Calculo Diferencial
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UNIDAD I Los Números Reales
UNIDAD II Funciones
UNIDAD III Límites y continuidad
UNIDAD IV Derivadas
UNIDAD V Aplicaciones de la derivada
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“Nada tan satisfactorio como el éxito alcanzado
con el esfuerzo propio”
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UNIDAD I
Los números Reales
1.1 Clasificación de los números Reales
Números reales
esIrracional
Enteros
NaturalesRacionales
Números Naturales = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,… Números enteros = …-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,…
Números Racionales = -2
1,
5
1,
3
1,
4
3, -3, 4, 7, 12, …
Números Irracionales = , 2 , 3 , 5 , 3 2 , 2
3
…
De lo anterior se puede deducir que: Los números racionales, contiene a los decimales finitos, decimales infinitos periódicos, y a los enteros. Los números Irracionales, contiene a los decimales infinitos no periódicos. DEFINICIÓN: Los números racionales son aquellos que se pueden expresar
como el cociente de dos números enteros.
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1.1.1 Proposiciones de los números Reales Proposición 1: Una igualdad no e altera si sumamos o multiplicamos en ambos
lados de la igualdad a un mismo número. Proposición 2: Los axiomas para la adición implica las siguientes igualdades
1) Si x+y = x+z, entonces y = z. 2) Si x+y = x, entonces y = 0. 3) Si x+y = 0, entonces y = -x 4) –(-x) = -x
Proposición 3: Los axiomas para la multiplicación implica las siguientes Igualdades.
1) Si x 0 y xy=xz, entonces y = z. 2) Si x 0 y xy = x, entonces y = 1
3) Si x 0 y xy = 1, entonces x
y1
Proposición 4: Un campo ordenado es un campo F que a su véz es un Conjunto ordenado, y que tiene las siguientes propiedades.
1) x+y <x+z si x, y, z F y y<z 2) xy > 0 si x, y F y x > 0 y y > 0
Proposición 5: En todo campo ordenado se cumple las siguientes Desigualdades.
1) Si x > 0, entonces –x < 0 y viceversa 2) Si x > 0 y y < z, entonces xy < xz 3) Si x < 0 y y < z, entonces xy > xz
4) Si x 0 , entonces 02 x
5) Si 0 < x < y, entonces 0 < y
1<
x
1
1.2 Tipos de Intervalos Para hablar de intervalos es necesario que utilicemos la palabra y notación de conjuntos. Definición: Un conjunto es una colección de objetos, conocidos como los elementos del conjunto. En particular si S denota a un conjunto de objetos, la notación: Sa significa que “ a pertenece al conjunto S”
Sa significa que “ a no pertenece al conjunto S”
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Ciertos conjuntos de números reales, conocidos como intervalos, se presentan con frecuencia en el cálculo y geométricamente corresponden a segmentos de recta.
A) Intervalo Abierto: Es un subconjunto del eje real comprendido entre dos puntos dados a y b , donde ba sin incluir a los extremos.
Rbabaxba ,;/),(
B) Intervalo Cerrado: Es un subconjunto del eje real limitado por los extremos a y b , donde ba y sí incluye a los extremos.
Rbabxaxba ,;/,
C) Intervalo Mixto: Es un subconjunto del eje real que tiene un extremo
abierto y otro cerrado.
Rbabxaxba ,;/,
Rbabxaxba ,;/,
1.3 Desigualdades El tema de desigualdades es de gran importancia, según veremos en muchas partes del álgebra, y también observaremos ciertas analogías entre igualdades y desigualdades. Al concepto de mayor y menor entre dos números corresponde el de ordenación. La relación de orden queda restringida a los números reales y se puede interpretar geométricamente en un sistema coordenado unidimensional. Al decir que una expresión es mayor que otra se deduce una desigualdad.
NOTA: A diferencia de las ecuaciones, generalmente una desigualdad tiene una infinidad de soluciones que forma un intervalo o una unión de estos sobre la recta real.
1.3.3 Desigualdades Lineales Reglas para resolver una desigualdad lineal:
1) Al sumar o restar la misma cantidad a ambos lados de una desigualdad se obtiene una desigualdad equivalente.
2) Al multiplicar ambos lados de una desigualdad por una misma cantidad positiva, se obtiene una desigualdad equivalente y la desigualdad se mantiene.
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3) Al multiplicar ambos lados de una desigualdad por una misma cantidad negativa, se invierte la dirección de la desigualdad.
1.3.4 Desigualdades no lineales ( cuadráticas, fraccionarias ) Reglas para la solución de desigualdades no lineales
1) De ser necesario, reescriba la desigualdad de forma que todos los terminos distintos de cero se encuentren de un lado del signo de desigualdad.
2) Si el lado distinto de cero de la desigualdad involucra cocientes, conviértalos a un denominador común ( Realice la suma de fracciones algebraicas)
3) Factorice el lado distinto de cero de la desigualdad. 4) Calcule las raíces de cada factor. 5) Liste los intervalos determinados a partir de las raíces obtenidas 6) Utilice valores de prueba para analizar los signos de cada factor en cada
uno de los intervalos y determine el signo del producto o cociente. 7) Determine el conjunto solución solicitado
1.4 Valor Absoluto DEFINICIÓN: Si a es un número real , entonces el valor absoluto de a es
0,
0,
aa
aaa
TEOREMA 1: Sean x , a números reales, por consiguiente
ax si y solo si axa
TEOREMA 2: Sean x , a números reales, por consiguiente
ax si y solo si ax y ax
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EJEMPLOS RESUELTOS. EJEMPLO 1. Calcular la solución de la siguiente desigualdad.
04
322
2
xx
xx
Solución: (x+3)(x-1) 0 x(x-4) Raíces del numerador: -3,1 Raíces del denominador: 0,4 Formando intervalos con las raíces obtenidas:
)3,( , ( -3, 0), (0,1 ), (1, 4), ),4(
Tomando valores de prueba que estén dentro del respectivo intervalo: X=-4 X=-2 X=0.5 X=2 X=5 Evaluando los valores de prueba en la expresión factorizada X=-4
)44(4
)14)(34(
=
32
5> 0
X=-2
)42(2
)12)(32(
=
12
3 < 0
X=0.5
)45.0(5.0
)15.0)(35.0(
= 1 > 0
x=2
)42(2
)12)(32(
=
4
5 < 0
X=5
)45(5
)15)(35(
=
5
32 > 0
SOLUCION: (-3,0) (1,4)
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EJEMPLO 2: Calcule el conjunto solución de la siguiente desigualdad.
Solución: Minorizando a CERO:
X
1 +
1
1
X -
2
2
X < 0
Realizando la suma de fracciones algebraicas:
)2)(1)((
)1)((2)2)(()2)(1(
XXX
XXXXXX < 0
0)2)(1(
22223 222
xxx
xxxxxx
)2)(1(
23
XXX
X < 0
RAICES DEL NUMERADOR: (-2/3) RAICES DEL DENOMINADOR: 0,-1,-2 Formando intervalos con las raíces obtenidas: (- ,-2), (-2,-1), (-1,-0.66), (-0.66,0), (0, ) Tomando los valores de prueba respectivos: -3, -1.5, -0.7, -0.5, 1. Evaluando en la expresión factorizada: X= -3
)23)(13(3
2)3(3
=
6
7
6
7
> 0
X= -1.5
)25.1)(15.1)(5.1(
2)5.1(3
= -6.6 < 0
X= -0.7
)27.0)(17.0)(7.0(
2)7.0(3
= 0.36 > 0
X= -0.5
)25.0)(15.0)(5.0(
2)5.0(3
= - 1.33 < 0
X=1
2
2
1
11
xxx
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)21)(11(1
2)1(3
=
6
5 > 0
SOLUCION: (-2,-1) (-0.66, 0) EJEMPLO 3. Use la solución C=5/9(F-32) para determinar el intervalo en la escala Fahrenheit que corresponde a 20 c30 20 5/9 (F-32) 30
9(20) 99
5(F-32) 9(30)
180 5(F-32) 270 180 5F-160 270 180+160 5F-160+160 270+160 340 5F 430
5
340 F
5
430
68 F 86 SOLUCION: (68,86) EJEMPLO 4: Calcule el conjunto solución de la siguiente desigualdad
01832 xx
Solución: X2-3X-18 0 Factorizando (X-6) (X+3) 0 Raíces: 6 y -3 Formando intervalos con las raíces obtenidas: (- ,-3), (-3,6), (6, ) Tomando valores de prueba dentro de cada intervalo: -4, 0, 7 Evaluando estos valores en la expresión factorizada: X= - 4 (-4-6)(-4+3) = (-10)(-1) = 10 > 0 X=0 (0-6)(0+3) = -18 < 0 X=7 (7-6)(7+3) = 10 > 0 Observemos que la desigualdad nos indica que el producto de los factores debe ser negativo, por lo tanto el conjunto solución es: (-3, 6).
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EJEMPLO 5: Calcule el conjunto solución de la siguiente desigualdad
(X+2)(X-1)(X-3) 0 Solución: Raíces de los factores: -2,1,3 Formando los intervalos con las raíces obtenidas: (- ,-2), (-2,1), (1,3), (3, ) Tomando valores de prueba dentro del respectivo intervalo: -3, 0, 2, 4 Evaluando los valores de prueba : X= 3 (-3+2)(-3-1)(-3-3) = (-1)(-4)(-6) = -24 < 0 X=0 (0+2)(0-1)(0-3) = (2)(-1)(-3) = 6 > 0 X= 2 (2+2)(2-1)(2-3) = (4)(1)(-1) = -4 < 0 X= 4 (4+2)(4-1)(4-3) = (6)(3)(1) = 18 > 0 Como el producto de los tres factores debe ser negativo, entonces el conjunto solución es: (- ,-2) (1,3) EJEMPLO 6: Calcule el conjunto solución de la desigualdad dada
322 xx Solución: X2+2X > 3 Restando 3 ambos lados X2+2X-3 > 3-3 X2+ 2X-3 > 0 Factorizando (X+3)(X-1) > 0 Raíces de cada factor. -3,1 Formando intervalos con las raíces obtenidas: (- ,-3), (-3,1), (1, ) Tomando valores de prueba dentro de cada intervalo: - 4, 0, 2 Evaluando los valores de prueba en la expresión factorizada: X= - 4 (- 4+3)(- 4-1) = (-1)(-5) = 5 > 0 X=0 (0+3)(0-1) = (3)(-1) = -3 < 0 X=2 (2+3)(2-1) = (5)(1) = 5 > 0 Como la desigualdad nos indica que el producto de los factores debe ser positivo, entonces el conjunto solución es la unión de lo intervalos: (- ,-3) (1, )
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EJEMPLO 7: Se estima que el costo anual de conducir un auto esta dado por C=0.3m + 2200, donde m representa las millas conducidas por año y C el costo en dólares. Luis ha comprado uno de estos autos y decide gastar anualmente entre $6400 y $7100. ¿Cuál es el rango en millas que puede recorrer? Solución: C=0.3m + 2200 6400 < c <7100 6400 < 0.3m +2200 < 7100 6400 – 2200 < 0.3m + 2200 – 2200 < 7100 – 2200 4200 < 0.3m < 4900
3.0
4200 < m <
3.0
4900
14000 < m < 16333.33 El rango en millas que puede recorrer es (14000, 16333.33) EJEMPLO 8: Demostrar que la suma de un número positivo cualquiera con su recíproco nunca es menor que 2.
X + x
1 > 2
1
x +
x
1 -
1
2 > 0
x
2x- 1 x2 > 0
(x)( x
2x- 1 x2 ) > (x)(0)
x2 +1 -2x > 0 x2-2x +1 > 0 (x-1)2 > 0 EJEMPLO 9: Si a y b son números positivos desiguales, demostrar que: a3 + b3 > a2b + ab2. Solución: (a+b)(a2-ab+b2) > ab(a+b) Dividiendo )( ba ambos lados:
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)(
))(( 22
ba
bababa
>
)(
)(
ba
baab
abbaba 22
022 bababa
02 22 baba
0)( 2 ba
Analizando en forma regresiva, se deduce que la desigualdad dada originalmente es verdadera!!.
EJEMPLO 10: Demuestre que: 2
2
3
3 11
aa
aa
Solución:
Multiplicando ambos lados por 3a
2
23
3
33 11
aaa
aaa
aaa 56 1
0156 aaa Factorizando por agrupación de términos
0)1()1(5 aaa
Factorizando el signo “menos” en el segundo binomio
0)1()1(5 aaa
0)1)(1( 5 aa
Observemos que a puede tomar cualquier valor, puesto que el producto de dos
cantidades positivas o dos cantidades negativas siempre es positivo, por lo que la desigualdad está demostrada.
EJEMPLO 11: Exprese el resultado de la siguiente desigualdade en intervalos.
7
38
x < 2
Solución: Aplicando el teorema 1.
27
382
x
Multiplicando en las tres casillas de la desigualdad por -7 , e invirtiendo la desigualdad por multiplicar un numero negativo, se tiene:
)7(27
387)2)(7(
x
143814 x
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Restando 3 en las tres casillas de la desigualdad se tiene: 314338314 x
17811 x Dividiendo por -8 en las tres casillas e invirtiendo las desigualdades por multiplicar un número negativo, se obtiene:
8
17
8
8
8
11
x
Simplificando:
8
17
8
11
x
La solución es (8
11,
8
17)
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PROBLEMAS PROPUESTOS.
Resuelva la desigualdad y expresa las soluciones en términos de intervalos.
1) xx2
14
3
19
Solución: ,6
2) 75
323
x
Solución: 19,9
3) 1242
xxx
Solución:
5
4,
4) 03
142
x
Solución:
4
1,
4
7
5) 23
565
x
Solución:
0,
5
9
6) 25
32
x
Solución:
,4
3
8.
7) 225
3
x
Solución:
,
4
13
4
7,
8) 062 xx
Solución: 3,2
9) 07432 xx
Solución:
4
7,
3
2
10) 41742 xx
Solución: 7,3
11) 413 xx
Solución:
3
4,1
12) 92 x
Solución: ,33,
13) 0842 23 xxx
Solución: ,22
14) 03232 23 xxx
Solución:
2
3,11,
15)
0
12
22
xx
xx
Sol: 01,22,
16) 022
2
xx
xx
Solución: 1,00,2
17) 0103
22
xx
x
Solución: ,52,2
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18) 916 2 x
Solución:
,
4
3
4
3,
19)
09
312
2
x
xx
Solución: ,33,3
20)
0
44
232
2
xx
xx
Solución:
,22,234,
21) 0127
52
xx
x
Solución: 4,35,
22) 1
3
2
1
xx
Solución:
2
7,21,
23) 1
2
23
4
xx
Solución:
,4
3
2,1
24) 1
2
53
xx
x
Solución: 5,23
5,1
25) xx 3
Solución: ,10,1
26) 3
1
15
3
xx
Solución:
3,
5
15,
27) 2
3
12
xx
x
Sol:
,31,
2
12,
28) 24 xx
Sol: ,101,
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PROBLEMAS DE APLICACIÓN:
1.- En la figura se muestra una lente de aumento. El objeto que se amplificara se coloca de modo que la distancia p desde la lente sea menor que la longitud focal. La amplificación lineal M es el cociente entre el tamaño de la imagen y el del objeto. En física se demuestra que M = f / (f-p). Si f = 6cm, ¿a qué distancia de la lente hay que colocar el objeto para que su imagen aparezca amplificada al menos tres veces? Solución: 64 p
2.- Para tratar la arritmia cardiaca, se aplica un medicamento al torrente sanguíneo en forma intravenosa. Supón que la concentración c del fármaco después de t horas está dada por c = 3.5t / (t+1) mg/L. Si el nivel terapéutico mínimo es 1.5mg/L, indica cuándo se rebasa este nivel.
Solución: ht4
3
3.- Una constructora requiere decidir cuál grúa comprar. El modelo A cuesta $50000 y requiere $4000 anuales de mantenimiento; el modelo B tiene un precio de $4000 y un costo de mantenimiento de $5500 al año. ¿Durante cuántos años se usará el modelo A antes de que se vuelva más económico que el B?
Solución: años3
26
4.- Un consumidor se muestra indeciso ante cuál vehículo adquirir. El auto A cuesta $10000 con un rendimiento de 30 millas por galón (mipg) y un seguro de $550 por año; el B cuesta $12000, con un rendimiento de 50 mipg y un seguro de $600 por año. Considera que el comprador recorre 15000 millas al año y que el precio de la gasolina permanece constante en $1.25 por galón. Con base en estos datos, señala cuanto tiempo se necesitará para que el costo total del auto B sea menor que el del A. Solución: 10 años. 5.- El Guinness Book of World Records reporta que los perros pastor alemán pueden saltar verticalmente más de 10 pies al trepar por paredes. Si la distancia s (en pies) que saltan del suelo después de t segundos está dada por la ecuación s = -16t2 + 24t +1, ¿durante cuántos segundos el animal se mantiene a más de 9 pie del suelo?
Solución: s2
1
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6.- Si se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo, con una velocidad inicial de 320 pies/s, entonces su distancia s arriba del suelo después de t segundos esta dada por s = -16t2 + 320t. ¿Para que valores de t el objeto estará a más de 1536 pies sobre el suelo? Solución: 128 t
7.- El número de millas M que determinado automóvil compacto puede recorrer con un galón de gasolina, está relacionado con su rapidez v (en mi / h) por:
vvM2
5
30
1 2
para 0<v<70
¿A qué velocidad será M al menos 45? Solución: 4530 v
8.- Para una población particular de salmones, la relación entre el número S de ponedoras y el número R de hijuelos que sobreviven hasta la edad adulta está dada por la formula R = 4500S / (S+500). ¿En qué condiciones es R > S? Solución: 0 < S < 4000
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UNIDAD II
FUNCIONES
2.1 Definición de función DEFINICIÓN: Una relación es un conjunto de pares ordenados. Es por eso que también es conocido como relación binaria.
DEFINICIÓN: Un conjunto R es una relación si cada elemento de R es una pareja ordenada. Ejemplos: 1) Las coordenadas de el plano XY. 2) El noviazgo 3) El matrimonio
NOTA: Es claro que si conocemos la relación que existe entre los elementos, conoceremos el conjunto relación, y mejor aun, si conocemos el conjunto relación, conoceremos la relación que deben cumplir los elementos. Ejemplos:
1) Relación: “ x es un múltiplo de 3 “
Conjunto relación: ),..12,3(),9,3(),6,3(
2) Conjunto relación: ),..32,2(),16,2(),8,2(),4,2(
Relación: “ x es el cuadrado de 2 ”
NOTA: Observemos que una relación se puede expresar mediante una proposición abierta simple. DEFINICION: Una función es una relación en la que no hay dos pares ordenados diferentes que tengan el mismo primer componente. Así, con esta definición podemos verificar cual de los siguientes conjuntos es una función. F= (1,1), (2,2), (3,3),(4,4) G= (1,1), (1,2), (2,1) H= (1,1), (2,4), (3,9), (4,16) I= (1,1), (2,1), (3,2), (4,2)
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Observemos que de estas cuatro solamente G no satisface las condiciones de la definición de función, por lo tanto no es función; ya que contiene dos diferentes pares ordenados con el mismo primer componente. ¿Una función es una relación? ¿Una relación es una función? CONCLUSIÓN: Toda función es una relación, pero no toda relación es función. EJERCICIO: 1.- De acuerdo a las gráficas sagitales, analizar si nos representan funciones o no. S T S T a h a h b i b i c j c j d k d k l l Función. No es Función. 2.- En la siguiente relación, dar valores particulares a “x” para obtener “y”, escriba el conjunto de las parejas obtenidas, grafiquelas y diga si esta relación es o no una función. (x,y) y=2x-1 3.- Realice las mismas indicaciones que se dieron en el ejercicio anterior para la relación. (x,y) y= x2 4.- Grafique las relaciones de los ejercicios 2 y 3 y una los puntos con una curva o línea según sea necesario. Ahora traza una línea vertical (paralela al eje y). 5.- Dibuja una circunferencia y trázale una recta vertical nuevamente. ¿Será una función la circunferencia? CONCLUSIÓN: Para que una curva sea una función, debe ser intersecada en un solo punto por cualquier recta perpendicular al eje X. (Regla de la línea vertical)
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EJERCICIO: Usando la regla de la línea vertical, deduzca cual de las siguientes graficas es una función.
