C´alculo diferencial de funciones de varias variablesmtpalezp/mundo/ana2/CDI2cap3.pdf · a la...

CALCULODIFERENCIALEINTEGRAL2,UPV/E

HU

Capıtulo 3Calculo diferencial de funciones de variasvariables

3.1. Derivadas parciales. Derivadas direccionales

Como es bien sabido, la nocion de derivada de una funcion f esta relacionada con la variacionf(x+ u)− f(x), para valores de u arbitrariamente pequenos.

Observemos que, a diferencia de las funciones de una variable, ahora no tiene sentido la

expresionf(x+ u)− f(x)

u, pues el denominador es un vector. Debemos pues modificar ade-

cuadamente la definicion de derivada.

Definicion. Sea f : D ⊂ Rm → Rn. Si x ∈ intD y u ∈ Rm es un vector unitario arbitrario,sea h ∈ R suficientemente pequeno para que el segmento [x, x + hu] este contenido en D.Llamamos derivada direccional de f en el punto x segun la direccion del vector u a

f �(x, u) = lımh→0

f(x+ hu)− f(x)

h.

El cocientef(x+ hu)− f(x)

hrepresenta el promedio de variacion de f por unidad de distancia

segun la direccion del vector u.

Observemos que, si m = 1, solo hay dos vectores unitarios, u = 1 y u = −1, que correspondena la unica direccion posible en R. Si m = 2, todas las direcciones (o vectores unitarios) puedenescribirse como (cosϑ, senϑ), para cada ϑ ∈ [0,π).

Otras notaciones usuales para la derivada direccional son

f �(x, u) = Duf(x) = f �u(x).

39


HU

40 3.1. Derivadas parciales. Derivadas direccionales

Nota. Si v �= 0 no es un vector unitario, podemos llamar u = v/�v�, en cuyo caso

lımh→0

f(x+ hv)− f(x)

h= lım

h→0

f(x+ hu�v�)− f(x)

h�v�/�v� = �v�· lımh→0

f(x+ hu�v�)− f(x)

h�v� = �v�·f �u(x).

Este lımite, que denotaremos por f �v(x), tambien recibe el nombre de derivada direccional de

f en x segun la direccion del vector v aunque este no sea unitario.

En el caso particular de que uk = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) sea el k-esimo vector unitario coor-denado, f �(x, uk) recibe el nombre de derivada parcial k-esima de f en x, o derivada parcialrespecto a la k-esima coordenada xk, y la notacion que utilizaremos es

Dkf(x) = f �k(x) =

∂

∂xkf(x), 1 ≤ k ≤ m.

En este caso, la definicion equivale a la definicion de derivada de una funcion de una variable,pues basta suponer constantes el resto de las mismas.

Si z = f(x, y) es una funcion de dos variables, calcular∂f

∂x(x0, y0) y

∂f

∂y(x0, y0) equivale a

cortar la superficie con los planos y = y0 y x = x0, respectivamente, y calcular las pendientesde las rectas tangentes a las curvas obtenidas.

Para los casos mas comunes de funciones de dos o tres variables u = f(x, y, z) utilizaremosla notacion mas difundida

Dxf = f �x =

∂f

∂x, Dyf = f �

y =∂f

∂y, Dzf = f �

z =∂f

∂z.

Observacion. Para calcular las derivadas parciales, basta aplicar las reglas usuales de deri-vacion de funciones de una variable, manteniendo constantes el resto de variables.

Por ejemplo, si f(x, y, z) = x2y + y + cos(y2z), entonces

∂f

∂x(x, y, z) = 2x,

∂f

∂y(x, y, z) = 1− 2yz sen(y2z),

∂f

∂z(x, y, z) = −y2 sen(y2z).


HU

Capıtulo 3. Calculo diferencial de funciones de varias variables 41

Enunciamos algunas propiedades que se deducen de las definiciones anteriores.

1. Si v = −u, entonces f �(x, v) = −f �(x, u).

2. Si descomponemos la funcion en sus componentes f = (f1, . . . , fn), entonces

∃f �(x, u) ⇐⇒ ∃f �j(x, u), ∀j = 1, . . . , n.

En este caso,f �(x, u) =

�f �1(x, u), . . . , f

�n(x, u)

�.

En particular, las derivadas parciales se obtienen como

Dkf(x) =�Dkf1(x), . . . , Dkfn(x)

�, 1 ≤ k ≤ m.

3. Si F (t) = f(x+ tu), entonces F �(0) = f �(x, u).

En general, F �(t) = f �(x+ tu, u).

4. Si f(x) = ax+ b, f �(x, u) = au, ∀x, u ∈ Rm.

5. Si f(x) = �x�2, entonces f �(x, u) = 2�x, u�.Demostracion. Por definicion,

f �(x, u) = lımh→0

f(x+ hu)− f(x)

h= lım

h→0

�x+ hu�2 − �x�2

h

= lımh→0

�x, hu�+ �hu, x�h

= 2�x, u�.

Observaciones.

1) Puede que existan las derivadas parciales de una funcion pero no existir derivadas en nin-

guna otra direccion. Por ejemplo, si f(x, y) =

�x+ y si x = 0 o y = 0

1 en el resto,entonces existen

ambas derivadas parciales en el origen:

∂f

∂x= lım

h→0

f((0, 0) + h(1, 0))− f(0, 0)

h= lım

h→0

f(h, 0)− f(0, 0)

h= 1,

∂f

∂y= lım

k→0

f((0, 0) + k(0, 1))− f(0, 0)

k= lım

k→0

f(0, k)− f(0, 0)

k= 1.

Sin embargo, no existe ninguna otra derivada direccional en el origen porque, si u = (a, b),

con a �= 0, b �= 0, entoncesf(ha, hb)− f(0, 0)

h=

1

h, que no tiene lımite cuando h → 0.

2) La existencia de derivadas direccionales en cualquier direccion no es condicion suficiente

para la continuidad de una funcion. Por ejemplo, si f(x, y) =

yx2

y2 + x4si (x, y) �= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0),consideramos un vector unitario arbitrario u = (cosϑ, senϑ). Definimos

F (t) = f(tu) =t senϑ cos2 ϑ

sen2 ϑ+ t2 cos4 ϑ.


HU

42 3.2. Diferenciabilidad

Entonces

f �((0, 0), u) = F �(0) = lımt→0

F (t)− F (0)

t

= lımt→0

senϑ cos2 ϑ

sen2 ϑ+ t2 cos4 ϑ=

�cosϑ cotg ϑ si senϑ �= 0,

0 si senϑ = 0.

Ası pues, existe f �((0, 0), u) para cualquier direccion u. En particular, son nulas ambasderivadas parciales en el origen. Sin embargo, la funcion no es continua en el origen pues,aunque los lımites iterados en el origen son nulos, si nos aproximamos a lo largo de laparabola y = x2, tenemos

lımx→0

f(x, x2) = lımx→0

x4

2x4=

1

2�= 0.

En la grafica de la superficie se observa que, a lo largo de la parabola y = x2, la funciones constante pero toma el valor 1/2, mientras que, a lo largo de los ejes de coordenadas,toma el valor cero.

3.2. Diferenciabilidad

Debido a la existencia de funciones que poseen derivadas direccionales en un punto paracualquier direccion pero no son continuas en dicho punto, el concepto de derivada direccionalno es el adecuado para generalizar el de derivada de funciones de una variable.

