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UNIDAD ACADEMICA DE CIENCIAS QUIMICA Y DE LA SALUD

CARRERA DE BIOQUIMICA Y FARMACIA

APLICACIÓN DE PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS PARA LA ELABORACION DE ENVASE DE AGUA

MARIA ISABEL TANDAYAMO

SISALIMA

SELENA STEFANIA TORRES HERRERA

MARVIN MIGUEL VALAREZO ATIENCIE

MACHALA

2016

UNIVERSIDAD TECNICA DE MACHALA

UNIDAD ACADÉMICA DE CIENCIAS QUÍMICAS Y DE LA SALUD

CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA

PROYECTO DE AULA DE CALCULO DIFERNCIALTEMA:

APLICACIÓN DE PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS PARA LA ELABORACION DE ENVASE DE AGUA

INTEGRANTES:

MARIA ISABEL TANDAYAMO SISALIMA

SELENA STEFANIA TORRES HERRERA

MARVIN MIGUEL VALAREZO ATIENCE

DOCENTE:

ING. DELLY SAN MARTIN

CATEDRA:

CALCULO DIFERNCIAL

PARALELO:

PRIMER SEMESTRE DE BIOQUIMICA Y FARMACIA “B”

EL ORO - MACHALA

2016

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AGRADECIMIENTO

Nos gustaría que estas líneas sirvieran para expresar nuestro más profundo y sincero

agradecimiento a todas aquellas personas que con su ayuda han colaborado en la realización

del presente trabajo, en especial a la Ing. Delly San Martin por la orientación, el seguimiento

y la supervisión continua de la misma, pero sobre todo por la motivación y el apoyo que

hemos recibido a lo largo de este tiempo.

También nos gustaría agradecer la ayuda recibida de nuestros familiares que con su constante

apoyo nos han incentivado a seguir adelante con nuestro proyecto.

A todos ellos, muchas gracias.

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DEDICATORIA

Este proyecto se lo dedicamos primeramente a Dios quien nos da la fuerza para seguir

adelante y a la Ing. Delly San Martin quien ha sabido guiarme correctamente impartiendo sus

conocimientos de la mejor manera y por la paciencia que ha tenido en cada clase y además

tutoría y también quiero dedicárselo con mucho cariño y esfuerzo para mis padres quienes son

la base primordial para que yo me encuentre día a día de pie para continuar logrando mis

objetivo.

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RESUMENEste proyecto es con el fin de verificar el uso de cálculo en la vida diaria y además

relacionarlo con el perfil académico de un profesional de bioquímica y farmacia.Pues al

parecer el cálculo deferencial se encuentra implícito en varias cuestiones de nuestra vida

diaria que se mencionan con las palabras “ máxima” y “ mínima”, como por ejemplo: el costo

mínimo de un producto considerando cierto tiempo, algunos problemas de tiempo mínimo en

los que se menciona el tiempo que tarda cada persona y el tiempo que tardarían en conjunto

esas personas en realizar la misma actividad, voltaje máximo que puede soportar algún

aparato eléctrico utilidad máxima de un objeto.

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INDICEPROYECTO DE AULA DE CALCULO DIFERNCIAL..............................................................2

AGRADECIMIENTO...................................................................................................................3

DEDICATORIA............................................................................................................................4

RESUMEN.....................................................................................................................................5

SIMBOLOGÍA..............................................................................................................................7

INTRODUCCION.........................................................................................................................8

OBJETIVOS..................................................................................................................................9

Objetivo general.........................................................................................................................9

MARCO TEÓRICO....................................................................................................................10

El Cálculo Diferencial..................................................................................................................10

Que es el cálculo diferencial.....................................................................................................10

El cálculo diferencial en la vida cotidiana................................................................................10

Las principales aplicaciones del cálculo diferencial son:..........................................................11

Máximos y Mínimos.....................................................................................................................12

Definición:................................................................................................................................12

1. Derivada primera de la función..............................................................................................12

PROBLEMAS SOBRE MAXIMOS Y MINIMOS......................................................................13

Instrucciones generales:...........................................................................................................14

1. Ejercicio............................................................................................................................15

CONCLUSIONES.......................................................................................................................16

RECOMENDACIÓN...................................................................................................................16

ANEXOS......................................................................................................................................17

Bibliografía..................................................................................................................................18

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SIMBOLOGÍA

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INTRODUCCION

El cálculo diferencial es una poderosa herramienta de la matemática para analizar el cambio

en las cosas, se utiliza especialmente en lo que son derivadas.