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
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9) 10)
11) 12) DEFINICIÓN FORMAL DE FUNCION.- Una función f de un conjunto D a un conjunto E es una correspondencia que asigna a cada elemento “x” de D, un elemento único “y” de E. Donde: El elemento “y” de E es el valor (funcional) de f en “x” y se denota por f(x). En otras palabras se puede decir que la función f, “transforma” a la “x” en “y”. Gráficamente: D f E X1 y1 = f(x1) X2 y2 = f(x2)
X3 y3 = f(x3)
Dominio Contra dominio NOTA: Al conjunto D se le llama dominio de la función, el dominio de la función está formado por todos los elementos en los cuales la función está definida (existe). El contra dominio(rango o imagen) de la función f, es el conjunto de todos los valores posibles de f que puede tomar, para cada “x” del dominio D. NOTA: Las representaciones más usuales de una función son: F: x y ó x y
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2.2 Clasificación de las funciones Existen criterios para clasificar las funciones. Estas se pueden presentar según la manera de expresarlas. En el siguiente cuadro se muestra de manera más general las clasificaciones de las funciones.
egrablesNo
sIntegrable
esNoderivabl
Derivables
asDiscontinu
Continuas
par
Par
plicitas
Explicitas
lesExponencia
ricaTrigonomet
aLogaritmic
tesTrascenden
Irracional
iasFraccionar
EnterasRacional
ebraicasA
FUNCIÓN
int
Im
Im
lg
FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS DEFINICIÓN: Una función f: A B se llama inyectiva si para toda pareja 1a , 2a A con 21 aa se tiene que )()( 21 afaf .
Proposición: Las funciones estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes son inyectivas. Ejemplo 1: La siguiente grafica sagital representa una función inyectiva.
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Observemos que, para parejas diferentes del dominio se tienen parejas de imágenes diferentes.
Ejemplo 2 : Las siguientes graficas representan una función inyectiva.
a) b)
Ejemplo 3: Las siguientes graficas no son funciones inyectivas (justifique por
que)
a) b)
Dominio Imágen
x1
x2
x3
x4
Y1
Y2
Y3
Y4
f
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NOTA: También a la función inyectiva se le conoce como función una a uno. DEFINICION: Una función BAf : se llama sobreyectiva si Bf Im ; es decir,
si para toda Bb existe Aa tal que .)( baf
Graficando sagitalmente:
Ejemplo 1: Si RRf : dada por 2)( xxf . Deduzca si f es o no sobreyectiva.
Ejemplo 2: Si ZZf : dada por nnf 2)( . Deduzca si f es o no sobreyectiva.
DEFINICION: Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. FUNCIONES EXPLICITAS: Son las que tienen la variable dependiente despejada,
es decir son las que tienen la forma )(xfy
Ejemplos de funciones explicitas:
1) 34 23 xxxy
2) 63
14
x
xy
FUNCIONES IMPLICITAS: Son las que no especifican cuál variable es dependiente y cuál es dependiente. Ejemplos de funciones implícitas:
1) 322 xyx
2) 0852 22 yxxy
3) yxxyxseny cos
FUNCION PAR: Una función es par si para toda “ x ” se tiene que )()( xfxf
NOTA: El comportamiento grafico de una función par se caracteriza por ser simétrica respecto al eje Y. Como se muestra en la siguiente figura.
1x
2x
3x
4x
1y
2y
3y
4y
5y
Funcion no Sobreyectiva
1x
2x
3x
4x
1y
2y
3y
f
Función Sobreyectiva
f
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 25
FUNCION IMPAR: Una función f es impar, si para toda “ x ” se tiene que
)()( xfxf .
NOTA: El comportamiento grafico de una función impar se caracteriza por ser simétrica respecto al origen. Como se muestra en la siguiente figura.
EJEMPLOS: Usando las definiciones anteriores, deduzca cual de las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de las dos.
1) 25)( xxf
2) 12)( 3 xxxf
3) senxxf )(
4) xxf cos)(
5) 122)( 23 xxxf
6) xsenxxf cos)(
7) 2)( xsenxxf
8) 43
3)(
24
3
xx
xxxf
9) xsenxxf 22)1()(
PROPOSICION: 1) El producto de dos funciones pares es una función par. 2) El producto de dos funciones impares es una función par. 3) El producto de una función par y una impar es una función Impar. FUNCION CRECIENTE: Una función f es creciente en un intervalo si
)()( 21 xfxf siempre que 21 xx en I .
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 26
Gráficamente:
FUNCION DECRECIENTE: Una función f es decreciente en un intervalo si
)()( 21 xfxf siempre que 21 xx en I .
DEFINICION: Sea x un numero real, el valor absoluto de x se denota como x y
esta dado por
0;
0;
xx
xxx
2.3 GRAFICAS DE FUNCIONES Y TRASLACION DE FUNCIONES
Ahora obtendremos nuevas funciones a partir de una función ya conocida, estas pueden ser por traslación, estiramiento o reflexión de las graficas correspondientes. También pueden combinarse funciones mediante operaciones aritméticas, y composición de funciones. Al aplicar ciertas transformaciones a la grafica de una función dada, podemos obtener las graficas de ciertas funciones relacionadas. Esto nos permitirá trazar graficas de numerosas funciones rápido y manualmente.
Desplazamientos Verticales y Horizontales
De las graficas 0c
Para obtener la Grafica de:
Se desplaza la grafica De )(xfy :
cxfy )( C unidades hacia abajo
cxfy )( C unidades hacia arriba
)( xcfy C unidades hacia la derecha
)( cxfy C unidades hacia la izquierda
1x 2x
)( 1xf
)( 2xf
Calculo Diferencial
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Como se muestra en la siguiente grafica:
Traslación de la grafica de f
Estiramiento y reflexiones verticales y horizontales Supóngase que 1c . Para obtener la grafica de:
)(xcfy , estírese la grafica de )(xfy verticalmente en un factor de c
)(1
xfc
y , comprímase la grafica de )(xfy verticalmente en un factor de c
)(cxfy , comprímase la grafica de )(xfy horizontalmente en un factor de c
c
xfy , estírese la grafica de )(xfy horizontalmente en un factor de c
)(xfy , refléjese la grafica de )(xfy respecto al eje X.
)( xfy , refléjese la grafica de )(xfy respecto al eje Y.
Como se muestra en la siguiente figura:
Calculo Diferencial
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Estiramiento y reflexión de la grafica de f Ejemplo1: En las siguientes figuras se muestran algunas transformaciones de estiramiento cuando se aplica a la función coseno con 2c .
Ejemplo 2: Graficar la función 106)( 2 xxxf
Solución: Primeramente completaremos el trinomio cuadrado perfecto.
1)3(10996106)( 222 xxxxxxf
Recordando la grafica de la función 2)( xxf , observamos que entonces la
grafica de esta función tiene una traslación 3 unidades a la izquierda y 1 unidad hacia arriba. Esto es:
Ejemplo 3: Trazar la grafica de la siguiente función.
1)( 2 xxf
Solución: Apoyándonos con la grafica de la parábola trasladada 1 unidad hacia abajo, obtenemos la grafica deseada.
Calculo Diferencial
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Ejemplo 4: Trazar la grafica de las siguientes funciones.
a) 3)( xxg b) xxf )(
c) 62)( xxf d) 5)( xf
Calculo Diferencial
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e) xxf )( f) )()( xsenxf
g) Grafique la siguiente función cxxxf 3)( para diferentes valores de c, en
particular 2,1,0,1,2 c
h) xxf cos1)( i) xexf )(
j) xexf )( k) xexf 2
1)(
Calculo Diferencial
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l) 12
1)( xexf m) xxf tan)(
n) 2)( 2 xxf o) 12 yx
p) xxf cos)( q) xxf )(
Calculo Diferencial
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r) x
xf1
)( s) 2
1)(
xxf
t) 2yx u) )cot()( xxf
v) xy ln w) 2
1)(
xxf
Calculo Diferencial
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Ejemplo 5: Relacione las siguientes funciones
Con las respectivas graficas.
Ejemplo 6: La grafica de )(xfy esta dada. Cotejar cada ecuación con su
grafica y dar razones apropiadas para hacerlo.
A) )4( xfy b) 3)( xfy c) )(3
1xfy
d) )4( xfy e) )6(2 xfy
Ejercicios 1: Graficar la siguiente función
a) xxxf 3)(
b) 2)3(1)( xxf
c) 2)2()( xxf
d) 3)( xxf
e) senxxf )(
f) 4)( xxf
Ejercicio 2: Coteje las graficas y funciones. Explique su decisión en cada caso.
a) 2xy b) 5xy c) 8xy
Calculo Diferencial
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Ejercicio 3: Coteje las graficas y funciones. Explique su decisión en cada caso.
a) xy 3 b) xy 3 c) 3xy d) 3 xy
Ejercicio 2 Ejercicio 3
2.4 FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS En esta sección trazaremos graficas de funciones definidas a trozos, la cual se define empleando más de una función. Ejemplo1: Sea f la función definida por
Determine el dominio, el contra dominio de f y trace su grafica.
Solución: El dominio de f es , . De acuerdo a la grafica mostrada, se
observa que consta de la porción de recta 1 xy para la cual 3x , el punto
5,3 y la parte de la recta 12 xy para la cual x3 . Los valores de la función
son números menores que 2, el numero 5 o números mayores que 7. Por lo tanto, el contra dominio de f es el numero 5 y aquellos números que se encuentran en
los intervalos ,72, .
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 35
Ejemplo 2: Trace la grafica de las siguientes funciones.
A)
x
x
x
xf
0;1
0;0
0;1
)( b)
0;2
0;)(
x
xxxf
c)
xx
xx
xx
xf
3;3
33;9
3;5
)( 2 d)
0;1
0;)(
xx
xxxf
e)
1;3
1;32)(
xx
xxxf f)
1;27
1;23
1;1
)(
xx
xx
x
xf
g)
1;12
1;2
1;
)(
xx
x
xx
xf h)
2;2
2;
2;2
)(
x
xx
x
xf
EJERCICIOS: Trazar las graficas de las siguientes funciones definidas por tramos.
1)
1;
1;)(
2 xx
xxxf 2)
1;
1;32)(
2 xx
xxxf 3)
2;3
2;12
1
)(
xx
xxxf
4)
xx
xxxf
2;28
2;)(
2
5)
x
x
x
xf
1;3
1;1
1;2
)( 6)
xx
xxxf
1;2
1;4)(
2
2
Calculo Diferencial
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7)
2;1
20;
0;32
)( 2
x
xx
xx
xf 8)
3;3
33;
3;3
)(
x
xx
x
xf 9)
1;
10;2
0;
)(
2 xx
x
xx
xf
10)
2;
21;
1;
)( 2
xx
xx
xx
xf 11)
0;12
0;21)(
xx
xxxf 12)
2;1
20;
0;
)( 2
x
xx
xx
xf
13)
1;2
1;
1;52
)( 2
x
xx
xx
xf 14)
2;3
2;1
2;3
)(
x
xx
x
xf 15)
1;2
1;
1;2
)( 2
x
xx
xx
xf
16)
1;3
1;
1;2
)( 3
xx
xx
xx
xf 17)
1;4
12;
2;3
)( 2
xx
xx
xx
xf 18)
2;6
20;3
0;
)(
2
xx
xx
xf
2.5 FUNCIONES RACIONALES Y ASINTOTAS DEFINICION: Una función f es una función racional si
)(
)()(
xh
xgxf
Donde )(xg y )(xh son polinomios. El polinomio de f esta formado por todos los
números reales, excepto los ceros del denominador )(xh .
Una asintota es una recta que se encuentra asociada a la grafica de algunas curvas y que se comporta como un límite grafico hacia la cual la grafica se aproxima indefinidamente pero nunca la toca y mucho menos la brinca. A medida que la variable independiente de la función tiende hacia un cierto valor, la correspondiente variable dependiente tiende a infinito, cualquiera que este sea. En general, la recta puede tener cualquier orientación, sin embargo, en nuestro caso únicamente estudiaremos las asíntotas verticales y horizontales. PROPOSICION: Toda función racional tiene al menos una asíntota.
Calculo Diferencial
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DEFINICIÓN
Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
Las asíntotas se clasifican en:
Asíntota
Una línea que se aproxima a una
curva pero que nunca la alcanza.
Asíntotas Verticales: Como su nombre lo indica, son rectas verticales
asociadas a la función. Se encuentran presentes únicamente en funciones racionales de la forma:
)(
)()(
xh
xgxf
Y se determinan encontrando las raíces del denominador )(xh correspondiente.
Tales valores reciben el nombre de polos de la función. Entonces, el número de polos asociados a una función determinaran el numero de asíntotas verticales que tiene tal función. DEFINICION FORMAL: La recta ax es una asintota vertical para la grafica de
una función f si )(xf o )(xf
A medida que x se aproxima a a ya sea desde la izquierda o la derecha.
Calculo Diferencial
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Asintota Horizontal: Como su nombre lo indica, son rectas horizontales
asociadas a la función, se encuentran presentes únicamente en funciones racionales de la forma:
)(
)()(
xh
xgxf
Y se determinan haciendo que la variable dependiente “x” tienda al infinito lo que trae como consecuencia que la función cociente tienda a un valor determinado fijo, al que nunca va a llegar y mucho menos sobre pasar. Estas asíntotas se presentan si el grado de los polinomios del numerador y denominador son iguales. DEFINICION FORMAL: La recta cy es una asintota horizontal para la grafica
de una función f si cxf )( cuando x o cuando x .
Notación Terminología ax x se aproxima a a desde la izquierda(a través de valores menores
que a ax x se aproxima a a desde la derecha (a través de valores mayores
que a
)(xf )(xf aumenta sin cota ( se puede hacer tan grande positiva como se
desee)
)(xf )(xf disminuye sin cota ( se puede hacer tan grande negativamente
como se desee)
En la construcción de gráficas, las asíntotas verticales corresponden a aquellos valores de la variable independiente que hacen indefinida la función con una división entre cero. Las asíntotas horizontales corresponden a aquellos valores de la variable dependiente (y) a los que se aproxima la gráfica de la función conforme los valores de la variable independiente (x) se aproxima a más infinito y a menos infinito respectivamente. Las asíntotas oblicuas corresponden a las funciones cuya regla de correspondencia se integra de un cociente o división de dos polinomios tales que el polinomio del numerador es de grado mayor o igual que el polinomio del denominador. En todo caso, el conocimiento de las asíntotas y cómo se trazan apropiadamente es de gran valor para el trazo apropiado de una gráfica curva en el plano cartesiano, por ejemplo, las asíntotas de una hipérbola son las líneas guía de esta curva.
Ejemplo 1: La función 4
)(2
2
x
xxf tiene una raíz en 0x que es el punto en
el cual la función puede tocar o incluso cruzar el eje X. Además tiene dos asintotas verticales que pasan por 2x y 2x . Estos números corresponden
a las raíces del polinomio del denominador. Como se muestra en la siguiente figura.
Calculo Diferencial
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Ejemplo 2: Grafique la siguiente función racional.
65
14)(
2
xx
xxf
SOLUCION:
Factorizando )2)(3(
14)(
xx
xxf
Las raíces del numerador son: 4
1
Las raíces del denominador (polos): 3 y 2
Por lo tanto la función tiene 2 asíntotas verticales y toca o cruza al eje X en 4
1x
Como se muestra el la siguiente grafica:
Calculo Diferencial
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Ejemplo 3: Grafique la siguiente función racional.
2)(
2
2
xx
xxf
SOLUCION: Factorizando el denominador tenemos
)1)(2()(
2
xx
xxf
Observemos que la función tiene como: Raíces del numerador: 0 Raíces del denominador( polos): 2 y -1 Por consiguiente la función toca o cruza al eje X en el punto 0x y tiene dos
asíntotas verticales en los puntos 2x y 1x . Observemos que si dividimos los
términos de mayor grado del numerador y denominador el cociente es de 1, esto significa que la función tiene una asintota horizontal en 1y . Como se muestra en
la figura.
Ejemplo 4: Trazar la grafica de la siguiente función racional.
1
2)(
4
4
x
xxf
SOLUCION: Observemos que la grafica es par puesto que )()( xfxf ; así pues la grafica es
simétrica respecto al eje Y. Además, la grafica toca al eje en 0x . En virtud de que el denominador de
)(xf no tiene raíces reales, la grafica carece de asintota vertical. Además tiene
una asintota horizontal en 2y . Como se muestra el la siguiente grafica.
Calculo Diferencial
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Ejemplo 5: Trazar la grafica de la siguiente función.
6
2)(
2
xx
xxf
SOLUCION: Primeramente factorizamos el denominador
)2)(3(
2)(
xx
xxf
Raíces de Numerador: 2 (La curva toca o corta al eje X en este punto) Raíces del denominador: 3 y -2 (la curva tiene asíntotas verticales en estos puntos) Por lo tanto los intervalos por analizar son: )2,( , )2,2( , )3,2( , ),3(
Tomando posibles valores de prueba en los intervalos correspondientes: Valores de prueba: -3, 0, 2.5, 4 Evaluando, estos números en la expresión factorizada, se obtiene
06
5
)1)(6(
5
)23)(33(
23)3(
f
06
2
6
2
)2)(3(
2)0(
f
0)5.4)(5.0(
5.0
)25.2)(35.2(
25.2)5.2(
f
06
2
)6)(1(
2
)24)(34(
24)4(
f
Calculo Diferencial
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Ejemplo 6: Trazar la grafica de la siguiente función racional.
12
422)(
2
2
xx
xxxf
SOLUCION: Factorizando el numerador y el denominador
)3)(4(
)1)(2(2)(
xx
xxxf
Observemos que la función racional tiene una asintota horizontal en 2y , puesto
que al dividir los términos cuadráticos del numerador y denominador se obtiene un cociente de 2. Raíces del Numerador: 2 y -1 (la curva toca o corta al eje X en estos puntos) Raíces del Denominador: -4 y 3 (la curva tiene asíntotas verticales en estos puntos) Por lo tanto los intervalos a analizar son: )4,( , (-4, -1), (-1, 2), (2, 3), ),3(
Tomando posibles valores de prueba en los intervalos correspondientes: Valores de prueba: -5, -2, 0, 2.5, 4 Evaluando, estos números en la expresión factorizada, se obtiene
08
56
)8)(1(
)4)(7(2
)35)(45(
)15)(25(2)5(
f
010
8
)5)(2(
)1)(4(2
)32)(42(
)12)(22(2)2(
f
012
4
)3)(4(
)1)(2(2)0(
f
0)5.0)(5.6(
)5.3)(5.0(2
)35.2)(45.2(
)15.2)(25.2(2)5.2(
f
08
20
)1)(8(
)5)(2(2
)34)(44(
)14)(24(2)4(
f
Calculo Diferencial
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Ejemplo 7: Trazar la grafica de la siguiente función racional.