Es sabido que, si f : R → R es derivable en x = c, la funcion

Ec(h) =

f(c+ h)− f(c)

h− f �(c) si h �= 0,

0 si h = 0,

verifica lımh→0

Ec(h) = 0. Ademas

f(c+ h) = f(c) + hf �(c) + hEc(h)


HU


(formula de Taylor de primer orden), de modo que hEc(h) representa el error cometido alaproximar f(c+h)−f(c) por hf �(c). Esta misma formula demuestra tambien que dicho errorhEc(h) es un infinitesimo de orden superior a h cuando h → 0, es decir lım

h→0hEc(h)/h = 0.

Por otra parte, como funcion de h, la expresion Lc(h) = h · f �(c) es una funcion lineal.

Teniendo presente lo anterior, se puede dar una definicion de derivada que extiende a ladefinicion analoga para funciones de R en R.Definicion. Dada una funcion f : D ⊂ Rm → Rn y un punto x ∈ intD, decimos que f esdiferenciable en x si existe una aplicacion lineal Lx : Rm → Rn tal que

f(x+ v) = f(x) + Lx(v) + �v� · Ex(v),

donde lımv→0

Ex(v) = 0, lo que equivale a

lımv→0

f(x+ v)− f(x)− Lx(v)

�v� = 0.

La funcion lineal Lx recibe el nombre de derivada total o diferencial total de f en x, y sedenota comunmente por dfx.

Enunciamos a continuacion algunas propiedades de la diferencial que se deducen de la defi-nicion.

Proposicion 3.2.1. Si descomponemos la funcion f : Rm → Rn en sus componentesf = (f1, . . . , fn), entonces f es diferenciable si y solo si fk es diferenciable, para todok ∈ {1, . . . , n}.

Proposicion 3.2.2. Si una funcion es diferenciable en un punto, su diferencial total es unica.

Demostracion. Supongamos que f : D ⊂ Rm → Rn es diferenciable en x0 ∈ intD. Si L1 yL2 son diferenciales de f en x0, entonces

f(x0 + v) = f(x0) + L1(v) + �v� · Ex0(v), con lımv→0

Ex0(v) = 0,

f(x0 + v) = f(x0) + L2(v) + �v� · Fx0(v), con lımv→0

Fx0(v) = 0.

Por tanto, L1(v)− L2(v) = �v�(Fx0(v)− Ex0(v)).

Dado y ∈ Rm, elegimos t suficientemente pequeno para que x0 + ty ∈ D (por ejemplo, siB(x0, δ) ⊂ D, entonces |t| < δ/�y�). De este modo, L1(ty)−L2(ty) = �ty�(Fx0(ty)−Ex0(ty)).Por la linealidad de L1 y L2, deducimos que t(L1(y)− L2(y)) = |t| · �y�(Fx0(ty)− Ex0(ty)),de donde |t| · �L1(y) − L2(y)� = |t| · �y� · �Fx0(ty) − Ex0(ty)�. Teniendo en cuenta quelımt→0

�Fx0(ty)− Ex0(ty)� = 0, concluimos que

�L1(y)− L2(y)� = lımt→0

�y� · �Fx0(ty)− Ex0(ty)� = 0,

de donde L1(y) = L2(y), para todo y ∈ Rm.

Proposicion 3.2.3. Si f es diferenciable en x0, entonces f es continua en x0.


HU


Demostracion. Como f(x)−f(x0) = L(x−x0)+�x−x0�·Ex0(x−x0), con lımx→x0

Ex0(x−x0) = 0,

si tomamos lımites a ambos lados de la igualdad teniendo en cuenta que toda funcion lineales continua (ver proposicion 2.3.15), resulta que

lımx→x0

f(x)− f(x0) = lımx→x0

L(x− x0) + lımx→x0

�x− x0� · Ex0(x− x0) = 0,

de donde lımx→x0 f(x) = f(x0).

Proposicion 3.2.4. Si f es diferenciable en x0, existen las derivadas direccionales de f enx0 para cualquier direccion v ∈ Rm (�v� = 1) y ademas f �

v(x0) = dfx0(v).

Demostracion. Por hipotesis,

f(x0 + hv) = f(x0) + Lx0(hv) + �hv� · Ex0(hv), con lımh→0

Ex0(hv) = 0.

Teniendo en cuenta que Lx0(hv) = hLx0(v), de lo anterior se deduce que

lımh→0

f(x0 + hv)− f(x0)

h= lım

h→0

�Lx0(v) +

|h|h

· �v�Ex0(hv)

�.

En definitiva, f �v(x0) = Lx0(v).

Proposicion 3.2.5. Si f es diferenciable en x y v = (v1, . . . , vm) es un vector arbitrario deRm, entonces

dfx(v) =m�

k=1

Dkf(x) · vk.

Demostracion. Si expresamos el vector v como combinacion lineal de los elementos de la base

canonica de Rm, v =m�

k=1

vkek, debido a la linealidad de Lx resulta que

Lx(v) = Lx

�m�

k=1

vkek

�=

m�

k=1

vkLx(ek) =m�

k=1

vkf�k(x),

lo que demuestra la proposicion.

En el caso particular de campos escalares, es decir funciones f : Rm → R, un pequeno abuso denotacion (cuando no hay lugar a confusion) permite expresar la diferencial de forma similara la notacion utilizada para funciones de una variable. Para ello, indicamos una direccionarbitraria mediante el vector v = (dx1, . . . , dxn) y escribimos la diferencial como

df(x1, . . . , xn) =∂f

∂x1· dx1 + · · ·+ ∂f

∂xn· dxn

sin hacer mencion explıcita de la dependencia de la diferencial con respecto a v.

Definicion. Si llamamos vector gradiente de una funcion f : Rm → R en un punto x a

∇f(x) =�D1f(x), . . . , Dm(x)

�,


HU


de lo anterior se deduce la formula de Taylor de primer orden

f(x+ v) = f(x) + �∇f(x), v�+ �v� · Ex(v) con lımv→0

Ex(v) = 0,

para funciones f : Rm → R.

Observacion. Si f : Rm → R, como

dfx(v) = �∇f(x), v� = �∇f(x)� · �v� · cosα,

donde α es el angulo entre ∇f(x) y v, su valor es maximo cuando ∇f(x) tiene la mismadireccion y sentido que v (pues cosα = 1) y su valor es mınimo cuando tiene sentido contrario(ahora cosα = −1). En el primer caso, su valor es dfx(v) = �∇f(x)� · �v�.Ademas, si ∇f(x) �= 0, el vector gradiente apunta en la direccion de mayor crecimiento de f .

Proposicion 3.2.6 (condicion suficiente de diferenciabilidad). Sea f : Rm → R una funciontal que existen las derivadas parciales Dkf (1 ≤ k ≤ m) en una bola de centro x0 y soncontinuas en x0. Entonces f es diferenciable en x0.

Demostracion. Debemos probar que existe una funcion lineal Lx0 : Rm → R tal que

(∗) = lımv→0

��f(x0 + v)− f(x0)− Lx0(v)

�v�

�� = 0.

Si representamos x0 = (x10, x20, . . . , x

m0 ) y v = (v1, . . . , vm), podemos escribir

f(x0 + v)− f(x0) = f(x10 + v1, x20 + v2, . . . , x

m0 + vm)− f(x10, x

20 + v2, . . . , x

m0 + vm)

+ f(x10, x20 + v2, . . . , x

m0 + vm)− f(x10, x

20, x

30 + v3, . . . , x

m0 + vm)

+ . . .

+ f(x10, x20, . . . , x

m−10 , xm0 + vm)− f(x10, x

20, . . . , x

m−10 , xm0 ).

