1. Los nmeros reales es el conjunto de todos los nmeros: los positivos, los negativos y el cero. - Los nmeros reales incluyen a todos los enteros. - Los nmeros reales incluyen a todos los nmeros racionales, es decir, aquellos que se pueden poner como el cociente de dos nmeros enteros. - Tambin incluyen a los nmeros irracionales, como , 2, que no pueden ser escrito e como el cociente de dos nmeros enteros

2. Todos los nmeros reales pueden ser escritos como un nmero decimal. Los nmeros decimales pueden: Terminar Repetirse indefinidamente Continuar para siempre 3. Todos los nmeros reales pueden ser escritos como un nmero decimal. Los nmeros decimales pueden terminar. Ejemplos: -5 2 0.4 5 3 0.75 4 = = 4. Todos los nmeros reales pueden ser escritos como un nmero decimal. Los nmeros decimales pueden repetirse indefinidamente Ejemplos: 1 0.333333333333... 3 0.2121212121212121... = 5. Todos los nmeros reales pueden ser escritos como un nmero decimal. Los nmeros decimales pueden continuar para siempre. Ejemplos: =3.1415926535897932384626433832795028841 971693993751058209749445923078 16406286208 998628034825342117068... 2.7182818284590452353602874713526624977 57247093699959574966967627724076630353547 594571382178525166427... 2=1.414213562373095048801688724209698078 5696718753769480731 e = 76679737990732478462107 038850387534327641573... 6. Ley de tricotoma Para cualesquiera dos elementos y en una y solamente una de las siguientes relaciones se verifica: , , Ley transitiva Si y , entonces Si , entonces, para todo a b R a b a b a b a b b c a c a b c < = > < < < < , Si y 0 , entonces R a c b c a b c ac bc + < + < < < 7. El valor absoluto modulo es el valor magnitud de un nmero, independientemente de su signo. Si tenemos un nmero real x su valor absoluto se escribe x. El valor absoluto de 7 es 7 El valor absoluto de es El valor absoluto de -3 es 3 El numero real -20 y el 20, tienen el mismo valor absoluto, 20 8. Si es un nmero real distinto de cero, entonces o o es positivo. Aqul de los dos que es positivo es llamado valor absoluto de . El valor absoluto de un nmero real , denotado por , se define por a a a a a a la regla si 0 y si 0 a a a a a a = = < 9. En la recta real, el valor absoluto de un nmero es su distancia al 0 (al origen) 0x Valor absoluto 10. Una desigualdad o inecuacin es una relacin matemtica que hace uso de la forma en que los nmeros reales estn ordenados. La desigualdad 70 son los valores de x para los cuales la expresin -2x+6 es siempre mayor que cero. Las reglas del lgebra pueden ser aplicadas para resolver las desigualdades (como se hacen con una igualdad), excepto que la direccin de la desigualdad debe ser invertida cuando se multiplica o divide por nmeros negativos 12. mayor que < menor que mayor o igual que menor o igual que > 13. 2 Si y , entonces Si , entonces Si y 0, entonces Si 0, entonces 0 a b c d a c b d a b a b a b c ac bc a a < < + < + < > < < > > 14. 1 Si 0 y 0 , entonces Si y tiene el mismo signo 0 Si y tiene diferente signo 0 tiene el mismo signo que a b c d ac bd a b ab a b ab a a < < < > < 15. 1 1 2 2 2 Si y tiene el mismo signo y , entonces Si 0 y 0, entonces si y slo si Si 0, entonces si y slo si a b a b a b a b a b a b b a b a b a b < > > > > > < 16. Resolver la desigualdad 3 5 3 3 5 3 3 5 5 3 5 2 8 4 La solucin est dada por todos los nmeros reales mayores que 4 x x x x x x x x x x + > + > + > > > 17. 2 2 2 2 2 2 Resolver la desigualdad 2 6 0 2 6 0 1 3 0 2 1 49 49 3 2 16 16 1 1 49 2 16 16 1 49 4 16 x x x x x x x x x x x + > + > + > + + > + + > + > 18. 2 2 Resolver la desigualdad 2 6 0 1 49 4 16 1 7 1 7 4 4 4 4 3 2 2 La solucin est dada por todos los nmeros reales 3 mayores que nmeros reales menores 2 x x x x x x x + > + > + > + < > < que 2 19. ( ) ( ) { } Es el conjunto de todos los nmeros reales , tales que . Es decir, , Nota: El intervalo abierto no in Interva cluye "los extremos", de ah lo su nomb abierto , re x a x b a b x a b R a x b < < = < < a b 20. [ ] [ ] { } Es el conjunto de todos los nmeros reales , tales que . Es decir, , Nota: El intervalo cerrado in Interval cluye "los extremos", de ah su n o cerrado , ombre x a x b a b a R x b x a b = a b 21. { } Es el conjunto de todos los nmeros reales , tales que . Es decir, ( , ] Nota: El intervalo cerrado no incl Intervalo abie uye el extremo izquierdo y s in rto-cerrado ( , ] cluye el derecho a b x a x b a b x R a x b < = < a b 22. { } Es el conjunto de todos los nmeros reales , tales que . Es decir, [ , ) Nota: El intervalo cerrado incl Intervalo abie uye el extremo izquierdo y no incluye rto-cerra el d do er [ , ) echo a b x a x b a b x R a x b < = < a b 23. ( ) { } { } ( ) { } { } ( ) { } , [ , ) , ( , ] , a x R x a a x R x a a x R x a a x R x a x R = > = = < = = 24. De manera intuitiva podemos decir que una funcin es una relacin entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un nico valor de la segunda. 25. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Una funcin de A en B es una asociacin de un nico elemento de B con todos y cada uno de los elementos de A. El conjunto A es llamado el dominio de la funcin. El conjunto B se llama contradominio codominio de la funcin. 26. Todos los elementos del dominio tiene que tener asociado un elemento del contradominio A un elemento del dominio se le asociara un nico elemento del contradominio Elementos del contradominio pueden tener asociados ms de un elemento del dominio 27. Conjunto de seres humanos 28. Conjunto de seres humanos 29. Conjunto de seres humanos A cada ser humano se le asocia su padre biolgico Conjunto de seres humanos 30. Conjunto de seres humanos A cada ser humano se le asocia su padre biolgico Todo elemento del dominio tiene asociado un nico elemento del contradominio. Todo ser humano tiene un nico padre biolgico No todo elemento del contradominio tiene asociado un elemento del dominio. No todo ser humano es un padre biolgico Conjunto de seres humanos 31. Sean y dos conjuntos arbitrarios. Una funcin de en es una asociacin entre elementos de y donde a todos y cada uno de los elementos de se les asocia un nico elemento de . El conjunto A B A B A B A B A se llama de la funcin. Al conjunto dominio codominiose le cdenomina ontradomio .nioB 32. ( ) Es el conjunto de todos los valores posibles que puede tomar la funcin. Tambin se le llama imagen del dominio bajo la funcin. Dada la funcin : el rango de , es el conjunto Rango de : para f A B f f x B x f a = ={ } Evidentemente el rango de es un subconunto del contradominio: El rango de Rango de Cont alguna radomini deo a f f A f 33. a b c d e 34. a b c d e Dominio 35. a b c d e Dominio Codominio 36. a b c d e Dominio Codominio Rango 37. A la calabaza se le asocian dos elementos en el contradominio 38. J A parcial nabla raiz existe B 39. J A parcial nabla raiz existe B El elemento en no tiene ningn elemento asociado en A B J 40. Definimos una funcin de x en y como toda aplicacin (regla, criterio perfectamente definido), que a un nmero x (variable independiente), le hace corresponder un nmero y (y solo uno llamado variable dependiente). 