Calculo en varias variables La geometr´ıa del espacio · 2020. 6. 18. · Calculo en varias...

Calculo en varias variables

La geometŕıa del espacio

Para aplicar el cálculo a muchas situaciones reales y a las matemáticas avanzadas, necesitamos una descripciónmatemática del espacio tridimensional en cual denotaremos por R3.

Coordenadas rectangulares

Un punto P en el espacio se determina dandosu localización relativa a tres ejes coordena-dos perpendiculares entre ellos, que pasan porel origen O.

Usualmente se dibujan los ejes x, y, z cum-pliendo por la siguiente propiedad:

Sistema de coordenadas de la mano derecha: Si doblamos los dedos de la mano derecha con ungiro de 90◦ a partir del eje positivo de las x y hacia el eje y positivo, entonces el pulgar apuntará en ladirección del eje positivo de las z.

Se dice que el punto P en el espacio tiene coordenadas rectangulares (a, b, c) si

a es su distancia al plano yz,

b es su distancia al plano xz,

c es su distancia al plano xy.

Observe tambien que a, b y c son los números reales correspondientes a las interseccionesde los ejes con los planos que pasan por P y son perpendiculares a los ejes. Las coordenadas(a, b, c) también se conocen como coordenadas rectangulares, pues los ejes que lasdefinen se cortan en ángulo recto.

Cualquier vector a = (a1, a2, a3) ∈ R3 se puede expresar comouna combinación lineal de los vectores unitarios

i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1), a = a1i+a2j+a3k

donde a1i, a2j y a3k son llamados vectores componentes los cualesyacen a lo largo de los ejes origen como un punto inicial común, ylos escalares a1, a2 y a3 se denominan componentes de a en lasdirecciones x, y y z, respectivamente.

El vector r que parte del origenO hacia el punto P(x, y, z) se llama vector de posición(o radio vector). Entonces, podemos escribir

r = xi+ yj+ zk, ‖r‖ =√

x2 + y2 + z2

Dados dos puntos A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3) en R3, el segmento de recta dirigido

~AB representa el vector

~AB = B−A = (b1, b2, b3)−(a1, a2, a3) ‖ ~AB‖ =√

(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 + (b3 − a3)2

1

Notas de clase Cálculo Varia variables.

H. Fabián Ramı́rez

Departamento de Matemáticas

Universidad Nacional de Colombia

Se define la suma y multiplicación escalar

a+ b = ((a1, a2, a3) + (b1, b2, b3) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) αa = (αa1, αa2, αa3)

El producto punto de dos vectores a y b, está dado por,

a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3

Teorema 1 (Interpretación del producto punto).Si θ es el ángulo ((menor giro)) entre los vectores a y b, entonces

a · b = ‖a‖‖b‖ cos θ.

Dem: Al aplicar el T. del Coseno ((c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ)) de lados ‖a‖, ‖b‖ y‖a− b‖, tenemos

‖a− b‖2 = ‖a‖2 + ‖b‖2 − 2‖a‖‖b‖ cos θ‖a‖2 − 2a · b+ ‖b‖2 = ‖a‖2 + ‖b‖2 − 2‖a‖‖b‖ cos θ

De aqúı deducimos que, cos θ =a · b

‖a‖‖b‖

Corolario 2 (Prueba de la perpendicularidad de vectores).Los dos vectores diferentes de cero a y b son perpendiculares si y sólo si a · b = 0.

Teorema 3 (Propiedades importantes).Dados los vectores u y v de Rn, tenemos que

(a) ‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2(u · v)

(b) ‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2(u · v)

(c) |u · v| 6 ‖u‖‖v‖. La igualdad se obtiene, si y solo si, u = λv par algun λ ∈ R.Desigualdad de Cauchy-Schwarz.

(d) ‖u + v‖ 6 ‖u‖ + ‖v‖. La igualdad se cumple, si y solo si, u = λv con λ > 0.Desigualdad triangular.

Dem a) y b) son inmediatas.

Dem c) para todo x ∈ R es claro que ‖xu+ v‖2 > 0,

0 6 ‖xu+ v‖2 = (xu+ v) · (xu+ v) =p(x)

︷︸︸︷

‖u‖2x2 + (2u · v)x+ ‖v‖2

donde p(x) = ax2 + bx+ c es un polinomio cuadrático con a = ‖u‖2, b = 2u · v y c = ‖v‖2.

Como p(x), a > 0, la gráfica del polinomio es una parábola cóncava haćıa arriba con vértice(

− b2a, c − b

2

4a

)

en el

semiplano superior ((es decir, c− b2

4a> 0)). De manera que,

0 6 c−b2

4a= ‖v‖2 − 4(u · v)

2

4‖u‖2 ⇔ (u · v)2 6 ‖u‖2‖v‖2 ⇔ |u · v| 6 ‖u‖‖v‖.

Además, si u = λv entonces

|u · v| = |λv · v| = |λ||v · v| = |λ|‖v‖2 = |λ|‖v‖‖v‖ = ‖λv‖‖v‖ = ‖u‖‖v‖

Dem d: De a) tenemos que

‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2(u · v) = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2(‖u‖‖v‖ cos θ)6 ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2(‖u‖‖v‖(1) = (‖u‖+ ‖v‖)2

2





Definición 4 (Ángulos directores:).Los ángulos α, β y γ que forma el vector a = (a1, a2, a3) con los vectores i, j y k,son llamados Los ángulos directores.

Los cosenos de estos ángulos se llaman cosenos directores del vector a, y estandados por

cosα =a · i

‖a‖‖i‖ =a1

‖a‖ cosβ =a · j

‖a‖‖j‖ =a2

‖a‖ cosγ =a · k

‖a‖‖k‖ =a3

‖a‖

Por tanto, (cosα, cosβ, cosγ) = 1‖a‖ (a1, a2, a3). y por ende,

cos2 α+ cos2 β+ cos2 γ = 1

Definición 5 (Proyección).Si a, b son vectores de Rn, definimos la proyección ortogonal ((sombra)) de a sobreb como el vector

Proyba =

( a · b‖b‖2

)

b

Llamamos a⊥= a− Proy

ba la componente vectorial de a ortogonal a b.

Definición 6 (Producto vectorial).Dados dos vectores a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3) de R

3, definimos el productovectorial de a y b o Producto Cruz, como el vector

a× b =

a2b3 − a3b2−(a1b3 − a3b1)

a1b2 − a2b1

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

a1 a2 a3b1 b2 b3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Teorema 7 (Propiedades: Producto vectorial).Si u, v y w son vectores de R3 y λ es un escalar, entonces:

1) u× v = −v× u 2) u× (v+w) = u× v+ u×w3) u+ v)×w = u×w+ v×w. 4) λ(u× v) = (λu)× v = u× (λv)5) u× 0 = 0× u = 0. 6) u× u = 0.7) u× (v×w) = (u ·w)v− (u · v)w. 8) (u× v) · u = (u× v) · v = 0.9) w · (u× v) = u · (v×w)

Dem:(8)

u× v · u =

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)

u1v2 − u2v1

·

u1u2u3

= (u2v3 − u3v2)u1 − (u1v3 − u3v1)u2 + (u1v2 − u2v1)u3

= u2v3u1 − u3v2u1 − u1v3u2 + u3v1u2 + u1v2u3 − u2v1u3 = 0

3





De manera análoga u× v · v = 0

Teorema 8 (Identidad de Lagrange).Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si u es el ángulo entre los vectores u yv, entonces tenemos las siguientes igualdades.

‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange

‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ.

Dem:

‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v) (9)= u · [v× (u× v)] (7)= u · [(v · v)u− (v · u)v] = (v · v)(u · u) − (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2

= ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖2‖v‖2 cos2 θ = ‖u‖2‖v‖2(1− cos2 θ) = ‖u‖2‖v‖2 sin2 θ

Corolario 9.Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.

Dem: (⇒) si u es paralelo a v, v = λu, entonces,

u× v = u× (λu) = λ(u× u) = λ0 = 0.

(⇐) Como u× v = 0, entonces ‖u× v‖ = 0, pero ‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ ahora, como u,v 6= 0 entonces sin θ = 0,por lo tanto θ = 0 ó θ = π, lo que implica que los vectores u y v son paralelos.

Corolario 10 (Área del paralelogramo).El área A del paralelogramo PQRS generado por los vectores a y b de R3 está dado

A = ‖a‖‖b‖ sin θ = ‖a× b‖.

Dem: Observe que la altura del paralelogramo PQRS, está dada por ‖b‖ sin θ. Por tanto tenemos

A = (base)x(altura) = ‖a‖‖b‖ sin θ (Teo.8)= ‖a× b‖

Corolario 11 (Producto escalar triple y volumen).El volumen V del paraleleṕıpedo determinado por los vectores a, b y c es elvalor absoluto del triple producto escalar a · (b× c); esto es

V =∣

∣a · (b× c)∣

∣ =∣

∣det(a, b, c)∣

∣

Dem: Si θ es el ángulo (general) entre los vectores a y b × c entonces la altura delparaleleṕıpedo es h = ‖a‖| cos θ|. Además el área A de la base es A = ‖b× c‖, por lotanto

V = Ah =(

‖b× c‖)(

‖a‖ | cos θ|) def

=∣

∣a · (b× v)∣

∣.

Para demostrar la segunda igualdad escriba a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) yc = (c1, c2, c3). Entonces

b× c = (b2c3 − b3c2)i− (b1c3 − b3c1)j+ (b1c2 − b2c1)k,

a·(b×c) = a1(b2c3−b3c2)−a2(b1c3−b3c1)+a3(b1c2−b2c1) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= det(a,b, c)

4





Corolario 12.Tres vectores u, v y w ∈ R3 son coplanares, si y solo si, u · (v×w) = 0

Rectas y planos en el espacio

En el plano R2, una recta queda determinada por un punto P0 y la pendiente m. Enel espacio Rn, una recta queda determinada por un punto P0 y un vector directorque indica la dirección de la recta.

Para investigar las ecuaciones que describen a las rectas en el espacio, comencemoscon una ĺınea recta L es una recta en el espacio que pasa por un punto P0(x, y, z) yque es paralela a un vector v = v1i+ v2j+ v3k. Entonces

L ={X : P0X es paralelo a v} =

{X : P0X = tv}

El valor de t depende de la posición del punto X a lo largo de la recta, y el dominiode t es (−∞,∞). Observe que

P0X = tv ⇒ (x− x0)i+ (y− y0)j+ (z− z0)k = t(v1i+ v2j+ v3k)¿Cuales son las ecuaciones paramétricas de una recta L?

¿Cuales son las ecuaciones simétricas de una recta L?

¿Cuando dos rectas L1 y L2 son paralelas? Ortogonales?

Planos en el espacio Rn: Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c,d ∈ Rn diferentes de cero y no paralelos.Diremos que el conjunto de puntos X que determinan vectores PX que son combinación lineal de los vectores c y d,es el plano P que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d.

Observe que PX = tc+ sd con t, s ∈ R. Ahora si x = OX y p = OP, entonces para t, s ∈ R

x− p = tc+ sd x = p+ tc+ sd

Esta es la ecuación vectorial del plano.

