Gu´ıa de Calculo en Varias Variables...

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Matematicas U.V.

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Universidad de ValparaısoInstituto de Matematicas

Guıa de Calculo en Varias VariablesDiferencial

Funciones Reales

1. Graficar en R3 (e identificar la superficies)

a) y2 + z2 = 16

b) 4x2 + 9z2 = 36

c) x2 + 5z2 = 25

d) x2 = 9z

e) x2 − 4y = 0

f ) y2 − x2 = 16

g) xz = 1

h) 4x− 3y = 12

i) 2z + y = 5

j ) z = ey

k) z = log x

2. Graficar en R3 (e identificar la superficies)

a) 4x2 + 9y2 = 36z

b) 8x2 + 4y2 + z2 = 16

c) 16x2 + 100y2 − 25z2 = 400

d) 25x2 − 225y2 + 9z2 = 225

e) 3x2 − 4y2 − z2 = 12

f ) 4x2 + y2 = 9z2

g) x2 − 16y2 = 4z2

h) 4y2 − 25z2 = 100x

i) 9x2 + 4y2 + z2 = 36

j ) 16x2 − 25y2 + 100z2 = 200

k) 16x2 − 4y2 − z2 + 1 = 0

l) 36x = 9y2 + z2

m) y2 − 9x2 − z2 − 9 = 0

n) z2 − x2 − y2 = 1

n) 4y2 + 25z2 + 100x = 0

o) 16y = x2 + 4z2

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p) 36x2 − 16y2 + 9z2 = 0

q) 4y2 + 9z2 = 9x2

3. Determinar el dominio de las siguientes funciones reales (y grafique su dominio)

a) f(x, y) = 1√4−x2−y2

b) f(x, y) = ln(x+ y)

c) f(x, y) = 1 +√

1− (x+ y)2

d) f(x, y) = 1√y−√

x

e) f(x, y) =1−cos

√xy

y

f ) f(x, y) = arcsen(x/2) +√xy

g) f(x, y) =√

16− x2 − y2

h) f(x, y) = ln(x2 + y2)

i) f(x, y) =√1− x2 +

√

1− y2

j ) f(x, y) =

√(1+4x)(1+6y)−1

2x+3y

k) f(x, y) =√

x2 + y2 − 1 +√1− z2

l) f(x, y, z) =√

z2 − x2 − y2

m) f(x, y, z) = ln(x+ y + z − 1)

n) f(x, y, z) = z2x+y

4. Determinar y graficar el dominio de la funciones z = f(x, y) y describir las curvas denivel.

a) z =√

x2 + 4y2 − 4

b) z =√

x2 − y2

c) z = ln(√

yx)

d) z = y − 3x2

e) z =√x2 − 4

f ) z = ex−y

g) z = 1− (x− 4)2 − (y − 5)2

h) z =√

x2 − y

i) z =√xy

j ) z =√

|x| − |y|

5. Para cada una de las siguientes funciones; encontrar el dominio y el recorrido de f ydescribir las curvas de nivel.

a) f(x, y) = 4x2 + 9y2

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b) f(x, y) =√

100− 25x2 − 4y2

c) f(x, y) =√x+ y

d) f(x, y) =√

100− x− y2

e) f(x, y) = arcsen(x+ y)

f ) f(x, y) = ln(xy − 1)

g) f(x, y) = x|y|

h) f(x, y) =√

x−yx+y

6. Sea g(x, y, z) =√

4− x2 − y2 − z2

a) Encontrar g(1,−1,−1), g(−a, 2b, c2)

b) Determine Domg Recg

c) Trazar 3 superficies de nivel

7. Sea f(x, y) =√

4− x2 − y

a) Determinar y graficar el dominio de f

b) Respecto al dominio de f determine si es abierto, cerrado, acotado y encuentreIntA, FrA, A′, donde A = Domf

c) Graficar tres curvas de nivel y esquematizar el grafico de f , indicando interceccioncon los ejes.

8. Un lugar geometrico S ⊂ R3 se construye como sigue P ∈ S si y solo si la distancia al

punto Q = (2,−1, 3) es dos veces su distancia al plano z = 0. Determine

a) La ecuacion que representa a S.

b) Grafique aproximadamente S e identifique la superficie.

c) En la superficie anterior, considere z > 0 y determine el dominio de f dondez = f(x, y).

9. Sea A = {(1/n, 1/m) | n,m ∈ N} y B = {(x, y) ∈ R2 | ||(x, y) − (1, 1)|| < 2

3}.

Considere E = A ∪B

a) Grafique E

b) ¿Es abierto E ?

c) Determine IntE , E ′.