41. Se llama funcin real de variable real a toda aplicacin f de un subconjunto no vaco D de R en R Una funcin real est definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una frmula matemtica. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y f(x) variable dependiente o imagen. 42. Una funcin real de una variable real es una funcin cuyo dominio es un subconjunto de los nmeros reales y su contradominio son los nmeros reales. Su rango es tambin un subconjunto de los reales. 43. El subconjunto D de nmeros reales que tienen imagen se llama Dominio de definicin de la funcin f y se representa D(f). Nota El dominio de una funcin puede estar limitado por: 1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa. 2.- Por la expresin algebraica que define el criterio. 44. ( ): 3 2 Su dominio son todos los nmeros reales Su contradominio o codominio son todos los nmeros reales Su rango son todos los nmeros reales f R R y f x x = = + 45. ( ): 3 2f R R y f x x = = + x f(x) 0 2 1 5 -1 -1 2 8 -2 -4 3 11 -3 -7 4 14 -4 -10 5 17 -5 -13 x f(x) 0.10 2.30 1.76 7.28 -3.45 -8.35 8.97 28.91 2.34 9.02 13.33 41.99 1.41 6.23 16.77 52.31 -44.44 -131.32 0.01 2.03 -123.00 -367.00 46. ( ): exp Su dominio son todos los nmeros reales Su contradominio o codominio son todos los nmeros reales Su rango son todos los nmeros reales positivos x f R R y x e = = 47. ( )exp: exp x R R y x e = = x f(x) 0.10 1.1051709 11.88 144,350.5506832 -3.45 0.0317456 8.97 7,863.6016055 2.34 10.3812366 13.33 615,382.9278900 6.99 1,085.7214762 -91.23 0.0000000 2.22 9.2073309 0.50 1.6487213 -12.45 0.0000039 x f(x) 0.00 1.000 1.00 2.718 -1.00 0.368 2.00 7.389 -2.00 0.135 3.00 20.086 -3.00 0.050 4.00 54.598 -4.00 0.018 5.00 148.413 -5.00 0.007 48. ( )log : (0, ) ln Su dominio son todos los nmeros reales positivos, ya que no existen el logaritmo de un nmero negativo Su contradominio o codominio son todos los nmeros reales R y x = 49. ( )log :(0, ) lnR y x = x ln(x) x ln(x) 0.10 -2.303 0.01 -4.605 0.20 -1.609 0.02 -3.912 0.30 -1.204 0.03 -3.507 0.40 -0.916 0.04 -3.219 0.50 -0.693 0.05 -2.996 0.60 -0.511 0.06 -2.813 0.70 -0.357 0.07 -2.659 0.80 -0.223 0.08 -2.526 0.90 -0.105 0.09 -2.408 1.00 0.000 0.10 -2.303 50. ( ) ( )( ){ }2 Definicin La grfica de la funcin es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuacin ( ) , , f y f x G x y R x f x = = 51. ( ): 3 2f R R y f x x = = + 52. ( )exp: exp x R R y x e = = 53. ( )log :(0, ) lnR y x = 54. : R R y x = 55. 1 1 2 2 s 1 2 1 2 Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones: y Se llama funcin suma de ambas, a la funcin: Anlogamente podemos definir la funci y f (x) y f (x). y y y f (x) f (x). = = = + = + d 1 2 1 2 El dominio de definicin de la funcin suma, y tambin el de la funcin diferencia ser la intersecci n diferencia c n de los dominios de am omo bas funciones. y y y f (x) f (x)= = 56. 1 1 2 2 p 1 2 1 2 Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones: ( ) ( ). Se llama funcin producto de ambas, a la funcin: ( ) ( ) Anlogamente a lo que o y f x y y f x y y y f x f x = = = = curre con las funciones suma y diferencia, el dominio de definicin de esta funcin vuelve aser la interseccin de los dominios. 57. ( ) ( ) 1 1 2 11 C 2 2 Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones: ( ) y ( ). Se llama funcin cociente de ambas, a la funcin: = = El dominio de definic y f x y f x f xy y y f x = = 2 in de esta funcin es la interseccin de los dominios, menos todos los puntos que anulen a ( ), puesto que sern puntos que anulen el denominador de dicha funcin. f x 58. ( ) ( ) ( ) ( )( ) Dadas dos funciones ( ), ( ), se llama funcin compuesta a la funcin Para que exista la funcin compuesta es necesario que el recorrido de la funcin quede totalmente incluido en el y f x z g y g f g f x g f x f = = = o o ( ) ( ) ( ) ( ){ } dominio de la funcin . Dominio Dom tales que Dom g g f x f f x g= o 59. ( ) ( ) 2 2 2 ( ) 2 6, ( ) , La funcin compuesta es en este caso 2 6 El dominio de la funcin compuesta son aquellos valores de para los que se cumple que 2 6 0 Esa desigualdad la resolvimo y f x x x z g y y g f x x x x x x = = + = = = + + o ( ) s (con >) y da 3 Dominio y 2 2 g f x R x x = o 60. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) , ( ) sin , La funcin compuesta es en este caso sin Es claro que el rango de la funcin queda totalmente incluido en el dominio de la funcin sin . Dominio y f x x z g y y g f x x x y g f R = = = = = = o o 61. ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 1 ( ) , ( ) exp = , La funcin compuesta es en este caso Dominio 0 y x y f x z g y y e x g f x e g f R = = = = = = o o 62. Se llama funcin identidad a la funcin que le hace corresponder a cada nmero real el propio nmero. Se representa por ( ). *El dominio de la funcin identidad son todos los nmeros reales *El contradom I x inio o codominio de la funcin identidad son todos los numeros reales *El rango de la funcin identidad son todos los nmeros reales 63. ( ) Grfica de la funcin identidad :I R R I x x = 45o 64. Una funcin se dice inyectiva o funcin uno a uno si verifica que dos puntos distintos no pueden tener la misma imagen. f 65. Una funcin se dice inyectiva o funcin uno a uno si verifica que dos puntos distintos no pue Una relacin lineal (cualquier recta den tener la mi ) es inyectiva uno sma ima a uno gen. y mx b f = + 66. 