Calculo Diferencial

CLCULO DIFERENCIAL

ALBERTO CAMACHOInstituto Tecnolgico de Chihuahua II (ITCh II)

Mxico

CLCULO DIFERENCIAL

Madrid Mxico Buenos Aires Bogot

Alberto Camacho, 2009

Reservados todos los derechos.

No est permitida la reproduccin total o parcial de este libro, ni su trata-miento informtico, ni la transmisin de ninguna forma o por cualquier me-dio, ya sea electrnico, mecnico, por fotocopia, por registro u otros mtodos,sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

Ediciones Daz de SantosE-mail: [email protected]://http:www.diazdesantos.es

ISBN: 978-84-7978-892-6Depsito legal: M. 50305-2008

Diseo de cubierta: ngel CalveteFotocomposicin e impresin: Fernndez CiudadImpreso en EspaaEncuadernacin: Rstica - Hilo

Dedico el presente trabajo a mis padres: doa Elvira Ros (q.e.p.d.) y don Juan Camacho.

AgradecimientosVarios de las fotografas e inserciones de fragmentos de texto pertenecen al dominio p-blico, en ese sentido es difcil seguir la huella de los herederos de los autores a quien sedebiera pedir el permiso de uso de los mismos.

1. Los oleos de Francisco Daz Covarrubias y Gabino Barreda pertenecen al Colegiode San Ildefonso, el segundo fue realizado por el pintor Juan Cordero, ambos,junto con otros, se encuentran en el colegio en saln conocido como el Generalito.

2. El retrato de Gaston Bachellard es un diseo Maria Elisa Cabral. Se encuentra en elCentre Bachellard y en la ruta http://www.u-bourgogne.fr/CENTRE-BACHE-LARD.

3. La cita de Francisco Daz Covarrubias, que aparece en el captulo 1, fue tomada desu libro de clculo llamado Anlisis Trascendente publicado por F. R Castaeda yL. G. Rodrguez en 1873, tomado de una edicin que posee el autor.

4. La cita de G. Barreda, del teorema que aparece al inicio del captulo 3, aparece en eldocumento llamado: Examen del Clculo Infinitesimal bajo el punto de vista lgi-co. Fue escrito por Barreda aproximadamente en 1870, y aparecido en la 3.a edicinde la Revista Positiva. Tipografa Econmica, Mxico 1908.

5. La figura 2.11, grfica de una parbola diseada por B. Bails, que aparece en la p-gina 67, se encuentra en el texto llamado Principios Matemticos, editado por laViuda de Ibarra en Madrid en 1789, de una edicin que posee el autor.

6. La portada del libro de texto llamado Clculo Infinitesimal de F. Echeagaray, ascomo la cita (se aprecia al inicio del captulo 2) fueron tomadas de la edicin de1897, de una edicin de la obra que posee el autor.

7. La tabla fsica 2.2, p. 50, fue tomada del libro de Humboldt, llamado Essai sur lagographie des plantes, de la edicin de Levrault, Shoell et Compagnie, 1805. De unaedicin de la obra que posee el autor.

8. Las fotografas de Alberto Barajas (en la introduccin), Sotero Prieto (al inicio delcaptulo 5) y Alfonso Npoles (al iniciar el captulo 6) pertenecen a la UNAM, seencuentran en la ruta http://www.matmov.unam.mx.

9. La portada del texto llamado Curso abreviado de anlisis (Vase al inicio del ca-ptulo 4) fue tomada de la edicin de 1912, escrita por Arturo Lamadrid, de una edi-cin de la obra que posee el autor.

10. El fragmento del texto de Historia de las matemticas escrito por Sotero Prieto fueeditado por el Instituto Mexiquense de la Cultura en 1991, vase al inicio del cap-tulo 5. Fue tomado de una edicin de la obra que posee el autor.

11. El fragmento de la pgina 145 del Analyse des infiniment petits de LHpital, escritoen 1696, fue tomado de una edicin de la obra que posee el autor.

12. El fragmento de la pgina 341 del desarrollo de una funcin en serie colocada en elTeatrise de MacLaurin, fue tomada de la primera edicin de la Encyclopdia Bri-tnica publicada en 1771.

PREFACIO ...................................................................................................... XVINTRODUCCIN ............................................................................................ XVII

Parte I. NMEROS REALES, FUNCIONES Y LMITES1. NMEROS REALES .................................................................................. 3

1.1. Clasificacin de los nmeros reales. Entre contar y medir .................. 31.1.1. Propiedades de los nmeros reales ............................................ 31.1.2. Operaciones con racionales e irracionales ................................ 41.1.3. La divisin por cero en los racionales ....................................... 71.1.4. Los nmeros reales como sucesiones ........................................ 8

1.2. Interpretacin geomtrica de los nmeros reales ................................. 151.2.1. Recta numrica .......................................................................... 151.2.2. Concepto de intervalo ............................................................... 18

1.3. Desigualdades lineales y cuadrticas. Propiedades .............................. 191.3.1. Nocin de orden ........................................................................ 191.3.2. Nocin de desigualdad .............................................................. 201.3.3. Propiedades de las desigualdades .............................................. 201.3.4. Solucin de desigualdades de primer orden .............................. 211.3.5. Desigualdades de segundo orden y desigualdades que contienen

cocientes .................................................................................... 251.4. Valor absoluto y sus propiedades ......................................................... 31

1.4.1. Concepto de valor absoluto y propiedades ................................ 311.4.2. Solucin de desigualdades con valor absoluto .......................... 32

2. FUNCIONES ............................................................................................... 412.1. Definicin de funcin ........................................................................... 41

2.1.1. Qu son las variables? ............................................................. 422.1.2. Variacin ................................................................................... 44

NDICE

2.2. Representacin de funciones: tablas, grficas, frmulas y palabras ........ 452.2.1. Variabilidad ............................................................................... 452.2.2. La funcin como la relacin de dependencia entre cantidades

variables .................................................................................... 462.2.3. La funcin desde el punto de vista de la teora de conjuntos

(opcional) ................................................................................. 462.2.4. Dominio y rango de una funcin ............................................... 472.2.5. Representacin de una funcin como una tabla de valores ....... 492.2.6. Variable biscuta y variable continua ........................................ 512.2.7. La funcin como una frmula ................................................... 522.2.8. Las funciones como expresiones analticas ............................... 53

2.3. Clasificacin de las funciones por su naturaleza: algebraicas y tras-cendentes .............................................................................................. 542.3.1. Funcin explcita y funcin implcita ....................................... 542.3.2. Funciones algebraicas ............................................................... 552.3.3. Funciones trascendentes ............................................................ 572.3.4. Grficas de funciones y sus propiedades .................................. 65

2.4. Aritmtica de las funciones .................................................................. 952.4.1. Operaciones con funciones: suma, resta, producto y cociente .. 952.4.2. Composicin de funciones ........................................................ 1002.4.3. Funciones inversas .................................................................... 105

2.5. Grfica de funciones trascendentes ...................................................... 1142.5.1. Funciones escalonadas .............................................................. 1142.5.2. Grfica de funciones trigonomtricas ....................................... 1152.5.3. Efectos a la funcin y a sen(bx c) ..................................... 121

2.6. Funciones trigonomtricas inversas ..................................................... 1272.6.1. Inversa de la funcin tangente ................................................... 1272.6.2. Inversa de la funcin seno ......................................................... 129

2.7. Sistemas orgnicos. Grficas y propiedades de las funciones expo-nencial y logartmica ............................................................................ 1322.7.1. Grfica de la funcin exponencial ............................................. 1342.7.2. La funcin logaritmo y sus propiedades ................................... 139

3. LMITES Y CONTINUIDAD ..................................................................... 1473.1. Definicin de lmite .............................................................................. 147

3.1.1. Lmite de una sucesin .............................................................. 1473.1.2. Lmite de una funcin ............................................................... 148

3.2. La existencia del lmite de una funcin ................................................ 1503.3. El lmite como una tolerancia .............................................................. 1563.4. La definicin formal del concepto de lmite ........................................ 157

3.4.1. Versin corta ............................................................................. 1633.5. Propiedades de los lmites .................................................................... 167

3.5.1. Clculo de lmites de frmulas irracionales .............................. 1713.6. Continuidad de funciones en un punto ................................................. 174

3.6.1. Discontinuidad removible ......................................................... 1783.6.2. Discontinuidad no removible .................................................... 1803.6.3. Discontinuidad de salto ............................................................. 181

3.7. Lmites al infinito ................................................................................. 184

XII NDICE

3.7.1. Discontinuidad al infinito .......................................................... 1843.7.2. Lmites infinitos, funciones racionales y discontinuidad .......... 1943.7.3. Asntotas oblicuas y asntotas curvas ........................................ 2073.7.4. Lmites especiales ..................................................................... 212

Parte II. DERIVADAS, APLICACIONES DE LA DERIVADA, SERIES Y SUCESIONES

4. DERIVACIN ............................................................................................. 2314.1. Definicin de la derivada ..................................................................... 232

4.1.1. Desarrollos binomiales .............................................................. 2324.1.2. Ecuacin de variaciones ............................................................ 2344.1.3. Estudio de la primera variacin. Derivacin por incrementos .. 2354.1.4. Frmulas bsicas ....................................................................... 2374.1.5. Derivada de las funciones suma, producto, cociente y compo-

sicin ......................................................................................... 2414.1.6. Derivacin y continuidad .......................................................... 247

4.2. Derivacin de las funciones trigonomtricas, logartmica, exponen-cial y trigonomtricas inversas ............................................................. 2514.2.1. Derivacin implcita .................................................................. 258

4.3. Primeros significados de la derivada .................................................... 2614.3.1. Interpretacin geomtrica de la derivada .................................. 2614.3.2. Los conceptos de diferencia, diferencial y derivada ................. 264

5. APLICACIONES DE LA DERIVADA ...................................................... 2735.1. La derivada como razn de cambio ..................................................... 2735.2. Posicin, velocidad y aceleracin. Tiro parablico ............................. 2815.3. La regla de LHpital ........................................................................... 2865.4. Mximos y mnimos ............................................................................. 289

5.4.1. La derivada como modelo de optimizacin .............................. 2895.4.2. Multiplicadores de Lagrange (opcional) ................................... 302

5.5. Anlisis y variacin de funciones ........................................................ 3055.5.1. Mximos y mnimos .................................................................. 3055.5.2. El teorema de Rolle ................................................................... 3085.5.3. El teorema del valor medio ....................................................... 3095.5.4. Definicin de punto de inflexin de una curva ......................... 3125.5.5. Anlisis de la variacin de funciones usando los criterios de las

tres primeras derivadas ............................................................. 317

6. SERIES Y SUCESIONES ........................................................................... 3376.1. Series de potencias ............................................................................... 337

6.1.1. Primera condicin necesaria de convergencia .......................... 3406.2. Serie de MacLaurin .............................................................................. 341

6.2.1. Segunda condicin suficiente de convergencia de DAlembert .. 3486.2.2. Mtodo de la divisin para determinar los desarrollos de fun-

ciones trigonomtricas: tangente, cotangente, secante, cosecan-te e inversas ............................................................................... 350

6.2.3. Intervalos de convergencia de derivadas racionales ................. 353

NDICE XIII

6.3. Serie de Taylor y su convergencia ....................................................... 3536.3.1. Demostracin de la proporcin [5-10] ...................................... 357

APNDICE ....................................................................................................... 363SOLUCIONARIO ............................................................................................. 369NDICE DE TRMINOS ................................................................................. 399

XIV NDICE

1 Camacho, A. (2005): Sistemas Sintticos. Sntesis de Conocimiento en los Manuales para la Ense-anza Cinta de Moebio. Revista Electrnica de Epistemologa de Ciencias Sociales. Universidad de Chile2005, n.o 22, marzo. Primer documento de la revista. http://www.moebio.uchile.cl/22/index.htm.