Cada diferencia es una funcion de una variable, definida en el segmento [xk0, xk0+vk], continua y

derivable (si vk es suficientemente pequeno). Por el teorema del valor medio, existe ϑk ∈ (0, 1)tal que

f(x10, . . . , xk0 + vk, x

k+10 + vk+1, . . . , x

m0 + vm)− f(x10, . . . , x

k0, x

k+10 + vk+1, . . . , x

m0 + vm)

= f �k(x

10, . . . , x

k0 + ϑkvk, x

k+10 + vk+1, . . . , x

m0 + vm) · vk.

Si definimos Lx0(v) =m�

k=1

f �k(x0) · vk, resulta

(∗) = lımv→0

��

�mk=1[f

�k(x

10, . . . , x

k0 + ϑkvk, x

k+10 + vk+1, . . . , xm0 + vm)− f �

k(x0)] · vk�v�

��

≤ lımv→0

m�

k=1

|f �k(x

10, . . . , x

k0 + ϑkvk, x

k+10 + vk+1, . . . , x

m0 + vm)− f �

k(x0)| ·|vk|�v�

≤m�

k=1

lımv→0

|f �k(x

10, . . . , x

k0 + ϑkvk, x

k+10 + vk+1, . . . , x

m0 + vm)− f �

k(x0)|.

Por la continuidad de f �k, se deduce que dicho lımite es cero.


HU


Ejemplos.

1) La funcion f(x, y) =xy�

x2 + y2, si (x, y) �= (0, 0), con f(0, 0) = 0, es continua en el origen

(ver ejercicio 2.5). Ademas existen ambas derivadas parciales en el origen. Veamos, sinembargo, que f no es diferenciable en el origen:

lım(a,b)→(0,0)

f(a, b)− f(0, 0)− a · f �1(0, 0)− b · f �

2(0, 0)√a2 + b2

= lım(a,b)→(0,0)

ab

a2 + b2,

el cual no existe. En conclusion, podemos afirmar que alguna de las derivadas parciales∂f

∂xo∂f

∂yno es continua en el origen.

2) El recıproco de la proposicion anterior no es cierto. En el ejercicio 3.7 se muestra unafuncion diferenciable donde no son continuas las derivadas parciales.

Representacion matricial de la diferencial

Debido a que la diferencial de una funcion es una funcion lineal, puede definirse mediantesu representacion matricial con respecto a las bases canonicas de Rm y Rn, respectivamente(ver 2.3).

Sea pues f : D ⊂ Rm → Rn una funcion diferenciable en un punto x0 y L = df(x0) : Rm → Rn

su diferencial total en x0. Si {e1, . . . , em} es la base canonica de Rm, entonces

L(ej) = f �ej (x0) = Djf(x0) = (Djf1(x0), . . . , Djfn(x0)) =

n�

k=1

Djfk(x0) · ek.

Por tanto, la matriz asociada a L con respecto a las bases canonicas, llamadamatriz jacobianade f en x0 es

Df(x0) =

D1f1(x0) . . . Dmf1(x0)

......

D1fn(x0) . . . Dmfn(x0)

donde fk (1 ≤ k ≤ n) es la k-esima funcion componente de f y Djfk (1 ≤ j ≤ m) la j-esimaderivada parcial de fk.

La fila k-esima de dicha matriz es�D1fk(x0), . . . , Dmfk(x0)

�y coincide precisamente con el

vector gradiente de fk en x0.

Teorema del valor medio

Un resultado interesante, que extiende en cierto modo al correspondiente para funciones deuna variable, es el teorema del valor medio.

Teorema 3.2.7 (del valor medio). Sea f : Rm → Rn una funcion diferenciable en un abiertoD ⊂ Rm. Sean x, y ∈ D dos puntos tales que el segmento que los une [x, y] esta contenido enD. Entonces

∀a ∈ Rn, ∃z ∈ [x, y] : �a, f(y)− f(x)� = �a, f �(z, y − x)�.


HU


Demostracion. Sea u = y−x. Como D es abierto, existe δ > 0, tal que x+ tu ∈ D para todot ∈ (−δ, 1 + δ).

x

y

Sea a ∈ Rn arbitrario y definimos F (t) = �a, f(x+ tu)�, t ∈ (−δ, 1 + δ). Como F es diferen-ciable, F �(t) = �a, f �

u(x+ tu)� = �a, dfx+tu(u)�.Por el teorema del valor medio, F (1)−F (0) = F �(c) para algun c ∈ (0, 1). Como F (1)−F (0) =�a, f(y)− f(x)� y F �(c) = �a, f �

u(x+ cu)�, queda probado el teorema.

Observaciones.

1) En el caso particular de que n = 1, se puede tomar a = 1 y el teorema toma la formaconocida

f(y)− f(x) = f �(z, y − x) = �∇f(z), y − x�.

2) Si n �= 1, lo anterior puede no ser cierto, como se comprueba con la funcion f(t) =(cos t, sen t): en este caso, f(2π)− f(0) = (0, 0), pero, para cualquier t ∈ [0, 2π],

f �(t, 2π) = 2π(− sen t, cos t),

que es un vector de longitud 2π y, por tanto, no nulo.

Corolario 3.2.8. Si D ⊂ Rm es un abierto y convexo, f : Rm → Rn es una funciondiferenciable en D y �df(z)� ≤ k, ∀z ∈ D, entonces �f(x)− f(y)� ≤ k�y − x�, ∀x, y ∈ D.

Demostracion. Si x, y ∈ D, entonces [x, y] ⊂ D por ser convexo. Si elegimos el vector

a =f(y)− f(x)

�f(y)− f(x)� , por la desigualdad de Cauchy-Schwarz y teniendo en cuenta el teore-

ma anterior, resulta que

�f(y)− f(x)� = |�a, f(y)− f(x)�| = |�a, f �(z, y − x)�| ≤ �a� · �f �(z, y − x)� ≤ k · �y − x�,

debido a que �a� = 1.

En particular, si df(z) = 0, para todo z ∈ D, entonces f es constante.

Si una funcion de dos variables viene definida mediante una integral, para calcular sus deri-vadas aplicamos el siguiente resultado:

Proposicion 3.2.9 (derivacion bajo el signo integral). Sea f : R2 → R una funcion continua

en un conjunto compacto D ⊂ R2 tal que∂f

∂xes tambien continua en D.


HU

48 3.3. Derivacion de funciones compuestas

a) Si definimos

F (x) =

� b

af(x, y) dy,

entonces F es derivable y

F �(x) =

� b

a

∂f

∂x(x, y) dy.

b) Si h1, h2 : R → R son dos funciones derivables, entonces

F (x) =

� h2(x)

h1(x)f(x, y) dy

es tambien derivable y

F �(x) = f�x, h2(x)

�· h�2(x)− f

�x, h1(x)

�· h�1(x) +

� h2(x)

h1(x)

∂f

∂x(x, y) dy.

Demostracion. Para la primera parte, por definicion de derivada,

F �(x) = lımh→0

F (x+ h)− F (x)

h= lım

h→0

� b

a

f(x+ h, y)− f(x, y)

hdy

=

� b

alımh→0

f(x+ h, y)− f(x, y)

hdy =

� b

a

∂f

∂x(x, y) dy.

De forma similar, si F (x) =

� h2(x)

h1(x)f(x, y) dy, entonces

F �(x) = lımh→0

1

h·�� h2(x+h)

h1(x+h)f(x+ h, y) dy −

� h2(x)

h1(x)f(x, y) dy

�

= lımh→0

�� h1(x)

h1(x+h)

f(x+ h, y)

hdy +

� h2(x)

h1(x)

f(x+ h, y)− f(x, y)

hdy +

� h2(x+h)

h2(x)

f(x+ h, y)

hdy

�.

