MATEMATICAS II

DEDICATORIA

Todo el empeño que hemos puesto en este proyecto se lo dedicamos ante todo a DIOS a nuestros padres, familiares, y compañeros quienes de una u otra manera nos han apoyado para la satisfactoria culminación de este proyecto.

De igual manera a nuestros maestros, en especial al catedrático de la ciencia de Matemáticas el Ing. Civil Rafael Salcedo por proporcionarnos la guía necesaria que nos ha estimulado para alcanzar el objetivo deseado.

Página 1

MATEMATICAS II

AGRADECIMIENTO

Agradecemos de todo corazón primordialmente a nuestros familiares que contribuyeron a la realización de este proyecto.

A nuestro maestro guía por compartir e impartirnos sus conocimientos y llevarnos por senderos de sabiduría, prosperidad y poder lograr que nuestro esfuerzo obtenga el objetivo deseado.

A la Universidad Técnica de Máchala, por la oportunidad que brinda a los jóvenes paraqué puedan convertirse en profesionales que contribuyan con el desarrollo de la misma.

Página 2

MATEMATICAS II

INTEGRANTES:1.- AGUIRRE CHUCHUCA KELVIN 2.- ALCIVAR ROMERO ANYELO

3.- BALCAZAR CALERO JUAN 4.- CAJAMARCA COYAGO JUAN

5.-GANAN BLACIO KAREN 6.- HERNANDEZ TORRES TATIANA

7.- JADAN ORTEGA GEOVANNA 8.- JARAMILLO GRANDA ROSA

9.- MOSCOSO OLLAGUE WALTER 10.- NARANJO CARPIO JUAN

11.- QUEVEDO MENDOZA ALEXANDER 12.- PUTAN PUTAN MARCOS

13.- RAMIREZ SANCHEZ FLAVIO 14.- RIOFRIO JIMENEZ YURY

15.-ROMERO GRANDA ANDRES 16.- ROMERO ZAVALA HERMEL

17.- RUILOVA CUMBICOS FAUSTO 18.- SALAZAR NARVAEZ JOHANNA

19.- TORRES RAMIREZ YULIANA 20.- VARGAS SURIAGA VANESSA

Página 3

MATEMATICAS II

DERIVADA DE PRODUCTO DE DOS FUNCIONES:

La derivada de producto de dos funciones es la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función, más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera.

dydx

=u .v

dydx

=u . dvdx

+v dudx

Página 4

MATEMATICAS II

DERIVADA DE UN COCIENTE:

La derivada de un cociente es el denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, y todo ello dividido por el cuadrado del denominador.

dydx

=v du

dx−u dv

dxv2

Página 5

MATEMATICAS II

DERIVADA EXPONENCIAL:

Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función

f:R Rx f(x) = ax

Esta función se escribe también como f(x) = exp a x y se lee «exponencial en base a de x».

Antes de dar un ejemplo de función exponencial, conviene recordar algunas propiedades de las potencias:

1. a° = 1

2. a-n = 1/an

Página 6

MATEMATICAS II

DERIVADA DE LOGARITMO NATURAL:

La derivada con logaritmo es igual a uno (1) sobre la variable (v) que se multiplica por la derivada de la variable.

En análisis matemático se llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de la función:

que toma el valor 1 cuando la variable x es igual a 1,

La función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial:

Si y= ln v

dydx

=1v

. dvdx

Página 7

MATEMATICAS II

DERIVADA DE LOGARITMO VULGAR:

Dado un número real a positivo, no nulo y distinto de 1, (a > 0; a ≠ 0; a ≠ 1), y un número N positivo y no nulo (N > 0; N ≠ 0), se llama logaritmo en base a de N al exponente x al que hay que elevar dicha base para obtener el número.

Para indicar que x es el logaritmo en base a de N se escribe:

loga N = x

y se lee «logaritmo en base a de N es igual a x».

Por lo tanto, loga N = x (notación logarítmica) equivale a decir que ax = N

(notación exponencial).

Notación logarítmica

Notación exponencial

Página 8

MATEMATICAS II

log 2 8 = 3log 1/2 4 = -2log 7 7³ = 3

2³ = 8(1/2)-2 = 2 ² = 47³ = 7³

Consecuencias de la definición de logaritmo

1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: loga 1 = 0, ya que a° = 1

2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: loga a = 1, ya que a¹ = a

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: loga am = m, ya que am = am

4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero.