2
3633)(
2
2
xx
xxxf
SOLUCION: Factorizando la expresión algebraica
)1)(2(
)3)(4(3)(
xx
xxxf
Observemos que la función racional tiene una asintota horizontal en 3y , puesto
que al dividir los términos cuadráticos del numerador y denominador se obtiene un cociente de 3. Raíces del Numerador: 4 y -3 (la curva toca o corta al eje X en estos puntos) Raíces del Denominador: -2 y 1 (la curva tiene asíntotas verticales en estos puntos) Por lo tanto los intervalos a analizar son: )3,( , (-3, -2), (-2, 1), (1, 4), ),4(
Tomando posibles valores de prueba en los intervalos correspondientes: Valores de prueba: -4, -2.5, 0, 2, 5 Evaluando, estos números en la expresión factorizada, se obtiene
010
24
)5)(2(
)1)(8(3)4(
f
0)5.3)(5.0(
)5.0)(5.6(3
)15.2)(25.2(
)35.2)(45.2(3)5.2(
f
02
36
)1)(2(
)3)(4(3)0(
f
04
30
)1)(4(
)5)(2(3
)12)(22(
)32)(42(3)2(
f
0)4)(7(
)8)(1(3
)15)(25(
)35)(45(3)5(
f
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 44
EJERCICIOS:
1) 1
3)(
2
x
xxf
2) 43
6)(
2
2
xx
xxxf
3) xx
xxxf
2
2 12102)(
4) xx
xxf
4
1)(
3
5) 32
1)(
2
xx
xxf
6) 4
4)(
2
x
xxf
7) 9
633)(
2
2
x
xxxf
8) 6
43)(
2
2
xx
xxxf
9) 103
4842)(
2
2
xx
xxxf
10) xx
xxxf
2
682)(
2
2
11) xx
xxxf
9
12)(
3
2
12) 1
4)(
2
2
x
xxf
13) 32
2)(
2
xx
xxf
14) 34
1)(
2
xxxf
15) 2
4)(
2
xxxf
16) 86
3)(
2
xxxf
17) 2
1)(
2
xx
xxf
18) )3)(2)(1(
12)(
xxxxf
19) )3)(1)(2(
8)(
xxxxf
20) 2
3)(
2
xxxf
21) 2
233)(
2
2
xx
xxxf
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 45
2.6 DOMINIO DE FUNCIONES
Sabemos que una función es una aplicación entre dos valores reales que se relacionan por una regla )(xfx siendo x y )(xf números reales. Esta relación
se representa por el punto de coordenadas )(, xfx .
Donde: x es un elemento del dominio
)(xf es un elemento de la imagen ( rango ).
DEFINICION: El dominio de una función esta formado por aquellos valores de x (números reales) para los que se puede calcular la imagen ).(xf
DOMINIO DE UNA FUNCION: Es el conjunto de todos los posibles valores de ingreso que la función acepta. Los valores de salida son llamados rango o imagen de la función. Así, tenemos que:
Dominio Función Rango
Ejemplo 1: Si a la función 2)( xxf , le damos los valores ,...3,2,1x entonces
el conjunto ,...3,2,1 es el dominio de la función.
NOTA: El dominio para toda función polinomial es conjunto de todos los números reales. NOTA: Para calcular el dominio de una función racional y una función raíz de índice par, hay que excluir los valores de x que anulen el denominador y todos los valores que hacen negativo el interior de la raíz.
Ejercicios: Calcule el dominio de las siguientes funciones.
1) 11)( xxf
2) 231)( xxxf
3) 4
1)(
2
x
xxf
4) 86
1)(
2
2
xx
xxf
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 46
5) 32
)(2
x
xxf SOL.
2
3x ;
2
3x
6) xx
xf
1
)( SOL. ,0
7) 122
2212)(
2
x
xxxxf SOL.
2
3x ;
2
1x
8) x
xxf
4 2 1)(
9) 22)( xxxf
10) 21
1)(
xxf
11) 2231
3)(
xx
xxf
12) 3)( xxxf
13) 4 25
1)(
xxxf
14) 2)( xxxf
15) 112)( xxxf
16) 44 33)( xxxf
17) 3
1)(
x
xxf
SOL. 1x
18) 83
54)(
x
xxf
19) 19
72)(
x
xxf
20) 29)( xxf SOL. 3,3
21) 25)( 2 xxf SOL. ,55,
22) xx
xxf
4
1)(
3
SOL. 2,0,2R
23) 5136
4)(
2
xx
xxf SOL.
3
1,
2
5R
24) 45
32)(
2
xx
xxf SOL.
,44,
2
3
25) 4
34)(
2
x
xxf SOL.
,22,
4
3
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 47
26) 2
4)(
x
xxf SOL. ,2
27) 3)3(
1)(
xxxf SOL. ,33,3
28) xxxf 22)( SOL. 2,2
29) 128)( 2 xxxf SOL. ,62,
.
2.7 COMPOSICION DE FUNCIONES
DEFINICION: Dadas dos funciones f y g , la función compuesta gf
(también llamada la composición de f y g ) esta definida por
))(())(( xgfxgf .
El dominio de gf es el conjunto de todas las x en el dominio de g tales que
)(xg este en el dominio de f . En otras palabras, ))(( xgf esta definida siempre
que )(xg y ))(( xgf lo están.
Gráficamente:
Ejemplo 1: Si 2)( xxf y 3)( xxg , encuentre las funciones compuestas
gf y fg .
Solución:
Ejemplo 2: Si xxf )( y xxg 2)( , encuentre las funciones compuestas
gf y fg así como también sus respectivos dominios.
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 48
Solución:
a) 4 222))(())(( xxxfxgfxgf
El dominio de gf es el conjunto de números que satisfacen la siguiente
condición 02 x o lo que es lo mismo en el intervalo 2,
b)
Ahora, sabemos que x esta definida para 0x , además, para que x2
este definido se debe cumplir la desigualdad 02 x , o sea 2x , o lo que es
lo mismo 40 x . De modo que el dominio de la composición fg es la
intersección de los dominios ,0 y 4,0 .
Por lo tanto el dominio de la composición fg es el intervalo 4,0 .
Ejemplo 3: Si 1)( 2 xxf y x
xg2
)( , calcular ))(( xgf y ))(( xfg
SOL.
x
x
x
x
xxgxgf
2
2
2
2
2 441
41))(())((
1
2
)(
2))((
2
xxfxfg
Ejemplo 4: Use la tabla para evaluar cada expresión dada. a) ))1((gf b) ))1(( fg c) ))1(( ff d) ))1((gg e) ))3(( fg f) ))6((gf
X 1 2 3 4 5 6
)(xf 3 1 4 2 2 5
)(xg 6 3 2 1 2 3
Ejercicio : Para cada inciso, calcular ))(( xgf y ))(( xfg .
1) Sea 9
6)(
2
x
xxf y xxg 3)(
2) xxxf 22)( ; 23)( xxg
3) x
xf1
)( ; xxxg 2)( 3
4) 1
1)(
xxf ;
1
1)(
x
xxg
5) senxxf )( ; xxg 1)(
6) xxf )( ; 1
)(
x
xxg
7) 1)( xxf ; xxg )(
8) 1)( 2 xxf ; xxg 1)(
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 49
9) 23)( xxf ; 2
1)(
xxg
10) 23
)(
x
xxf ;
xxg
2)(
11) En la siguiente tabla se enumeran diversos valores de dos funciones f y g
x 5 6 7 8 9
f(x) 8 7 6 5 4
X 5 6 7 8 9
g(x) 7 8 6 5 4
Si es posible encuentre: a) ))6((gf b) ))6(( fg c) ))6(( ff d) ))6((gg e) ))9((gf
12) En las tablas que siguen se dan diversos valores de dos funciones T y S
t 0 1 2 3 4
T(t) 2 3 1 0 5
X 0 1 2 3 4
S(x) 1 0 3 2 5
Si es posible encuentre: a) T(S(1)) b) S(T(1)) c) T(T(1)) d) S(S(1))
13) Determine hgf , donde xxf 1)( , 21)( xxg y xxh 1)(
14) Si x
xT
1
1)( , obtenga funciones gf , y h , tales que Thgf
15) Exprese la función xx
xF
1
)( como composición de tres funciones.
16) Si xxf ln)( y 9)( 2 xxg , encuentre las funciones gf , fg , ff
y gg , y sus dominios.
17) ¿ Es cierto que hfgfhgf )( ?
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 50
2.8 FUNCIONES INVERSAS
Una función monótona y estrictamente creciente f es necesariamente uno a uno. PROPOSICION: Una función f monótona y estrictamente creciente siempre tiene
una función inversa, que denotamos por 1f , y 1f también será monótona y
estrictamente creciente. DEFINICION: Sea f una función inyectiva(uno a uno) con dominio D e Imagen R
. Una función g con dominio R e imagen D es la función inversa de f , siempre
que sea cierta la siguiente condición para toda x en D y toda y en R:
)(xfy si y solo si )(ygx
TEOREMA SOBRE FUNCIONES INVERSAS: Sea f una función inyectiva con
dominio D e Imagen R. Si g es una función con dominio R e imagen D, entonces
g es la función inversa de f si y solo si son ciertas estas dos condiciones:
1) xxfg ))(( para toda Dx
2) yygf ))(( para toda Ry
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES INVERSAS
Sea f una función uno a uno con Dominio A y rango B. La función inversa 1f
satisface las siguientes propiedades de cancelación.
xxff ))((1 para cualquier Ax
xxff ))(( 1 para cualquier Bx
Recíprocamente, cualquier función 1f que satisfaga estas condiciones es la
inversa de f .
COMO DETERMINAR LA FUNCION INVERSA DE UNA FUNCION UNO A UNO
1) Escriba )(xfy
2) Resuelva esta ecuación para x en términos de y (si es posible)
3) Intercambie x y y . La ecuación resultante es )(1 xfy
GUIA PARA HALLAR 1f
1) Comprobar que f sea una función inyectiva en su dominio
2) Despejar x de la ecuación )(xfy en términos de y para obtener una
ecuación del tipo )(1 yfx
3) Verificar estas dos condiciones:
a) xxff ))((1 para toda x en el dominio de f
b) xxff ))(( 1 para toda x en el dominio de 1f
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 51
PROPOSICION: La grafica de 1f se obtiene reflejando la grafica de f en la
recta xy .
NOTA: No confunda el -1 con un exponente, puesto que )(
1)(1
xfxf
Ejercicios:
1) Si 5 21)( xxf determine 1f
2) a) Demuestre que la función 41)( xxf es uno a uno
b) Trace la grafica de f
c) Escriba una ecuación para 1f
3) Calcule la función inversa 1f de las siguientes funciones.
a) 53)( xxf SOL. 3
5)(1 x
xf
b) 23
1)(
xxf SOL.
x
xxf
3
12)(1
c) 3
1)(
xxf SOL.
x
xxf
31)(1
d) 52
23)(
x
xxf SOL.
32
25)(1
x
xxf
e) 2
4)(
x
xxf SOL.
4
2)(1
x
xxf
f) 232)( xxf , 0x SOL. 3
2)(1 x
xf
g) 25)( 2 xxf , 0x SOL. 5
2)(1 x
xf
h) 52)( 3 xxf SOL. 31
2
5)(
x
xf
i) 2)( 3 xxf SOL. 31 2)( xxf
j) xxf 3)( SOL. 21 3)( xxf
k) 1)( 3 xxf SOL. 31 )1()( xxf
l) xxxf 6)( 2 , 3x SOL. 93)(1 xxf
m) 34)( 2 xxxf , 2x SOL. 12)(1 xxf
4) Demuestre que )()( 1 xfxf si acx
baxxf
)( para 0c .
5) Demuestre que xxf 1)( y 2)1()( xxg son mutuamente inversas.
6) Hallar la inversa de la función 2/)1( 2
)( xexf SOL. )ln(21)(1 xxf
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 52
7) Demuestre que )(1
1ln)( 1 xf
e
exf
x
x
8) Halle la inversa de las siguientes funciones.
a) )3ln()( xxf b) x
x
e
exf
1
1)(
9) Hallar la inversa de las siguientes funciones.
a) xx
xx
ee
eey
2.9 FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES Y SUS PROPIEDADES Hasta aquí hemos estudiado funciones relativamente sencillas como los polinomios y las funciones racionales. Ahora analizaremos dos funciones más importantes de las matemáticas, la función exponencial y su inversa la función logarítmica. Estas funciones nos sirven para describir el crecimiento exponencial en biología y economía, y la desintegración radiactiva en la física y la química. FUNCION EXPONENCIAL: Para 0a , la función exponencial con base a esta
definida por xaxf )( . Para 0a , el dominio de f es R , el rango es ,0 y la
grafica de f tiene una de las siguientes graficas.
NOTA: Cualquier numero positivo puede utilizarse como base para una función exponencial, pero algunas bases se utilizan con mayor frecuencia que otras, estas bases son el 2 y el 10.
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 53
El numero e esta definido como el valor al que tiende la sucesión
n
n
11 cuando
n . Así, cuando n es lo suficientemente grande el valor aproximado de e es:
59045235367182818284.2e FUNCION EXPONENCIAL NATURAL: La función exponencial natural es la
función exponencial xexf )( , con base e . A menudo se conoce como la
función exponencial. DEFINICION: Sea a un numero positivo con 1a . La función logaritmo con
base a , denotada por
yxa log xa y .
Forma logaritmo Forma exponencial
yxa log xa y
Gráficamente:
DEFINICION: El logaritmo con base 10 se conoce como logaritmo común y se denota omitiendo la base.
xx 10loglog
DEFINICION: El logaritmo con base e se conoce como Logaritmo natural y se
denota por:
xx elogln
PROPOSICION: La función logaritmo natural xy ln es la función inversa de la
función exponencial xey , es decir:
yx ln xe y
Gráficamente:
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 54
LEYES DE LAS FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES
uvvu lnlnln
v
uvu lnlnln
nuun lnln
n
uun ln
ln
1ln e
xe x ln
xe x ln
BAAB aaa loglog)(log
BAB
Aaaa logloglog
AcA a
C
a log)(log
EJERCICIOS: Use las propiedades de la función exponencial o logarítmica
para resolver las siguientes ecuaciones.
1) 4100 )5.0(2 xx SOL. 99
4
2) 23392 xx SOL.
2
1 , 2
3) xx 43 84 SOL. 5
18
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 55
4) 321 927 xx SOL. 3
5) )2ln(3ln)4ln( xx SOL. -7
6) 9ln2
1)6ln(ln xx SOL. 323
7) )2ln(1ln xx SOL. e 11
8) 16)2log(34 x SOL. 5 000
9) log(x+2)+log(x-1) = 1 SOL. -4, 3
10) 41
50
xe SOL. -2.4423
11) 21
10
xe
12) 0232 xx ee SOL. 2ln , 0
13) 0214 24 xx ee SOL. 3ln2
1
14) 062 xx ee
15) 0112 xx ee
16) 1)2ln( x
17) 2)53log( x SOL. 3
95
18) 3)2(log3 x
19) 2)2(log 2
2 xx
20) )2(log5loglog3log 2222 xx SOL. 5
21) )43log(2loglog2 xx
22) )4log()1log(log xxx SOL. 5
23) 20log)1(loglog 555 xx
24) 2)1(log)1(log 55 xx SOL. 12
13
25) 1)3log(log xx
26) 1)3(log)5(log 99 xx SOL. 6
27) 1)2ln()1ln( xx
28) 3loglog)3log( xx SOL. 2
3
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 56
2.10 FUNCIONES COMO MODELOS MATEMATICOS En las aplicaciones del calculo, se necesita expresar una situación del mundo real en términos de una relación funcional, denominada modelo matemático de la situación. En esta sección mostraremos algunas aplicaciones de estos modelos, aun que no siempre se emplea un método específico para obtener un modelo matemático.
EJERCICIOS: 1) A partir de una pieza rectangular de cartón de 20 x 30 pulgadas, hay que
elaborar una caja, cortando cuadrados idénticos de área 2x en cada equina y
doblando los lados hacia arriba. Exprese el volumen V de la caja como una función de x . SOL. )10)(15(4)( xxxxV
2) Un rectángulo tiene un perímetro de 20 pies . Exprese el área A del rectángulo como una función de la longitud x de uno de sus lados.
3) Un rectángulo tiene un área de 16 2m . Exprese el perímetro P del rectángulo
como una función de la longitud x de uno de sus lados.
4) Exprese clarea A de un triangulo equilátero como una función de la longitud x
de un lado. 5) Exprese el área de la superficie S de un cubo como una función de su volumen. 6) Exprese el radio de un círculo como una función de su área. 7) Exprese el área A de un círculo como una función de su circunferencia. 8) Una caja rectangular abierta con un volumen de 12 pies cúbicos tiene una base
cuadrada. Exprese el área de la superficie S de la caja como una función de
la longitud x de un lado de la base.
9) Una mujer de 5 pies de altura esta de pie cerca de un farol de 12 pies de altura. Exprese la longitud L de su sombra como una función de la distancia d de la
mujer a la base del farol. 10) Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo con un semicírculo
sobre puesto. Si el perímetro de la ventana es de 30 pies, exprese el área A de la ventana como una función del ancho x de la misma.
11) Una caja sin tapa debe construirse a partir de una pieza rectangular de cartón de 12 pulgadas por 20 pulgadas cortando cuadrados de lado x en cada
esquina, y después doblando los lados hacia arriba. Exprese el volumen V de la caja como una función de x.
12) Un mayorista vende un producto por libra ( o fracción de libra); si se ordenan no mas de 10 libras , el mayorista cobra $2 por libra. Sin embargo, para atraer ordenes mayores, el mayorista cobra solo $1.80 por libra si se ordenan más de 10 libras.
a) Encuentre un modelo matemático que exprese el costo total de la orden como una función de la cantidad de libras ordenadas del producto.
Calculo Diferencial
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b) Determine el costo total de una orden de 9.5 libras y de una orden de10.5 lb. SOL. $19 y $ 18.90
13)Un envase cerrado de hojalata , cuyo volumen es de 60 3lgpu , tiene la forma
de un cilindro circular recto. a) Determine un modelo matemático que exprese el área de la superficie total
del envase como una función del radio de la base.
SOL. 22120
)( rr
xS
14) El precio de admisión regular para un adulto a una determinada función en el cinema es de $7 , mientras que para un niño menor de 12 años de edad es $4 y el precio para adultos de por lo menos 60 años de edad es de $5 .
a) Encuentre un modelo matemático que exprese el precio de admisión como una función de la edad de la persona.
b) Grafique la función obtenida. 15) Una pagina impresa contiene una región de impresión de 24 pulgadas
cuadradas, un margen de 1.5 pulgadas en las partes superior e inferior y un margen de 1 pulgada en los lados. Encuentre un modelo matemático que exprese el área total de la página como una función del ancho de la región de impresión.
SOL. 3048
3)( x
xxA
16) Un almacén que tiene un piso rectangular de 13 200 2pie , se construye de
modo que tenga pasillos de 22 pie de ancho en el frente y en el fondo del almacén, y pasillos de 15 pie de ancho en los lados. Encuentre un modelo matemático que exprese el área total del terreno donde se construirá el almacén y los pasillos como una función de la longitud del frente y del fondo del almacén.
SOL. 17) Una tienda de campaña con forma de pirámide cuadrangular se construye a
partir de una pieza cuadrada de material de 5 m de lado. En la base de la pirámide, sea x metros la distancia desde el centro a uno de sus lados. (a) Encuentre un modelo matemático que exprese el volumen de la casa de Campaña como una función de x. (b) Determine el volumen de la pirámide cuando 8.0x
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 58
MISCELANEA DE EJERCICIOS DE LAUNIDAD 2 I ) Grafique las siguientes funciones
a) 221)( xxxf b) xxf cos2)( c) 4
14)(
xxf d) 1)( xxf
e) 4)( 2 xxf f) 43 xy g) xxf tan)(
II) Identifique las asíntotas y grafique la función.
a) 32
63)(
2
2
xx
xxf b)
103
2)(
2
2
xx
xxf c)
6
12102)(
2
2
xx
xxxf
d)32
63)(
2
2
xx
xxf
III) Grafique las siguientes funciones definida parte por parte.
a)
0,1
0,2
0,
)(
2
xx
x
xx
xf b)
1,12
11,3
1,12
)(
xx
xx
xx
xf c)
3,5
3,1)(
xx
xxxf
d)
0;1
0;)(
xx
xxxf e)
1;3
1;32)(
xx
xxxf f)
1;27
1;23
1;1
)(
xx
xx
x
xf
IV) Use las propiedades de los logaritmos para resolver las siguientes ecuaciones.
a) 163 xe b) 3)12ln( x d) 6)1ln(ln xx e) 32 5 x
f) 2xee g) 02 xxx exeex h) 0112 xx ee i) 324 1 xx
V) Calcule la función inversa de las siguientes funciones.
a) x
x
e
ey
1
1 3
b) 4
2
xy c) xy 32 d) 1)( 3 xxf e)
12
1)(
x
xxf
VI) Dadas las funciones f(x) y g(x), calcule f(g(x)) y g(f(x)).
a) 1
1)(
xxf ,
1
1)(
x
xxg b) senxxf )( , xxf 1)(
c) 1
1)(
xxf , 1)( xxg d)
1
2)(
x
xxf ,
4
5)(
x
xxg
VII) Calcule el dominio de las siguientes funciones.
a) xxxf 22)( b) 67
6)(
2
2
xx
xxxf c)
3)3(
1)(
xxxf
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 59
d) xx
xxf
2
32)( e)
xx
xxf
6
16)(
2
2
g)
1
1)(
xxf h) )1ln()( xxf
i) 24ln)( xxf j) 11)( xxf
VIII) Calcule lo que se pide en cada caso.