Camacho, A. (2007): Sistemas Sintticos. Sntesis de Conocimiento en los Manuales para la Ensean-za. En R. Cantoral, O. Covin, R. Farfn, J. Lezama y A. Romo (Eds.), Investigaciones sobre enseanza yaprendizaje de las matemticas: Un reporte Iberoamericano (pp. 471-492). Mxico DF, Mxico: Daz deSantos-Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa A.C.

Hace unos meses escrib un artculo en el que deje ver cmo los autores de librosde texto de clculo infinitesimal de los siglos XVIII y XIX, hicieron uso de recursospoco ortodoxos (nada semejantes a los actuales) para orientar y dar estructura meto-dolgica a la escritura de sus obras 1. La idea central que se observa con regularidad,en un buen nmero de documentos de los que hice anlisis, es una sntesis que hacanlos autores de las nociones principales de la matemtica, como aquella de cantidad,diferencial, infinito, cero, entre otras, que les daba para determinar una primera pro-posicin sinttica, con la cual era posible iniciar la escritura de su obra.

Esta caracterstica fue fundamental en la ciencia; as, en los Principia de Newton, lsintetiz la nocin de cantidad definindola como aquello que aumenta y disminuye,agregndole la siguiente proposicin: con movimiento uniforme. Algo semejante hizo Eu-

PREFACIO

No ocurra lo mismo durante el periodo pre-cientficodel siglo XVIII. Entonces el libro de ciencia era bueno o malo. No estaba controlado por la enseanza oficial.

G. BACHELARD, Epistmologie

GASTON BACHELARD (1884-1962)Diseo de Maria Elisa Cabral, a partir

de un retrato de Gaston Bachelard

ler en sus Principles de calcul; LHpital en el Analyse des infiniment petits, etc. En la en-seanza, la sntesis favoreci obras como Trait du calcul diffrntiel et integral de La-croix, los Principios de clculo infinitesimal de Bzout y, para la enseanza del clculo enMxico, el Anlisis trascendental de Francisco Daz Covarrubias. No obstante, la activi-dad de sntesis de obras cientficas tuvo un clmax que culmin a finales del siglo XIX.

En la actualidad, los argumentos de sntesis de conocimientos para dar estructura alos libros de texto no tienen importancia, e incluso son desconocidos por aquellos que sehan dedicado a su escritura a lo largo del siglo XX y lo que va del presente. No obstante,estas ideas se encuentran diluidas en los propios conceptos, como es el caso de la deri-vada y el lmite. Consecuentemente, los problemas que hoy los autores abordan para eldiseo de nuevas obras son de carcter didctico, y tienen que ver ms con los proble-mas de aprendizaje por parte de los estudiantes, a quienes se dirige el conocimiento.

Ante ello, el enfoque que he dado al presente libro es el de colocar diferentes sig-nificados en los conceptos ms importantes del curso de Clculo Diferencial, comoson el de derivada, lmite, funcin, etc., que considero pueden mejorar el entendi-miento de los estudiantes. En este rubro, mi punto de vista es que el conocimiento sig-nificativo no solamente se refiere a la parte fenomnica que modela el saber, como co-mnmente algunos le consideran, sino las diferentes caras o imgenes que el propioconocimiento a adquirido a lo largo de su definicin. De esta forma, planteo el con-cepto de funcin desde nociones cercanas a sta, poco consideradas por otros autores,como son las de variable, variacin y variabilidad, sin dejar de lado sus significadosya conocidos de frmula, dependencia, modelo, grfica, etc. Para el concepto de lmitehe agregado a sus definiciones comunes la nocin de tolerancia, que se usa comn-mente en los cursos de ingeniera, la cual sirve de puente para entender su definicinformal a travs de las cantidades psilon y delta. De la misma manera, la definicin desistema orgnico, en el segundo captulo, permite una mejor comprensin de las fun-ciones exponencial y logartmica. En lo que se refiere a la derivada, consigno para sudefinicin imgenes cercanas a sta, como son las de diferencia y diferencial.

Para dar definicin a los argumentos fundamentales he usado la regla que llamoecuacin de variaciones: f(x x) f (x) f (x)x B(x)2 C(x)3 como eje central que estructura la totalidad del texto.

El segundo captulo es vasto en destrezas para el diseo grfico de funciones; porello, he integrado anlisis ms especficos de cada una de las ms conocidas. Por suamplitud, he ubicado en el Apndice un diseo, serie de secuencias didcticas, paraque los estudiantes construyan grficamente las funciones trigonomtricas elementa-les de seno, coseno, tangente, etc., en actividades prcticas del aula, en equipos que alo ms les llevar un par de clases.

Con el objeto de reforzar los aprendizajes del curso, he agregado un nmero su-ficiente de problemas y actividades y ejercicios, a cada seccin de trabajo. Finalmente,he credo conveniente no hablar con la formalidad de la matemtica de teoremas, con-ceptos y objetos, as como demostraciones rgidas, puesto que el texto por s mismoest dirigido a estudiantes que cursan estos conocimientos en el nivel de ingeniera ypara los cuales importa ms entender stos desde la perspectiva de su carrera y no des-de el punto de vista de la matemtica formal. No obstante, desarroll demostraciones,opcionales, necesarias para dar continuidad al texto, a partir de las nociones psilon-delta, intentndolo mediante apoyos grficos y algebraicos en cada caso.

ALBERTO CAMACHO

XVI PREFACIO

Uno de los conceptos fundamentales en la enseanza del clculo es el de nmero.El concepto surgi en la antigedad griega utilizndolo como magnitudes de seg-mentos de lneas; esta nocin fue amplindose y generalizndose con el tiempo. En lapoca de la invencin del clculo, el nmero no se colocaba en una estructura num-rica como ahora lo conocemos. Ante ello, en las definiciones que surgieron de los pri-meros analistas o gemetras, as eran llamados matemticos de los siglos XVII alXIX, podemos percibir las formas de inicio de la definicin actual. Por ejemplo, New-ton los conceba como la relacin de una cantidad cualquiera a otra de su misma es-pecie que hayamos elegido por medida o unidad. Esta expresin es la que sustenta ladefinicin rigurosa que a principios del siglo XX, en 1901, estableci Lebesgue para la medida, vindola como La medida m(p) toma valores reales no negativos. No obs-tante, la idea de Newton tuvo una amplia aceptacin, de manera que para finales delsiglo XVIII, se haba posicionado, sobre todo, en la enseanza de la matemtica.

As, en la Escuela Politcnica francesa se enseaba una definicin semejante a lade Newton que fue establecida por S. F. Lacroix en su libro de clculo llamado CalculDiffrentiel et Integral. La definicin reza lo siguiente: Por la voz cantidad enten-demos todo aquello cuya magnitud por su naturaleza es comparable con otra de su

Las matemticas son mucho ms que una acrobacia inte-lectual. Son la creacin humana por antonomasia. La ni-ca prueba de que el hombre tiene cierto derecho a llamarseracional. En muchas actividades, lo vemos a diario, pareceun ser loco, irracional, motivado por instintos crueles. Lasmatemticas tienen un valor cultural, existencial, excep-cional. Si este valor se pierde de vista y se les reduce sloa una acrobacia intelectual, van a perder su magia.

Carta-entrevista de la Sociedad Matemtica Mexicana, noviembre de 1996

ALBERTO BARAJAS: matemtico mexicano, profesor de la UNAMque public sus primeros trabajos sobre gravitacin, impulsado yasesorado por Birkhoff, en 1930.ALBERTO BARAJAS

INTRODUCCIN

misma especie, de modo que con esta comparacin se pueda determinar, y con el au-xilio de algn nmero expresar la mutua relacin de entre ambas. El nmero, ascomo lo expresaba Lacroix, es aquella magnitud que puede asemejarse a una cantidad;en tanto las cantidades son vistas como magnitudes fsicas: rectas, reas, volmenes,etc., es decir, y usando palabras actuales, el nmero es la medida de la cantidad.

En Mxico, las ideas newtonianas de nmero fueron conocidas en el Seminario deMinera, primera escuela de ingeniera del pas, desde finales del siglo XVIII, gracias aluso que hacan los estudiantes del texto del autor espaol B. Bails, llamado PrincipiosMatemticos. Bails dejaba ver que la nica manera de entender aquello que es n-mero, es saber primero que cosa es unidad. Luego, afirmaba: unidad llamamos unacantidad que se toma o elige (las ms veces a arbitrio) para que sirva de trmino decomparacin respecto de todas las cantidades de su misma especie. La cantidad fuepuesta en el mismo sentido fsico de las magnitudes: o sea, en la manera de medir lamagnitud de: pesos, reas, longitudes, etc.

Las cantidades, en los autores mencionados, eran conocidas como aquello que au-menta y disminuye. Solamente aquello que aumenta y disminuye poda tomar la no-minacin de cantidad. Los nmeros caen dentro de esa caracterizacin, tambin se co-locan en ella las magnitudes fsicas, como las lneas rectas, las reas, etc. Esta ideasurge de un contexto geomtrico muy sencillo que tiene que ver con el potencial cre-ativo de la imaginacin: las cantidades que aumentan o disminuyen lo hacen sola-mente si se encuentran en movimiento. Un punto al desplazarse genera una recta, con-secuentemente una recta genera un plano, y un plano en movimiento lleva a unslido. En el sentido del movimiento, las cantidades fueron el ncleo de estudio de lamatemtica de los siglos XVIII, XIX y XX.

Por su caracterstica de aumentar o disminuir, podemos suponer las cantidadescomo magnitudes variables, de hecho una cantidad es una variable. Esta idea asignauna categora a las cantidades que solamente fue reconocida por Newton y Leibniz;idea que habremos de explorar con detalle ms adelante.