10. Para cada uno de los siguientes conjuntos, determine si A es abierto, cerrado, acotadoy encuentre A′, F rA, IntA.

a) A = {(x, y) ∈ R2 | xy > 0}

b) A = {(x, y) ∈ R2 | |y| < x2} ∪ {(−1/n, 0) | n ∈ N}

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c) A = {(x, y) ∈ R2 | 0 < ||(x, y)|| ≤ 1} ∪ {(x, y) ∈ R

2 | x = y, x >√2}

d) A = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ R, y ∈ Q}

e) A = {(x, y, z) ∈ R3 | x+ y + 2z = 4} ∩ {(x, y, z) ∈ R

3 | z = 1}f ) A = {(x, y, z) ∈ R

3 | |x|+ |y| < 4}g) A = {(x, y) ∈ R

2 | 0 < (x− 1)2 + (y − 1)2 ≤ 1} ∪{(x, y) ∈ R

2 | 0 ≤ (x− 4)2 + (y − 1)2 ≤ 4}h) A = {(x, y) ∈ R

2 | |x+ y| < 4}i) A = {(x, y) ∈ R

2 | |y| < |x| ∧ |x|+ y < 1} ∪ {(0, 0), (0, 1)}

11. Sea f(x, y) = x2

|x|−|y|

a) Grafique su dominio.

b) Grafique sus curvas de nivel.

c) Esboce la grafica de f .

12. Sea f(x, y) = y2+2xy2−2x




13. Sea f(x, y) = x2+y2

x2−y2




14. Sea f(x, y) = xy−1x2 , f(x, y) ≥ 0




15. Sea f(x, y) = ln(x2 + y2 − 1)




Lımite y Continuidad

16. Demuestre (usando la definicion)

a) lım(x,y)−→(1,1) x+ 3y = 4

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b) lım(x,y)−→(a,b)mx+ ny = ma+ nb

c) lım(x,y)−→(1,2) 3x2 + y = 5

d) lım(x,y)−→(0,0)2y2xx2+y2

= 0

e) lım(x,y)−→(0,0)(x+ y)sen(1/x) = 0

f ) lım(x,y)−→(0,1)xy−x√

x2+(y−1)2= 0

17. Demostrar que para la funcion f dada, el lım(x,y)−→(0,0) f(x, y) no existe

a) f(x, y) = x2−y2

x2+y2

b) f(x, y) = x4+3x2y2+2xy3

(x2+y2)2

c) f(x, y) = x2

x2+y2

d) f(x, y) = x4y4

(x2+y4)3

e) f(x, y) = x2y2

x3+y3

18. Sea D = {(x, y) ∈ R2 | xy 6= kπ, k ∈ Z} y

f : D ⊂ R2 −→ R

3

(x, y) 7→ (f1(x, y), f2(x, y), f3(x, y))

donde f(x, y) =

(

ysen(2x)xy3+xy

,x2y

√x2+y2

sen(xy), 3x2yx2+y2

)

a) Graficar el dominio D

b) Calcular (si existe ) lım(x,y)−→(0,0) f(x, y)

c) Usando la definicion de lımite demuestre que el lım(x,y)−→(0,0) f3(x, y) es el encon-trado en (b).

19. Sea

f(x, y) =

x3y5

x6+y10si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

Analice la continuidad de f en R2

20. Sea f(x, y) = 1xsen(xy) si x 6= 0 ¿Es posible definir f cuando x = 0 de modo que f

sea continua en R2?

21. Sea

f(x, y) =

xy|x|+|y| si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

¿ Es f continua en (0, 0)?

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22. Sea

f(x, y, z) =

√xyz

x2+y2+z2si (x, y, z) 6= (0, 0, 0)

A si (x, y, z) = (0, 0, 0)

¿ Existe una constante A de manera que f sea continua en (0, 0, 0)?

23. Encontrar A (si es posible) para que la funcion f sea continua en (0, 3)

f(x, y) =

x2+(y−3)2

x2(y−3)2+(x−(y−3))2si (x, y) 6= (0, 3)

A si (x, y) = (0, 3)

24. Sea

f(x, y) =

(y−2)2sen(xy)y2+x2−4y+4

si (x, y) 6= (0, 2)

α si (x, y) = (0, 2)

Encuentre α si existe para que f sea continua en (0, 2).

25. Sea f(x, y) =

√|xy|

x2+y2

a) Determine Domf y el conjunto de puntos donde f sea continua.

b) Calcule (si existe) lım(x,y)−→(0,0) f(x, y)

26. Sea

f(x, y) =

√(1+4x)(1+6y)−1

2x+3ysi 2x+ 3y 6= 0

−2/3 si 2x+ 3y = 0

a) ¿Es f continua en (0, 0) ?

b) ¿Es f continua en (−1, 2/3)?

27. Sea

f(x, y) =

xyx2+y2

si |y| < x2

0 si (x, y) = (0, 0)

a) Grafique Domf

b) ¿Es f continua en (0, 0) ?

c) g(x, y) =

xyx2+y2

si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

¿Es g continua en (0, 0)?