Galileo Galilei, consideró que las matemáticas griegas eran muy sencillas para poder expresar

sus niveles y creó la cinemática que trata de movimiento en abstracto, los eruditos necesitaban

un lenguaje más dosificado de la que se hablaba en los tiempos de Arquímedes y Euclides en

otras palabras después de Galileo, la física necesitaba un lenguaje más avanzado

aproximadamente después de 25 años de su muerte se descubriría por fin ese famoso lenguaje

y a utilizarse desde entonces este se llamaría Calculo Diferencial. En si cada vez nuevos

autores entran a aportar y dar nuevos avances del cálculo entre los más famosos fueron Isaac

Newton, Leibniz, Barrow. Pierri fue un matemático francés, quien diseño métodos como los

máximos y mínimos, acercando casi al descubrimiento de cálculo diferencial mucho antes que

Newton y Leibniz.

El cálculo diferencial tiene también un uso cotidiano, y la salud también ya que permite

resolver problemas básicos en nuestro alrededor.

Concretamente, podemos optimizar una función: calcular máximos y mínimos de una curva,

estudiar la razón de cambio de una variable respecto a otra. Las aplicaciones del cálculo

diferencial en las ciencias naturales incluyen modelos de crecimiento simple, interacciones

entre organismos, trabajo de neuronas, reacciones enzimáticas, modelamiento epidemiológico

y muchas otras. (Oviedo, s.f.).

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OBJETIVOS

Objetivo general

Aplicar los métodos de cálculo diferencial a través de la elaboración de un proyecto de

investigación, para elaborar envases o tetrapck para aplicarlos a futuro en nuestra carrera.

Objetivos específicos

Resolver un problema de máximos y mínimos para la elaboración de un envase

tetrapck.

Verificar el máximo o mínimo de dicho problema a resolverse.

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MARCO TEÓRICO

El Cálculo Diferencial

El Cálculo es una rama de la Matemática cuyas ideas datan de la época de Arquímedes

(287-212 a.C.), cuyo origen puede establecerse en culturas tan diversas como la de

Grecia, Egipto, Babilonia, India, China y Japón y cuya consolidación como disciplina

se produce a partir de los estudios realizados en el siglo XVII por Isaac Newton

(1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716) Muchos de los descubrimientos

científicos que han permitido el avance de nuestra civilización durante los tres últimos

siglos hubieran sido imposible si no se hubiera conocido el Cálculo. Gran parte del

Cálculo implica el empleo de números reales o de variables para describir cantidades

cambiantes; pero, fundamentalmente, implica el uso de funciones a los efectos de

describir la relación entre tales variables, proceder al análisis de problemas que las

involucran. El estudio y resolución de estos problemas resulta fundamental en un

mundo de cambios constantes, pleno de cuerpos en movimiento y con fenómenos de

flujo y reflujo; de allí que el Cálculo, como cuerpo de técnicas de cómputos y

conceptos esenciales, siga teniendo vigencia, siga sirviendo como el principal lenguaje

cuantitativo de la ciencia y la tecnología. (Bortolato, 2014)

Que es el cálculo diferencial

El cálculo diferencial es un análisis matemático y dentro del cálculo mismo donde

consiste en el cambio de variables dependientes que cambian a independientes que son

como el objeto de estudio del análisis. Como principal objeto del cálculo es la

derivada, la derivada en el cambio de una función de variables independientes es de

interés para el cálculo infinitesimal, esto es cuando el cambia se da hasta cero si

relaciona con el límite de modo que el límite es la principal herramienta del cálculo y

se lo diferencia del algebra. Los máximos y mínimos son unas funciones donde se

busca los puntos de inflexión de cualquier tipo de curva geométrica, o puntos

máximos y mininos de productos.

El cálculo diferencial en la vida cotidiana

Pues al parecer el cálculo deferencial se encuentra implícito en varias cuestiones de

nuestra vida diaria que se mencionan con las palabras “ máxima” y “ mínima”, como

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por ejemplo: el costo mínimo de un producto considerando cierto tiempo, algunos

problemas de tiempo mínimo en los que se menciona el tiempo que tarda cada persona

y el tiempo que tardarían en conjunto esas personas en realizar la misma actividad,

voltaje máximo que puede soportar algún aparato eléctrico utilidad máxima de un

objeto; como por ejemplo el tiempo de vida de las pilas, etc.