No obstante, sera hasta 1887 que las ideas sobre las cortaduras de los nmerosreales de R. Dedekind tendran una profunda influencia sobre los fundamentos de lamatemtica a travs del concepto de nmero. Dedekind dividi en clases los nmerosracionales; cada clase es una cortadura, de manera que los pudo ordenar entre ele-mentos mximos, elementos mnimos, el establecimiento de los racionales negati-vos, el cero, etc. En los casos en que las clases no contemplan elementos mximos omnimos, la cortadura establece un nmero irracional. Por ejemplo, la raz cuadrada de2 es una cortadura entre todos los nmeros negativos y entre aquellos que tengan uncuadrado inferior a 2 y entre los nmeros que tengan un cuadrado superior a 2. Es estaactualmente una de las definiciones estndar de los nmeros reales.

Un mtodo ms concreto lo dara G. Cantor; para ste, los nmeros reales se de-ban considerar como decimales de infinitas cifras y, adems, los decimales infinitosfueron vistos como lmites de fracciones decimales finitas. Por ejemplo la sucesin denmeros decimales tiene por lmite al nmero racional.

Las ideas de Dedekind y Cantor seran puestas en la escena de la enseanza des-de principios del siglo XX en la Escuela Politcnica, manuales para la enseanza delclculo como el de M. Duhamel, Cours dAnalyse de lcole Polytechnique de prin-cipios del siglo XX, as como el texto de Reygnaud-Hadamard llamado Problmes etdveloppmens sur diverses parties des mathmatiques (de la versin de 1823), as lo

XVIII INTRODUCCIN

evidencian. Por ejemplo, en el texto de Reygnaud-Hadamard se habla de una teorade los inconmensurables, como: toda relacin que se de entre dos nmeros decualquier valor conmensurable, se dar luego que devengan inconmensurables, porqueellos pueden ser considerados como lmites de nmeros conmensurables.

En Mxico estas ideas se llegaron a ensear en la Escuela Nacional Preparatoriadesde 1905; el profesor de esta escuela, A. Lamadrid, escribi un Curso abreviado deanlisis en el que despleg un amplio conocimiento y manipulacin algortmica de losnmeros racionales, conversin de decimales inconmensurables a fracciones, ha-ciendo uso del concepto de lmite; de ello, Lamadrid afirmaba: el lmite de una frac-cin decimal peridica simple, es un quebrado cuyo numerador es el periodo, y cuyodenominador es un nmero formado por tantos nueves, como cifras tiene el periodo.

La propuesta de nmeros como lmites de sucesiones y cortaduras, de Cantor yDedekind, son complementarias y prevalecen actualmente en la enseanza matem-tica. En nuestro caso, esas dos ideas darn orientacin al curso de clculo diferencialque enseguida planteamos, toda vez que las retomamos en el contexto que el propiocurso debe colocarse. Tomaremos tambin, como agregado fundamental del curso, lanocin de cantidad, parte intrnseca del estudio de los fenmenos de variacin del cl-culo. El nmero ser visto como la medida absoluta de las cantidades y, estas ltimas,como aquello que tiende a aumentar o disminuir en tanto su posibilidad aritmtica yfsica.

INTRODUCCIN XIX

Parte INmeros reales,

funciones y lmites

CLASIFICACIN DE LOS NMEROS REALES.ENTRE CONTAR Y MEDIR

El sistema de los reales consiste de un conjunto de elementos denominados n-meros que dan sentido a las operaciones fundamentales conocidas como suma, resta,multiplicacin, divisin, resolucin de ecuaciones y procesos algebraicos, entre otrasque utilizars en este y otros cursos. Generalmente, la mayora de los textos de ma-temticas representan los nmeros reales con el smbolo . De aqu la siguiente pro-posicin:

[1-1]

1.1.1. PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALESEstos pueden ser cantidades de libros, personas, edades, etc. Los nmeros en ge-

neral sirven para contar elementos de conjuntos de ese tipo de objetos. Sin embargo,

Los nmeros, tal y como los concebimos en la actualidad, son smbolos despojadosde cualquier referencia a objetos concretos.

1.1.

1Nmeros realesEl conjunto del lgebra presenta otro ejemplo del artificiode que tratamos, pues nacida esta ciencia con posterioridada la aritmtica, quiere decir a la ciencia que se ocupa de del clculo de los valores, prescinde completamente detoda idea concreta de nmero para no especular mas quesobre ideas abstractas de relacin; y entonces el carctereminentemente generalizador de esta concepcin, le per-mite servirse de signos o smbolos auxiliares, que si bienno representan por s mismos valor alguno, pueden repre-sentar cualquiera valor imaginable.

FRANCISCO DAZ COVARRUBIAS

Ingeniero mexicano, autor del primer libro de Clculo Infinitesi-mal, escrito para la enseanza preparatoria en 1873.

FRANCISCO DAZ COVARRUBIAS(1833-1889)

los nmeros tienen una cualidad an ms importante, que es aquella de medir canti-dades fsicas, longitudes, reas, volmenes, etc.

Las operaciones del clculo se sustentan en el sistema de los nmeros reales y ensus propiedades, por lo tanto empezaremos por clasificarlos y conocerlos. En este sen-tido ser necesario que te familiarices con las operaciones que en el curso realizarscon ellos.

Antes, recordemos algunas de las propiedades elementales de los nmeros reales,que has utilizado desde tus cursos en la preparatoria. La importancia de estas propie-dades radica en que mediante ellas puedas hacer combinaciones que te lleven a la ob-tencin de otros nmeros de igual naturaleza que los reales. Como se ver ms ade-lante, estas propiedades se adecuan bien a determinadas clases de nmeros y no aotros.

Propiedad transitiva de la igualdad. Si a b y b c entonces a c. Por ejem-plo: S 3 3 y 3 3 3 3. Propiedad conmutativa de la suma y de la multipli-

cacin: a b b a y a b b a. Ejemplos: 25 7 7

25, 4(5) 5(4).

Propiedad asociativa de la suma y multiplicacin: a (b c) (a b) c ya(b c) (a b)c. Por ejemplo: 4 (3 2) (4 3) 2, 5 (8 7) (5 8) 7.Propiedad del inverso: para cada nmero real a, existe un nico nmero real denota-do por a, tal que: a (a) 0, el nmero a es llamado inverso aditivo de a.Para cada nmero real a, excepto el cero, existe un nico nmero real denotado por

a1, tal que: a a1 1 o a 1a 1, el nmero a1 es llamado el inverso multipli-

cativo de a. Propiedad distributiva: a(b c) ab ac.Un nmero real puede ser positivo, negativo o cero e identificarse por clases de

nmeros. Los hay de dos clases: racionales e irracionales. Un nmero racional es cual-

quier nmero que se puede expresar como la razn de dos enteros como 1, 2, 12, 5,

0,25, 4,222, etc.; es decir, en la forma pq, donde las literales p y q representan n-

meros enteros, de modo que q sea distinta de cero. De est divisin se obtienen re-sultados enteros, fracciones o decimales. Por su lado, la clase de los nmeros irra-cionales son aquellos que no se pueden expresar como la razn de dos enteros, de ahsu denominacin.

1.1.2. OPERACIONES CON LOS RACIONALES E IRRACIONALES

En este momento lo ms importante es conocer ambas clases de nmeros; msadelante, en la seccin 1.3.1, te sugerimos ideas para definirlos y, adems, haceruna construccin de ellos.

De acuerdo a lo anterior, un nmero racional es considerado como la divisin de

dos enteros. Por ejemplo, 131 es un nmero racional y se puede expresar tambin

en forma decimal como su divisin: 3,666666666666

4 CLCULO DIFERENCIAL

Qu observas en sus decimales?A manera de ejercicio, cambia los siguientes nmeros racionales a decimales me-

diante una divisin (realzala manualmente):

a) 14

b) 121

c) 357

d) 1113

e) 296990

Qu observas en sus decimales?Analicemos los resultados de los casos anteriores:

a) 0,25b) 0,181818181818c) 0,135135135135d) 0,846153846153e) 0,2717171717171

Se aprecia que en el inciso a) 0,25, sus decimales son finitos y en los incisos res-tantes son infinitos. Qu entiendes por finito e infinito?, he ah la diferencia: entre losdecimales conmensurables (decimales que tienen un nmero determinado de cifras) ylos decimales inconmensurables (decimales infinitos), que adems se les llama pe-ridicos, porque las cifras de sus decimales se repiten, por ejemplo en el inciso b) susdecimales se repiten cada 2 periodos; en el c) cada 3; en el d) cada 6 y en el e) cada 2,a partir del segundo decimal.

Los nmeros decimales que no guardan un periodo en sus cifras, o bien no resul-tan de la divisin de dos enteros, se les llama nmeros irracionales, por ejemplo el n-mero: 1,41421356237 2.

NMEROS REALES 5

EJEMPLO 1

De acuerdo a lo anterior, intenta clasificar el siguiente nmero real: 0,333333 Esun nmero racional? Por qu? Observa que despus del punto decimal se repite la cifra3 cada un periodo.

Luego cul es la razn de dos enteros pq que equivale a 0,333333?


SOLUCIN:Para resolver esto ltimo, consideremos que x simboliza la razn de los dos enteros

pq; por lo tanto partimos de:

x 0,333333 (1)Como el 3 se repite cada un periodo, entonces multiplicamos por 10 ambos lados de

la expresin, quedndonos:

10x 3,33333 (2)Restamos las ecuaciones (2) de (1), obtenemos:

10x 3,33333x 0,3333

9x 3

Despejando x, nos queda que:

x 39, o bien: x

13

Lo cual muestra que 0,333333, es un nmero racional de la forma pq

13. Don-

de p 1 y q 3.

EJEMPLO 2

De manera similar podemos probar que el nmero 2,34525252, representa un n-

mero racional en la forma pq.

SOLUCIN:Digamos que x simboliza la razn de dos enteros, por lo tanto partimos de

x 2,3452525252 Para llegar al resultado que se busca, debemos dejar del lado iz-quierdo del punto decimal la parte ,34 que se encuentra fuera del periodo. Para ello es ne-cesario que multipliquemos por 100, quedndonos:

100x 234,525252 (1)Como esta ltima se repite cada dos periodos, o cifras, multiplicamos de nuevo por

100, de modo que nos quede:

10.000x 23.452,525252 (2)Se ha comprendido el truco?Restamos la segunda ecuacin (2) de la primera (1), y obtenemos:

100x 234,52525210.000x 23.452,5252529.900x 23.218 (3)

De esta manera probamos que 2,3452525252 293.

.

920108

es un nmero ra-

cional, puesto que resulta de la divisin de dos enteros p 23.218 y q 9.900. Po-demos concluir que, como se menciona en la tabla anterior:

[1-2]En el caso de las representaciones decimales de nmeros irracionales, estas no

se repiten en periodos iguales. Por ejemplo, el nmero irracional (construido a pro-psito):

0,10100100010000100000

O bien el conocido nmero irracional (pi), que es equivalente a3,141592653589793238462643, con 16 cifras decimales que da la calculadora.