5





¿Cuales son las ecuaciones paramétricas del plano?

✄

✂

�

✁Ejemplo 1. Dadas las ecuaciones paramétricas del plano P x1 = 2+ t+ s, x2 = 2t, x3 = 1+ 5s y x4 = −2.

1. Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del plano P

2. ¿Los puntos M =

2

2

1

−2

N =

6

4

−9

−2

se encuentran en el plano P?.

✄

✂

�

✁Ejemplo 2. Encontremos una ecuación vectorial del plano que contiene los puntos

P =

(

−2

5

3

)

, Q =

(

0

−2

1

)

y R =

(

2

0

−3

)

¿Cuando dos planos son paralelos?, ¿Cuando dos planos son iguales? ¿Cuando una recta Lcon vector director d ∈ Rn es paralella a un plano P con vectores directores c1,d1 ∈ Rn?.

¿Cuando una recta L con vector director d ∈ Rn y un plano P con vectores directores c1,d1 ∈ Rn son ortogonales.

¿Cual es la ecuación normal del plano ((hiperplano))?

1.1. Funciones Vectoriales

Definición 13. Una función f : I ⊂ R → Rn cuya regla de correspondencia es

f (t) =(

f1(t), f2(t), . . . , fn(t))

se denomina función vectorial de una variable real t.

1. El nombre de función vectorial viene dado porque, f asigna a cada t ∈ I un vector en el espacio Rn.

2. Las n funciones reales fi, (i = 1, 2, . . . , n) se llaman funciones componentes de la función vectorial f .

6





3. El dominio de la función vectorial f es el conjunto

Dom(f ) = Dom(f1) ∩Dom(f2) ∩ . . . ∩Dom(fn)

4. Si esta regla de correspondencia la escribimos en la forma

x1 = f1(t), x2 = f2(t), · · · xn = fn(t), t ∈ I. (1.1)

Los puntos (x1, . . . , xn) = (f1(t), . . . , fn(t)), t ∈ I forman la curva C paramétrizada en el espacio Rn, ydescriben normalmente la trayectoria de una particula,

5. A las ecuaciones xi = fi(t) se llaman ecuaciones paramétricas de una curva C. Si en las ecuaciones paramétricasxi = f(t) de la curva C se elimina el parámetro t, logramos encontrar las ecuaciones cartesianas de lacurva (similar a las ecuación simétricas de una recta)

6. Si f : I → Rn es una función vectorial tal que f (t) = (f1(t), . . . , fn(t)) entonces f (t) es el vector de posicióndel punto P(f1(t); f2(t), . . . , fn(t)) en la curva C. El extremo del vector de posición f (t) traza la trayectoriade la curva C e indica su orientación.

Una curva C en el espacio tridimensional R3, se paramétriza mediante tres ecuaciones

x = f(t) y = g(t) z = h(t)

como también puede representarse en forma vectorial, es decir, El vector

r(t) = f(t)i+ g(t)j+ h(t)k = (f(t), g(t), h(t))

representa la posición de la part́ıcula en el instante t. De ah́ı que recibe el nombre devector posición de la part́ıcula.

Las funciones f, g y h son las funciones componentes del vector de posición r. Veamos algunastrayectorias de part́ıculas como la curva descrita por una función r durante el intervalo detiempo I. la curva.

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Una función de la forma

r(t) = f(t)i+ g(t)j

representa un curva el plano. Mientras que unfuncion vectorial de la forma

r(t) = f(t)i+ g(t)j+ h(t)k

representa una curva en el espacio, donde lasfunciones componentes f, g y h son funcionesdel parámetro t. Véase figura

✄

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�

✁Ejemplo 3. Grafique la función vectorial r(t) = cos ti+ sin tj+ tk

SOL: No es dif́ıcil ver que las ecuaciones de las coordenadas son

x = cos t, y = sen t, z = t

Como x2 + y2 = 1 entonces afirmamos que la curva esta sobre un cilindro circular, pero la curva ((sube)) cuandoel componente en k, z = k aumenta. Adicionalmente, Cada vez que t aumenta en 2π, la curva completa una vuelta,((solo)) en en el plano xy. De manera que la trayectoria de esta curva es una Hélice ⋆

La curva en el ejemplo anterior es una de tipos de curvas espaciales conocidas como curvas helicoidales. Engeneral, una función vectorial de la forma

r(t) = a cos(kt)i+ a sen(kt)j+ ctk

describe una hélice circular . El número 2πc/k recibe el nombre de ((horquilla)) de una hélice, (es la sepa-ración vertical de los lazos de la hélice).

Una hélice circular es sólo un caso especial de la función vectorial

r(t) = a cos(kt)i+ b sen(kt)j+ ctk que describe una hélice eĺıptica cuando a 6= b.

La curva definida por

r(t) = at cos(kt)i+ bt sen(kt)j+ ctk se denomina hélice cónica .

Por último, una curva dada por

r(t) = a sin(kt) cos(t)i+ a sin(kt) sin(t)j+ a cos(kt)k se llama hélice esférica .

En estas ecuaciones se supone que a, b, c y k son constantes positivas.

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�

✁Ejemplo 4. Encuentre una función vectorial para el segmento de recta del punto P0(3, 2, 1) al punto P1(1, 4, 5).

8





Sol: Hallemos una función vectorial r(t) tal que r(0) = (3, 2− 1) y r(1) = (1, 4, 5).

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✂

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✁Ejemplo 5. Grafique la curva trazada por la función vectorial r(t) = 2 cos ti+ 2 sen tj+ 3k

Sol: Las ecuaciones paramétricas de la curva son las componentes de la función vectorial son

x = 2 cos t, y = 2 sen t, z = 3

.

✄

✂

�

✁Ejemplo 6. Determine la función vectorial que describe la curva C de inter-

sección del plano y = 2x y el paraboloide z = 9− x2 − y2

Sol: Primero parametrizamos la curva C de intersección haciendo, x = t, de donde sededuce que y = 2t y z = 9−t2−(2t)2 = 9−5t2. Por tanto las ecuaciones paramétricasson

x = t, y = 2t, z = 9− 5t2,

y por tanto una función vectorial que describe el trazo del paraboloide en el planoy = 2x está dada por

r(t) = ti+ 2tj+ (9− 5t2)k.

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✂

�

✁Ejemplo 7. Encuentre la función vectorial que describe la curva C de intersección de los cilindros y = x2 y

z = x3

Sol: En R2, y = x2 es una parábola en el plano xy y por tanto en R3 es un cilindro parabólico cuya generatriz esparalela al eje z. Por otro lado, z = x3 es un cilindro cúbico cuya generatriz es paralelo al eje y.

Ahora, la opción más natural para parametrizar es usar a x = t entonces y = t2 y z = t3. Por tanto, una funciónvectorial que describe a la curva C generada por intersección de los dos cilindros es entonces

r(r) = ti+ t2j+ t3k

9





✄

✂

�

✁Ejemplo 8. Dibujar la gráfica C representada por la intersección

del semielipsoide x2

12+ y

2

24+ z

2

4= 1, z > 0 y el cilindro parabólico

y = x2. Después, hallar una función vectorial que represente la gráfica.

Sol: Una opción natural para el parámetro es: x = t, luego y = t2.Entonces

z2

4= 1−

t2

12+t4

24=

(6+ t2)(4− t2)

24,

Como la curva se encuentra sobre el plano xy, hay que elegir para z laráız cuadrada positiva. Por tanto, la función vectorial resultante es:

r(t) = ti+ t2j+

√

(6+ t2)(4− t2)

6k, −2 6 t 6 2

Propiedades de las funciones vectoriales

Muchas de las técnicas y definiciones utilizadas en el cálculo de funciones reales se pueden aplicar a funcionesvectoriales. Por ejemplo, las funciones vectoriales se pueden sumar y restar, multiplicar por un escalar, tomar suĺımite, derivarlas, integrarlas y aśı sucesivamente.

La estrategia básica consiste en aprovechar la linealidad de las operaciones vectoriales y extender las definiciones,componente por componente.

(f + g)(t) = f (t) + g(t), t ∈ Df ∩Dg(f − g)(t) = f (t) − g(t), t ∈ Df ∩Dg(φf )(t) = φ(t)f (t) = φ(t)(f1(t), . . . , fn(t)), φ : R → R, t ∈ Dφ ∩Df(f · g)(t) = f (t) · g(t) = ∑ni=1 fi(t)gi(t), t ∈ Df ∩Dg(f × g)(t) = f (t)× g(t), f ,g : R → R3, t ∈ Dφ ∩Df

Esta extensión, componente por componente, de las operaciones con funciones reales a funciones vectoriales seilustra más ampliamente en la definición siguiente del ĺımite de una función vectorial.

Si r(t) tiende al vector L cuando t→ a, la longitud del vector r(t) − L tiende a 0. Es decir,

‖r(t) − L‖ → 0 Cuando t→ a

✄

✂

�

✁Ejemplo 9. Calcule ĺımt→t0f (t) (en caso exista) de las siguientes funciones vectoriales

1. f (t) =

(

1−√t+ 1

t+ 2,t

t+ 1, 2

)

, para t0 = 0 R/ (0, 0, 2)

10





2. f (t) =

(

et − e

t− 1,ln t

1− t,sen(t− 1)

t− 1

)

, para t0 = 1 R/ (e,−1, 1)

3. f (t) =

(

1− cos(sen t)

sen2 t,cos t− cos(sen t)

t2,1

t− π

)

, para t0 = 0 R/ (12, 0, 1

π)

4. f (t) =

(

(2− t)tan(π2t),

sen( 5√t− 1)

tan( 5√t− 1)

,

√t− 1

t− 1

)

, para t0 = 1 R/ (e2/π, 1, 1

2)

La definición siguiente extiende la noción de continuidad a funciones vectoriales.

Definición 14 (Continuidad de una función vectorial).una función vectorial f es continua en el numero a si

f (a) esta definido ĺımt→a

f (t) existe ĺımt→a

f (t) = f (a)

De acuerdo con esta definición, una función vectorial f (t) =(

f1(t), f2(t)), . . . , fn(t))

es continua en t = a si y sólo

si las funciones componentes fi, son continuas en t = a.✄

✂

�

✁Ejemplo 10.

1. Dada la función vectorial f (t) =

(

t2 − 1

t+ 1,sen(πt)

cos(πt),ln t+ 1

t+ 2

)

Determine si la función vectorial es continua en

t = 1. R/: SI

2. Dada la función vectorial f (t) =

(

sen t

t,ln(1+ t)

1− t,cos t− 1

t

)

Determine si la función vectorial es continua

en t = 0. R/: NO

La definición de la derivada de una función vectorial es paralela a la dada para funciones reales.

11





Definición 15 (Derivada de una función vectorial).La derivada de una función vectorial f es

f ′(t) = ĺımt→a

f (t+ h) − f (t)

h

para todo t para el cual existe el ĺımite.

Si f ′(t) existe, entonces f es derivable en t.

Si f ′(t) existe para toda t en un intervalo abierto I, entonces f es derivable en I.