Aplicando el teorema del valor medio para integrales en el primero y tercer sumandos, seobtiene el resultado.

3.3. Derivacion de funciones compuestas

Las reglas de derivacion para la suma, resta, producto y cociente de funciones de una variablese extienden sin hipotesis adicionales al caso de funciones de varias variables.

El siguiente resultado general especifica las condiciones para la diferenciabilidad de una fun-cion compuesta.

Teorema 3.3.1 (regla de la cadena). Sean g : ∆ ⊂ Rm → Rn diferenciable en x0 ∈ int∆ yf : D ⊂ Rn → Rp diferenciable en y0 = g(x0) ∈ intD. Entonces f ◦ g es diferenciable en x0 y

d(f ◦ g)(x0) = df(y0) ◦ dg(x0).


HU


Demostracion. Como x0 ∈ int∆, existe un vector u ∈ Rm tal que x0+u ∈ ∆ y g(x0+u) ∈ D.Si llamamos v = g(x0 + u) − y0 (por la continuidad de g, si u → 0, sabemos que v → 0),podemos escribir

(f ◦ g)(x0 + u)− (f ◦ g)(x0) = f(y0 + v)− f(y0).

Por ser g diferenciable en x0,

g(x0 + u)− g(x0) = v = dgx0(u) + �u� · Ex0(u), con lımu→0

Ex0(u) = 0. (3.1)

Analogamente, por la diferenciabilidad de f ,

f(y0 + v)− f(y0) = dfy0(v) + �v� · Ey0(v), con lımv→0

Ey0(v) = 0.

De estas dos igualdades y de la linealidad de dfy0 , resulta:

f(y0 + v)− f(y0) = dfy0�dgx0(u) + �u� · Ex0(u)

�+ �v� · Ey0(v)

= (dfy0 ◦ dgx0) (u) + �u� · E(u),

donde E(u) =

�dfy0

�Ex0(u)

�+ �v�

�u� · Ey0(v) si u �= 0

0 si u = 0.

Basta entonces probar que lımu→0

E(u) = 0.

El primer sumando tiende a cero por hipotesis. En el segundo sumando, cuando u → 0, tam-bien v → 0, de modo que lımv→0Ey0(v) = 0. Veamos por ultimo que �v�/�u� esta acotado.

A partir de (3.1), resulta

�v� ≤ �dgx0(u)�+ �u� · �Ex0(u)� ≤ �u� · (M + �Ex0(u)�),

donde M =�n

k=1 �∇gk(x0)� (recordamos que dgx0 es una funcion lineal).

En definitiva, �v�/�u� ≤ M + �Ex0(u)�, con lo que se concluye la prueba.

Observacion. El resultado no es cierto si solo existen las derivadas parciales de las funciones.

Por ejemplo, la funcion f(x, y) = x1/3y1/3 posee derivadas parciales en (0, 0) y la funciong(x) = (x, x) es derivable en x = 0. Sin embargo, la funcion compuesta (f ◦ g)(x) = x2/3 noes derivable en x = 0.

Forma matricial de la regla de la cadena

Como la matriz asociada a la composicion de aplicaciones lineales es el producto de lasmatrices asociadas a cada una de las funciones, de la formula anterior deducimos la llamadaforma matricial de la regla de la cadena:

D(f ◦ g)(x0) = Df�g(x0)

�·Dg(x0).

Desarrollando el producto de estas matrices, podemos expresar el elemento de la fila j-esimay columna i-esima de la matriz D(f ◦ g) como:

Di(f ◦ g)j(x0) =n�

k=1

Dkfj�g(x0)

�·Digk(x0), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p,


HU

50 3.3. Derivacion de funciones compuestas

es decir,

∂(f ◦ g)j∂xi

(x0) =n�

k=1

∂fj�g(x0)

�

∂yk· ∂gk(x0)

∂xi, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p.

Escribimos a continuacion el caso particular de una sola variable dependiente.

a) p = 1, m > 1: Si z = f(y1, . . . , yn) es una funcion diferenciable de los argumentosy1, . . . , yn, que son a su vez funciones diferenciables de las m variables independientesx1, . . . , xm,

yi = gi(x1, . . . , xm), 1 ≤ i ≤ n,

las derivadas parciales de la funcion compuesta se calculan con la formula:

∂(f ◦ g)∂xk

(x0) =n�

i=1

∂f

∂yi

�g(x0)

�· ∂gi∂xk

(x0), 1 ≤ k ≤ m.

Veamos un ejemplo concreto bastante comun:

Si z es una funcion compuesta de varias variables, por ejemplo z = f(u, v), dondeu = φ(x, y), v = ψ(x, y) (x e y son variables independientes), φ y ψ son funciones dife-renciables, las derivadas parciales de z con respecto a x e y se expresan ası:

∂z

∂x=

∂z

∂u· ∂u∂x

+∂z

∂v· ∂v∂x

∂z

∂y=

∂z

∂u· ∂u∂y

+∂z

∂v· ∂v∂y

.

b) p = 1, m = 1: Si z = f(y1, . . . , yn) es una funcion diferenciable de los argumentosy1, . . . , yn, que son a su vez funciones diferenciables de una variable independiente x,

yi = gi(x), 1 ≤ i ≤ n,

la derivada de la funcion compuesta se puede calcular por la formula:

(f ◦ g)�(x0) =n�

i=1

∂f

∂yi

�g(x0)

�· g�i(x0) = ∇f

�g(x0)

�·Dg(x0).

En el caso particular de que x coincida con uno de los argumentos, por ejemplo con yk, laderivada total de la funcion f con respecto a x sera:

dz

dx=

∂f

∂x+

n�

i=1i �=k

∂f

∂yi· dyidx

.

Ejemplos.

1) Si f(t) = (t, t2, et) y g(x, y, z) = x2+y2+z2, entonces (g◦f)(t) = g(t, t2, et) = t2+t4+e2t.


HU


Ademas,

(g ◦ f)�(t) =�∂g

∂x,∂g

∂y,∂g

∂z

�· (x�(t), y�(t), z�(t)) = 2x+ 2y · 2t+ 2z · et = 2t+ 4t3 + 2e2t.

Por otra parte,

(f ◦ g)(x, y, z) = (x2 + y2 + z2, (x2 + y2 + z2)2, ex2+y2+z2),

y

D(f ◦ g)(x, y, z) =

f �1

f �2

f �3

·�∂g∂x

∂g∂y

∂g∂z

�=

12tet

·�2x 2y 2z

�=

2x 2y 2z4xt 4yt 4zt2xet 2yet 2zet

,

donde t = x2 + y2 + z2.

2) Dadas las funciones f(r, s, t) = (r + s+ t, r − 2s+ 3t, 2r + s− t) y g(x, y, z) = x+ 2yz, sillamamos x = r + s+ t, y = r − 2s+ 3t, z = 2r + s− t, la derivada de g ◦ f es igual a

D(g ◦ f)(r, s, t) =�∂g∂x

∂g∂y

∂g∂z

�·

∂x∂r

∂x∂s

∂x∂t

∂y∂r

∂y∂s

∂y∂t

∂z∂r

∂z∂s

∂z∂t

=�1 2z 2y

�·

1 1 11 −2 32 1 −1

=�1 + 2z + 4y 1− 4z + 2y 1 + 6z − 2y

�.