Por lo general los nmeros irracionales de ms utilidad se simbolizan con expre-siones que pueden ser: literales, radicales, logartmicas y trigonomtricas. Los si-guientes son solamente algunos ejemplos:

a) 2 1,4142135623730950488b) 3 1,732050807568877293527c) cos 230 0,920504853d) e 2,718e) ln 2 0,69314718Casos inmediatos de nmeros irracionales son todas las races de los nmeros pri-

mos, por ejemplo las races: 3, 5, 7, 11, etc. Por lo general, al hacer uso deirracionales en los problemas de ingeniera, estos se redondean a conveniencia a so-lamente un determinado nmero de cifras, lo cual los convierte en nmeros racionalescomunes. Por ejemplo 3,1416 es el nmero , 3,141592653589793238462643, re-dondeado a cuatro cifras decimales. Los casos de races de potencias, no primos,como: 4, 16, etc., no caen en esta clasificacin. Por qu?

1.1.3. LA DIVISIN POR CERO EN LOS RACIONALESPor qu en la expresin racional

pq, q debe ser distinta de cero?

Qu puedes comentar del nmero 0 02? Como puedes ver en este caso, el nu-

merador es cero y el denominador cualquier entero diferente de cero, es decir, es un

Los decimales peridicos son nmeros racionales.

NMEROS REALES 7

Despejando x de 3, nos queda que:

x 293.

.

920108

nmero racional. En expresiones de este tipo resulta fcil caer en el error de cons-

truirlos con el denominador igual a cero. Es comn escribir equivocadamente 50 0.

Tambin es cotidiano decir que 00 1. O bien establecer que la operacin entre cero

es infinito, por ejemplo 30 . Los primeros dos casos son completamente falsos. En

principio hay que tomar en cuenta que:

[1-3]Puedes verificar que esta proposicin no se encuentra en las propiedades antes

vistas. Tambin es congruente aclarar que la operacin es indeterminada, es decir, noexiste un nmero real que sea solucin de esa operacin.

En el tercer caso 30 , se hace uso de una convencin, es decir, algo que con-

viene sin de pronto ponerlo ha discusin, debido a que ofrece resultados ciertos y con-gruentes. Granville, en su texto de Clculo, convino a principios del siglo pasado(1902) los siguientes casos particulares ms frecuentes. Propuso estos:

[1-4]Aunque de momento las aceptemos, estas expresiones obedecen a resultados de

procesos que tienen que ver con el concepto de lmite que se estudiar ms adelante.

1.1.4. LOS NMEROS REALES COMO SUCESIONES1.1.4.1. Racionales que atraen racionales

Consideremos el segmento de recta entre los nmeros 0 y 1, y hagamos una par-

ticin o biseccin a la mitad, quedndonos 12; ahora hagamos la misma operacin al

segmento 0 y 12, del cual nos queda

14; prosiguiendo el proceso de biseccin obten-

dremos sucesivamente los nmeros 18,

116,

312, , etc. De esta manera hemos ge-

nerado la sucesin de nmeros racionales, en el segmento 0 y 1, siguiente 1:

0c , c ,

c 00 y

c 0

La operacin de dividir por cero no es una operacin valida dentro de las pro-piedades de los nmeros reales.


1 Las sucesiones de nmeros reales sern vistas con ms detalle en el Captulo 6, de momento intenta-mos convenir en su utilidad, sin menoscabo de las definiciones que de estas se darn en esa unidad.

1, 12,

14,

18,

116,

312,

614,

1128, , 0

Como se aprecia en esta sucesin, sus ltimos trminos: , 312,

614,

1128, ,

son atrados hacia el cero 0 y se encuentran bastante cerca de ste.Qu significa el cero para esta sucesin?No obstante, nos podemos acercar an ms al cero, valores ms prximos de este

son las siguientes particiones: 2156,

5112,

1.0124 y

2.0148.

Pero hasta dnde nos podemos acercar con este procedimiento al cero como va-lor extremo? Si hacemos las diferencias entre el cero y cada una de las cuatro ltimasaproximaciones obtendremos los siguientes valores: 0,003, 0,001, 0,0009, 0,00048.Estos muestran qu tanto nos hemos acercado al cero. Lo que resulta interesante de laexperiencia es que nos hemos acercado a ese valor tanto como lo deseamos, teniendopor ltimo valor de referencia al extremo elegido, en este caso el cero. De aqu po-demos afirmar la proposicin siguiente:

[1-5]Utilizando esta idea genera enseguida una sucesin de nmeros racionales en el

mismo segmento 0 y 1, cuyos ltimos trminos sean atrados por el 1. Es claro que

hay que biseccionar entre 1 y 12. Intenta acercarte lo suficiente de manera que la dis-

tancia entre el extremo y el ltimo valor numrico que tomes sea del orden de

100

1.000.

1.1.4.2. Sumas geomtricas

Como en el caso anterior: Qu significa el uno para esta ltima sucesin?Otra manera para determinar el cociente

pq que le corresponde a un nmero de-

cimal peridico es la de representar el nmero como la suma de una serie geomtricade racionales. Por ejemplo, representemos el nmero racional 2,75111111111,como una suma geomtrica de nmeros racionales. Tomando el periodo como 11, esposible escribir el nmero de acuerdo a su posicin decimal como la suma incon-mensurable:

2 17050

101.0100

1.00101.000

100.01010.000

1.000.10100.000

En la construccin de una sucesin de valores numricos, a partir de dos valoresasignados, nos podemos acercar tanto como deseemos a cualquiera de estos.

NMEROS REALES 9

Adems, los valores en el denominador los podemos reescribir en potencias de 10,como:

2 1705

2

1101

4

1101

6

1101

8

110110 (1)

Expresin en la que se puede apreciar la suma geomtrica infinita de trminos:

1101

4

1101

6

1101

8

110110 (2)

Cuya razn de crecimiento es 1102. Si hacemos uso de la proposicin para deter-

minar la suma de una serie geomtrica infinita, vista en tus cursos de preparatoria, lacual se expresa con la frmula [1-6] que aparece enseguida:

[1-6]Donde a1 es el primer trmino de la serie y r su razn de crecimiento. Tendremos

que la suma S es:

S , o bien: S . Simplificando: S , queda:

S 99

11102. Sustituyendo S en lugar de la serie geomtrica en (1):

Tenemos:

2 17050

9.19100

Sumando estos tres trminos y reduciendo la expresin, nos queda: 621295.

Que resulta ser la expresin racional del nmero: 2,7511111111Esto ltimo nos permite plantear la siguiente proposicin:

[1-7]

Todo nmero decimal peridico puede ser escrito en forma de suma geomtrica,de manera que ello permita determinar la forma racional del nmero.

1101

2

100 1

1101

4

10

1

2

0

2

1

1101

4

1 1102

Frmula para determinar la suma infinita de trminos de una sucesin numrica: S

1a

1

r


Sin embargo, puedes hacer uso de la regla ya vista, anterior a esta, para llegar almismo resultado.

1.1.4.3. Irracionales que atraen racionales

Finalmente, si usamos la idea anterior del nmero que atrae a los trminos de unasucesin, pero considerando que dicho nmero sea un irracional, pudiramos generarsucesiones de nmeros racionales que son atrados por un irracional. Vase el si-guiente ejemplo:

La sucesin de racionales: 1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, 1,41421, 1,414213,1,4142135, , es atrada por el nmero irracional 2. Sucesin que, como puedesver, es inconmensurable. De esta forma, es vlido escribir la sucesin colocando al fi-nal 2, como:

1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, 1,41421, 1,414213, 1,4142135, , 2

El valor que atrae a los dems trminos de una sucesin, y al cual nos podamosacercar tanto como queramos, se llama lmite de la sucesin, concepto que estudiarasen el tercer captulo y que es central en la solucin de problemas del clculo e inge-niera. Otra idea que explotaremos, y surge del problema, es la de acercarnos tantocomo queramos al ltimo trmino de la sucesin. En este caso la diferencia entre2 1,4142135623731 (valor estimado por la calculadora) y 1,4142135, ltimovalor tomado, es del orden de 0,000000062.

De lo anterior surge la siguiente proposicin:

[1-8]

ACTIVIDADES Y EJERCICIOS DE LA SECCIN 1.1I. Revisin de conceptos

1. Es falso que 40 0, puesto que la divisin por cero

de las propiedades de los nmeros reales.

2. Es cierto que 03 0, puesto que de los nmeros

reales.

3. Es falso que 00 , puesto que de las propieda-

des de los nmeros reales.

Todo nmero irracional puede ser escrito en forma de una sucesin de nmerosracionales, cuyo ltimo valor sea el propio nmero irracional.

NMEROS REALES 11

4. Los siguientes valores numricos corresponden a nmeros reales. Sin em-bargo, no todos los planteamientos que se hacen son verdaderos. Clasifica entre ver-dadero (V) o falso (F) cada uno de estos:

a) 1 0,999b) 1

3 0,333

c) 2,010010001, es irracional.d) 11 es un racionale) 9 es racionalf) 0,999 y 1

3 son racionales

5. Clasifica el resultado numrico de las siguientes operaciones entre racional o irracional (donde sea necesario, has uso de tu calculadora):

a) La suma de 14 3

b)

c) La operacin de ln 2 5d) El resultado de la multiplicacin 5 sen 38

e) La operacin 3 2

5

II. Actividades y operaciones con nmeros reales

1. Clasifica cada uno de los siguientes valores numricos entre: racional con-mensurable, racional inconmensurable peridico e irracional:

a) 0,125b) 14,656565c) 3,14159d) 2,2526272829e) 6,456789456789456789f) 25g) 17.897,632. Dados los nmeros decimales inconmensurables peridicos

a) 3,65478787878b) 0,9999999,c) 326,32456745674567d) 25,143143143143

2 27 6


Determina los enteros p y q que corresponden a la fraccin. Utiliza en cada casolos dos mtodos vistos en esta parte.

3. Coloca los valores numricos de los rubros 1) y 2) en la recta numrica.4. Verifica en tu calculadora el valor numrico correspondiente a sen 39 46 27.

Como puedes ver, esta expresin simboliza al nmero 0,6397632332750 El n-mero es racional o irracional? Se puede expresar como el cociente de dos enteros en

la forma: pq 0,6397632332750?

Habrs concluido que el nmero es irracional (decimal inconmensurable no pe-ridico) lo cual deja ver la imposibilidad de encontrar los enteros p y q.

El ejemplo anterior servir para darte una idea de la existencia de una gran can-tidad de nmeros irracionales. Observa que a partir de sen 39 46 27 puedes generare inventar los nmeros irracionales que desees, sin lmite alguno. No obstante, puedeselegir cualquier valor numrico en grados, as como cualquier funcin trigonomtrica(a excepcin de algunos casos particulares) para hacerlo. Utiliza tu calculadora paraverificar cmo cada uno de los siguientes valores de la sucesin que se genera a par-tir de sen 39 46 27 corresponde a nmeros irracionales:

sen 39 46 27,1 sen 39 46 27,11 sen 39 46 27,111 sen 39 46 27,1111 sen 39 46 27,11111

5. En este ejercicio se pretende que construyas nmeros irracionales a travs deuna cierta regla conocida. Un caso no muy tpico fue el ejemplo de ln 2, que seplante anteriormente. En ste, la regla consisti en hacer uso de la calculadora y de-terminar el valor correspondiente de 0,69314718, el cual representa a ln 2. Qu teparece si pruebas con los valores que resultan de ln x, dando en la calculadora valorespositivos a x mayores que uno, por ejemplo: ln 3, ln 4, ln 5, etc., y determinas queefectivamente estos valores numricos corresponden a nmeros irracionales? Pruebacon por lo menos cinco valores. Habr casos en el que ln x determine nmeros ra-cionales? En cules?

