Mc.Graw Hill.

Si bien es cierto que el esquema de presiones es tanto más aproximado al teórico a medida que aumenta el número de Re ( dC ↓ ), habrá que destacar también otro fenómeno importante que nos alejará de esta tendencia si Re es muy elevado: la formación de vórtices de Von Kármán.

En efecto, además de las fuerzas de arrastre e inercial que actúan en la dirección del flujo, existe para números de Re elevados1 una tercera componente neta transversal

1 Los órdenes de magnitud que vamos a considerar ”elevados” van a depender del tipo de flujo y rugosidad del cilindro.



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y alternante en sentido cuya acción es perpendicular a la dirección de avance del oleaje y que se debe al desprendimiento alternado y no simétrico de vórtices a ambos lados del cilindro.

Estos vórtices se forman por una desestabilización de la estela asociada a fenómenos de separación a ambos lados del cilindro de las capas límite del fluido que, interaccionando entre ellas, provocan el desprendimiento de los vórtices. Colocando un separador en la estela evitaríamos en parte la formación de vórtices ya que dificultaríamos la interacción de las capas límite.

Los vórtices giran alternativamente dextrógira y levógiramente generando

fuerzas periódicas transversales que cambian de sentido cada vez que se produce un nuevo individuo. En un flujo oscilatorio el punto de separación de la capa límite (que depende de

Re y de skD

) varía su posición en la superficie del cilindro a medida que la velocidad

varía en módulo y sentido.

Fig. (4.2.3 – 22). Vórtices de Kármán. Fuente: Alexandra Techet, Massachussets Inst. of Technology.

En muchas aplicaciones costeras y offshore se ha pasado por alto este fenómeno, a veces muy importante, ya que si la frecuencia de vibración coincide con la natural del cuerpo mojado, se puede generar una respuesta resonante provocando grandes oscilaciones en la estructura que provocan fatigas prematuras del material y fallos no previstos.

En la Fig. (4.2.3 – 23) se reproducen las fotografías de las líneas de flujo

alrededor de cilindros circulares en aceite para el dominio de estela laminar. En ellas se da una idea de los cambios en el flujo según el número de Reynolds

considerado. Para pequeños Re, la estela es laminar, mientras que para Re mayores se



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forman vórtices con patrón muy regular (los ya definidos vórtices de von Kármán). Para números de Reynolds todavía mayores (no representados aquí), el patrón de formación de vórtices se vuelve irregular y turbulento en carácter.

Fig. (4.2.3 – 23). Evolución de la estela de un cilindro en un flujo de aceite según Re. Fuente: MIT. Ocean Engineering.

La fuerza transversal por unidad de longitud de pilote puede expresarse de una forma semejante a la fuerza de arrastre tal que:

212L LdF C A uρ= ⋅ ⋅ ⋅ (4.2.3 – 5)

Esta ecuación presenta, sin embargo, numerosos problemas debidos a la irregularidad de los vórtices y a la variación del coeficiente LC a lo largo de un periodo. Existen varias aproximaciones diferentes para el cálculo de la fuerza transversal en las referencias clásicas: Sarpkaya and Isaacson (1981) o Chakrabati (1994). También el Shore Protection Manual ofrece una formulación para este cálculo.

La relación entre la frecuencia de desprendimiento de un par de vórtices ef , una dimensión lineal característica de la sección transversal del cuerpo (por ejemplo el diámetro D en el caso de cilindro) y la velocidad del flujo u define el número de Strouhal S .



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ef DS

u⋅= siendo, (4.2.3 – 6)

ef = frecuencia de formación de vórtices. D = diámetro del cilindro. u = velocidad de flujo. El número de Strouhal caracteriza la formación de vórtices. Para cilindros circulares aislados lisos y flujo continuo, 0.20S ≈ si 3 510 Re 2 10< < ⋅ .

Fig. (4.2.3 - 24). Mecánica de Fluidos, Frank M. White.

Verificación de la resonancia: La oscilación de resonancia aparece durante la velocidad crítica que provoca un modo principal de oscilación de la estructura. Podemos estimar esta velocidad como se expone a continuación, si consideramos 0.20S ≈ más o menos constante en el entorno de trabajo.

critprop

Du

T S=

⋅ donde, (4.2.3 – 7)

propT = periodo propio de vibración del cilindro. D = diámetro del cilindro. S = número de Strouhal

Para casos donde habitualmente hay peligro real de resonancia (como por ejemplo los “Risers” elásticos para plataformas offshore) se han desarrollado tecnologías que modifican el patrón de vórtices para evitar el modo propio de vibración de la estructura.



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Sin ánimo de profundizar en este tema, a continuación se exponen algunas de las tipologías más innovadoras en este campo:

Fig. (4.2.3 – 25). Fuente: Alexandra Techet, Massachussets Inst. of Technology.

Fig. (4.2.3 – 26). Fuente: Alexandra Techet, Massachussets Inst. of Technology.



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4.2.4 Ejemplos de diques ya construidos con geometrías cilíndricas verticales.

1. Toa Harbor, Japón.

Se trata de cilindros metálicos de 10m de diámetro rellenos de arena o gravas. En las Fig. (4.2.4 – 1) y Fig. (4.2.4 – 2) se ilustran dos momentos de la construcción.

Fig. (4.2.4 – 1) Fuente: Per Bruun. Port Engineering Vol I, 4th Edition.

Fig. (4.2.4 – 2) Fuente: Per Bruun. Port Engineering Vol I, 4th Edition.



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2. Hanstholm, Dinamarca.

Una hilera de cajones circulares de hormigón prefabricado reforzado 12.5 m de diámetro rellenos de arena de forman los dos diques rompeolas de unos 450 metros de longitud cada uno que protegen la entrada al puerto de Hanstholm.

En la ilustración se muestra en funcionamiento la grúa que acometió la

construcción del dique. El aparato se diseñó y montó especialmente para esta obra.

Fig. (4.2.4 – 3) Fuente: http://www.portofhanstholm.dk/

3. Dique de Navia

Navia, en 1997 inició la construcción concéntrica con patio interior relleno de material granular, limitando las subpresiones y disipando las tensiones en el lecho.

Fig. (4.2.5 – 4) Fuente: Diseño de Diques Verticales. Vicente Negro et al.



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4. Grand Marais Harbor, Michigan

�

�

Dique construido a principios del siglo XX en el lago Superior. Se trataba de aprovechar una laguna natural para convertirla en un puerto abrigado.

Fig. (4.2.4 – 5). Fuente: Per Bruun. Port Engineering Vol I, 4th Edition.

Fig. (4.2.4 – 6).

Fuente: http://www.terrypepper.com/lights/superior/gdmarais-mi/gdmarais.htm

5. Brighton Marina, United Kingdom

Los diques de la Marina de Brighton utilizan las ventajas que ofrecen las geometrías cilíndricas para mareas bajas y añaden el efecto adicional de una superficie inclinada y una superestructura para mareas altas (la corriente de marea ronda los 6m). Así, la ola que llega a la estructura, retrasa parte de su empuje en el tiempo y reduce de este modo los esfuerzos instantáneos máximos que se producen sobre el dique.



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Fig. (4.2.4 – 7). Fuente: Forces on Inclined Vertical Wall Structures.

Fig.( 4.2.4 – 8) Fuente: www.powerboat1.com

Fig. (4.2.4 – 9) Fuente: www.coorporateeventsbrighton.co.uk

4. Tipologías especiales: las geometrías cilíndricas.

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