28. Sea

f(x, y) =

x2−3yx+y

si x+ y > 0

x− y si x+ y = 0

Calcular ∂f∂x

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29. ¿ Es la funcion dada a continuacion, continua en el punto P (1,−2)?

f(x, y) =

(x−1)(y+2)(x−1)2+(y+2)2

sen((x− 1)2 + (y + 2)2) si (x, y) 6= P

0 si (x, y) = P

Derivadas Parciales y Diferenciabilidad

30. Sea

f(x, y) =

1xsen(xy) si x 6= 0

y si x = 0

Determine

a) Si f es continua en (0, 0)

b) Si las derivadas parciales ∂f∂x(0, 0) y ∂f

∂y(0, 0) existen.

31. Dada la funcion

f(x, y) =

0 si (x, y) = (0, 0)

xy3

y3+x2 si (x, y) 6= (0, 0)

a) Analizar la continuidad de f en R2

b) Calcular si existen ∂f∂x(0, 0), ∂f

∂y(0, 0)

32. Sea

f(x, y) =

yx−y√(x−1)2+y2

si (x, y) 6= (1, 0)

0 si (x, y) = (1, 0)

a) Hallar si existen ∂f∂x(0, 1), ∂f

∂y(1, 0)

b) Hallar si existe ∂2f∂x∂y

(1, 0)

33. Sea

f(x, y) =

(x−y)2

x2+y2si (x, y) 6= (0, 0)

1 si (x, y) = (0, 0)

a) Hallar si existen ∂f∂x(x, y), ∂f

∂y(x, y)

b) ¿ Es f diferenciable en (0, 0) ?

34. Sea

f(x, y) =

{

x2y2

x2+y2, (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)

a) Determine ∂f∂x, ∂f

∂yy verifique que no son continuas en (0, 0)?

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b) Calcule ∂2f∂x∂y

(0, 0) y ∂2f∂y∂x

(0, 0)

c) ¿Es f diferenciable en (0, 0)?

35. Sea

f(x, y) =

x3(1−y2)x2+y2

si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

a) Obtener ∂f∂x(0, 0), ∂2f

∂x2 (0, 0),∂2f∂x∂y

(0, 0) si existen.

b) ¿ Es f diferenciable en (0, 0)?

36. Sea

f(x, y) =

2xyx2+y2

si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

a) ¿ Existen fx(0, 0), fy(0, 0)?

b) ¿ Son fx y fy continuas en (0, 0)?

c) ¿ Es diferenciable en (0, 0)?

37. Sea

f(x, y) =

sen(y2+|xy|)y

si y 6= 0

0 si y = 0

a) ¿ Es f continua en (1, 0)?

b) Calcular si existen ∂f∂x(1, 0), ∂f

∂y(1, 0)

c) ¿ Es f diferenciable en (1, 0)?

38. Sea

f(x, y) =

xy3

x2+|y| si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)



c) Determine si existen ∂2f∂x2 (0, 0),

∂2f∂y2

(0, 0) , ∂2f∂y∂x

(0, 0)

d) ¿ Es ∂f∂x

continua e (0, 0)?

e) ¿ Es ∂f∂y

continua e (0, 0)?

39. Sea

f(x, y) =

x2y|senx|+|y| si (x, y) 6= (kπ, 0), k ∈ Z

0 si (x, y) = (kπ, 0), k ∈ Z

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a) ¿Es f diferenciable en (0, 0)?

b) ¿Es f diferenciable en (2π, 0)?

40. Sea

f(x, y) =

xy2

x3+y2si x3 + y2 6= 0

0 si x3 + y2 = 0

a) ¿ Es f diferenciable en el origen ?

b) ¿ En que punto de la curva x3 + y2 = 0 la funcion ∂f∂x

es continua?

41. Sea f : G ⊂ R2 −→ R funcion definida por

f(x, y) =

x2+y2

x−y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

a) ¿ Determine G = Domf

b) ¿ Es f continua en (0, 0)?

c) ¿ Existen las derivadas parciales en (0, 0)?

d) ¿ Es f diferenciable en (0, 0)?

e) Dibuje dos curvas de nivel de la funcion f

42. Sea f(x, y) = (f1(x, y), f2(x, y)) con

f1(x, y) =

x3

x2+y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

f2(x, y) =

xy√x2+y2

si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

a) ¿Es f continua en (0, 0)?

b) ¿Es f diferenciable en (0, 0)?

c) ¿Es f diferenciable en (x, y) 6= (0, 0)?

d) ¿Existe la matriz jacobiana de f en (0, 0)?

43. Sea

f(x, y) =

{

sen(x2y)|x|+|y| , (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)



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c) Determine, si existe ∂f∂x(1, π/2).

d) Determine la derivada direccional en (1, π/2) y en la direccion del punto (1, 1), siexiste.

e) ¿Existe plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto (0, 0, 0)?