5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0< N<1, es negativo si la base a del logaritmo es a>1.

Así, por ejemplo, log 3 1/9 = -2, ya que 3-2 = 1/9

6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0< N<1, es positivo si la base a del logaritmo es a<1.

Página 9

MATEMATICAS II

Por ejemplo, log 1/3 1/9 = 2, ya que (1/3) ² = 1/9

7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es a>1.

Así, log3 9 = 2; ya que 3 ² = 9

8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es a<1.

Así, log 1/5 25 = -2, ya que (1/5)-2 = 25

Página 10

MATEMATICAS II

EJEMPLOS:

1. DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES.

dydx

=u .v

dydx

=u . dvdx

+v dudx

Página 11

MATEMATICAS II

1) Y=(3+2 X )4(3−5 X )5

PASOS A SEGUIR

Identificamos la función U (3+2 X )4 y luego la función V (3−5 X )5

Empezamos a derivar la función U

U=(3+2 X )3

dudx

=4(3+2 X )3. (2)

dudx

=8 (3+2 X)3

Página 12

MATEMATICAS II

Luego derivamos la función V

V=(3−5 X)5

dvdx

=5¿

dvdx

=−25¿

Se procede a remplazar las funciones y sus derivadas en la formula antes dada.

Y=(3+2 X )4(3−5 X )5

dydx

=(3+2x )4 .¿

dydx

=−25(3+2x )4(3+2 x)4+8(3+2 x)3(3−5 x)5

Página 13

MATEMATICAS II

dydx

¿(3−5 x)4 (3+2 x)3 [−25 (3+2 x )+8(3−5 x) ]

dydx

=(3−5 x )4 (3+2 x )3(−75−50 x+24−40 x)

dydx

=(3−5 x )4 (3+2 x )3 (−90 x−51 )

dydx

=3 (3−5 x )4 (3+2 x )3 (−30 x−17 )

2) Y=(x2+2x−7)3(2 x−3)4(1−3 x)5(1+7 x)4

U¿(x2+2 x−7)3(2 x−3)4

dudx

=(x2+2 x−7)3 ∙ 4 (2 x−3)3(2)+(2 x−3)4 ∙ 3 ( x2+2x−7 )2(2 x−2)

Página 14

MATEMATICAS II

dudx

=(x2+2 x−7)3 ∙8(2x−3)3+(2x−3)4 ∙3 ( x2+2 x−7 )2( x+1)

dudx

=2(x2+2x−7)2(2 x−3)3 [4 (x2+2 x−7)+3(2x−3)(x+1)]

dudx

=2 ( x2+2 x−7 )2 (2 x−4 )3(4 x2+8x−28+6 x2+6 x−9 x−9)

dudx

=2 ( x2+2 x−7 )2 (2 x−3 )3(10 x2+5 x−37).

V=(1−3 x )5(1+7x )4

dvdx

=(1−3 x )5∙ 4 (1+7 x )3 (7 )+(1+7 x )4 ∙5 (1−3 x )4 ∙(−3)

dvdx

=(1−3x )4(1+7 x )3 [(1−3 x)4 ∙7+5(1−7 x)(−3) ]

dvdx

=(1−3x )4(1+7 x )3

Página 15

MATEMATICAS II

dvdx

=(1−3 x )4 (1+7 x )3(13−21 x)

Y=(x2+2 x−7)3(2 x−3)4(1−3 x)5(1+7 x)4

dydx

=¿(x2+2x-7)3(2x-3)4(1-3x)4(1+7x)3(13-21x)+ (1-3x)5 (1+7x)4.2 (x2+2x-7)2

(2x- 3)3(10x2+5x-37)

dydx

=¿(x2+2x-7)2(2x-3)3(1-3x)4(1+7x)3¿(x2+2x-7)(2x-3)(13-21x)+2

(1-3x)(1+7x)(10x2+5x-37)¿

dydx

=¿(x2+2x-7)2(2x-3)3(1-3x)4(1+7x)3(42x4+5x3+141x2-78x-340x3-150x2+1268x-74)

dydx

=¿(x2+2x-7)2(2x-3)3(1-3x)4(1+7x)3 (42x4-335x3-9x2-74).