La derivabilidad de funciones vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados considerando ĺımites unilate-rales.

NOTA: Además de la notación f ′(t) otras notaciones para la derivada de una función vectorial son

Dt[f (t)],d

dt[f (t)],

df

dt

Velocidad y aceleración: Si una part́ıcula se mueve a lo largo de una curva C en el espacio Rn, de modo quesu vector posición en el tiempo t es f (t) = (f1(t), f2(t), . . . , fn(t)) entonces, el vector velocidad v(t) y el vectoraceleración a(t) de la part́ıcula en el instante t son dadas por

v(t) = f ′(t) =(

f ′1(t), f′2(t), . . . , f

′n(t)

)

a(t) = v ′(t) = f ′′(t) =(

f ′′1 (t), f′′2 (t), . . . , f

′′n(t)

)

El vector velocidad v(t) tiene la dirección delvector tangente a la curva C en el punto f (t)y el vector aceleración a(t) apunta hacia ellado cóncavo de la curva C (lado hacia dondese doble la curva).

El módulo del vector velocidad v(t), esto es,

‖v(t)‖ = ‖f ′(t)‖ =√

[f ′1(t)]2 + [f ′2(t)]

2 + · · ·+ [f ′n(t)]2 (1.2)es la rapidez de la part́ıcula en el instante t. Si una part́ıcula se mueve con una rapidez constante c, entonces suvector de aceleración es perpendicular al vector de velocidad v. En efecto,

‖v‖ = c, ⇒ ‖v‖2 = c2 ⇒ v · v = c2

Diferenciamos ambos lados con respecto a t,

0 =d

dt(v · v) = 2v · dv

dt= 2v · a Entonces, v(t) · a(t) = 0 para todo t.

Teorema 16 (Reglas de Derivación de funciones vectoriales).Sean f , g : I → Rn funciones vectoriales derivables de t, c una constante real y α : I → Runa función real derivable de t. Entonces se tiene:

1. [f ± g] ′(t) = f ′(t)± g ′(t)2. [cf (t)] ′ = cf ′(t)

3. [α(t)f(t)] = α ′(t)f (t) + α(t)f ′(t)

4. [f (t) · g(t)] ′ = f ′(t) · g(t) + f (t) · g ′(t)

5. [f (t)× g(t)] ′ = f ′(t)× g(t)+ f (t)× g ′(t),(válido solo en R3)

6. ‖f(t)‖ ′ = f (t) · f′(t)

‖f (t)‖ si f (t) 6= 0)

✄

✂

�

✁Ejemplo 11. Si f (t) = (t, t2; 3+ t), g(t) = (cos t, sen t, ln(t+ 1)) y α(t) = e−4t, calcule

12





(αf ) ′(0) (f + g) ′(0) (f · g) ′(0) (f × g) ′(0)

✄

✂

�

✁Ejemplo 12. Considere la curva C dada por r(t) = cos(2t)i+ sin(t)j, −π/2 6 t 6 π/2.Encuentre la derivada r ′(t) y grafique los vectores r ′(0) y r ′(π/6)

Sol: La curva C es suave Porque? R/:

r ′(t) = −2 sen(2t)i+ cos tj

en consecuencia

r ′(0) = j, r ′(π/6) = −√3i+

1

2

√3j

Como gráficamos la curva? R/:

✄

✂

�

✁Ejemplo 13. Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva C cuyas ecuaciones pa-

ramétricas son x = t2, y = t2 − t, z = −7t en el punto correspondiente a t = 3.

SOL: La función vectorial posición es r(t) = , y por tanto punto en cuestion e r(3) = .Luego los vectores tangentes a C están dados por

r ′(0) = y r ′(3) =

De manera que las ecuaciones paramétricas de la recta tangente son

13





Integrales de funciones Vectoriales

Definición 17 (Integrales de funciones vectoriales).Si f : [a, b] → Rn es una función vectorial continua en el intervalo [a, b] tal quef (t) = (f1(t), f2(t), . . . , fn(t)) entonces la integral indefinida de f es

∫

f (t)dt =

( ∫

f1(t)dt,

∫

f2(t)dt, . . . ,

∫

fn(t)dt

)

y la integral definida de f es

∫b

a

f (t)dt =

( ∫b

a

f1(t)dt,

∫b

a

f2(t)dt, . . . ,

∫b

a

fn(t)dt

)

✄

✂

�

✁Ejemplo 14.

1. Halle la integral indefinida de la función vectorial f (t) =(

cos t,1

1+ t, tet

)

2. Calcule la integral

∫1

0

f (t)dt, donde f (t) = (2t,1

1+ t, tet)

Teorema 18 (Fund. del Calculo para funciones vectoriales).Sea f : [a, b] → Rn es una función vectorial continua en [a, b] entonces

La función F definida por F(t) =

∫t

a

f (u)du, a 6 t 6 b es derivable y F ′(t) = f (t),

∀t ∈ [a, b]∫b

a

f (u)du = F(b) − F(a),

✄

✂

�

✁Ejemplo 15. Calcule

∫π/4

0

f (t)dt× h(0) , donde

f (t) =

(

√tan t sec4 t, sen3(2t) cos2 t− sen3(2t) sen2 t,

1

π

√

t

π

)

y

h(t) =

( ∫1

−1

et2−1dt,

∫1

0

(t2 − t)dt,

∫1

0

t3dt

)

, R : (5

288,−5

2,−10

63)

14





Coordenadas Ciĺındricas

Las coordenadas ciĺındricas de un punto P en el espacio son un h́ıbrido natural de sus coordenadas polares yrectangulares, denotadas por (r, θ, z). Se usan las coordenadas polares (r, θ) de un punto en el plano con coordenadasrectangulares (x, y) y se usa la misma coordenada z como en las coordenadas rectangulares.

De manera que las relaciones entre las coordenadas rectangulares (x, y, z) y las coordenadaspolares (r, θ, z) de un punto P en el espacio están dadas por

x = r cos θ, y = r sin θ, z = z

r2 = x2 + y2, tan θ =y

xz = z

La palabra ciĺındricas surge del hecho de que un punto P ∈ R3 está determinado por la inter-sección de los planos z = constante, θ = constante y con un cilindro r = constante.

Obsérvese que la ecuación

r = r0, r0 > 0

es, en el sistema ciĺındrico (r0, θ, z), laecuación de un cilindro (circular recto)cuyo eje es el eje z.

La proyección en el plano xy siempredista del origen una cantidad constanteigual a r0.

✄

✂

�

✁Ejemplo 16. Convertir el punto r =(

4, 5π6, 3)

a coordenadas rectangulares.

Sol: Usando las ecuaciones de conversión de ciĺındricas a rectangulares se obtiene

✄

✂

�

✁Ejemplo 17. Convertir el punto (x, y, z) =(

1,√3, 2)

a coordenadas ciĺındricas

Sol: Usar las ecuaciones de conversión de rectangulares a ciĺındricas.

r = ±√1+ 3 = ±2, tan θ =

√3 ⇒ θ = π

3+ nπ, z = 2

Hay dos posibilidades para r y una cantidad infinita de posibilidades para θ, dosrepresentaciones adecuadas del punto son

(2,π

3, 2), r > 0, I cuadrante, (−2,

4π

3, 2), r > 0, III cuadrante.

Las coordenadas ciĺındricas son especialmente adecuadas para representar superficies ciĺındricas y superficies derevolución en las que el eje z sea el eje de simetŕıa, como se muestra en la figura.

15





Los planos verticales que contienen eleje z y los planos horizontales tambiéntienen ecuaciones simples de coordena-das ciĺındricas, como se muestra en lafigura

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�

✁Ejemplo 18. Hallar una ecuación en coordenadas ciĺındricas para la superficie

representada por cada ecuación rectangular, a) x2 + y2 = 4z2, y b) y2 = x

Sol: a) la gráfica de la superficie x2 + y2 = 4z2 es un cono de dos hojas, con su eje alo largo del eje z, como se muestra en la figura. Luego,

x2 + y2 = 4z2, Ecuación Coord.rect

r2 = 4z2 Ecuación Coord. ciĺındrica

Sol: b) La gráfica de la superficie es un cilindro parabólico con rectas generatricesparalelas al eje z. Observe que,

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✂

�

✁Ejemplo 19. Hallar una ecuación en coordenadas rectangulares de la superficie

representada por la ecuación ciĺındrica, r2 cos 2θ+ z2 + 1 = 0.

Sol:

Es un hiperboloide de dos hojas cuyo eje se encuentra a lo largo del eje y.

16





Coordenadas Esféricas

En el sistema de coordenadas esféricas, cada punto se representa por una terna ordenada: la primera coordenadaes una distancia, la segunda y la tercera coordenadas son ángulos. Un punto P en R3 se representa por medio deuna terna ordenada (ρ,φ, θ).

1. ρ es la distancia entre P y el origen, ρ > 0.

2. θ es el mismo ángulo utilizado en coordenadas ciĺındricas para r > 0.

3. φ es el ángulo entre el eje z positivo y el segmento de recta OP, 0 6 φ 6 π

El nombre coordenadas esféricas se utiliza porque la ecuación ρ = const es una esfera con más precisión, unasuperficie esférica de radio ρ centrada en el origen. La ecuación φ = Const describe (una parte de) un cono si0 < c < π

2ó si π

2< c < π. La ecuación esférica del plano xy es φ = π

2.

Por tanto un punto P en el espacio está determinado por la intersección de un cono φ = const, un plano θ = consty una esfera ρ = const; de ah́ı surge el nombre de coordenadas esféricas. La relación entre coordenadasrectangulares y esféricas es dada por:

x = ρ sinφ cos θ, y = ρ sinφ sin θ, z = ρ cosφ

ρ2 = x2 + y2 + z2, tan θ =y

x, arc cos

( z√

x2 + y2 + z2

)

Para cambiar entre los sistemas de coordenadas ciĺındricas y esféricas, usar lo siguiente.

r2 = ρ2 sin2φ, θ = θ, z = ρ cosφ

ρ =√

r2 + z2, θ = θ, arc cos( z√

r2 + z2

)

✞

✝

☎

✆Ejercicio 20.

a) Convierta las coordenadas esféricas (6, π/4, π/3) en coordenadas:

• Coordenadas rectangulares sol: (32

√2, 3

2

√6, 3

√2). • Coordenadas ciĺındricas. sol (3

√2, π/3, 3

√2)

b) Encuentre las coordenadas rectangulares del punto P que tiene coordenadas esféricas (8, 5π/6, π/3)

c) Encuentre las coordenadas esféricas aproximadas del punto Q con coordenadas rectangulares (−3,−4,−12).

17





✄

✂

�

✁Ejemplo 21. Hallar una ecuación en coordenadas esféricas para la superficie representada por cada una de las

ecuaciones rectangulares a) Cono x2 + y2 = z2 b) Esfera x2 + y2 + z2 − 4z = 0

Sol: a) Haciendo las sustituciones apropiadas de x, y y z

x2 + y2 = z2

ρ2 sin2φ cos2 θ+ ρ2 sin2φ sin θ = ρ2 cos2φρ2 sin2φ = ρ2 cos2φ ρ > 0tan2φ = 1 φ = π/4, o φ = 3π/4

La ecuación φ = π/4 representa el semicono superior, y la ecuación φ = 3π/4 representa el semicono inferior.