6. Exhibe por lo menos cinco valores resultados de operaciones trigonomtricas,que correspondan a nmeros racionales. Por ejemplo, en tg 45 el resultado es un n-mero racional.

7. Con una diferencia entre el ltimo valor de la sucesin con respecto al ltimo

extremo irracional de 1.00

10.000, escribe sucesiones cuyos ltimos valores extremos

sean (tomar todos las cifras que de la calculadora):a) eb) ln 3c) sen 43 12

NMEROS REALES 13

d) 11e) 3f) 8. Dada la siguiente fraccin continua, se pide formar una suma de trminos que

inicia con el 1, contina con el 1 1 2, el 1 1

11

32, etc.

1r 1

11

11

1 1

1

Cuando ya tengas la suma de trminos, forma la suma recproca con por lo menosdiez trminos y prueba que el ltimo de los trminos da por resultado aproximado lallamada razn de oro de Fibonacci, es decir:

1r

52 1

III. Problemas para examen

1. Un nmero irracional contenido entre los nmeros racionales 21

00

80 y

210090 es:

a) 2,086b) 2,0866666c) 2,0865151d) 2,086123456e) Ninguno de las anteriores.

2. Encuentre la fraccin pq que corresponde al nmero 5,43823232323 Hay

que hacer uso de los mtodos vistos anteriormente.

3. Escribe el nmero 23,865555, como una suma geomtrica de nmeros ra-cionales.

4. Siendo el nmero irracional 1,732050808, es claro que lo podemos enunciar

de modo que nos queden potencias de 10 en el denominador, como: 1 170

1302

1203

1004

1505 Prueba por el mtodo de sumar la serie geomtrica que


no es posible realizar dicha operacin y llegar al nmero inicial 1,732050808Cul es la razn de esto ltimo?

5. Haciendo uso del mtodo de biseccin, escribe sucesiones de por lo menos seisvalores de nmeros racionales contenidos entre los segmentos:

a) 116,

312

b) 0, 15c) (0, 0,0000125)

d) 0, 1.0010.000

En las que, en cada caso, los valores extremos atraigan las sucesiones correspon-dientes. Considera la diferencia entre el termino ms cercano al prximo extremo

del orden de 100

1.000.

6. Dados los siguientes nmeros irracionales 0,746673012 y 0,746675915,construye entre ambos, primero, tres nmeros racionales y, segundo, tres irracionales.

7. Dada la siguiente relacin 1 1n

n

, sustituye en esta los valores de n 1,100, 1.000, 10.000 y 1.000.000.

a) Escribe una sucesin con los resultados colocando al final la relacin anterior.b) Cul es la diferencia entre los dos ltimos valores obtenidos para n 10.000 y

n 100.000?c) Reconoces el ltimo nmero al que se acerca la sucesin?, es racional o irra-

cional? cul es ste?

INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LOS NMEROSREALES

1.2.1. RECTA NUMRICALos nmeros reales pueden ser vistos como inscripciones de puntos que estn a lo

largo de una recta horizontal infinita, es decir, su dibujo no tiene lmite o es incon-mensurable, lo cual se indica con puntas de flecha en sus extremos (vase grfica enla Figura 1.1). La recta numrica representa una escala que permite medir la distanciadirigida desde un punto fijo llamado origen, elegido arbitrariamente, donde se colocael cero 0. En el caso de los valores numricos, stos se consideran negativos la iz-quierda y positivos a la derecha.

A cada punto en la recta real le corresponde un nmero real, aunque no existe laposibilidad de mostrarlos a todos. Los nmeros reales, racionales e irracionales, se

1.2.

NMEROS REALES 15

pueden colocar en la recta real por medio de puntos o pequeos segmentos de recta demenor a mayor.

Para construir una recta que contenga algunos nmeros reales podemos seguir lossiguientes pasos, para casos numricos particulares. En cada paso haremos comenta-rios importantes relacionados con los conjuntos de nmeros:

: naturales

1. Observa que el conteo natural y trivial de las cosas cotidianas permiten cons-truir el sistema de los nmeros naturales. Usa esta idea para construir la serie de losnmeros naturales en la forma: 1, 2, 3, Escribe en tu cuaderno el conjunto delos naturales y dentalo con el smbolo , como {1, 2, 3, }, coloca algunos de ellos sobre la recta real, dibuja la recta haciendo uso de una regla graduada, de ma-nera que los valores 1, 2, 3, se encuentren a la misma distancia uno del otro. Demodo que la escala que uses sea la distancia entre el origen 0 y el 1. Esta escala tam-bin es llamada unidad de medida.

La unidad de medida permite medir haciendo uso de nmeros naturales, no obs-tante la medicin se restringe a solamente cantidades exactas en trminos de los na-turales.

: enteros

2. Contina con la construccin de los enteros positivos y negativos, incluyendoen este conjunto al cero, en la forma: 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, Expresa a este l-timo conjunto con el smbolo , escribindolo en tu cuaderno como { 3, 2,1, 0, 1, 2, 3, } e incorpora algunos de ellos sobre la recta real.

: racionales

3. Construye un conjunto de nmeros racionales mediante razones de nmerosenteros, en la forma ya vista

pq, donde p y q son nmeros enteros y q no puede ser

cero, tu escritura se puede ver como la siguiente:

, 5, 4, 3, 2, 23, 1, 0,

12, 2, 3,

130, 4, 5,

Recuerda que los conjuntos de nmeros naturales y enteros estn contenidos enestos ltimos.


1 1 2 3 4 52345

O

FIGURA 1.1. Recta real.

Al construir los nmeros racionales la unidad de medida trasciende para ser usa-da al medir cantidades que pueden no ser exactamente del tamao de los nmeros na-turales o enteros, lo cual nos lleva necesariamente a subdividir la unidad de medida en

fracciones de la forma pq. Esta definicin lleva a establecer nuevas propiedades para

los nmeros racionales que se heredan de las que ya vimos, estas son:

Operaciones con los racionales

[1-8]

: irracionales

4. Construye un conjunto de nmeros irracionales . Es fcil, recuerda que, a di-ferencia del conjunto de los nmeros racionales, estos no presentan periodicidad en suexpansin decimal, toda vez que son inconmensurables. Podemos colocar algunos delos vistos anteriormente, como por ejemplo:

{, 5, 3, 2, , e, ln 2, 2, 3, }

: reales: los reales son la suma de los racionales con los irracionales

5. El conjunto de los nmeros reales , deseado, es la suma de los racionales con los irracionales , puede verse enseguida con algunos casos, como:

, 5, 4, 3, ln 10, 2, 3, 23, 1, 0,

12, ln 2, 1, 2, 2,

5, e, 3, , 130, 4, 5,

6. La representacin de los reales en la recta real nos quedara de la siguiente ma-nera:

Siendo a, b, c y d nmeros enteros: a

b

dc

adb

dbc

; a

b

dc

ba

dc,

a

a 1,

a

b

dc si ad bc.

NMEROS REALES 17

1 1ln 2

2 e

52

3 4 52

3

2

1

2

1

3

0

33

ln 10

45 O

FIGURA 1.2. Recta real.

Observa que por la escala empleada en la graficacin, los nmeros se ven muyapretados, lo cual deja ver la necesidad, en algunos casos, de hacer uso de escalas msamplias. No obstante, y an con otras escalas, el apretujamiento va a seguir ocurriendodebido a la amplitud de la densidad en que estn colocados los nmeros en la rectareal. Esto ltimo hace necesario extender el concepto de nmero por otro que los ma-temticos de diferentes pocas, percibieron y utilizaron sin meterse en las complica-ciones de averiguar su naturaleza, este es el del continuo de los nmeros reales. Dichanocin indica que cualquier nmero en la recta tiene a su lado inmediato otro nme-ro real de la misma naturaleza que este, lo cual significa que la recta real es densa ennmeros reales, y se ha demostrado que no contiene huecos, es decir, est cubierta to-talmente por nmeros.

Finalmente, a cada punto que se localiza en la recta real se le llama coordenadadel punto.

1.2.2. CONCEPTO DE INTERVALO

Intervalo cerrado

Partamos de la siguiente proposicin:

[1-9]Todo intervalo contiene una cantidad inconmensurable de nmeros comprendidos

entre los valores extremos a y b.Cada intervalo es un conjunto cerrado de nmeros si incluye los valores de a y b,

ello se escribe como: a x b (vase Figura 1.3), lase x mayor o igual que a y xmenor o igual que b.

Un intervalo es un segmento de la recta real en la vecindad de dos valores num-ricos a y b en los que, generalmente, a b (lase a menor que b)


FIGURA 1.3. Intervalo cerrado mostrando los extremos a y b en corchetes.a b

La caracterstica principal de un intervalo cerrado, es que en el segmento existe unnmero mayor a y un nmero menor b. Generalmente se admite hacer uso de cor-chetes para dar significado a los intervalos cerrados, como en el siguiente caso [a, b].Por ejemplo, [3, 8] denota que 3 x 8.

En el caso en que los valores extremos del intervalo no sean incluidos en este, lamanera de escribirlos es a travs de a x b, o bien haciendo uso de parntesiscomo (a, b), lo cual se denomina intervalo abierto (vase Figura 1.4).

a b

FIGURA 1.4. Intervalo abierto mostrando los extremos a y b en parntesis.

Intervalo abierto

Por ejemplo (2, 6) denota el intervalo 2 x 6.Cuando a x b, se dice que x pertenece al semi-intervalo [a, b); o bien si

a x b, se dice que x pertenece al semi-intervalo (a, b] (vase la Figura 1.5).

NMEROS REALES 19

a

FIGURA 1.5. Semi-intervalo, abierto por la izquierda y cerrado por la derecha.

En las ocasiones en que los valores que toma x en el intervalo son inconmensu-rables sin lmite a partir de algn valor, incluido o no en el propio intervalo, se haceuso del smbolo de infinito () para mostrar el aspecto inconmensurable del interva-lo. Son los casos a 0, a 0, a 0 y a 0. Respectivamente se expresan como (a, ), [a, ), (, a) y (, a], tal como se aprecia en las Figuras 1.6 y 1.7.

a

FIGURA 1.6. Intervalo inconmensurable sinlmite en un extremo abierto en a.

FIGURA 1.7. Intervalo inconmensurable sinlmite en un extremo cerrado en a.