Página 16

MATEMATICAS II

3) Y= ( 35

X2−1)2 ( 23

X+1)3 ( 34

X−3)4

U= ( 35

X2−1)2 ( 23

X+1)3

dudx

=(35

x2−1)2.3 ( 23

x+1)2( 23 ) + 2( 3

5x2−1)( 6

5x )( 2

3x+1)3

dudx

=(35

x2−1)( 23

x+1)2 [3( 35

x2−1)( 23 )+. 2( 2

3x+1)( 6

5x)]

dudx

=(35

x2−1)( 23

x+1)2[2( 35

x2−1)+ 125 ( 2

3X−1)]

dudx

=(35

x2−1)( 23

x+1)2[( 6 x2

5−2)+(24 x2

18−12

5x)]

dudx

=(35

x2−1)( 23

x+1)2[( 6 x2−105 )+( 24 x2+36 x

15 )]Página 17

MATEMATICAS II

dudx

=(35

x2−1)( 23

x+1)2[18 x2−30+24 x2+36 x15 ]

dudx

=(35

x2−1)( 23

x+1)2[ 42 x2+36 x−3015 ]

dudx

=(35

x2−1)( 23

x+1)2( 14 x2+12 x−1015 )

V= ( 34

X−3)4

dvdx

=¿4( 34

x−3)3( 34 )

dvdx

=3 .( 34

x−3)3

Página 18

MATEMATICAS II

Y= ( 35

X2−1)2 ( 23

X+1)3 ( 34

X−3)4

dydx

=( 35

X2−1)2 ( 23

X+1)3 3 .( 34

x−3)3 +( 34

X−3)4( 35

x2−1)( 23

x+1)2[ 42 x2+36 x−3015 ]

dydx

=( 35

x2−1)(23

x+1)2

( 34

x−3)3[(3

5X2−1)( 2

3x+1) .3+( 3

4x−3) .2( 42 x2+36 x−30

15 )]dydx

=( 35

x2−1)(23

x+1)2

( 34

x−3)3[( 3

5X2−1)(1

3x+1)+(3

2x−3)( 42 x2+36 x−30

15 )]

DERIVADA DE UN COCIENTE:

Página 19

MATEMATICAS II

1.-) y=( 3

5X

23+ 7

8X

14 −10)

34

( 37

X78−5

8X

83+ 3

4 )1115

PASOS A SEGUIR:

Identificamos cual es la función U ( 35

X23+ 7

8X

14 −10)

34 y

Luego la función V ( 37

X78− 5

8X

83+ 3

4 )1115

Empezamos a derivar la función U

Página 20

MATEMATICAS II

u=( 35

x23 +7

8x

14−10)

34

dudx

=34 ( 3

5x

23 + 7

8x

14 −10)

−14 ( 2

3x

−13 + 7

32x

−34 )

Empezamos a derivar la función V

v=( 37

x78− 5

8x

83 + 3

4 )1115

dvdx

=1115 ( 3

7x

78−5

8x

89 + 3

4 )−415 ( 3

8x

−18 −5

9x

−19 )

Página 21

MATEMATICAS II

Se procede a remplazar las funciones y sus derivadas en la formula antes dada.

y=( 3

5X

23+ 7

8X

14 −10)

34

( 37

X78−5

8X

83+ 3

4 )1115

dydx

=( 3

7x

89−5

8x

89 + 3

4 )1115 3

4 ( 35

x23 + 7

8x

14 −10)

−14 ( 2

5x

−13 + 7

32x

−34 )−( 3

5x

23 + 7

8x

14 −10)

34 11

15 ( 37

x78−5

8x

83 + 3

4 )−415 ( 3

8x

−18 −5

9x

−19 )

[( 37

x78− 5

8x

89 + 3

4 )1115 ]

2

dydx

=( 37

x89−5

8x

89 + 3

4 )−415 ( 3

5x

23 + 7

8x

14 −10)

−14 [3

4 ( 37

x89−5

8x

89 + 3

4 )(25

x−13 + 7

32x

−34 )−11

15 ( 35

x23 + 7

8x

14 −10)( 3

8x

−18 −5

9x

−19 )]

[(37

x78−5

8x

89 + 3

4 )1115 ]

2

Página 22

MATEMATICAS II

dydx

=( 37

x89−5

8x

89 + 3

4 )−415 ( 3

5x

23 + 7

8x

14 −10)

−14 [ 9

70x

1324 + 9

28x

18−3

6x

59− 105

1024x

536 + 9

40x

−13 + 63

512x

−34 − 33

200x

1324+ 33

155x

59− 77

320x

18 + 77

216x

536+ 33

12x

−18 −110

27x

−19 ]

