CALCULO DIFERENCIAL

Calculo Diferencial

L. M. Clemente Hernández Santiago Página 1

UNIDAD I Los Números Reales

UNIDAD II Funciones

UNIDAD III Límites y continuidad

UNIDAD IV Derivadas

UNIDAD V Aplicaciones de la derivada

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“Nada tan satisfactorio como el éxito alcanzado

con el esfuerzo propio”

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UNIDAD I

Los números Reales

1.1 Clasificación de los números Reales

Números reales

esIrracional

Enteros

NaturalesRacionales

Números Naturales = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,… Números enteros = …-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,…

Números Racionales = -2

1,

5

1,

3

1,

4

3, -3, 4, 7, 12, …

Números Irracionales = , 2 , 3 , 5 , 3 2 , 2

3

…

De lo anterior se puede deducir que: Los números racionales, contiene a los decimales finitos, decimales infinitos periódicos, y a los enteros. Los números Irracionales, contiene a los decimales infinitos no periódicos. DEFINICIÓN: Los números racionales son aquellos que se pueden expresar

como el cociente de dos números enteros.

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1.1.1 Proposiciones de los números Reales Proposición 1: Una igualdad no e altera si sumamos o multiplicamos en ambos

lados de la igualdad a un mismo número. Proposición 2: Los axiomas para la adición implica las siguientes igualdades

1) Si x+y = x+z, entonces y = z. 2) Si x+y = x, entonces y = 0. 3) Si x+y = 0, entonces y = -x 4) –(-x) = -x

Proposición 3: Los axiomas para la multiplicación implica las siguientes Igualdades.

1) Si x 0 y xy=xz, entonces y = z. 2) Si x 0 y xy = x, entonces y = 1

3) Si x 0 y xy = 1, entonces x

y1

Proposición 4: Un campo ordenado es un campo F que a su véz es un Conjunto ordenado, y que tiene las siguientes propiedades.

1) x+y <x+z si x, y, z F y y<z 2) xy > 0 si x, y F y x > 0 y y > 0

Proposición 5: En todo campo ordenado se cumple las siguientes Desigualdades.

1) Si x > 0, entonces –x < 0 y viceversa 2) Si x > 0 y y < z, entonces xy < xz 3) Si x < 0 y y < z, entonces xy > xz

4) Si x 0 , entonces 02 x

5) Si 0 < x < y, entonces 0 < y

1<

x

1

1.2 Tipos de Intervalos Para hablar de intervalos es necesario que utilicemos la palabra y notación de conjuntos. Definición: Un conjunto es una colección de objetos, conocidos como los elementos del conjunto. En particular si S denota a un conjunto de objetos, la notación: Sa significa que “ a pertenece al conjunto S”

Sa significa que “ a no pertenece al conjunto S”

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Ciertos conjuntos de números reales, conocidos como intervalos, se presentan con frecuencia en el cálculo y geométricamente corresponden a segmentos de recta.

A) Intervalo Abierto: Es un subconjunto del eje real comprendido entre dos puntos dados a y b , donde ba sin incluir a los extremos.

Rbabaxba ,;/),(

B) Intervalo Cerrado: Es un subconjunto del eje real limitado por los extremos a y b , donde ba y sí incluye a los extremos.

Rbabxaxba ,;/,

C) Intervalo Mixto: Es un subconjunto del eje real que tiene un extremo

abierto y otro cerrado.

Rbabxaxba ,;/,

Rbabxaxba ,;/,

1.3 Desigualdades El tema de desigualdades es de gran importancia, según veremos en muchas partes del álgebra, y también observaremos ciertas analogías entre igualdades y desigualdades. Al concepto de mayor y menor entre dos números corresponde el de ordenación. La relación de orden queda restringida a los números reales y se puede interpretar geométricamente en un sistema coordenado unidimensional. Al decir que una expresión es mayor que otra se deduce una desigualdad.

NOTA: A diferencia de las ecuaciones, generalmente una desigualdad tiene una infinidad de soluciones que forma un intervalo o una unión de estos sobre la recta real.

1.3.3 Desigualdades Lineales Reglas para resolver una desigualdad lineal:

1) Al sumar o restar la misma cantidad a ambos lados de una desigualdad se obtiene una desigualdad equivalente.

2) Al multiplicar ambos lados de una desigualdad por una misma cantidad positiva, se obtiene una desigualdad equivalente y la desigualdad se mantiene.

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3) Al multiplicar ambos lados de una desigualdad por una misma cantidad negativa, se invierte la dirección de la desigualdad.

1.3.4 Desigualdades no lineales ( cuadráticas, fraccionarias ) Reglas para la solución de desigualdades no lineales

1) De ser necesario, reescriba la desigualdad de forma que todos los terminos distintos de cero se encuentren de un lado del signo de desigualdad.

2) Si el lado distinto de cero de la desigualdad involucra cocientes, conviértalos a un denominador común ( Realice la suma de fracciones algebraicas)

3) Factorice el lado distinto de cero de la desigualdad. 4) Calcule las raíces de cada factor. 5) Liste los intervalos determinados a partir de las raíces obtenidas 6) Utilice valores de prueba para analizar los signos de cada factor en cada

uno de los intervalos y determine el signo del producto o cociente. 7) Determine el conjunto solución solicitado

1.4 Valor Absoluto DEFINICIÓN: Si a es un número real , entonces el valor absoluto de a es

0,

0,

aa

aaa

TEOREMA 1: Sean x , a números reales, por consiguiente

ax si y solo si axa

TEOREMA 2: Sean x , a números reales, por consiguiente

ax si y solo si ax y ax

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EJEMPLOS RESUELTOS. EJEMPLO 1. Calcular la solución de la siguiente desigualdad.

04

322

2

xx

xx

Solución: (x+3)(x-1) 0 x(x-4) Raíces del numerador: -3,1 Raíces del denominador: 0,4 Formando intervalos con las raíces obtenidas:

)3,( , ( -3, 0), (0,1 ), (1, 4), ),4(

Tomando valores de prueba que estén dentro del respectivo intervalo: X=-4 X=-2 X=0.5 X=2 X=5 Evaluando los valores de prueba en la expresión factorizada X=-4

)44(4

)14)(34(

=

32

5> 0

X=-2

)42(2

)12)(32(

=

12

3 < 0

X=0.5

)45.0(5.0

)15.0)(35.0(

= 1 > 0

x=2

)42(2

)12)(32(

=

4

5 < 0

X=5

)45(5

)15)(35(

=

5

32 > 0

SOLUCION: (-3,0) (1,4)

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EJEMPLO 2: Calcule el conjunto solución de la siguiente desigualdad.

Solución: Minorizando a CERO:

X

1 +

1

1

X -

2

2

X < 0

Realizando la suma de fracciones algebraicas:

)2)(1)((

)1)((2)2)(()2)(1(

XXX

XXXXXX < 0

0)2)(1(

22223 222

xxx

xxxxxx

)2)(1(

23

XXX

X < 0

RAICES DEL NUMERADOR: (-2/3) RAICES DEL DENOMINADOR: 0,-1,-2 Formando intervalos con las raíces obtenidas: (- ,-2), (-2,-1), (-1,-0.66), (-0.66,0), (0, ) Tomando los valores de prueba respectivos: -3, -1.5, -0.7, -0.5, 1. Evaluando en la expresión factorizada: X= -3

)23)(13(3

2)3(3

=

6

7

6

7

> 0

X= -1.5

)25.1)(15.1)(5.1(

2)5.1(3

= -6.6 < 0

X= -0.7

)27.0)(17.0)(7.0(

2)7.0(3

= 0.36 > 0

X= -0.5

)25.0)(15.0)(5.0(

2)5.0(3

= - 1.33 < 0

X=1

2

2

1

11

xxx

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)21)(11(1

2)1(3

=

6

5 > 0

SOLUCION: (-2,-1) (-0.66, 0) EJEMPLO 3. Use la solución C=5/9(F-32) para determinar el intervalo en la escala Fahrenheit que corresponde a 20 c30 20 5/9 (F-32) 30

9(20) 99

5(F-32) 9(30)

180 5(F-32) 270 180 5F-160 270 180+160 5F-160+160 270+160 340 5F 430

5

340 F

5

430

68 F 86 SOLUCION: (68,86) EJEMPLO 4: Calcule el conjunto solución de la siguiente desigualdad

01832 xx

Solución: X2-3X-18 0 Factorizando (X-6) (X+3) 0 Raíces: 6 y -3 Formando intervalos con las raíces obtenidas: (- ,-3), (-3,6), (6, ) Tomando valores de prueba dentro de cada intervalo: -4, 0, 7 Evaluando estos valores en la expresión factorizada: X= - 4 (-4-6)(-4+3) = (-10)(-1) = 10 > 0 X=0 (0-6)(0+3) = -18 < 0 X=7 (7-6)(7+3) = 10 > 0 Observemos que la desigualdad nos indica que el producto de los factores debe ser negativo, por lo tanto el conjunto solución es: (-3, 6).

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EJEMPLO 5: Calcule el conjunto solución de la siguiente desigualdad

(X+2)(X-1)(X-3) 0 Solución: Raíces de los factores: -2,1,3 Formando los intervalos con las raíces obtenidas: (- ,-2), (-2,1), (1,3), (3, ) Tomando valores de prueba dentro del respectivo intervalo: -3, 0, 2, 4 Evaluando los valores de prueba : X= 3 (-3+2)(-3-1)(-3-3) = (-1)(-4)(-6) = -24 < 0 X=0 (0+2)(0-1)(0-3) = (2)(-1)(-3) = 6 > 0 X= 2 (2+2)(2-1)(2-3) = (4)(1)(-1) = -4 < 0 X= 4 (4+2)(4-1)(4-3) = (6)(3)(1) = 18 > 0 Como el producto de los tres factores debe ser negativo, entonces el conjunto solución es: (- ,-2) (1,3) EJEMPLO 6: Calcule el conjunto solución de la desigualdad dada

322 xx Solución: X2+2X > 3 Restando 3 ambos lados X2+2X-3 > 3-3 X2+ 2X-3 > 0 Factorizando (X+3)(X-1) > 0 Raíces de cada factor. -3,1 Formando intervalos con las raíces obtenidas: (- ,-3), (-3,1), (1, ) Tomando valores de prueba dentro de cada intervalo: - 4, 0, 2 Evaluando los valores de prueba en la expresión factorizada: X= - 4 (- 4+3)(- 4-1) = (-1)(-5) = 5 > 0 X=0 (0+3)(0-1) = (3)(-1) = -3 < 0 X=2 (2+3)(2-1) = (5)(1) = 5 > 0 Como la desigualdad nos indica que el producto de los factores debe ser positivo, entonces el conjunto solución es la unión de lo intervalos: (- ,-3) (1, )

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EJEMPLO 7: Se estima que el costo anual de conducir un auto esta dado por C=0.3m + 2200, donde m representa las millas conducidas por año y C el costo en dólares. Luis ha comprado uno de estos autos y decide gastar anualmente entre $6400 y $7100. ¿Cuál es el rango en millas que puede recorrer? Solución: C=0.3m + 2200 6400 < c <7100 6400 < 0.3m +2200 < 7100 6400 – 2200 < 0.3m + 2200 – 2200 < 7100 – 2200 4200 < 0.3m < 4900

3.0

4200 < m <

3.0

4900

14000 < m < 16333.33 El rango en millas que puede recorrer es (14000, 16333.33) EJEMPLO 8: Demostrar que la suma de un número positivo cualquiera con su recíproco nunca es menor que 2.

X + x

1 > 2

1

x +

x

1 -

1

2 > 0

x

2x- 1 x2 > 0

(x)( x

2x- 1 x2 ) > (x)(0)

x2 +1 -2x > 0 x2-2x +1 > 0 (x-1)2 > 0 EJEMPLO 9: Si a y b son números positivos desiguales, demostrar que: a3 + b3 > a2b + ab2. Solución: (a+b)(a2-ab+b2) > ab(a+b) Dividiendo )( ba ambos lados:

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)(

))(( 22

ba

bababa

>

)(

)(

ba

baab

abbaba 22

022 bababa

02 22 baba

0)( 2 ba

Analizando en forma regresiva, se deduce que la desigualdad dada originalmente es verdadera!!.

EJEMPLO 10: Demuestre que: 2

2

3

3 11

aa

aa

Solución:

Multiplicando ambos lados por 3a

2

23

3

33 11

aaa

aaa

aaa 56 1

0156 aaa Factorizando por agrupación de términos

0)1()1(5 aaa

Factorizando el signo “menos” en el segundo binomio

0)1()1(5 aaa

0)1)(1( 5 aa

Observemos que a puede tomar cualquier valor, puesto que el producto de dos

cantidades positivas o dos cantidades negativas siempre es positivo, por lo que la desigualdad está demostrada.

EJEMPLO 11: Exprese el resultado de la siguiente desigualdade en intervalos.

7

38

x < 2

Solución: Aplicando el teorema 1.

27

382

x

Multiplicando en las tres casillas de la desigualdad por -7 , e invirtiendo la desigualdad por multiplicar un numero negativo, se tiene:

)7(27

387)2)(7(

x

143814 x

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Restando 3 en las tres casillas de la desigualdad se tiene: 314338314 x

17811 x Dividiendo por -8 en las tres casillas e invirtiendo las desigualdades por multiplicar un número negativo, se obtiene:

8

17

8

8

8

11

x

Simplificando:

8

17

8

11

x

La solución es (8

11,

8

17)

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PROBLEMAS PROPUESTOS.

Resuelva la desigualdad y expresa las soluciones en términos de intervalos.

1) xx2

14

3

19

Solución: ,6

2) 75

323

x

Solución: 19,9

3) 1242

xxx

Solución:

5

4,

4) 03

142

x

Solución:

4

1,

4

7

5) 23

565

x

Solución:

0,

5

9

6) 25

32

x

Solución:

,4

3

8.

7) 225

3

x

Solución:

,

4

13

4

7,

8) 062 xx

Solución: 3,2

9) 07432 xx

Solución:

4

7,

3

2

10) 41742 xx

Solución: 7,3

11) 413 xx

Solución:

3

4,1

12) 92 x

Solución: ,33,

13) 0842 23 xxx

Solución: ,22

14) 03232 23 xxx

Solución:

2

3,11,

15)

0

12

22

xx

xx

Sol: 01,22,

16) 022

2

xx

xx

Solución: 1,00,2

17) 0103

22

xx

x

Solución: ,52,2

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18) 916 2 x

Solución:

,

4

3

4

3,

19)

09

312

2

x

xx

Solución: ,33,3

20)

0

44

232

2

xx

xx

Solución:

,22,234,

21) 0127

52

xx

x

Solución: 4,35,

22) 1

3

2

1

xx

Solución:

2

7,21,

23) 1

2

23

4

xx

Solución:

,4

3

2,1

24) 1

2

53

xx

x

Solución: 5,23

5,1

25) xx 3

Solución: ,10,1

26) 3

1

15

3

xx

Solución:

3,

5

15,

27) 2

3

12

xx

x

Sol:

,31,

2

12,

28) 24 xx

Sol: ,101,

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PROBLEMAS DE APLICACIÓN:

1.- En la figura se muestra una lente de aumento. El objeto que se amplificara se coloca de modo que la distancia p desde la lente sea menor que la longitud focal. La amplificación lineal M es el cociente entre el tamaño de la imagen y el del objeto. En física se demuestra que M = f / (f-p). Si f = 6cm, ¿a qué distancia de la lente hay que colocar el objeto para que su imagen aparezca amplificada al menos tres veces? Solución: 64 p

2.- Para tratar la arritmia cardiaca, se aplica un medicamento al torrente sanguíneo en forma intravenosa. Supón que la concentración c del fármaco después de t horas está dada por c = 3.5t / (t+1) mg/L. Si el nivel terapéutico mínimo es 1.5mg/L, indica cuándo se rebasa este nivel.

Solución: ht4

3

3.- Una constructora requiere decidir cuál grúa comprar. El modelo A cuesta $50000 y requiere $4000 anuales de mantenimiento; el modelo B tiene un precio de $4000 y un costo de mantenimiento de $5500 al año. ¿Durante cuántos años se usará el modelo A antes de que se vuelva más económico que el B?

Solución: años3

26

4.- Un consumidor se muestra indeciso ante cuál vehículo adquirir. El auto A cuesta $10000 con un rendimiento de 30 millas por galón (mipg) y un seguro de $550 por año; el B cuesta $12000, con un rendimiento de 50 mipg y un seguro de $600 por año. Considera que el comprador recorre 15000 millas al año y que el precio de la gasolina permanece constante en $1.25 por galón. Con base en estos datos, señala cuanto tiempo se necesitará para que el costo total del auto B sea menor que el del A. Solución: 10 años. 5.- El Guinness Book of World Records reporta que los perros pastor alemán pueden saltar verticalmente más de 10 pies al trepar por paredes. Si la distancia s (en pies) que saltan del suelo después de t segundos está dada por la ecuación s = -16t2 + 24t +1, ¿durante cuántos segundos el animal se mantiene a más de 9 pie del suelo?

Solución: s2

1

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6.- Si se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo, con una velocidad inicial de 320 pies/s, entonces su distancia s arriba del suelo después de t segundos esta dada por s = -16t2 + 320t. ¿Para que valores de t el objeto estará a más de 1536 pies sobre el suelo? Solución: 128 t

7.- El número de millas M que determinado automóvil compacto puede recorrer con un galón de gasolina, está relacionado con su rapidez v (en mi / h) por:

vvM2

5

30

1 2

para 0<v<70

¿A qué velocidad será M al menos 45? Solución: 4530 v

8.- Para una población particular de salmones, la relación entre el número S de ponedoras y el número R de hijuelos que sobreviven hasta la edad adulta está dada por la formula R = 4500S / (S+500). ¿En qué condiciones es R > S? Solución: 0 < S < 4000

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UNIDAD II

FUNCIONES

2.1 Definición de función DEFINICIÓN: Una relación es un conjunto de pares ordenados. Es por eso que también es conocido como relación binaria.

DEFINICIÓN: Un conjunto R es una relación si cada elemento de R es una pareja ordenada. Ejemplos: 1) Las coordenadas de el plano XY. 2) El noviazgo 3) El matrimonio

NOTA: Es claro que si conocemos la relación que existe entre los elementos, conoceremos el conjunto relación, y mejor aun, si conocemos el conjunto relación, conoceremos la relación que deben cumplir los elementos. Ejemplos:

1) Relación: “ x es un múltiplo de 3 “

Conjunto relación: ),..12,3(),9,3(),6,3(

2) Conjunto relación: ),..32,2(),16,2(),8,2(),4,2(

Relación: “ x es el cuadrado de 2 ”

NOTA: Observemos que una relación se puede expresar mediante una proposición abierta simple. DEFINICION: Una función es una relación en la que no hay dos pares ordenados diferentes que tengan el mismo primer componente. Así, con esta definición podemos verificar cual de los siguientes conjuntos es una función. F= (1,1), (2,2), (3,3),(4,4) G= (1,1), (1,2), (2,1) H= (1,1), (2,4), (3,9), (4,16) I= (1,1), (2,1), (3,2), (4,2)

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Observemos que de estas cuatro solamente G no satisface las condiciones de la definición de función, por lo tanto no es función; ya que contiene dos diferentes pares ordenados con el mismo primer componente. ¿Una función es una relación? ¿Una relación es una función? CONCLUSIÓN: Toda función es una relación, pero no toda relación es función. EJERCICIO: 1.- De acuerdo a las gráficas sagitales, analizar si nos representan funciones o no. S T S T a h a h b i b i c j c j d k d k l l Función. No es Función. 2.- En la siguiente relación, dar valores particulares a “x” para obtener “y”, escriba el conjunto de las parejas obtenidas, grafiquelas y diga si esta relación es o no una función. (x,y) y=2x-1 3.- Realice las mismas indicaciones que se dieron en el ejercicio anterior para la relación. (x,y) y= x2 4.- Grafique las relaciones de los ejercicios 2 y 3 y una los puntos con una curva o línea según sea necesario. Ahora traza una línea vertical (paralela al eje y). 5.- Dibuja una circunferencia y trázale una recta vertical nuevamente. ¿Será una función la circunferencia? CONCLUSIÓN: Para que una curva sea una función, debe ser intersecada en un solo punto por cualquier recta perpendicular al eje X. (Regla de la línea vertical)

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EJERCICIO: Usando la regla de la línea vertical, deduzca cual de las siguientes graficas es una función.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

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9) 10)

11) 12) DEFINICIÓN FORMAL DE FUNCION.- Una función f de un conjunto D a un conjunto E es una correspondencia que asigna a cada elemento “x” de D, un elemento único “y” de E. Donde: El elemento “y” de E es el valor (funcional) de f en “x” y se denota por f(x). En otras palabras se puede decir que la función f, “transforma” a la “x” en “y”. Gráficamente: D f E X1 y1 = f(x1) X2 y2 = f(x2)

X3 y3 = f(x3)

Dominio Contra dominio NOTA: Al conjunto D se le llama dominio de la función, el dominio de la función está formado por todos los elementos en los cuales la función está definida (existe). El contra dominio(rango o imagen) de la función f, es el conjunto de todos los valores posibles de f que puede tomar, para cada “x” del dominio D. NOTA: Las representaciones más usuales de una función son: F: x y ó x y

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2.2 Clasificación de las funciones Existen criterios para clasificar las funciones. Estas se pueden presentar según la manera de expresarlas. En el siguiente cuadro se muestra de manera más general las clasificaciones de las funciones.

egrablesNo

sIntegrable

esNoderivabl

Derivables

asDiscontinu

Continuas

par

Par

plicitas

Explicitas

lesExponencia

ricaTrigonomet

aLogaritmic

tesTrascenden

Irracional

iasFraccionar

EnterasRacional

ebraicasA

FUNCIÓN

int

Im

Im

lg

FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS DEFINICIÓN: Una función f: A B se llama inyectiva si para toda pareja 1a , 2a A con 21 aa se tiene que )()( 21 afaf .