3.4. Plano tangente

En esta seccion se da la interpretacion geometrica de la diferencial, para lo cual considerare-mos el caso particular de funciones f : R2 → R.Si f es diferenciable en un punto (x0, y0) y llamamos z0 = f(x0, y0), sabemos que

z − z0 = D1f(x0, y0) · (x− x0) +D2f(x0, y0) · (y − y0) + E(x− x0, y − y0),

donde E es un infinitesimo de orden superior a �(x− x0, y − y0)�.El plano de ecuacion

z − z0 = D1f(x0, y0) · (x− x0) +D2f(x0, y0) · (y − y0)

contiene a las rectas tangentes a las curvas que son la interseccion de la superficie con los pla-nos x = x0 e y = y0 (pues el producto escalar de su vector director (D1f(x0, y0), D2f(x0, y0),−1)por los vectores directores de dichas tangentes, (0, 1, D2f(x0, y0)) y (1, 0, D1f(x0, y0)), es nu-lo).


HU

52 3.4. Plano tangente

Veamos que dicho plano tambien contiene a la tangente en el punto (x0, y0, z0) a cualquiercurva de la superficie que pase por (x0, y0, z0). Para ello, si llamamos x = x(t), y = y(t),z = z(t) a la ecuacion de dicha curva, donde x0 = x(t0), y0 = y(t0), z0 = z(t0), su tangenteen el punto (x0, y0, z0) tiene como vector director a (x�(t0), y�(t0), z�(t0)). El producto escalarde dicho vector con el vector (D1f(x0, y0), D2f(x0, y0),−1) es igual a D1f(x0, y0) · x�(t0) +D2f(x0, y0) · y�(t0)− z�(t0), el cual es nulo pues, de z = f(x, y), resulta z(t) = f(x(t), y(t)) y,al derivar:

z�(t0) = D1f(x0, y0) · x�(t0) +D2f(x0, y0) · y�(t0).

Por esta razon, el plano citado recibe el nombre de plano tangente a la superficie en el punto(x0, y0, z0). La recta perpendicular a dicho plano por el punto (x0, y0, z0) se llama recta normala la superficie. La ecuacion de la recta normal es, pues,

x− x0D1f(x0, y0)

=y − y0

D2f(x0, y0)=

z − z0−1

.

En general, si una superficie S ⊂ R3 es la superficie de nivel de una funcion f : R3 → R, esdecir S tiene por ecuacion f(x, y, z) = k, la ecuacion del plano tangente a dicha superficie enun punto (x0, y0, z0) es

�∇f(x0, y0, z0), (x− x0, y − y0, z − z0)� = 0,

lo que significa que el vector gradiente es perpendicular al plano tangente a dicha superficie.

Por otra parte, dadas dos superficies z = f(x, y) y z = g(x, y), si llamamos C a la curva inter-seccion de ambas, como v1 = (D1f(x0, y0), D2f(x0, y0),−1) y v2 = (D1g(x0, y0), D2g(x0, y0),−1)son vectores normales a C en el punto (x0, y0, z0), un vector tangente a C se obtiene como elproducto vectorial v = v1 × v2.

Por ejemplo, si C es la curva donde el plano 6x+ 2y + 3z = 5 corta al cono z2 = 4x2 + 9y2,un vector tangente a C por el punto (2, 1,−5) se obtiene del siguiente modo:

Definimos f(x, y) =−6x− 3y + 5

2y g(x, y) = −

�4x2 + 9y2. Entonces f �

x = 3, f �y =

−3/2, g�x =−4x�

4x2 + 9y2, g�y =

−9y�4x2 + 9y2

. Por tanto, v1 = (f �x(2, 1), f

�y(2, 1),−1) =

(−3,−3/2,−1) y v2 = (g�x(2, 1), g�y(2, 1),−1) = (−8/5,−9/5,−1), con lo que v = v1 × v2 =

(−3/10,−7/5, 3) es un vector tangente a la curva.


HU


3.5. Derivadas de orden superior

Dada f : Rm → R, cada una de las derivadas parciales es, a su vez, una funcion Dkf :Rm → R, (k = 1, . . . ,m), definida en algun subconjunto de Rm. Estas funciones se llamanderivadas parciales de primer orden de f . A su vez, para cada una de ellas se pueden definir lascorrespondientes derivadas parciales, que llamaremos derivadas parciales de segundo ordende f , y para las que usaremos indistintamente cualquiera de las siguientes notaciones:

Di(Dkf) = Dkif =∂2f

∂xk∂xi= fki, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ m.

En el caso particular de i = k, utilizamos la notacion analoga

(Dk)2f = Dkkf =

∂2f

∂x2k= fkk, (k = 1, . . . ,m).

El proceso de derivacion puede repetirse de forma sucesiva y de este modo definir las derivadasparciales de orden p de f como

∂pf

∂xi1 . . . ∂xip

para cualquier permutacion de los ındices i1, . . . , ip ∈ {1, . . . ,m}.Un problema interesante consiste en averiguar bajo que condiciones existen y son igualeslas derivadas cruzadas (aquellas en donde solo se cambia el orden de la permutacion). Larespuesta la proporciona el siguiente teorema de Schwarz.

Teorema 3.5.1 (Schwarz). Sea f : D ⊂ Rm → R, donde D es un conjunto abierto. Siexisten las derivadas parciales de primer orden ∂f/∂xk, ∀k ∈ {1, . . . ,m}, en alguna bola

B(x0, r) ⊂ D y existe∂2f

∂xi∂xjy es continua en x0, entonces existe tambien

∂2f

∂xj∂xiy

∂2f

∂xj∂xi(x0) =

∂2f

∂xi∂xj(x0).

Demostracion. Para facilitar la notacion, haremos la demostracion para el caso de funcionesde dos variables. Ası pues, supondremos que B((x0, y0), r) ⊂ D, que existen D1f y D2f enB((x0, y0), r) y que existe D12f(x0, y0) y es continua en (x0, y0) y probaremos que existeD21f(x0, y0), con D21f(x0, y0) = D12f(x0, y0).

Sea (h, k) un vector tal que (x0, y0) + (h, k) ∈ B((x0, y0), r) y definimos la funcion

Φ(h, k) = [f(x0 + h, y0 + k)− f(x0 + h, y0)]− [f(x0, y0 + k)− f(x0, y0)]

que escribiremos como Φ(h, k) = ϕ(x0 + h)− ϕ(x0), donde ϕ(x) = f(x, y0 + k)− f(x, y0).

Como ϕ es derivable (pues depende de la primera variable de f), podemos aplicar el teoremadel valor medio. Entonces existe ϑ1 ∈ (0, 1) tal que ϕ(x0 + h)− ϕ(x0) = h · ϕ�(x0 + ϑ1h).

Ası pues,Φ(h, k) = h · (D1f(x0 + ϑ1h, y0 + k)−D1f(x0 + ϑ1h, y0)).


HU

54 3.5. Derivadas de orden superior

Como D1f es derivable respecto a su segunda variable, aplicamos nuevamente el teorema delvalor medio. Resulta ası que existe ϑ2 ∈ (0, 1) tal que

Φ(h, k) = h · k ·D12f(x0 + ϑ1h, y0 + ϑ2k).

Por ser D12f continua en (x0, y0),

lım(h,k)→(0,0)

Φ(h, k)

h · k = lım(h,k)→(0,0)

D12f(x0 + ϑ1h, y0 + ϑ2k) = D12f(x0, y0).