( 37

x78−5

8x

89 + 3

4 )2215

dydx

=

−511400

x1324−109

640x

18 + 41

720x

59+ 7021

27648x

536 + 9

40 x13

+ 63

512 x34

+ 33

12 x18

− 110

27 x19

( 37 x

89−

58 x

89+

34 )

2615 (3

5 x23 +

78 x

14−10)

14

2.-) y= x2−x+1x2+x+1

dydx

=( x2+x+1 ) (2 x−1 )−( x2−x+1 ) (2 x+1 )

( x2+x+1 )2

Página 23

MATEMATICAS II

dydx

=( x2+x+1 ) [ (2 x−1 )−(2 x+1 ) ]

( x2+x+1 )2

dydx

=2 x−1−2x−1( x2+x+1 )

dydx

= −2( x2+x+1 )

3.-) y= √u+1√u−1

u¿√u+1

dudx

=12

u−12

dudx

= 12√u

Página 24

MATEMATICAS II

V¿√u−1

dvdx

=12

u−12

dvdx

= 12√u

y= √u+1√u−1

dydx

=¿¿

dydx

=

√u – 1−√u−12√u

(√u−1)2

Página 25

MATEMATICAS II

dydx

= −22√u (u−1 )2

dydx

= −22√u (u−1 )2

dydx

= −1√u (u−1 )2

DERIVADA DE UNA FUNCION EXPONENCIAL

1) Y = ev

PASOS A SEGUIR:

Identificamos las funciones la variable (V) Derivamos la variable ( V )

Página 26

MATEMATICAS II

v=4 x2−5dydx

=8 x

Derivamos la función Y

Y = ev

dydx

=8 xe4 x2−5

2) Y= e2 x+3

e7 x−2

u=e2 x+3

dudx

=e2 x+3 .2

Página 27

MATEMATICAS II

v=e7 x−2

dvdx

=e7 x−2.7

dydx

=2 (e7 x−2 ) . (e2 x+5 )−(e2x+3 ) (e7 x−2 ) .7

(e7 x−2 )2

dydx

=− (e2 x+3 ) (5 )

e7 x−2

3) y= ex2

ex

u=ex2 u= ev ' v '=x2

dv '=2 x

Página 28

MATEMATICAS II

v=ex

dvdx

=ex.1

y= ex2

ex

dydx

= ex2

. ex−ex .2 x ex2

e2 x

dydx

=ex ex2

[1−2 x ]e2 x

dydx

=ex2

[ 1−2 x ]ex

DERIVADA DE UNA FUNCION EXPONENCIAL

Página 29

MATEMATICAS II

y=av

PASOS A SEGUIR

dydx

=av . ln a . dvdx

1) y=3−x +1x−1

a=3

v= x+1x−1

dvdx

= 2( x−1 )2

dydx

=3x+1x−1 ln 2 2

( x−1 )2

Página 30

MATEMATICAS II

2.-) y=−3− x2

a=2

v=x2−5 x+1

dvdx

=2 x−5

dydx

=2x2−5+5 . ln 3 . (2 x−5 )

3.-) y=−7e5x2−3 x+1

a=7

Página 31

MATEMATICAS II

v=e5 x2−3 x+1 (10 x−3 )

dvdx

=−7e5 x2−3 x+1

ln7 (10x−3)e5x2−3 x+1

4.-) 63 x+ex

dydx

=3+ex (1 )

dydx

=63 x+e x

. ln 6.3+¿ex ¿

DERIVADA DE LOGARITMO NATURAL

Página 32

MATEMATICAS II

1.-) y=ln (x+2)3(x−3)4

(x−1)2(x+1)5

y=3 ln ( x+2 )+4 ln ( x−3 )−2 ln ( x−1 )−5 ln(x+1)

dydx

= 3(x+2)

.1+ 4(x−3)

.1− 2(x−1)

.1− 5( x+1 )

.1

dydx =

3 ( x−3 ) ( x−1 ) ( x+1 )+4 ( x+2 ) ( x−1 ) ( x+1 )−2 ( x+2 ) (x−3 ) (x+1 )−5(x+2)(x−3)(x−1)( x+2 ) ( x−3 ) ( x+1 )(x−1)

dydx

=3 x3−9 x2−3 x+9+4 x3+8x2−4 x−8−x2+7 x+6−x3+2x2+5 x−6( x+2 ) ( x−3 ) ( x+1 )(x−1)

dydx

= 6 x3+5 x+1(x+2 ) ( x−3 ) ( x+1 )( x−1)

R .