El cálculo diferencial es muy útil en la vida cotidiana ya que por medio de el podemos

obtener soluciones de problemas que se nos puedan presentar.

El cálculo diferencial nos sirve para resolver problemas de la vida diaria y así poderlos

asimilarlos de manera más analítica y fácil. (Camarena, 2012)

Las principales aplicaciones del cálculo diferencial son:

• El estudio de movimientos, aspectos de velocidad, y aceleración

• El cálculo de máximos y mínimos, por ejemplo:

- En una agencia de viajes, o en una empresa, saber cuál es la mayor ganancia que se

puede obtener en cierto periodo, o con cierto producto, pero a la vez, igualmente

calcular, si existen perdidas en estos productos, o en un lapso de tiempo. Si se aplica

de manera correcta el cálculo diferencial, se podrán obtener estos resultados, sin

ningún problema.

En economía los costos marginales, los ingresos marginales y las utilidades

marginales también son derivadas. Una aplicación interesante de la derivada se

encuentra en los problemas de optimización. Por ejemplo, cuando una compañía que

elabora bebidas desea reducir costos produciendo una lata que contenga el máximo

volumen y requiera el mínimo de material, la solución puede encontrarse mediante el

empleo del cálculo diferencial.

El cálculo tiene amplias aplicaciones en la ciencia y la ingeniería y se usa para

resolver problemas para los cuales el álgebra por sí sola es insuficiente.

.La importancia del Cálculo en el mundo actual es enorme, ya que la ciencia y la

tecnología modernas sencillamente serían imposibles sin él. Las leyes de la naturaleza

se expresan mediante ecuaciones que involucran funciones y sus derivadas, y el

análisis de estas ecuaciones se realiza mediante las herramientas del cálculo. Por esa

razón los cursos de esta disciplina aparecen en los planes de estudio de todas las

carreras científicas y técnicas. (Carranza A. G., 2015)

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Máximos y Mínimos

Valores máximo y mínimo de una función; valores de una. Función puede haber uno

que sea más grande (máximo) o más pequeño (mínimo) que los demás. En

muchísimos problemas prácticos importa saber a qué valor de la variable corresponde

tal valor de la función. (Granville, 2009)

Definición:

Una función f tiene un máximo absoluto (o máximo global) en c si f(c) ≥ f(x) para

toda x en D donde D es el dominio de f. El número f(c) se llama valor máximo de f en

D.

De manera análoga, f tiene un mínimo absoluto en c si f(c) ≤ f(x) para toda x en D; el

número f(c) se denomina valor mínimo de f en D.

Los valores máximo y mínimo de f se conocen como valores extremos de f.

Dada la función f(x)=x3-6x+9x+4, estudia su crecimiento y decrecimiento.

¿Tiene f(x) máximos o mínimos?. Si los tiene halla sus coordenadas.

1. Derivada primera de la función

Hacemos la derivada primera de la función. La igualamos a 0 y resolvemos la ecuación resultante. Si la ecuación tiene solución, en esos puntos de x puede haber máximos o mínimos locales.

También se llaman extremos relativos, puntos singulares o puntos críticos.

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Primer

método

para

calcular

los

máximos y mínimos de una función. Regla guía en las aplicaciones.

PRIMER PASO. Se halla la primera derivada de la función.

SECUNDO PASO. Se iguala la primera derivada a cero, y se hallan las raíces reales de la

ecuación resultante. Estas raíces son los valores críticos de la variable.

TERCER PASO. Se consideran los valores críticos uno por uno, y se calculan los signos de la

primera derivada, en primer lugar para un valor un poco menor * que el valor crítico y

después para un valor un poco mayor que él. Si el signo de la derivada es primeramente + y

después -, la función tiene un maximo para este valor crítico de la variable; en el caso

contrario, tiene un mínimo. Si el signo no cambia, la función no tiene ni máximo ni mínimo

para el valor crítico considerado.

PROBLEMAS SOBRE MAXIMOS Y MINIMOS

En muchos problemas debemos primeramente hallar, a partir de los datos, la expresión

matemática de la función cuyos valores máximos y mínimos se desean, esto es a veces

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bastante difícil. Ninguna regla es aplicable en todo los caso, pero en muchos

problemas podemos guiarnos por las siguientes.