Por otra parte,

lım(h,k)→(0,0)

Φ(h, k)

h · k = lım(h,k)→(0,0)

1

h

�f(x0 + h, y0 + k)− f(x0 + h, y0)

k− f(x0, y0 + k)− f(x0, y0)

k

�

= lımh→0

1

h[D2f(x0 + h, y0)−D2f(x0, y0)] = D21f(x0, y0),

lo que demuestra la igualdad D12f(x0, y0) = D21f(x0, y0).

Un resultado similar, cuya demostracion puede encontrarse en [Ma], es el siguiente.

Teorema 3.5.2 (Young). Sea f : D ⊂ Rm → R, donde D es un conjunto abierto. Siexisten las derivadas parciales de primer orden ∂f/∂xk, ∀k ∈ {1, . . . ,m}, en alguna bolaB(x0, r) ⊂ D y son diferenciables en x0, entonces

∂2f

∂xj∂xi(x0) =

∂2f

∂xi∂xj(x0).

Ejemplos. Si falla alguna de las hipotesis, podemos encontrar casos en el que las derivadascruzadas no coinciden y tambien es posible que exista una de ellas pero no la otra.

1) Consideremos la funcion f(x, y) =xy(x2 − y2)

x2 + y2, si (x, y) �= (0, 0), y f(0, 0) = 0. En primer

lugar, tenemos

∂f

∂x(0, 0) = lım

h→0

f(h, 0)− f(0, 0)

h= 0,

∂f

∂y(0, 0) = lım

k→0

f(0, k)− f(0, 0)

k= 0.

Por otra parte, aplicando las reglas usuales de derivacion, si (x, y) �= (0, 0),

∂f

∂x(x, y) =

x4y + 4x2y3 − y5

(x2 + y2)2,∂f

∂y(x, y) =

x5 − 4x3y2 − xy4

(x2 + y2)2.

Ası pues,

∂2f

∂x∂y(0, 0) = lım

k→0

∂f∂x (0, k)−

∂f∂x (0, 0)

k= lım

k→0

−k5/k4

k= −1,

∂2f

∂y∂x(0, 0) = lım

h→0

∂f∂y (h, 0)−

∂f∂y (0, 0)

h= lım

h→0

h5/h4

h= 1.

Observamos que las derivadas cruzadas no coinciden en el origen, porque no son diferen-ciables.


HU


2) Sea ahora la funcion f(x, y) =x− senx

y − sen y, si y �= 0, y f(x, 0) = −1. En primer lugar, si

y �= 0,∂f

∂x(0, y) = lım

h→0

f(h, y)− f(0, y)

h= lım

h→0

h− senh

h(y − sen y)= 0.

Si y = 0,∂f

∂x(0, 0) = lım

h→0

f(h, 0)− f(0, 0)

h= lım

h→0

−1 + 1

h= 0.

Por tanto,∂2f

∂x∂y(0, 0) = lım

k→0

∂f∂x (0, k)−

∂f∂x (0, 0)

k= 0.

Por otra parte,

∂f

∂y(x, 0) = lım

k→0

f(x, k)− f(x, 0)

k= lım

k→0

x−senxk−sen k + 1

k= lım

k→0

x− senx+ k − sen k

k(k − sen k),

que no existe. Por tanto, tampoco existe∂2f

∂y∂x(0, 0).

Definicion. Diremos que una funcion es de clase C(p) en un conjunto D ⊂ Rm, denotadocomo f ∈ C(p)(D), cuando existen y son continuas todas las derivadas parciales de orden pde f en D. En particular, C(0) es la clase de funciones continuas y C(∞) representa la clase defunciones con derivadas continuas de cualquier orden. Ası por ejemplo, como ya demostramosen la proposicion 3.2.6, una funcion de clase C(1) es diferenciable. Es facil tambien probarque C(p)(D) ⊂ C(p−1)(D), ∀p > 0.

Del teorema anterior, es evidente que, si f ∈ C(2)(D), entonces tambien se verifica la igualdadde las derivadas parciales cruzadas.

Analogamente, se prueba que, si f ∈ C(k)(D), son iguales todas las derivadas cruzadas deorden k, es decir

∂kf

∂xi1 . . . ∂xik=

∂kf

∂xip(1) . . . ∂xip(k),

donde {i1, . . . , ik} ⊂ {1, . . . ,m} y {p(1), . . . , p(k)} es cualquier permutacion de {i1, . . . , ik}.

3.6. Formula de Taylor

Sea f : Rm → R una funcion diferenciable en un punto x0. Por definicion de diferenciabilidad,sabemos que

f(x) = f(x0) + �Df(x0), x− x0�+R1(x, x0),

donde el resto R1(x, x0) verifica que lımx→x0

R1(x, x0)

�x− x0�= 0 y, si llamamos x−x0 = (h1, . . . , hm),

podemos escribir

�Df(x0), x− x0� =m�

i=1

∂f

∂xi(x0) · hi.

La formula

f(x) = f(x0) +m�

i=1

∂f

∂xi(x0) · hi +R1(x, x0),


HU

56 3.6. Formula de Taylor

recibe el nombre de formula de Taylor de primer orden de la funcion f en el punto x0 puespermite aproximar la funcion mediante un polinomio de primer grado en m variables.

Una extension de esta formula puede obtenerse mediante derivadas de orden superior comose demuestra a continuacion.

Teorema 3.6.1. Supongamos que f : Rm → R esta definida en un abierto D ⊂ Rm. Si fy todas sus derivadas parciales de orden menor o igual que p son diferenciables en D y dospuntos x0, x ∈ D verifican que el segmento que los une esta contenido en D, si llamamosx− x0 = h = (h1, . . . , hm), entonces:

f(x) = f(x0) +m�

i=1

Dif(x0) · hi +1

2!

m�

i,j=1

Dijf(x0) · hihj + . . .

+1

p!

m�

i1,...,ip=1

Di1...ipf(x0) · hi1 . . . hip +Rp(x0, h),

donde lımh→0

Rp(x0, h)

�h�p = 0.

Demostracion. Definimos la funcion g(t) = f(x0 + th), 0 ≤ t ≤ 1.

Por hipotesis, g tiene derivadas continuas hasta el orden p en [0, 1]. Podemos aplicar la formulade Taylor para funciones de una variable:

g(1) = g(0) +p�

k=1

g(k)(0)

k!+

g(p+1)(ϑ)

(p+ 1)!, 0 < ϑ < 1.

Ahora bien,

g(0) = f(x0),

g�(0) =m�

i=1

Dif(x0) · hi,

g��(0) =m�

i,j=1

Dijf(x0) · hihj ,

. . .

g(p)(0) =m�

i1,...,ip=1

Di1...ipf(x0) · hi1 . . . hip .

Sustituyendo las derivadas en la formula anterior se obtiene la correspondiente formula deTaylor para funciones de m variables.

En particular, si f : Rm → R es una funcion de clase C(2) en un punto x0 (lo que significaque existen y son continuas las derivadas parciales de segundo orden de la funcion en dicho


HU


punto), entonces la formula de Taylor de segundo orden de la funcion f en el punto x0 es lasiguiente:

f(x) = f(x0) +m�

i=1

∂f

∂xi(x0) · hi +

1

2

m�

i=1

m�

j=1

∂2f

∂xi∂xj(x0) · hi · hj +R2(x, x0),

con lımx→x0

R2(x, x0)

�x− x0�2= 0 y x− x0 = (h1, . . . , hm).