En todos estos casos los intervalos son abiertos en el infinito debido a que ha-cemos uso de ese smbolo a partir de que as nos conviene y puesto que de esa mane-ra podemos mostrar la inconmensurabilidad del intervalo. El infinito NO es un n-mero real, esa es otra razn por la cual dejamos abierto el intervalo donde este se co-loca.

DESIGUALDADES LINEALES Y CUADRTICAS. PROPIEDADES

1.3.1. NOCIN DE ORDENComo ya mencionamos, los nmeros reales distintos de cero se separan en forma

adecuada en dos conjuntos, los nmeros reales positivos y los nmeros reales nega-tivos.

Los nmeros x que son mayores que cero se llaman positivos, mientras los n-meros x que son menores que cero se llaman negativos. A esta posibilidad de colo-carles en la recta numrica, entre positivos y negativos, se le conoce como orden delos nmeros reales.

1.3.

0 x

FIGURA 1.8. Orden en la recta real.

a b

La relacin de orden hace necesario introducir los smbolos y (que se leen:menor que y mayor que). Por ejemplo, si consideramos que x e y son nmeros en larecta real, de manera que x est a la izquierda de y, diremos que x y o bienx y 0. De modo que la diferencia x y 0 representa una distancia o magnitudentre los valores de x e y.

Si los valores x e y fueran, por ejemplo, los nmeros x 3 e y 8, la distanciaentre ambos estara representada por la cantidad 3 8 0. Expresin vlida puestoque 5 0.


x y 0

yx

FIGURA 1.9. La diferencia x y 0 representa una magnitud entre x e y.

Aun cuando el orden de la operacin puede ser como 8 3 0, qu propiedadde los nmeros reales permite esa ltima operacin?

No obstante, x y 0 representa en este caso una distancia, magnitud que en losproblemas de ingeniera se concibe positiva. Ello nos har introducir, ms adelante, lanocin de valor absoluto como: x y 0, smbolo que dejar entrever que todacantidad es, por su propia naturaleza, positiva.

1.3.2. NOCIN DE DESIGUALDADPartamos de la siguiente proposicin:

[1-10]Ejemplos como el ya visto dan idea de esto ltimo:

a) 5 0, o bien: b) x 1 2x, c) x2 1Podemos decir que dos desigualdades lo son en el mismo sentido si a b y c d,

o tambin a b y c d. Por ejemplo 5 2 y 9 2.Dos desigualdades lo son en sentido contrario si son del tipo a b y c d, por

ejemplo 8 10 y 3 0. Podemos llamar ha este tipo de desigualdades, que incluyenlos signos y , definidas, en tanto que aquellas que incluyen los signos y pueden ser llamadas indefinidas.

1.3.3. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

Las propiedades que ms se utilizan en la solucin de desigualdades son las si-guientes:

Dos expresiones relacionadas mediante los signos , (menor igual), , (mayor igual), o bien el signo (diferente de) forman una desigualdad o inecuacin(puesto que en las ecuaciones solamente se hace uso del smbolo de igualdad ).

1. Si a b, entonces b a. Ejemplo 5 3, entonces 3 5. Del mismo modo,si a b y b c, entonces a c. Ejemplo: 5 3 y 3 2, entonces 5 2.

2. Las desigualdades anteriores se pueden unir en forma anidada como: a b c,o bien a b c.

3. Si a b y n es un nmero real cualquiera, entonces es vlida la operacin: a n b n. Lo cual significa que a ambos miembros de la desigualdad seles puede sumar o restar un nmero y como resultado se obtendr una desi-gualdad en el mismo sentido. Ejemplo 5 1, si sumamos en ambos lados elnmero n 3, tendremos: 5 3 1 3, o sea, 8 2.

4. Si a b y n es un nmero positivo: an bn, lo cual significa que el sentidode la desigualdad no se altera. Al multiplicar ambos miembros de una desi-gualdad por un nmero negativo n 0 el sentido de la desigualdad cambiar,es decir, si a b y n 0, se tiene que an bn. Ejemplo 5 1 al multiplicarpor 5, obtenemos 25 5, lo cual es verdadero. Prubese con un ejemploque lo mismo ocurre al dividir una desigualdad por n 0.

5. Suma de desigualdades. Dos desigualdades en un mismo sentido se pueden su-mar miembro a miembro de manera que se obtenga una desigualdad en el mis-mo sentido: Si a b y c d entonces a c b d. Ejemplo, si 4 2 y 0 1 entonces 4 0 2 (1), o bien 4 2. El ejemplo pone en evi-dencia la resta de desigualdades en el mismo sentido.

6. Resta de desigualdades. Dos desigualdades en sentido contrario se puedenrestar miembro a miembro, dando por resultado una desigualdad del mismosentido que la primera de las desigualdades. Si a b y c d, y de la prime-ra restamos la segunda, a c b d. Ejemplo, 7 1 y 2 5, obtenemos 7 2 1 5, o sea: 5 4.

7. Multiplicacin de desigualdades. Dos desigualdades de igual sentido se puedenmultiplicar entre s miembro a miembro si todos sus miembros son positivos,dando por resultado una desigualdad del mismo sentido. Si a b y c d(siendo a 0 y c 0) entonces ac bd. Ejemplo 3 5 y 8 10, luego 3(8) 5(10), es decir: 24 50.

8. Divisin de desigualdades. Dos desigualdades de sentido contrario se puedendividir miembro a miembro si todos los miembros de la desigualdad son n-meros positivos, como resultado se obtendr una desigualdad en el sentido de

la primera de ellas. Si a b y c d (con b 0 y c 0) entonces: ac

bd.

Ejemplo 5 1 y 2 7. Luego 52 >

17.

1.3.4. SOLUCIN DE DESIGUALDADES DE PRIMER ORDENComo en las ecuaciones comunes, se trata de transformar la desigualdad en varios

pasos hasta que el conjunto solucin sea obvio. Las herramientas principales son laspropiedades vistas en el rubro anterior.

Enseguida te mostramos algunos ejemplos resueltos sobre casos de desigualdadesde primer orden:

NMEROS REALES 21

El conjunto solucin se escribe como un intervalo en la forma S: (3, ), lo cualsignifica que la solucin es el conjunto de valores de x contenido en ese segmento derecta, y el smbolo de infinito () sugiere, como vimos en la seccin 1.3.2, que la so-lucin es inconmensurable y sin lmite en un extremo.

Grficamente la solucin se puede expresar como se aprecia en la Figura 1.10.


EJEMPLO 1

Encuntrese el conjunto solucin para la desigualdad 2 3x 5x 8.

SOLUCIN: Como cuando operamos ecuaciones, dejemos de un slo lado de la desigualdad los

valores de x; es costumbre dejarlos en el miembro izquierdo, colocando los valores nu-mricos en el lado derecho, as queda:

3x 5x 8 2

O sea:

2x 6

Multiplicando ambos miembro por (1), resulta:2x 6

Despejando el valor de x (ojo, x NO puede despejarse si es negativa, antes hay quemultiplicar por (1)), queda:

x 62, o sea x 3

3

FIGURA 1.10. La solucin de la desigualdad est en el semiintervalo (3, )

Para probar que efectivamente esa es la solucin, y no equivocamos el procedi-miento, basta con tomar un valor del conjunto solucin y sustituirlo en la desigualdadoriginal para verificar que esta se cumple. Por ejemplo, tomemos del conjunto solu-cin el valor de x 0 y sustituymosle en 2 3x 5x 8, nos queda 2 8, lo cuales verdadero.

EJEMPLO 2

Encontrar el conjunto solucin de la desigualdad anidada siguiente: 4 3x 2 10.

SOLUCIN:El procedimiento para llegar al intervalo solucin consiste en operar al mismo

tiempo en los tres miembros de la desigualdad, es decir, cualquier operacin que se hagaen la desigualdad deber ser la misma en los tres miembros, intentando despejar x res-petando en todos los casos las propiedades antes vistas. Hagamos:

NMEROS REALES 23

Sumando 2 en cada caso:

4 2 3x 2 2 10 2

Queda:6 3x 12

Dividiendo por 3:

63 x

132

El conjunto solucin est dado por:2 x 4

Lo podemos escribir como:

S: (2, 4]O bien con el semi-intervalo:

2 4

FIGURA 1.11. La solucin est en el intervalo (2, 4].

EJEMPLO 3

Resolver la desigualdad 2x

3 1

x

45

0.

Se tiene que: 0.

O bien 11

1x

2 11 0.

Quedando: 1112 x

1112 0

Multiplicamos por (1) y cambiamos el smbolo de la desigualdad:

1112 x

1112 0

Nos queda la solucin: 1112 x

1112, o bien: x 1.

El intervalo solucin es: [1, ).En tanto que en el segmento, esta queda como:

8x 4 3x 15

12

1

FIGURA 1.12. Solucin dada al semiintervalo cerrado por la izquierda [1, ).

Para qu valores de x la expresin x 3 contiene resultados reales? Si susti-tuimos algunos valores de x en la expresin se observa con claridad que x no puede to-mar valores menores que 3, porque el resultado no sera un nmero real, sino imagi-nario, como por ejemplo 1 en el caso x 2. Sin embargo, puede tomar valores de3 en adelante que evitaran el problema con este tipo de nmeros.

De lo anterior se desprende la proposicin:

[1-11]Para el caso que nos ocupa, esto ltimo se escribe de la siguiente manera:

x 3 0

Resolviendo la desigualdad, obtenemos: x 3.De modo que el conjunto solucin, es decir, aquellos valores que NO permiten

que las races resultantes sean imaginarias, es: [3, ). El segmento que le correspon-de se coloca en la Figura 1.13.

Para que el resultado de una raz cuadrada sea un nmero real, el valor de la ex-presin contenida en ella tiene que ser positivo o cero.


3

FIGURA 1.13. Los valores solucin de x 3 son aquellos determinados por x 3 0.

EJEMPLO 4

Resolver la desigualdad 5 3x 1.

SOLUCIN:Elevemos al cuadrado ambos miembros de la desigualdad:

(5 3x 1)2

(Ojo!, al elevar al cuadrado cambia el smbolo de la desigualdad, solamente en elcaso que sea menor o igual que cero):

Nos queda:

5 3x 1

O bien:

3x 4

x 43

Es decir, el intervalo:

S: , 43

1.3.5. DESIGUALDADES DE SEGUNDO ORDEN Y DESIGUALDADESQUE CONTIENEN COCIENTES

De la misma manera que nos preguntamos por los valores reales de x que hacenvlida la expresin x 3, lo podemos hacer por los valores de x que hacen vlida laraz cuyo contenido es una expresin cuadrtica, como por ejemplo: x2 5x 4.De igual forma que en el ejemplo anterior, esto ser posible solamente cuando x2 5x 4 0.