Sol: b) Como ρ2 = x2 + y2 + z2 y z = ρ cosφ entonces tenemos que

ρ2 − 4ρ cosφ = 0, ⇒ ρ(ρ− 4 cosφ) = 0

Descartando por el momento la posibilidad de que ρ = 0, se obtiene la ecuaciónesférica

ρ = 4 cosφ

Hay que observar que el conjunto solución de esta ecuación comprende un punto enel cual ρ = 0 de manera que no se pierde nada al eliminar el factor ρ.

✞

✝

☎

✆Ejercicio 22.

a) Encuentre la ecuación en coordenadas esféricas del paraboloide con ecuación en coordenadas rectangularesz = x2 + y2.

b) Determine la gráfica de la ecuación en coordenadas esféricas ρ = 2 cosφ.

c) Determine la gráfica de la ecuación en coordenadas esféricas ρ = sinφ sen θ.

18





1.2. Superficies en el espacio

La gráfica de una ecuación f(x, y) = 0 es por lo general una curva en el plano xy, la gráfica de una ecuaciónF(x, y, z) = 0 es generalmente una superficie en el espacio. De manera que, una función F de tres variables asociaun número real F(x, y, z) con cada tercia ordenada (x, y, z) de números reales.

Definición 19 (Superficie en R3).Sea F : R3 −→ R una función diferenciable. Los puntos (x, y, z) que satisfacen F(x, y, z) = Cdefinen una superficie S en R3. En otras palabras,

S ={

(x, y, z) : F(x, y, z) = 0}

Por ejemplo, identifique las funciones la función que define

Esferas ={

(x, y, z) : (x− x0)2 + (y− y0)

2 + (z− z0)2 − r2 = 0

}

Planos ={

(x, y, z) : ax+ by+ cz+ d = 0}

Un tercer tipo de superficies que estudiaremos en R3 son las llamadas superficies ciĺındricas, superficiescuadráticas y superficies de revolución.

Bosquejo de una superfice en R3

Para bosquejar una superficie S, en ocasiones es útil examinar sus intersecciones con varios planos. La traza de lasuperficie S con el plano P es la curva intersección de P y S. Por ejemplo, si S es una esfera, se puede ver que latraza de S con un plano P es una circunferencia.

Cuando queremos visualizar una super-ficie espećıfica en el espacio, suele sersuficiente analizar sus trazas en los pla-nos coordenados y posiblemente unoscuantos planos paralelos a ellos

Ejemplo 23. Bosqueje la superficie del plano con ecuación 3x+ 2y+ 2z = 6.

Sol:

Traza de S con el plano Pxy es la curva 3x+ 2y = 6 con z = 0 ¿Porque?

Traza de S con el plano Pxz es la curva 3x+ 2z = 6 con y = 0 ¿Porque?

Traza de S con el plano Pyz es la curva y+ z = 3 con x = 0 ¿Porque?

La figura muestra las tres trazas ((primer octante)). Todas juntas dan una buena ideade cómo está situado el plano 3x+ 2y+ 2z = 6 en R3.

Superfices Cilindricas

En R2 la gráfica de la ecuación x2 +y2 = 1 es una circunferencia centrada en el origen del plano Pxy. Sin embargo,en R3 es posible interpretar la gráfica del conjunto

{(x, y, z) : x2 + y2 = 1, z arbitraria}

19





como una superficie que es el cilindro circular recto (ver gráfica). De modo similar, la gráfica de una ecuación talcomo y+ 2z = 2 es una recta en el espacio bidimensional (el plano yz), pero en el espacio tridimensional la gráficadel conjunto

{(x, y, z) : y+ 2z = 2, x arbitraria}

es el plano perpendicular al plano yz.

Las superficies de este tipo reciben un nombre especial cilindros. Usamos el término cilindro en un sentido másgeneral que el de un cilindro circular recto.

Definición 20 (Cilindro General).Si C es una curva en un plano y L es una recta no paralela al plano, entonces elconjunto de todos los puntos (x, y, z) generado al mover una ĺınea que recorra a Cparalela a L se denomina cilindro.

La curva C recibe el nombre de generatriz del cilindro.

En palabras más coloniales, un cilindrose genera al deslizar la curva C en lamisma direcćıon de la recta L, donde larecta L es representada por la variableque falta en su ecuación.

Como sugiere las gráficas anteriores,cualquier curva

f(x, y) = c1, plano xy g(x, z) = c2, plano xz, h(y, z) = c3, plano yz

definen un cilindro Cxy, Cxz y Cyz paralelo al eje z, eje y y eje x, respectivamente.Definidos por

Cxy ={(x, y, z) : f(x, y) = c1, z libre

}

Cxz ={(x, y, z) : g(x, z) = c2, y libre

}

Cyz ={(x, y, z) : h(y, z) = c3, x libre

}

Por tanto, concluimos que una curva en un plano, cuando se consideran tres dimensiones, es un cilindro perpendiculara ese plano.✄

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✁Ejemplo 24. Cilindros

20





Superficies Cuádricas

Definición 21 (Superficie Cuádrica).Una superficie cuádrica está definida por

Sc ={

(x, y, z) : Ax2 + By2 + Cz2 +Dxy+ Eyz+ Fxz+Gx+Hy+ Iz+ J = 0}

(1.3)

donde A,B,C, . . . , J son constantes.

La esfera S2 es una superficie cuádrica pues la ecuación de la esfera, (x− x0)2 + (y− y0)

2 + (z− z0)2 = r2 es

un caso particular de (1.3)

El cilindro eĺıpticox2

4+y2

9= 1 y el cilindro parabólico z = y2 son superficies cuádricas.

Hay seis tipos básicos de superficies cuádricas: elipsoide, hiperboloide de una hoja, hiperboloide de dos hojas,cono eĺıptico, paraboloide eĺıptico y paraboloide hiperbólico.

Definición 22 (Elipsoide).La gráfica de cualquier ecuación de la forma

(x− p1)2

a2+

(y− p2)2

b2+

(z− p3)2

c2= 1,

recibe el nombre de Elipsoide con origen en (p1, p2, p3). Los números reales positivos a, by c se llaman semiejes.

Es simétrico con respecto a los planos x = p1, y = p2 y z = p3.

Este elipsoide corta a los ejes coordenados en (±a, 0, 0), (0,±b, 0) y (0, 0,±c).Este elipsoide es simétrica con respecto a los planos x = 0, y = 0 y z = 0, ya que en la ecuación que la define,cada variable está elevada al cuadrado.

Definición 23 (Cono eĺıptico).La gráfica de una ecuación de la forma

(x− p1)2

a2+

(y− p2)2

b2=

(z− p3)2

c2,

recibe el nombre de cono eĺıptico con vértice en (p1, p2, p3) (o cono circular si a = b)

Este cono eĺıptico ((abre doble)) y paralelamente al eje z.


21





El eje de ((simetŕıa eĺıptica)) es la recta (p1, p2, z) nuevamente es una recta paralela al eje z.

Definición 24 (Paraboloide eĺıptico).La gráfica de una ecuación de la forma

(x− p1)2

a2+

(y− p2)2

b2=

(z− p3)

c,

recibe el nombre de Paraboloide eĺıptico con vértice en (p1, p2, p3) (o Paraboloide circularsi a = b)

Este Paraboloide eĺıptico ((abre)) paralelamente al eje z.

La superficie está completamente por arriba (si c > 0) o completamente debajo (si c < 0 ) del plano xy, segúnel signo de c.

Es simétrico con respecto a los planos x = p1 y y = p2.

Definición 25 (Hiperboloide eĺıptico de una hoja).La gráfica de una ecuación de la forma

(x− p1)2

a2+

(y− p2)2

b2−

(z− p3)2

c2= 1

recibe el nombre de Hiperboloide eĺıptico de una hoja centrado en (p1, p2, p3).

Este hiperboloide eĺıptico de una hoja ((abre)) paralelamente al eje z.


Un plano paralelo al plano Pxy, corta la superficie en curvas eĺıpticas (o circulares si a = b)

22





Definición 26 (Hiperboloide eĺıptico de dos hojas).La gráfica de una ecuación de la forma

(z− p3)2

c2−

(x− p1)2

a2−

(y− p2)2

b2= 1

recibe el nombre de Hiperboloide eĺıptico de dos hojas centrado en (p1, p2, p3).

Este hiperboloide eĺıptico de dos hojas ((abre)) paralelamente al eje z.


Un plano paralelo al plano Pxy, corta la superficie en curvas eĺıpticas (o circulares si a = b)

El plano z = p3 no corta a la superficie; de hecho, para que un plano horizontal corte a la superficie, debemostener |z− p3| > c.

Definición 27 (Paraboloide hiperbólico-Silla de montar).La gráfica de una ecuación de la forma

(z− p3)

c=

(y− p2)2

b2−

(x− p1)2

a2

recibe el nombre de Paraboloide hiperbólico ó Silla de montar centrado en (p1, p2, p3).

Este Paraboloide hiperbólico ((tiene su silla)) paralelamente al eje z.

Es simétrico con respecto a los planos x = p1, y = p2.

23





Para clasificar una superficie cuádrica, se empieza por escribir la superficie en la forma canónica o estándar. Después,se determinan varias trazas en los planos coordenados o en planos paralelos a los planos coordenados.

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✁Ejemplo 25. Clasificar y dibujar la superficie dada por 4x2 − 3y2 + 12z2 + 12 = 0

Sol: Se empieza por escribir la ecuación en forma canónica

4x2 − 3y2 + 12z2 + 12 = 0 ⇔ y2

4−x2

3−z2

1= 1

se puede concluir que la superficie es un hiperboloide de dos hojas que abre en el eje y. Hagamos un bosquejo:

Traza con Pxyy2

4−x2

3= 1 Hipérbola

Traza con Pxzx2

3+z2

1= −1 No hay traza

Traza con Pyzy2

4−z2

1= 1 Hipérbola

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✁Ejemplo 26. Clasificar y dibujar la superficie dada por x− y2 − 4z2 = 0

Sol: Como x está elevada sólo a la primera potencia, la superficie . Eleje del es el eje x. En la forma canónica es x = y2 + 4z2. Estudiemosalgunas trazas,

La superficie es un .

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✁Ejemplo 27. Clasificar y dibujar la superficie dada por z = 4− x2 − y2.

Sol: Al escribir la ecuación como reconocemos la ecuación de un.

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☎

✆Ejercicio 28. Clasificar y dibujar las superficies dadas por

a) x2 + 2y2 + z2 − 4x+ 4y− 2z+ 3 = 0.b) 2x2 − 4y2 + z2 = 0c) −2x2 + 4y2 + z2 = −36

24





SOL:

Superficies de Revolución:

En cálculo integral vimos que una superficie S podŕıa generarse rotando una curva plana C alrededor de un eje. Enla discusión que sigue vamos a encontrar la ecuación de las superficies de revolución cuando C es una curva enel plano Pxy ((Pxz ó Pyz)) y el eje de revolución es un eje z ((o eje x ó eje y)).