Si definimos la matriz hessiana de f en el punto x0 como

Hf(x0) =

�∂2f

∂xi∂xj

�

i,j=1,...,m

,

la formula de Taylor de segundo orden se puede escribir como

f(x) = f(x0) + �∇f(x0), x− x0�+1

2(x− x0) ·Hf(x0) · (x− x0)

T +R2(x, x0),

donde denotamos por (x−x0)T a la matriz columna formada por las componentes del vectorx− x0.

Vamos a encontrar una expresion para el resto en algunos casos particulares.

Utilizamos la funcion ya definida g(t) = f(x0 + th) y calculamos su derivada:

g�(t) =m�

i=1

Dif(x0 + th) · hi.

Si integramos entre 0 y 1 ambos lados de la expresion, resulta:

g(1)− g(0) = f(x0 + h)− f(x0) =m�

i=1

� 1

0Dif(x0 + th) · hi dt.

Ahora integramos por partes llamando u = Dif(x0 + th) · hi y v = t− 1. Se obtiene:

f(x0 + h)− f(x0) =m�

i=1

�Dif(x0) · hi +

m�

j=1

� 1

0(1− t)Dijf(x0 + th) · hihj dt

�.

Ası pues, el ultimo sumando da una formula explıcita del resto en la formula de Taylor deprimer orden.

Mas importante en las aplicaciones es el resto de segundo orden. Para ello, en la formula

R1(x, x0) =m�

i,j=1

� 1

0(1− t)Dijf(x0 + th) · hihj dt


HU

58 3.7. Ejercicios

integramos respecto a t en el intervalo [0, 1] con u = Dijf(x0 + th) · hihj y v = −(t− 1)2/2:

R1(x, x0) = −m�

i,j=1

Dijf(x0 + th) · hihj ·(t− 1)2

2

��1

0

+m�

i,j,k=1

� 1

0

(t− 1)2

2Dijkf(x0 + th) · hihjhk dt

=1

2

m�

i,j=1

Dijf(x0) · hihj +m�

i,j,k=1

� 1

0

(t− 1)2

2Dijkf(x0 + th) · hihjhk dt.

Obtenemos ası R2(x, x0) =m�

i,j,k=1

� 1

0

(t− 1)2

2Dijkf(x0+ th) ·hihjhk dt y, si suponemos que el

integrando es una funcion continua de t (para lo que basta que f ∈ C(3)), tambien sera acotada

y |R2(x, x0)| ≤ �h�3 ·M , con lo que lımh→0

|R2(x, x0)|�h�2 = 0.

Otra formula explıcita para el error en el caso de que la funcion sea de clase C(3) en unentorno del punto x0 se obtiene a partir de la formula anterior aplicando el teorema del valormedio para integrales. De este modo, existe c, contenido en el segmento que une x0 con x,tal que

R2(x, x0) =

�� 1

0

(t− 1)2

2dt

�·

m�

i,j,k=1

Dijkf(c)·hihjhk =1

3!

m�

i=1

m�

j=1

m�

k=1

∂3f

∂xi∂xj∂xk(c)·hi·hj ·hk.

3.7. Ejercicios

Ejercicio 3.1. Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntosindicados y respecto a los vectores unitarios dados:

a) f(x, y) = x+ 2xy − 3y2, P = (1, 2), u = (3/5, 4/5).

b) f(x, y) = ln(�x2 + y2), P = (1, 0), u = (2/

√5, 1/

√5).

c) f(x, y) = ex cosπy, P = (0,−1), u = (−1/√5, 2/

√5).

Ejercicio 3.2. Sea f : R2 −→ R la funcion definida por f(x, y) = x/y, si y �= 0 y f(x, 0) = 0.Estudiar las derivadas direccionales de f en (0, 0) respecto a cualquier vector de R2. Com-probar que no es continua y que no esta acotada en un entorno de (0, 0).

Ejercicio 3.3. Sea g : R2 −→ R definida por

g(x, y) =

�0 si xy = 0

1 si xy �= 0.

Estudiar sus derivadas direccionales en (0, 0) respecto a cualquier vector de R2. Comprobarque no es continua pero sı esta acotada.


HU


Ejercicio 3.4. Sea h : R2 −→ R definida por

h(x, y) =xy

x2 + y2, si (x, y) �= (0, 0), h(0, 0) = 0.

Estudiar las derivadas direccionales de f en (0, 0). Comprobar que no es continua.

Ejercicio 3.5. Sea f(x, y) = x sen1

x2 + y2si (x, y) �= (0, 0), f(0, 0) = 0. Comprobar que es

continua en (0, 0). Estudiar su diferenciabilidad en (0, 0).

Ejercicio 3.6. Sea f(x, y) =x|y|�x2 + y2

si (x, y) �= (0, 0), f(0, 0) = 0. Comprobar que es

continua en (0, 0). Calcular las derivadas direccionales de f . Estudiar su diferenciabilidad enel origen.

Ejercicio 3.7. Sea f(x, y) = (x2 + y2) sen1�

x2 + y2si (x, y) �= (0, 0), f(0, 0) = 0. Calcular

las derivadas parciales y estudiar su continuidad en el origen. Estudiar su diferenciabilidaden el origen.

Ejercicio 3.8. Sea f(x, y) =

�(ex+y, sen(x− y), x2 sen (1/x)) si x �= 0

(ey, sen(−y), 0) si x = 0.Estudiar su dife-

renciabilidad en el origen.

Ejercicio 3.9. Sea g(x, y, z) = (cos yz, xyz,1

z) si z �= 0, g(x, y, 0) = (1, 0, 0). Estudiar su

diferenciabilidad en el origen.

Ejercicio 3.10. Sea f(x, y) =xy3

x3 + y6si (x, y) �= (0, 0), f(0, 0) = 0. Calcular las derivadas

direccionales en el origen.

Ejercicio 3.11. Sea f(x, y) =x3 − y3

x2 + y2si (x, y) �= (0, 0), f(0, 0) = 0. Calcular las derivadas

parciales y estudiar su continuidad en el origen. Estudiar su diferenciabilidad en el origen.

Ejercicio 3.12. Sea

g(x, y) =

1− cos(xy)

x2 + y4si x2 + y4 �= 0

0 si x2 + y4 = 0.

Calcular si existen∂g

∂xy∂g

∂ypara todo (x, y) ∈ R2. Estudiar su diferenciabilidad.


HU

60 3.7. Ejercicios

Ejercicio 3.13. Calcular a, b, c para que la derivada direccional de la funcion f(x, y, z) =axy2 + byz + cz2x3 en el punto (1, 2,−1) tenga un valor maximo de 64 en una direccionparalela al eje OZ.

Ejercicio 3.14. Sean f1, . . . fn : (a, b) → R funciones diferenciables. Si definimos f : (a, b)×· · ·× (a, b) → R por

f(x1, . . . , xn) = f1(x1) + · · ·+ fn(xn),

probar que f es diferenciable en (a, b)× · · ·× (a, b) y dfx(y) =n�

i=1

f �i(xi) · yi.

Ejercicio 3.15. Hallar el plano tangente a la superficie z = 2x2 + y2 en (x, y) = (1, 0) y ala superficie z =

�x2 + y2 en (x, y) = (0,−2).

Ejercicio 3.16. Hallar las rectas tangentes a las curvas parametrizadas siguientes:

a) g(t) = (t, t2, t3) en g(0) y g(1).

b) g(t) = (t− 1, t2, 2) en g(0) y g(1).

c) g(t) = (2 cos t, 2 sen t, t) en g(π/2) y g(π).