Instrucciones generales:

a) Determinar la función cuyo máximo o mínimo se desea obtener.

b) Si la expresión resultante contiene más de una variable, las condiciones del

problema proporciona las suficientes relaciones entre las variables para que la

función pueda expresarse en términos de una sola variable.

c) A la función resultante se le aplica la regla para el cálculo de máximos y

mínimos.

d) En los problemas prácticos, muchas veces se ve con facilidad cuál de los

valores críticos dará un máximo y un mínimo; en consecuencia no siempre es

necesario aplicar el tercer paso.

e) Conviene construir la gráfica de la función para comprobar el resultado

contenido.

El cálculo de máximo s y mínimos puede a menudo simplificarse con la ayuda de los

siguientes principios, que se deducen inmediatamente de lo anterior expuesto.

a) Los máximos y mínimos de una función continua se representan

alternativamente.

b) Cuando c es un constante positiva, c f (x) es un máximo o un mínimo para los

valores de x que hace a f(x) máxima o mínima, y no para otros.

Por tanto, al determinar los valores críticos de x y al aplicar la regla para ver si se trata

de máximos o mínimos, puede omitirse los factores constantes, cuando c es negativa, c

f (x) es un máximo cuando f(x) es mínima, y recíprocamente. (Granville, 2009)

Ahora resolveremos un ejercicio aplicando problemas de máximos y mínimos para la

elaboración de envase de agua o tetrapck

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1. Ejercicio

Una compañía de agua purificada suele comercializar en garrafón de 20 litros pero

están desarrollando un proyecto donde puedan ofrecer al público un envase más

pequeño donde el costo de producción sea el menor posible entonces el tetrapck

que va a realizarse tiene un volumen de 800ml.

V= 800ml= 800cm3

b=2a

a x b x c

2ac + 2bc + 2ab

V= (a)(2a)(c)

V= a2 c

V=800cm3

A= 2ac+2(2a)c+2a(2a)

A= 2ac+4ac+4a2

A= 6ac+4a2

800=2 a2c

800 =c

2a2

A= 6ac (800) = 4 a2

2a2

A=4800 = 4 a2

2a2

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C

a

b

2ac

2bc

2ab

A= 2400 = 4 a2

a

A=2400a-1 = 4 a2

A=-2400a-2 = 8a

0=-2400= 8ª

a2

2400=a3

8

a = = 6.6943

Se reemplaza los valores

b = 13.3986

c = 8.9258

a x b x c = 799.99cm3

CONCLUSIONES

La optimización de cálculo es para la verificación de máximos o mínimos de una

función, o problema que se presente con la aplicación de máximos o mínimos

este proyecto fue realizo con la finalidad de ver el uso de cálculo diferencial en la

carrera de Bioquímica y Farmacia y que también es importante en la vida cotidiana.

RECOMENDACIÓN

Se recomienda aprender a derivar correctamente para poder realizar ejercicios con

facilidad.

Al igual que también se recomienda aprenderse las debidas reglas.

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ANEXOS

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BibliografíaBortolato, M. S. (2014). Calculo diferencial e integral . Libro de textos abiertos.

Camarena, F. (17 de 11 de 2012). Blog. Obtenido de calculo diferencial a la vida cotidiana: http://camarena5201.blogspot.com/

Carranza, A. G. (21 de 10 de 2015). Calculo Diferencial "Vida Cotidiana". Obtenido de http://vidacotidianaalma.blogspot.com/

Carranza, l. G. (21 de 10 de 2015). Calculo Diferencial "Vida Cotidiana". Obtenido de http://vidacotidianaalma.blogspot.com/

Granville. (2009). Calculo Diferencial. Mexico: Limusa.

Oviedo, V. P. (s.f.). Matemática en la Salud. Obtenido de http://netlizama.usach.cl/Apuntes%20Medicina%20(Veronica).pdf

18

https://chirinossilvaroger.files.wordpress.com/2012/04/cc3a1lculo-diferencial-e-

integral-granville.pdf

https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/781/4/1488.pdf

http://www.fic.umich.mx/~lcastro/11%20maximos%20y%20minimos.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=wIGPqV4D7fM

https://www.youtube.com/watch?v=9WSJ76mD59s

https://www.youtube.com/watch?v=7wARXdOCgco

https://prezi.com/-ani0joqacp7/maximos-y-minimos-problemas-geometricos/

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