Proposición: Las funciones estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes son inyectivas. Ejemplo 1: La siguiente grafica sagital representa una función inyectiva.

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Observemos que, para parejas diferentes del dominio se tienen parejas de imágenes diferentes.

Ejemplo 2 : Las siguientes graficas representan una función inyectiva.

a) b)

Ejemplo 3: Las siguientes graficas no son funciones inyectivas (justifique por

que)

a) b)

Dominio Imágen

x1

x2

x3

x4

Y1

Y2

Y3

Y4

f

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NOTA: También a la función inyectiva se le conoce como función una a uno. DEFINICION: Una función BAf : se llama sobreyectiva si Bf Im ; es decir,

si para toda Bb existe Aa tal que .)( baf

Graficando sagitalmente:

Ejemplo 1: Si RRf : dada por 2)( xxf . Deduzca si f es o no sobreyectiva.

Ejemplo 2: Si ZZf : dada por nnf 2)( . Deduzca si f es o no sobreyectiva.

DEFINICION: Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. FUNCIONES EXPLICITAS: Son las que tienen la variable dependiente despejada,

es decir son las que tienen la forma )(xfy

Ejemplos de funciones explicitas:

1) 34 23 xxxy

2) 63

14

x

xy

FUNCIONES IMPLICITAS: Son las que no especifican cuál variable es dependiente y cuál es dependiente. Ejemplos de funciones implícitas:

1) 322 xyx

2) 0852 22 yxxy

3) yxxyxseny cos

FUNCION PAR: Una función es par si para toda “ x ” se tiene que )()( xfxf

NOTA: El comportamiento grafico de una función par se caracteriza por ser simétrica respecto al eje Y. Como se muestra en la siguiente figura.

1x

2x

3x

4x

1y

2y

3y

4y

5y

Funcion no Sobreyectiva

1x

2x

3x

4x

1y

2y

3y

f

Función Sobreyectiva

f

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FUNCION IMPAR: Una función f es impar, si para toda “ x ” se tiene que

)()( xfxf .

NOTA: El comportamiento grafico de una función impar se caracteriza por ser simétrica respecto al origen. Como se muestra en la siguiente figura.

EJEMPLOS: Usando las definiciones anteriores, deduzca cual de las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de las dos.

1) 25)( xxf

2) 12)( 3 xxxf

3) senxxf )(

4) xxf cos)(

5) 122)( 23 xxxf

6) xsenxxf cos)(

7) 2)( xsenxxf

8) 43

3)(

24

3

xx

xxxf

9) xsenxxf 22)1()(

PROPOSICION: 1) El producto de dos funciones pares es una función par. 2) El producto de dos funciones impares es una función par. 3) El producto de una función par y una impar es una función Impar. FUNCION CRECIENTE: Una función f es creciente en un intervalo si

)()( 21 xfxf siempre que 21 xx en I .

Calculo Diferencial


Gráficamente:

FUNCION DECRECIENTE: Una función f es decreciente en un intervalo si

)()( 21 xfxf siempre que 21 xx en I .

DEFINICION: Sea x un numero real, el valor absoluto de x se denota como x y

esta dado por

0;

0;

xx

xxx

2.3 GRAFICAS DE FUNCIONES Y TRASLACION DE FUNCIONES

Ahora obtendremos nuevas funciones a partir de una función ya conocida, estas pueden ser por traslación, estiramiento o reflexión de las graficas correspondientes. También pueden combinarse funciones mediante operaciones aritméticas, y composición de funciones. Al aplicar ciertas transformaciones a la grafica de una función dada, podemos obtener las graficas de ciertas funciones relacionadas. Esto nos permitirá trazar graficas de numerosas funciones rápido y manualmente.

Desplazamientos Verticales y Horizontales

De las graficas 0c

Para obtener la Grafica de:

Se desplaza la grafica De )(xfy :

cxfy )( C unidades hacia abajo

cxfy )( C unidades hacia arriba

)( xcfy C unidades hacia la derecha

)( cxfy C unidades hacia la izquierda

1x 2x

)( 1xf

)( 2xf

Calculo Diferencial


Como se muestra en la siguiente grafica:

Traslación de la grafica de f

Estiramiento y reflexiones verticales y horizontales Supóngase que 1c . Para obtener la grafica de:

)(xcfy , estírese la grafica de )(xfy verticalmente en un factor de c

)(1

xfc

y , comprímase la grafica de )(xfy verticalmente en un factor de c

)(cxfy , comprímase la grafica de )(xfy horizontalmente en un factor de c

c

xfy , estírese la grafica de )(xfy horizontalmente en un factor de c

)(xfy , refléjese la grafica de )(xfy respecto al eje X.

)( xfy , refléjese la grafica de )(xfy respecto al eje Y.

Como se muestra en la siguiente figura:

Calculo Diferencial


Estiramiento y reflexión de la grafica de f Ejemplo1: En las siguientes figuras se muestran algunas transformaciones de estiramiento cuando se aplica a la función coseno con 2c .

Ejemplo 2: Graficar la función 106)( 2 xxxf

Solución: Primeramente completaremos el trinomio cuadrado perfecto.

1)3(10996106)( 222 xxxxxxf

Recordando la grafica de la función 2)( xxf , observamos que entonces la

grafica de esta función tiene una traslación 3 unidades a la izquierda y 1 unidad hacia arriba. Esto es:

Ejemplo 3: Trazar la grafica de la siguiente función.

1)( 2 xxf

Solución: Apoyándonos con la grafica de la parábola trasladada 1 unidad hacia abajo, obtenemos la grafica deseada.

Calculo Diferencial


Ejemplo 4: Trazar la grafica de las siguientes funciones.

a) 3)( xxg b) xxf )(

c) 62)( xxf d) 5)( xf

Calculo Diferencial


e) xxf )( f) )()( xsenxf

g) Grafique la siguiente función cxxxf 3)( para diferentes valores de c, en

particular 2,1,0,1,2 c

h) xxf cos1)( i) xexf )(

j) xexf )( k) xexf 2

1)(

Calculo Diferencial


l) 12

1)( xexf m) xxf tan)(

n) 2)( 2 xxf o) 12 yx

p) xxf cos)( q) xxf )(

Calculo Diferencial


r) x

xf1

)( s) 2

1)(

xxf

t) 2yx u) )cot()( xxf

v) xy ln w) 2

1)(

xxf

Calculo Diferencial


Ejemplo 5: Relacione las siguientes funciones

Con las respectivas graficas.

Ejemplo 6: La grafica de )(xfy esta dada. Cotejar cada ecuación con su

grafica y dar razones apropiadas para hacerlo.

A) )4( xfy b) 3)( xfy c) )(3

1xfy

d) )4( xfy e) )6(2 xfy

Ejercicios 1: Graficar la siguiente función

a) xxxf 3)(

b) 2)3(1)( xxf

c) 2)2()( xxf

d) 3)( xxf

e) senxxf )(

f) 4)( xxf

Ejercicio 2: Coteje las graficas y funciones. Explique su decisión en cada caso.

a) 2xy b) 5xy c) 8xy

Calculo Diferencial


Ejercicio 3: Coteje las graficas y funciones. Explique su decisión en cada caso.

a) xy 3 b) xy 3 c) 3xy d) 3 xy

Ejercicio 2 Ejercicio 3

2.4 FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS En esta sección trazaremos graficas de funciones definidas a trozos, la cual se define empleando más de una función. Ejemplo1: Sea f la función definida por

Determine el dominio, el contra dominio de f y trace su grafica.

Solución: El dominio de f es , . De acuerdo a la grafica mostrada, se

observa que consta de la porción de recta 1 xy para la cual 3x , el punto

5,3 y la parte de la recta 12 xy para la cual x3 . Los valores de la función

son números menores que 2, el numero 5 o números mayores que 7. Por lo tanto, el contra dominio de f es el numero 5 y aquellos números que se encuentran en

los intervalos ,72, .

Calculo Diferencial


Ejemplo 2: Trace la grafica de las siguientes funciones.

A)

x

x

x

xf

0;1

0;0

0;1

)( b)

0;2

0;)(

x

xxxf

c)

xx

xx

xx

xf

3;3

33;9

3;5

)( 2 d)

0;1

0;)(

xx

xxxf

e)

1;3

1;32)(

xx

xxxf f)

1;27

1;23

1;1

)(

xx

xx

x

xf

g)

1;12

1;2

1;

)(

xx

x

xx

xf h)

2;2

2;

2;2

)(

x

xx

x

xf

EJERCICIOS: Trazar las graficas de las siguientes funciones definidas por tramos.

1)

1;

1;)(

2 xx

xxxf 2)

1;

1;32)(

2 xx

xxxf 3)

2;3

2;12

1

)(

xx

xxxf

4)

xx

xxxf

2;28

2;)(

2

5)

x

x

x

xf

1;3

1;1

1;2

)( 6)

xx

xxxf

1;2

1;4)(

2

2

Calculo Diferencial


7)

2;1

20;

0;32

)( 2

x

xx

xx

xf 8)

3;3

33;

3;3

)(

x

xx

x

xf 9)

1;

10;2

0;

)(

2 xx

x

xx

xf

10)

2;

21;

1;

)( 2

xx

xx

xx

xf 11)

0;12

0;21)(

xx

xxxf 12)

2;1

20;

0;

)( 2

x

xx

xx

xf

13)

1;2

1;

1;52

)( 2

x

xx

xx

xf 14)

2;3

2;1

2;3

)(

x

xx

x

xf 15)

1;2

1;

1;2

)( 2

x

xx

xx

xf

16)

1;3

1;

1;2

)( 3

xx

xx

xx

xf 17)

1;4

12;

2;3

)( 2

xx

xx

xx

xf 18)

2;6

20;3

0;

)(

2

xx

xx

xf

2.5 FUNCIONES RACIONALES Y ASINTOTAS DEFINICION: Una función f es una función racional si

)(

)()(

xh

xgxf

Donde )(xg y )(xh son polinomios. El polinomio de f esta formado por todos los

números reales, excepto los ceros del denominador )(xh .

Una asintota es una recta que se encuentra asociada a la grafica de algunas curvas y que se comporta como un límite grafico hacia la cual la grafica se aproxima indefinidamente pero nunca la toca y mucho menos la brinca. A medida que la variable independiente de la función tiende hacia un cierto valor, la correspondiente variable dependiente tiende a infinito, cualquiera que este sea. En general, la recta puede tener cualquier orientación, sin embargo, en nuestro caso únicamente estudiaremos las asíntotas verticales y horizontales. PROPOSICION: Toda función racional tiene al menos una asíntota.

Calculo Diferencial


DEFINICIÓN

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:

Asíntota

Una línea que se aproxima a una

curva pero que nunca la alcanza.

Asíntotas Verticales: Como su nombre lo indica, son rectas verticales

asociadas a la función. Se encuentran presentes únicamente en funciones racionales de la forma:

)(

)()(

xh

xgxf

Y se determinan encontrando las raíces del denominador )(xh correspondiente.

Tales valores reciben el nombre de polos de la función. Entonces, el número de polos asociados a una función determinaran el numero de asíntotas verticales que tiene tal función. DEFINICION FORMAL: La recta ax es una asintota vertical para la grafica de

una función f si )(xf o )(xf

A medida que x se aproxima a a ya sea desde la izquierda o la derecha.

Calculo Diferencial


Asintota Horizontal: Como su nombre lo indica, son rectas horizontales

asociadas a la función, se encuentran presentes únicamente en funciones racionales de la forma:

)(

)()(

xh

xgxf

Y se determinan haciendo que la variable dependiente “x” tienda al infinito lo que trae como consecuencia que la función cociente tienda a un valor determinado fijo, al que nunca va a llegar y mucho menos sobre pasar. Estas asíntotas se presentan si el grado de los polinomios del numerador y denominador son iguales. DEFINICION FORMAL: La recta cy es una asintota horizontal para la grafica

de una función f si cxf )( cuando x o cuando x .

Notación Terminología ax x se aproxima a a desde la izquierda(a través de valores menores

que a ax x se aproxima a a desde la derecha (a través de valores mayores

que a

)(xf )(xf aumenta sin cota ( se puede hacer tan grande positiva como se

desee)

)(xf )(xf disminuye sin cota ( se puede hacer tan grande negativamente

como se desee)

En la construcción de gráficas, las asíntotas verticales corresponden a aquellos valores de la variable independiente que hacen indefinida la función con una división entre cero. Las asíntotas horizontales corresponden a aquellos valores de la variable dependiente (y) a los que se aproxima la gráfica de la función conforme los valores de la variable independiente (x) se aproxima a más infinito y a menos infinito respectivamente. Las asíntotas oblicuas corresponden a las funciones cuya regla de correspondencia se integra de un cociente o división de dos polinomios tales que el polinomio del numerador es de grado mayor o igual que el polinomio del denominador. En todo caso, el conocimiento de las asíntotas y cómo se trazan apropiadamente es de gran valor para el trazo apropiado de una gráfica curva en el plano cartesiano, por ejemplo, las asíntotas de una hipérbola son las líneas guía de esta curva.

Ejemplo 1: La función 4

)(2

2

x

xxf tiene una raíz en 0x que es el punto en

el cual la función puede tocar o incluso cruzar el eje X. Además tiene dos asintotas verticales que pasan por 2x y 2x . Estos números corresponden

a las raíces del polinomio del denominador. Como se muestra en la siguiente figura.

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Cero

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable

http://es.wikipedia.org/wiki/Infinito

http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio

http://es.wikipedia.org/wiki/Numerador

http://es.wikipedia.org/wiki/Denominador

http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola

Calculo Diferencial


Ejemplo 2: Grafique la siguiente función racional.

65

14)(

2

xx

xxf

SOLUCION:

Factorizando )2)(3(

14)(

xx

xxf

Las raíces del numerador son: 4

1

Las raíces del denominador (polos): 3 y 2

Por lo tanto la función tiene 2 asíntotas verticales y toca o cruza al eje X en 4

1x

Como se muestra el la siguiente grafica:

Calculo Diferencial


Ejemplo 3: Grafique la siguiente función racional.

2)(

2

2

xx

xxf

SOLUCION: Factorizando el denominador tenemos

)1)(2()(

2

xx

xxf

Observemos que la función tiene como: Raíces del numerador: 0 Raíces del denominador( polos): 2 y -1 Por consiguiente la función toca o cruza al eje X en el punto 0x y tiene dos

asíntotas verticales en los puntos 2x y 1x . Observemos que si dividimos los

términos de mayor grado del numerador y denominador el cociente es de 1, esto significa que la función tiene una asintota horizontal en 1y . Como se muestra en

la figura.

Ejemplo 4: Trazar la grafica de la siguiente función racional.

1

2)(

4

4

x

xxf

SOLUCION: Observemos que la grafica es par puesto que )()( xfxf ; así pues la grafica es

simétrica respecto al eje Y. Además, la grafica toca al eje en 0x . En virtud de que el denominador de

)(xf no tiene raíces reales, la grafica carece de asintota vertical. Además tiene

una asintota horizontal en 2y . Como se muestra el la siguiente grafica.

Calculo Diferencial


Ejemplo 5: Trazar la grafica de la siguiente función.

6

2)(

2

xx

xxf

SOLUCION: Primeramente factorizamos el denominador

)2)(3(

2)(

xx

xxf

Raíces de Numerador: 2 (La curva toca o corta al eje X en este punto) Raíces del denominador: 3 y -2 (la curva tiene asíntotas verticales en estos puntos) Por lo tanto los intervalos por analizar son: )2,( , )2,2( , )3,2( , ),3(

Tomando posibles valores de prueba en los intervalos correspondientes: Valores de prueba: -3, 0, 2.5, 4 Evaluando, estos números en la expresión factorizada, se obtiene

06

5

)1)(6(

5

)23)(33(

23)3(

f

06

2

6

2

)2)(3(

2)0(

f

0)5.4)(5.0(

5.0

)25.2)(35.2(

25.2)5.2(

f

06

2

)6)(1(

2

)24)(34(

24)4(

f

Calculo Diferencial



12

422)(

2

2

xx

xxxf

SOLUCION: Factorizando el numerador y el denominador

)3)(4(

)1)(2(2)(

xx

xxxf

Observemos que la función racional tiene una asintota horizontal en 2y , puesto

que al dividir los términos cuadráticos del numerador y denominador se obtiene un cociente de 2. Raíces del Numerador: 2 y -1 (la curva toca o corta al eje X en estos puntos) Raíces del Denominador: -4 y 3 (la curva tiene asíntotas verticales en estos puntos) Por lo tanto los intervalos a analizar son: )4,( , (-4, -1), (-1, 2), (2, 3), ),3(

Tomando posibles valores de prueba en los intervalos correspondientes: Valores de prueba: -5, -2, 0, 2.5, 4 Evaluando, estos números en la expresión factorizada, se obtiene

08

56

)8)(1(

)4)(7(2

)35)(45(

)15)(25(2)5(

f

010

8

)5)(2(

)1)(4(2

)32)(42(

)12)(22(2)2(

f

012

4

)3)(4(

)1)(2(2)0(

f

0)5.0)(5.6(

)5.3)(5.0(2

)35.2)(45.2(

)15.2)(25.2(2)5.2(

f

08

20

)1)(8(

)5)(2(2

)34)(44(

)14)(24(2)4(

f

Calculo Diferencial



2

3633)(

2

2

xx

xxxf

SOLUCION: Factorizando la expresión algebraica

)1)(2(

)3)(4(3)(

xx

xxxf

Observemos que la función racional tiene una asintota horizontal en 3y , puesto

que al dividir los términos cuadráticos del numerador y denominador se obtiene un cociente de 3. Raíces del Numerador: 4 y -3 (la curva toca o corta al eje X en estos puntos) Raíces del Denominador: -2 y 1 (la curva tiene asíntotas verticales en estos puntos) Por lo tanto los intervalos a analizar son: )3,( , (-3, -2), (-2, 1), (1, 4), ),4(

Tomando posibles valores de prueba en los intervalos correspondientes: Valores de prueba: -4, -2.5, 0, 2, 5 Evaluando, estos números en la expresión factorizada, se obtiene

010

24

)5)(2(

)1)(8(3)4(

f

0)5.3)(5.0(

)5.0)(5.6(3

)15.2)(25.2(

)35.2)(45.2(3)5.2(

f

02

36

)1)(2(

)3)(4(3)0(

f

04

30

)1)(4(

)5)(2(3

)12)(22(

)32)(42(3)2(

f

0)4)(7(

)8)(1(3

)15)(25(

)35)(45(3)5(

f

Calculo Diferencial


EJERCICIOS:

1) 1

3)(

2

x

xxf

2) 43

6)(

2

2

xx

xxxf

3) xx

xxxf

2

2 12102)(

4) xx

xxf

4

1)(

3

5) 32

1)(

2

xx

xxf

6) 4

4)(

2

x

xxf

7) 9

633)(

2

2

x

xxxf

8) 6

43)(

2

2

xx

xxxf

9) 103

4842)(

2

2

xx

xxxf

10) xx

xxxf

2

682)(

2

2

11) xx

xxxf

9

12)(

3

2

12) 1

4)(

2

2

x

xxf

13) 32

2)(

2

xx

xxf

14) 34

1)(

2

xxxf

15) 2

4)(

2

xxxf

16) 86

3)(

2

xxxf

17) 2

1)(

2

xx

xxf

18) )3)(2)(1(

12)(

xxxxf

19) )3)(1)(2(

8)(

xxxxf

20) 2

3)(

2

xxxf

21) 2

233)(

2

2

xx

xxxf

Calculo Diferencial


2.6 DOMINIO DE FUNCIONES

Sabemos que una función es una aplicación entre dos valores reales que se relacionan por una regla )(xfx siendo x y )(xf números reales. Esta relación

se representa por el punto de coordenadas )(, xfx .