Ejercicio 3.17. Hallar los planos tangentes a las superficies parametrizadas siguientes:

a) h(s, t) = (s, t, s2 + t2) en h(0, 0) y h(1, 1).

b) h(s, t) = (s+ t, s− t, s2 − t2) en h(0, 0) y h(1, 2).

c) h(s, t) = (s cos t, s sen t, t) en h(1, 0) y h(2,π/2).

Ejercicio 3.18. Sea f(x, y, z) = (sen(xy + z), (1 + x2)yz) y sea g(u, v) = (u+ ev, v + eu).

a) Demostrar que f es derivable en (1,−1, 1) y calcular Df(1,−1, 1).

b) Demostrar que g es derivable en (0, 1/2) y calcular Dg(0, 1/2).

c) Calcular D(g ◦ f)(1,−1, 1).

Ejercicio 3.19. Describir∂h

∂xpara:

a) h(x, y) = f(x, u(x, y)).

b) h(x) = f(x, u(x), v(x)).


HU


c) h(x, y, z) = f(u(x, y, z), v(x, y), w(x)).

Ejercicio 3.20. Decimos que una funcion f : D ⊂ Rm → R es homogenea de grado α cuando

f(tx1, . . . , txm) = tαf(x1, . . . , xm)

para todo t > 0, siempre que (x1, . . . , xm), (tx1, . . . , txm) ∈ D.

a) Si f es una funcion diferenciable y homogenea de grado α, probar que f �1, . . . , f

�m son

funciones homogeneas de grado α− 1.

b) Si f es diferenciable, demostrar que f es homogenea de grado α si y solo si verifica laidentidad de Euler siguiente:

(∗) x1∂f

∂x1+ · · ·+ xm

∂f

∂xm= αf(x1, . . . , xm).

[Indicacion: Considerar la funcion F (t) =f(tx1, . . . , txm)

tα.]

c) Si z = f(x, y) es homogenea de grado α y definimos F (x, y) = f(f(x, y), f(x, y)), probarque F es homogenea de grado α2.

Ejercicio 3.21. Estudiar la homogeneidad y comprobar la identidad de Euler para las si-guientes funciones:

a) f(x, y, z) = (x− 2y + 3z)2.

b) f(x, y, z) =x�

x2 + y2 + z2.

c) f(x, y, z) =

�x

y

�y/z

.

Ejercicio 3.22. Dada la funcion

f(x, y) =

�y2 sen(x/y) si y �= 0,

0 si y = 0,

calcular∂2f

∂x∂y(0, 0) y

∂2f

∂y∂x(0, 0). ¿A que se debe el resultado?

Ejercicio 3.23. Hallar las derivadas parciales de primer y segundo orden de las siguientesfunciones:

a) u = x4 + y4 − 4x2y2.

b) u = xy + x/y.


HU

62 3.7. Ejercicios

c) u =cosx2

y.

d) u = tg (x2/y).

e) u = xy.

f) u = ln(x+ y2).

g) u = arc tg (y/x).

h) u = arc tgx+ y

1− xy.

Ejercicio 3.24. Dada la funcion f(x, y, z) = zexy + x2yz3, comprobar que fxyz = fzyx.

Ejercicio 3.25. Dada la ecuacion [F (x)+G(y)]2ez(x,y) = 2F �(x)G�(y), probar que D21z �= 0.

Ejercicio 3.26. Dada la funcion f(x1, . . . , xn) =k�

(x21 + · · ·+ x2n)n−2

(k ∈ R), hallar el

valor de∂2f

∂x21(x) + · · ·+ ∂2f

∂x2n(x),

con x = (x1, . . . , xn).

Ejercicio 3.27. Dada la funcion u = u(r, s) de clase C(2), si x = 2r−s, y = r+2s, averiguar

el valor de∂2u

∂y∂xen funcion de las derivadas con respecto a r y s.

Ejercicio 3.28. Sea f(x, y) = ex sen(xy), donde x = g(s, t), y = h(s, t). Si llamamos k a la

funcion compuesta k(s, t) = f�g(s, t), h(s, t)

�, calcular

∂2k

∂s∂t.

Ejercicio 3.29. Suponiendo que φ y ψ son funciones diferenciables un numero suficiente deveces, comprobar que:

a) y∂z

∂x− x

∂z

∂y= 0 si z = φ(x2 + y2).

b) x2∂z

∂x− xy

∂z

∂y+ y2 = 0 si z = y2

3x + φ(xy).

c) x∂u

∂x+ αy

∂u

∂y+ βz

∂u

∂z= nu si u = xnφ( y

xα , zxβ ).


HU


d) (x2 − y2)∂z

∂x+ xy

∂z

∂y= xyz si z = eyφ(ye

x2

2y2 ).

e) x2∂2u

∂x2+ 2xy

∂2u

∂y∂x+ y2

∂2u

∂y2= 0 si u = φ( yx) + xψ( yx).

f)∂2u

∂x2− 2

∂2u

∂y∂x+ y2

∂2u

∂y2= 0 si u = xφ(x+ y) + yψ(x+ y).

Ejercicio 3.30. Sean f, g : R → R dos funciones con derivadas segundas continuas. Defini-mos F (x, y) = f

�x+ g(y)

�. Verificar si es cierta la igualdad D1F ·D12F = D2F ·D11F.

Ejercicio 3.31. Si w(x, y) = f(x+y)+g(x−y), comprobar que∂2w

∂x2=

∂2w

∂y2= f ��(u) + g��(v),

donde u = x+ y, v = x− y.

Ejercicio 3.32. Si w = sen(x+ ct) + cos(2x+ 2ct), comprobar que∂2w

∂t2= c2

∂2w

∂x2.

Ejercicio 3.33. Si f y g son funciones reales de una variable real que tienen derivadas deorden 2 continuas, se define

y(x, t) = f(x+ at) + g(x− at).

Probar que y verifica la “ecuacion de la cuerda vibrante”∂2y

∂t2= a2

∂2y

∂x2.

Ejercicio 3.34. Averiguar cuales de las siguientes funciones verifican la ecuacion∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0:

a) u(x, y) = ex sen y.

b) u(x, y) = ln(x2 + y2).

c) u(x, y) = f(x− y) + g(x− y) donde f y g son funciones reales diferenciables.

Ejercicio 3.35. Dada f(x, y) = yne−x2/4y, hallar n para que se verifique

∂f

∂y=

1

x2· ∂

∂x

�x2

∂f

∂x

�.

Ejercicio 3.36. Escribir el desarrollo de Taylor de segundo orden de las funciones siguientesen un entorno del punto indicado:


HU

64 3.7. Ejercicios

a) f(x, y) = −x2 + 2xy + 3y2 − 6x− 2y − 4 en el punto (−2, 1).

b) f(x, y) = sen(x+ 2y) en el punto (0, 0).

c) f(x, y) = ex cos y en el punto (0, 0).

d) f(x, y) = e(x−1)2 cos y en el punto (1, 0).

e) f(x, y) = e−x2−y2 · cos(x+ y) en el punto (0, 0).

f) f(x, y) = xy en el punto (1, 1).

Ejercicio 3.37. Sea la funcion f(x, y) = eax+y2 + b · sen(x2 + y2). Determinar los valoresde a y b para que el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el origen sea horizontal yel polinomio de Taylor de segundo orden centrado en el origen tome el valor 6 en el punto(1, 2).

C´alculo diferencial de funciones de varias variablesmtpalezp/mundo/ana2/CDI2cap3.pdf · a la...

Documents

Transcript of C´alculo diferencial de funciones de varias variablesmtpalezp/mundo/ana2/CDI2cap3.pdf · a la...