2 Una funcin se dice inyectiva o funcin uno a uno si verifica que dos puntos distintos no puede Una relacin cuadrtica (una parbola) es inyectiva uno a uno n tener la misma imag 4 en NO . y x f = 67. ( ) ( )( ) ( ) 1 1 Sea una funcin. Llamamos funcin inversa (en caso de que exista) a una funcin notada que verifica que con ( ) la funcin identidad. Para que exista la funcin inversa de es nec y f(x) f x f f x I x I x f = =o esario que la funcin sea inyectiva.f 68. ( ) ( ) ( ) ln La funcin exponencial exp : exp tiene como inversa a la funcin logaritmo ln : ln Como ln tenemos ln exp x x x R R y x e R R y x x e e I + = = = = = =o 69. a b c sin cos tan a c b c a b = = = 70. a b c cot sec csc b a c b c a = = = 71. sin cos tan y r x r y x = = = r ( ),x y 72. r ( ),x y cot sec csc x y r x r y = = = 73. El concepto de lmite describe el comportamiento de una funcin cuando su argumento se acerca a algn punto o se vuelve extremadamente grande 74. ( ) ( ) Sea una funcin y un nmero real. La expresin lim significa que se puede hacer tan cercano a como se quiera haciendo suficientemente cercano a . Se dice "el lmite de en , cuand x c y f(x) c f x L f x L x c f x = = ( ) ( ) o se aproxima a , es ". Lo anterior es cierto an si Ms an, puede no estar definida en . x c L f x L f x c 75. ( ) ( ) 2 2 2 Nota 1.- El dominio : 5 7 Cul es e de la funcin l lmite de esta funcin c son todos los nmeros reales Nota 2.- El contradominio de la funcin uando tiende o se acerca a 2? lim 5 7 ? son tod x g R R g x x x x = os los nmeros reales Nota 3.- El rango de la funcin es el intervalo [ 7, ) R 76. ( ) 2 : 5 7g R R g x x = ( )2 2 lim 5 7 ? x x 77. ( ) 2 : 5 7g R R g x x = ( )2 2 lim 5 7 ? x x 78. ( ) 2 : 5 7g R R g x x = 13 ( )2 2 lim 5 7 ? x x 79. ( ) ( ) 2 2 2 : 5 7 Cul es el lmite de esta funcin cuando tiende o se acerca a 2? lim 5 7 13 x g R R g x x x x = = 80. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 5 7 Cul es el lmite de esta funcin cuando tiende o se acerca a 2? lim 5 7 1 E 3 n este caso, lim x x c g R R g x x x x f x f c = = = 81. { } ( ) 1 Nota 1.- El dominio de la funcin son todos los nmeros reales positivos menos e 1 : (0, ) 1 1 Cul es el lmite de esta funcin l 1 Nota 2.- cuando tiende o se acerca a 1? 1 lim ? E 1 l x x Q R Q x x x x x = ( ) contradominio de la funcin son todos los nmeros reales Nota 3.- El rango de la funcin es el intervalo 1, R 82. { } ( ) 1 :(0, ) 1 1 x Q R Q x x = 1 1 lim ? 1x x x 83. { } ( ) 1 1 :(0, ) 1 1 Cul es el lmite de esta funcin cuando tiende o se acerca a 1? De la grfica es claro que 1 lim 2 1x x Q R Q x x x x x = = 84. { } ( ) 1 1 : (0, ) 1 1 Cul es el lmite de esta funcin cuando tiende o se acerca a 1? 1 lim 2 1 Sin embargo, la funcin ni siquiera est definida en 1 x x Q R Q x x x x x x = = = 85. ( ) ( ) 2 5 Nota 1.- El dominio de la funcin son todos los nmeros reales Nota 2.- El contradominio de 3 4 5 : 5 Cul es el lmite de esta funcin cuando tiende o se acerc la fu a a 1? li ncin m ? x x x a R R a x x x x a x = > son todos los nmeros reales Nota 3.- El rango de la funcin son todos los nmeros reales menos el intervalo (11,25] 86. ( ) 2 3 4 5 : 5 x x a R R a x x x < = > ( ) 5 lim ? x a x 87. ( ) ( ) 2 5 3 4 5 : 5 Cul es el lmite de esta funcin cuando tiende o se acerca a 5 Si nos acercamos por la izquierda No exi tiende a 11 Si nos acercamos por la derecha tiende a 25 ? l steim x x x a R R a x x x x a x < = > = 88. { } ( ) 0 Nota 1.- El dominio de la 1 : 0 Cul es el lm funcin son todos ite de esta funcin cuando tiende o los nmeros reales menos el cero Nota se acerca a 0? 1 2.- El contradom l i im ? nio de la funci x E R R E x x x x = n son todos los nmeros reales Nota 3.- El rango de la funcin son todos los nmeros reales 89. { } ( ) 1 : 0E R R E x x = 0 1 lim ? x x 90. { } ( ) 0 No existe Si 1 : 0 nos Cul es acercamo el lmite de est s por la izquier a funcin cuando tiende o se ac da tiende a Si nos acercamo e s rca a por la derecha tiende a 1 + 0? lim x E R R E x x x x = = 91. { } ( ) 1 : 0E R R E x x = 92. { } ( ) 1 : 0 Cul es el lmite de esta funcin cuando tiende a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande? E R R E x x x = 93. { } ( ) 1 : 0 Cul es el lmite de esta funcin cuando tiende a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande? E R R E x x x = 94. { } ( ) ( ) 1 : 0 Cul es el lmite de esta funcin cuando tiende a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande? l 0im x E R R E x x x E x = = 95. ( ) ( ) Sea una funcin y un nmero real. La expresin lim significa que se puede hacer tan cercano a como se quiera haciendo suficientemente cercano a por la izquierda. Se dice "el lmit x c y f(x) c f x L f x L x c = = ( ) ( ) e de en , cuando se aproxima a por la izquierda, es ". Lo anterior es cierto an si Ms an, puede no estar definida en . f x x c L f x L f x c 96. ( ) ( ) Sea una funcin y un nmero real. La expresin lim significa que se puede hacer tan cercano a como se quiera haciendo suficientemente cercano a por la derecha. Se dice "el lmite x c y f(x) c f x L f x L x c + = = ( ) ( ) de en , cuando se aproxima a por la derecha, es ". Lo anterior es cierto an si Ms an, puede no estar definida en . f x x c L f x L f x c 97. { } ( ) 0 Nota 1.- El dominio de la funcin son todos los nmeros reales menos el cero Nota 2.- El contrad sin : 0 Cul es el lmite de esta funcin cuando tiende o se acerca ominio a 0? si d n li e m ? x x f R R y f x x x x x = = [ ] la funcin son todos los nmeros reales Nota 3.- El rango de la funcin es el intervalo -1,1 R 98. { } ( ) sin : 0 x f R R y f x x = = 0 sin lim ? x x x 99. { } ( ) sin : 0 x f R R y f x x = = ( ) 0 Si 0, sin y sin lim 1 x x x f x x x x > = = ( ) 0 Si 0, sin y sin lim 1 x x x f x x x x < = = 100. { } ( ) sin : 0 x f R R y f x x = = El lmite por la izquierda es 1 El lmite por la derecha es +1 0 0 sin sin Dado que lim lim , el lmite no existe x x x x x x + 101. ( ) 2 : 5 7g R R g x x = En todo el dominio, el lmite por la derecha y el lmite por la izquierda son iguales 102. { } ( ) 1 :(0, ) 1 1 x Q R Q x x = En todo el dominio, el lmite por la derecha y el lmite por la izquierda son iguales 103. ( ) 2 3 4 5 : 5 x x a R R a x x x = > En todo el dominio, excepto en 5, el lmite por la derecha y el lmite por la izquierda son iguales. En 5 son 25 y 11 respectivamente 104. { } ( ) 1 : 0E R R E x x = En todo el dominio, excepto en 0, el lmite por la derecha y el lmite por la izquierda son iguales. En 0 son + y - respectivamente 105. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sean : y : Supongamos que existen los lmites lim y lim i).- lim lim + lim x x x x x f D R R g C R R f x g x af x bg x a f x b g x + = 106. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sean : y : Supongamos que existen los lmites lim y lim ii).- lim lim lim x x x x x f D R R g C R R f x g x f x g x f x g x = 107. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sean : y : Supongamos que existen los lmites lim y lim lim iii).- lim / si lim 0 lim x x x x x x f D R R g C R R f x g x f x f x g x g x g x = 108. De manera intuitiva podemos decir que una funcin es continua cuando pequeos cambios en la variable independiente generan pequeos cambios en la variable dependiente. De manera imprecisa podemos decir que son aquellas funciones que se dibujan sin separar el lpiz del papel 109. ( ) ( ) ( ) ( ) Una funcin es continua en el punto de su dominio si: a) est definida, es decir, est en el Si una funcin es continua en todos los dominio puntos de su dominio se le denom de ) i lim x c f x c f c c f b f x f c = na continua Si una funcin no es continua entonces es discontinua 110. ( )sin : sinR R y x = Esta funcin es continua 111. ( ) 3 2 : 5 2 x x h R R y h x x < = = > Es discontinua en x=-2 Es continua en todos los otros puntos del dominio 112. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Si y son continuas en el punto de su dominio y , son nmeros reales arbitrarios, entonces: i).- es continua en ii).- es continua en iii).- es continua en , siempre y cua f x g x c a b af x bg x c f x g x c f x c g x + ( ) ndo 0g c 113. La velocidad: Como cambia la posicin con el tiempo La potencia: Cmo cambia la energa con el tiempo La fuerza: Cmo cambia la energa potencial con la posicin La inflacin: Como cambian los precios con el tiempo El cancer: Cmo crecen los tumores con el tiempo Ecologa: Cmo evoluciona un ecosistema con el tiempo Las revoluciones: Son sistemas dinmicos ultracomplejos? 114. Las funciones describen la evolucin de las variables dinmicas de los sistemas 115. ( ) 2 3 20y f x x x= = + + x f(x) 0 20 1 24 -1 22 2 34 -2 30 3 50 -3 44 116. ( ) 2 3 20y f x x x= = + + 117. ( ) 2 3 20y f x x x= = + + Cmo cambia la funcin? Cuando va de 0 a 1 crece en 4 Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece) Cuando va de 1 a 2 crece en 10 Cuando va de -2 a -1 crece en -8 (decrece) 118. ( ) 2 3 20y f x x x= = + + Cmo cambia la funcin entre y ?x x ( ) ( )f f x f x = 119. ( ) 2 3 20y f x x x= = + + Cmo cambia la funcin? Cuando va de 0 a 2 crece en 14 Cuando va de -2 a 0 crece en -10 (decrece) 120. ( ) 2 3 20y f x x x= = + + Cmo cambia la funcin entre y ?x x ( ) ( )f x f x f x x = 121. ( ) ( ) ( )2 3 20 f x f x y f x x x f x x = = + + = x x ( ) ( )f x f x x x 122. ( ) ( )f x f x x x ( ) ( )tan f x f x x x = 123. La recta azul es la secante a la curva 124. La recta azul es la tangente a la curva 125. La recta azul es la tangente a la curva La pendiente de la tangente nos dice La rapidez con que la funcin est cambiando en ese punto 126. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x x x x f x f x m x x f x f xdf x dx x x = = 127. La recta azul es la tangente a la curva ( ) tan df m x dx = = 128. ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 lim x x f x x f x f xdf x dx x x = Dada una funcin se define su derivada en el punto como 129. :f R R x ( )y f x= 130. x ( )y f x= x x h+ ( ) ( ) secante tan f x h f x m h + = = h ( ) ( )f x h f x+ 131. x ( )y f x= x ( ) ( ) ( ) tangente 0 tan lim h f x h f x df x m h dx + = = 132. :f D R R ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 lim x x f x f xdf x x dx x x = = 0x ( )f x x ( )0 tan df x x dx = = 133. ( ):v R R v x a a v a = donde es un nmero real arbitrario, pero fijo. Es decir, es una funcin constante igual a . 134. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 : 0 0 lim 0 0 x x da x d v R R v x a v x v x a a v x v x x x v x v x x x x = = = = = = Esto es vlido para todos los puntos del dominio 135. ( ):v R R v x a a v a = donde es un nmero real arbitrario, pero fijo. Es decir, es una funcin constante igual a . La derivada es cero, La funcin no cambia 136. ( ) 0: v xR R x v a dv d = = 137. ( ) ( ) :l R R l x mx b m b l x mx b m = + = + donde y son nmeros reales. Esta es la funcin lineal ms general, es decir, engloba todas las rectas posibles. El real es la pendiente de la recta, es decir, la tangente del n X b Y gulo que hace con el eje El real es la ordenda al origen, es decir, el punto en el cual la recta corta al eje 138. ( ):l R R l x mx b = + b tanm = 139. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 : lim lim x x x x l R R l x mx b l x l x mx b mx b m x x l x l x m x x m x x x x l d mx x l x m m x x bdl x x m dx dx x + = + = + + = = = = = = = para todo en el dominio 140. ( ):l R R l x mx b = + ( )0 Es lgico, la tangente a la recta es ella misma. El cambio est dado por la inclinacin de la recta dl x m dx = 141. ( ): l x mx b d d l R mR l x = =+ 142. ( ) 2 :f R R f x ax = Una parbola 143. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 2 0 2 : lim lim lim lim 2 2 x x x x x x x x f R R f x ax f x f x ax ax a x x a x x x x f x f x a x x x x a x x x x x x f x f x a x x x x a x x a x x a x x ax d axdf x ax dx dx = = = = + + = = + = + = = + = = = = + = + 144. ( ) 2 : 2f x ax df ax d f R x R = = 145. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim lim x x h x f x f xdf x dx x x f x h f xdf x dx h f x x f xdf x dx x = + = + = 146. ( ): sinf R R f x x = 147. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 : sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos 1 cos sin sin cos 1 cos sin cos 1 sin lim 0 lim 1 lim co c s s sin o h h h f R R f x x f x h f x x h x x h x h x x h x h f x f x x h x h h h h h h h f x h d x x f x d x h x = + = + = = + = + + = = = + = = 148. ( ) ( )sin si co n i ss n : x d x R R y f x dx x = = = 149. ( )exp : exp x R R x e = 150. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 exp : exp exp exp 1 1exp exp 1 1 lim lim exp exp l exp p i x m e x x h x x h x x h x h x h h x x x h h h R R x e x h x e e e e e e e e ex h x h h e e e e e h h x h d x x x x e d h + = + = = = + = = = = + = 151. ( )ln : (0, ) lnR x 152. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ln : ln ln ln ln ln ln 1 ln ln ln 1 lim lim exp exp 1 l ln 1 im h x x h h h R R x x h x h x x x h x x h h h x x h x e e e h h x h x h d x dx x x + + = + + = + = + = = = 153. ( ) ( )ln 1 ln : (0, ) ln d x R x dx x = 154. 1 ln 1 n n x x dx nx dx de e dx d x dx x = = = 2 sin cos cos sin tan sec d x x dx d x x dx d x x dx = = = 155. http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_derivatives 156. ( ) ( ) ( ) df x dx df x dx Df f x 157. ( )y f x y = En todo lo estudiado hasta ahora hemos supuesto una representacin explcita de la funcin, es decir, hemos supuesto que que la variable dependiente, , est escrita en trminos explicitos de la varia ( ) ( ) 3 2 * sin * 2 8 3 * sinx y x x y x x x y xe x x = = + = ble independien .te 158. ( ) ( ) ( ) 2 2 * 1 * sin cos , ,x y x y y x x y x y xy + = + + = = Sin embargo, no siempre es posible tener la representacin explicita de una funcin y se tiene una representacin implcita de la forma que determina a como funcin de . ( ) ( )* lnxy xy xye x= 159. ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , x y x y d x y d x y dx dx = = Si tenemos una representacin implcita de la forma lo que se hace para derivarla es: 1).- Diferenciar ambos lados de la ecuacin para obtener una nueva ecuacin 2).- Resolver la dy dx y x ecuacin anterior para . La respuesta usualmente involucra a y a . 160. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 dy x xy y dx d x xy d y dx dx d xydx dy dx dx dx dy dx dy x y dx dx dx dy dy x y dx dx + = + = + = + + = + + = Dada la ecuacin , encontrar 1).- 161. 2 1 2 1 2 dy x xy y dx dy dy x y dx dx dy dx dy y dx x + = + + = + = Dada la ecuacin , encontrar 2).- De la ecuacin nueva despejamos , 162. ( ) 3 3 2 2 cos cos cos cos 3 cos sin 3 dy x y y x dx d x y y dx dx dx dx d y dy y x x dx dx dx dy dy y x y x dx dx + = + = + + = + = Dada la ecuacin , encontrar 1).- 163. 3 2 2 cos cos sin 3 3 cos 1 sin dy x y y x dx dy dy y x y x dx dx dy dx dy x y dx x y + = + = = Dada la ecuacin , encontrar 2).- De la ecuacin nueva despejamos , 164. Se deriva una funcin Lo que se obtiene es otra funcin, la funcin derivada La funcin derivada puede ser evaluada en cualquier punto de su dominio 165. ( )d af g df dg a dx dx dx = La derivada de una combinacin lineal de funciones es la combinacin lineal de las derivadas 166. ( )d fg dg df f g dx dx dx = + La derivada de un producto es el primer factor por la derivada del segundo ms el segundo factor por la derivada del primero 167. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 sin sin sin cos sin 2 2 1 1 ln 1 1 ln ln ln 1 ln 2 2 x x x x x x d d dx x x x x x x x x dx dx dx d d dx x e x e e x e xe xe x dx dx dx d d d x x x x x x x x dx dx dx x x x = + = + = + = + = + = + = + = + 168. ( ) 2 0 f df dgd g fg dx dx dx g g x = siempre que 169. 2 2 2 2 sin sin sin cos sin cos sin d x d x x x d x x x x x xd df dg g f d f dx d x dx dx x x d x x x x g g x = = = = 170. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d f g df dg dx dg dx f g x f g g x = = o o 171. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 3 3 2 3 2 2 23 2 3 2 sin cos 2 cos exp1 exp exp 2 d d x x x x x dx dxx x x x d d x x x x x dx dx xd d x x x dx dx x + = + = + + = = = = 172. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 ... nD D D D n df d f d f d f f x x x x x dx dx dx dx Dado que la derivada de una funcin es a su vez una funcin, entonces podemos derivarla nuevamente. Esto da origen a las "derivadas de orden superior". 173. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 4 2 5 4 3 2 3 5 2 4 3 2 3 2 4 5 3 4 2 3 2 4 3 2 5 5 4 4 3 3 2 2 5 4 3 2 6 5 5 4 4 3 3 2 2 6 5 4 3 2 : 5 5 20 5 20 60 5 20 60 120 5 20 60 120 120 5 20 60 120 12 f x x d x x dx d x d x x dx dx d x d x d x x dx dx dx d x d x d x d x x dx dx dx dx d x d x d x d x d x dx dx dx dx dx d x d x d x d x d x d dx dx dx dx dx = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ( )0 0 dx = ..... todas las derivadas que siguen son cero 174. ( ) sin 0: sin 1: cos 2: sin 3: cos 4: sin 5: cos 6: sin 7: cos 8: sin f x x x x x x x x x x x = 175. ( ) sin 0: sin 1: cos 2: sin 3: cos 4: sin 5: cos 6: sin 7 : cos 8: sin f x x x x x x x x x x x = ( ) ( ) ( ) 2 1 2 sin 0,1,2,... 1 sin sin 1 cos n n n n f x x n x nd x dx x n = = = Para par impar 176. ( )exp : 0 n x x n x R R d e e dx n n = para todo entero con 177. ( ) ( ) ( ) 0 0 2 02 : 0 0 f D R R x D df x dx d f df x x dx dx = < + Una funcin tiene un mximo relativo en si i) ii) va de a 178. ( ) ( ) ( ) 0 0 2 02 : 0 0 f D R R x D df x dx d f df x x dx dx = > + Una funcin tiene un mnimo relativo en si i) ii) va de a 179. ( ) ( ) ( ) 0 0 2 02 : 0 0 f D R R x D df x dx d f df x x dx dx = = Una funcin tiene un punto de inflexin en si i) ii) no cambia de signo 180. ( ) 6 5 4 3 21 2 51 128 130 336 5 6 5 4 3 p x x x x x x x= + + + Encontrar los puntos crticos, en la recta real, del siguiente polinomio 181. ( ) 6 5 4 3 21 2 51 128 130 336 5 6 5 4 3 p x x x x x x x= + + + 182. ( ) ( ) 6 5 4 3 2 5 4 3 2 1 2 51 128 130 336 5 6 5 4 3 2 51 128 260 336 p x x x x x x x dp x x x x x x dx = + + + = + + Encontrar los puntos crticos, en la recta real, del siguiente polinomio Sacamos la derivada 183. ( ) 5 4 3 2 2 51 128 260 336 dp x x x x x x dx = + + 184. ( ) ( ) 6 5 4 3 2 5 4 3 2 1 2 51 128 130 336 5 6 5 4 3 2 51 128 260 336 p x x x x x x x dp x x x x x x dx = + + + = + + Encontrar los puntos crticos, en la recta real, del siguiente polinomio Sacamos la derivada Los puntos crticos son aquellos donde l 5 4 3 2 2 51 128 260 336 0x x x x x + + = a derivada se anula 185. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 3 2 2 51 128 260 336 0 7 2 1 4 6 0 x x x x x x x x x x + + = + + = Los puntos crticos son -7, -2, 1, 4, 6 186. ( ) 2 4 3 2 2 5 8 153 256 260 d p x x x x x dx = + + Los puntos crticos son -7, -2, 1, 4, 6 Hay que evaluar la segunda derivada para saber que tipo de puntos crticos son: 187. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 3 2 2 2 2 2 2 2 5 8 153 256 260 7 5720 2 720 1 360 4 396 6 1040 d p x x x d p x dx d p x dx d p x dx d p x dx d p x d x x dx x = = = = = = = = = + = = + M Los puntos crticos so nimo Mximo Mnimo Mxim n -7, -2, 1, o M 4, 6 nimo 188. a Determinar las dimensiones y el volumen de un cilindro circular recto de volumen mximo entre los inscritos en una esfera de radio h r a 189. ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 a r h h r a h V h a = = Determinar las dimensiones y el volumen de un cilindro circular recto de volumen mximo entre los inscritos en una esfera de radio Volumen del cilindro: Ahora As que [ ]0,2h h a h r a 190. ( ) [ ] 2 9 0,6 4 h V h h h = 191. ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) 2 2 2 2 3 0,2 4 3 0,2 4 2 0 3 2 0, ,2 3 2 4 0 0 2 0 3 3 3 h V h a h h a dV a h h a dh dV a h dh a a a V V a V a = = = = = = = Los puntos crticos son: Ahora h r a 192. 34 3 3 2 3 a a a Determinar las dimensiones y el volumen de un cilindro circular recto de volumen mximo entre los inscritos en una esfera de radio El volumen mximo es El radio del cilindro es La altura del ci 2 3 a lindro es h r a 193. Se va a construir un rectangulo que debe tener un perimetro de 80 cm. Cules deben ser su largo y su ancho de manera que el rea sea mxima? 194. a l Se va a construir un rectangulo que debe tener un perimetro de 80 cm. Cules deben ser su largo y su a Sea el ancho del rectn ncho de manera que el rea gulo Sea el largo del re sea mxima? ctngulo Sea ( ) ( ) 2 2 80 40 40 A l a a l A l al l l + = = = = el rea del rectangulo Tenemos que , as que El rea es 195. ( ) ( )40A l l l= 196. ( ) ( ) ( ) ( ) 40 40 2 0 20 A l al l l dA l l dl dA l dl l = = = = = Se va a construir un rectangulo que debe tener un perimetro de 80 cm. Cules deben ser su largo y su ancho de manera que el rea sea mxima? 197. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 40 0 20 2 0 A l al l l dA l l dl d A l dl = = = = = < Se va a construir un rectangulo que debe tener un perimetro de 80 cm. Cules deben ser su largo y su ancho de manera que el rea sea mxima? 198. Una serie de Taylor es una representacin o una aproximacin de una funcin como una suma de trminos calculados de los valores de sus derivadas en un mismo punto 199. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , ! n n n f x a r a r f a x a n = + La serie de Taylor de una funcin real infinitamente diferenciable, definida en un intervalo abierto , es la serie de potencias 200. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 1 1 2! 1 1 ... ... 3! ! 1 ! x a x a n n n x a x a n n n n x a df d f f x f a x a x a dx dx d f d f x a x a dx n dx d f f x x a n dx = = = = = = = + + + + + + + = 201. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 sin sin sin s 0 in : sin sin sin 0 0 y cos 1 ! sin 1 n n n a x n x x x d R R y f d f x x f x x a n d x x x x x dx x x d dx x = = = = = = = = + = = = 202. ( )sin x x 203. ( )sin x x 204. ( )sin x x 205. x sin(x) x 0.500 0.479 0.500 0.400 0.389 0.400 0.300 0.296 0.300 0.200 0.199 0.200 0.100 0.100 0.100 0.000 0.000 0.000 206. ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 2 0 sin sin sin sin0 sin : sin 1 ! 2 n n n n x a x x d f f x x R R y f x x d x x d x x x d n x d a dx x = = = = = + = = + 207. ( ) 0 2 2 2 2 2 0 2 2 0 0 2 sin sin cos cos0 sin sin sin sin sin sin0 co sin sin s sin : s s0 sin0 in 0 0 in 0 2 2 0 sin x x x x d x x d d x d x x dx dx d x d x x dx d x R R y f x x x x x x x x x dx x x d = = = = = + = = = + = + = = = + 208. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 32 3 2 3 0 0 1 0 sin sin sin1 sin sin sin 0 2 ! : sin 6 1 x x n n n n x x a d f f d x d x d xx x x x dx dx x x a R R y f x n x d x x d = = = = = + + = = + = 209. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 32 3 2 3 0 0 0 3 3 3 0 2 3 3 si s sin sin sin1 sin sin 0 2 6 1 sin si n : in sin cos n 0 cos 0 sin 0 cos 0 2 6 6 cos 0 sin x x x x d x d x d xx x R R y f x x x dx dx d x x x x d x d x x dx d x x x x x = = = = = = = + = = + + + 210. ( ) 3 in 6 s x xx 211. ( ) 3 in 6 s x xx 212. x sin(x) x-x^3/6 0.500 0.479 0.479 0.400 0.389 0.389 0.300 0.296 0.296 0.200 0.199 0.199 0.100 0.100 0.100 0.000 0.000 0.000 ( ) 3 in 6 s x xx 213. 3 5 7 9 sin 0 cos 1 sin 0 cos 1 sin 0 cos 1 sin 0 0 0 0 0 ... 3! 5! 7! 9! x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + 214. 3 5 7 9 sin 3! 5! 7! 9! x x x x x x + + 215. ( )2 3 41 1 3 5 1 2 8 161 1 0.5, 1.414213562 1 1 1, 1 0.25 1.25, 1 0.25 0.09375 1.34375, 1 0.25 0.09375 0.030518 1.37427 x x x O x x x x = + + + + = = = + = + + = + + + = 216. ( )ln : ln Hacer el desarrollo de Taylor del logaritmo alrededor del 1. R R y x+ = 217. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 2 2 11 3 3 3 11 1 1 11 ln : ln Hacer el desarrollo de Taylor del logaritmo alrededor del 1. ln 1 0 ln 1 1 ln 1 1 ln 2 2 ln 1 ! 1 1 1 ! xx xx xx n n n n n xx R R y x d x dx x d x dx x d x dx x d x n n dx x + == == == == = = = = = = = = = = 218. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 1 ln : ln 1 1 1 1 ln 1 ... 1 ... 2 3 4 n n R R y x x x x x x x n + = = + + + + 219. ( ) ( ) ( ) ln : ln ln 1 R R y x x x + = 220. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ln : ln 1 ln 1 2 R R y x x x x + = 221. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 ln : ln 1 1 ln 1 2 3 R R y x x x x x + = = + 222. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 ln : ln 1 1 1 ln 1 2 3 4 R R y x x x x x x + = = + 223. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 ln : ln 1 1 1 ln 1 2 3 4 R R y x x x x x x + = = + x ln(x) x-1 x-1-(x- 1)^2/2 x-1-(x-1)^2/2+(x- 1)^3/3 x-1-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3- (x-1)^4/4 0.500 -0.693 -0.500 -0.625 -0.667 -0.682 0.600 -0.511 -0.400 -0.480 -0.501 -0.508 0.700 -0.357 -0.300 -0.345 -0.354 -0.356 0.800 -0.223 -0.200 -0.220 -0.223 -0.223 0.900 -0.105 -0.100 -0.105 -0.105 -0.105 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1.100 0.095 0.100 0.095 0.095 0.095 1.200 0.182 0.200 0.180 0.183 0.182 1.300 0.262 0.300 0.255 0.264 0.262 1.400 0.336 0.400 0.320 0.341 0.335 1.500 0.405 0.500 0.375 0.417 0.401 224. { } ( ) 1 : 1 1 Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0. f R R y f x x = = 225. { } ( ) ( ) ( ) ( ) 3/ 2 00 2 5 / 2 2 2 00 3 7 / 2 3 3 00 1 : 1 1 Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0. 