Donde: x es un elemento del dominio

)(xf es un elemento de la imagen ( rango ).

DEFINICION: El dominio de una función esta formado por aquellos valores de x (números reales) para los que se puede calcular la imagen ).(xf

DOMINIO DE UNA FUNCION: Es el conjunto de todos los posibles valores de ingreso que la función acepta. Los valores de salida son llamados rango o imagen de la función. Así, tenemos que:

Dominio Función Rango

Ejemplo 1: Si a la función 2)( xxf , le damos los valores ,...3,2,1x entonces

el conjunto ,...3,2,1 es el dominio de la función.

NOTA: El dominio para toda función polinomial es conjunto de todos los números reales. NOTA: Para calcular el dominio de una función racional y una función raíz de índice par, hay que excluir los valores de x que anulen el denominador y todos los valores que hacen negativo el interior de la raíz.

Ejercicios: Calcule el dominio de las siguientes funciones.

1) 11)( xxf

2) 231)( xxxf

3) 4

1)(

2

x

xxf

4) 86

1)(

2

2

xx

xxf

Calculo Diferencial


5) 32

)(2

x

xxf SOL.

2

3x ;

2

3x

6) xx

xf

1

)( SOL. ,0

7) 122

2212)(

2

x

xxxxf SOL.

2

3x ;

2

1x

8) x

xxf

4 2 1)(

9) 22)( xxxf

10) 21

1)(

xxf

11) 2231

3)(

xx

xxf

12) 3)( xxxf

13) 4 25

1)(

xxxf

14) 2)( xxxf

15) 112)( xxxf

16) 44 33)( xxxf

17) 3

1)(

x

xxf

SOL. 1x

18) 83

54)(

x

xxf

19) 19

72)(

x

xxf

20) 29)( xxf SOL. 3,3

21) 25)( 2 xxf SOL. ,55,

22) xx

xxf

4

1)(

3

SOL. 2,0,2R

23) 5136

4)(

2

xx

xxf SOL.

3

1,

2

5R

24) 45

32)(

2

xx

xxf SOL.

,44,

2

3

25) 4

34)(

2

x

xxf SOL.

,22,

4

3

Calculo Diferencial


26) 2

4)(

x

xxf SOL. ,2

27) 3)3(

1)(

xxxf SOL. ,33,3

28) xxxf 22)( SOL. 2,2

29) 128)( 2 xxxf SOL. ,62,

.

2.7 COMPOSICION DE FUNCIONES

DEFINICION: Dadas dos funciones f y g , la función compuesta gf

(también llamada la composición de f y g ) esta definida por

))(())(( xgfxgf .

El dominio de gf es el conjunto de todas las x en el dominio de g tales que

)(xg este en el dominio de f . En otras palabras, ))(( xgf esta definida siempre

que )(xg y ))(( xgf lo están.

Gráficamente:

Ejemplo 1: Si 2)( xxf y 3)( xxg , encuentre las funciones compuestas

gf y fg .

Solución:

Ejemplo 2: Si xxf )( y xxg 2)( , encuentre las funciones compuestas

gf y fg así como también sus respectivos dominios.

Calculo Diferencial


Solución:

a) 4 222))(())(( xxxfxgfxgf

El dominio de gf es el conjunto de números que satisfacen la siguiente

condición 02 x o lo que es lo mismo en el intervalo 2,

b)

Ahora, sabemos que x esta definida para 0x , además, para que x2

este definido se debe cumplir la desigualdad 02 x , o sea 2x , o lo que es

lo mismo 40 x . De modo que el dominio de la composición fg es la

intersección de los dominios ,0 y 4,0 .

Por lo tanto el dominio de la composición fg es el intervalo 4,0 .

Ejemplo 3: Si 1)( 2 xxf y x

xg2

)( , calcular ))(( xgf y ))(( xfg

SOL.

x

x

x

x

xxgxgf

2

2

2

2

2 441

41))(())((

1

2

)(

2))((

2

xxfxfg

Ejemplo 4: Use la tabla para evaluar cada expresión dada. a) ))1((gf b) ))1(( fg c) ))1(( ff d) ))1((gg e) ))3(( fg f) ))6((gf

X 1 2 3 4 5 6

)(xf 3 1 4 2 2 5

)(xg 6 3 2 1 2 3

Ejercicio : Para cada inciso, calcular ))(( xgf y ))(( xfg .

1) Sea 9

6)(

2

x

xxf y xxg 3)(

2) xxxf 22)( ; 23)( xxg

3) x

xf1

)( ; xxxg 2)( 3

4) 1

1)(

xxf ;

1

1)(

x

xxg

5) senxxf )( ; xxg 1)(

6) xxf )( ; 1

)(

x

xxg

7) 1)( xxf ; xxg )(

8) 1)( 2 xxf ; xxg 1)(

Calculo Diferencial


9) 23)( xxf ; 2

1)(

xxg

10) 23

)(

x

xxf ;

xxg

2)(

11) En la siguiente tabla se enumeran diversos valores de dos funciones f y g

x 5 6 7 8 9

f(x) 8 7 6 5 4

X 5 6 7 8 9

g(x) 7 8 6 5 4

Si es posible encuentre: a) ))6((gf b) ))6(( fg c) ))6(( ff d) ))6((gg e) ))9((gf

12) En las tablas que siguen se dan diversos valores de dos funciones T y S

t 0 1 2 3 4

T(t) 2 3 1 0 5

X 0 1 2 3 4

S(x) 1 0 3 2 5

Si es posible encuentre: a) T(S(1)) b) S(T(1)) c) T(T(1)) d) S(S(1))

13) Determine hgf , donde xxf 1)( , 21)( xxg y xxh 1)(

14) Si x

xT

1

1)( , obtenga funciones gf , y h , tales que Thgf

15) Exprese la función xx

xF

1

)( como composición de tres funciones.

16) Si xxf ln)( y 9)( 2 xxg , encuentre las funciones gf , fg , ff

y gg , y sus dominios.

17) ¿ Es cierto que hfgfhgf )( ?

Calculo Diferencial


2.8 FUNCIONES INVERSAS

Una función monótona y estrictamente creciente f es necesariamente uno a uno. PROPOSICION: Una función f monótona y estrictamente creciente siempre tiene

una función inversa, que denotamos por 1f , y 1f también será monótona y

estrictamente creciente. DEFINICION: Sea f una función inyectiva(uno a uno) con dominio D e Imagen R

. Una función g con dominio R e imagen D es la función inversa de f , siempre

que sea cierta la siguiente condición para toda x en D y toda y en R:

)(xfy si y solo si )(ygx

TEOREMA SOBRE FUNCIONES INVERSAS: Sea f una función inyectiva con

dominio D e Imagen R. Si g es una función con dominio R e imagen D, entonces

g es la función inversa de f si y solo si son ciertas estas dos condiciones:

1) xxfg ))(( para toda Dx

2) yygf ))(( para toda Ry

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES INVERSAS

Sea f una función uno a uno con Dominio A y rango B. La función inversa 1f

satisface las siguientes propiedades de cancelación.

xxff ))((1 para cualquier Ax

xxff ))(( 1 para cualquier Bx

Recíprocamente, cualquier función 1f que satisfaga estas condiciones es la

inversa de f .

COMO DETERMINAR LA FUNCION INVERSA DE UNA FUNCION UNO A UNO

1) Escriba )(xfy

2) Resuelva esta ecuación para x en términos de y (si es posible)

3) Intercambie x y y . La ecuación resultante es )(1 xfy

GUIA PARA HALLAR 1f

1) Comprobar que f sea una función inyectiva en su dominio

2) Despejar x de la ecuación )(xfy en términos de y para obtener una

ecuación del tipo )(1 yfx

3) Verificar estas dos condiciones:

a) xxff ))((1 para toda x en el dominio de f

b) xxff ))(( 1 para toda x en el dominio de 1f

Calculo Diferencial


PROPOSICION: La grafica de 1f se obtiene reflejando la grafica de f en la

recta xy .

NOTA: No confunda el -1 con un exponente, puesto que )(

1)(1

xfxf

Ejercicios:

1) Si 5 21)( xxf determine 1f

2) a) Demuestre que la función 41)( xxf es uno a uno

b) Trace la grafica de f

c) Escriba una ecuación para 1f

3) Calcule la función inversa 1f de las siguientes funciones.

a) 53)( xxf SOL. 3

5)(1 x

xf

b) 23

1)(

xxf SOL.

x

xxf

3

12)(1

c) 3

1)(

xxf SOL.

x

xxf

31)(1

d) 52

23)(

x

xxf SOL.

32

25)(1

x

xxf

e) 2

4)(

x

xxf SOL.

4

2)(1

x

xxf

f) 232)( xxf , 0x SOL. 3

2)(1 x

xf

g) 25)( 2 xxf , 0x SOL. 5

2)(1 x

xf

h) 52)( 3 xxf SOL. 31

2

5)(

x

xf

i) 2)( 3 xxf SOL. 31 2)( xxf

j) xxf 3)( SOL. 21 3)( xxf

k) 1)( 3 xxf SOL. 31 )1()( xxf

l) xxxf 6)( 2 , 3x SOL. 93)(1 xxf

m) 34)( 2 xxxf , 2x SOL. 12)(1 xxf

4) Demuestre que )()( 1 xfxf si acx

baxxf

)( para 0c .

5) Demuestre que xxf 1)( y 2)1()( xxg son mutuamente inversas.

6) Hallar la inversa de la función 2/)1( 2

)( xexf SOL. )ln(21)(1 xxf

Calculo Diferencial


7) Demuestre que )(1

1ln)( 1 xf

e

exf

x

x

8) Halle la inversa de las siguientes funciones.

a) )3ln()( xxf b) x

x

e

exf

1

1)(

9) Hallar la inversa de las siguientes funciones.

a) xx

xx

ee

eey

2.9 FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES Y SUS PROPIEDADES Hasta aquí hemos estudiado funciones relativamente sencillas como los polinomios y las funciones racionales. Ahora analizaremos dos funciones más importantes de las matemáticas, la función exponencial y su inversa la función logarítmica. Estas funciones nos sirven para describir el crecimiento exponencial en biología y economía, y la desintegración radiactiva en la física y la química. FUNCION EXPONENCIAL: Para 0a , la función exponencial con base a esta

definida por xaxf )( . Para 0a , el dominio de f es R , el rango es ,0 y la

grafica de f tiene una de las siguientes graficas.

NOTA: Cualquier numero positivo puede utilizarse como base para una función exponencial, pero algunas bases se utilizan con mayor frecuencia que otras, estas bases son el 2 y el 10.

Calculo Diferencial


El numero e esta definido como el valor al que tiende la sucesión

n

n

11 cuando

n . Así, cuando n es lo suficientemente grande el valor aproximado de e es:

59045235367182818284.2e FUNCION EXPONENCIAL NATURAL: La función exponencial natural es la

función exponencial xexf )( , con base e . A menudo se conoce como la

función exponencial. DEFINICION: Sea a un numero positivo con 1a . La función logaritmo con

base a , denotada por

yxa log xa y .

Forma logaritmo Forma exponencial

yxa log xa y

Gráficamente:

DEFINICION: El logaritmo con base 10 se conoce como logaritmo común y se denota omitiendo la base.

xx 10loglog

DEFINICION: El logaritmo con base e se conoce como Logaritmo natural y se

denota por:

xx elogln

PROPOSICION: La función logaritmo natural xy ln es la función inversa de la

función exponencial xey , es decir:

yx ln xe y

Gráficamente:

Calculo Diferencial


LEYES DE LAS FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES

uvvu lnlnln

v

uvu lnlnln

nuun lnln

n

uun ln

ln

1ln e

xe x ln

xe x ln

BAAB aaa loglog)(log

BAB

Aaaa logloglog

AcA a

C

a log)(log

EJERCICIOS: Use las propiedades de la función exponencial o logarítmica

para resolver las siguientes ecuaciones.

1) 4100 )5.0(2 xx SOL. 99

4

2) 23392 xx SOL.

2

1 , 2

3) xx 43 84 SOL. 5

18

Calculo Diferencial


4) 321 927 xx SOL. 3

5) )2ln(3ln)4ln( xx SOL. -7

6) 9ln2

1)6ln(ln xx SOL. 323

7) )2ln(1ln xx SOL. e 11

8) 16)2log(34 x SOL. 5 000

9) log(x+2)+log(x-1) = 1 SOL. -4, 3

10) 41

50

xe SOL. -2.4423

11) 21

10

xe

12) 0232 xx ee SOL. 2ln , 0

13) 0214 24 xx ee SOL. 3ln2

1

14) 062 xx ee

15) 0112 xx ee

16) 1)2ln( x

17) 2)53log( x SOL. 3

95

18) 3)2(log3 x

19) 2)2(log 2

2 xx

20) )2(log5loglog3log 2222 xx SOL. 5

21) )43log(2loglog2 xx

22) )4log()1log(log xxx SOL. 5

23) 20log)1(loglog 555 xx

24) 2)1(log)1(log 55 xx SOL. 12

13

25) 1)3log(log xx

26) 1)3(log)5(log 99 xx SOL. 6

27) 1)2ln()1ln( xx

28) 3loglog)3log( xx SOL. 2

3

Calculo Diferencial


2.10 FUNCIONES COMO MODELOS MATEMATICOS En las aplicaciones del calculo, se necesita expresar una situación del mundo real en términos de una relación funcional, denominada modelo matemático de la situación. En esta sección mostraremos algunas aplicaciones de estos modelos, aun que no siempre se emplea un método específico para obtener un modelo matemático.

EJERCICIOS: 1) A partir de una pieza rectangular de cartón de 20 x 30 pulgadas, hay que

elaborar una caja, cortando cuadrados idénticos de área 2x en cada equina y

doblando los lados hacia arriba. Exprese el volumen V de la caja como una función de x . SOL. )10)(15(4)( xxxxV

2) Un rectángulo tiene un perímetro de 20 pies . Exprese el área A del rectángulo como una función de la longitud x de uno de sus lados.

3) Un rectángulo tiene un área de 16 2m . Exprese el perímetro P del rectángulo

como una función de la longitud x de uno de sus lados.

4) Exprese clarea A de un triangulo equilátero como una función de la longitud x

de un lado. 5) Exprese el área de la superficie S de un cubo como una función de su volumen. 6) Exprese el radio de un círculo como una función de su área. 7) Exprese el área A de un círculo como una función de su circunferencia. 8) Una caja rectangular abierta con un volumen de 12 pies cúbicos tiene una base

cuadrada. Exprese el área de la superficie S de la caja como una función de

la longitud x de un lado de la base.

9) Una mujer de 5 pies de altura esta de pie cerca de un farol de 12 pies de altura. Exprese la longitud L de su sombra como una función de la distancia d de la

mujer a la base del farol. 10) Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo con un semicírculo

sobre puesto. Si el perímetro de la ventana es de 30 pies, exprese el área A de la ventana como una función del ancho x de la misma.

11) Una caja sin tapa debe construirse a partir de una pieza rectangular de cartón de 12 pulgadas por 20 pulgadas cortando cuadrados de lado x en cada

esquina, y después doblando los lados hacia arriba. Exprese el volumen V de la caja como una función de x.

12) Un mayorista vende un producto por libra ( o fracción de libra); si se ordenan no mas de 10 libras , el mayorista cobra $2 por libra. Sin embargo, para atraer ordenes mayores, el mayorista cobra solo $1.80 por libra si se ordenan más de 10 libras.

a) Encuentre un modelo matemático que exprese el costo total de la orden como una función de la cantidad de libras ordenadas del producto.

Calculo Diferencial


b) Determine el costo total de una orden de 9.5 libras y de una orden de10.5 lb. SOL. $19 y $ 18.90

13)Un envase cerrado de hojalata , cuyo volumen es de 60 3lgpu , tiene la forma

de un cilindro circular recto. a) Determine un modelo matemático que exprese el área de la superficie total

del envase como una función del radio de la base.

SOL. 22120

)( rr

xS

14) El precio de admisión regular para un adulto a una determinada función en el cinema es de $7 , mientras que para un niño menor de 12 años de edad es $4 y el precio para adultos de por lo menos 60 años de edad es de $5 .

a) Encuentre un modelo matemático que exprese el precio de admisión como una función de la edad de la persona.

b) Grafique la función obtenida. 15) Una pagina impresa contiene una región de impresión de 24 pulgadas

cuadradas, un margen de 1.5 pulgadas en las partes superior e inferior y un margen de 1 pulgada en los lados. Encuentre un modelo matemático que exprese el área total de la página como una función del ancho de la región de impresión.

SOL. 3048

3)( x

xxA

16) Un almacén que tiene un piso rectangular de 13 200 2pie , se construye de

modo que tenga pasillos de 22 pie de ancho en el frente y en el fondo del almacén, y pasillos de 15 pie de ancho en los lados. Encuentre un modelo matemático que exprese el área total del terreno donde se construirá el almacén y los pasillos como una función de la longitud del frente y del fondo del almacén.

SOL. 17) Una tienda de campaña con forma de pirámide cuadrangular se construye a

partir de una pieza cuadrada de material de 5 m de lado. En la base de la pirámide, sea x metros la distancia desde el centro a uno de sus lados. (a) Encuentre un modelo matemático que exprese el volumen de la casa de Campaña como una función de x. (b) Determine el volumen de la pirámide cuando 8.0x

Calculo Diferencial


MISCELANEA DE EJERCICIOS DE LAUNIDAD 2 I ) Grafique las siguientes funciones

a) 221)( xxxf b) xxf cos2)( c) 4

14)(

xxf d) 1)( xxf

e) 4)( 2 xxf f) 43 xy g) xxf tan)(

II) Identifique las asíntotas y grafique la función.

a) 32

63)(

2

2

xx

xxf b)

103

2)(

2

2

xx

xxf c)

6

12102)(

2

2

xx

xxxf

d)32

63)(

2

2

xx

xxf

III) Grafique las siguientes funciones definida parte por parte.

a)

0,1

0,2

0,

)(

2

xx

x

xx

xf b)

1,12

11,3

1,12

)(

xx

xx

xx

xf c)

3,5

3,1)(

xx

xxxf

d)

0;1

0;)(

xx

xxxf e)

1;3

1;32)(

xx

xxxf f)

1;27

1;23

1;1

)(

xx

xx

x

xf

IV) Use las propiedades de los logaritmos para resolver las siguientes ecuaciones.

a) 163 xe b) 3)12ln( x d) 6)1ln(ln xx e) 32 5 x

f) 2xee g) 02 xxx exeex h) 0112 xx ee i) 324 1 xx

V) Calcule la función inversa de las siguientes funciones.

a) x

x

e

ey

1

1 3

b) 4

2

xy c) xy 32 d) 1)( 3 xxf e)

12

1)(

x

xxf

VI) Dadas las funciones f(x) y g(x), calcule f(g(x)) y g(f(x)).

a) 1

1)(

xxf ,

1

1)(

x

xxg b) senxxf )( , xxf 1)(

c) 1

1)(

xxf , 1)( xxg d)

1

2)(

x

xxf ,

4

5)(

x

xxg

VII) Calcule el dominio de las siguientes funciones.

a) xxxf 22)( b) 67

6)(

2

2

xx

xxxf c)

3)3(

1)(

xxxf

Calculo Diferencial


d) xx

xxf

2

32)( e)

xx

xxf

6

16)(

2

2

g)

1

1)(

xxf h) )1ln()( xxf

i) 24ln)( xxf j) 11)( xxf

VIII) Calcule lo que se pide en cada caso.