44. Determine los valores de α para que f sea diferenciable en (0, 0).

f(x, y) =

(x2 + y2)αsen( 1x2+y2

) si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

45. Sea

f(x, y) =

{

x2y2

x2+y2, (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)

a) Determine ∂f∂x, ∂f

∂yy verifique que no son continuas en (0, 0)?

b) Calcule ∂2f∂x∂y

(0, 0) y ∂2f∂y∂x

(0, 0).

c) ¿Es f diferenciable en (0, 0)?

46. En un cierto instante t0 el radio y la altura de un cilindro recto son 10 y 5 cmsrespectivamente. Si el radio crece a razon de 2cm/seg y la altura crece a razon de1cm/seg encuentre con que rapidez crece el volumen del cilindro en el instante t0.

Derivada Direccional

47. Sea

f(x, y) =

{

x+ y + x3yx4+y2

, (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)

Determine

a) Maximo dominio de continuidad de f .

b) Maximo dominio de diferenciabilidad de f .

c) Derivada direccional de f en (0, 0) en todas las direcciones.

48. Hallar la derivada direccional de F (x, y) = x2 − 3y + 2y2 − 1 en el punto P (1, 2) en ladireccion de PQ donde Q(−1, 1).

49. Calcular la derivada direccional de f(x, y, z) = x2 − 8xy + z2 en la direccion de unvector normal a la superficie x2 + y2 + z2 − 33 = 0 en el punto (4, 4, 1).

50. Hallar la variacion de la funcion ψ = xyz2 en la direccion normal a la superficiex2 + y2 + z2 = 29 en el punto P (4, 3, 2) ¿Cual es el valor maximo que puede tomar lavariacion de ψ en P ?

51. Hallar la derivada direccional de la funcion µ = x2 − 3yz + 5 en el punto P (1, 2,−1)en la direccion que forma angulos iguales con los tres ejes coordenados.

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52. La temperatura en cualquier punto (x, y) de una placa rectangular en el plano xyesta determinada por

T (x, y) = x2 + y2

a) Encontrar la rapidez de cambio de la temperatura en el punto (3, 4) en la direccionque forma una angulo π/3rad con la direccion positiva x.

b) Encontrar la direccion para la cual la rapidez de cambio de la temperatura en elpunto (−3, 1) es un maximo. ¿Cual es ese valor maximo?

53. Encontrar la direccion desde el punto (1, 3) para la cual el valor de f no varıa si

f(x, y) = e2y arctan(y

3x)

54. Hallar la derivada direccional de u = 2x3y−3y2z en P (1, 2,−1) en una direccion haciaQ(3,−1, 5).

En que direccion a partir de P es maxima la derivada direccional?

¿Cual es la magnitud de la derivada direccional maxima?

55. Demostrar que la derivada direccional de la funcion f(x, y) = y2

xtomada en cualquier

punto de la elipse 2x2 + y2 = c2 en la direccion de la normal a dicha elipse es cero.

56. Determine a, b, c ∈ R de modo que la derivada direccional en direccion de eje OZ, dela funcion f(x, y, z) = axy2+ byz+ cz3x3 tenga el valor maximo igual a 64 en el punto(1, 2,−1).

57. Sea f diferenciable en U con U ⊂ R2 tal que la derivada direccional de f en el punto

(1, 2) es 2 en la direccion del vector (2, 2) y −3 en la direccion del vector (1,−1).

a) Determine ∇f(1, 2).b) Calcule la derivada direccional de f en el punto (1, 2) en la direccion del vector

(4, 5).

58. De todas las rectas tangentes a la superficie z = x2 + 4y2 trazadas en el punto (2, 1, 8)halle la que tiene maxima pendiente.

59. Considere la funcion de z, definida implıcitamente por la relacion

z2 − 1

6xyz = −y con z > 0

a) Determine la derivada direccional en el punto (1,−6) en direccion hacia el punto(3,−2).

b) Determine la derivada direccional en el punto (1,−6, 2) en direccion que formaun angulo de 60◦ con le eje y.

c) Determine en que direccion la derivada direccional alcanza su valor maximo¿Cuanto es ese valor maximo?

Regla de la Cadena

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60. Sea f(x+ 2y) + g(x− 2y) = u con f y g al menos dos veces diferenciables. Demostrarque

uxx −1

4uyy = 0

61. Sea w = h(y − x− t, z − y − t), donde h es diferenciable. Demostrar que

∂w

∂x+ 2

∂w

∂y+∂w

∂z+∂w

∂t= 0

62. Sean f : R3 −→ R, h : R2 −→ R y g : R −→ R funciones diferenciables.

Sea F (x, y) = f(x, g(x), h(x, y)). Hallar una expresion para las derivadas parciales deF .

63. Sea F : R −→ R tal que, es al menos la segunda derivada es continua y sea z(x, y) =xF (y/x), x 6= 0

a) Demostrar que

x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= z

b) Determine ∂2z∂x∂y

, ∂2z∂y2

.

64. Sea f(x, y, z) una funcion de R3 en R con todas su segundas derivadas continuas.

Definimosw = f(u− v2, 3u− v, 3u2 − 2v) = f(g(u, v)).

