1Clculo Dif. e Int. F.V. VariveisProf. Emerson Silva de Sousa

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Aula 1.5Aula 1.5

Plano Tangente e Aproximaes Lineares

Reta Tangente

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Plano TangenteC l c u l o D i f . e I n t . F. V. Va r i v e i s U F O P A

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1) Determine o Plano Tangente ao grfico da funo

nos pontos .(1, 1, (1, 1))f26z x y=

2) Determine o Plano Tangente ao grfico da funo

no ponto .

2 22z x y= +(1, 1, (1, 1))f

Podemos expressar uma funo atravs de uma AproximaoLinear em torno do ponto (, ).

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0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )x yf x y f x y f x y x x f x y y y + +

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Diferenciais

reta tangente

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superfcie

plano tangente

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Se , 3 , determine:

a) A diferencial .

b) Se vaia de 2 a 2,05 e varia de 3 a 2,96 compare os

valores de e .

'

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Suponha que uma lata em formato cilndrico seja projetada para

ter um raio de 5() e uma altura de 25(), mas que o raio e a

altura estejam com erros (diferenciais) de 0,15 e 0,5 ,

respectivamente. Calcule a variao absoluta resultante no

volume da lata.

+

Regra da Cadeia

Funo Composta Regra da Cadeia

( , )z f u v=( , ) e ( , )u u x y v v x y= =

z z u z v

x u x v x

= +

z z u z v

y u y v y

= +

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8cm6cm

4cm

1) Calcule da funo , sendodzdt

2( , )z f x y x y x= = +2( ) 3 1 e ( ) 4.x x t t y y t t= = + = = +

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,

2) O volume de uma caixa

retangular est variando com o

tempo. A que taxa est variando o

volume dessa caixa se seu

comprimento de 8() e est

aumentando a 3()//, sua largura

de 6() e est diminuindo a

2()//, e sua altura de 4() e

est aumentando a 1()// ?

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3) A presso 1 (em quilopascals), o volume 2 (em litros) e a

temperatura 3 (em kelvins) de um mol de um gs ideal

esto relacionados por meio da frmula 12 8,313.

Determine a taxa de variao da presso quando a

temperatura 3004 e est aumentando com a taxa de

0,14// e o volume 1005 e est aumentando com a

taxa de 0,25//.

PV kT=Lei de um gas ideal

Derivao Implcita

Funes dadas Implicitamente: ( , ) 0, ( )F x y y f x= =3 31) 6x y x y+ = 2 2 s) en 02 x y x y+ =

Usando a Regra da Cadeia, temos 0F dx F dyx dx y dx

+ =

Como , segue que1dxdx

=

Fdy x

Fdxy

=

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3Funes dadas Implicitamente: ( , , ) 0, ( , )F x y z z f x y= =

Usando a Regra da Cadeia, temos 0F x F y F zx x y x z x

+ + =

Como e , segue que1x yx y

= =

e

FFz z yx

F Fx yz z

= =

0F x F y F zx y y y z y

+ + =

0y xx y

= =

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2) Calcule da funo , definida por( , )z f x y=ez zx y

4 3 3 5.x y y z z+ + + =

1) Calcule da funo , dada implicitamente por( )y f x=dydx

3 3 6 .x y xy+ =

3) Calcule da funo , definida por( , )z f x y=ez zx y

3 3 3 6 1.x y z xyz+ + + =

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