1) Dada 62)( 2 yyyf demostrar que 22 )1(262)( hhyyyhyf

2) Dada zzf 4)( , demostrar que )(3)()1( zfzfzf

3) Si g(u) es impar definida para todos los valores de u, ¿qué puede decirse de g(0) ? Justifique su respuesta.

4) Dada una función dcxbxaxxf 23)( , encontrar las constantes dcba ,,, tal que: 0)0( f , 1)1( f , 0)2( f , 2)1( f .

SOL. xxxxf

3

5

2

3

6

7)( 23

4) Sea cbxaxxf 2)( , demuestre que

0)()1(3)2(3)3( xfxfxfxf

5) Sea xx aaxf 2

1)( , 0a , demuestre que

)()(2)()( yfxfyxfyxf

6) Sea .21)( xxf ¿Para que constantes a y b conmuta la función

bxaxg )( con f ?. Es decir, ¿Cuándo se cumple la igualdad

))(())(( xgfxfg ?

7) Si f es una función uno a uno tal que 9)2( f , ¿Cuál es el valor de

)9(1f ?

8) Conteste verdadero o falso y justifique su respuesta.

1) Si f es una función, entonces )()()( tfsftsf

2) Si )()( tfsf , entonces ts

3) Si f es una función, entonces )(3)3( xfxf

4) Si f y g son funciones, entonces fggf

5) Si f es uno a uno, entonces )(

1)(1

xfxf

6) Si ba 0 , entonces ba lnln

IX) Resuelva los siguientes problemas de aplicación.

1) Una caja cerrada , en forma de cubo, va a construirse con dos materiales diferentes. El material de los lados cuesta 1 centavo de dólar por centímetro cuadrado, el material de las tapas superior e inferior cuesta 2.5 centavos de

Calculo Diferencial


dólar por centímetro cuadrado. Exprese el costo total C de la pieza en función de la longitud x de un lado.

2) Se deja caer una piedra en un lago, que crea una onda circular que viaja

hacia fuera a una velocidad de 60 cm/seg.

a) exprese el radio r de este circulo como función del tiempo. b) Si A es el área de éste circulo como función del radio, encuentre Ar.

3) La población de cierta especie en un ambiente limitado, con población

inicial de 100 y que soporta una capacidad de 1000, es

Donde t se mide en años Encuentre la inversa de esta función y úsela para hallar el tiempo requerido para que la población llegue a 900. 4) Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo

rectangular de cartón que tiene las dimensiones de 12 pulgadas por 20 pulgadas, recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y, a continuación, doblando los lados hacia arriba. Exprese el volumen V de la caja como función de x.

5) Exprese el área de un triángulo equilátero como función de la longitud de uno de sus lados.

6) Exprese la longitud de la diagonal de un cubo en función de su lado x. 7) Un cable de 30m de largo y 10cm de diámetro esta sumergido en el mar.

Debido a la corrosión, el área de la superficie del cable disminuye a razón

de 4685 2cm por año. Exprese el diámetro del cable como una función del

tiempo(Desprecie la corrosión en los extremos del cable).

tetP

900100

100000)(

Calculo Diferencial


UNIDAD III

LÍMITES Y CONTINUIDAD

3.1 DEFINICIONES El concepto de limite se la base fundamental con la que se construye el calculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el limite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un numero determinado o al infinito. Consideremos la siguiente grafica:

Observemos que cuando x se aproxima a b por el lado izquierdo, la imagen de

)(xf se aproxima al numero L . Esto se puede expresar en símbolos

matemáticos, de la forma:

Lxfbx

)(lim

De manera semejante, se observa que si x se aproxima a b por el lado derecho,

la imagen de )(xf se aproxima al numero L . Esto se puede expresar en símbolos

matemáticos, de la forma:

Lxfbx

)(lim

Por lo tanto podemos concluir que:

Lxfbx

)(lim = )(lim xfbx

Es decir, los limites laterales son iguales. Esto significa que si existe el limite en el punto bx

Calculo Diferencial


Consideremos ahora la siguiente representación grafica de una función f

cualquiera, para la que pbf )(

Primeramente observemos que Lbf )( , y si x se aproxima a b por la derecha

vemos que )(xf se aproxima al numero L . De manera formal, lo anterior se

puede expresar de la forma:

Lxfbx

)(lim

De manera semejante se observa que si x se aproxima a b por la izquierda

entonces )(xf se aproxima al número L . De manera formal, lo anterior se puede

expresar de la forma:

Lxfbx

)(lim

Por lo tanto podemos concluir que:

Lxfbx

)(lim = )(lim xfbx

Es decir, los limites laterales son iguales. Esto significa que si existe el limite en el punto bx

Calculo Diferencial


Observe ahora la siguiente representación grafica de una función f

Analizando nuevamente vemos que si x se aproxima a b por la derecha la

imagen )(xf se aproxima al número R . De manera formal, lo anterior se puede

expresar en símbolos de la siguiente manera.

Rxfbx

)(lim

De manera semejante, si x se aproxima a b por la izquierda la imagen )(xf se

aproxima al número T . De manera formal, lo anterior se puede expresar en símbolos de la siguiente manera.

Txfbx

)(lim

Observemos ahora que, las imágenes de )(xf se aproximan a valores diferentes

Rxfbx

)(lim )(lim xfTbx

Por lo tanto concluimos que los límites laterales son diferentes. Esto significa que ¡ NO existe el limite ! en el punto bx

CONCLUSION: Para que exista el límite de una función en un punto los límites

laterales deben de ser iguales. DEFINICION INFORMAL DE LIMITE: Sea a en un intervalo abierto, y sea f una

función definida en todo el intervalo excepto posiblemente en a , y L un numero

real. Entonces

Lxfax

)(lim

Significa que )(xf puede acercarse arbitrariamente a L si x se elige

suficientemente cercano a a (pero ax ).

Calculo Diferencial


LIMITE POR LA IZQUIERDA: Sea f una función definida en un intervalo abierto

ac, . Entonces

1)(lim Lxfax

Significa que )(xf puede acercarse arbitrariamente a 1L escogiendo x

suficientemente cerca de a , con ax .

o bien LIMITE POR LA DERECHA: Sea f una función definida en un intervalo abierto

ca, . Entonces

2)(lim Lxfax

Significa que )(xf puede acercarse arbitrariamente a 2L escogiendo x

suficientemente cerca de a , con ax .

o bien TEOREMA: Sea a un punto contenido en un intervalo abierto y f una función

definida en todo el intervalo, excepto posiblemente en a . Entonces Lxfax

)(lim si

y solo si )(lim)(lim xfLxfaxax

.

DEFINICION FORMAL DE LÍMITE: Sea a un punto de un intervalo abierto, sea f

una función definida en todo el intervalo excepto posiblemente en a , y sea L un numero real. Entonces

Lxfax

)(lim

Calculo Diferencial


Significa que para todo 0 existe un 0 tal que,

Si ax0 , entonces Lxf )(

DEFINICION ALTERNA DE LÍMITE: La expresión Lxfax

)(lim , significa que para

todo 0 , existe un 0 tal que siempre que x este en el intervalo abierto

aa , y ax , entonces )(xf se encuentra localizada en el intervalo

abierto LL , .

Gráficamente:

DEFINICION: Sea f una función definida encada numero de algún intervalo

abierto I que contiene a a , excepto posiblemente en a mismo. Con forme x se

aproxime a a , )(xf crece sin limite, lo cual se escribe como

)(lim xfax

Si para cualquier número 0N existe 0 tal que

Si ax0 entonces Nxf )(

Esta definición también puede establecerse en otra forma como sigue: “ Los valores de la función )(xf crecen sin limite con forme x a un numero real si

)(xf puede hacerse tan grande como se desee(esto es, mayor que cualquier

numero positivo N ) para todos los valores de x suficientemente cercanos a a ,

pero sin considerar a a mismo”.

Cabe señalar que no es un símbolo para representar un numero real; en

consecuencia, cuando se escribe

)(lim xfax

, no tiene el mismo significado que

Lxfax

)(lim , donde L es un numero real.

Así, la expresión

)(lim xfax

Puede leerse como: “el limite de )(xf cuando x tiende a a es infinito positivo(o

mas infinito)”. En tal caso, el limite no existe, pero el símbolo indica el comportamiento de los valores de la función )(xf con forme x se aproxima cada

vez mas a a .

Calculo Diferencial


Ejercicios: 1) Suponga que la función g tiene el siguiente comportamiento grafico y úsela

para calcular los siguientes límites.

a) )(lim0

xfx

b) )(lim2

xfx

c) )(lim3

xfx

d) )(lim2

xfx

e) )(lim7

xfx

2) Suponga que la función g tiene el siguiente comportamiento grafico y úsela

para calcular los siguientes límites.

a) )(lim3

xgx

b) )(lim0

xgx

c) )(lim2

xgx

d) )(lim2

xgx

e) )(lim4

xgx

f) )(lim1

xgx

g) )(lim1

xfx

3) Para la función f cuya grafica esta dada , enuncie el valor de cada limite , si

existe. Si no existe, explicar.

a) )(lim0

xfx

b) )(lim3

xfx

c) )(lim3

xfx

d ) )(lim3

xfx

e) )3(f

4) Para la función f cuya grafica se da proporcione el valor de el limite planteado,

si existe. Si no la hay explique por que.

a) )(lim1

xfx

b) )(lim3

xfx

c) )(lim3

xfx

d) )(lim3

xfx

e) )3(f

f) )(lim2

xfx

g) )(lim2

xfx

h) )(lim2

xfx

i) )2(f

5) Para la función g cuya grafica se da, enuncie el valor de el limite planteado, si

existe. Si no existe explique.

a) )(lim2

xgx

b) )(lim2

xgx

c) )(lim2

xgx

d) )2(g e) )(lim2

xgx

f) )(lim2

xgx

g) )(lim2

xgx

h) )2(g i) )(lim4

xgx

j) )(lim4

xgx

k) )0(g l) )(lim0

xgx

6) De el valor de el limite, si existe, a partir de la grafica dada. Si no existe explique

por que.

a) )(lim3

xfx

b) )(lim1

xfx

c) )(lim3

xfx

d) )(lim2

xfx

e) )(lim2

xfx

f) )(lim2

xfx

g) )1(f

7) Para la función g cuya grafica se muestra, calcule los limites propuestos.

a) )(lim6

xgx

b) )(lim0

xgx

c) )(lim0

xgx

d) )(lim0

xgx

e) )(lim4

xgx

f) )(lim5

xgx

Calculo Diferencial


8) Para la función f cuya grafica se muestra, deduzca el valor del límite, si existe.

Si no existe explique por que.

a) )(lim3

xfx

b) )(lim7

xfx

c) )(lim4

xfx

d) )(lim9

xfx

e) )(lim9

xfx

f) )(lim9

xfx

g) Las ecuaciones de las asintotas

9) De el valor de el limite, si existe, a partir de la grafica dada. Si no existe explique por que

a) )(lim2

xhx

b) )(lim2

xhx

c) )(lim2

xhx

d) )(lim1

xhx

e) )(lim1

xhx

f) )(lim1

xhx

10) Para la función f cuya grafica se muestra, deduzca el valor del límite, si

existe. Si no existe explique por que.

a) )(lim2

xfx

b) )(lim2

xfx

c) )(lim2

xfx

d) )(lim4

xfx

e) )(lim4

xfx

f) )(lim4

xfx

g) )0(f

11) Para la función g cuya grafica se muestra, deduzca el valor del límite, si

existe. Si no existe explique por que.

a) )(lim2

xgx

b) )(lim1

xgx

c) )(lim3

xgx

d) )(lim3

xgx

e) )(lim3

xgx

f) )(lim4

xgx

g) )0(g



Calculo Diferencial





Ejercicio 11

Calculo Diferencial


NOTA: De acuerdo a los ejercicios anteriores, podemos concluir que el limite no

es una evaluación de funciones, si no un comportamiento tendencial hacia un numero especifico.

3.2 GRAFICACION Y LÍMITES

Ejemplos: En los ejercicios siguientes trace la grafica y determine el limite

indicado, si existe; si no existe justifique su respuesta.

SOLUCION:

SOLUCION:

Calculo Diferencial


SOLUCION:

a) )(lim

1xf

x b) )(lim

1xf

x c) )(lim

1xf

x

SOLUCION:

5. Trace la grafica de una función f que satisfaga todas las condiciones dadas.

4)(lim3

xfx

2)(lim3

xfx

2)(lim2

xfx

3)3( f 1)2( f

6. Trace la grafica de una función f que satisfaga todas las condiciones dadas.

1)(lim0

xfx

1)(lim0

xfx

0)(lim2

xfx

1)(lim2

xfx

1)2( f

)0(f es indefinido

7. De un ejemplo de una función f definida en a tal que )(lim xfax

existe pero

)()(lim afxfax

Calculo Diferencial


8. Sea f la función definida por

xx

xx

xx

xf

3;3

33;9

3;5

)( 2

a) Trace la grafica b) Determine los siguientes limites

)(lim3

xfx

)(lim3

xfx

)(lim3

xfx

)(lim3

xfx

)(lim3

xfx

)(lim3

xfx

SOL. 2, 0, no existe, 0, 0, 0 9.

3.3 TEOREMAS FUNADAMENTALES DE LOS LÍMITES Y CALCULO DE LIMITES

TEOREMA: ccax

lim , donde c es una constante.

TEOREMA:

TEOREMA: i) nn

axax

lim

ii) nax

n

axxfxf )(lim)(lim

; siempre y cuando )(lim xf

ax exista.

TEOREMA: Si f es un polinomio y a es un numero real, entonces )()(lim afxfax

TEOREMA: Si una función f tiene un limite cuando x tiende a a , entonces

nax

n

axxfxf )(lim)(lim

Siempre y cuando n sea un entero positivo impar o bien n sea un entero positivo

y 0)(lim

xfax

TEOREMA DE INTERCALACION: Supóngase que para todo x en un intervalo

abierto que contiene a a , excepto posiblemente para ax , donde )()()( xhxgxf

Si )(lim)(lim xhLxfaxax

, entonces Lxgax

)(lim

Calculo Diferencial


Gráficamente:

TEOREMA DEL LIMITE DE COMPOSICION DE FUNCIONES:

Si Lxgcx

)(lim y si f es continua en L , entonces

Lfxgfxgfcxcx

)(lim)(lim

En particular, si g es continua en c y f es continua en )(cg , entonces la

composición gf es continua en c .

EJEMPLOS: Calcular los siguientes limites usando los teoremas

fundamentales de los limites.

1) 11111.39

28

9

2149

27

217

2

21lim

22

7

x

x

x

Observemos que al sustituir directamente el valor hacia el cual se está acercando x obtuvimos 3.11111, esto significa que cuando x se acerca a 7 la

imagen de la función 2

21)(

2

x

xxf es 3.1111.

NOTA: En algunos casos no puede determinarse el límite de una función por sustitución directa, puesto que se obtienen indeterminaciones de la forma:

0

a

0

0

Y para evitar esto, se requieren procesos de simplificación para obtener los respectivos límites. Como se muestra en los siguientes ejemplos

2)0

0

33

99

33

93

3

9lim

22

3

x

x

x

Notemos que al sustituir directamente el valor 3 se obtiene una indeterminación.

Calculo Diferencial


Para evitar la indeterminación nos apoyaremos en la factorización. Factorizando y simplificando:

633)3(lim3

)3)(3(lim

3

9lim

33

2

3

x

x

xx

x

x

xxx.

3) 1

1lim

3

1

x

x

x =

0

0

11

113

Nuevamente al sustituir directamente el valor 1 se obtiene una indeterminación;

para solucionar el problema factorizaremos nuevamente. Aplicando la factorización de diferencia de cubos obtenemos:

3111)1(lim)1(

)1)(1(lim

1

1lim 22

1

2

1

3

1

xx

x

xxx

x

x

xxx

4) 67

6lim

2

2

6

xx

xx

x =

5

6

16

6

1lim

)1)(6(

)6(lim

66

x

x

xx

xx

xx

5) h

xhx

h

22

0

)(lim

=

h

hxh

h

hxh

h

xhxhx

hhh

)2(lim

2lim

2lim

0

2

0

222

0

= xhxh

2)2(lim0

Observa que primeramente se desarrolló el binomio al cuadrado y en el tercer paso se factorizó(factor común) para eliminar los factores h, finalmente se evalúa y se obtiene el resultado 2x.

6) xhxh

xhx

xhx

xhx

h

xhx

h

xhx

hhh

22

000limlimlim

= xhxxhxh

h

xhxh

xhx

hhh

1limlimlim

000

= xxxxx 2

11

0

1

El primer paso que hicimos fue RACIONALIZAR con la finalidad de eliminar las raíces, en el segundo paso aplicamos la factorizacion de diferencia de cuadrados para que en el tercer paso podamos simplificar. Observa que en el denominador solo se indicó el producto de los factores esto con la finalidad de eliminar más tarde el factor h.

Calculo Diferencial


7) 3

18lim

1

x

x

x

SOLUCION:

8) 32

94lim

2

2/3

x

x

x

SOLUCION:

9) 492

1683lim

2

2

4

xx

xx

x

SOLUCION:

10) 2

8lim

3

2

x

x

x

SOLUCION:

11) x

x

x

22lim

0

Calculo Diferencial


SOLUCION:

12) x

x

x

11lim

3

0

SOLUCION:

13) 34134

3252lim

23

23

3

xxx

xxx

x

SOLUCION:

Calculo Diferencial


14) 16

8lim

4

3

2

x

x

x

SOLUCION:

15) x

x

x 26

7134lim

2

3

SOLUCION:

7134)3(2

49134lim

7134

7134

26

7134lim

26

7134lim

2

22

32

22

3

2

3

xx

x

x

x

x

x

x

x

xxx

)7134(2

)3(4lim

7134)3(2

)3)(3(4lim

7134)3(2

364lim

23232

2

3

x

x

xx

xx

xx

x

xxx

7

6

28

24

)71336(2

)6(4

16) 43

12lim

2

2

4

xx

xx

x

SOLUCION:

5

7

1

3lim

)1)(4(

)3)(4(lim

43

12lim

442

2

4

x

x

xx

xx

xx

xx

xxx

17) Use el teorema de intercalación para calcular )(lim0

xfx

, si 21)( xxf

Calculo Diferencial


EJERCICIOS: Calcule los siguientes limites.