1) Dada 62)( 2 yyyf demostrar que 22 )1(262)( hhyyyhyf
2) Dada zzf 4)( , demostrar que )(3)()1( zfzfzf
3) Si g(u) es impar definida para todos los valores de u, ¿qué puede decirse de g(0) ? Justifique su respuesta.
4) Dada una función dcxbxaxxf 23)( , encontrar las constantes dcba ,,, tal que: 0)0( f , 1)1( f , 0)2( f , 2)1( f .
SOL. xxxxf
3
5
2
3
6
7)( 23
4) Sea cbxaxxf 2)( , demuestre que
0)()1(3)2(3)3( xfxfxfxf
5) Sea xx aaxf 2
1)( , 0a , demuestre que
)()(2)()( yfxfyxfyxf
6) Sea .21)( xxf ¿Para que constantes a y b conmuta la función
bxaxg )( con f ?. Es decir, ¿Cuándo se cumple la igualdad
))(())(( xgfxfg ?
7) Si f es una función uno a uno tal que 9)2( f , ¿Cuál es el valor de
)9(1f ?
8) Conteste verdadero o falso y justifique su respuesta.
1) Si f es una función, entonces )()()( tfsftsf
2) Si )()( tfsf , entonces ts
3) Si f es una función, entonces )(3)3( xfxf
4) Si f y g son funciones, entonces fggf
5) Si f es uno a uno, entonces )(
1)(1
xfxf
6) Si ba 0 , entonces ba lnln
IX) Resuelva los siguientes problemas de aplicación.
1) Una caja cerrada , en forma de cubo, va a construirse con dos materiales diferentes. El material de los lados cuesta 1 centavo de dólar por centímetro cuadrado, el material de las tapas superior e inferior cuesta 2.5 centavos de
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 60
dólar por centímetro cuadrado. Exprese el costo total C de la pieza en función de la longitud x de un lado.
2) Se deja caer una piedra en un lago, que crea una onda circular que viaja
hacia fuera a una velocidad de 60 cm/seg.
a) exprese el radio r de este circulo como función del tiempo. b) Si A es el área de éste circulo como función del radio, encuentre Ar.
3) La población de cierta especie en un ambiente limitado, con población
inicial de 100 y que soporta una capacidad de 1000, es
Donde t se mide en años Encuentre la inversa de esta función y úsela para hallar el tiempo requerido para que la población llegue a 900. 4) Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo
rectangular de cartón que tiene las dimensiones de 12 pulgadas por 20 pulgadas, recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y, a continuación, doblando los lados hacia arriba. Exprese el volumen V de la caja como función de x.
5) Exprese el área de un triángulo equilátero como función de la longitud de uno de sus lados.
6) Exprese la longitud de la diagonal de un cubo en función de su lado x. 7) Un cable de 30m de largo y 10cm de diámetro esta sumergido en el mar.
Debido a la corrosión, el área de la superficie del cable disminuye a razón
de 4685 2cm por año. Exprese el diámetro del cable como una función del
tiempo(Desprecie la corrosión en los extremos del cable).
tetP
900100
100000)(
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 61
UNIDAD III
LÍMITES Y CONTINUIDAD
3.1 DEFINICIONES El concepto de limite se la base fundamental con la que se construye el calculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el limite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un numero determinado o al infinito. Consideremos la siguiente grafica:
Observemos que cuando x se aproxima a b por el lado izquierdo, la imagen de
)(xf se aproxima al numero L . Esto se puede expresar en símbolos
matemáticos, de la forma:
Lxfbx
)(lim
De manera semejante, se observa que si x se aproxima a b por el lado derecho,
la imagen de )(xf se aproxima al numero L . Esto se puede expresar en símbolos
matemáticos, de la forma:
Lxfbx
)(lim
Por lo tanto podemos concluir que:
Lxfbx
)(lim = )(lim xfbx
Es decir, los limites laterales son iguales. Esto significa que si existe el limite en el punto bx
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 62
Consideremos ahora la siguiente representación grafica de una función f
cualquiera, para la que pbf )(
Primeramente observemos que Lbf )( , y si x se aproxima a b por la derecha
vemos que )(xf se aproxima al numero L . De manera formal, lo anterior se
puede expresar de la forma:
Lxfbx
)(lim
De manera semejante se observa que si x se aproxima a b por la izquierda
entonces )(xf se aproxima al número L . De manera formal, lo anterior se puede
expresar de la forma:
Lxfbx
)(lim
Por lo tanto podemos concluir que:
Lxfbx
)(lim = )(lim xfbx
Es decir, los limites laterales son iguales. Esto significa que si existe el limite en el punto bx
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 63
Observe ahora la siguiente representación grafica de una función f
Analizando nuevamente vemos que si x se aproxima a b por la derecha la
imagen )(xf se aproxima al número R . De manera formal, lo anterior se puede
expresar en símbolos de la siguiente manera.
Rxfbx
)(lim
De manera semejante, si x se aproxima a b por la izquierda la imagen )(xf se
aproxima al número T . De manera formal, lo anterior se puede expresar en símbolos de la siguiente manera.
Txfbx
)(lim
Observemos ahora que, las imágenes de )(xf se aproximan a valores diferentes
Rxfbx
)(lim )(lim xfTbx
Por lo tanto concluimos que los límites laterales son diferentes. Esto significa que ¡ NO existe el limite ! en el punto bx
CONCLUSION: Para que exista el límite de una función en un punto los límites
laterales deben de ser iguales. DEFINICION INFORMAL DE LIMITE: Sea a en un intervalo abierto, y sea f una
función definida en todo el intervalo excepto posiblemente en a , y L un numero
real. Entonces
Lxfax
)(lim
Significa que )(xf puede acercarse arbitrariamente a L si x se elige
suficientemente cercano a a (pero ax ).
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 64
LIMITE POR LA IZQUIERDA: Sea f una función definida en un intervalo abierto
ac, . Entonces
1)(lim Lxfax
Significa que )(xf puede acercarse arbitrariamente a 1L escogiendo x
suficientemente cerca de a , con ax .
o bien LIMITE POR LA DERECHA: Sea f una función definida en un intervalo abierto
ca, . Entonces
2)(lim Lxfax
Significa que )(xf puede acercarse arbitrariamente a 2L escogiendo x
suficientemente cerca de a , con ax .
o bien TEOREMA: Sea a un punto contenido en un intervalo abierto y f una función
definida en todo el intervalo, excepto posiblemente en a . Entonces Lxfax
)(lim si
y solo si )(lim)(lim xfLxfaxax
.
DEFINICION FORMAL DE LÍMITE: Sea a un punto de un intervalo abierto, sea f
una función definida en todo el intervalo excepto posiblemente en a , y sea L un numero real. Entonces
Lxfax
)(lim
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 65
Significa que para todo 0 existe un 0 tal que,
Si ax0 , entonces Lxf )(
DEFINICION ALTERNA DE LÍMITE: La expresión Lxfax
)(lim , significa que para
todo 0 , existe un 0 tal que siempre que x este en el intervalo abierto
aa , y ax , entonces )(xf se encuentra localizada en el intervalo
abierto LL , .
Gráficamente:
DEFINICION: Sea f una función definida encada numero de algún intervalo
abierto I que contiene a a , excepto posiblemente en a mismo. Con forme x se
aproxime a a , )(xf crece sin limite, lo cual se escribe como
)(lim xfax
Si para cualquier número 0N existe 0 tal que
Si ax0 entonces Nxf )(
Esta definición también puede establecerse en otra forma como sigue: “ Los valores de la función )(xf crecen sin limite con forme x a un numero real si
)(xf puede hacerse tan grande como se desee(esto es, mayor que cualquier
numero positivo N ) para todos los valores de x suficientemente cercanos a a ,
pero sin considerar a a mismo”.
Cabe señalar que no es un símbolo para representar un numero real; en
consecuencia, cuando se escribe
)(lim xfax
, no tiene el mismo significado que
Lxfax
)(lim , donde L es un numero real.
Así, la expresión
)(lim xfax
Puede leerse como: “el limite de )(xf cuando x tiende a a es infinito positivo(o
mas infinito)”. En tal caso, el limite no existe, pero el símbolo indica el comportamiento de los valores de la función )(xf con forme x se aproxima cada
vez mas a a .
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 66
Ejercicios: 1) Suponga que la función g tiene el siguiente comportamiento grafico y úsela
para calcular los siguientes límites.
a) )(lim0
xfx
b) )(lim2
xfx
c) )(lim3
xfx
d) )(lim2
xfx
e) )(lim7
xfx
2) Suponga que la función g tiene el siguiente comportamiento grafico y úsela
para calcular los siguientes límites.
a) )(lim3
xgx
b) )(lim0
xgx
c) )(lim2
xgx
d) )(lim2
xgx
e) )(lim4
xgx
f) )(lim1
xgx
g) )(lim1
xfx
3) Para la función f cuya grafica esta dada , enuncie el valor de cada limite , si
existe. Si no existe, explicar.
a) )(lim0
xfx
b) )(lim3
xfx
c) )(lim3
xfx
d ) )(lim3
xfx
e) )3(f
4) Para la función f cuya grafica se da proporcione el valor de el limite planteado,
si existe. Si no la hay explique por que.
a) )(lim1
xfx
b) )(lim3
xfx
c) )(lim3
xfx
d) )(lim3
xfx
e) )3(f
f) )(lim2
xfx
g) )(lim2
xfx
h) )(lim2
xfx
i) )2(f
5) Para la función g cuya grafica se da, enuncie el valor de el limite planteado, si
existe. Si no existe explique.
a) )(lim2
xgx
b) )(lim2
xgx
c) )(lim2
xgx
d) )2(g e) )(lim2
xgx
f) )(lim2
xgx
g) )(lim2
xgx
h) )2(g i) )(lim4
xgx
j) )(lim4
xgx
k) )0(g l) )(lim0
xgx
6) De el valor de el limite, si existe, a partir de la grafica dada. Si no existe explique
por que.
a) )(lim3
xfx
b) )(lim1
xfx
c) )(lim3
xfx
d) )(lim2
xfx
e) )(lim2
xfx
f) )(lim2
xfx
g) )1(f
7) Para la función g cuya grafica se muestra, calcule los limites propuestos.
a) )(lim6
xgx
b) )(lim0
xgx
c) )(lim0
xgx
d) )(lim0
xgx
e) )(lim4
xgx
f) )(lim5
xgx
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 67
8) Para la función f cuya grafica se muestra, deduzca el valor del límite, si existe.
Si no existe explique por que.
a) )(lim3
xfx
b) )(lim7
xfx
c) )(lim4
xfx
d) )(lim9
xfx
e) )(lim9
xfx
f) )(lim9
xfx
g) Las ecuaciones de las asintotas
9) De el valor de el limite, si existe, a partir de la grafica dada. Si no existe explique por que
a) )(lim2
xhx
b) )(lim2
xhx
c) )(lim2
xhx
d) )(lim1
xhx
e) )(lim1
xhx
f) )(lim1
xhx
10) Para la función f cuya grafica se muestra, deduzca el valor del límite, si
existe. Si no existe explique por que.
a) )(lim2
xfx
b) )(lim2
xfx
c) )(lim2
xfx
d) )(lim4
xfx
e) )(lim4
xfx
f) )(lim4
xfx
g) )0(f
11) Para la función g cuya grafica se muestra, deduzca el valor del límite, si
existe. Si no existe explique por que.
a) )(lim2
xgx
b) )(lim1
xgx
c) )(lim3
xgx
d) )(lim3
xgx
e) )(lim3
xgx
f) )(lim4
xgx
g) )0(g
Ejercicio 1 Ejercicio 2
Ejercicio 3 Ejercicio 4
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 68
Ejercicio 5 Ejercicio 6
Ejercicio 7 Ejercicio 8
Ejercicio 9 Ejercicio 10
Ejercicio 11
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 69
NOTA: De acuerdo a los ejercicios anteriores, podemos concluir que el limite no
es una evaluación de funciones, si no un comportamiento tendencial hacia un numero especifico.
3.2 GRAFICACION Y LÍMITES
Ejemplos: En los ejercicios siguientes trace la grafica y determine el limite
indicado, si existe; si no existe justifique su respuesta.
SOLUCION:
SOLUCION:
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 70
SOLUCION:
a) )(lim
1xf
x b) )(lim
1xf
x c) )(lim
1xf
x
SOLUCION:
5. Trace la grafica de una función f que satisfaga todas las condiciones dadas.
4)(lim3
xfx
2)(lim3
xfx
2)(lim2
xfx
3)3( f 1)2( f
6. Trace la grafica de una función f que satisfaga todas las condiciones dadas.
1)(lim0
xfx
1)(lim0
xfx
0)(lim2
xfx
1)(lim2
xfx
1)2( f
)0(f es indefinido
7. De un ejemplo de una función f definida en a tal que )(lim xfax
existe pero
)()(lim afxfax
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 71
8. Sea f la función definida por
xx
xx
xx
xf
3;3
33;9
3;5
)( 2
a) Trace la grafica b) Determine los siguientes limites
)(lim3
xfx
)(lim3
xfx
)(lim3
xfx
)(lim3
xfx
)(lim3
xfx
)(lim3
xfx
SOL. 2, 0, no existe, 0, 0, 0 9.
3.3 TEOREMAS FUNADAMENTALES DE LOS LÍMITES Y CALCULO DE LIMITES
TEOREMA: ccax
lim , donde c es una constante.
TEOREMA:
TEOREMA: i) nn
axax
lim
ii) nax
n
axxfxf )(lim)(lim
; siempre y cuando )(lim xf
ax exista.
TEOREMA: Si f es un polinomio y a es un numero real, entonces )()(lim afxfax
TEOREMA: Si una función f tiene un limite cuando x tiende a a , entonces
nax
n
axxfxf )(lim)(lim
Siempre y cuando n sea un entero positivo impar o bien n sea un entero positivo
y 0)(lim
xfax
TEOREMA DE INTERCALACION: Supóngase que para todo x en un intervalo
abierto que contiene a a , excepto posiblemente para ax , donde )()()( xhxgxf
Si )(lim)(lim xhLxfaxax
, entonces Lxgax
)(lim
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 72
Gráficamente:
TEOREMA DEL LIMITE DE COMPOSICION DE FUNCIONES:
Si Lxgcx
)(lim y si f es continua en L , entonces
Lfxgfxgfcxcx
)(lim)(lim
En particular, si g es continua en c y f es continua en )(cg , entonces la
composición gf es continua en c .
EJEMPLOS: Calcular los siguientes limites usando los teoremas
fundamentales de los limites.
1) 11111.39
28
9
2149
27
217
2
21lim
22
7
x
x
x
Observemos que al sustituir directamente el valor hacia el cual se está acercando x obtuvimos 3.11111, esto significa que cuando x se acerca a 7 la
imagen de la función 2
21)(
2
x
xxf es 3.1111.
NOTA: En algunos casos no puede determinarse el límite de una función por sustitución directa, puesto que se obtienen indeterminaciones de la forma:
0
a
0
0
Y para evitar esto, se requieren procesos de simplificación para obtener los respectivos límites. Como se muestra en los siguientes ejemplos
2)0
0
33
99
33
93
3
9lim
22
3
x
x
x
Notemos que al sustituir directamente el valor 3 se obtiene una indeterminación.
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 73
Para evitar la indeterminación nos apoyaremos en la factorización. Factorizando y simplificando:
633)3(lim3
)3)(3(lim
3
9lim
33
2
3
x
x
xx
x
x
xxx.
3) 1
1lim
3
1
x
x
x =
0
0
11
113
Nuevamente al sustituir directamente el valor 1 se obtiene una indeterminación;
para solucionar el problema factorizaremos nuevamente. Aplicando la factorización de diferencia de cubos obtenemos:
3111)1(lim)1(
)1)(1(lim
1
1lim 22
1
2
1
3
1
xx
x
xxx
x
x
xxx
4) 67
6lim
2
2
6
xx
xx
x =
5
6
16
6
1lim
)1)(6(
)6(lim
66
x
x
xx
xx
xx
5) h
xhx
h
22
0
)(lim
=
h
hxh
h
hxh
h
xhxhx
hhh
)2(lim
2lim
2lim
0
2
0
222
0
= xhxh
2)2(lim0
Observa que primeramente se desarrolló el binomio al cuadrado y en el tercer paso se factorizó(factor común) para eliminar los factores h, finalmente se evalúa y se obtiene el resultado 2x.
6) xhxh
xhx
xhx
xhx
h
xhx
h
xhx
hhh
22
000limlimlim
= xhxxhxh
h
xhxh
xhx
hhh
1limlimlim
000
= xxxxx 2
11
0
1
El primer paso que hicimos fue RACIONALIZAR con la finalidad de eliminar las raíces, en el segundo paso aplicamos la factorizacion de diferencia de cuadrados para que en el tercer paso podamos simplificar. Observa que en el denominador solo se indicó el producto de los factores esto con la finalidad de eliminar más tarde el factor h.
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 74
7) 3
18lim
1
x
x
x
SOLUCION:
8) 32
94lim
2
2/3
x
x
x
SOLUCION:
9) 492
1683lim
2
2
4
xx
xx
x
SOLUCION:
10) 2
8lim
3
2
x
x
x
SOLUCION:
11) x
x
x
22lim
0
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 75
SOLUCION:
12) x
x
x
11lim
3
0
SOLUCION:
13) 34134
3252lim
23
23
3
xxx
xxx
x
SOLUCION:
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 76
14) 16
8lim
4
3
2
x
x
x
SOLUCION:
15) x
x
x 26
7134lim
2
3
SOLUCION:
7134)3(2
49134lim
7134
7134
26
7134lim
26
7134lim
2
22
32
22
3
2
3
xx
x
x
x
x
x
x
x
xxx
)7134(2
)3(4lim
7134)3(2
)3)(3(4lim
7134)3(2
364lim
23232
2
3
x
x
xx
xx
xx
x
xxx
7
6
28
24
)71336(2
)6(4
16) 43
12lim
2
2
4
xx
xx
x
SOLUCION:
5
7
1
3lim
)1)(4(
)3)(4(lim
43
12lim
442
2
4
x
x
xx
xx
xx
xx
xxx
17) Use el teorema de intercalación para calcular )(lim0
xfx
, si 21)( xxf
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 77
EJERCICIOS: Calcule los siguientes limites.