Determine ∂2w∂u∂v

(1, 2), sabiendo que para P (−3, 1,−1), fx(P ) = 0 = fz(P ), fy(P ) =1 = fxy(P ), fyy(P ) = 2 = fzz(P ), fxz(P ) = fyz(P ) = fxx(P ) = −3

65. Sea F = f ◦ g donde g(u, v) = (u cos a cos v, u cos asenv, usena) y f(x, y, z) = x2 + y2

a) Demostrar que ∂F∂v

= 0

b) Sabiendo que G = f(x, y) y que x = r cos θ, y = rsenθ Demostrar que

(

∂G

∂x

)2

+

(

∂G

∂y

)2

=

(

∂G

∂r

)2

+1

r2

(

∂G

∂θ

)2

66. Sea z = xf(x2

y), donde f es tal que su segunda derivada es continua.

a) Demuestre xy ∂z∂x

+ 2y2 ∂z∂y

= yz

b) Determine ∂2z∂x∂y

67. Demostrar que si f(x, y) = ln(x2 + y2) se cumple la relacion

∂2f

∂x2+∂2f

∂y2= 0

68. Sea f : R2 −→ R2 tal que f(x, y) = (u, v) donde u = x+x2+y, v = x2+y2. Encuentre

si existe ∂x∂v(3, 2) sabiendo f(1, 1) = (0, 0).

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69. Mostrar que la funcion u = ln(x2 + y2 + z2) satisface la relacion

u = 2 ln 2− ln(∇u)2

70. Sea f : R2 −→ R2, g : R3 −→ R

2 definidas porf(x, y) = (ex+2y, sen(y + 2x)), g(u, v, w) = (u+ 2v2 + 3w3, 2v − u2) .

Calcular la matriz jacobiana de h = f ◦ g en (1, 1).

71. Una funcion u esta definida por la formula

u = xyf(x+ y

xy)

a) Demuestre que u satisface la ecuacion

x2∂u

∂x− y2

∂u

∂y= uG(u, v)

b) Encuentre G(x, y).

72. Sea f : R2 −→ R, funcion clase C2, y sea g : R2 −→ R2 definidas por g(u, v) = (u+v, vu)

y w = f◦g, tal que P (2, 1), fx(P ) = 3, fy(P ) = −2, fxx(P ) = 1, fyy(P ) = 2, fxy(P ) =1 = fyx(P ).

Calcular ∂2w∂u∂v

(1, 1)

73. Sean f : R3 −→ R2, g : R2 −→ R

3 definidas porf(u, v, w) = (u2, v2 + 2w), g(x, y) = (xy, sen(xseny), x|y|).Sea F = f ◦ g. Calcular la matriz jacobiana en (0, 0).

74. Si z = xnf(y/x) compruebe que x ∂z∂x

+ y ∂z∂y

= nz

75. Sea z = F (exy, y), encontrar ∂2z∂x∂y

76. Sea w = F (xz, yz), F diferenciable. Probar que

x∂w

∂x+ y

∂w

∂y= z

∂w

∂z

77. Si u = F (x, y), x = es cos t, y = essent. Demostrar que

∂2u

∂s2+∂2u

∂t2= e2s(

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2)

78. a) Sea v = f(x, x), encuentre v′.

b) Sea u : R −→ R2, u(x) = (x, f(x, x)), encuentre u′

c) Sea φ(x) = f(x, f(x, x)), con f(1, 1) = 1, f1(1, 1) = a, f2(1, 1) = b. Calcularφ′(1)

79. Sea u(x) = F (x, f(x)) con f(1) = 2, F1(1, 2) = 3, F2(1, 2) = 5, f ′(1) = 1. Calcularu′(1)

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80. Sea f : R2 −→ R una funcion clase C1 en una vecindad del punto (1, 1) y tal quef(1, 1) = 0, D1f(1, 1) = D2f(1, 1) = −1. Considere la ecuacion

1 + f(3y − 2z, 2x− z) = cos(f(x+ y − z, x− y + z))

Estudie la existencia de una funcion g de R2 en R diferenciable en (1, 1) tal que en

una vecindad de (1, 1, 1) se tenga que z = g(x, y).

81. Si u = 9x2 + 4y2, x = r cos θ, y = rsenθ. Encontrar ∂2u∂r2

.

82. Sean f : R3 −→ R2, g : R2 −→ R definidas por

f(x, y, z) = (x2 + z, x2 − yexz), g(x, y) = x2 − y2.

a) ¿Es f diferenciable en R3?

b) Calcule f ′(1, 0, 2) y la diferencial en (1, 0, 2)

c) Determine si es posible (g ◦ f)′(1, 0, 2).

83. Sea g : R2 −→ R3, g(x, y, z) = (cos(xy), sen(xseny), x|y|) y sea f : R3 −→ R

2 con

Df(u, v) =

(

2u 0 00 2v 2

)

derivada de f en (u, v)

Sea F = f ◦ g : R2 −→ R2. Calcular la derivada de F en (0, 0).