1) 364

62lim

23

x

x

x

2) 1

1lim

2

3

1

t

t

t

3)

xx

xx

x

113lim

2

0

4)

xhxhh

111lim

0

5) 127

32lim

2

2

3

xx

xx

x

6) 25

5lim

25

x

x

x

7) 8

2lim

32

x

x

x

8) 4

16lim

16

x

x

x

9)

1

1

1lim

2

1 xx

x

x

10) h

h

h

164lim

0

11) 2

16lim

2

4

2

xx

x

x

12) 2

2lim

2

x

x

x

13) 333 27

3lim

x

x

x

14) 15

32lim

21

xx

x

x

15) 53

542lim

39

x

xx

x

16) 7

10

253

1222lim

2

2

2

xx

xx

x

17) 2

3

3 3

27lim

xx

x

x

18) 282

4lim

2

2

x

x

x

19) 9

4

3

36lim

3 2

3

x

xx

x

20) 32

2

2/1 14

344lim

x

xx

x

21) 145

6lim

2

2

2

xx

xx

x

22) x

x

x 31

91lim

2

3/1

23) 63

4lim

3

2

1

x

x

x

24) 2

24lim

3 2

2

x

x

x

25) 24

762lim

33

1

x

xx

x

26) 8

1

32

14lim

23

xx

x

x

27) 6

293lim

3

23

2

xx

xxx

x

28) 7

1

12

4lim

24

xx

x

x

29) 2

9

9

27lim

2

3

3

x

x

x

30) 653

4lim

2

2

2

x

x

x

31) 465

4lim

2

2

2

xx

x

x

32) 2

1

34

23lim

2

2

1

xx

xx

x

33) 4

1

4

2lim

22

x

x

x

34) 223

1lim

21

x

x

x

35) 3

362lim

23

3

x

xxx

x

36) 9

1

752lim

2

2

1

xx

xx

x

Calculo Diferencial


37) 127

32lim

2

2

3

xx

xx

x

38) 13

17

1572

10133lim

2

2

5

xx

xx

x

39) 10

1

25

5lim

25

x

x

x

40) 322

16lim

2

4

x

x

x

41) 81

62014lim

2

1

x

xx

x

42)

41

6222610lim

2

23

1

x

xxx

x

43) 1

32lim

2

1

x

xx

x

44) 1

2lim

2

2

1

x

xx

x

45) 2

65lim

2

2

x

xx

x

46) 214

5114lim

2

2

3

xx

xx

x

47) 32

lim2

2

1

xx

uxuxx

x

48) 3/2

3/4

8 4

16lim

x

x

x

49) x

xx

4

1

4

1

lim0

50) Encuentre )(lim xfx

si

2

2 34)(

14

x

xxxf

x

x

51) ¿Hay un numero a tal que

2

33lim

2

2

2

xx

aaxx

x exista? Si es así,

encuentre los valores de a y el limite.

52) Sea

xxsenxf

1)( para 0x .

¿Cuál es el límite de )(xf cuando

0x ?

53)

xx

1coslim

0

54) 222

1lim

3

0

x

x

x

55) x

xx

11

1

lim0

56) 5

125lim

3

5

x

x

x

57) x

x

x

24lim

0

58) x

xx

11

1

lim0

59) 8

4lim

3

2

2

x

x

x

60) 3 22 4

1lim

xx

61) Considere la desigualdad

2

1cos1

242

12

2

x

xx,¿Cuál es el

valor del 20

cos1lim

x

x

x

?

62)

xsex

x

1lim 2

0

*63) 3

2

11

1lim

3

0

y

yy

y

*64) 3

2

1

123lim

5

1

x

x

x

*65) 3

4

2 11

11lim

x

x

x

66) 2

2

0

39lim

x

x

x

67) 12

128lim

3

0

x

x

x

68) 752

lim2

2

1

xx

xx

x

Calculo Diferencial


69) 322

16lim

2

4

x

x

x

70) 56

1

49

32lim

27

x

x

x

71) 111

lim0

x

xx

x

72) 32

3

3284

223lim

2

x

x

x

73) 9

2

553

123lim

5

x

x

x

74) 02

8lim

3

3

2

x

x

x

75) 7

3

253

13lim

23/1

xx

x

x

3.4 LIMITES EN EL INFINITO Y AL INFINITO LIMITE EN EL INFINITO

DEFINICION INFORMAL: El Lxf

x

)(lim

Significa que )(xf se puede acercar arbitrariamente a L escogiendo x

suficientemente grande. Como se muestra en la siguiente figura.

Ejemplos que ilustran Lxf

x

)(lim

DEFINICION FORMAL: El Lxfx

)(lim

Significa que para todo 0 , existe un número positivo N tal que

Lxf )( siempre que Nx

Como se muestra en la siguiente figura.

Calculo Diferencial


Así, para 0N :

Si Lxfx

)(lim , se dice que el limite de )(xf cuando x tiende a es L .

DEFINICION: El Lxfx

)(lim

Significa que para todo 0 , existe un número negativo N tal que

Lxf )( siempre que Nx

Como se muestra en las siguientes figuras.

Ejemplos que ilustran Lxf

x

)(lim

Por lo tanto decimos que:

Si Lxfx

)(lim , se dice que el limite de )(xf cuando x tiende a es L

Calculo Diferencial


DEFINICION: La recta Ly se llama asíntota horizontal de la curva )(xfy

si se cumple cualquiera de las dos condiciones siguientes:

Lxfx

)(lim o Lxfx

)(lim

LIMITE AL INFINITO

DEFINICION INFORMAL: El

)(lim xfax

Significa que )(xf se puede hacer tan grande como se quiera escogiendo x

suficientemente cerca de a .

DEFINICION FORMAL: Sea f una función definida en un intervalo abierto que

contiene a a , excepto posiblemente en a mismo. La afirmación el límite de

)(xf cuando x tiende a a es , que se escribe

)(lim xfax

Significa que a todo número positivo M le corresponde un 0 tal que

Si ax0 , entonces Mxf )( .


DEFINICION: Sea f una función definida en todo un intervalo abierto que

contiene a a , excepto posiblemente en a mismo. La afirmación el límite de

)(xf cuando x tiende a a es , que se escribe

)(lim xfax

Significa que a todo número negativo M le corresponde un 0 tal que

Si ax0 , entonces Mxf )( .


Calculo Diferencial


TEOREMA: 1) Si n es un entero positivo par, entonces

nax ax )(

1lim

2)Si n es un entero positivo impar, entonces

nax nx )(

1lim y

n

ax ax )(

1lim

TEOREMA: Si 0r es un numero racional, entonces

01

lim rx x

Si 0r es un numero racional tal que rx esta definida para toda x , entonces

01

lim rx x

Consideremos la grafica de la función x

xf1

)(

Observemos que cuando:

xx

1lim

0 y

xx

1lim

0

Calculo Diferencial


Esto significa que la función x

xf1

)( tiene una asintota vertical en 0x

Además observemos que:

01

lim xx

y 01

lim xx

Esto significa que la función tiene una asintota horizontal en 0y

Por lo tanto concluimos que, el limite al infinito esta relacionado con la asintota vertical y el limite en el infinito, esta relacionado con la asintota horizontal.

EJEMPLOS:

1. 2

2

1)(

x

xxf

SOLUCIÓN:

11

1

11

1lim

1

1lim

1lim

1lim

22

2

22

2

2

2

2

2

2

xx

x

xx

x

x

x

x

x

x

xxxx

Calculo Diferencial


4. 32

lim3

34

xx

xx

x

5. x

x

x 32

74lim

0

Calculo Diferencial


6. xxxx

2lim

EJERCICIOS

1) 3

3

1

2lim

x

x

x

2) )3)(5(

lim2

xx

x

x

3) 158

lim2

2

xx

x

x

4) 2

3

2

33lim

3

3

x

xx

x

5) 24

81lim 3

2

2

x

x

x

6) )1)(1(

3lim

2

xx

xx

x

7) 3

12lim

2

x

x

x

8) 4

12lim

x

x

x

9) 05232lim 22

xxx

10) 23

12lim

x

x

x

11) 1

lim2 x

x

x

12) x

xsen

x

2lim

13) 7310

15lim

23

3

xx

x

x

14)

2

12lim

xx

x

15) 1

lim2 x

x

x

16) 742

135lim

2

2

xx

xx

x

17) 726

13lim

23

3

xx

xx

x

18) 3

2

)1(

8lim

xx

x

x

19) x

x

x 310

14lim

20) 1

32lim

3

2

x

xx

x

Calculo Diferencial


3.5 LIMITES TRIGONOMETRICOS Al discutir los limites de las expresiones trigonometricas en que intervienen las funciones sent , tcos , ttan , etc., se supondrá que las variables son números

reales o medidas de un ángulo en radianes.

TEOREMA: 1) 0lim0

sentt

2) 1coslim0

tt

3) 1lim0

t

sent

t

4) 0cos1

lim0

t

t

t

Ejemplos:

1.6

5

0

4.2tanlim

x

xsenx

x

2. 2

2

0

2lim

x

xsen

x

Calculo Diferencial


5. xsen

xsen

x 3

2lim

0

Solución:

3

2

)1(

)1(

3

2

3

32

2

3

2lim

3

332

22

lim3

2

lim3

2lim

0000

x

xsenx

xsen

x

xsenx

xsen

x

xsenx

xsen

xsen

xsen

xxxx

Calculo Diferencial


6. senx

xx

x

tanlim

0

7.

xxsen

x

1lim

8. x

x

x cos

2

1

lim2/

Calculo Diferencial


EJERCICIOS: Calcule los siguientes límites trigonométricos.

1) 23

2

0

)(lim

xx

xsen

x

2) 20

cos1lim

x

x

x

3) 4

)2cos(1lim

22

x

x

x

4) 20

2lim

xsen

xxsen

x

5) x

xsen

x 3

5lim

0

6) senx

x

x 1

coslim

2

0

7) tt

ttsen

t sec

43lim

0

8) t

tsen

t 2

3lim

2

0

9) 2

2

0

3lim

x

xsen

x

10) 1

)1(lim

1

x

xsen

x

11) 2

1tanlim

30

x

senxx

x

12) 32

1

cos21

3lim

3/

x

xsen

x

13) 1lim x

senx

x

14) 0

2

1

1lim

2/

x

senx

x

15) 1)(

lim0

x

senxsen

x

16) 1cotlim0

xxx

17)

xx

xtanlim

18) 2

5

2

5lim

0

x

xsen

x

19) 2

1

2

tanlim

0

t

t

x

20) 3

2

3

cos12lim

0

x

xx

x

21) 8

1

)2(lim

3

3

0

t

tsen

t

22) 03

2cos2lim

0

x

x

x

23) 4

3

4

)3(lim

0

x

xsen

x

24) 0cos1

lim3/20

x

x

x

25) 2coscos221

lim2

22

0

x

xxx

x

26) 734

lim2

2

0

t

tsentt

t

27) sent

t

t 1

coslim

0

28) 0cos1

lim0

sent

t

t

29) 2tan

lim0

senx

xx

x

30) 1cotlim0

xxx

31) 1csclim 22

0

xx

x

32) 12

cos

lim0

x

x

x

33) 0cos1

lim0

bx

ax

x

34) 43

lim0

t

sentt

t

35) 03cos1

lim0

t

t

t

36) 1cos

1lim

2

0

xx

x

x

37) 01

lim20

x

xsenx

x

Calculo Diferencial


38) 2

1

2

coslim

2

0

x

xxx

x

39) 2

12

1

lim0

x

xsen

x

40) 42

lim2

2

0

t

tsen

t

41) 1cot

2csclim

0

x

x

x

42) 5

3

5

3lim

0

tsen

tsen

x

3.6 CONTINUIDAD DE FUNCIONES Quizás algunas veces hemos visto graficas de algunas funciones que se interrumpen para algún valor de x . Es decir, su grafica se quiebra cuando

hacemos variar x de un sentido a otro. Estas pueden tener un salto o solo tener

una interrupción sin tener un salto. A este fenómeno se le llama discontinuidad.

Una función que no es continúa en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la grafica de una función que es discontinua en el número a

se puede observar un “salto” o un “hueco”, precisamente donde ax . La

discontinuidad puede ser eliminable o esencial. Como se muestra en las siguientes graficas.

Discontinuidad de salto Discontinuidad infinita

Discontinuidad evitable Discontinuidad evitable

Calculo Diferencial


La discontinuidad es eliminable cuando )(af no existe pero )(lim xfax

si existe

, o cuando )(lim xfax

)(af . En estos dos casos la discontinuidad desaparece

cuando se redefine )(af , de tal manera que )()(lim afxfax

.

En la discontinuidad esencial no es posible deshacerse de dicha

discontinuidad, y sucede básicamente cuando )(lim xfax

no existe.

Las discontinuidades eliminables, se denominan también discontinuidad de “hueco”: Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidades de salto: se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes. Y la discontinuidad infinita sucede cuando el limite de f cuando x tiende a a es infinito.

DEFINICION: La función f es continua en el número a si f esta definida en

algún intervalo abierto que contenga a a , y si para cualquier 0 existe una

0 tal que

si ax entonces )()( afxf

DEFINICION: Una función f es continua en un número a si se satisfacen las

tres condiciones siguientes: 1) f esta definida en un intervalo abierto que contiene a a

2) )(lim xfax

existe

3) )()(lim afxfax

DEFINICION: Sea f una función definida en un intervalo cerrado ba, . La

función f es continua en ba, si lo es en ),( ba y además.

)()(lim afxfax

y )()(lim bfxfbx

TEOREMA: Si las funciones f y g son continuas en a , entonces también lo

son la suma gf , la diferencia gf , el producto fg , si 0)( ag , el cociente

g

f.

TEOREMA: Si f y g son funciones tales que bxgax

)(lim , y si f es continua

en b , entonces

)(lim)()(lim xgfbfxgfaxax

Calculo Diferencial


TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO:

Si f es continua en un intervalo cerrado ba, , y w es cualquier numero entre

)(af y )(bf , entonces existen al menos un numero c en ba, tal que wcf )(

TEOREMA: Si una función f es continua en un intervalo y no tiene ceros

(raíces) en él, entonces 0)( xf o bien 0)( xf para todo x en el intervalo.

Ejemplos: 1) Determine si la función h definida por

4;3

4;4)(

x

xxxh

Es o no continua en 4x

SOLUCION: Al trazar la grafica observemos que tiene el siguiente comportamiento

De la grafica tenemos que:

3)4( h y 0444lim4

xx

Y de la definición vemos que:

)4(304lim4

fxx

Por lo tanto la función no es continua en 4x

2) Sea la función definida por

2;3

2;2

2

)(

2

x

xx

xx

xf

Determinar si la función es continua en 2x

SOLUCION: La grafica de la función esta dada en la siguiente figura

Calculo Diferencial


Por definición de la función tenemos que 3)2( f

Y el 3121lim2

)1)(2(lim

2

2lim)(lim

22

2

22

x

x

xx

x

xxxf

xxxx

Por lo tanto )(lim3)2(2

xffx

Luego entonces la función es continua en 2x

3) Considere la función )(xf definida por

2;1

2;2)(

x

xxxf

Determine si )(xf es continua en 2x

SOLUCION: Al graficar la función obtenemos el siguiente grafico

De la definición tenemos que:

1)2( f y 0222lim2

xx

Por lo tanto xfx

2lim01)2(2

Luego entonces la función f es discontinua en 2x

Calculo Diferencial


4) Del ejemplo anterior, cabe señalar que tiene una discontinuidad evitable, es decir podemos redefinir la función de tal manera que sea continua en todo R .

Esta puede redefinirse de la forma:

2;0

2;2)(

x

xxxf

Si le aplicamos la definición, nos daremos cuenta que efectivamente cumple con las 3 condiciones de continuidad. Y su grafica es como la que se muestra en el siguiente grafico.

5) Sea la función

2;

2;4)(

2

xx

xxxf

Grafique y deduzca si la función tiene una discontinuidad evitable. SOLUCION: El grafico de la función se muestra en la siguiente figura.

Además

2)(lim)(lim22

xxfxx

y 0)4(lim)(lim 2

22

xxf

xx

De lo anterior se deduce que no existe el limite en 2x , puesto que los

limites laterales son diferentes. Y además )2(f no existe puesto que la función no esta definida en 2x

Calculo Diferencial


En los ejercicios 6 – 13 trace la grafica de la función; luego observando donde hay saltos en la grafica, determine los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua y muestre cual condición no se cumple de los “ criterios de continuidad de una función en un numero “

6) 3

6)(

2

x

xxxF

SOLUCION:

f (-3) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple; conclusión: f es discontinua en -3.

7) 4

5)(

xxh

SOLUCION:

f (4) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple; conclusión: f es discontinua en 4.

8)

2;0

2;2

1

)(

x

xxxg

Calculo Diferencial


SOLUCION:

9) 16

4)(

4

2

x

xxG

SOLUCION:

Calculo Diferencial


10)

xx

x

x

xf

0;

0;0

0;1

)(

SOLUCION:

Por lo tanto, f es discontinua en 0.

11)

xx

xxxg

0;1

0;)(

3

SOLUCION:

Calculo Diferencial


En los ejercicios 12 – 18 demuestre que la función es discontinua en el número a .

Luego determine si la discontinuidad es eliminable (evitable) o esencial (inevitable). Si es evitable defina )(af de manera que la discontinuidad

desaparezca.

12) 23

49)(

2

x

xxf ;

3

2a

SOLUCION:

13)

tt

tttf

2;23

2;9)(

2

SOLUCION:

14) 32

12)(

2

2

xx

xxxf ; 3a

SOLUCION:

Calculo Diferencial


15)

3;2

3;3)(

x

xxxf ; 3a

SOLUCION:

16)

tt

tttf

2;

2;4)(

2

; 2a

SOLUCION:

Calculo Diferencial


17) y

yyf

55)(

; 0a

SOLUCION:

18) x

xxf

11)(

3 ; 0a

SOLUCION:

En los ejercicios 19 – 25 determine los números en los cuales es continua la función dada.

Calculo Diferencial


19) 22 )3()( xxxf

SOLUCION:

20) 3

)(

x

xxf

SOLUCION:

21) 52

1)(

x

xxh

SOLUCION:

22) 4

7)(

2

3

x

xxF

SOLUCION:

23)

xx

xxxf

2;4

2;13)(

2

SOLUCION:

Calculo Diferencial


24)

xx

xx

xf

1;1

1;2

1

)(

SOLUCION:

25)

xx

xxxf

4;4

4;1

1

)(

SOLUCION:

Calculo Diferencial


EJERCICIOS: 1) Encuentre un valor de c para el cual f sea continua en todo R.

2;2

2;3)(

2

xcx

xcxxf

2) Encuentre valores de c y d para que f sea continua en R.

2;5

21;

1;4

)(

xx

xdcx

xx

xf

3) (a) A partir de la grafica de f , de los números en que f es discontinua y

explique por que. (b) Para cada uno de los números que se den en el inciso (a), determine si f

es continua por la derecha, por la izquierda o por ninguno de los dos lados.

Calculo Diferencial


4) A partir de la grafica de g , de los intervalos sobre los que g es continua.

5) Trace la grafica de una función que sea continua en todas partes, excepto en

3x , y sea continua desde la izquierda en 3.

6) Grafique una función que tenga una discontinuidad por salto en 2x y una

discontinuidad removible en 4x , pero que sea continua en todos los demás

puntos.

7) Si f y g son funciones continuas con 5)3( f y 4)()(2lim3

xgxfx

, hallar

)3(g

8) Use la definición de continuidad y propiedades de los límites para mostrar que la función es continua en el punto dado.

12

1)(

2

x

xxg , 4a

9) Explique por que la función es discontinua en el punto dado. Bosqueje la grafica.

a)

1;2

1;1

1

)(

x

xxxf ; 1a

b) 1

1)(

2

x

xxf ; 1a

c)

1;6

1;1

1

)(

2

x

xx

x

xf ; 1a

d)

4;3

4;4

82

)(

2

x

xx

xx

xf ; 4a

e)

2;2

2;1)(

2 xxx

xxxf ; 2a

Calculo Diferencial


10) Sea

3;5

3;1)(

xx

xxxf mostrar que f es continua en ,

11) Encuentre los números en los que la función es discontinua, ¿en cuales de estos puntos f es continua desde la derecha, desde la izquierda o desde

ninguno de los dos lados? Trace la grafica.

a)

1;12

11;3

1;12

)(

xx

xx

xx

xf b)

1;2

10;

0;

)( 2

xx

xx

xx

xf c)

1;

10;

0;

)(

2

xx

xx

xx

xf

12) ¿Para que valor de la constante C la función f es continua en todo el eje

real?

a)

3;1

3;1)(

2 xcx

xcxxf b)

4;20

4;)(

22

xcx

xcxxf

13) Encuentre los valores de a y b de manera que las siguientes funciones sean

continuas en todo el eje real.

a)

2;3

21;

1;1

)(

xx

xbax

xx

xf b)

1;1

10;

0;1

)(

x

xbax

x

xf

14) Dibuje la grafica de un función f que satisfaga todas las condiciones

siguientes.

a) Su dominio es 2,2

b) 1)2()1()1()2( ffff

c) Es discontinua en -1 y 1 d) Es continua por la derecha en -1 y continua por la izquierda en 1.