Ecuación superficie de revolución eje z:

Supongamos que la curva C esta en el plano Pyz y que gira sobre el eje z,formando una superficie de revolución, como se muestra en la figura.

Consideremos la función radio (distancia eje z a la curva C),

y = r(z), sobre el plano Pyz

La traza con el plano z = z0 es un ćırculo (( a una altura z0)) cuyo radio esr(z0) y cuya ecuación es

x2 + y2 = [r(z0)]2

Sustituyendo z0 por z se obtiene una ecuación que es válida para todos losvalores de z.

De manera similar, se pueden obtener ecuaciones de superficies de revolución en el eje x o en el eje y.

Definición 28 (Ecuaciones Superficie de Revolución).La ecuación de la superficie de revolución resultante de una función radio r se gira sobreuno de los ejes coordenados tiene una de las formas siguientes.

I) Superficie revolución eje x: y2 + z2 = [r(x)]2

II.) Superficie revolución eje y: x2 + z2 = [r(y)]2

III.) Superficie revolución eje z: x2 + y2 = [r(z)]2

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✁Ejemplo 29. Hallar una ecuación para la superficie de revolución generada al girar la curva y =1

zen torno al

eje z.

Sol: Como el giro es en el eje z entonces las trazas con los planos z = z0 son ćırculos con radio r(z0) = x2 + y2

25





donde r(z) = distancia eje z con la curva, es decir, r(z) = 1z. Entonces la ecuación de la superficie de revolución es:

x2 + y2 =(1

z

)2

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✁Ejemplo 30. Hallar una ecuación para la superficie de revolución generada al girar la curva 9x2 = y3 en torno

al eje y.

Sol: Como el giro es en el eje y entonces las trazas con los planos y = y0 son ćırculos con radio r(y0) = x2 + z2 y

como la función radio es r(y) = 13y3/2. Entonces la ecuación de la superficie de revolución es:

x2 + z2 =1

9y3 ⋆

Observacón: La curva generadora de una su-perficie de revolución NO es única. Por ejem-plo, la superficie

x2 + z2 = e−2y

puede generarse al girar la gráfica de x = e−y

en torno al eje y o la gráfica de z = e−y sobreel eje y.

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✁Ejemplo 31. Hallar una directriz y el eje de revolución de la superficie dada por x2 + 3y2 + z2 = 9

Sol: Sabemos que una superficie de revolución tiene una de las siguientes ecuaciones

x2 + y2 = [r(z)]2 girada en torno al eje z

y2 + z2 = [r(x)]2 girada en torno al eje x

x2 + z2 = [r(y)]2 girada en torno al eje y

Como los coeficientes de x2 y z2 son iguales, se debe elegir la tercera forma y escribir x2 + z2 = 9− 3y2. Entoncesel eje y es el eje de revolución. Se puede elegir una directriz de las trazas siguientes

x2 = 9− 3y2, traza en el plano xy, z2 = 9− 3y2, traza en el plano yz

usando la primer traza, la directriz es la semielipse dada por x =√

9− 3y2 ⋆

NOTA IMPORTANTE: En aras de la discusión más general, supongamos quef(y, z) = 0 es una ecuación de una curva C en el plano yz y que C se rota en tornoal eje z de modo que se genera una superficie S. Si (x, y, z) denota un punto generalsobre S que resulta de rotar el punto (0, y0, z) en C, entonces

d[(0, 0, z), (x, y, z)] = d[(0, 0, z), (0, y0, z)], por tanto y0 =√

x2 + y2

Pero como (0, y0, z) ∈ C entonces

0 = f(y0, z) = f(√

x2 + y2, z).

La ecuación f(√

x2 + y2, z) = 0 es la ecuación que debe verificar la superficie derevolución. De manera que una ecuación de una superficie generada al rotar unacurva en un plano de coordenadas alrededor de

26





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☎

✆Ejercicio 32.

1. Escriba una ecuación del elipsoide de revolución que se obtiene al girar la elipse 4y2 + z2 = 4 alrededor deleje z

2. Determine la gráfica de la ecuación z2 = x2 + y2.

3. La gráfica 4x2 + y2 = 16 de se rota en torno al eje x. Encuentre una ecuación de la superficie de revolución.

4. La gráfica z = y, y > 0 de se rota en torno al eje z. Encuentre una ecuación de la superficie de revolución.

Interpretación geométrica de ecuaciones y desigualdades.

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✁Ejemplo 33. Interpretación geométrica de ecuaciones y desigualdades.

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✁Ejemplo 34. Interpretación geométrica de ecuaciones y desigualdades.

1. x2 + y2 + z2 < 4

2. x2 + y2 + z2 6 4

3. x2 + y2 + z2 = 4, z 6 0

4. x2 + y2 + z2 + 3x− 4z+ 1 = 0

1.3. Funciones de varias variables

En el primer curso de cálculo se trabajó con funciones

f : I ⊂ R −→ Rx f(x)

notación en la que se enfatiza que el dominio de la función es el conjunto I de R y que su codominio es R (el rangode la función no queda expĺıcito en esta notación). Dećıamos entonces que f es una función real porque las imágenesf(x) son números reales de una variable real x ∈ I.

27





Ahora vamos a considerar funciones

f : U ⊂ Rn −→ R o bien f : U ⊂ Rn −→ Rx f(x) (x1, . . . , xn) f(x1, . . . , xn)

cuyas imágenes f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) son también números reales, pero cuyo dominio será un subconjunto Udel espacio Rn. Estas funciones f son llamadas funciones reales de n variables x1, x2, . . . , xn reales, o bien,funciones reales de variable vectorial ((viendo a los elementos (x1, x2, . . . , xn) = x como vectores)). El conjuntoU ⊂ Rn es el dominio de la función f, su codominio es R y

Rango f = Im(f) = {z ∈ R : z = f(x),x ∈ U}

Aśı cada una de estas funciones está constituida por:

el dominio de f (es el mayor subconjunto U del espacio Rn para el cual la regla f(x) tenga sentido con x ∈ U.)su codominio R.

la regla que asocia a cada x ∈ U, el número f(x) ∈ R imagen de x bajo f.

Muchos problemas comunes son funciones de dos o más variables. Por ejemplo,

a) Área de un rectángulo A(x, y) = xy

b) Volumen de un cilindro circular V(r, h) = πr2h

c) Volumen de un cono circular V(r, h) = 13πr2h

d) Peŕımetro de un rectángulo P(x, y) = 2x+ 2y

e) La altura del paraboloide está dada por z = x2 + y2, es decir, z = f(x, y) = x2 + y2.

f) La temperatura T de un punto sobre la superficie terrestre depende de su latitud x y su longitud y, lo que seexpresa escribiendo T(x, y).

g) El volumen V y el área de la superficie S de una caja rectangular son funciones polinomiales de tres variables:

V(x, y, z) = xyz, S(x, y, z) = 2xy+ 2xz+ 2yz

Nota: Puesto que se requieren cuatro dimensiones, no es posible graficar una función de tres variables.

Definición 29 (Función real de n variables).Una función de n variables, f : U ⊂ Rn −→ R definida en el dominio U ⊂ Rn, es una regla fque asocia a cada punto (x1, x2, . . . , xn) ∈ U un número real único xn+1 = f(x1, x2, . . . , xn).

Para el caso de n = 2, la función f : U ⊂ R2 −→ R asocia a cada punto (x, y) ∈ U un número real único,denotado por z = f(x, y).

Para el caso de n = 3 la función f : U ⊂ R3 −→ R asocia a cada punto (x, y, z) ∈ U un número real únicow = f(x, y, z).

Una función de dos variables suele escribirse z = f(x, y) y se lee “f de x, y.”donde x y y son las variablesindependientes y z es la variable dependiente.

Si el dominio D de f no se especifique en forma expĺıcita, se toma como aquel que consiste en todos los puntospara los que la fórmula dada es significativa.

Una ecuación de un plano ax+ by+ cz = d, c 6= 0, describe una función cuando se escribe como

z =d

c−a

cx−

b

cy, f(x, y) =

d

c−a

cx−

b

cy

Puesto que z es un polinomio en x y y, el dominio de la función consiste en el plano xy completo.

28





Dominios e imágenes

En el caso concreto de funciones f : U ⊂ R2 −→ R definidas en algún conjunto U del plano R2, conviene a vecestener una representación geométrica del dominio U de f. Este conjunto quedar determinado por las restricciones quef imponga para obtener f(x, y) ∈ R. Por ejemplo seguimos la práctica usual de excluir las entradas que conducen anúmeros complejos o a la división entre cero. En todo caso, estaremos interesados en ver el pedazo del planoR

2 donde f está definida.

✄

✂

�

✁Ejemplo 35.

a) Dado que f(x, y) = 4+√

x2 − y2) encuentre f(1, 0), f(5, 3) y f(4,−2).

b) Dibuje el dominio de la función.

SOL: (a)

f(1, 0) =

f(5, 3) =

f(4,−2) =

SOL: (b) Las coordenadas (x, y) debe cumplir x2 − y2 > 0, el dominio consiste en la regiónsombreada de la figura.

✄

✂

�

✁Ejemplo 36. Calcule el dominio para las siguientes funciones y si es posible indique su grafica

1. f(x, y) =√

9− x2 − y2

2. f(x, y) = ln xy

3. f(x, y) =

√x2+y2−9

x

4. g(x, y, z) = x√9−x2−y2−z2

5. g(x, y, z) = x+y+z√x2+y2+z2

SOL: (1) Dominio: Las coordenadas (x, y) deben satisfacer . Esdecir, el dominio de f consiste en la

SOL: (2) Dominio: las coordenadas (x, y) deben satisfacer . Es decir, el dominiode f es

SOL: (3) Dominio: las coordenadas (x, y) de esta función deben satisfa-cer . Es decir, el dominio de f son los puntos que están

. OJO con el eje y

SOL: (4) Dominio: las coordenadas (x, y, z) de esta función de-ben satisfacer . Es decir, el dominio se encuentran

SOL: (5) Dominio: las coordenadas (x, y, z) de esta función deben satisfacer. Es decir, el dominio

✄

✂

�

✁Ejemplo 37. Encuentre el dominio de definición de la función cuya fórmula es f(x, y) =y√x−y2

y encuentre los puntos (x, y) en los que f(x, y) = ±1.

SOL: Para que f(x, y) esté definida, x−y2 > 0 es decir, y2 < x. Este dominio está sombreadoen la figura. Observe que la parábola en aparece en ĺınea punteada para indicar que NOestá incluida en el dominio de f.Por otra parte f(x, y) = ±1 implica que y√

x−y2= ±1, es decir, x = 2y2. Por lo tanto

f(x, y) = ±1 se obtiene en cada punto de la parábola x = 2y2 [OJO (x, y) 6= (0, 0)].

29





Graficas

Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede saber muchoacerca del comportamiento de una función de dos variables dibujando su gráfica.La gráfica de una función f de dos variables es el conjunto de todos los puntos(x, y, z) para los que z = f(x, y) y (x, y) está en el dominio de f.