1) 364
62lim
23
x
x
x
2) 1
1lim
2
3
1
t
t
t
3)
xx
xx
x
113lim
2
0
4)
xhxhh
111lim
0
5) 127
32lim
2
2
3
xx
xx
x
6) 25
5lim
25
x
x
x
7) 8
2lim
32
x
x
x
8) 4
16lim
16
x
x
x
9)
1
1
1lim
2
1 xx
x
x
10) h
h
h
164lim
0
11) 2
16lim
2
4
2
xx
x
x
12) 2
2lim
2
x
x
x
13) 333 27
3lim
x
x
x
14) 15
32lim
21
xx
x
x
15) 53
542lim
39
x
xx
x
16) 7
10
253
1222lim
2
2
2
xx
xx
x
17) 2
3
3 3
27lim
xx
x
x
18) 282
4lim
2
2
x
x
x
19) 9
4
3
36lim
3 2
3
x
xx
x
20) 32
2
2/1 14
344lim
x
xx
x
21) 145
6lim
2
2
2
xx
xx
x
22) x
x
x 31
91lim
2
3/1
23) 63
4lim
3
2
1
x
x
x
24) 2
24lim
3 2
2
x
x
x
25) 24
762lim
33
1
x
xx
x
26) 8
1
32
14lim
23
xx
x
x
27) 6
293lim
3
23
2
xx
xxx
x
28) 7
1
12
4lim
24
xx
x
x
29) 2
9
9
27lim
2
3
3
x
x
x
30) 653
4lim
2
2
2
x
x
x
31) 465
4lim
2
2
2
xx
x
x
32) 2
1
34
23lim
2
2
1
xx
xx
x
33) 4
1
4
2lim
22
x
x
x
34) 223
1lim
21
x
x
x
35) 3
362lim
23
3
x
xxx
x
36) 9
1
752lim
2
2
1
xx
xx
x
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 78
37) 127
32lim
2
2
3
xx
xx
x
38) 13
17
1572
10133lim
2
2
5
xx
xx
x
39) 10
1
25
5lim
25
x
x
x
40) 322
16lim
2
4
x
x
x
41) 81
62014lim
2
1
x
xx
x
42)
41
6222610lim
2
23
1
x
xxx
x
43) 1
32lim
2
1
x
xx
x
44) 1
2lim
2
2
1
x
xx
x
45) 2
65lim
2
2
x
xx
x
46) 214
5114lim
2
2
3
xx
xx
x
47) 32
lim2
2
1
xx
uxuxx
x
48) 3/2
3/4
8 4
16lim
x
x
x
49) x
xx
4
1
4
1
lim0
50) Encuentre )(lim xfx
si
2
2 34)(
14
x
xxxf
x
x
51) ¿Hay un numero a tal que
2
33lim
2
2
2
xx
aaxx
x exista? Si es así,
encuentre los valores de a y el limite.
52) Sea
xxsenxf
1)( para 0x .
¿Cuál es el límite de )(xf cuando
0x ?
53)
xx
1coslim
0
54) 222
1lim
3
0
x
x
x
55) x
xx
11
1
lim0
56) 5
125lim
3
5
x
x
x
57) x
x
x
24lim
0
58) x
xx
11
1
lim0
59) 8
4lim
3
2
2
x
x
x
60) 3 22 4
1lim
xx
61) Considere la desigualdad
2
1cos1
242
12
2
x
xx,¿Cuál es el
valor del 20
cos1lim
x
x
x
?
62)
xsex
x
1lim 2
0
*63) 3
2
11
1lim
3
0
y
yy
y
*64) 3
2
1
123lim
5
1
x
x
x
*65) 3
4
2 11
11lim
x
x
x
66) 2
2
0
39lim
x
x
x
67) 12
128lim
3
0
x
x
x
68) 752
lim2
2
1
xx
xx
x
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 79
69) 322
16lim
2
4
x
x
x
70) 56
1
49
32lim
27
x
x
x
71) 111
lim0
x
xx
x
72) 32
3
3284
223lim
2
x
x
x
73) 9
2
553
123lim
5
x
x
x
74) 02
8lim
3
3
2
x
x
x
75) 7
3
253
13lim
23/1
xx
x
x
3.4 LIMITES EN EL INFINITO Y AL INFINITO LIMITE EN EL INFINITO
DEFINICION INFORMAL: El Lxf
x
)(lim
Significa que )(xf se puede acercar arbitrariamente a L escogiendo x
suficientemente grande. Como se muestra en la siguiente figura.
Ejemplos que ilustran Lxf
x
)(lim
DEFINICION FORMAL: El Lxfx
)(lim
Significa que para todo 0 , existe un número positivo N tal que
Lxf )( siempre que Nx
Como se muestra en la siguiente figura.
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 80
Así, para 0N :
Si Lxfx
)(lim , se dice que el limite de )(xf cuando x tiende a es L .
DEFINICION: El Lxfx
)(lim
Significa que para todo 0 , existe un número negativo N tal que
Lxf )( siempre que Nx
Como se muestra en las siguientes figuras.
Ejemplos que ilustran Lxf
x
)(lim
Por lo tanto decimos que:
Si Lxfx
)(lim , se dice que el limite de )(xf cuando x tiende a es L
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 81
DEFINICION: La recta Ly se llama asíntota horizontal de la curva )(xfy
si se cumple cualquiera de las dos condiciones siguientes:
Lxfx
)(lim o Lxfx
)(lim
LIMITE AL INFINITO
DEFINICION INFORMAL: El
)(lim xfax
Significa que )(xf se puede hacer tan grande como se quiera escogiendo x
suficientemente cerca de a .
DEFINICION FORMAL: Sea f una función definida en un intervalo abierto que
contiene a a , excepto posiblemente en a mismo. La afirmación el límite de
)(xf cuando x tiende a a es , que se escribe
)(lim xfax
Significa que a todo número positivo M le corresponde un 0 tal que
Si ax0 , entonces Mxf )( .
Como se muestra en la siguiente figura.
DEFINICION: Sea f una función definida en todo un intervalo abierto que
contiene a a , excepto posiblemente en a mismo. La afirmación el límite de
)(xf cuando x tiende a a es , que se escribe
)(lim xfax
Significa que a todo número negativo M le corresponde un 0 tal que
Si ax0 , entonces Mxf )( .
Como se muestra en la siguiente figura.
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 82
TEOREMA: 1) Si n es un entero positivo par, entonces
nax ax )(
1lim
2)Si n es un entero positivo impar, entonces
nax nx )(
1lim y
n
ax ax )(
1lim
TEOREMA: Si 0r es un numero racional, entonces
01
lim rx x
Si 0r es un numero racional tal que rx esta definida para toda x , entonces
01
lim rx x
Consideremos la grafica de la función x
xf1
)(
Observemos que cuando:
xx
1lim
0 y
xx
1lim
0
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 83
Esto significa que la función x
xf1
)( tiene una asintota vertical en 0x
Además observemos que:
01
lim xx
y 01
lim xx
Esto significa que la función tiene una asintota horizontal en 0y
Por lo tanto concluimos que, el limite al infinito esta relacionado con la asintota vertical y el limite en el infinito, esta relacionado con la asintota horizontal.
EJEMPLOS:
1. 2
2
1)(
x
xxf
SOLUCIÓN:
11
1
11
1lim
1
1lim
1lim
1lim
22
2
22
2
2
2
2
2
2
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
xxxx
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 84
4. 32
lim3
34
xx
xx
x
5. x
x
x 32
74lim
0
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 85
6. xxxx
2lim
EJERCICIOS
1) 3
3
1
2lim
x
x
x
2) )3)(5(
lim2
xx
x
x
3) 158
lim2
2
xx
x
x
4) 2
3
2
33lim
3
3
x
xx
x
5) 24
81lim 3
2
2
x
x
x
6) )1)(1(
3lim
2
xx
xx
x
7) 3
12lim
2
x
x
x
8) 4
12lim
x
x
x
9) 05232lim 22
xxx
10) 23
12lim
x
x
x
11) 1
lim2 x
x
x
12) x
xsen
x
2lim
13) 7310
15lim
23
3
xx
x
x
14)
2
12lim
xx
x
15) 1
lim2 x
x
x
16) 742
135lim
2
2
xx
xx
x
17) 726
13lim
23
3
xx
xx
x
18) 3
2
)1(
8lim
xx
x
x
19) x
x
x 310
14lim
20) 1
32lim
3
2
x
xx
x
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 86
3.5 LIMITES TRIGONOMETRICOS Al discutir los limites de las expresiones trigonometricas en que intervienen las funciones sent , tcos , ttan , etc., se supondrá que las variables son números
reales o medidas de un ángulo en radianes.
TEOREMA: 1) 0lim0
sentt
2) 1coslim0
tt
3) 1lim0
t
sent
t
4) 0cos1
lim0
t
t
t
Ejemplos:
1.6
5
0
4.2tanlim
x
xsenx
x
2. 2
2
0
2lim
x
xsen
x
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 87
5. xsen
xsen
x 3
2lim
0
Solución:
3
2
)1(
)1(
3
2
3
32
2
3
2lim
3
332
22
lim3
2
lim3
2lim
0000
x
xsenx
xsen
x
xsenx
xsen
x
xsenx
xsen
xsen
xsen
xxxx
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 88
6. senx
xx
x
tanlim
0
7.
xxsen
x
1lim
8. x
x
x cos
2
1
lim2/
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 89
EJERCICIOS: Calcule los siguientes límites trigonométricos.
1) 23
2
0
)(lim
xx
xsen
x
2) 20
cos1lim
x
x
x
3) 4
)2cos(1lim
22
x
x
x
4) 20
2lim
xsen
xxsen
x
5) x
xsen
x 3
5lim
0
6) senx
x
x 1
coslim
2
0
7) tt
ttsen
t sec
43lim
0
8) t
tsen
t 2
3lim
2
0
9) 2
2
0
3lim
x
xsen
x
10) 1
)1(lim
1
x
xsen
x
11) 2
1tanlim
30
x
senxx
x
12) 32
1
cos21
3lim
3/
x
xsen
x
13) 1lim x
senx
x
14) 0
2
1
1lim
2/
x
senx
x
15) 1)(
lim0
x
senxsen
x
16) 1cotlim0
xxx
17)
xx
xtanlim
18) 2
5
2
5lim
0
x
xsen
x
19) 2
1
2
tanlim
0
t
t
x
20) 3
2
3
cos12lim
0
x
xx
x
21) 8
1
)2(lim
3
3
0
t
tsen
t
22) 03
2cos2lim
0
x
x
x
23) 4
3
4
)3(lim
0
x
xsen
x
24) 0cos1
lim3/20
x
x
x
25) 2coscos221
lim2
22
0
x
xxx
x
26) 734
lim2
2
0
t
tsentt
t
27) sent
t
t 1
coslim
0
28) 0cos1
lim0
sent
t
t
29) 2tan
lim0
senx
xx
x
30) 1cotlim0
xxx
31) 1csclim 22
0
xx
x
32) 12
cos
lim0
x
x
x
33) 0cos1
lim0
bx
ax
x
34) 43
lim0
t
sentt
t
35) 03cos1
lim0
t
t
t
36) 1cos
1lim
2
0
xx
x
x
37) 01
lim20
x
xsenx
x
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 90
38) 2
1
2
coslim
2
0
x
xxx
x
39) 2
12
1
lim0
x
xsen
x
40) 42
lim2
2
0
t
tsen
t
41) 1cot
2csclim
0
x
x
x
42) 5
3
5
3lim
0
tsen
tsen
x
3.6 CONTINUIDAD DE FUNCIONES Quizás algunas veces hemos visto graficas de algunas funciones que se interrumpen para algún valor de x . Es decir, su grafica se quiebra cuando
hacemos variar x de un sentido a otro. Estas pueden tener un salto o solo tener
una interrupción sin tener un salto. A este fenómeno se le llama discontinuidad.
Una función que no es continúa en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la grafica de una función que es discontinua en el número a
se puede observar un “salto” o un “hueco”, precisamente donde ax . La
discontinuidad puede ser eliminable o esencial. Como se muestra en las siguientes graficas.
Discontinuidad de salto Discontinuidad infinita
Discontinuidad evitable Discontinuidad evitable
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 91
La discontinuidad es eliminable cuando )(af no existe pero )(lim xfax
si existe
, o cuando )(lim xfax
)(af . En estos dos casos la discontinuidad desaparece
cuando se redefine )(af , de tal manera que )()(lim afxfax
.
En la discontinuidad esencial no es posible deshacerse de dicha
discontinuidad, y sucede básicamente cuando )(lim xfax
no existe.
Las discontinuidades eliminables, se denominan también discontinuidad de “hueco”: Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidades de salto: se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes. Y la discontinuidad infinita sucede cuando el limite de f cuando x tiende a a es infinito.
DEFINICION: La función f es continua en el número a si f esta definida en
algún intervalo abierto que contenga a a , y si para cualquier 0 existe una
0 tal que
si ax entonces )()( afxf
DEFINICION: Una función f es continua en un número a si se satisfacen las
tres condiciones siguientes: 1) f esta definida en un intervalo abierto que contiene a a
2) )(lim xfax
existe
3) )()(lim afxfax
DEFINICION: Sea f una función definida en un intervalo cerrado ba, . La
función f es continua en ba, si lo es en ),( ba y además.
)()(lim afxfax
y )()(lim bfxfbx
TEOREMA: Si las funciones f y g son continuas en a , entonces también lo
son la suma gf , la diferencia gf , el producto fg , si 0)( ag , el cociente
g
f.
TEOREMA: Si f y g son funciones tales que bxgax
)(lim , y si f es continua
en b , entonces
)(lim)()(lim xgfbfxgfaxax
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 92
TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO:
Si f es continua en un intervalo cerrado ba, , y w es cualquier numero entre
)(af y )(bf , entonces existen al menos un numero c en ba, tal que wcf )(
TEOREMA: Si una función f es continua en un intervalo y no tiene ceros
(raíces) en él, entonces 0)( xf o bien 0)( xf para todo x en el intervalo.
Ejemplos: 1) Determine si la función h definida por
4;3
4;4)(
x
xxxh
Es o no continua en 4x
SOLUCION: Al trazar la grafica observemos que tiene el siguiente comportamiento
De la grafica tenemos que:
3)4( h y 0444lim4
xx
Y de la definición vemos que:
)4(304lim4
fxx
Por lo tanto la función no es continua en 4x
2) Sea la función definida por
2;3
2;2
2
)(
2
x
xx
xx
xf
Determinar si la función es continua en 2x
SOLUCION: La grafica de la función esta dada en la siguiente figura
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 93
Por definición de la función tenemos que 3)2( f
Y el 3121lim2
)1)(2(lim
2
2lim)(lim
22
2
22
x
x
xx
x
xxxf
xxxx
Por lo tanto )(lim3)2(2
xffx
Luego entonces la función es continua en 2x
3) Considere la función )(xf definida por
2;1
2;2)(
x
xxxf
Determine si )(xf es continua en 2x
SOLUCION: Al graficar la función obtenemos el siguiente grafico
De la definición tenemos que:
1)2( f y 0222lim2
xx
Por lo tanto xfx
2lim01)2(2
Luego entonces la función f es discontinua en 2x
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 94
4) Del ejemplo anterior, cabe señalar que tiene una discontinuidad evitable, es decir podemos redefinir la función de tal manera que sea continua en todo R .
Esta puede redefinirse de la forma:
2;0
2;2)(
x
xxxf
Si le aplicamos la definición, nos daremos cuenta que efectivamente cumple con las 3 condiciones de continuidad. Y su grafica es como la que se muestra en el siguiente grafico.
5) Sea la función
2;
2;4)(
2
xx
xxxf
Grafique y deduzca si la función tiene una discontinuidad evitable. SOLUCION: El grafico de la función se muestra en la siguiente figura.
Además
2)(lim)(lim22
xxfxx
y 0)4(lim)(lim 2
22
xxf
xx
De lo anterior se deduce que no existe el limite en 2x , puesto que los
limites laterales son diferentes. Y además )2(f no existe puesto que la función no esta definida en 2x
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 95
En los ejercicios 6 – 13 trace la grafica de la función; luego observando donde hay saltos en la grafica, determine los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua y muestre cual condición no se cumple de los “ criterios de continuidad de una función en un numero “
6) 3
6)(
2
x
xxxF
SOLUCION:
f (-3) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple; conclusión: f es discontinua en -3.
7) 4
5)(
xxh
SOLUCION:
f (4) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple; conclusión: f es discontinua en 4.
8)
2;0
2;2
1
)(
x
xxxg
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 96
SOLUCION:
9) 16
4)(
4
2
x
xxG
SOLUCION:
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 97
10)
xx
x
x
xf
0;
0;0
0;1
)(
SOLUCION:
Por lo tanto, f es discontinua en 0.
11)
xx
xxxg
0;1
0;)(
3
SOLUCION:
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 98
En los ejercicios 12 – 18 demuestre que la función es discontinua en el número a .
Luego determine si la discontinuidad es eliminable (evitable) o esencial (inevitable). Si es evitable defina )(af de manera que la discontinuidad
desaparezca.
12) 23
49)(
2
x
xxf ;
3
2a
SOLUCION:
13)
tt
tttf
2;23
2;9)(
2
SOLUCION:
14) 32
12)(
2
2
xx
xxxf ; 3a
SOLUCION:
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 99
15)
3;2
3;3)(
x
xxxf ; 3a
SOLUCION:
16)
tt
tttf
2;
2;4)(
2
; 2a
SOLUCION:
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 100
17) y
yyf
55)(
; 0a
SOLUCION:
18) x
xxf
11)(
3 ; 0a
SOLUCION:
En los ejercicios 19 – 25 determine los números en los cuales es continua la función dada.
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 101
19) 22 )3()( xxxf
SOLUCION:
20) 3
)(
x
xxf
SOLUCION:
21) 52
1)(
x
xxh
SOLUCION:
22) 4
7)(
2
3
x
xxF
SOLUCION:
23)
xx
xxxf
2;4
2;13)(
2
SOLUCION:
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 102
24)
xx
xx
xf
1;1
1;2
1
)(
SOLUCION:
25)
xx
xxxf
4;4
4;1
1
)(
SOLUCION:
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 103
EJERCICIOS: 1) Encuentre un valor de c para el cual f sea continua en todo R.
2;2
2;3)(
2
xcx
xcxxf
2) Encuentre valores de c y d para que f sea continua en R.
2;5
21;
1;4
)(
xx
xdcx
xx
xf
3) (a) A partir de la grafica de f , de los números en que f es discontinua y
explique por que. (b) Para cada uno de los números que se den en el inciso (a), determine si f
es continua por la derecha, por la izquierda o por ninguno de los dos lados.
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 104
4) A partir de la grafica de g , de los intervalos sobre los que g es continua.
5) Trace la grafica de una función que sea continua en todas partes, excepto en
3x , y sea continua desde la izquierda en 3.
6) Grafique una función que tenga una discontinuidad por salto en 2x y una
discontinuidad removible en 4x , pero que sea continua en todos los demás
puntos.
7) Si f y g son funciones continuas con 5)3( f y 4)()(2lim3
xgxfx
, hallar
)3(g
8) Use la definición de continuidad y propiedades de los límites para mostrar que la función es continua en el punto dado.
12
1)(
2
x
xxg , 4a
9) Explique por que la función es discontinua en el punto dado. Bosqueje la grafica.
a)
1;2
1;1
1
)(
x
xxxf ; 1a
b) 1
1)(
2
x
xxf ; 1a
c)
1;6
1;1
1
)(
2
x
xx
x
xf ; 1a
d)
4;3
4;4
82
)(
2
x
xx
xx
xf ; 4a
e)
2;2
2;1)(
2 xxx
xxxf ; 2a
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 105
10) Sea
3;5
3;1)(
xx
xxxf mostrar que f es continua en ,
11) Encuentre los números en los que la función es discontinua, ¿en cuales de estos puntos f es continua desde la derecha, desde la izquierda o desde
ninguno de los dos lados? Trace la grafica.
a)
1;12
11;3
1;12
)(
xx
xx
xx
xf b)
1;2
10;
0;
)( 2
xx
xx
xx
xf c)
1;
10;
0;
)(
2
xx
xx
xx
xf
12) ¿Para que valor de la constante C la función f es continua en todo el eje
real?
a)
3;1
3;1)(
2 xcx
xcxxf b)
4;20
4;)(
22
xcx
xcxxf
13) Encuentre los valores de a y b de manera que las siguientes funciones sean
continuas en todo el eje real.
a)
2;3
21;
1;1
)(
xx
xbax
xx
xf b)
1;1
10;
0;1
)(
x
xbax
x
xf
14) Dibuje la grafica de un función f que satisfaga todas las condiciones
siguientes.
a) Su dominio es 2,2
b) 1)2()1()1()2( ffff
c) Es discontinua en -1 y 1 d) Es continua por la derecha en -1 y continua por la izquierda en 1.