Para encontrar el conjunto solucin, nos conviene factorizar la ecuacin cuadr-tica como: (x 4)(x 1) 0. A este ltimo producto le podemos asociar las pro-piedades del producto de los signos, toda vez que las podemos asumir a los smbolos, , , , como sigue:

Reglas de los smbolos , , y

[1-12]Estas propiedades se pueden extender a los casos de desigualdades que contienen

cocientes. La tabla correspondiente queda como se ve enseguida:

[1-13]

En analoga con:

. O bien:

En analoga con:

. O bien:

En analoga con:

. O bien:

En analoga con:

. O bien:

En analoga con: . O bien: En analoga con: . O bien: En analoga con: . O bien: En analoga con: . O bien:

NMEROS REALES 25

Solucin del caso x2 5x 4 0


EJEMPLO 1

Resolver la desigualdad: (x 4)(x 1) 0.

SOLUCIN:Para el caso: (x 4)(x 1) 0, el producto debe ser mayor o igual que cero o po-

sitivo, lo cual se verifica en los dos primeros casos de la proposicin [1-12]. Es decir: 1) y 2) . Atendamos cada uno de estos:

1. , indica que: x 4 0, o bien x 4 y x 1 0, o bien x 1.Ambas soluciones se intersecan en el intervalo S1: [4, ), es decir, es el lugar dela recta numrica donde se empalman, siendo esta la primera parte de la solucin.

2. , indica que: x 4 0, o bien x 4 y x 1 0, o sea x 1.Ambas soluciones se intersecan en el intervalo S2: (, 1], cual es la segundaparte de la solucin.

1 4

FIGURA 1.14. Para el primer caso, la interseccin de las soluciones da por solucinparcial S1: [4, ).

FIGURA 1.15. Para el segundo caso, la interseccin de las soluciones da por solucinparcial S2: (, 1].

FIGURA 1.16. La suma S S1 S2 de las soluciones parciales es la solucinde la desiguldad.

1 4

De modo que la solucin sea la suma o unin S S1 S2, es decir: S (, 1] [4, ). Representado por el intervalo de la Figura 1.16:

1 4

EJEMPLO 2

Resulvase la desigualdad x2 2x 48 0.

SOLUCIN:Esta ltima puede ser escrita como: (x 6)(x 8) 0, de la cual se desprenden las

opciones: 1) y 2) , vistas en la proposicin [1-13]. Analicemoscada caso:

1. La opcin sugiere que x 6 0, o bien: x 6 y x 8 0, o x 8.Ambos resultados no se intersecan, lo cual determina una solucin vaca que es-cribiremos como: S1: .

NMEROS REALES 27

2. La opcin nos da para escribir x 6 0 o x 6 y x 8 0 o x 8.

8 6

FIGURA 1.17. S1 es solucin vaca puesto que no hay interseccin.

FIGURA 1.18. S2 es solucin nica.8 6

Ambos resultados se intersecan en el intervalo abierto S2: (8, 6).Luego la solucin est dada por la suma S S1 S2, es decir:

S: (8, 6)EJEMPLO 3

Encuntrese el conjunto solucin para x2 8x 1.

SOLUCIN:De la expresin en el radical se desprende que x2 8x 1 0. No obstante, ob-

srvese que cualquier valor de x que se sustituya en la expresin da por resultado un va-lor numrico mayor que cero. Incluso, la expresin cuadrtica no se puede factorizar atravs de valores reales, solamente con nmeros imaginarios. Consecuentemente, pode-mos afirmar que el conjunto solucin buscado es el conjunto de todos los nmeros reales .

EJEMPLO 4

Resolver la desigualdad x

x

18

0.

SOLUCIN:De la proposicin [1-13] se desprenden los casos 1)

, y 2)

. Ana-

licemos ambos:

1. La opcin

sugiere que x 1 0, o bien: x 1 y x 8 0, o sea

x 8, pero en este ltimo caso si aceptamos el valor de x 8 caeremos en lacontradiccin de la divisin por cero, puesto que el denominador de la desigual-dad quedara con ese valor. De aqu que el divisor x 8 est condicionado a serestrictamente mayor que cero, es decir: x 8 0 o bien x 8.La interseccin de las relaciones x 1 y x 8 nos arroja S1: (8, ) como pri-mera parte de la solucin.

8

FIGURA 1.19. S1 es la primera parte de la solucin para el cociente x

x

18

0.


2. El caso

, nos permite las posibilidades: x 1 0 o x 1 y x 8 0

(estrictamente) o bien x 8.La interseccin de las relaciones x 1 y x 8 nos arroja S2: (, 1] comosegunda parte de la solucin.

1

FIGURA 1.20. S2 es la segunda parte de la solucin para el cociente x

x

18

0.

FIGURA 1.21. S S1 S2

Siendo la solucin buscada la suma de las soluciones S S1 S2, es decir:

S (, 1] (8, )Como se aprecia en la Figura 1.21.

1 8

EJEMPLO 5

Resulvase la desigualdad x

x

31

2.

SOLUCIN:Los pasos a seguir consisten en pasar el 2 al miembro izquierdo, sacar comn de-

nominador y operar como en el ejemplo anterior. Es decir:

x

x

31

2 0

Siendo x 1 el comn denominador:

x 3

x

2(1x 1) 0

Queda como:

x

x

15

0

De esta ltima desigualdad, tenemos las opciones: 1)

y 2)

. Ana-licemos cada caso:

1. Para

se sugiere que x 5 0, o bien x 5 y x 1 0, o sea,

x 1 (obsrvese que en este caso no tenemos el problema de la divisin porcero). La interseccin de x 5 otorga por primera parte de la solucin:

S1: (, 5)

NMEROS REALES 29

2. En tanto que

nos da para disponer x 5 0 o x 5 y x 1 0

o x 1. Siendo la interseccin de ambas opciones la segunda parte de la so-lucin, es decir:

S2 (1, )Consecuentemente, la solucin es la suma S S1 S2. O bien:

S (, 5) (1, )Como se aprecia en la Figura 1.22.

5 1

FIGURA 1.22. Solucin grfica de la desigualdad para el cociente x

x

31

2.

EJEMPLO 6

Los casos siguientes , as como x

11

, precisan de cuidar que las

expresiones en el denominador no valgan cero. As, en la primera de estas x2 3x 2debe ser estrictamente mayor que cero, es decir: x2 3x 2 0. En tanto que para la

1x2 3x 2

EJEMPLO 7

Resolver la desigualdad x2

x

3

x

118

0.

SOLUCIN:Factorizando el denominador, nos queda:

(x x

6

)(x1 3) 0

De esta se desprenden las opciones: 1)

y 2)

, planteadas en la

proposicin [1-13]. Abordemos ambos casos:

1.

. Esto es: x 1 0 o A) x 1 y, estrictamente (x 6)(x 3) > 0.

Esta ltima tiene dos opciones:

B) (x 6) 0 y (x 3) 0De donde:

x 6 y x 3

Las cuales tienen por solucin parcial el intervalo:


Sparcial1: (6, )C) (x 6) 0 y (x 3) 0

O bien:

x 6 y x 3

Siendo el intervalo solucin:

Sparcial2: (, 3)De ambos casos se desprende la solucin parcial:

Sparcial: (, 3) (6, )Intersecando esta ltima con A) x 1 nos quedar la primera parte de la so-lucin buscada, es decir:

S1: (6, )2.

. Esto es: x 1 0, o sea, A) x 1 y, estrictamente (x 6)(x 3) 0.

Esta ltima tiene las opciones:

B) x 6 0 x 3 0De donde:

x 6 y x 3

Las cuales tienen por solucin parcial el intervalo:

Sparcial1: (3, 6)C) (x 6) 0 y x 3 0

Es decir:

x 6 y x 3

Siendo el intervalo solucin:

Sparcial2: (6, )Luego tenemos que la solucin parcial es:

Sparcial: (3, 6) (6, )Intersecando esta ltima con A) x 1 nos quedar la segunda parte de la so-lucin buscada, la cual es vaca, puesto que no existe interseccin, es decir:

S2: [3, 1]La suma S S1 S2 es la solucin de la desigualdad original, quedando esta

como:

S: [3, 1] (6, )Conviene siempre probar con alguno de los valores contenidos en el intervalo.

NMEROS REALES 31

VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES

1.4.1. CONCEPTO DE VALOR ABSOLUTO Y PROPIEDADES

La nocin de valor absoluto surge de la condicin de que toda cantidad, natural-mente de las que se estudian en la fsica y en los cursos de ingeniera, debe ser posi-tiva. En el caso que vimos de la diferencia 3 8 0, la distancia entre ambos valo-res es negativa; no obstante, a efectos prcticos es necesario concebirle con valorpositivo. Casos concretos de distancias bajo esta condicin pueden ser las longitudesde los lados en los terrenos planos, la distancia de la Tierra a la Luna tomada positivacomo T-L (Tierra-Luna) y negativa como L-T (Luna-Tierra), los valores positivo y negativo que toma el resultado de la raz 4 2, suponiendo que este refiere un re-sultado concreto de una magnitud real, etc. En este sentido, podemos decir que los va-lores negativos en las cantidades son sujetos a convenciones que hacemos con ellos alconsiderarlos en los casos prcticos positivos.

De aqu que la diferencia 3 8 5, condicionada como una longitud, debe es-cribirse como 5 0, lo cual indica su naturaleza como cantidad, en tanto que elsigno negativo asociado deja ver que la diferencia se realiz en un sentido, o sea, res-tando el valor numrico menor del mayor, lo cual pudo ocurrir al contrario. De la mis-ma forma podemos escribir 4 asocindole el valor absoluto como: 4 2.

Luego, podemos introducir el concepto de valor absoluto de un nmero como:

[1-14]Esto est contenido en la siguiente expresin:

x [1-15]

Propiedades del valor absoluto

Algunas propiedades importantes, que dejaremos sin demostrar, son descritas acontinuacin:

1-9. De la definicin inicial 1.14 se deduce la correlacin siguiente: x x.Por ejemplo 5 5.

1-10. x x. Ejemplo 4 1-11. x y x y1-12. x y x y1-13. xy xy

2, si x 02, si x 0

x, si x 0x, si x 0

La distancia de un punto x al origen, considerada como positiva, se llama valorabsoluto de x, y se indica con el smbolo x si x 0, as se tiene que x x, ysi x 0, entonces x x.

1.4.

1-14. xy

1.4.2. SOLUCIN DE DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTOUn primer mtodo para resolver este tipo de desigualdades, es hacer un uso lgi-

co de la definicin [1-15] que vimos anteriormente:

x x, si x 0x, si x 0

xy


EJEMPLO 1

Resolver la desigualdad con valor absoluto 3x 5 3.SOLUCIN:

Dividiremos la solucin de 3x 5 3 en dos partes:1. Si consideramos la primera condicin de la definicin de valor absoluto: x, si

x 0, diremos que la expresin que se encuentra dentro del valor absoluto de

3x 5 3, ser positiva si 3x 5 0, o bien x 53. Por lo que llamaremoscondicin para la primera parte de la definicin, la cual sujeta a la propia solucin.Ahora, puesto que hemos condicionado la solucin para que el valor interior delvalor absoluto sea positivo, dejemos positiva la expresin original, o sea: 3x 5 3, de la que se desprende que x 8

3:

Si intersecamos este ltimo con el valor x 53 de la condicin, obtendremos una

primera parte de la solucin: S1:53, 83

indicado en el semi-intervalo de la Figura 1.23.