1. La gráfica puede interpretarse geométricamente como una superficie enel espacio.

2. la gráfica de z = f(x, y) es una superficie cuya proyección sobre el planoxy es D, el dominio de f.

3. A cada punto (x, y) en D corresponde un punto (x, y, z) de la superficie y,viceversa, a cada punto (x, y, z) de la superficie le corresponde un punto(x, y) en D.

✄

✂

�

✁Ejemplo 38.

¿Cuál es el rango de f(x, y) =√

16− 4x2 − y2. Describir la gráfica de f.

SOL: Para que f(x, y) esté definida, . Por tanto, el dominioD es el conjunto de todos los puntos que

El rango de f está formado por todos los valores z = f(x, y) tales que. Un punto (x, y, z) está en la gráfica de f si y sólo si

Por lo tanto, la gráfica de f es .

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✂

�

✁Ejemplo 39. Dibuje la gráfica de la función f(x, y) = 2−12x− 1

3y.

Sol: No es dif́ıcil ver que la gráfica z = 2 − 12x − 1

3y es , y para

visualizarlo usamos las trazas.

Curvas de nivel

En general, si una función de dos variables está dadapor z = f(x, y) entonces definimos la gráfica de fcomo el conjunto

Graf(f(x)) ={

(x, y, z) ∈ R3 : z = f(x, y)}

Este conjunto también es llamado superficie. Adi-cionalmente definimos curva de nivel de f como

{

(x, y) ∈ U : f(x, y) = c}

.

30





NOTA: La curva en el espacio donde el plano z = c corta a una superficie z = f(x, y) está formada por los puntosque representan el valor de la función f(x, y) = c. A ésta se le llama curva de contorno para distinguirla de lacurva de nivel f(x, y) = c en el dominio de f. Sin embargo, no todo mundo hace esta distinción; por ejemplo enla mayoŕıa de los mapas, a las curvas que representan una elevación (altura sobre el nivel del mar) se les llamacontornos, no curvas de nivel.

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✂

�

✁Ejemplo 40. Grafique f(x, y) = 100−x2−y2 y trace las curvas de nivel f(x, y) = 0, f(x, y) = 51 y f(x, y) = 75

en el dominio de f en el plano.

Sol: El dominio de f es , y el rango de f es el conjunto de númerosreales . La gráfica es . La curva de nivel f(x, y) = 0es claramente , ya que,

las curvas f(x, y) = 51 y f(x, y) = 75 son . Pues,

✄

✂

�

✁Ejemplo 41. Halle las curvas de nivel de una función polinomial f(x, y) = y2 − x2

Sol: las curvas de nivel son dadas por . Observe que si c 6= 0 las curvas son, pero si c = 0 las curvas son .

✄

✂

�

✁Ejemplo 42. Estudie las curvas de nivel del paraboloide z = 25− x2 − y2

Sol: las curvas de nivel son dadas por . Por tanto las curvas de nivel son .

31





Superficies de nivel

Definición 30 (Superficies de nivel).Sea f : U ⊂ R3 → R una función diferecniable sobre U. Definimos una superficie denivel de f como el conjunto

Snivel ={

(x, y, z) ∈ U : f(x, y, z) = c}

.

Aqúı NO graficamos la función pues los puntos (x, y, z, f(x, y, z)) que están en R4; Sin embargo, podemos ver cómose comporta la función, estudiando sus superficies de nivel en su dominio, ya que ellas muestran en qué formacambian los valores de la función al movernos por el dominio.✄

✂

�

✁Ejemplo 43.

1. Las superficies de nivel del polinomio f(x, y, z) = x− 2y+ 3z son

2. Las superficies de nivel del polinomio f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 son

3. Las superficies de nivel de una función racional f(x, y, z) =x2 − y2

zestán dadas por .

✄

✂

�

✁Ejemplo 44. Estudie las superficies de nivel de la función f(x, y) = x2 + y2 − z2

Sol: La superficies de nivel están dadas por . De manera que, si c > 0entonces obtenemos un , mientras que si c < 0, entonces es

. El cono x2 + y2 − z2 = 0 se encuentra entre estos dos tipos de hi-perboloides.

32





1.4. Ĺımites y continuidad

Para poder abordar adecuadamente el estudio de la diferenciabilidad de funciones de varias variables es necesariotener algunos conceptos sobre limites y continuidad de estas funciones. Aunque en estas notas de clase no voy hacerun acercamiento riguroso y exhaustivo sobre limites y continuidad, debido a que a que se requiere un trabajo previocon la topoloǵıa del espacio Rn (en el curso de análisis, exijan esta rigurosidad)

En el estudio de los ĺımites de las funciones de varias variables, se ponen al descubierto las grandes dificultades depasar del cálculo de una variable al de varias variables:

Para funciones de una variable sus dominios son “pedazos de la recta”, muchas veces intervalos.

Para una función de n variables, su dominio es un “pedazo de Rn”, y... aqúı empiezan los problemas.

¿Cómo son los subconjuntos de Rn “equivalentes” a los subconjuntos de R?

La respuesta la encontramos en la matemática llamada ((topoloǵıa)).

Nosotros solamente estudiaremos aquellos conceptos “topológicos”que nos hagan la vida más eficiente paracomprender los conceptos de ĺımite y continuidad para una función f : U ⊂ Rn → R.Para funciones de una variable,

• La existencia de ĺımx→a

f(x) se estudia a partir de la gráfica de y = f(x).

• ĺımx→a

f(x) existe si y sólo si ĺımx→a−

f(x) = ds ĺımx→a+

f(x) existe, en cuyo caso ĺımx→a

f(x) = L.

Conjunto abierto en R2

El estudio del ĺımite de una función de dos variables inicia definiendo el análogo bidimensional de un intervalo enla recta real. Utilizando la fórmula para la distancia entre dos puntos (x, y) y (x0, y0) en el plano, se puede definirel entorno de (x0, y0) como el disco con radio δ > 0 centrado en (x0, y0)

D ={

(x, y) :

√

(x− x0)2 + (y− y0)2 < δ}

Cuando esta fórmula contiene el signo de desigualdad menor que, 0 tal queB(x, r) ⊂ V. Un conjunto F ⊂ Rn se dice que es cerrado si su complemento Fc = Rn−Fes un conjunto abierto.

1. Un punto (x0, y0) en una región R del plano es un punto interior de R si existe un entorno δ de (x0, y0) queesté contenido completamente R.

2. Si todo punto de R es un punto interior, entonces es una región abierta.

3. Un punto (x0, y0) es un punto frontera de R si todo disco abierto centrado (x0, y0) en contiene puntosdentro de R y puntos fuera de R

4. Si una región contiene todos sus puntos frontera, la región es cerrada.

33





5. Una región que contiene algunos pero no todos sus puntos frontera no es ni abierta ni cerrada.

6. La región R está acotada si puede estar contenida en un rectángulo o disco suficientemente grande en el plano.

Las definiciones de interior, frontera, abierta, cerrada, acotada y no acotada para las regiones en el espacio, sonsimilares a las de las regiones en el plano. Para considerar la dimensión extra, ahora usamos esferas sólidas de radiopositivo en lugar de discos.

1. Un punto (x0, y0, z0) en una región R del espacio es un puntointerior de R, si es el centro de una bola sólida que está com-pletamente dentro de R

2. Un punto (x0, y0, z0) es un punto frontera de R si todaesfera con centro en (x0, y0, z0) contiene puntos que estánfuera de R y puntos que están en R

3. El interior de R es el conjunto de puntos interiores de R.

4. La frontera de R es el conjunto de puntos frontera de R.

5. Una región es abierta si consta sólo de puntos interiores.

6. Una región es cerrada si contiene a toda su frontera.

Ĺımites de funciones de dos variables

Analizar un ĺımite dibujando la gráfica de z = f(x, y) no es conveniente ni esuna rutina posible para la mayor parte de las funciones de dos variables. Porintuición sabemos que f tiene un ĺımite en un punto (a, b) si

ĺım(x,y)→(a,b)

f(x, y) = L

Para tener un poco más de precisión, los puntos en el espacio (x, y, f(x, y))pueden hacerse arbitrariamente cercanos a (a, b, L) siempre que (x, y) sea su-ficientemente cercano a (a, b)

La noción de (x, y) “aproximándose” a un punto (a, b) no es tan simple comopara funciones de una variable donde x → a significa que x puede acercarse aa sólo desde la izquierda y desde la derecha.

En el plano xy hay un número infinito de maneras de aproximarse al punto (a, b) para que ĺım(x,y)→(a,b)

f(x, y) exista,

requerimos ahora que f se aproxime al mismo número L a lo largo de cualquier trayectoria o curva posible quepase por (a, b).

1. Si f(x, y) no se aproxima al mismo número L por dos trayectorias diferentes a (a, b), entonces ĺım(x,y)→(a,b)

f(x, y)

no existe.

2. En la discusión de ĺım(x,y)→(a,b)

f(x, y) que sigue se supondrá que la función f está definida en todo punto (x, y)

en un disco abierto centrado en (a, b) pero no necesariamente en el propio (a, b).

34





✄

✂

�

✁Ejemplo 45. Demuestre que ĺım(x,y)→(0,0)

x2 − 3y2

x2 + 2y2no existe.

Sol: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x (y = 0) y el eje y (x = 0).

ĺım(x,y)→(0,0)

y=0

x2 − 3y2

x2 + 2y2= ĺım

(x,0)→(0,0)

x2

x2= 1

ĺım(x,y)→(0,0)

x=0

x2 − 3y2

x2 + 2y2= ĺım

(0,y)→(0,0)

3y2

2y2= −

3

2

Por tanto, el ĺımite no existe.

✄

✂

�


xy

x2 + y2no existe.

Sol: El dominio de f es R2\(0, 0). Aproximemos a (0, 0) por el eje x y el eje y.

ĺım(x,y)→(0,0)

y=0

xy

x2 + y2= ĺım

(x,0)→(0,0)

0

x2= 0

ĺım(x,y)→(0,0)

x=0

xy

x2 + y2= ĺım

(0,y)→(0,0)

0

y2= 0

Sin embargo, esto NOOOOO significa que ĺım(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2exista, ya que no se ha examinado toda trayectoria

a (0, 0). Ahora, usemos todas las rectas que pasan por el origen y = mx.

ĺım(x,y)→(0,0)

y=mx

xy

x2 + y2= ĺım

(x,mx)→(0,0)

mx2

x2 +m2x2=

m

1+m2

Ahora el limite depende de la pendiente m de la recta, concluimos que el ĺımite no existe. Por ejemplo, tomandolas rectas y = x y en y = 2x tenemos,

ĺım(x,y)→(0,0)

y=x

xy

x2 + y2= ĺım

(x,x)→(0,0)

x2

x2 + x2=1

2

ĺım(x,y)→(0,0)

y=2x

xy

x2 + y2= ĺım

(x,2x)→(0,0)

2x2

x2 + 4x2=2

5

✄

✂

�


x3y

x6 + y2no existe.