15) Haga el bosquejo de la grafica de una función que tenga dominio 2,0 y sea
continua en 2,0 , pero no en 2,0
16) Bosqueje la grafica de una funcion que tenga dominio 6,0 y sea continua en
2,0 y en 6,2 , pero que no sea continua en 6,0
Para los ejercicios 17 – 31 deduzca si las afirmaciones son verdaderas o
falsas y justifique su respuesta con un ejemplo o contraejemplo.
17) Si 10)( xf para toda x y )(lim2
xfx
existe, entonces 10)(lim2
xfx
18) Si bxfax
)(lim , entonces bxfax
)(lim
19) Si )()( xfxg es continua, no necesariamente es cierto que )(xf sea
continua
20) Si )(cf no esta definida, entonces )(lim xfcx
no existe
21) Si f es continua en c , entonces )(cf existe
22) Si f es continua en el intervalo 3,1 , entonces f es continua en 2
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 106
23) Si f es continua tal que BxfA )( para toda x , entonces )(lim xfx
existe
y satisface BxfAx
)(lim
24) Si f es continua en ba, , entonces )()(lim cfxfcx
pata toda bac ,
25) Si la recta 2y es una asíntota horizontal de la grafica )(xfy entonces
2)(lim
xfx
26) Si )(lim)(lim xfxfcxcx
, entonces f es continua en cx
27) Si )(lim)(lim xffxfcxcx
entonces f es continua en cx
28) Si )()(lim xgxfcx
existe, entonces existen )(lim xfcx
y )(lim xgcx
29) Si 42 23)(0 xxxf para toda x , entonces 0)(lim0
xfx
30) Si Lxfax
)(lim y Mxfax
)(lim , entonces ML
31) Si )()( xgxf para toda x , entonces )(lim)(lim xgxfcxcx
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 107
MISCELANEA DE EJERCICIOS DE LA UNIDAD 3
INSTRUCCIÓN 1: Calcular los siguientes límites
1) x
x
x 0lim
2) 2
1lim
21
xx
x
x 3
492
1683lim
2
2
4
xx
xx
x 4)
67
6lim
2
2
6
xx
xx
x
5) 364
62lim
23
x
x
x 6) x
xx
1
4lim
0 7)
82
6
2
1lim
22 xxxx
8) 372
9lim
2
2
3
yy
y
y 9)
3/2
3/4
8 4
16lim
x
x
x
10) 5
2
3
0 2
64lim
xx
xx
x
11) 1
25lim
1
x
x
x 12)
1
1lim
3
1
x
x
x 13)
23
10lim
2
23
2
xx
xxx
x
14)562
32lim
23
2
1
xxx
xx
x 15)
x
xx4
2lim
2 16)
1
5252lim
2
23
1
x
xxx
x
17) 8
37lim
3
8
x
x
x 18)
9
62lim
9
x
x
x 19)
1
)1(lim
2
1
x
xsen
x
20) x
x
x
7
345lim
7 21)
27
3lim
33
y
y
y 22)
583
32lim
2
2
1
xx
xx
x
23)
22
4 4
16
5lim
h
h
h
h
h 24)
5
34lim
5
x
x
x 25)
11
525lim
0
x
x
x
26) 1
154lim
21
x
x
x 27)
1
365lim
24
2
xx
xx
x 28)
x
xx
4
1
4
1
lim0
29) 344
16lim
2
2
2/1
xx
xx
x 30)
2
842lim
23
2
x
xxx
x 31) 6
12
2lim
12
2
1
x
xx
x
32) 9
1
1
12lim
2
33 2
1
x
xx
x
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 108
INSTRUCCIÓN 2: Calcule lo que se pide en cada caso. Hallar los valores de las incógnitas de modo que la función dada sea continua.
a)
xkx
xxxf
4;5
4;23)( b)
1,2
1,5
1,
)(
xnmx
x
xnmx
xf c)
xkx
xkxxf
1;
1;3)(
2
d)
xx
xbax
xx
xf
2;62
22;
2;
)(
2
e)
xxb
xbax
xax
xf
3;5
33;2
3;2
)(
2) Grafique y deduzca si existe limite en el punto indicado )(lim2
xfx
, donde
2,24
2,64)(
2
2
2 xxx
xxxxf
Grafique la siguiente función e indique en que puntos la función es discontinua.
1,
1,32)(
2 xx
xxxf
Demuestre que el siguiente limite es ½
2
11lim nnn
n
7) Es verdadero o falso que: Si )()( xgxf para todo ax entonces
)(lim)(lim xgxfaxax
. Justifique su respuesta con un ejemplo.
8) Encuentre )(lim xfx
si 2
2 34)(
14
x
xxxf
x
x
9) Demuestre que 0lim /sin
0
x
xex
10) Demuestre que 02
coslim 4
0
xx
x
11) Calcule )(lim3
xgx
; si 4)3(24)( xxg para toda x.
12) Calcule )(lim2
xgx
; si 2)2(53)( xxg para toda x.
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 109
13) Si 22 )(cos1 xxfx para toda x en el intervalo abierto
2,
2
, encuentre
)(lim0
xfx
14) Si senxxfsenx 2)( para toda x en el intervalo abierto )0,( , encuentre
)(lim2/
xfx
15) Use el teorema de intercalación para calcular el limite,
3
2
1 1
1)1(lim
xsenx
x
INSTRUCCIÓN 3: Calcule los siguientes limites trigonométricos.
1) x
x
x cos1lim
2
0 2)
x
x
x
2
0
cos1lim
3)
x
x
x cot
3csclim
0 4)
xsen
x
x 5
3lim
0
5) xsen
x
x 3lim
2
2
0 6)
2cos1
3lim
2
2
0 x
x
x 7)
x
x
x 2
tanlim
0 8)
xsen
x
x 3
2cos1lim
0
9) 2
3
0lim
x
xsen
x 10)
senx
x
x
1
cos1lim
0 11)
2
2
0 2
cos1lim
x
x
x
12)
4
4
0 4
2tanlim
x
x
x
13) 20
cos1lim
x
x
x
14)
13cos
4lim
0 x
xsen
x 15)
x
xx
x
2tan2seclim
0 16) xxx
xcsccotlim 3
0
17) xxx
3cotlim 22
0 18)
xx
xsen
x 3cos
2lim
0 19)
xx
xsen
x cos
3lim
2
2
0
INSTRUCCIÓN 4: Trace la grafica y determine si existe el limite indicado.
1)
xx
x
xx
xf
2;11
2;0
2;3
)(
2
2
a) )(lim2
xfx
b) )(lim2
xfx
c) )(lim2
xfx
2)
xx
x
xx
xf
2;4
2;4
2;4
)(
2
2
a) )(lim2
xfx
b) )(lim2
xfx
)(lim2
xfx
3)
xx
xx
xx
xf
1;2
11;
1;1
)( 2 a) )(lim1
xfx
b) )(lim1
xfx
c) )(lim
1xf
x
d) )(lim1
xfx
e) )(lim1
xfx
f) )(lim1
xfx
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 110
UNIDAD IV
LA DERIVADA
4.1 INTRODUCCION El calculo se desarrollo a raíz de cuatro problemas sobre lo que estaban trabajando los matemáticos europeos en el siglo XVII.
1) El problema de la recta tangente 2) El problema de la velocidad y la aceleración 3) El problema de maximizar y minimizar.
Nuestro primer problema es muy antiguo; se remonta a la época del gran científico griego Arquímedes (287 – 212 A. C). Nos referimos al problema de la pendiente de la recta tangente. Nuestro segundo problema es mas reciente. Surgió con los intentos de Kepler (1571 – 1630), Galileo (1564 – 1642 ), Newton (1642 – 1727 ) y otros para describir la velocidad de un cuerpo en movimiento. Es el problema de la velocidad instantánea. En los dos problemas, uno geométrico y el otro mecánico, parecen no estar muy relacionados. En este caso, las apariencias engañan. Los dos problemas son gemelos idénticos. Cada uno de ellos involucra el concepto de límite el cual sirve como introducción al cálculo diferencial. La noción de Euclides de una tangente, como una recta que toca a una curva en un solo punto es totalmente correcta para circunferencias o parábolas, como se muestra en la figura 1; pero completamente insatisfactoria para otras curvas, como se muestra en la figura 2. La idea de una tangente en un punto P a una curva es considerada como la recta que mejor se aproxima a la curva cerca de P es mucho mejor, pero aun es muy vaga para la precisión matemática, es así como se retoma el concepto de limite para mejorar la precisión. Debido a estos dos problemas es como surge la necesidad de estudiar la derivación puntual y la derivación en un intervalo.
Valor Máximo de f Recta tangente a la curva
Figura 1 Figura 2
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 111
Consideremos la ecuación y = f(x) en donde f es una función. En muchas aplicaciones la variable independiente x puede cambiar ligeramente y es necesario encontrar el cambio correspondiente de la variable dependiente y , un cambio en x
se denota frecuentemente por el símbolo ∆x (que se lee “delta x”); por ejemplo, si x varia de X1 a X2, entonces esta variación se puede expresar como la diferencia entre la posición inicial y la posición final, esto es:
∆x = X2 – X1
El numero ∆x es el incremento de x. Nótese que X2 = X1 + ∆X, es decir el nuevo valor X2 es igual al valor inicial de X1 mas el incremento ∆x . El símbolo ∆y se usa para denotar el cambio en la variable dependiente y que corresponde a ∆x. Así, el
incremento de )(xfy se expresa de la forma:
∆y = f(x2) – f(x1) = f(x1 + ∆x) - f(x1) En la siguiente figura se muestra los incrementos x y y
Observemos que las coordenadas de P y Q están dadas por: ))(,( 11 xfxP y
))(,( 22 xfxQ . Así, aplicando la definición de pendiente, tenemos:
x
y
xx
xfxfm
12
12 )()(
Pendiente de la recta secante a la curva
A este cociente de incrementos también se le conoce con el nombre de cociente medio de incrementos de la función.
f
P
Q
1x 2x
)( 1xf
)( 2xf
12 xxx
)()( 12 xfxfy
Incrementos de x e y
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 112
En particular, sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene al
número real a . En la siguiente figura se ilustra la grafica de f y una recta secante
PQl que pasa por el punto )(, afaP y )(, xfxQ la recta de trazo punteado l
representa una posible recta tangente en el punto P.
Nuevamente, si calculamos la pendiente de la recta secante PQl obtenemos:
ax
afxfm
)()(
Observemos que, si hax entonces:
h
afhafm
)()(
Pendiente de la recta secante
Si se desea conocer la pendiente de la recta tangente en el punto P, basta calcular el límite del cociente anterior.
h
afhafm
h
)()(lim
0
Pendiente de la recta tangente en P
A este límite se le conoce como “la derivada de la función” en el punto a , y se
denota de la forma:
h
afhafaf
dx
df
h
)()(lim)`(
0
El comportamiento grafico del límite anterior se muestra en la siguiente figura.
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 113
DEFINICION: Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a
a . La derivada de f en a , denotada por )(' af , esta dada por
h
afhafaf
h
)()(lim)`(
0
Si este límite existe.
DEFINICION: Una función f es derivable en un intervalo cerrado ba, si lo es en
el intervalo abierto ba, y los limites
h
afhaf
h
)()(lim
0
y h
bfhbf
h
)()(lim
0
existen. DEFINICION DE LA RECTA TANGENTE CON PENDIENTE m
Si f esta definida en un intervalo abierto que contiene a c y además existe el
limite
mx
cfxcf
x
y
xx
)()(limlim
00
Entonces, la recta que pasa por )(, cfc con pendiente m se llama recta
tangente a la grafica de f en el punto )(, cfc .
LA DERIVADA COMO UNA FUNCION La derivada de la función f es aquella función, denotada por `f , tal que su valor
en un número x del dominio de f esta dado por
h
xfhxfxf
h
)()(lim)`(
0
Si este limite existe. TEOREMA: Si una función f es derivable en a entonces f es continua en a
4.2 Interpretación física de la derivada Supongamos que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta, de acuerdo con una ecuación del movimiento )(tfS , donde S es el desplazamiento
(distancia dirigida) del objeto con respecto al origen, en el instante t . La función
f que describe el movimiento se conoce como función de posición del objeto. En
el intervalo de at hasta hat , el cambio de posición es )()( afhaf . Y la
velocidad promedio en este periodo esta dado por la ecuación
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 114
Velocidad promedio h
afhaf
tiempo
entodesplazami )()(
Como se muestran en las siguientes figuras.
Suponga ahora que calculamos las velocidades promedio sobre los lapsos
haa , mas y mas cortos. En otras palabras, hagamos que h tienda a 0. Como
en el concepto de la pendiente de la recta tangente, logrando con ello la definición de velocidad instantánea, )(av en el instante at como el limite de estas
velocidades promedio.
h
afhafav
h
)()(lim)(
0
NOTA: Existen funciones que son continuas sin embargo tiene puntos en los cuales dicha función no es derivable. Como se muestra en la siguiente figura.
Calculo Diferencial
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 115
FORMULAS BASICAS DE DERIVACION
1) 0)(
dx
cd, donde c es cte.
2) dx
dunu
dx
ud nn
1)(
3) 1dx
dx
4) dx
dv
dx
duvu
dx
d
5) dx
duc
dx
cud
)(; donde c es cte.
6) dx
duv
dx
dvu
dx
uvd
)(
7) 2v
dx
dvu
dx
duv
v
u
dx
d
8) dx
duaaa
dx
d uu ln
9) dx
duee
dx
d uu
10) dx
dvuu
dx
duvuu
dx
d vvv ln1
11) dx
du
u
eu
dx
d loglog
12) dx
du
uu
dx
d 1ln
13) dx
duusenu
dx
dcos
14) dx
dusenuu
dx
dcos
15) dx
duuu
dx
d 2sectan
16) dx
duuu
dx
d 2csccot
17) dx
duuuu
dx
dtan.secsec
18) dx
duuuu
dx
dcot.csccsc
19) dx
du
uarcsenu
dx
d
21
1
20) dx
du
uu
dx
d
21
1arccos
21) dx
du
uu
dx
d21
1arctan
22) dx
du
uuarcctg
dx
d21
1)(
23) dx
du
uuuarc
dx
d
1
1sec
2
24) dx
du
uuuarc
dx
d
1
1csc
2
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 116
EJEMPLOS RESUELTOS: Calcular las derivadas de las siguientes funciones.
1) 5432 985324 xxxxxy
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dy 5432
985320
dx
dxx
dx
dxx
dx
dxx
dx
dxx
dx
dy 432 594835)2(3)1(2
432 45321562 xxxxdx
dy
2) 321
3223
231 xxxxxx
y
432432 663223 xxxxxxdx
dy
432
661
xxxdx
dy
3) 2/33/12/1 262 xxxy
2/13/22/12/13/22/1 322
32
3
16
2
12 xxxxxx
dx
dy
xxxdx
dy3
21
3 2
4) 4/32/33/12/1
4/32/33/12/14262
4262 xxxxxxxx
y
4/72/53/42/3
4
34
2
32
3
16
2
12 xxxx
dx
dy
4/72/53/42/3
4/72/53/42/3 3321332
xxxxxxxx
dx
dy
5) 2/13/123 2 535
13
xx
xxy
)5(52
163
3
1)5(5
2
1)3(3
3
1 2/33/222/32
3/22 xxx
dx
xdx
dx
xdx
dx
dy
xxxxx
x
dx
dy
52
1
9
2
52
5
3
232/33/22
6)
222
2223
3
ya
yaz
322
32222
322 12206
)(23
ya
yyya
dy
yadya
dy
dz
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 117
7) 2/122 3636)( xxxxxf
SOLUCION:
36
362
362
1)36(36
2
1
22
22/12
xx
xx
xxdx
xxdxx
dx
df
8) 3322 124 xxy
SOLUCION:
dx
xdx
dx
xdx
dx
dy22
33
3322 4
1212
4
dx
xdxx
dx
xdxx
dx
dy 44212
121234
2233
32322
236131242 3232 xxxxxdx
dy
9) x
xy
23
23
SOLUCION:
2223
223223
23
23232323
x
xx
x
xdx
dxx
dx
dx
dx
dy
22
23
12
23
4646
xx
xx
dx
dy
10) 2/12
2
2
2
44 x
x
x
xy
SOLUCION:
2
22/1222/12
22/12
2/12222/12
4
442
1)2(4
4
44
x
xdx
dxxxx
x
xdx
dxx
dx
dx
dx
dy
2
2
32
2
2
22
4
442
4
42
242
x
x
xxx
x
x
xxxx
dx
dy
2/32
3
2
2
3
2
2
33
2
3
32
4
8
4
4
8
4
4
28
4
4
42
x
xx
x
x
xx
x
x
xxx
x
x
xxx
dx
dy
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 118
EJERCICIOS:
1) 2/12/32/1 23 xxxy SOL. 2/3
1
2
3
2
3
xx
xdx
dy
2) xx
y4
2
12 SOL.
2/33
21
xxdx
dy
3) xxy 22 SOL. xdx
dy
2
21
4) 651 xy SOL. 55130 xdx
dy
5) 43 13 xxy SOL. 332 13112 xxxdx
dy
6) 243 xxy SOL. y
xy
2´
7) 32
23
x
xy SOL.
232
5
xdx
dy
8)
5
1
x
xy SOL.
64
1
5
x
x
dx
dy
9) xxy 22 2 SOL.
x
xx
dx
dy
2
58
10) 223 xxy SOL. 2
2
23
43
x
x
dx
dy
11) 221 2 xxxy SOL. 22
342
2
2
xx
xx
dx
dy
12) 241 x
xy
SOL.
2/3241
1
xdx
dy
13) xy 1 SOL. xxxdx
dy
4
1
14) 1
1
x
xy SOL.
11
1
2
xxdx
dy
15) 3342 523 xxy SOL. 2027175232 32332 xxxxxdx
dy
16) 2
2
3
2
x
xy
SOL.
223
10
x
x
dx
dy
17)
4
3
3
12
1
x
xy SOL.
53
332
12
136
x
xx
dx
dy
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 119
18) ax
aaxy SOL.
axx
a
ax
a
dx
dy
22
19) x
xy
2
2 SOL.
xxxdx
dy 1
4
1
20) xy 21 SOL. xdx
dy
21
1
21) 3 94 xy SOL. 3/2
94
3
xdx
dy
22) 22
1
xay
SOL.
2/322 xa
x
dx
dy
23) 5/352 xy SOL.
5/252
3
xdx
dy
24) bxaxy SOL. bxa
bxa
dx
dy
2
32
25) 22 xaxy SOL. 22
22 2
xa
xa
dx
dy
26) xa
xay
SOL.
2
2
xa
a
dx
dy
27) 22
22
xa
xay
SOL.
222
24
xa
xa
dx
dy
28) x
xay
22 SOL.
222
2
xax
a
dx
dy
29) 22 xa
xy
SOL.
2/322
2
xa
a
dx
dy
30) xxy 432 SOL. x
xx
dx
dy
43
106 2
31) cx
cxy
1
1 SOL.
2211 xccx
c
dx
dy
32) 22
22
xa
xay
SOL.
4422
22
xaxa
xa
dx
dy
33) 3
32
32
x
xy
SOL.
3/43/23232
4
xxdx
dy
34) 2/33/23/2 xay SOL. 3
x
y
dx
dy
35) 3 32 xxy
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 120
36) 221
2
x
xy
37) bxa
xy
38) xxy 252
39) 3 32 xxy
40) 2
12
xxy
42) 2)2( 22 xxy
43) 3 31
21
x
xy
44) 221
5
x
xy
45) 43
12
x
xy
46) 8
83
3
x
xy
47) 32
1
4
xy
48) 33 1 xxy
4.3 Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales
EJEMPLOS: Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales
1) 3ln xxy
SOLUCION:
xdx
dxx
dx
dx
dx
dy3ln3ln
3ln32
1
3
13ln3
3
1 2/12/1
xx
xxxx
dx
d
xx
dx
dy
3ln62
3ln3
1
2
x
x
xx
x
x
dx
dy
2) x
xy
2ln
SOLUCION:
2
2
2
2
2
2
22
ln2ln
2lnln
x
x
x
xx
xx
x
dx
dxxx
dx
dx
dx
dy
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 121
3)
32ln
x
xy
SOLUCION:
2
2/1
32
323232
32
32
1
x
xdx
dx
dx
dxx
x
x
x
x
dx
d
x
xdx
dy
32
3232
32
32
)2(322
132
32
2/1
x
x
xx
x
x
x
xxx
x
x
dx
dy
3232
332
32
32
3
32
32
32
32
32
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
dx
dy
xx
x
dx
dy
32
32
EJERCICIOS: Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales.