15) Haga el bosquejo de la grafica de una función que tenga dominio 2,0 y sea

continua en 2,0 , pero no en 2,0

16) Bosqueje la grafica de una funcion que tenga dominio 6,0 y sea continua en

2,0 y en 6,2 , pero que no sea continua en 6,0

Para los ejercicios 17 – 31 deduzca si las afirmaciones son verdaderas o

falsas y justifique su respuesta con un ejemplo o contraejemplo.

17) Si 10)( xf para toda x y )(lim2

xfx

existe, entonces 10)(lim2

xfx

18) Si bxfax

)(lim , entonces bxfax

)(lim

19) Si )()( xfxg es continua, no necesariamente es cierto que )(xf sea

continua

20) Si )(cf no esta definida, entonces )(lim xfcx

no existe

21) Si f es continua en c , entonces )(cf existe

22) Si f es continua en el intervalo 3,1 , entonces f es continua en 2

Calculo Diferencial


23) Si f es continua tal que BxfA )( para toda x , entonces )(lim xfx

existe

y satisface BxfAx

)(lim

24) Si f es continua en ba, , entonces )()(lim cfxfcx

pata toda bac ,

25) Si la recta 2y es una asíntota horizontal de la grafica )(xfy entonces

2)(lim

xfx

26) Si )(lim)(lim xfxfcxcx

, entonces f es continua en cx

27) Si )(lim)(lim xffxfcxcx

entonces f es continua en cx

28) Si )()(lim xgxfcx

existe, entonces existen )(lim xfcx

y )(lim xgcx

29) Si 42 23)(0 xxxf para toda x , entonces 0)(lim0

xfx

30) Si Lxfax

)(lim y Mxfax

)(lim , entonces ML

31) Si )()( xgxf para toda x , entonces )(lim)(lim xgxfcxcx

Calculo Diferencial


MISCELANEA DE EJERCICIOS DE LA UNIDAD 3

INSTRUCCIÓN 1: Calcular los siguientes límites

1) x

x

x 0lim

2) 2

1lim

21

xx

x

x 3

492

1683lim

2

2

4

xx

xx

x 4)

67

6lim

2

2

6

xx

xx

x

5) 364

62lim

23

x

x

x 6) x

xx

1

4lim

0 7)

82

6

2

1lim

22 xxxx

8) 372

9lim

2

2

3

yy

y

y 9)

3/2

3/4

8 4

16lim

x

x

x

10) 5

2

3

0 2

64lim

xx

xx

x

11) 1

25lim

1

x

x

x 12)

1

1lim

3

1

x

x

x 13)

23

10lim

2

23

2

xx

xxx

x

14)562

32lim

23

2

1

xxx

xx

x 15)

x

xx4

2lim

2 16)

1

5252lim

2

23

1

x

xxx

x

17) 8

37lim

3

8

x

x

x 18)

9

62lim

9

x

x

x 19)

1

)1(lim

2

1

x

xsen

x

20) x

x

x

7

345lim

7 21)

27

3lim

33

y

y

y 22)

583

32lim

2

2

1

xx

xx

x

23)

22

4 4

16

5lim

h

h

h

h

h 24)

5

34lim

5

x

x

x 25)

11

525lim

0

x

x

x

26) 1

154lim

21

x

x

x 27)

1

365lim

24

2

xx

xx

x 28)

x

xx

4

1

4

1

lim0

29) 344

16lim

2

2

2/1

xx

xx

x 30)

2

842lim

23

2

x

xxx

x 31) 6

12

2lim

12

2

1

x

xx

x

32) 9

1

1

12lim

2

33 2

1

x

xx

x

Calculo Diferencial


INSTRUCCIÓN 2: Calcule lo que se pide en cada caso. Hallar los valores de las incógnitas de modo que la función dada sea continua.

a)

xkx

xxxf

4;5

4;23)( b)

1,2

1,5

1,

)(

xnmx

x

xnmx

xf c)

xkx

xkxxf

1;

1;3)(

2

d)

xx

xbax

xx

xf

2;62

22;

2;

)(

2

e)

xxb

xbax

xax

xf

3;5

33;2

3;2

)(

2) Grafique y deduzca si existe limite en el punto indicado )(lim2

xfx

, donde

2,24

2,64)(

2

2

2 xxx

xxxxf

Grafique la siguiente función e indique en que puntos la función es discontinua.

1,

1,32)(

2 xx

xxxf

Demuestre que el siguiente limite es ½

2

11lim nnn

n

7) Es verdadero o falso que: Si )()( xgxf para todo ax entonces

)(lim)(lim xgxfaxax

. Justifique su respuesta con un ejemplo.

8) Encuentre )(lim xfx

si 2

2 34)(

14

x

xxxf

x

x

9) Demuestre que 0lim /sin

0

x

xex

10) Demuestre que 02

coslim 4

0

xx

x

11) Calcule )(lim3

xgx

; si 4)3(24)( xxg para toda x.

12) Calcule )(lim2

xgx

; si 2)2(53)( xxg para toda x.

Calculo Diferencial


13) Si 22 )(cos1 xxfx para toda x en el intervalo abierto

2,

2

, encuentre

)(lim0

xfx

14) Si senxxfsenx 2)( para toda x en el intervalo abierto )0,( , encuentre

)(lim2/

xfx

15) Use el teorema de intercalación para calcular el limite,

3

2

1 1

1)1(lim

xsenx

x

INSTRUCCIÓN 3: Calcule los siguientes limites trigonométricos.

1) x

x

x cos1lim

2

0 2)

x

x

x

2

0

cos1lim

3)

x

x

x cot

3csclim

0 4)

xsen

x

x 5

3lim

0

5) xsen

x

x 3lim

2

2

0 6)

2cos1

3lim

2

2

0 x

x

x 7)

x

x

x 2

tanlim

0 8)

xsen

x

x 3

2cos1lim

0

9) 2

3

0lim

x

xsen

x 10)

senx

x

x

1

cos1lim

0 11)

2

2

0 2

cos1lim

x

x

x

12)

4

4

0 4

2tanlim

x

x

x

13) 20

cos1lim

x

x

x

14)

13cos

4lim

0 x

xsen

x 15)

x

xx

x

2tan2seclim

0 16) xxx

xcsccotlim 3

0

17) xxx

3cotlim 22

0 18)

xx

xsen

x 3cos

2lim

0 19)

xx

xsen

x cos

3lim

2

2

0

INSTRUCCIÓN 4: Trace la grafica y determine si existe el limite indicado.

1)

xx

x

xx

xf

2;11

2;0

2;3

)(

2

2

a) )(lim2

xfx

b) )(lim2

xfx

c) )(lim2

xfx

2)

xx

x

xx

xf

2;4

2;4

2;4

)(

2

2

a) )(lim2

xfx

b) )(lim2

xfx

)(lim2

xfx

3)

xx

xx

xx

xf

1;2

11;

1;1

)( 2 a) )(lim1

xfx

b) )(lim1

xfx

c) )(lim

1xf

x

d) )(lim1

xfx

e) )(lim1

xfx

f) )(lim1

xfx

Calculo Diferencial


UNIDAD IV

LA DERIVADA

4.1 INTRODUCCION El calculo se desarrollo a raíz de cuatro problemas sobre lo que estaban trabajando los matemáticos europeos en el siglo XVII.

1) El problema de la recta tangente 2) El problema de la velocidad y la aceleración 3) El problema de maximizar y minimizar.

Nuestro primer problema es muy antiguo; se remonta a la época del gran científico griego Arquímedes (287 – 212 A. C). Nos referimos al problema de la pendiente de la recta tangente. Nuestro segundo problema es mas reciente. Surgió con los intentos de Kepler (1571 – 1630), Galileo (1564 – 1642 ), Newton (1642 – 1727 ) y otros para describir la velocidad de un cuerpo en movimiento. Es el problema de la velocidad instantánea. En los dos problemas, uno geométrico y el otro mecánico, parecen no estar muy relacionados. En este caso, las apariencias engañan. Los dos problemas son gemelos idénticos. Cada uno de ellos involucra el concepto de límite el cual sirve como introducción al cálculo diferencial. La noción de Euclides de una tangente, como una recta que toca a una curva en un solo punto es totalmente correcta para circunferencias o parábolas, como se muestra en la figura 1; pero completamente insatisfactoria para otras curvas, como se muestra en la figura 2. La idea de una tangente en un punto P a una curva es considerada como la recta que mejor se aproxima a la curva cerca de P es mucho mejor, pero aun es muy vaga para la precisión matemática, es así como se retoma el concepto de limite para mejorar la precisión. Debido a estos dos problemas es como surge la necesidad de estudiar la derivación puntual y la derivación en un intervalo.

Valor Máximo de f Recta tangente a la curva

Figura 1 Figura 2

Calculo Diferencial


Consideremos la ecuación y = f(x) en donde f es una función. En muchas aplicaciones la variable independiente x puede cambiar ligeramente y es necesario encontrar el cambio correspondiente de la variable dependiente y , un cambio en x

se denota frecuentemente por el símbolo ∆x (que se lee “delta x”); por ejemplo, si x varia de X1 a X2, entonces esta variación se puede expresar como la diferencia entre la posición inicial y la posición final, esto es:

∆x = X2 – X1

El numero ∆x es el incremento de x. Nótese que X2 = X1 + ∆X, es decir el nuevo valor X2 es igual al valor inicial de X1 mas el incremento ∆x . El símbolo ∆y se usa para denotar el cambio en la variable dependiente y que corresponde a ∆x. Así, el

incremento de )(xfy se expresa de la forma:

∆y = f(x2) – f(x1) = f(x1 + ∆x) - f(x1) En la siguiente figura se muestra los incrementos x y y

Observemos que las coordenadas de P y Q están dadas por: ))(,( 11 xfxP y

))(,( 22 xfxQ . Así, aplicando la definición de pendiente, tenemos:

x

y

xx

xfxfm

12

12 )()(

Pendiente de la recta secante a la curva

A este cociente de incrementos también se le conoce con el nombre de cociente medio de incrementos de la función.

f

P

Q

1x 2x

)( 1xf

)( 2xf

12 xxx

)()( 12 xfxfy

Incrementos de x e y

Calculo Diferencial


En particular, sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene al

número real a . En la siguiente figura se ilustra la grafica de f y una recta secante

PQl que pasa por el punto )(, afaP y )(, xfxQ la recta de trazo punteado l

representa una posible recta tangente en el punto P.

Nuevamente, si calculamos la pendiente de la recta secante PQl obtenemos:

ax

afxfm

)()(

Observemos que, si hax entonces:

h

afhafm

)()(

Pendiente de la recta secante

Si se desea conocer la pendiente de la recta tangente en el punto P, basta calcular el límite del cociente anterior.

h

afhafm

h

)()(lim

0

Pendiente de la recta tangente en P

A este límite se le conoce como “la derivada de la función” en el punto a , y se

denota de la forma:

h

afhafaf

dx

df

h

)()(lim)`(

0

El comportamiento grafico del límite anterior se muestra en la siguiente figura.

Calculo Diferencial


DEFINICION: Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a

a . La derivada de f en a , denotada por )(' af , esta dada por

h

afhafaf

h

)()(lim)`(

0

Si este límite existe.

DEFINICION: Una función f es derivable en un intervalo cerrado ba, si lo es en

el intervalo abierto ba, y los limites

h

afhaf

h

)()(lim

0

y h

bfhbf

h

)()(lim

0

existen. DEFINICION DE LA RECTA TANGENTE CON PENDIENTE m

Si f esta definida en un intervalo abierto que contiene a c y además existe el

limite

mx

cfxcf

x

y

xx

)()(limlim

00

Entonces, la recta que pasa por )(, cfc con pendiente m se llama recta

tangente a la grafica de f en el punto )(, cfc .

LA DERIVADA COMO UNA FUNCION La derivada de la función f es aquella función, denotada por `f , tal que su valor

en un número x del dominio de f esta dado por

h

xfhxfxf

h

)()(lim)`(

0

Si este limite existe. TEOREMA: Si una función f es derivable en a entonces f es continua en a

4.2 Interpretación física de la derivada Supongamos que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta, de acuerdo con una ecuación del movimiento )(tfS , donde S es el desplazamiento

(distancia dirigida) del objeto con respecto al origen, en el instante t . La función

f que describe el movimiento se conoce como función de posición del objeto. En

el intervalo de at hasta hat , el cambio de posición es )()( afhaf . Y la

velocidad promedio en este periodo esta dado por la ecuación

Calculo Diferencial


Velocidad promedio h

afhaf

tiempo

entodesplazami )()(

Como se muestran en las siguientes figuras.

Suponga ahora que calculamos las velocidades promedio sobre los lapsos

haa , mas y mas cortos. En otras palabras, hagamos que h tienda a 0. Como

en el concepto de la pendiente de la recta tangente, logrando con ello la definición de velocidad instantánea, )(av en el instante at como el limite de estas

velocidades promedio.

h

afhafav

h

)()(lim)(

0

NOTA: Existen funciones que son continuas sin embargo tiene puntos en los cuales dicha función no es derivable. Como se muestra en la siguiente figura.

Calculo Diferencial


FORMULAS BASICAS DE DERIVACION

1) 0)(

dx

cd, donde c es cte.

2) dx

dunu

dx

ud nn

1)(

3) 1dx

dx

4) dx

dv

dx

duvu

dx

d

5) dx

duc

dx

cud

)(; donde c es cte.

6) dx

duv

dx

dvu

dx

uvd

)(

7) 2v

dx

dvu

dx

duv

v

u

dx

d

8) dx

duaaa

dx

d uu ln

9) dx

duee

dx

d uu

10) dx

dvuu

dx

duvuu

dx

d vvv ln1

11) dx

du

u

eu

dx

d loglog

12) dx

du

uu

dx

d 1ln

13) dx

duusenu

dx

dcos

14) dx

dusenuu

dx

dcos

15) dx

duuu

dx

d 2sectan

16) dx

duuu

dx

d 2csccot

17) dx

duuuu

dx

dtan.secsec

18) dx

duuuu

dx

dcot.csccsc

19) dx

du

uarcsenu

dx

d

21

1

20) dx

du

uu

dx

d

21

1arccos

21) dx

du

uu

dx

d21

1arctan

22) dx

du

uuarcctg

dx

d21

1)(

23) dx

du

uuuarc

dx

d

1

1sec

2

24) dx

du

uuuarc

dx

d

1

1csc

2

Matemáticas I


EJEMPLOS RESUELTOS: Calcular las derivadas de las siguientes funciones.

1) 5432 985324 xxxxxy

dx

dx

dx

dx

dx

dx

dx

dx

dx

dx

dx

dy 5432

985320

dx

dxx

dx

dxx

dx

dxx

dx

dxx

dx

dy 432 594835)2(3)1(2

432 45321562 xxxxdx

dy

2) 321

3223

231 xxxxxx

y

432432 663223 xxxxxxdx

dy

432

661

xxxdx

dy

3) 2/33/12/1 262 xxxy

2/13/22/12/13/22/1 322

32

3

16

2

12 xxxxxx

dx

dy

xxxdx

dy3

21

3 2

4) 4/32/33/12/1

4/32/33/12/14262

4262 xxxxxxxx

y

4/72/53/42/3

4

34

2

32

3

16

2

12 xxxx

dx

dy

4/72/53/42/3

4/72/53/42/3 3321332

xxxxxxxx

dx

dy

5) 2/13/123 2 535

13

xx

xxy

)5(52

163

3

1)5(5

2

1)3(3

3

1 2/33/222/32

3/22 xxx

dx

xdx

dx

xdx

dx

dy

xxxxx

x

dx

dy

52

1

9

2

52

5

3

232/33/22

6)

222

2223

3

ya

yaz

322

32222

322 12206

)(23

ya

yyya

dy

yadya

dy

dz

Matemáticas I


7) 2/122 3636)( xxxxxf

SOLUCION:

36

362

362

1)36(36

2

1

22

22/12

xx

xx

xxdx

xxdxx

dx

df

8) 3322 124 xxy

SOLUCION:

dx

xdx

dx

xdx

dx

dy22

33

3322 4

1212

4

dx

xdxx

dx

xdxx

dx

dy 44212

121234

2233

32322

236131242 3232 xxxxxdx

dy

9) x

xy

23

23

SOLUCION:

2223

223223

23

23232323

x

xx

x

xdx

dxx

dx

dx

dx

dy

22

23

12

23

4646

xx

xx

dx

dy

10) 2/12

2

2

2

44 x

x

x

xy

SOLUCION:

2

22/1222/12

22/12

2/12222/12

4

442

1)2(4

4

44

x

xdx

dxxxx

x

xdx

dxx

dx

dx

dx

dy

2

2

32

2

2

22

4

442

4

42

242

x

x

xxx

x

x

xxxx

dx

dy

2/32

3

2

2

3

2

2

33

2

3

32

4

8

4

4

8

4

4

28

4

4

42

x

xx

x

x

xx

x

x

xxx

x

x

xxx

dx

dy

Matemáticas I


EJERCICIOS:

1) 2/12/32/1 23 xxxy SOL. 2/3

1

2

3

2

3

xx

xdx

dy

2) xx

y4

2

12 SOL.

2/33

21

xxdx

dy

3) xxy 22 SOL. xdx

dy

2

21

4) 651 xy SOL. 55130 xdx

dy

5) 43 13 xxy SOL. 332 13112 xxxdx

dy

6) 243 xxy SOL. y

xy

2´

7) 32

23

x

xy SOL.

232

5

xdx

dy

8)

5

1

x

xy SOL.

64

1

5

x

x

dx

dy

9) xxy 22 2 SOL.

x

xx

dx

dy

2

58

10) 223 xxy SOL. 2

2

23

43

x

x

dx

dy

11) 221 2 xxxy SOL. 22

342

2

2

xx

xx

dx

dy

12) 241 x

xy

SOL.

2/3241

1

xdx

dy

13) xy 1 SOL. xxxdx

dy

4

1

14) 1

1

x

xy SOL.

11

1

2

xxdx

dy

15) 3342 523 xxy SOL. 2027175232 32332 xxxxxdx

dy

16) 2

2

3

2

x

xy

SOL.

223

10

x

x

dx

dy

17)

4

3

3

12

1

x

xy SOL.

53

332

12

136

x

xx

dx

dy

Matemáticas I


18) ax

aaxy SOL.

axx

a

ax

a

dx

dy

22

19) x

xy

2

2 SOL.

xxxdx

dy 1

4

1

20) xy 21 SOL. xdx

dy

21

1

21) 3 94 xy SOL. 3/2

94

3

xdx

dy

22) 22

1

xay

SOL.

2/322 xa

x

dx

dy

23) 5/352 xy SOL.

5/252

3

xdx

dy

24) bxaxy SOL. bxa

bxa

dx

dy

2

32

25) 22 xaxy SOL. 22

22 2

xa

xa

dx

dy

26) xa

xay

SOL.

2

2

xa

a

dx

dy

27) 22

22

xa

xay

SOL.

222

24

xa

xa

dx

dy

28) x

xay

22 SOL.

222

2

xax

a

dx

dy

29) 22 xa

xy

SOL.

2/322

2

xa

a

dx

dy

30) xxy 432 SOL. x

xx

dx

dy

43

106 2

31) cx

cxy

1

1 SOL.

2211 xccx

c

dx

dy

32) 22

22

xa

xay

SOL.

4422

22

xaxa

xa

dx

dy

33) 3

32

32

x

xy

SOL.

3/43/23232

4

xxdx

dy

34) 2/33/23/2 xay SOL. 3

x

y

dx

dy

35) 3 32 xxy

Matemáticas I


36) 221

2

x

xy

37) bxa

xy

38) xxy 252

39) 3 32 xxy

40) 2

12

xxy

42) 2)2( 22 xxy

43) 3 31

21

x

xy

44) 221

5

x

xy

45) 43

12

x

xy

46) 8

83

3

x

xy

47) 32

1

4

xy

48) 33 1 xxy

4.3 Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales

EJEMPLOS: Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales

1) 3ln xxy

SOLUCION:

xdx

dxx

dx

dx

dx

dy3ln3ln

3ln32

1

3

13ln3

3

1 2/12/1

xx

xxxx

dx

d

xx

dx

dy

3ln62

3ln3

1

2

x

x

xx

x

x

dx

dy

2) x

xy

2ln

SOLUCION:

2

2

2

2

2

2

22

ln2ln

2lnln

x

x

x

xx

xx

x

dx

dxxx

dx

dx

dx

dy

Matemáticas I


3)

32ln

x

xy

SOLUCION:

2

2/1

32

323232

32

32

1

x

xdx

dx

dx

dxx

x

x

x

x

dx

d

x

xdx

dy

32

3232

32

32

)2(322

132

32

2/1

x

x

xx

x

x

x

xxx

x

x

dx

dy

3232

332

32

32

3

32

32

32

32

32

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

dx

dy

xx

x

dx

dy

32

32

EJERCICIOS: Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales.