Sol: El dominio de f es . Aproximemos a (0, 0) por el eje x, el eje y y por rectas y = mx

ĺım(x,y)→(0,0)

y=0

x3y

x6 + y2=

ĺım(x,y)→(0,0)

x=0

x3y

x6 + y2=

ĺım(x,y)→(0,0)

y=mx

x3y

x6 + y2=

35





Si bien esto constituye verdaderamente un número infinito de trayectorias al origen, el ĺımite sigue sin existir, yaque tomando la trayectoria dada por y = x3

ĺım(x,y)→(0,0)

y=x3

x3y

x6 + y2=

Por tanto, concluimos que el ĺımite no existe.

✄

✂

�


(x2 − y2

x2 + y2

)2

no existe.

Sol: El dominio de f es . Aproximemos a (0, 0) por el eje x,el eje y y por rectas y = x

ĺım(x,y)→(0,0)

y=0

(x2 − y2

x2 + y2

)2

=

ĺım(x,y)→(0,0)

x=0

(x2 − y2

x2 + y2

)2

=

ĺım(x,y)→(0,0)

y=x

(x2 − y2

x2 + y2

)2

=

Por tanto, NO tiene ĺımite en (0, 0).

✄

✂

�

✁Ejemplo 49. [Uso de coordenadas polares] Evalué ĺım(x,y)→(0,0)

10xy2

x2 + y2.

Sol: Usando las coordenadas polares x = r cos θ y y = r sen θ tenemos

10xy2

x2 + y2=10r3 cos θ sen2 θ

r2= 10r cos θ sin2 θ

Por tanto,

ĺım(x,y)→(0,0)

10xy2

x2 + y2= ĺım

r→010r cos θ sin2 θ = 0

Observe, que el limite es independiente del valor de θ. De ahi que el limite exista.

Definición 32 (Definición formal de un ĺımite).Suponga que una función f de dos variables se define en cualquier pun-to en un disco abierto centrado en (a, b) salvo posiblemente en (a, b).Entonces

ĺım(x,y)→(a,b)

f(x, y) = L

significa que para toda ǫ > 0, existe un número δ > 0 tal que

|f(x, y) − L| < ǫ, siempre que 0 < ‖(x, y) + (a, b)‖ < δ

✄

✂

�


10xy2

x2 + y2= 0.

Sol: Sea ǫ > 0 fijo, deseamos encontrar un δǫ > 0 tal que

∣

∣

∣f(x, y) − 0∣

∣

∣ =∣

∣

∣

10xy2

x2 + y2− 0∣

∣

∣ < ǫ, siempre que ‖(x, y) − (0, 0)‖ =√

x2 + y2 < δǫ

36





Observe que

∣

∣

∣

10xy2

x2 + y2− 0∣

∣

∣ = 10|x|y2

x2 + y2

6 10|x|y2

y2= 10|x| = 10

√x2 6 10

√

x2 + y2 < 10δǫ.

De modo que si se elige δǫ =ǫ10, logramos tener

∣

∣

∣

10xy2

x2+y2−0∣

∣

∣ < 10δǫ = ǫ. Esto demuestra que ĺım(x,y)→(0,0)

10xy2

x2 + y2= 0

✄

✂

�


5x2y

x2 + y2= 0.

Sol: Dado ǫ > 0 fijo, debemos encontar un δǫ > 0 tal que, si ‖(x, y) − (0, 0)‖ =√

x2 + y2 < δǫ entonces|f(x, y) − 0| < ǫ Observe que

|f(x, y) − f(0, 0)| = |5x2y

x2 + y2| = 5|y|

x2

x2 + y2

6 5|y|x2

x2= 5|y| = 5

√

y2 6 5√

x2 + y2 = 5δǫ.

Por tanto, se puede elegir δǫ =ǫ5

y concluir que si ‖(x, y) − (0, 0)‖ < ǫ5

entonces |f(x, y) − 0| < ǫ es decir,

ĺım(x,y)→(0,0)

5x2y

x2 + y2= 0.

✄

✂

�

✁Ejemplo 52. Demuestre usando la definición) que ĺım(x,y)→(1,2)3x2 + y = 5 .

Sol: Debemos demostrar que para cualquier ǫ > 0 existe un δ > 0 tal que si ‖(x, y)−(1, 2)‖ =√

(x− 1)2 + (y− 2)2 <

δ entonces |(3x2 + y) − 5| < ǫ

Primero observe que

|(3x2 + y) − 5| = |3x2 − 3+ y− 2| 6 3|x2 − 1|+ |y− 2| = 3|x− 1||x+ 1|+ |y− 2|

Ahora el objetivo es usar δ para controlar los terminos |x− 1|, |x+ 1| y |y− 2|. No es dificil ver que

|x− 1| =

√

(x− 1)2 6

√

(x− 1)2 + (y− 2)2 < δ

|y− 2| =

√

(y− 1)2 6

√

(x− 1)2 + (y− 2)2 < δ

Para controlar el termino |x+ 1| debemos imponer una restriccion sobre el δ. Dicha restricción consiste en elegir unvalor para δ por ejemplo δ = 1. De manera que el δ que estamos buscando debera cumplir dos condiciones

√

(x− 1)2 + (y− 2)2 < δ, y δ 6 1

Usando la segunda condición podemos decir que el termino

|x− 1| < δ = 1, ⇒ −1 < x− 1 < 1, ⇒ 1 < x+ 1 < 3, ⇒ |x+ 1| < 3

Por tanto

|(3x2 + y) − 5| 6 3|x− 1||x+ 1|+ |y− 2| < (3δ)(3) + δ = 10δ

Como nuestro objetivo final es que |(3x2 + y) − 5| < ǫ entonces el δ que buscamos debe cumplir, 10δ < ǫ, esdecir δ 6 1

10ǫ. Esto significa que hemos impuesto dos restricciones sobre el δ; δ 6 1 y δ 6 1

10ǫ. Para que ambas

restricciones sean validas debemos tomar δ = mı́n{1, 110ǫ} con es δ tenemos demostrado que para cualquier ǫ > 0

elegimos a δ = mı́n{1, 110ǫ} y entonces si

√

(x− 1)2 + (y− 2)2 < δ entonces |(3x2 + y) − 5| < 10δ = ǫ.

37





Esto demuestra que ĺım(x,y)→(1,2)

3x2 + y = 5. ⋆

✄

✂

�


sen(x2 + y2)

x2 + y2= 1.

Sol: Dado ǫ > 0 debemos encontrar un valor δ > 0 tal que

∣

∣

∣

sen(x2 + y2)

x2 + y2− 1∣

∣

∣ < ǫ, siempre que 0 <√

x2 + y2 < δ

Observe que si h = x2 + y2 entonces ĺımh→0

senh

h= 1, esto implica que dado ǫ > 0 podemos hallar un δ1 > 0 con

0 < δ1 < 1 tal que∣

∣

∣

sen(h)

h− 1∣

∣

∣ < ǫ, siempre que 0 < |h− 0| < δ1

Observe que, si 0 < |t| < δ1 entonces 0 < t < δ21 < δ1, sacando raiz a ambos lados, 0 <

√t <

√δ1. Deshaciendo el

reemplazo h = x2 + y2, y tomando como δ =√δ1 logramos concluir que

Si 0 <√

x2 + y2 < δ entonces∣

∣

∣

sen(x2 + y2)

x2 + y2− 1∣

∣

∣ < ǫ

Esto demuestra que el ĺım(x,y)→(0,0)

sen(x2 + y2)

x2 + y2= 1. ⋆

Continuidad

Definición 33 (Continuidad en dos variables).Una función z = f(x, y) es continua en (a, b) si

ĺım(x,y)→(a,b)

f(x, y) = f(a, b)

Si f no es continua en (a, b) se afirma que es discontinua.

1. La gráfica de una función continua es una superficie sin quiebres.

2. Una función z = f(x, y) es continua sobre un región R del plano xy si f es continua en cualquier punto enR.

3. La suma y el producto de dos funciones continuas también son continuas.

4. El cociente de dos funciones continuas es continuo, excepto en el punto donde el denominador es cero.

5. Si g es una función de dos variables continuas en (a, b) y F es una función de una variable continua en g(a, b)entonces la composición f(x, y) = F ◦ g(x, y) es continua en (a, b).

✄

✂

�

✁Ejemplo 54. Demuestre que la función f(x, y) =x4 − y4

x2 + y2es discontinua en (0, 0), pero

F(x, y) =

x4 − y4

x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

es continua en (0, 0).

Sol: Claramente la funición f(x, y) es discontinua en (0, 0), ya que f(0, 0) no esta definida.

Por otra parte, F(0, 0) = 0 y

ĺım(x,y)→(0,0)

x4 − y4

x2 + y2= ĺım

(x,y)→(0,0)

(x2 − y2)(x2 + y2)

x2 + y2= 0

38





Por consiguiente, advertimos que ĺım(x,y)→(0,0)

F(x, y) = F(0, 0) ⋆

✄

✂

�

✁Ejemplo 55. Sea f una funcion definida por f(x, y) =

{x2 + y2 x2 + y2 6 1

0 x2 + y2 > 1Determinar la continuidad de

f. ¿Cual es la región de continuidad?

Sol: Claramente la función f(x, y) es continua en todos puntos (x, y) que verifican x2+y2 6= 1. En efecto, considerelos puntos (x0, y0) que verifican x

20 + y

20 6= 1

ĺım(x,y)→(x0,y0)

x20+y201

f(x, y) = ĺım(x,y)→(x0,y0)

0 = 0 = f(x0, y0)

Ahora estudiemos el caso en que (x0, y0) que verifican x20 + y

20 = 1 y veamos si ĺım

(x,y)→(x0,y0)f(x, y) existe Sea

S1 ={(x, y) : x2 + y2 6 1

}y S2 =

{(x, y) : x2 + y2 > 1

}


P∈S1

f(x, y) = ĺım(x,y)→(x0,y0)

x2 + y2 = x20 + y20 = 1


P∈S2

f(x, y) = ĺım(x,y)→(x0,y0)

0 = 0

Como los limites no coinciden entonces f es discontinua en todos los puntos (x, y) que verifican x2 + y2 = 1. Demanera que la region de continuidad es todo R2 menos la circuferencia unitaria x2 + y2 = 1.

APENDICE: Conjuntos abiertos y cerrados

✄

✂

�

✁Ejemplo 56. El conjunto (a, b) ={

x ∈ R : a < x < b}

es abierto.