1 1 1 1 2 21 1 1 3 1 3 1 2 2 21 1 1 3 5 1 3 5 1 2 2 2 21 1 xx xx xx n n f R R y f x x d x dx x d x dx x d x dx x d dx == == == = = = = = = = = ( ) 0 2 1 !! 21 n x n x = = 226. { } ( ) ( )2 3 1 : 1 1 Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0. 2 1 !!1 1 3 5 1 ... ... 2 8 16 !21 n n f R R y f x x n x x x x nx = = = + + + + + + 227. 2 3 435 128 1 1 6 3 82 1 1 5 1 x x x x x + + ++ 228. ( )exp : exp Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0. x R R y x e = = 229. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 0 0 3 3 0 0 0 exp : exp Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0. 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x n x n x R R y x e d e e dx d e e dx d e e dx d e dx = = = = = = = = = = = = = = = = 230. ( ) 2 3 exp : exp Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0. 1 1 1 1 ... ... 2 6 ! x x n R R y x e e x x x x n = = = + + + + + + 231. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim x x f x f xdf x dx x x f x f xdf x dx x x df f x f x x x x dx = + 232. ( ) ( ) ( ) ( ) Lo opuesto de una derivada es una La integral indefinida de una funcin se denota co ant mo iderivada y est definida por la propied o integral indef d d a ini a f x f x d f x dx f x d d x x = 233. ( ) ( ) Si una funcin es diferenciable, su derivada es nica Una funcin tiene un nmero infinito de integrales, que difieren por una constante aditiva d f x dx f x dx = 234. La integral indefinida de una funcin cuya derivada es identicamente cero es una constante, es decir, 0 donde es una constante arbitraria. La integral indefinida de una funcin identicamente cero es dx c c = una constante. 235. ( ) Funcin constante: : donde a es una constante La integral indefinida de la funcin constante es donde es una constante arbitraria f R R f x a adx ax c c = = + 236. ( ) 2 Funcin identidad : : La integral indefinida de la funcin identidad es 2 donde es una constante arbitraria I I R R I x x x xdx c c = = + 237. ( ) 1 : entero, 1 La integral indefinida de la funcin es 1 donde es una constante arbitraria n n n n f R R f x x n n x x x dx c n c + = = + + 238. { } ( ) ( ) 1 : 0 Dado que 1 ln se tiene que ln donde es una constante arbitraria f R R f x x d x dx x dx x c x c = = = + 239. sin cos cos sin d x x dx d x x dx = = De: sin cos cos sin xdx x xdx x = = es claro que: 240. ( ) ( ) ( ) ( ) exp exp exp exp d x x dx x dx x c c = = + Tenemos que as que donde es una constante arbitraria 241. ( ) ( ) ( ) ( ) Para cada una de las identidades de la derivada corresponde una identidad para las integrales - La integral indefinida de una combina indefini cin li das: neal af x bg x dx a f x dx b g x dx + = + 242. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 Para cada una de las identidades de la derivada corresponde una identidad para las integrales indefinid - De la regla de la cadena t a enemos as que c s: 1 a a a a d f x a f x f x dx f x f x f x dx c a + = = + + on 1a 243. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Para cada una de las identidades de la derivada corresponde una identidad para las integrales indef - De la derivada del logar 1 ln para 0 ini itmo ln tenemos ln das: f xd f x d dx f x f x dx f x c f x x x dx x = = = + 244. ( ) ( )( ) ( ) ( ) De la regla de la cadena se tiene donde f d f g x g x dx g x = = 245. ( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g x = = ( )2 Ejemplo 1: cosx x dx 246. ( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g x = = ( )2 2 Ejemplo 1: cos Escogemos x x dx x = 247. ( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g x = = ( )2 2 Ejemplo 1: cos Escogemos Por tanto, se tiene 2 x x dx x d xdx = = 248. ( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g x = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 Ejemplo 1: cos Escogemos y tenemos 2 As que 1 cos 2 cos 2 x x dx x d xdx x x dx x x dx = = = 249. ( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g x = = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 Ejemplo 1: cos Escogemos y tenemos 2 As que 1 1 cos 2 cos cos 2 2 x x dx x d xdx x x dx x x dx d = = = = 250. ( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g x = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 Ejemplo 1: cos Escogemos y tenemos 2 As que 1 1 cos 2 cos cos 2 2 1 sin 2 x x dx x d xdx x x dx x x dx d c = = = = = = + 251. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 Ejemplo 1: cos Escogemos y tenemos 2 As que 1 1 cos 2 cos cos 2 2 1 1 sin sin 2 2 x x dx x d xdx x x dx x x dx d c x c = = = = = = + = + ( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g x = = 252. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 Ejemplo 1: cos 1 cos sin 2 Es fcil evaluar la derivada, con la regla de la cadena, para comprobar la exactitud del resultado x x dx x x dx x c= + ( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g x = = 253. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) De la regla para obtener la derivada de un producto se tiene df x dg xd f x g df x dg xd f x g x dx g x dx f x dx dx dx dx x g x f x dx dx dx = + = + 254. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pe De ro por la definicin misma de la integral indefinida la regla para obtener la derivada de un producto se tiene df x dg xd f x g x g x f x dx dx dx df x dg xd f x g x d d f x g x dx f x x g x dx f x dx dx dx dx g x dx = + = = + 255. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) De la expresin tenemos entonces df x dg xd f x g x dx g x dx f x dx dx dx d df x dg x f x g x g x dx f x dx dx x dx = + = + 256. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) De la expresin tenemos Despejando que es la formula de integracin por pa entonc rtes es df x dg xd f x g x dx g x dx f x dx dx dx dx df x dg x f x g x g x dx f x dx dx dx df x dg x g x dx f x g x f x dx dx dx = + = + = 257. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )df x dg x g x dx f x g x f x dx dx dx = Ejemplo 1: x xe dx 258. ( ) ( ) Ejemplo 1: Identificamos y x x xe dx df x e g x x dx = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )df x dg x g x dx f x g x f x dx dx dx = 259. ( ) ( ) Ejemplo 1: y Entonces x x x x x xe dx df x e g x x dx dx xe dx xe e dx dx = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )df x dg x g x dx f x g x f x dx dx dx = 260. ( ) ( ) Ejemplo 1: y De donde x x x x x x x x xe dx df x e g x x dx dx xe dx xe e dx dx xe dx xe e dx = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )df x dg x g x dx f x g x f x dx dx dx = 261. ( ) ( ) ( ) Ejemplo 1: y Finalmente 1 x x x x x x x x x x x xe dx df x e g x x dx dx xe dx xe e dx xe e dx dx xe dx xe e x e = = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )df x dg x g x dx f x g x f x dx dx dx = 262. ( ) Es muy fcil verificar que el resultado es correcto haciendo la deriva 1 da x x xe dx x e= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )df x dg x g x dx f x g x f x dx dx dx = 263. RRf : x ( )f x 264. x ( )f x ( ) b a f x dx 265. x ( )f x ( ) b a f x dx a 266. x ( )f x ( ) b a f x dx a b 267. x ( )f x ( ) b a f x dx a b Esta rea 268. x ( )f x ( ) b a f x dx a b Esta rea La integral de a a b de la funcin f, es el rea bajo la curva de la grfica de la funcin entre a y b 269. ( ) 2 3 2 3f x x x x= + 270. ( ) 2 3 2 3f x x x x= + 271. ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2:5 2:5 2:5 2:5 2:5 2 3 2 3 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 2.5 2.5 2.5 2.5 2 3 4 1.0 1.0 1.0 1.0 2 2 3 3 4 4 2 3 2 3 2 3 1 1 1 2 3 2 3 4 1 1 2 2.5 1.0 2.5 1.0 2.5 1.0 2.5 1.0 2 4 1 2 1.5 6.25 1 2 f x x x x x x x dx dx xdx x dx x dx x x x x = + + = + = = + = = + = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 .0 15.625 1.0 39.063 1.0 4 1 1 3.0 5.25 14.625 38.063 2 4 3.0 2.625 14.625 9.5158 5.4842 + = = + = = + = 272. ( ) 2 3 2 3f x x x x= + 273. Valor aproximado 6.1172 Valor exacto 5.4844 = = 1n = 274. 5.4844exactoValor 5.6426aproximadoValor = = 2n = 275. Valor aproximado 5.5239 Valor exacto 5.4844 = = 4n = 276. Valor aproximado 5.4907 Valor exacto 5.4844 = = 10n = 277. Valor aproximado 5.4846 Valor exacto 5.4844 = = 50n = 278. Valor aproximado 5.4844 Valor exacto 5.4844 = = 100n = 279. ( )if x 280. ( )i if x x 281. ( ) 0 N i i i f x x = 282. ( )0 0 lim i N i i x i f x x = 283. ( ) ( )0 0 lim i bN i i x i a f x x f x dx = = 284. ( ) ( ) ( ) ( ) Linearidad b b b a a a rf x sg x dx r f x dx s g x dx + = + 285. ( ) ( ) ( ) Divisin del rango de integracin b c b a a c f x dx f x dx f x dx= + 286. ( ) ( ) Antisimetra b a a b f x dx f x dx= 287. ( ) 0 a a f x dx = 288. ( ) ( ) [ ] ( ) 4 4 4 4 2 2 2 2 : 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 f R R f x f x dx dx dx x = = = = = = = 2 2 4 = 289. ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 3 3 3 3 0 22 2 0 3 3 : 3 2 3 2 3 2 30 3 2 3 2 0 3 2 2 2 9 27 15 3 2 3 6 2 2 2 g R R g x x g x dx x dx xdx dx x x = = = = = = = = = = 290. 623 = 3 9 27 2 2 = 27 15 6 2 2 + = 291. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 23 2 3 2 2 2 : 8 3 8 3 8 3 2 22 2 8 3 8 3 3 2 3 3 2 2 8 8 4 4 16 128 8 3 8 3 3 2 2 3 3 h R R h x x x h x dx x x dx x dx xdx x x = + = + = + = = + = + = = + + = = 292. Longitudes, reas, volumenes Se emplea en todas las reas de la fsica En general en toda la matemtica aplicada la integral es ampliamente empleada 293. [ ] ( ) ( ) Si y son funciones continuas en el intervalo , y se cumple que en todo el intervalo, entonces el rea de la regin limitada por las grficas de y , y las rectas verticales y , es: f g a b g x f x f g x a x b A f = = = ( ) ( ) b a x g x dx 294. a) Es importante darse cuenta de que la validez de la frmula del rea depende slo de que y g sean continuas y de que ( ) ( ). b) Las grficas de y pueden estar situadas de cualquier manera res f g x f x f g pecto del eje . c) Si, cmo suele ocurrir, unas veces se cumple que ( ) ( ) y otras veces que ( ) ( ), entonces el rea de la regin comprendida entre y sobre el intervalo [ , ], viene dado po OX g x f x f x g x f g a b ( ) ( ) r la frmula: b a A g x f x dx = 295. 2 Hallar el rea de la regin lim ( )itada por y ) .(g xf x x x== 296. [ ] [ ] 2 Hallar el rea de la regin limitada por ( ) y ( ) . * El intervalo de integracin es 0,1 que son los dos puntos en los cuales las curvas se intersectan. * Es claro que en el intervalo 0,1 se cu f x x g x x= = [ ] 2 1 2 0 mple * En el intervalo 0,1 las dos funciones son continuas Por tanto, el rea entre las dos curvas es x x x x dx 297. 2 1 11 1 1 2 2 3/ 2 3 0 00 0 0 Hallar el rea de la regin limitada por ( ) y ( ) 2 1 2 1 1 3 3 3 3 3 El rea entre las dos curvas es igual a 1/3 f x x g x x x x dx xdx x dx x x = = = = = = 298. Si una regin de un plano se gira alrededor de un eje de ese mismo plano, se obtiene una regin tridimensional llamada slido de revolucin generado por la regin plana alrededor de lo que se conoce co E mo eje de revolucin. Este tipo de slidos suele aparecer frecuentemente en ingeniera y en procesos de produccin. Son ejemplos de slidos de revolucin: ejes, embudos, pilares, botellas y mbolos. Existen distintas frmulas para el volumen de revolucin, segn se tome un eje de giro paralelo al eje o al eje . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolucin. OX OY 299. Si giramos una regin del plano alrededor de un eje obtenemos un slido de revolucin. El ms simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectngulo alrededor de un ej 2 e adyacente a uno de los lados del rectngulo. El volumen de este disco de radio y de anchura es: Volumen del disco = R R 300. ( ) [ ] ( ) ( ){ } Si tenemos una funcin continua y no negativa en el intervalo , , entonces el slido obtenido al hacer rotar la regin , : ,0 alrededor del eje , tiene un volumen dado por la frmula f x a b R x y a x b y f x X V V = = ( ) 2 b a f x dx 301. ( ) ( ) Definimos la funcin donde es una constante y es la variable independiente x a F x f d a x = 302. ( ) ( ) x a F x f d = ( )f x a x 303. ( ) ( ) ( ) ( ) Se tiene x a F x f d d F x f x dx = = 304. ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a=