1) 21ln xy SOL. 12

x

x

dx

dy

2) 2

2

1

1ln

x

xy

SOL.

41

2

x

x

dx

dy

3) baxy 2ln SOL. bax

ax

dx

dy

2

2

4) 2ln baxy SOL.

bax

a

dx

dy

2

5) xy 3ln SOL. x

x

dx

dy 2ln3

6) 2

2

1ln

x

xy

SOL.

)1(

22xxdx

dy

7) 229ln xy SOL. 229

2

x

x

dx

dy

8) 21ln xxy SOL. 21

1

xdx

dy

9) bxa

bxay

ln SOL.

222 xba

ab

dx

dy

Matemáticas I


10) 22 ln xxy SOL. xxdx

dyln212

11) x

xy

ln SOL.

2

ln1

x

x

dx

dy

12) 1

1

x

x

e

ey SOL.

21

2

x

x

e

e

dx

dy

13) xx

xx

ee

eey

SOL.

24

xx eedx

dy

14) 2

2ln

x

xy SOL.

3

ln42

x

x

dx

dy

15)

xx

xxy

1

1ln

2

2

SOL. 1

2

2

xdx

dy

16) 54ln xy SOL. 54

4´

xy

17) 32 1ln xxy SOL. 1

362

xx

x

dx

dy

18) xxy tansecln SOL. xy sec´

19) xey 5 SOL. xey 55´

20) 3xey SOL.

323´ xexy

21) xseney 3 SOL. xsenxedx

dy 33cos3

22) xey x cos SOL. senxxedx

dy x cos

23) )( xearcseny SOL. x

x

e

e

dx

dy

21

24) xey 32tan SOL. xxx eeedx

dy 3233 sectan6

25) 1

12

2

x

x

e

ey SOL.

26) 53 2 xey SOL.

27) xy 2cosln SOL.

28)

2tanln

xy SOL.

Matemáticas I


4.4 Derivadas de funciones trigonométricas

EJEMPLOS: Calcular las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas

1) 2

xxseny

SOLUCION:

22

cos222

cos2

1

22

xsen

xxxsen

xx

dx

dxxsen

xsen

dx

dx

dx

dy

2) xy 3cosln

SOLUCION:

xx

xsenxsen

xx

dx

d

xdx

dy3tan3

3cos

3333

3cos

13cos

3cos

1

3) xsenxy 2cos

SOLUCION:

xxxsensenxsenxdx

dxx

dx

dsenx

dx

dycos2cos222cos2cos

xxxsenxsendx

dycos2cos22

4) xy 2tanln

SOLUCION:

x

dx

dx

xx

dx

d

xdx

dy2tan2tan

2

1

2tan

12tan

2tan

1 2/12/1

xx

xx

xdx

dy4csc2

2tan

2sec)2(2sec

2tan2

1 22

5) 2

4 xseney x

SOLUCION:

xxxx ex

senx

eedx

dxsen

xsen

dx

de

dx

dy 4444 422

cos2

1

22

2

42

cos2

1 44 xsene

xe

dx

dy xx

Matemáticas I


6) xseney x 310 10/

SOLUCION:

10/10/10/10/

10

133cos3103310 xxxx exsenxee

dx

dxsenxsen

dx

de

dx

dy

xsenexedx

dy xx 33cos30 10/10/

7) xxseny 2cos3

SOLUCION:

xsenxdx

dy223cos3

8) 2tan xy

SOLUCION:

22222 sec2sec xxxdx

dx

dx

dy

9) )21cot( 2xy

SOLUCION:

2222222 21csc4421csc2121csc xxxxxdx

dx

dx

dy

10) xy 3sec

SOLUCION:

2/122

tansecsec3secsec3 xdx

dxxxx

dx

dx

dx

dy

xxxdx

dytansec

2

3 3

11) senxxy 2

SOLUCION:

xsenxxxxsenxxxxdx

dsenxsenx

dx

dx

dx

dy2cos)2(cos 2222

12) )23(tan2 xy

Matemáticas I


SOLUCION:

)23()23(sec)23tan(2)23tan(23tan2 2 xdx

dxxx

dx

dx

dx

dy

)23(sec)23tan(6 2 xxdx

dy

EJERCICIOS: Calcular las derivadas de las siguientes funciones

trigonométricas

1) xseny 2

2

1 SOL. xsenx

dx

dycos

2) xy 2cos SOL. x

xsen

dx

dy

2cos

2

3) 3 3tan xy SOL. 3/2

2

3tan

3sec

x

x

dx

dy

4) x

ysec

4 SOL.

x

x

dx

dy

sec

tan2

5) xxy cos SOL. xsenxxdx

dy cos

6) xxseny cos2 SOL. xsenxsenxxdx

dy2cos2cos2

7) senaxy ln SOL. axay cot´

8) xy 2cosln SOL. xy 2tan´

9) xey x 2cos SOL. xxseney x 2cos22´

10)

2tanln

xy SOL.

2sec

2cot

2

1 2 xx

dx

dy

11) senx

senxy

1

1ln SOL. xy sec´

12) senxy SOL. senx

x

dx

dy

2

cos

13) x

seny2

SOL. 2

2cos2

x

x

dx

dy

14) )23(2 xseny SOL. 463 xsendx

dy

15) xxseny 2tan2

1 SOL. xsen

dx

dy2

16) 2/3

12sec

1

xy SOL.

2/512sec

2tan2sec3

x

xx

dx

dy

Matemáticas I


17) x

xy

2cot1

2tan

SOL.

2

2

2cot1

4csc42sec2

x

xx

dx

dy

18) senxxxsenxxy 2cos22 SOL. xxy cos´ 2

19) xseny 24

1 4 SOL.

20)

xxxy 3cos

5

13cos

11

13cos 33/2 SOL.

21) 72cos2cos14

3 23 xxy SOL.

22) 3)12(cos12cos6

1 2 xxy SOL.

23) xxxy tantantan3

1 23 SOL.

24) xxx

y 2

tan22

tan3

2 3 SOL.

25) xxxx

y 3

cot33

cot3

cot5

3 35 SOL.

26) 2

sec5

2 5 xy SOL.

27) 2

2

1xseny SOL.

28) )( 22 xseny SOL.

29) xsen

xseny

31

31

SOL.

30) x

xy

2cos1

2cos1

SOL.

31) xxy cos4 2

32) xsenxxy 66cos 23

33) xxsenxxy cos22

34) xxsenxxxy cos22cos2

35) xxy 2tan2sec3

36) 1cot

1

xy

36) 11cos xsenxxy

37) xsenxxxy cos

38)

x

xsen

y

2

1cos1

2

1

Matemáticas I


39) 44cos

4tan

x

xy

40) senx

xy

1

cot

41) xxy 2sec2sec3

1 3

42) xxy 22 tansec

43) xxseny 23 cos2

44) senx

xy

1cos

4.5 Derivadas de funciones trigonométricas Inversas

EJEMPLOS: Calcular las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas inversas. 1) xarcsenxy

SOLUCION:

arcsenxdx

dx

xx

dx

dxarcsenxarcsenx

dx

dx

dx

dy

21

1

arcsenxx

x

dx

dy

21

2) 4

cotx

arcxy

SOLUCION:

2/1

4cot

4cot x

dx

dxarc

xarc

dx

dx

dx

dy

2/1

2 2

1

4cot

4

41

1x

xarc

x

dx

d

xx

dx

dy

Matemáticas I


4

cot2

1

4

1

16

16

1

4cot

2

1

4

1

161

122

xarc

xxx

xarc

xxx

dx

dy

4

cot2

1

16

4

4cot

2

1

16

16

4 22

xarc

xx

xxarc

xx

x

dx

dy

3) 2arccos xy

SOLUCION:

44

2

4 1

22

1

1

1

1

x

xx

xx

dx

d

xdx

dy

4) 23arctan xy

SOLUCION:

4

2

22 91

63

31

1

x

xx

dx

d

xdx

dy

5)

x

xarcy

1

1cot

SOLUCION:

2

2

221

)1(1)1(1

1

11

1

1

1

1

11

1

x

xx

x

xx

x

dx

d

x

xdx

dy

222

2

2

2

221

2

11

1

1

11

1

11

1

xxx

x

x

xx

x

xxdx

dy

22 1

1

22

2

xxdx

dy

6) 211

csc xx

xarcy

SOLUCION:

)1(12

11csc

1

111

1 22/12

2

xdx

dx

xarc

xdx

d

xx

xdx

dy

Matemáticas I


2222

2

2 111

11

12

21csc

1

11

1

x

x

x

x

x

xx

x

xarc

x

x

x

x

xdx

dy

x

arcx

x

x

x

x

x

xarc

x

x

xdx

dy 1csc

111

1csc

1

1

2222

2

x

arcdx

dy 1csc

EJERCICIOS: Calcular las derivadas de las siguientes funciones

trigonométricas inversas

1) a

xy arccos SOL.

22

1

xadx

dy

2) a

xarcy sec SOL.

22 axx

a

dx

dy

3) a

xarcy cot SOL.

22 xa

a

dx

dy

4) x

arcy1

sec SOL. 21

1

xdx

dy

5) xarcy 2csc SOL. 14

1

2

xxdx

dy

6) xarcseny SOL. 22

1

xxdx

dy

7) xxarcseny 2 SOL. xarcsenx

x

dx

dy2

41

2

2

8) xxy arccos2 SOL. 2

2

1arccos2

x

xxx

dx

dy

9) a

xarcsenaxaxy 222 SOL. 222 xa

dx

dy

10) a

xaarcsenxaxf 22)( SOL.

xa

xaxf

)´(

11) 222)( xaxa

xarcsenaxf SOL.

22

22)´(

xa

xxf

Matemáticas I


12) a

xarcsen

xa

xy

22 SOL.

2/322

2

xa

x

dx

dy

13)

ax

xay

1arctan SOL.

21

1

xdx

dy

14) xarcseny 3 SOL. 291

3

xdx

dy

15) 2

arccosx

y SOL. 24

1

xdx

dy

16) x

y3

arctan SOL. 9

32

xdx

dy

17) )1( xarcseny SOL. 22

1

xxdx

dy

18) x

xy2

arccos2 SOL.

4

12arccos2

2xxx

dx

dy

19) 2

sec2

142

2 xarc

x

xy

SOL.

4

8

23

xxdx

dy

20)

2

2xarcseny SOL.

21)

2

2

x

xarcseny SOL.

22)

32

3

2

1 2xarcseny SOL.

23)

3

32arccos

xy SOL.

24)

3

13arccos

xy SOL.

25) xxy 2arctan 2 SOL.

26)

1

2cot

2x

xarcy SOL.

27) x

xarcy

1cot SOL.

28)

2

2sec

xarcy SOL.

29)

xxarcy

1sec SOL.

30) 22 11 xxxarcseny SOL.

Matemáticas I


31) 2

xarcseny SOL.

32) x

y1

arctan SOL.

33) 2cot xarcy SOL.

34) xarcy sec SOL.

35)

2

2 1

x

xarcseny SOL.

4.6 Derivada de funciones Implícitas

FUNCION IMPLICITA: Cuando una ecuación, definida en el campo de variación de sus variables se escribe en la forma 0),( yxf se dice que y es una función

implícita de x

EJERCICIOS:

1) xseny 2cos SOL. y

xsen

dx

dy

cos

22

2) xy 2tan3cos SOL. ysen

x

dx

dy

33

2sec2 2

3) yxsenyx cos SOL. yxxseny

yxy

dx

dy

cos

coscos

4) xysenxy arctan2 SOL.

121

cos11´

2

22

ysenxx

xyxy

5) 423 yxyx SOL.

6) )(xyseny

7) 222 xyyx

8) 1cos2 ysenx

9) xyxseny cos

10) 133 yxyx

11) xysenyx

12) xyyxsen 2cos2

13) 2ln3 2 xyxy

14) 31ln2 yxxe y

15) 2 xy yexe

16) 01coscos xyyx

17) xyyx 833

18) 111

yx

19) 4 yx

20) 532 33 xyyx

21) 2222 yxyx

22) 4cscsec 22 yx

23) ysenxyx )cos(

Matemáticas I


24) 03 32 yxyx

25) 0349 22 yxyx

26) 16 yxxy

27) yxyxy 22

28) xyxseny cos

MISCELANEA DE EJERCICIOS I) Derivar las siguientes funciones

1) xsenx

xsenxy

cos

cos

2) xey x cos

3) 1ln xy 4) 1

232

3

x

xxy

5)

x

xarcy

1

1cot 6) )arccos()( 22 xxarcseny

7) xxsenxxy cos22 8) xsenxy 32

9)

x

xy

211ln 10)

1

12ln

3

12

2

xx

xxy

11) 12

x

xy 12) xxy 3tan2

13) xxsenxy cos 14) 2

2

4

4ln

x

xy

15)

1ln 2xxy 16) x

xy

4csc1

4csc1

17) xx

xx

ee

eey

18)

1

1ln

x

x

e

ey

19) xsen

xy

41

4cos

20) )cos( xsenxsenxy

21) xey 2cos 22) )sec( 2xey

23) )13(cot3 xy 24) xy 4tan

25) )3ln(tan xy 26) 13 2 xxy

27) )5(cot3 xy 28) 21 xxy

29)

xxy

1tan2 30) senxxseny

31) 32

1

x

xy 32) x

xy 4cos

1

33) )13cos(3 xy 34) xxy 2cos22cos1 2

Matemáticas I


35) xxy 3cot3csc 36) xsen

xseny

51

51

36) xxy tan 37) senxxxy cos

38) 2

12

2

xx

xy 39)

2

2 1cot

xxxy

40) x

xy

3cot1

3cot

41)

senx

xy

1

cos

42) xx

y2tan

1

2cos

4 43)

x

x

x

xy

2cos

2cos

II) Demuestre lo que se pide en cada caso.

1) Si xxey demuestre que yxxy )1(´

2) Si 2/2xxey demuestre que yxxy )1(´ 2

3) Si xxy 22 demuestre que xydx

dyx 2

4) Si 14 2 xy demuestre que 04 xdx

dyy

5) Si axxy 2 demuestre que ´222 xyyyx

III)Derivar implícitamente las siguientes funciones.

1)

y

xxy arctan 2) xyx tan 3)

yx

yxy

3

4) yxe y 5) 1ln / xyex 6) ay

xy ln

7) xy yx 8) xsenxy )( 9) 2xxy

10) senxxy 11)

x

xy

11 12) 1cos xyxseny

13) 32 xxee yxy 14) xyexarcsenyx 2

15) 532 33 xyyx 16) ysenxyx )cos( 17) 034ln2

x

y

xy

18) )ln( yxy 19) )arctan()ln( xyyx 20) yxy cos2

21) yx xeye 2

cot 22) yxy tan 23) yxy sec1 22

Matemáticas I


EJERCICIOS REPASO

1) xy 4 SOL. x

y

42

1`

2) xxy 33 SOL. xx

xy

32

33`

3

2

3) xey 1ln SOL. x

x

e

ey

1`

4) x

xy22 SOL.

2

22`

xxy

5) )3( xsenxy SOL. )3cos(31` xy

6) 3

4 14

x

xy

SOL.

4

34`

xy

7) xsen

ey 3

1

SOL.

xsen

exy 3

1

3

1cos

3

1`

8) 4lnsec xy SOL. 44 lntanlnsec4

` xxx

y

9) 24tan xy SOL. 2

22

4tan

4sec4`

x

xxy

10) 21

3

xy

SOL.

2/321

3`

x

xy

11) 1ln 2 xy SOL. 1

`2

x

xy

12) 21ln xy SOL. 21

2`

x

xy

13) senxey SOL. senx

xey

senx

2

cos

Matemáticas I


UNIDAD V

APLICACIONES DE LA DERIVADA

5.1 Máximos y mínimos DEFINICION: Sea f una función definida en un intervalo I y sean 1x y 2x dos

números que están en I .

1) f es creciente en I si )()( 21 xfxf siempre que 21 xx

2) f es creciente en I si )()( 21 xfxf siempre que 21 xx

3) f es constante en I si )()( 21 xfxf para todo 1x y 2x .

Como se muestran el la siguiente figura.

DEFINICION: Sea f una función definida en un intervalo I y sea c un numero en

I . 1) )(cf es el máximo( o valor máximo ) de f en I si )()( cfxf para todo x

en I . 2) )(cf es el mínimo ( o valor mínimo) de f en I si )()( cfxf para todo x en

I . Como se muestra en la figura:

Matemáticas I


TEOREMA: Si una función f es continua en un intervalo cerrado ba, , entonces

f alcanza un mínimo y un máximo por lo menos una vez en ba, .

DEFINICION: Sea c un numero en el dominio de una función f .

1) )(cf es un máximo local de f si existe un intervalo abierto ),( ba que contiene

a c talque )()( cfxf para todo x en ),( ba .

2) )(cf es un mínimo local de f si existe un intervalo abierto ),( ba que contiene

a c tal que )()( cfxf para todo x en ),( ba .

Como se muestra en la figura.

TEOREMA: Si una función f tiene un máximo local o un mínimo local en un

numero c de un intervalo abierto, entonces 0)`( cf o bien )`(cf no existe.

COROLARIO: Si )`(cf existe y 0)`( cf , entonces )(cf no es ni un máximo local

ni un mínimo local de la función.

TEOREMA: Si una función f es continua en un intervalo cerrado ba, y alcanza

su máximo o su mínimo en un numero c del intervalo abierto ba, , entonces

0)`( cf o bien )`(cf no existe.

DEFINICION: Un número c en el dominio de una función f se llama número

crítico de f si 0)`( cf o bien )`(cf no existe.

TEOREMA DE ROLLE: Si una función f es continua en un intervalo cerrado

ba, , derivable en el intervalo abierto ba, y )()( bfaf , entonces existe al

menos un numero c en ba, tal que 0)`( cf .

COROLARIO: Si f es continua en un intervalo cerrado ba, y )()( bfaf ,

entonces f tiene al menos un numero critico en el intervalo abierto ba, .

Matemáticas I


TEOREMA DEL VALOR MEDIO: Si una función f es continua en un intervalo

cerrado ba, y derivable en el intervalo abierto ),( ba , entonces existe un numero

c en ),( ba tal que

ab

afbfcf

)()()`(

Como se muestra en la figura:

5.1.1 Criterio de la primera derivada TEOREMA: Sea f una función que es continua en un intervalo cerrado ba, y

derivable en el intervalo abierto ),( ba .

1) Si 0)`( xf para todo x en ),( ba , entonces f es creciente en ba, .

2) Si 0)`( xf para todo x en ),( ba , entonces f es decreciente en ba, .

Como se muestra en la figura siguiente.

Matemáticas I


CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA: Sea f una función que es continua en un número critico c y derivable en un

intervalo abierto I que contiene a c , excepto posiblemente en c mismo.

1) Si `f cambia de positiva a negativa en c, entonces )(cf es un máximo

local de f .

2) Si `f cambia de negativa a positiva en c , entonces )(cf es un mínimo

local de f .


TEOREMA DE LOS PUNTOS CRITICOS: Sea f definida en un intervalo I que

contiene al punto c . Si )(cf es un valor extremo, entonces c debe ser un punto

crítico; es decir, c es alguno de los siguientes puntos: a) un punto fronterizo de I ; b) un punto estacionario de f ; es decir, un punto en donde 0)`( cf

c) un punto singular de f ; esto es, un punto en donde )`(cf no existe.

EJERCICIOS: Use el criterio de la primera derivada para hallar los máximos y mínimos.