2.-) y=( x−2 )(x+4)(x−5 )(x+3)

Página 33

MATEMATICAS II

lny=ln(x−2 )(x+4)( x−5 )(x+3)

lny=ln ( x−2 )+ln ( x+4 )−ln ( x−5 )− ln (x+3)

1y∗dy

dx= 1

(x−2)+ 1

(x+4 )− 1

(x−5)− 1

(x+3)

1y∗dy

dx=

( x+4 ) (x−5 ) (x+3 )+( x−2 ) ( x−5 ) ( x+3 )− (x−2 ) ( x+4 ) ( x+3 )−( x−2 ) ( x+4 )(x−5)( x−2 ) ( x+4 ) (x−5 )(x+3)

1y∗dy

dx= x3+2 x2−23 x−60+ x3−4 x2−11 x+30− x3−5 x2+2 x+24−x3+3 x2+18 x−40

(x−2 ) ( x+4 ) ( x−5 )(x+3)

1y∗dy

dx= −4 x2−14 x−46

( x−2 ) ( x+4 ) ( x−5 )(x+3)

Página 34

MATEMATICAS II

dydx

= −2(2x2+7 x+23)(x−2 ) ( x+4 ) ( x−5 )(x+3)

∗y

dydx

=

−2(2x2+7 x+23)( x−2 ) ( x+4 ) ( x−5 ) ( x+3 )

∗( x−2 )(x+4)

( x−5 )(x+3)

dydx

=−2(2 x2+7 x+23)(x−5)2(x+3)2 R .

4.-) y=(x+1)2(2 x+3)3

lny=ln(x+1)2(2x+3)3

1y

× dydx

=2 ln ( x+1 )+3 ln (2 x+3)

1y

× dydx

=2 × 1(x+1)

+3× 1(2x+3 )

× 2

Página 35

MATEMATICAS II

1y

× dydx

= 2(x+1)

+ 6(2 x+3)

1y × dy

dx =2 (2 x+3 )+6(x+1)

( x+1 )(2 x+3)

1y

× dydx

=4 x+6+6 x+6( x+1 )(2 x+3)

1y

× dydx

= 10 x+12( x+1 )(2 x+3)

dydx

= 2(5 x+6)(x+1)(2 x+3)

∗ y

dydx

= 2(5 x+6)(x+1 )(2 x+3)

∗(x+1)2(2 x+3)3

dydx

=2 (5 x+6 ) ( x+1 ) (2 x+3 )2 R .

Página 36

MATEMATICAS II

DERIVADA DEL LOGARITMO VULGAR

Si y= log v

dydx

=

log ev

∗dv

dx

EJERCICIOS

Página 37

MATEMATICAS II

Y=log (x2−5)5

v=(x2−5)5 dydx

=

logev

∗dv

dx

dvdx

=5(x2−5)4∗(2 x) dydx

= loge(x2−5)5∗10 x (x2−5)4

dvdx

=10 x (x2−5)4 dydx

=10 x loge(x2−5)

y=log ( ex )

Página 38

MATEMATICAS II

dydx

= log ex

(ex )ex

dydx

=log e

y= log (e x)x

dydx

=log ex (x )−1

dydx

=log (ex )−1 ( x )−2+( x )−1 logex

ex

dydx

=−log(ex )(x )2

+ log ex

Página 39

MATEMATICAS II

Página 40

MATEMATICAS II

1.- DERIVADA DE PRODUCTO DE DOS FUINCIONES:

2.- DERIVADA DE UN COCIENTE:

y=uv

dydx

=v du

dx−u dv

dxv2

Y=u . v

dydx

=u . dvdx

+v . dudx

Página 41

MATEMATICAS II

3.- DERIVADA EXPONENCIAL:

y=ev

dydx

=ev . dvdx

4.-DERIVADA CON EXPONENTE:

y=av

dydx

=av lna dvdx

Página 42

MATEMATICAS II

5.-DERIVADA CON LOGARITMO NATURAL:

y=ln v

dydx

=1v

. dvdx

6.-DERIVADA CON LOGARITMO VULGAR:

y=log . v

dydx

= log ev

. dvdx

Página 43

MATEMATICAS II

Página 44