1) 21ln xy SOL. 12
x
x
dx
dy
2) 2
2
1
1ln
x
xy
SOL.
41
2
x
x
dx
dy
3) baxy 2ln SOL. bax
ax
dx
dy
2
2
4) 2ln baxy SOL.
bax
a
dx
dy
2
5) xy 3ln SOL. x
x
dx
dy 2ln3
6) 2
2
1ln
x
xy
SOL.
)1(
22xxdx
dy
7) 229ln xy SOL. 229
2
x
x
dx
dy
8) 21ln xxy SOL. 21
1
xdx
dy
9) bxa
bxay
ln SOL.
222 xba
ab
dx
dy
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 122
10) 22 ln xxy SOL. xxdx
dyln212
11) x
xy
ln SOL.
2
ln1
x
x
dx
dy
12) 1
1
x
x
e
ey SOL.
21
2
x
x
e
e
dx
dy
13) xx
xx
ee
eey
SOL.
24
xx eedx
dy
14) 2
2ln
x
xy SOL.
3
ln42
x
x
dx
dy
15)
xx
xxy
1
1ln
2
2
SOL. 1
2
2
xdx
dy
16) 54ln xy SOL. 54
4´
xy
17) 32 1ln xxy SOL. 1
362
xx
x
dx
dy
18) xxy tansecln SOL. xy sec´
19) xey 5 SOL. xey 55´
20) 3xey SOL.
323´ xexy
21) xseney 3 SOL. xsenxedx
dy 33cos3
22) xey x cos SOL. senxxedx
dy x cos
23) )( xearcseny SOL. x
x
e
e
dx
dy
21
24) xey 32tan SOL. xxx eeedx
dy 3233 sectan6
25) 1
12
2
x
x
e
ey SOL.
26) 53 2 xey SOL.
27) xy 2cosln SOL.
28)
2tanln
xy SOL.
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 123
4.4 Derivadas de funciones trigonométricas
EJEMPLOS: Calcular las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas
1) 2
xxseny
SOLUCION:
22
cos222
cos2
1
22
xsen
xxxsen
xx
dx
dxxsen
xsen
dx
dx
dx
dy
2) xy 3cosln
SOLUCION:
xx
xsenxsen
xx
dx
d
xdx
dy3tan3
3cos
3333
3cos
13cos
3cos
1
3) xsenxy 2cos
SOLUCION:
xxxsensenxsenxdx
dxx
dx
dsenx
dx
dycos2cos222cos2cos
xxxsenxsendx
dycos2cos22
4) xy 2tanln
SOLUCION:
x
dx
dx
xx
dx
d
xdx
dy2tan2tan
2
1
2tan
12tan
2tan
1 2/12/1
xx
xx
xdx
dy4csc2
2tan
2sec)2(2sec
2tan2
1 22
5) 2
4 xseney x
SOLUCION:
xxxx ex
senx
eedx
dxsen
xsen
dx
de
dx
dy 4444 422
cos2
1
22
2
42
cos2
1 44 xsene
xe
dx
dy xx
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 124
6) xseney x 310 10/
SOLUCION:
10/10/10/10/
10
133cos3103310 xxxx exsenxee
dx
dxsenxsen
dx
de
dx
dy
xsenexedx
dy xx 33cos30 10/10/
7) xxseny 2cos3
SOLUCION:
xsenxdx
dy223cos3
8) 2tan xy
SOLUCION:
22222 sec2sec xxxdx
dx
dx
dy
9) )21cot( 2xy
SOLUCION:
2222222 21csc4421csc2121csc xxxxxdx
dx
dx
dy
10) xy 3sec
SOLUCION:
2/122
tansecsec3secsec3 xdx
dxxxx
dx
dx
dx
dy
xxxdx
dytansec
2
3 3
11) senxxy 2
SOLUCION:
xsenxxxxsenxxxxdx
dsenxsenx
dx
dx
dx
dy2cos)2(cos 2222
12) )23(tan2 xy
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 125
SOLUCION:
)23()23(sec)23tan(2)23tan(23tan2 2 xdx
dxxx
dx
dx
dx
dy
)23(sec)23tan(6 2 xxdx
dy
EJERCICIOS: Calcular las derivadas de las siguientes funciones
trigonométricas
1) xseny 2
2
1 SOL. xsenx
dx
dycos
2) xy 2cos SOL. x
xsen
dx
dy
2cos
2
3) 3 3tan xy SOL. 3/2
2
3tan
3sec
x
x
dx
dy
4) x
ysec
4 SOL.
x
x
dx
dy
sec
tan2
5) xxy cos SOL. xsenxxdx
dy cos
6) xxseny cos2 SOL. xsenxsenxxdx
dy2cos2cos2
7) senaxy ln SOL. axay cot´
8) xy 2cosln SOL. xy 2tan´
9) xey x 2cos SOL. xxseney x 2cos22´
10)
2tanln
xy SOL.
2sec
2cot
2
1 2 xx
dx
dy
11) senx
senxy
1
1ln SOL. xy sec´
12) senxy SOL. senx
x
dx
dy
2
cos
13) x
seny2
SOL. 2
2cos2
x
x
dx
dy
14) )23(2 xseny SOL. 463 xsendx
dy
15) xxseny 2tan2
1 SOL. xsen
dx
dy2
16) 2/3
12sec
1
xy SOL.
2/512sec
2tan2sec3
x
xx
dx
dy
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 126
17) x
xy
2cot1
2tan
SOL.
2
2
2cot1
4csc42sec2
x
xx
dx
dy
18) senxxxsenxxy 2cos22 SOL. xxy cos´ 2
19) xseny 24
1 4 SOL.
20)
xxxy 3cos
5
13cos
11
13cos 33/2 SOL.
21) 72cos2cos14
3 23 xxy SOL.
22) 3)12(cos12cos6
1 2 xxy SOL.
23) xxxy tantantan3
1 23 SOL.
24) xxx
y 2
tan22
tan3
2 3 SOL.
25) xxxx
y 3
cot33
cot3
cot5
3 35 SOL.
26) 2
sec5
2 5 xy SOL.
27) 2
2
1xseny SOL.
28) )( 22 xseny SOL.
29) xsen
xseny
31
31
SOL.
30) x
xy
2cos1
2cos1
SOL.
31) xxy cos4 2
32) xsenxxy 66cos 23
33) xxsenxxy cos22
34) xxsenxxxy cos22cos2
35) xxy 2tan2sec3
36) 1cot
1
xy
36) 11cos xsenxxy
37) xsenxxxy cos
38)
x
xsen
y
2
1cos1
2
1
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 127
39) 44cos
4tan
x
xy
40) senx
xy
1
cot
41) xxy 2sec2sec3
1 3
42) xxy 22 tansec
43) xxseny 23 cos2
44) senx
xy
1cos
4.5 Derivadas de funciones trigonométricas Inversas
EJEMPLOS: Calcular las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas inversas. 1) xarcsenxy
SOLUCION:
arcsenxdx
dx
xx
dx
dxarcsenxarcsenx
dx
dx
dx
dy
21
1
arcsenxx
x
dx
dy
21
2) 4
cotx
arcxy
SOLUCION:
2/1
4cot
4cot x
dx
dxarc
xarc
dx
dx
dx
dy
2/1
2 2
1
4cot
4
41
1x
xarc
x
dx
d
xx
dx
dy
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 128
4
cot2
1
4
1
16
16
1
4cot
2
1
4
1
161
122
xarc
xxx
xarc
xxx
dx
dy
4
cot2
1
16
4
4cot
2
1
16
16
4 22
xarc
xx
xxarc
xx
x
dx
dy
3) 2arccos xy
SOLUCION:
44
2
4 1
22
1
1
1
1
x
xx
xx
dx
d
xdx
dy
4) 23arctan xy
SOLUCION:
4
2
22 91
63
31
1
x
xx
dx
d
xdx
dy
5)
x
xarcy
1
1cot
SOLUCION:
2
2
221
)1(1)1(1
1
11
1
1
1
1
11
1
x
xx
x
xx
x
dx
d
x
xdx
dy
222
2
2
2
221
2
11
1
1
11
1
11
1
xxx
x
x
xx
x
xxdx
dy
22 1
1
22
2
xxdx
dy
6) 211
csc xx
xarcy
SOLUCION:
)1(12
11csc
1
111
1 22/12
2
xdx
dx
xarc
xdx
d
xx
xdx
dy
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 129
2222
2
2 111
11
12
21csc
1
11
1
x
x
x
x
x
xx
x
xarc
x
x
x
x
xdx
dy
x
arcx
x
x
x
x
x
xarc
x
x
xdx
dy 1csc
111
1csc
1
1
2222
2
x
arcdx
dy 1csc
EJERCICIOS: Calcular las derivadas de las siguientes funciones
trigonométricas inversas
1) a
xy arccos SOL.
22
1
xadx
dy
2) a
xarcy sec SOL.
22 axx
a
dx
dy
3) a
xarcy cot SOL.
22 xa
a
dx
dy
4) x
arcy1
sec SOL. 21
1
xdx
dy
5) xarcy 2csc SOL. 14
1
2
xxdx
dy
6) xarcseny SOL. 22
1
xxdx
dy
7) xxarcseny 2 SOL. xarcsenx
x
dx
dy2
41
2
2
8) xxy arccos2 SOL. 2
2
1arccos2
x
xxx
dx
dy
9) a
xarcsenaxaxy 222 SOL. 222 xa
dx
dy
10) a
xaarcsenxaxf 22)( SOL.
xa
xaxf
)´(
11) 222)( xaxa
xarcsenaxf SOL.
22
22)´(
xa
xxf
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 130
12) a
xarcsen
xa
xy
22 SOL.
2/322
2
xa
x
dx
dy
13)
ax
xay
1arctan SOL.
21
1
xdx
dy
14) xarcseny 3 SOL. 291
3
xdx
dy
15) 2
arccosx
y SOL. 24
1
xdx
dy
16) x
y3
arctan SOL. 9
32
xdx
dy
17) )1( xarcseny SOL. 22
1
xxdx
dy
18) x
xy2
arccos2 SOL.
4
12arccos2
2xxx
dx
dy
19) 2
sec2
142
2 xarc
x
xy
SOL.
4
8
23
xxdx
dy
20)
2
2xarcseny SOL.
21)
2
2
x
xarcseny SOL.
22)
32
3
2
1 2xarcseny SOL.
23)
3
32arccos
xy SOL.
24)
3
13arccos
xy SOL.
25) xxy 2arctan 2 SOL.
26)
1
2cot
2x
xarcy SOL.
27) x
xarcy
1cot SOL.
28)
2
2sec
xarcy SOL.
29)
xxarcy
1sec SOL.
30) 22 11 xxxarcseny SOL.
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 131
31) 2
xarcseny SOL.
32) x
y1
arctan SOL.
33) 2cot xarcy SOL.
34) xarcy sec SOL.
35)
2
2 1
x
xarcseny SOL.
4.6 Derivada de funciones Implícitas
FUNCION IMPLICITA: Cuando una ecuación, definida en el campo de variación de sus variables se escribe en la forma 0),( yxf se dice que y es una función
implícita de x
EJERCICIOS:
1) xseny 2cos SOL. y
xsen
dx
dy
cos
22
2) xy 2tan3cos SOL. ysen
x
dx
dy
33
2sec2 2
3) yxsenyx cos SOL. yxxseny
yxy
dx
dy
cos
coscos
4) xysenxy arctan2 SOL.
121
cos11´
2
22
ysenxx
xyxy
5) 423 yxyx SOL.
6) )(xyseny
7) 222 xyyx
8) 1cos2 ysenx
9) xyxseny cos
10) 133 yxyx
11) xysenyx
12) xyyxsen 2cos2
13) 2ln3 2 xyxy
14) 31ln2 yxxe y
15) 2 xy yexe
16) 01coscos xyyx
17) xyyx 833
18) 111
yx
19) 4 yx
20) 532 33 xyyx
21) 2222 yxyx
22) 4cscsec 22 yx
23) ysenxyx )cos(
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 132
24) 03 32 yxyx
25) 0349 22 yxyx
26) 16 yxxy
27) yxyxy 22
28) xyxseny cos
MISCELANEA DE EJERCICIOS I) Derivar las siguientes funciones
1) xsenx
xsenxy
cos
cos
2) xey x cos
3) 1ln xy 4) 1
232
3
x
xxy
5)
x
xarcy
1
1cot 6) )arccos()( 22 xxarcseny
7) xxsenxxy cos22 8) xsenxy 32
9)
x
xy
211ln 10)
1
12ln
3
12
2
xx
xxy
11) 12
x
xy 12) xxy 3tan2
13) xxsenxy cos 14) 2
2
4
4ln
x
xy
15)
1ln 2xxy 16) x
xy
4csc1
4csc1
17) xx
xx
ee
eey
18)
1
1ln
x
x
e
ey
19) xsen
xy
41
4cos
20) )cos( xsenxsenxy
21) xey 2cos 22) )sec( 2xey
23) )13(cot3 xy 24) xy 4tan
25) )3ln(tan xy 26) 13 2 xxy
27) )5(cot3 xy 28) 21 xxy
29)
xxy
1tan2 30) senxxseny
31) 32
1
x
xy 32) x
xy 4cos
1
33) )13cos(3 xy 34) xxy 2cos22cos1 2
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 133
35) xxy 3cot3csc 36) xsen
xseny
51
51
36) xxy tan 37) senxxxy cos
38) 2
12
2
xx
xy 39)
2
2 1cot
xxxy
40) x
xy
3cot1
3cot
41)
senx
xy
1
cos
42) xx
y2tan
1
2cos
4 43)
x
x
x
xy
2cos
2cos
II) Demuestre lo que se pide en cada caso.
1) Si xxey demuestre que yxxy )1(´
2) Si 2/2xxey demuestre que yxxy )1(´ 2
3) Si xxy 22 demuestre que xydx
dyx 2
4) Si 14 2 xy demuestre que 04 xdx
dyy
5) Si axxy 2 demuestre que ´222 xyyyx
III)Derivar implícitamente las siguientes funciones.
1)
y
xxy arctan 2) xyx tan 3)
yx
yxy
3
4) yxe y 5) 1ln / xyex 6) ay
xy ln
7) xy yx 8) xsenxy )( 9) 2xxy
10) senxxy 11)
x
xy
11 12) 1cos xyxseny
13) 32 xxee yxy 14) xyexarcsenyx 2
15) 532 33 xyyx 16) ysenxyx )cos( 17) 034ln2
x
y
xy
18) )ln( yxy 19) )arctan()ln( xyyx 20) yxy cos2
21) yx xeye 2
cot 22) yxy tan 23) yxy sec1 22
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 134
EJERCICIOS REPASO
1) xy 4 SOL. x
y
42
1`
2) xxy 33 SOL. xx
xy
32
33`
3
2
3) xey 1ln SOL. x
x
e
ey
1`
4) x
xy22 SOL.
2
22`
xxy
5) )3( xsenxy SOL. )3cos(31` xy
6) 3
4 14
x
xy
SOL.
4
34`
xy
7) xsen
ey 3
1
SOL.
xsen
exy 3
1
3
1cos
3
1`
8) 4lnsec xy SOL. 44 lntanlnsec4
` xxx
y
9) 24tan xy SOL. 2
22
4tan
4sec4`
x
xxy
10) 21
3
xy
SOL.
2/321
3`
x
xy
11) 1ln 2 xy SOL. 1
`2
x
xy
12) 21ln xy SOL. 21
2`
x
xy
13) senxey SOL. senx
xey
senx
2
cos
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 135
UNIDAD V
APLICACIONES DE LA DERIVADA
5.1 Máximos y mínimos DEFINICION: Sea f una función definida en un intervalo I y sean 1x y 2x dos
números que están en I .
1) f es creciente en I si )()( 21 xfxf siempre que 21 xx
2) f es creciente en I si )()( 21 xfxf siempre que 21 xx
3) f es constante en I si )()( 21 xfxf para todo 1x y 2x .
Como se muestran el la siguiente figura.
DEFINICION: Sea f una función definida en un intervalo I y sea c un numero en
I . 1) )(cf es el máximo( o valor máximo ) de f en I si )()( cfxf para todo x
en I . 2) )(cf es el mínimo ( o valor mínimo) de f en I si )()( cfxf para todo x en
I . Como se muestra en la figura:
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 136
TEOREMA: Si una función f es continua en un intervalo cerrado ba, , entonces
f alcanza un mínimo y un máximo por lo menos una vez en ba, .
DEFINICION: Sea c un numero en el dominio de una función f .
1) )(cf es un máximo local de f si existe un intervalo abierto ),( ba que contiene
a c talque )()( cfxf para todo x en ),( ba .
2) )(cf es un mínimo local de f si existe un intervalo abierto ),( ba que contiene
a c tal que )()( cfxf para todo x en ),( ba .
Como se muestra en la figura.
TEOREMA: Si una función f tiene un máximo local o un mínimo local en un
numero c de un intervalo abierto, entonces 0)`( cf o bien )`(cf no existe.
COROLARIO: Si )`(cf existe y 0)`( cf , entonces )(cf no es ni un máximo local
ni un mínimo local de la función.
TEOREMA: Si una función f es continua en un intervalo cerrado ba, y alcanza
su máximo o su mínimo en un numero c del intervalo abierto ba, , entonces
0)`( cf o bien )`(cf no existe.
DEFINICION: Un número c en el dominio de una función f se llama número
crítico de f si 0)`( cf o bien )`(cf no existe.
TEOREMA DE ROLLE: Si una función f es continua en un intervalo cerrado
ba, , derivable en el intervalo abierto ba, y )()( bfaf , entonces existe al
menos un numero c en ba, tal que 0)`( cf .
COROLARIO: Si f es continua en un intervalo cerrado ba, y )()( bfaf ,
entonces f tiene al menos un numero critico en el intervalo abierto ba, .
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 137
TEOREMA DEL VALOR MEDIO: Si una función f es continua en un intervalo
cerrado ba, y derivable en el intervalo abierto ),( ba , entonces existe un numero
c en ),( ba tal que
ab
afbfcf
)()()`(
Como se muestra en la figura:
5.1.1 Criterio de la primera derivada TEOREMA: Sea f una función que es continua en un intervalo cerrado ba, y
derivable en el intervalo abierto ),( ba .
1) Si 0)`( xf para todo x en ),( ba , entonces f es creciente en ba, .
2) Si 0)`( xf para todo x en ),( ba , entonces f es decreciente en ba, .
Como se muestra en la figura siguiente.
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 138
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA: Sea f una función que es continua en un número critico c y derivable en un
intervalo abierto I que contiene a c , excepto posiblemente en c mismo.
1) Si `f cambia de positiva a negativa en c, entonces )(cf es un máximo
local de f .
2) Si `f cambia de negativa a positiva en c , entonces )(cf es un mínimo
local de f .
Como se muestra en la figura.
TEOREMA DE LOS PUNTOS CRITICOS: Sea f definida en un intervalo I que
contiene al punto c . Si )(cf es un valor extremo, entonces c debe ser un punto
crítico; es decir, c es alguno de los siguientes puntos: a) un punto fronterizo de I ; b) un punto estacionario de f ; es decir, un punto en donde 0)`( cf
c) un punto singular de f ; esto es, un punto en donde )`(cf no existe.
EJERCICIOS: Use el criterio de la primera derivada para hallar los máximos y mínimos.
1) 3159 23 xxxy . SOL. )10,1(Max , )22,5min(
2) 24 2xxy SOL. )1,1(Max , )0,0min(
3) 28 24 xxy SOL. )2,0(Max , )14,2min(
4) 163 24 xxy SOL. )2,1(Max , )25,2min(
5) xxy 123 SOL. )65,5(Max , )16,2min(
6) 596 2 xxy
7) 4202 23 xxxy SOL. )32,2(Max , )17,66.1min(
8) 5523 xxxy SOL.