1) 3159 23 xxxy . SOL. )10,1(Max , )22,5min(

2) 24 2xxy SOL. )1,1(Max , )0,0min(

3) 28 24 xxy SOL. )2,0(Max , )14,2min(

4) 163 24 xxy SOL. )2,1(Max , )25,2min(

5) xxy 123 SOL. )65,5(Max , )16,2min(

6) 596 2 xxy

7) 4202 23 xxxy SOL. )32,2(Max , )17,66.1min(

8) 5523 xxxy SOL.

3.1,

3

5Max , )8,1min(

Matemáticas I


9) 3232)( xxxf SOL. )6,2(Max , )2,0min(

10) 862

1

3

1)( 23 xxxxf SOL.

2

43,3Max ,

3

2,2min

11) 4432)( 234 xxxxxf SOL.

16

81,

2

1Max , )0,2min( , )0,1min(

12) 2212)( xxxf SOL. 128,2Max , 0,6min

13) 31292)( 23 xxxxf SOL. 2,1Max , 1,2min

14) 71232)( 23 xxxxf

15) 433

1)( 23 xxxxf

5.1.2 Criterio de la segunda derivada DEFINICION: Sea f una función que es derivable en un numero c .

1) La grafica de f tiene concavidad hacia arriba en el punto ))(,( cfcP si

existe un intervalo abierto ),( ba que contiene a c , tal que en ba, la grafica de f

esta por encima de la recta tangente en P. 2) La grafica de f tiene concavidad hacia abajo en el punto ))(,( cfcP si

existe un intervalo abierto ),( ba que contiene a c tal que en ba, la grafica de f

esta por debajo de la recta tangente en P. Como se muestra en las figuras.

Concavidad hacia arriba.

Concavidad hacia abajo

Matemáticas I


PRUEBA DE LA CONCAVIDAD: Sea f una función derivable en un intervalo abierto que contiene a c , talque

)``(cf existe.

1) Si 0)``( cf , la grafica tiene concavidad hacia arriba en ))(,( cfcP .

2) Si 0)``( cf , la grafica tiene concavidad hacia abajo en ))(,( cfcP .

DEFINICION: Sea f derivable en un intervalo abierto I . Decimos que f (al igual

que su grafica) es cóncava hacia arriba (cóncava) en I , si `f es creciente en

I ; y decimos que f es cóncava hacia abajo (convexa) en I , si `f es

decreciente en I .

DEFINICION: Un punto ))(,( kfkP en la grafica de una función f es un punto

de inflexión si ``f existe en un intervalo abierto ),( ba que contiene a k y ``f

cambia de signo en k .


Matemáticas I


CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA: Sea f una función derivable en un

intervalo abierto que contiene a c y tal que 0)`( cf

1) Si 0)``( cf , entonces f tiene un máximo local en c .

2) Si 0)``( cf , entonces f tiene un mínimo local en c .


EJERCICIOS: Use el criterio de la segunda derivada para calcular los máximos

y mínimos, los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad.

1) 35 5)( xxxf ,

SOL. Máximo local 36,3 , mínimo local 36,3 , Cóncava hacia abajo

2

6. ,

2

6,0 , cóncava hacia arriba

0,

2

6,

,

2

6

2) 12)( 23 xxxxf

Matemáticas I


SOL. Máximo local

27

31,

3

1, mínimo local 1,1 , Cóncava hacia abajo

3

2. ,

cóncava hacia arriba

,

3

2 abscisa de punto de inflexión

3

2

3) 643)( 34 xxxf

SOL. mínimo local 5,1 , Cóncava hacia abajo

3

2,0 , cóncava hacia arriba 0,

y

,

3

2, las abscisas de los puntos de inflexión son 0 y

3

2.

4) 22 1)( xxf

SOL. Máximo local 1,0 , mínimo local )0,1( y 0,1 , Cóncava hacia abajo

3

1,

3

1, cóncava hacia arriba

3

1, y

,

3

1

Las abscisas de los puntos de inflexión son 3

1 .

4) Determine la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de la función

71212103)( 234 xxxxxf . SOL. Puntos de inflexión

27

322,

3

1 y

63,2

5) Use el criterio de la segunda derivada, para calcular, los máximos y mínimos, puntos de inflexión, e intervalos de concavidad.

a) xxxxf 96)( 23 . SOL. 4,1Max , 0,3min

b) 32 231210)( xxxxf SOL. 17,1Max , 10,2min

c) 422)( xxxf SOL. 1,1Max , 0,0min

d) 234 1243)( xxxxf SOL. 0,0Max , 5,1min , 32,2

e) 45 5)( xxxf SOL. 0.0Max , 256,4min

6) Determine los intervalos en los cuales la función dada es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo y trace la grafica.

a) 433

1)( 23 xxxxf

b) 12634)( 23 xxxxf

c) 243)( 34 xxxf

7)

4

5)(

2

xx

xf

8) 512)( 3 xxxf SOL. )11,2(Max , )21,2min(

9) 104)( 34 xxxf

10) 3

12

23)(

23

xxx

xf

Matemáticas I


11) 424

)( 24

xx

xf

12) 714

9)( 23/1 xxxf

13) 33)( 3 xxxf

14) 362)( 23 xxxf

15) 32691)( xxxxf

16) 46)( 24 xxxf

5.2 Aplicaciones de Máximos y mínimos EJERCICIOS: 1) Determine el área máxima posible de un rectángulo con diagonales, cada una, de longitud 16. SOL. 128 2) un recipiente cilíndrico sin tapa debe tener un volumen de 250 cm3 . El material del fondo del recipiente cuesta 4 centavos el cm2; el del lado curvo cuesta 2 centavos el cm2. ¿Qué dimensiones minimizaran el costo total del recipiente?

SOL. 35 r cm; 310 h cm

3) se requiere construir una caja de base cuadrada y sin tapa que tenga un volumen de 4 dm3 . Encuentre las dimensiones que minimizan la cantidad de material necesario (desprecie el espesor del material y lo que se desperdicia en la construcción). SOL. Base 2 pies; altura 1 pie. 4) una cerca de 8 pies de alto al nivel del suelo va paralela a un edificio alto (véase la figura). La cerca dista un pie del edificio. Calcule la longitud de la escalera más corta que se puede apoyar entre el suelo y el edificio por encima de la reja (sugerencia: utilice triángulos semejantes).

SOL. 2.1155 pie.

Matemáticas I


5) determine las dimensiones del rectángulo que se puede inscribir en un semicírculo del radio A de manera que dos de sus vértices estén sobre el diámetro (véase la figura).

SOL. ab 2 ; 2

ah

6) Calcule el volumen de un cono circular recto mas grande que se puede inscribir en una esfera de radio a.

SOL. 3

81

32a

7) Una larga lamina rectangular de metal de 12 pulgadas de ancho, se va a convertir en un canalón para lluvia doblando dos lados hacia arriba, de manera que queden perpendiculares al resto de la lamina. ¿De cuantas pulgadas debe ser lo doblado para dar al canalón la máxima capacidad?

SOL. 3 pulgadas

8) Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de una hoja rectangular de cartón de 16 cm de ancho y 21 cm de largo, recortando un cuadrado en cada esquina y doblando los lados restantes hacia arriba. Calcular el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen máximo.

SOL. 3cm

9) Se desea elaborar un pequeño recipiente cilíndrico, sin tapa que tenga un

volumen de 24 3cm . El material que se usa para la base cuesta tres veces mas que el que se emplea para la parte cilíndrica. Suponiendo que en la construcción no se desperdicia material, evaluar las dimensiones para las que es mínimo el costo del material de fabricación.

SOL. 2r cm ; cmh 6

10) Calcular el volumen máximo del cilindro circular recto que se puede inscribir en un cono de 12 cm de altura y 4 cm de radio en la base, de manera que los ejes del cilindro y del cono coincidan.

SOL. h = 4 cm, 3

8r ; 34.89 cmV

11) Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal sin tapa que tenga una

capacidad de 31m . Encuentre las dimensiones que debe tener para que la cantidad de material por metro cuadrado sea mínima, suponiendo que no se desperdicia nada en la construcción.

Matemáticas I


SOL. 3

1

hr

12) Se desea construir un tanque de acero con la forma de un cilindro circular recto y semiesferas en los extremos para almacenar gas propano. El costo por pie cuadrado de los extremos se el doble que el de la parte cilíndrica. ¿Qué

dimensiones minimizan el costo si la capacidad deseada es de 10 3pie ?

SOL. 2

153

r , 3 152h

13) Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado por un triangulo equilátero. Encuentre las dimensiones del rectángulo para el cual el área de la ventana es máxima, si el perímetro de la ventana debe ser de 12 pie ?

SOL. 63

12

x ,

63

1836

y

14) Suponiendo que la resistencia de una viga de sección transversal rectangular es directamente proporcional a la anchura y al cuadrado de la profundidad, ¿Cuáles son las dimensiones de la viga de mayor resistencia que puede aserrarse de un tronco redondo de diámetro d ?

SOL. 3

dx , dy

3

2

15) Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado del solar de un vecino. Y

ha de tener un área de 10800 2m . Si el vecino paga la mitad de la cerca mediadera, ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la huerta para que el costo de cercarla sea para el dueño de la huerta el mínimo? SOL. 90 x 120. 16) Hallar el diámetro de un bote cilíndrico de hojalata de un litro de capacidad, para que en su construcción entre la menor cantidad de hojalata, a. Si el bote es abierto por arriba b. Si el bote tiene tapa.

SOL. a) 3

1

h dm, 3

8

d dm

b) 34

d dm = h

17) El área lateral de un cilindro circular recto es de 4 2m . Del cilindro se

corta un hemisferio cuyo diámetro es igual al diámetro del cilindro. Calcular las dimensiones del cilindro para que el volumen que queda sea un máximo o un mínimo. SOL. 2h , d = 2.

18) La rigidez de una viga rectangular es proporcional al producto de la anchura por el cubo del espesor. Calcular las dimensiones de la viga mas rígida que pueda cortarse de un trozo cilíndrico de radio a .

Matemáticas I


SOL. 3ay , ax

19) Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Halle las dimensiones de la ventana que permiten admitir más luz, suponiendo que el perímetro debe ser de 5 m.

20) Se desea construir un almacen con un volumen de 100 3m que tenga techo plano y base rectangular cuya anchura sea de ¾ partes de su longitud. El costo

por 3m de los materiales es de 36 dolares para el piso, 54 para los lados y 27 para el techo. ¿Qué dimensiones minimizan el costo? Sol 6.43, 4.83 y 3.22 21) Se desea construir un vaso de papel en forma de cono circular recto que

tenga un volumen de 36 3cm . Encuentre las dimensiones que requieren menor

cantidad de papel. 22) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la grafica de

3542 23 xxxy , en el punto )2,1( P . SOL. 119 yx

23) Encuentre una ecuación para la recta tangente en el punto )3,2( P para la

función 012 323 yyxx . SOL 032336 yx

24) Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen

de 32000 3cm . Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de

material usado. SOL. 40cm y 20cm 25) Un recipiente rectangular para almacenamiento con la parte superior

abierta, debe tener un volumen de 10 3m . El largo de su base es el doble del

ancho. El material para la base cuesta 10 dólares por 2m . El material para los

costados es de 6 dólares el 2m . Encuentre el costo de los materiales para tener el

más barato de esos recipientes. SOL. 1.65m y 3.33m

26) Un recipiente cilíndrico sin tapa debe tener un volumen de 250 3cm . El

material del fondo del recipiente cuesta 4 centavos el 2m , el lado curvo cuesta 2

centavos el 2m . ¿Qué dimensiones minimizarán el costo total del recipiente?

SOL. r= 3.4 ; h = 6.884

Matemáticas I


5.3 Rapidez de variación relacionada Recordemos que el cociente:

mh

xfhxf

x

y

)()(

Representa a la pendiente de la recta secante, como se muestra el la figura. Ahora, si suponemos que los puntos P y Q representan las posiciones de un móvil para diferentes tiempos, entonces el cociente anterior representa la velocidad media del móvil.

Velocidad media = h

xfhxf

x

y )()(

De manera semejante, el límite del cociente anterior representaría la velocidad instantánea del móvil.

Velocidad Instantánea = h

xfhxfxf

h

)()(lim)`(

0

DEFINICION: Sea P un punto sobre una recta coordenada l tal que su posición al

tiempo t esta dada por )(ts , donde s es una función derivable.

1) La velocidad )(tv de P al tiempo t es )`()( tstv .

2) La rapidez de P al tiempo t es )(tv .

3) La aceleración )(ta de )(tP al tiempo t es )``()`()( tstvta

P

Q

1x 2x

)( 1xf

)( 2xf

12 xxx

)()( 12 xfxfy

Matemáticas I


EJERCICIOS: 1) Una piedra lanzada a un estanque en el instante t = 0 segundos causa una onda circular que viaja fuera del punto de impacto a razón de 5 m/s ¿A que razón (en metros cuadrados/segundo) crece el área dentro del circulo cuando t= 10? 2) El radio de un círculo aumenta a razón de 2 pulgadas por segundo. ¿Con que razón aumenta su área cuando el radio es de 10pulgadas?

SOL. 40 segpul /2

3) Cada arista x de un cuadrado aumenta a razón de 2 pulgadas/segundo. ¿Con que razón aumenta el área A del cuadrado cuando cada arista mide 10pulgadas?

SOL. 40 segpu /lg 2

4) Un bloque cúbico de hielo se funde de modo que su arista decrece 2pulgadas cada hora. ¿Con que razón decrece su volumen cuando cada arista mide 10

pulgadas?. SOL. hrpul /600 3

5) El aire sale de un globo esférico a razón constante de 300 segcm /3 ¿Cuál es

el radio del globo cuando su radio decrece a razón de 3 cm/segundo? SOL. 5 cm 6) Una niña comiera a correr de un punto A hacia el este, a 3 m/s. un minuto después, otra niña sale corriendo desde A hacia el Norte a 2 m/s. Cual es la rapidez de variación de la distancia entre las niñas 1 minuto más tarde. 7) Un hombre que esta en un muelle tira una cuerda atada a la proa de un vote que se halla a 30 cm sobre el nivel del agua. La cuerda pasa sobre una polea simple que se encuentra en el muelle a 2 m del agua (véase en la figura). Si tira de la cuerda a razón de 1 m/s, ¿con que rapidez se acerca el bote al muelle en el momento en el que la proa esta a 6 m del punto sobre el agua que se encuentra directamente abajo de la polea.

8) Un niño que hace volar una cometa sostiene el cordel a 5 ft del suelo y lo va soltando a razón de 2 ft/s, mientras la cometa se mueve en horizontalmente a un altura de 105 ft (véase en la figura). Suponiendo que el hilo se mantiene recto, encuentre la rapidez con la que se mueve la cometa cuando se han soltado 125 ft

del hilo. SOL. 3

10 pie / seg

Matemáticas I


9) Cuando dos Resistencias R1 y R2 se conectan en paralelo, la resistencia total R esta dada por 1/R=(1/R2) + (1/R2). Si R1 y R2 aumentan a razón de 0.01 Ω/s (ohms por segundo) y 0.02 Ω/s respectivamente ¿a razón de cuantos ohms por segundo

varia R en el momento en que R1=30Ω y R2=90Ω?. SOL 1600

11 Ohms/ seg

10) Dos automóviles A y B viajan hacia un cruce o intersección por carreteras perpendiculares. A se desplaza a 40 km/h, y B, a 80 km/h. En cierto momento A esta a 400m de la intersección y B a 800m. Calcule la rapidez con que los automóviles se acercan en ese momento. 11) Un montón de basura de forma cúbica, esta siendo prensado. Sabiendo que el volumen decrece a razón de 2 metros cúbicos por minuto. Hallar la tasa de variación de una arista del cubo cuando el volumen es exactamente 27 metros cúbicos.

12) Una escalera de 20 pies de largo esta apoyada contra la pared de un edificio.

La base de la escalera se desliza horizontalmente a razón de 10 pie/ seg. ¿Con que rapidez resbala el otro extremo de la escalera cuando se

encuentra a 12 pies del suelo?. SOL. segpie /3

40

13) En lo alto de un farol brilla una luz a 25 pies del suelo. Un hombre con una estatura de 6 pies se aleja caminando desde el farol.

a) ¿Cuál es la longitud de su sombra cuando està a 40 pies de distancia respecto a la base del farol?.

b) Si camina a razón de 5 pies por segundo, ¿a que velocidad aumenta su sombra en ese punto?

SOL. a) 19

240 pies, b)

19

30 pie / seg

14) Una partícula se mueve de tal forma que en el instante t , la distancia esta

dada por tttS 2)( 3 . ¿En que momento la aceleración es igual a 1 y 0 ?

15) Un cubo se expande de tal forma que su arista cambia a razón de 5 pulgadas por segundo. Cuando su arista es de 4 pulgadas, hallar la razón de cambio del volumen.

Matemáticas I


SOL. 240 segpu /lg3

16) Una esfera crece de tal forma que su radio aumenta a razón de 1 pulgada por segundo. ¿A que velocidad cambia su volumen cuando su radio es de 3 pulgadas?

SOL. 36 segpu /lg3

17) En lo alto de un farol brilla una luz a 20 pies del suelo. Una mujer con una estatura de 5 pies se aleja caminando desde el farol. Hallar la razón en que aumenta su sombra si se aleja a razón de: a. 4 pie/seg b. 3 pie/seg 18) Un lado de un triangulo rectángulo decrece a razón de 1 pulgada por minuto, mientras que el otro lado aumenta a razón de 2 pulgadas por minuto. En cierto momento el primer lado tiene 8 pulgadas y el segundo 6 pulgadas. ¿A que velocidad esta aumentando el área después de 2 minutos? 19) La longitud del lado de un cuadrado aumenta a razón de 3 pulgadas por segundo. Hallar la velocidad a la que el área aumenta cuando el lado tiene 15 pulgadas de longitud.

SOL. 90 segpu /lg 2

20) Una escalera se encuentra apoyada contra una pared vertical. La escalera tiene 17 pies de longitud. Si la parte inferior de la escalera se aleja respecto de la base de la pared a razón de 3 pies por segundo, ¿a que velocidad esta decreciendo su parte superior cuando el extremo inferior se encuentra a 8 pies de la pared ? SOL. -1.6 pie/ seg 21) Un depósito de 10 pies de altura tiene la forma de un cono con el vértice hacia abajo. El radio de la parte superior es de 4 pies. Se le hecha agua a razón de 5 pies cúbicos por minuto. ¿ A que velocidad se esta elevando el agua cuando la profundidad de ésta es de 5 pies?

SOL. pies4

5

22) Una escalera de 20 pies de largo esta apoyada contra la pared de un edificio, la base de la escalera resbala alejándose de la pared a razón de 3 pies/seg. ¿Con que rapidez desciende el extremo superior de la escalera cuando se encuentra a 8 pies del piso? SOL. 23) Un farol se encuentra en lo alto de un poste de 16 pies de altura. Un niño de 5 pies de estatura se aleja del poste a una velocidad de 4 pies/seg. ¿Con que rapidez se mueve la extremidad de su sombra cuando el se encuentra a 18 pies

del poste? SOL. 11

20 pie / seg

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24) Una bola esférica de nieve se derrite de manera que su radio disminuye con rapidez constante de 30 a 20 cm en 45 minutos.¿Cual era la rapidez de cambio del volumen en el momento en que el radio media 25 cm? SOL. -1745.33 cm/seg 25) Un incendio que comenzó en un terreno seco se extiende formando un circulo. El radio del circulo crece a razón de 1.8 m/min. Calcule la rapidez con que crece el área del círculo cuando el radio es de 45 m. SOL. BIBLIOGRAFIA:

1) Calculo con Geometría Analítica/ Earl W. Swokowsky 2) Algebra y Trigonometría / Earl W. Swokowsky 3) Calculo con Geometría Analítica / Dennis G. Zill 4) Calculo con Geometría Analítica / Edwards y Penney 5) Calculo de Una variable / James Stewart 6) Calculo de Una Variable / Thomas Finney 7) Calculo de Una Variable / Thomas 8) El Calculo / Leithol 9) Calculo I / Larson – Hostetler 10) Calculo / Purcell – Varberg 11) Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático / Demidovich 12) Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático / Berman 13) Calculo Diferencial e Integral / Piskunov 14) Calculo y Algebra Lineal / Kaplan y Lewis

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CALCULO DIFERENCIAL

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