84. Una funcion f : Rn −→ R es homogenea de grado m si f(tx) = tmf(x),∀x ∈ Domf .

Si f ademas es diferenciable, probar quen

∑

i=1

∂f(x)

∂xi= mf(x)

Ayuda: Si g(t) = f(tx), hallar g′(1) de dos maneras

85. Sea f(u, v) una funcion continuamente diferenciable en R2. Si z = g(x, y) es unafuncion definida implıcitamente por

f(x2 + y, 2x− z2) = 0

Demuestre

z∂z

∂x− 2xz

∂z

∂y= 1

86. Sea z una funcion en x e y dada por xyz = f(x2 + y2 − 2z), donde f es una funcioncontinuamente diferenciable. Encuentre la constante k tal que

x(y2 + z)∂z

∂x− y(x2 + z)

∂z

∂y= kz(y2 − x2)

87. Considere la funcion f(u, v) continuamente diferenciable y sea z una funcion en x e ydada por

f(x2 − y2, y2 − z2) = 0

Demuestre

yz∂z

∂x+ zx

∂z

∂y= xy

Interpretacion Geometrica

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88. Sea f : G ⊂ R2 −→ R funcion, con G = {(x, y) ∈ R

2 | xy 6= kπ, k ∈ Z− {0}} tal que

f(x, y) =

sen(x)1+cos(xy)

si xy = 0

(xy)3

sen2(xy)si xy 6= 0



c) ¿ Es f continua en (π/2, 0))?

d) ¿ Existen ∂f∂x(π/2, 0), ∂f

∂y(π/2, 0) ∂2f

∂x∂y(π/2, 0) ∂2f

∂y∂x(π/2, 0)?

e) ¿ Determine ∂f∂x

especificando su dominio?

f ) ¿ Existe el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto P = (0, 0, 0)?

89. Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva que se obtiene con la interseccionde la superficie:

z =√

x2 − 4y2 − 4

y el plano x = 3 en el punto (3, 1, 1).

90. Sea z = 12−x2−xy− y2. Determine el punto de tangencia, donde el plano tangente asu superficie sea perpendicular al vector v = (−4,−5,−1). Hallar la ecuacion de dichoplano tangente.

91. ¿En que punto de la superficie z = 3xy − x3 − y3 el plano tangente es horizontal(paralelo al plano z = 0)?

92. Determine el valor que toma la funcion

z = f(x, y) =x2 + 2y2

(x+ y)2si x+ y 6= 0

cuando el plano tangente a su superficie es horizontal

93. En que puntos de la superficie z = 9 − x2 − (y − 2)2 el plano tangente es paralelo alplano π : 2x+ 4y + 2z = 5

94. Determine la ecuacion de la recta tangente a la superficie x2 + y2 + z2 = 9 en el punto(2, 2, 1) y que esta contenida en plano y = 2

95. Demostrar que todos los planos tangentes a la superficie z = xf( yx) se cortan en el

mismo punto (f es diferenciable).

96. a) Encuentre la ecuacion del plano tangente a la superficie de ecuacion√x+

√y +√

z = d en el punto (a, b, c) de la superficie.

b) Calcule las coordenadas de las interseccion de dicho plano tangente con los ejescoordenados.

c) Demuestre que la suma de las coordenadas halladas en (b) es una constante queno depende de (a, b, c).

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97. Considere la superficie x2+4y2+2z2 = 7. Encuentre los planos tangentes a la superficie,paralelos al plano x+ y + z = 2

98. Hallar la ecuacion del plano tangente y de la recta normal de

sen(xy) + sen(yz) + sen(xz) = 1 en (1, π/2, 0).

99. Determine la ecuacion del plano tangente a la superficie

x2 + y2 − z2 − xy = senz en el punto (0, 0, 0).

100. Las tres ecuaciones F (u, v) = 0, u = xy, v =√x2 + z2 definen una superficie en

R3. Hallar un vector normal a esa superficie en el punto (1, 1,

√3), si se sabe que

DF1(1, 2) = 1 y D2F (1, 2) = 2.

101. Dadas las superficies

S1 :√x+

√y +

√z = 3

√a

S2 : −2x2 + 2xy + a = z

Encontrar π1 y π2 donde πi es el plano tangente a la superficie Si en el punto (a, a, a).

102. Dos superficies son tangentes entre si en un punto si tiene el mismo plano tangente enese punto. Verificar si la esfera x2 + y2 + z2 = 8 y el cilindro yz = 4 son tangentes enel punto (0, 2, 2).

103. El angulo formado por dos superficies en un punto comun, se define como el anguloformado por los planos tangentes. Encontrar el angulo formado por las superficiesxy3 + z = −23, xy + ln z = −6 en el punto (3,−2, 1) de interseccion.