3.1,
3
5Max , )8,1min(
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 139
9) 3232)( xxxf SOL. )6,2(Max , )2,0min(
10) 862
1
3
1)( 23 xxxxf SOL.
2
43,3Max ,
3
2,2min
11) 4432)( 234 xxxxxf SOL.
16
81,
2
1Max , )0,2min( , )0,1min(
12) 2212)( xxxf SOL. 128,2Max , 0,6min
13) 31292)( 23 xxxxf SOL. 2,1Max , 1,2min
14) 71232)( 23 xxxxf
15) 433
1)( 23 xxxxf
5.1.2 Criterio de la segunda derivada DEFINICION: Sea f una función que es derivable en un numero c .
1) La grafica de f tiene concavidad hacia arriba en el punto ))(,( cfcP si
existe un intervalo abierto ),( ba que contiene a c , tal que en ba, la grafica de f
esta por encima de la recta tangente en P. 2) La grafica de f tiene concavidad hacia abajo en el punto ))(,( cfcP si
existe un intervalo abierto ),( ba que contiene a c tal que en ba, la grafica de f
esta por debajo de la recta tangente en P. Como se muestra en las figuras.
Concavidad hacia arriba.
Concavidad hacia abajo
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 140
PRUEBA DE LA CONCAVIDAD: Sea f una función derivable en un intervalo abierto que contiene a c , talque
)``(cf existe.
1) Si 0)``( cf , la grafica tiene concavidad hacia arriba en ))(,( cfcP .
2) Si 0)``( cf , la grafica tiene concavidad hacia abajo en ))(,( cfcP .
DEFINICION: Sea f derivable en un intervalo abierto I . Decimos que f (al igual
que su grafica) es cóncava hacia arriba (cóncava) en I , si `f es creciente en
I ; y decimos que f es cóncava hacia abajo (convexa) en I , si `f es
decreciente en I .
DEFINICION: Un punto ))(,( kfkP en la grafica de una función f es un punto
de inflexión si ``f existe en un intervalo abierto ),( ba que contiene a k y ``f
cambia de signo en k .
Como se muestra en la siguiente figura.
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 141
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA: Sea f una función derivable en un
intervalo abierto que contiene a c y tal que 0)`( cf
1) Si 0)``( cf , entonces f tiene un máximo local en c .
2) Si 0)``( cf , entonces f tiene un mínimo local en c .
Como se muestra en la figura.
EJERCICIOS: Use el criterio de la segunda derivada para calcular los máximos
y mínimos, los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad.
1) 35 5)( xxxf ,
SOL. Máximo local 36,3 , mínimo local 36,3 , Cóncava hacia abajo
2
6. ,
2
6,0 , cóncava hacia arriba
0,
2
6,
,
2
6
2) 12)( 23 xxxxf
Matemáticas I
L. M. Clemente Hernández Santiago Página 142
SOL. Máximo local
27
31,
3
1, mínimo local 1,1 , Cóncava hacia abajo
3
2. ,
cóncava hacia arriba
,
3
2 abscisa de punto de inflexión
3
2
3) 643)( 34 xxxf
SOL. mínimo local 5,1 , Cóncava hacia abajo
3
2,0 , cóncava hacia arriba 0,
y
,
3
2, las abscisas de los puntos de inflexión son 0 y
3
2.
4) 22 1)( xxf
SOL. Máximo local 1,0 , mínimo local )0,1( y 0,1 , Cóncava hacia abajo
3
1,
3
1, cóncava hacia arriba
3
1, y
,
3
1
Las abscisas de los puntos de inflexión son 3
1 .
4) Determine la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de la función
71212103)( 234 xxxxxf . SOL. Puntos de inflexión
27
322,
3
1 y
63,2
5) Use el criterio de la segunda derivada, para calcular, los máximos y mínimos, puntos de inflexión, e intervalos de concavidad.
a) xxxxf 96)( 23 . SOL. 4,1Max , 0,3min
b) 32 231210)( xxxxf SOL. 17,1Max , 10,2min
c) 422)( xxxf SOL. 1,1Max , 0,0min
d) 234 1243)( xxxxf SOL. 0,0Max , 5,1min , 32,2
e) 45 5)( xxxf SOL. 0.0Max , 256,4min
6) Determine los intervalos en los cuales la función dada es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo y trace la grafica.
a) 433
1)( 23 xxxxf
b) 12634)( 23 xxxxf
c) 243)( 34 xxxf
7)
4
5)(
2
xx
xf
8) 512)( 3 xxxf SOL. )11,2(Max , )21,2min(
9) 104)( 34 xxxf
10) 3
12
23)(
23
xxx
xf
Matemáticas I
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11) 424
)( 24
xx
xf
12) 714
9)( 23/1 xxxf
13) 33)( 3 xxxf
14) 362)( 23 xxxf
15) 32691)( xxxxf
16) 46)( 24 xxxf
5.2 Aplicaciones de Máximos y mínimos EJERCICIOS: 1) Determine el área máxima posible de un rectángulo con diagonales, cada una, de longitud 16. SOL. 128 2) un recipiente cilíndrico sin tapa debe tener un volumen de 250 cm3 . El material del fondo del recipiente cuesta 4 centavos el cm2; el del lado curvo cuesta 2 centavos el cm2. ¿Qué dimensiones minimizaran el costo total del recipiente?
SOL. 35 r cm; 310 h cm
3) se requiere construir una caja de base cuadrada y sin tapa que tenga un volumen de 4 dm3 . Encuentre las dimensiones que minimizan la cantidad de material necesario (desprecie el espesor del material y lo que se desperdicia en la construcción). SOL. Base 2 pies; altura 1 pie. 4) una cerca de 8 pies de alto al nivel del suelo va paralela a un edificio alto (véase la figura). La cerca dista un pie del edificio. Calcule la longitud de la escalera más corta que se puede apoyar entre el suelo y el edificio por encima de la reja (sugerencia: utilice triángulos semejantes).
SOL. 2.1155 pie.
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5) determine las dimensiones del rectángulo que se puede inscribir en un semicírculo del radio A de manera que dos de sus vértices estén sobre el diámetro (véase la figura).
SOL. ab 2 ; 2
ah
6) Calcule el volumen de un cono circular recto mas grande que se puede inscribir en una esfera de radio a.
SOL. 3
81
32a
7) Una larga lamina rectangular de metal de 12 pulgadas de ancho, se va a convertir en un canalón para lluvia doblando dos lados hacia arriba, de manera que queden perpendiculares al resto de la lamina. ¿De cuantas pulgadas debe ser lo doblado para dar al canalón la máxima capacidad?
SOL. 3 pulgadas
8) Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de una hoja rectangular de cartón de 16 cm de ancho y 21 cm de largo, recortando un cuadrado en cada esquina y doblando los lados restantes hacia arriba. Calcular el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen máximo.
SOL. 3cm
9) Se desea elaborar un pequeño recipiente cilíndrico, sin tapa que tenga un
volumen de 24 3cm . El material que se usa para la base cuesta tres veces mas que el que se emplea para la parte cilíndrica. Suponiendo que en la construcción no se desperdicia material, evaluar las dimensiones para las que es mínimo el costo del material de fabricación.
SOL. 2r cm ; cmh 6
10) Calcular el volumen máximo del cilindro circular recto que se puede inscribir en un cono de 12 cm de altura y 4 cm de radio en la base, de manera que los ejes del cilindro y del cono coincidan.
SOL. h = 4 cm, 3
8r ; 34.89 cmV
11) Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal sin tapa que tenga una
capacidad de 31m . Encuentre las dimensiones que debe tener para que la cantidad de material por metro cuadrado sea mínima, suponiendo que no se desperdicia nada en la construcción.
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SOL. 3
1
hr
12) Se desea construir un tanque de acero con la forma de un cilindro circular recto y semiesferas en los extremos para almacenar gas propano. El costo por pie cuadrado de los extremos se el doble que el de la parte cilíndrica. ¿Qué
dimensiones minimizan el costo si la capacidad deseada es de 10 3pie ?
SOL. 2
153
r , 3 152h
13) Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado por un triangulo equilátero. Encuentre las dimensiones del rectángulo para el cual el área de la ventana es máxima, si el perímetro de la ventana debe ser de 12 pie ?
SOL. 63
12
x ,
63
1836
y
14) Suponiendo que la resistencia de una viga de sección transversal rectangular es directamente proporcional a la anchura y al cuadrado de la profundidad, ¿Cuáles son las dimensiones de la viga de mayor resistencia que puede aserrarse de un tronco redondo de diámetro d ?
SOL. 3
dx , dy
3
2
15) Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado del solar de un vecino. Y
ha de tener un área de 10800 2m . Si el vecino paga la mitad de la cerca mediadera, ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la huerta para que el costo de cercarla sea para el dueño de la huerta el mínimo? SOL. 90 x 120. 16) Hallar el diámetro de un bote cilíndrico de hojalata de un litro de capacidad, para que en su construcción entre la menor cantidad de hojalata, a. Si el bote es abierto por arriba b. Si el bote tiene tapa.
SOL. a) 3
1
h dm, 3
8
d dm
b) 34
d dm = h
17) El área lateral de un cilindro circular recto es de 4 2m . Del cilindro se
corta un hemisferio cuyo diámetro es igual al diámetro del cilindro. Calcular las dimensiones del cilindro para que el volumen que queda sea un máximo o un mínimo. SOL. 2h , d = 2.
18) La rigidez de una viga rectangular es proporcional al producto de la anchura por el cubo del espesor. Calcular las dimensiones de la viga mas rígida que pueda cortarse de un trozo cilíndrico de radio a .
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SOL. 3ay , ax
19) Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Halle las dimensiones de la ventana que permiten admitir más luz, suponiendo que el perímetro debe ser de 5 m.
20) Se desea construir un almacen con un volumen de 100 3m que tenga techo plano y base rectangular cuya anchura sea de ¾ partes de su longitud. El costo
por 3m de los materiales es de 36 dolares para el piso, 54 para los lados y 27 para el techo. ¿Qué dimensiones minimizan el costo? Sol 6.43, 4.83 y 3.22 21) Se desea construir un vaso de papel en forma de cono circular recto que
tenga un volumen de 36 3cm . Encuentre las dimensiones que requieren menor
cantidad de papel. 22) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la grafica de
3542 23 xxxy , en el punto )2,1( P . SOL. 119 yx
23) Encuentre una ecuación para la recta tangente en el punto )3,2( P para la
función 012 323 yyxx . SOL 032336 yx
24) Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen
de 32000 3cm . Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de
material usado. SOL. 40cm y 20cm 25) Un recipiente rectangular para almacenamiento con la parte superior
abierta, debe tener un volumen de 10 3m . El largo de su base es el doble del
ancho. El material para la base cuesta 10 dólares por 2m . El material para los
costados es de 6 dólares el 2m . Encuentre el costo de los materiales para tener el
más barato de esos recipientes. SOL. 1.65m y 3.33m
26) Un recipiente cilíndrico sin tapa debe tener un volumen de 250 3cm . El
material del fondo del recipiente cuesta 4 centavos el 2m , el lado curvo cuesta 2
centavos el 2m . ¿Qué dimensiones minimizarán el costo total del recipiente?
SOL. r= 3.4 ; h = 6.884
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5.3 Rapidez de variación relacionada Recordemos que el cociente:
mh
xfhxf
x
y
)()(
Representa a la pendiente de la recta secante, como se muestra el la figura. Ahora, si suponemos que los puntos P y Q representan las posiciones de un móvil para diferentes tiempos, entonces el cociente anterior representa la velocidad media del móvil.
Velocidad media = h
xfhxf
x
y )()(
De manera semejante, el límite del cociente anterior representaría la velocidad instantánea del móvil.
Velocidad Instantánea = h
xfhxfxf
h
)()(lim)`(
0
DEFINICION: Sea P un punto sobre una recta coordenada l tal que su posición al
tiempo t esta dada por )(ts , donde s es una función derivable.
1) La velocidad )(tv de P al tiempo t es )`()( tstv .
2) La rapidez de P al tiempo t es )(tv .
3) La aceleración )(ta de )(tP al tiempo t es )``()`()( tstvta
P
Q
1x 2x
)( 1xf
)( 2xf
12 xxx
)()( 12 xfxfy
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EJERCICIOS: 1) Una piedra lanzada a un estanque en el instante t = 0 segundos causa una onda circular que viaja fuera del punto de impacto a razón de 5 m/s ¿A que razón (en metros cuadrados/segundo) crece el área dentro del circulo cuando t= 10? 2) El radio de un círculo aumenta a razón de 2 pulgadas por segundo. ¿Con que razón aumenta su área cuando el radio es de 10pulgadas?
SOL. 40 segpul /2
3) Cada arista x de un cuadrado aumenta a razón de 2 pulgadas/segundo. ¿Con que razón aumenta el área A del cuadrado cuando cada arista mide 10pulgadas?
SOL. 40 segpu /lg 2
4) Un bloque cúbico de hielo se funde de modo que su arista decrece 2pulgadas cada hora. ¿Con que razón decrece su volumen cuando cada arista mide 10
pulgadas?. SOL. hrpul /600 3
5) El aire sale de un globo esférico a razón constante de 300 segcm /3 ¿Cuál es
el radio del globo cuando su radio decrece a razón de 3 cm/segundo? SOL. 5 cm 6) Una niña comiera a correr de un punto A hacia el este, a 3 m/s. un minuto después, otra niña sale corriendo desde A hacia el Norte a 2 m/s. Cual es la rapidez de variación de la distancia entre las niñas 1 minuto más tarde. 7) Un hombre que esta en un muelle tira una cuerda atada a la proa de un vote que se halla a 30 cm sobre el nivel del agua. La cuerda pasa sobre una polea simple que se encuentra en el muelle a 2 m del agua (véase en la figura). Si tira de la cuerda a razón de 1 m/s, ¿con que rapidez se acerca el bote al muelle en el momento en el que la proa esta a 6 m del punto sobre el agua que se encuentra directamente abajo de la polea.
8) Un niño que hace volar una cometa sostiene el cordel a 5 ft del suelo y lo va soltando a razón de 2 ft/s, mientras la cometa se mueve en horizontalmente a un altura de 105 ft (véase en la figura). Suponiendo que el hilo se mantiene recto, encuentre la rapidez con la que se mueve la cometa cuando se han soltado 125 ft
del hilo. SOL. 3
10 pie / seg
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9) Cuando dos Resistencias R1 y R2 se conectan en paralelo, la resistencia total R esta dada por 1/R=(1/R2) + (1/R2). Si R1 y R2 aumentan a razón de 0.01 Ω/s (ohms por segundo) y 0.02 Ω/s respectivamente ¿a razón de cuantos ohms por segundo
varia R en el momento en que R1=30Ω y R2=90Ω?. SOL 1600
11 Ohms/ seg
10) Dos automóviles A y B viajan hacia un cruce o intersección por carreteras perpendiculares. A se desplaza a 40 km/h, y B, a 80 km/h. En cierto momento A esta a 400m de la intersección y B a 800m. Calcule la rapidez con que los automóviles se acercan en ese momento. 11) Un montón de basura de forma cúbica, esta siendo prensado. Sabiendo que el volumen decrece a razón de 2 metros cúbicos por minuto. Hallar la tasa de variación de una arista del cubo cuando el volumen es exactamente 27 metros cúbicos.
12) Una escalera de 20 pies de largo esta apoyada contra la pared de un edificio.
La base de la escalera se desliza horizontalmente a razón de 10 pie/ seg. ¿Con que rapidez resbala el otro extremo de la escalera cuando se
encuentra a 12 pies del suelo?. SOL. segpie /3
40
13) En lo alto de un farol brilla una luz a 25 pies del suelo. Un hombre con una estatura de 6 pies se aleja caminando desde el farol.
a) ¿Cuál es la longitud de su sombra cuando està a 40 pies de distancia respecto a la base del farol?.
b) Si camina a razón de 5 pies por segundo, ¿a que velocidad aumenta su sombra en ese punto?
SOL. a) 19
240 pies, b)
19
30 pie / seg
14) Una partícula se mueve de tal forma que en el instante t , la distancia esta
dada por tttS 2)( 3 . ¿En que momento la aceleración es igual a 1 y 0 ?
15) Un cubo se expande de tal forma que su arista cambia a razón de 5 pulgadas por segundo. Cuando su arista es de 4 pulgadas, hallar la razón de cambio del volumen.
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SOL. 240 segpu /lg3
16) Una esfera crece de tal forma que su radio aumenta a razón de 1 pulgada por segundo. ¿A que velocidad cambia su volumen cuando su radio es de 3 pulgadas?
SOL. 36 segpu /lg3
17) En lo alto de un farol brilla una luz a 20 pies del suelo. Una mujer con una estatura de 5 pies se aleja caminando desde el farol. Hallar la razón en que aumenta su sombra si se aleja a razón de: a. 4 pie/seg b. 3 pie/seg 18) Un lado de un triangulo rectángulo decrece a razón de 1 pulgada por minuto, mientras que el otro lado aumenta a razón de 2 pulgadas por minuto. En cierto momento el primer lado tiene 8 pulgadas y el segundo 6 pulgadas. ¿A que velocidad esta aumentando el área después de 2 minutos? 19) La longitud del lado de un cuadrado aumenta a razón de 3 pulgadas por segundo. Hallar la velocidad a la que el área aumenta cuando el lado tiene 15 pulgadas de longitud.
SOL. 90 segpu /lg 2
20) Una escalera se encuentra apoyada contra una pared vertical. La escalera tiene 17 pies de longitud. Si la parte inferior de la escalera se aleja respecto de la base de la pared a razón de 3 pies por segundo, ¿a que velocidad esta decreciendo su parte superior cuando el extremo inferior se encuentra a 8 pies de la pared ? SOL. -1.6 pie/ seg 21) Un depósito de 10 pies de altura tiene la forma de un cono con el vértice hacia abajo. El radio de la parte superior es de 4 pies. Se le hecha agua a razón de 5 pies cúbicos por minuto. ¿ A que velocidad se esta elevando el agua cuando la profundidad de ésta es de 5 pies?
SOL. pies4
5
22) Una escalera de 20 pies de largo esta apoyada contra la pared de un edificio, la base de la escalera resbala alejándose de la pared a razón de 3 pies/seg. ¿Con que rapidez desciende el extremo superior de la escalera cuando se encuentra a 8 pies del piso? SOL. 23) Un farol se encuentra en lo alto de un poste de 16 pies de altura. Un niño de 5 pies de estatura se aleja del poste a una velocidad de 4 pies/seg. ¿Con que rapidez se mueve la extremidad de su sombra cuando el se encuentra a 18 pies
del poste? SOL. 11
20 pie / seg
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24) Una bola esférica de nieve se derrite de manera que su radio disminuye con rapidez constante de 30 a 20 cm en 45 minutos.¿Cual era la rapidez de cambio del volumen en el momento en que el radio media 25 cm? SOL. -1745.33 cm/seg 25) Un incendio que comenzó en un terreno seco se extiende formando un circulo. El radio del circulo crece a razón de 1.8 m/min. Calcule la rapidez con que crece el área del círculo cuando el radio es de 45 m. SOL. BIBLIOGRAFIA:
1) Calculo con Geometría Analítica/ Earl W. Swokowsky 2) Algebra y Trigonometría / Earl W. Swokowsky 3) Calculo con Geometría Analítica / Dennis G. Zill 4) Calculo con Geometría Analítica / Edwards y Penney 5) Calculo de Una variable / James Stewart 6) Calculo de Una Variable / Thomas Finney 7) Calculo de Una Variable / Thomas 8) El Calculo / Leithol 9) Calculo I / Larson – Hostetler 10) Calculo / Purcell – Varberg 11) Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático / Demidovich 12) Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático / Berman 13) Calculo Diferencial e Integral / Piskunov 14) Calculo y Algebra Lineal / Kaplan y Lewis
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