SOL: Sea x ∈ (a, b) arbitrario tenemos que demostrar que existe un 1-bola B(x, r) ⊂ (a, b),para ello consideremos la distancia r = mı́n

{x−a, b−x

}> 0 entonces la 1-bola ((intervalo))

B(x, r) = (x− r, x+ r) ⊂ (a, b)esto es, todo x ∈ (a, b) es un punto interior de (a, b). Por tanto (a, b) es conjunto abierto de R✄

✂

�

✁Ejemplo 57. La n-bola abierta con centro en x0 y radio R > 0, es el conjuntoabierto:

B(x0, R) ={

x ∈ Rn : ‖x− x0‖ < R}

SOL: Sea x ∈ B(x0, R) arbitrario, tenemos que demostrar que existe un n-bolaB(x, r) ⊂ B(x0, R). Por definición ‖x − x0‖ < R. Tomemos ahora la distancia r :=R− ‖x−x0‖ > 0 y construyamos la n-bola B(x, r). Afirmación: B(x, r) ⊂ B(x0, R).En efecto, dado y ∈ B(x, r) entonces, ‖y− x‖ < r. Ahora observe que

‖y− x0‖ = ‖y− x+ x− x0‖ 6 ‖y− x‖+ ‖x− x0‖ < r+ ‖x− x0‖ = REs decir, ‖y − x0‖ < R, en otras palabras, y ∈ B(x0, R). Queda aśı demostrado que B(x, r) ⊂ B(x0, R) y por endela n-bola B(x0, R) es abierta.

✄

✂

�

✁Ejemplo 58. El semiplano derecho A ={

(x, y) ∈ R2 : x > 0}

es abierto.

SOL: Sea (x, y) ∈ A, tenemos que demostrar que existe un 2-bola B((x, y), r) ⊂ A. Pordefinición x > 0, luego tomemos el radio r = x > 0 y construyamos la 2-bola B((x, y), r).Afirmación B((x, y), r) ⊂ A. En efecto, sea (x1, y1) ∈ B((x, y), r) ahora observe que

|x1 − x| =

√

(x1 − x)2 6

√

(x1 − x)2 + (y1 − y)2 < r = x

39





y aśı |x1 − x| < x, es decir x1 > 0, por ende (x1, y1) ∈ A. Queda aśı demostrado que B((x, y), r) ⊂ A, y por tantoA es abierto.✄

✂

�

✁Ejemplo 59. Si A y B son conjuntos abiertos de R entonces el rectángulo

A× B ={

(a, b) ∈ R2 : a ∈ A, y b ∈ B}

, es abierto

SOL: Sea (a, b) ∈ A × B tenemos que demostrar que existe un 2-bolaB((a, b), r) ⊂ A × B. Puesto que A, y B son abiertos en R existe una 1-bolaB(a, r1) ⊆ A, y una 1-bola B(b, r2) ⊆ B.Sea r = mı́n{r1, r2} y construimos la 2-bola B((a, b), r). AfirmaciónB((a,b), r) ⊂ A× B. En efecto, si (x, y) ∈ B((a, b), r) arbitrario entonces

‖(x, y) − (a, b)‖ =√

(x− a)2 + (y− b)2 < r,

aśı que

|x− a| =

√

(x− a)2 6

√

(x− a)2 + (y− b)2 < r 6 r1, ⇒ x ∈ B(a, r1) ⊆ A

|y− b| =

√

(y− b)2 6

√

(x− a)2 + (y− b)2 < r 6 r2 ⇒ y ∈ B(b, r2) ⊆ B

Por consiguiente (x, y) ∈ A× B. Esto demuestra que B((a, b), r) ⊂ A× B. Por lo tanto, A× B es abierto.✄

✂

�

✁Ejemplo 60. La n-bola cerrada con centro x0 y radio r > 0 es el conjuntocerrado:

B(x0, r) ={

x ∈ Rn : ‖x− x0‖ 6 r}

Sol: : Sea x0 ∈ Rn y r > 0. Probaremos que B(x0, r) es un conjunto cerrado, es decir,que su complemento Rn − B(x0, r) es un conjunto abierto.

Sea pues x ∈ Rn − B(x0, r) arbitrario. Mostraremos que existe una n-bola abiertaB(x, R) ⊂ Rn − B(x0, r). Como x /∈ B(x0, r), se tiene entonces que ‖x− x0‖ > r.

Definamos R := ‖x−x0‖− r > 0, esto equivale a r = ‖x−x0‖−R. Afirmación B(x, R) ⊂ Rn − B(x0, r). En efecto,sea y ∈ B(x, R) se tiene entonces ‖y− x‖ < R. Ahora observe,

‖x− x0‖ = ‖x− y+ y− x0‖ = ‖x− y‖+ ‖y− x0‖ < R+ ‖y− x0‖

Por tanto, ‖y − x0‖ > ‖x − x0‖− R = r, es decir, ‖y − x0‖ > r. Esto significa que y /∈ B(x0, r), en otras palabras,y ∈ Rn − B(x0, r). Queda aśı demostrado que B(x, R) ⊂ Rn − B(x0, r). Y esto implica que Rn − B(x0, r) es unconjunto abierto.

Conjuntos abiertos, a partir de una función continua

Vamos a encontrar otra forma más ((elegante)) de demostrar que un conjunto es abierto o cerrado. Para ellonecesitamos el siguiente teorema de calculo I.

Teorema 34 (Preimagen de abiertos es abierto).Si f : X → Y es continua entonces para todo conjunto abierto V en Y, la preimagende V en X,

f−1(V) ={

x ∈ X : f(x) ∈ V}

,

es un conjunto abierto en X.

40





Dem: Sea x ∈ f−1(V) arbitario. tenemos que demostrar que existe un bolaB(x, δ) ⊂ f−1(V). Como V es abierto, existe ǫ > 0 tal que B(f(x), ǫ) ⊂ V.Ahora, por hipótesis f es continua x, aśı que existe δ > 0 tal que B(x, δ) es unabola centrada en x y

f(

B(x, δ))

⊂ B(f(x), ǫ) ⊂ V,esto es

B(x, δ) ⊂ f−1(

B(f(x), ǫ))

⊂ f−1(V)lo cual muestra que f−1(V) es abierto.

✄

✂

�

✁Ejemplo 61. Demuestre si los siguientes conjuntos son abiertos, cerrados, acotados y compactos. Viendoloscomo preimagen de una cierta función continua.

a) A ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 2

}

b) B ={(x, y) ∈ R2 : xy 6 2

}

c) C ={(x, y) ∈ R2 : 0 < ‖(x, y) − (1, 3)‖ < 2

}

d) D ={(x, y) ∈ R2 : y 6 x3

}

e) E ={(x, y) ∈ R2 : |x| < 1, |y| 6 2

}

f) F ={(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| < 1

}

g) G ={(x, y) ∈ R2 : y < x2, y < 1

x, x > 0

}

h) H ={(x, y) ∈ R2 : xy 6 y+ 1

}

i) I ={(x, y) ∈ R2 : (x− 1)2 + y2 6 1, x 6 1

}

SOL (a) Consideramos la función f : R2 → R definida por f(x, y) = x2 + y2, claramente es continua y de rangoR

+. Ahora observe que

A ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 2

}

={(x, y) ∈ R2 : 0 6 x2 + y2 6 2

}

={(x, y) ∈ R2 : 0 6 f(x, y) 6 2

}

={(x, y) ∈ R2 : f(x, y) ∈ [0, 2]

}

= f−1(

[0, 2])

Como el intervalo [0, 2] ⊂ R es cerrado, y f es continuaentonces A = f−1

(

[0, 2]))

es cerrado en R2. Adicional-mente es A está acotado, el conjunto A es compacto.

SOL (b) Consideremos la función g : R2 → R definida por g(x, y) = xy claramente es continua y de rango R.Ahora observe que

B ={(x, y) ∈ R2 : xy 6 2

}

={(x, y) ∈ R2 : g(x, y) 6 2

}

={(x, y) ∈ R2 : g(x, y) ∈ (−∞, 2]

}

= g−1(

(−∞, 2])

Como el intervalo (∞, 2] ⊂ R es cerrado, y g es conti-nua entonces B = g−1

(

(∞, 2]))

es cerrado en R2. PeroB NO es acotado ((no existe un bola o rectangulo quelo contenga)), por lo tanto B no es compacto.

SOL (c) Consideremos la función f : R2 → R definida por

f(x, y) = ‖(x, y) − (1, 3)‖ =√

(x− 1)2 + (y− 3)2

Claramente f es continua y de rango R+. Ahora observe que,

C ={(x, y) ∈ R2 : 0 < ‖(x, y) − (1, 3)‖ < 2

}

={(x, y) ∈ R2 : 0 < f(x, y) < 2

}

={(x, y) ∈ R2 : f(x, y) ∈ (0, 2)

}

= f−1(

(0, 2))

Como el intervalo (0, 2) ⊂ R es abier-to, el conjunto C = f−1

(

(0, 2))

esabierto en R2 y es acotado, ya que

C ⊂ {(x, y) ∈ R2 : ‖(x, y) − (1, 3)‖ < 4}.

41





SOL (d) Consideremos la función f : R2 → R definida por f(x, y) = x3 − y claramente escontinua y con rango R. Ahora observe que

D ={(x, y) ∈ R2 : y 6 x3

}

={(x, y) ∈ R2 : x3 − y > 0

}

={(x, y) ∈ R2 : f(x, y) > 0

}

={(x, y) ∈ R2 : f(x, y) ∈ [0,∞)

}

= f−1(

[0,∞))

Como el intervalo [0,∞) ⊂ R escerrado, el conjunto D es cerra-do en R2 Claramente No es aco-tado.

SOL (e) La representación gráfica del conjunto E se puede ver el lafigura. Los puntos P,Q ∈ ∂E ((∂E denota la frontera de E)).

Como P /∈ E, vemos que E NO es cerrado.

Como Q ∈ E, vemos que E NO es abierto.

En general vemos que ∂E∩E 6= ∅, por lo que el conjunto no es abierto.Pero, E 6= E por lo que el conjunto no es cerrado.

SOL (f) Consideremos las siguientes funciones definidas de R2 en R

f1(x, y) = x+ y f2(x, y) = −x+ y f3(x, y) = −x− y f4(x, y) = x− y

Claramente cada fi es continuas y de rango R. Ahora observe que

F ={(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| < 1

}

={(x, y) ∈ R2 : x+ y < 1, −x+ y < 1, −x− y < 1, x− y < 1

}

={(x, y) ∈ R2 : f1(x, y) < 1, f2(x, y) < 1, f3(x, y) < 1, f4(x, y) < 1

}

={(x, y) ∈ R2 : f1(x, y) < 1

}∩{(x, y) ∈ R2 : f2(x, y) < 1,

}

∩{(x, y) ∈ R2 : f3(x, y) < 1

}∩{(x, y) ∈ R2 : f4(x, y) < 1

}

= f−11(

−∞, 1))

∩ f−12(

−∞, 1))

∩ f−13(

−∞, 1))

∩ f−14(

−∞), 1)

Como los intervalos (−∞, 1) ⊂ R son abiertos y cada fi es continua entonces por teoremaf−1i(

−∞, 1) es un conjunto abierto en R2 para i = 1, 2, 3, 4, pero dado que la intersecciónFINITA de abiertos siempre es abierto, concluimos que F es abierto. Observe que F esacotado porque está contenido en la bola de centro (0, 0) y radio 1, 2, 3, y como ∂F ∩ F = ∅,el conjunto es abierto.

42





SOL (g) Consideremos las funciones definidas de R2 en R

f1(x, y) = y− x2 f2(x, y) = y−

1

xf3(x, y) = x

Claramente cada fi e

Calculo en varias variables La geometr´ıa del espacio · 2020. 6. 18. · Calculo en varias...

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