104. Determine el valor que toma la funcion

z = f(x, y) =x2 + 2y2

(x+ y)2si x+ y 6= 0

¿Cuando el plano tangente a su superficie es horizontal?

105. Pruebe que la suma de los interceptos con los ejes coordenados de cualquier planotangente a la superficie

√x+

√y +

√z =

√λ, λ > 0 es constante.

106. Sea ~n un vector unitario tangente a la esfera S : (x − 1)2 + (y − 2)2 + z2 = 11 en elpunto P0(2, 1, 3) y que esta sobre el plano π : 2x− 7y + z = 0.

Sea f(x, y, z) = x2 + y2 + z2. Hallar ∂f∂~n(P0)

Funcion Inversa e Implıcita

107. Sea z = f(x, y) una funcion definida implıcitamente por

2ez + x2y + z2y − zx = 1

Calcule si es posible ∂2z∂x∂y

(P ) donde P = (1,−1, 0)

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108. Sea F : R2 −→ R2 tal que F (x, y) = (x + x2 + y + y2, x2 + y2) = (u, v). Determine si

existen x e y en terminos de u, v en una vecindad del punto (8, 5) = F (1, 2). Si es ası,Halle ∂x

∂v(8, 5).

109. Considere la funcion F (x, y) = x2 − y2 + 4x+ 2y + 3

a) ¿Para que puntos (a, b) de la relacion F (x, y) = 0 es posible resolver y en funcionde x?

b) ¿Donde es posible resolver x en funcion de y?

110. Sea T : R2 −→ R

2 tal que T (x, y) = (f(x, y), g(x, y)) = (u, v) y suponga que Tposee una inversa diferenciable tal que T−1(u, v) = (h(u, v), k(u, v)). con f(−1, 3) =

2, g(−1, 3) = −3 y T ′(−1, 3) =

(

−1 4−2 6

)

Determine ∂h∂v(2,−3)

111. Sea f : R2 −→ R una funcion clase C1 en una vecindad del punto (1, 1) y tal quef(1, 1) = 0, D1f(1, 1) = D2f(1, 1) = −1. Considere la ecuacion

1 + f(3y − 2z, 2x− z) = cos(f(x+ y − z, x− y + z))

Estudie la existencia de una funcion g de R2 en R diferenciable en (1, 1) tal que en unavecindad de (1, 1, 1) se tenga que z = g(x, y)

112. Dada la relacion x2+ y2− z2 −xy = senz. Pruebe que es posible expresar z en funcionde x e y en un vecindad del origen (0, 0, 0) y calcule ∂z

∂x(0, 0).

113. Sea f(x, y, z) = x3y + xy3z + 2xz3 + 8y + 16z = 0 definida en una vecindad del puntoP (−2, 2, 0). Cual(es) de las variables x, y, z es(son) funciones implıcitas de las otrasen una vecindad de P .

114. Si f(x, y, z) = 0. Demuestre que bajo condiciones apropiadas

∂x

∂y

∂y

∂z

∂z

∂x= −1

115. Pruebe que la transformacion

x = ln(u+ v)2

y =√v

es invertible en una vecindad del punto (u, v) = (2 ln 2, 2) y encuentre una expresionpara la transformacion inversa.

116. El punto (x, y, t) = (0, 1,−1) satisface las ecuaciones

xyt+ senxyt = 0

x+ y + t = 0

a) ¿Estan x, y definidas implıcitamente como funcion de t en una vecindad de(0, 1,−1)?

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b) De ser ası, halle ∂x∂t

y ∂y∂t

en (0, 1).

117. Sea

f(x, y) =

{

sen(x2y)|x|+|y| , (x, y) 6= (0, 0)

0 , (x, y) = (0, 0)



c) Determine, si existe ∂f∂x(1, π/2)

d) Determine la derivada direccional en (1, π/2) y en la direccion del punto (1, 1), siexiste.

e) ¿Existe plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto (0, 0, 0)?

118. Considere la transformacion u = x2 + y2, v = 2xy

a) ¿Para que puntos (x, y) la transformacion es invertible?

b) ¿Si se sabe que el punto (x, y) = (1, 2) es llevado al punto (u, v) = (5, 4) por latransformacion (x, y) → (u, v). Halle en forma explıcita la transformacion inversa(si es que existe) que lleva (u, v) en (x, y) y tal que (5, 4) → (1, 2) ¿En donde esvalida este transformacion?

Calcule ∂(u,v)∂(x,y)

(1, 2) y ∂(x,y)∂(u,v)

(5, 4)

119. Sea z = u2(x, y)v(x, y) con u y v funciones diferenciables tal que

usen(2x+ y) + v2 = 6v

x+ 2(av + 1)2 = 3u, a ∈ R

Si u(0, 0) = 2/3, v(0, 0) = 0. Determine ∂z∂y(0, 0) si existe.