FIGURA 1.23. Primera parte de la solucin.

5

3

8

3

2. Tomando en cuenta que la segunda condicin de la definicin de valor absolutoes x, si x 0, entonces dejaremos menor que cero la expresin contenida en3x 5 3, como (3x 5) 0; lo cual nos lleva a la condicin 3x 5 0,o bien: x

53.

Por tanto, dejaremos negativa la parte interior de la desigualdad original como(3x 5) 3; lo cual nos conduce a: x 2

3.

Si intersecamos este ltimo valor con la condicin nos quedar la segunda parte

de la solucin: S2: 23, 83.

Otras propiedades para el valor absoluto

Por otro lado, de la definicin de valor absoluto se desprenden otras propiedadesque nos sern de utilidad, como las siguientes:

1-16. x a, s y solo s, a x a, con a 01-17. x a, s y solo s a x a1-18. x a, s y solo s x a x a1-19. x a, s y solo s a x aUtilizando estas ltimas es ms sencillo resolver la desigualdad anterior. Por la

propiedad 1.16 esta se puede arreglar en forma anidada como:

3 3x 5 3

Sumando 5 en cada miembro:

3 5 3x 3 52 3x 8

Dividiendo por 3 queda la solucin deseada (confrntese con la solucin deter-minada por el mtodo lgico anterior):

23 x

83

NMEROS REALES 33

FIGURA 1.24. Segunda parte de la solucin.

FIGURA 1.25. Solucin grfica de la desigualdad 3x 5 3.

Luego la solucin buscada de la desigualdad ser la suma de las soluciones par-

ciales S1: 53, 83 y S2: 23,

83.

Esto es el intervalo abierto: S: 23, 83.

2

3

8

3

2

3

8

3


EJEMPLO 2

Resolver la desigualdad 4x 2 3x 1.SOLUCIN:

Con la regla 1-19 resulta sencillo resolverla, coloqumosla en forma anidada, como:

(3x 1) 4x 2 3x 1O sea:

3x 1 4x 2 3x 1

Sumando 2 en los tres miembros:

3x 1 2 4x 3x 1 2

3x 1 4x 3x 3

En este ltimo paso hay que resolver por separado ambas desigualdades. Nos queda:Para el lado izquierdo: Para el lado derecho:

4x 3x 1 4x 3x 3

Es decir:

x 17, o S1: , 17 x 3, luego: S2: (3, )

De manera que la solucin es la suma de las soluciones parciales S: S1 S2, o bien:

S: , 17 (3, )

EJEMPLO 3

Resolver la desigualdad: 1.

SOLUCIN:A partir de la definicin de valor absoluto dada en [1-15], esta ltima tiene las op-

ciones:

Analicemos ambos casos:

1. x

x

1 1 condicionada por x 1.

1. x

x

1 1, si x 1 0, o x 1

2. (x

x

1) 1, si x 1 0, o x 1

x 1

x

NMEROS REALES 35

Pasando 1 al miembro izquierdo queda:

x 1

x

x 0

Es decir:

x

1 0, la solucin de esta ltima desigualdad es vlida para toda x 0.

Intersecando con la condicin x 1, nos queda la primera parte de la solucin:S1: [1, )

2. (x

x

1) 1 condicionada por x 1.

En el primer caso queda que:

2x

x

1 0

De esta se desprenden dos opciones:

A) 2x 1 0 y x 0O bien:

x 12 y x 0

Siendo:

Sparcial1: (, 0)B) 2x 1 0 y x 0, quedando:

x 12 y x 0

De modo que:

sparcial2: 12, Luego: Sparcial: (, 0) 12, Intersecando esta ltima con la condicin x 1, nos queda la segunda parte de lasolucin:

S2: (, 0) 12, 1La solucin S S1 S2, queda como:

S: (, 0) 12,


EJEMPLO 4

Diariamente seis camiones recolectores recogen entre 800 kg, y 1.000 kg, de basu-ra en un sector de la ciudad por da. Si la mitad de los camiones recogen el doble que losdems: entre qu valores, en la recoleccin de basura, se encuentran los camiones re-colectores que recogen ms rpido?

SOLUCIN:Consideremos por x los camiones que recogen la basura ms rpido, y por y aquellos

que lo hacen ms lento. Luego podemos escribir la recoleccin de basura diaria en tr-minos de la desigualdad:

800 3x 3y 1.000

Y, puesto que los camiones ms rpidos x recogen el doble que los ms lentos y,x est en proporcin de 1:2 con respecto a y, o bien y

12 x. Sustituyendo esta ltima en

la desigualdad, queda:

800 3x 312x 1.000800 3x

32x 1.000

800 92x 1.000

1.600 9x 2.000

Dividiendo por 3 queda el resultado buscado. Es decir, los tres camiones recolecto-res ms rpidos colectan basura diariamente entre:

533,33 kg 3x 666,66 kg

EJEMPLO 5

Se quiere disear una ventana como la que se muestra en lafigura, con la parte superior coronada con un semihexgono. Laventana debe tener un rea de 5 m2. Si el ancho x solamente puedetomar valores entre 1 m y 1,8 m, encuentre los valores que pue-de tomar y.

SOLUCIN:Las longitudes extremas de la base hexagonal se establecen a

partir de x 20,6. El rea del rectngulo mayor es: AR xy.

La base l de los tringulos rectngulos que se forman est dada por la relacin:

l (0,6)2 x 20,62

0,6 0,60,6

l

y

x

NMEROS REALES 37

Por tanto, el rea de cada tringulo rectngulo es:

AT

En tanto que el rea del rectngulo superior se da por:

Ar (0,6)(0,6)2 x 20,6

2Luego el rea total de la puerta A 5 puede ser descrita como:

A 2AT Ar ARO sea:

x 20,6

2(0,6)2 x 20,62 (0,6)(0,6)2 x 20,6

2 xy 5O bien:

(0,6)2 x 20,62x 20,6

2 0,6 xy 5

Sustituyendo en esta ltima los valores extremos de x, 1 x 1,8. Para x 1 re-sulta y 4,638 en tanto que para x 1,8 y 2,5. Luego los valores de y se encuentranentre 2,5 y 4,638.

x 20,6

2 (0,6)2 x 20,6

2

2

ACTIVIDADES Y EJERCICIOS DE LAS SECCIONES 1.2, 1.3 Y 1.4

I. Revisin de conceptos

1. A la opcin de establecer nmeros positivos y negativos en la recta real se lellama?

2. Da, con tus propias palabras, una explicacin de la naturaleza de x en la ex-presin que resulta de la solucin de una desigualdad, por ejemplo en el caso que dice:x toma un nmero inconmensurable de valores en el intervalo (a, b).

3. Anota la solucin para 9 en trminos de la definicin de valor absoluto.

4. Anota V (verdadero) o F (falso) para cada una de las siguientes proposiciones: a) x c es equivalente con c x cb) 3x 5 c) 2 x

x

41

2 xx

41

2

3x 5 si 3x 5 0(3x 5) si 3x 5 0


II. Actividades y ejercicios

1. Describe con una desigualdad cada una de las siguientes oraciones.

a) De mi casa al ITCh II tardo entre 20 y 25 minutos.b) Diariamente me ejercito alrededor de 50 minutos o una hora.c) Tardo en baarme entre 7 y 10 minutos.d) Una mosca vive, a lo ms, 48 horas.e) Una computadora, despus de encenderse, tarda en estar lista para ser usa-

da entre dos y tres minutos.

2. Encuentra el intervalo solucin de cada una de las siguientes desigualdades.Grafcales sobre la recta real.

a) 2x 3 3x 2b) 3x 7 5x 7c) 2x 3 x x 5d) 3

2 x x 6

e) 4 2x 3 5f) 3x 4 y x 3x 2g) x 3 0 y x 2 0.

La solucin es la interseccin.h) 3 2x 7x 1 3x 2i) 5x 2 0 o 5 2x 5 7.

La solucin es la suma.j) x 1x 1 0k) 5 3x 3l) x(x 7) 0m) 3 2x2 x 2n) x2 3x 2o) x2 5x 0p) (x 1)(x 2)(x 3) < 0q) x2 10x 100 0

r) 10

x2

170x 1

s) x2 25 0

t) xx

35

0

u) x

x

7 1

v) xx

21

x

x

1 0

w) 0

x) x2

x2

3

x

1 1

1

y) 0

z) 2xx

31

2

1

x 2x 4

x 2x 3

3. Para qu valores de a tiene sentido la siguiente desigualdad?

1 3a

a

51

2

4. Resuelva el siguiente sistema de desigualdades (Resolverle es encontrar la in-terseccin de ambas):

2x 3 03x 2 0

5. Resuelva las siguientes desigualdades con valor absoluto para cada una escri-ba la solucin en un intervalo:

NMEROS REALES 39

a) 3x 2 1b) 2x 5 1c) 2x 1 3x 4d) 3 2x 0,43e) 0

f) x (2x 1) 12 x 3

g) xx

11

2h)

3x

x

15 2

i) 1x x 3j) x 4 3 5x

x 1

x 3

6. Se quiere disear una ventana como la que se muestra en la fi-gura, con la parte superior coronada con un semicrculo. La ventanadebe tener un rea de 4 m2. Si el ancho x solamente puede tomar va-lores entre 1 m y 1,8 m, encuentre los valores que puede tomar y.

7. Una placa fotogrfica de 20 cm, por 10 cm, debecontener un margen de ancho y entre 1,5 cm y 2,5 cm, enlas partes superior e inferior y x cm, en cada lado. Si elrea til de la fotografa debe ser de 150 cm2. Cules sonlos posibles valores que puede tomar y.

III. Problemas para examen

1. La temperatura que se usa en la escala Fahrenheit es F grados, en tanto que laque se usa en centgrados es C grados. Si la relacin entre ambos sistemas se da por:

C 59 (F 32), encuentre la variacin de valores de temperatura de F, si C se en-

cuentra entre 0 y 15.

2. Se desea construir una caja abierta con un pedazo cuadrado de cartn cuyolado es de 60 cm, cortando cuadrados iguales en las esquinas (vase la figura).

a) Determine una frmula para el volumen V de la caja.b) Si el valor de y se coloca entre 10 y 20, entre que valores se coloca el

volumen V?

x

y

x10

20

y

3. Resuelva las desigualdades siguientes:

a) 2x 3 5 3xb) 2 3x 5 2x 1c) Encontrar los valores de x para los cuales la expresin x2 2x 3 tiene

sentido.d) 3x 2 4

3xx

21

1


60

60

yy

DEFINICIN DE FUNCINPara dar una definicin del concepto de funcin es necesario primero conocer el

significado de otros conceptos involucrados con ella, como son el de variable,

Calculo Diferencial

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