120. El punto (x, y, u, v) = (1, 1,√2,−

√2) satisface las ecuaciones

x+ y + uv = 0

uxy + v = 0

¿estan u, v definidas implıcitamente como funcion de t en una vecindad del origen? Deser ası halle Du, Dv en el origen.

121. Considere el elipsoide de ecuacion

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

a) Demuestre que la ecuacion del plano tangente al elipsoide en el punto P0(x0, y0, z0)es

x0x

a2+y0y

b2+z0z

c2= 1

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b) Considere a = 1, b = 2, c = 3. Si z = f(x, y) es una funcion definida im-plıcitamente por la relacion ( ??). Encuentre la ecuacion de la recta tangente a lasuperficie z = f(x, y) de maxima pendiente en el punto (1/2, 1, 3

√2/2).

122. Considere las siguientes relaciones

u+ v = x

u2 + v2 = y

a) En que puntos P (x, y, u, v) las relaciones definen implıcitamente a u y v comofunciones diferenciables de x e y en una vecindad de P (x, y).

b) Considere z = u3 + v3 funcion diferenciable de x e y. en una vecindad de lospuntos P (x, y). Calcular si existe ∂z

∂x(x0, y0) donde P (x0, y0, u0, v0).

c) Expresar z como funcion explıcita de x e y. Comente este resultado con respectoa su dominio.

123. Sean f : R3 −→ R, h : R2 −→ R y g : R −→ R funciones diferenciables.

Sea F (x, y) = f(x, g(x), h(x, y)). Hallar una expresion para las derivadas parciales deF .

124. Sea T : R2 −→ R

2 tal que T (x, y) = (f(x, y), g(x, y)) = (u, v) y suponga que Tposee una inversa diferenciable tal que T−1(u, v) = (h(u, v), k(u, v)). con f(−1, 3) =

2, g(−1, 3) = −3 y T ′(−1, 3) =

(

−1 4−2 6

)

Determine ∂h∂v(2,−3).

125. Sean G = {(x, y) ∈ R2 : x 6= 0} ⊆ R

2 y T : G→ R2 tal que T (x, y) = (xy, y

x).

a) ¿Es T invertible en G globalmente?

b) ¿Es T invertible con inversa diferenciable en una vecindad de punto (−1, 2)? Deser ası, determine explıcitamente una expresion para T−1 en una vecindad deT (−1, 2)

c) Determine , si existen (T−1)′(−2,−2) y (T−1)′(T (1, 0)).

d) Graficar T (D) donde

D = {(x, y) ∈ R2 | x ≤ y ≤ 2x; 1 ≤ xy ≤ 2}

es la region

126. Dada la relacion x2 + xy + y2 + xy2 + x+ 1 = 0,

a) Demostrar que la relacion define a y como funcion diferenciable de x en unavecindad del punto (−1, 1).

b) Sea F : R2 −→ R una funcion de clase C2 tal que D1F (−1, 1) = D2F (−1, 1) = 2;D22F (−1, 1) = −1; D11F (−1, 1) = 1; D12F (−1, 1) = 1.

Encontrar la derivada del segundo orden de la funcion g(x) = F (x, y(x)) en elpunto x = −1.

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127. Sea u y v funciones de x, y, z que satisfacen las relaciones

uv = ax+ by + cz

v2 = x2 + y2 + z2

Mostrar que

x∂u

∂v+ y

∂u

∂y+∂u

∂z= 0 con v 6= 0

128. Sea T : R2 −→ R

2

(x, y) 7→ (x2 − y2, x2 + y2 + 1)

a) ¿Es T invertible con inversa diferenciable en una vecindad del punto (1, 1)? De serası determine explıcitamente una expresion para T−1 en una vecindad de T (1,−1).

b) Calcular (T−1)′(0, 3) y (T−1)′(T (0, 2)). si existen.

c) Graficar T (D) donde

D = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ 0; 3y ≤ x; 1 ≤ x2 − y2 ≤ 4}

es la region

129. Considere S : z2x2 = y2

a) Determine (si existen) planos tangentes a la superficie S, paralelos al plano x −y + z = 1

b) Demostrar que la relacion define a z como funcion diferenciable de x e y (z =f(x, y)) en una vecindad del punto (−2, 4, 2).

c) Hallar la derivada direccional de f en el punto (−2, 4) en la direccion que va desdeeste punto hasta el punto (−6, 5)

d) Sea F (x, y, z) = 3x+ 4y2 + z3y

Calcular la derivada de g en el punto (−2, 4) (es decir g′(2, 4)) donde g(x, y) =F (x, y, f(x, y)).

130. Dada la funcion z = f(x, y) definida implıcitamente por la ecuacion

z2x+ x2y + zxy2 = 0

Determine la recta tangente de maxima pendiente en el punto (1, 1,−1). Calcular talpendiente maxima.

Problemas de maximos y mınimos

131. Supongamos que x2y+yz2−y2x−z = y define implıcitamente en un entorno del punto(1, 1) la funcion de utilidad z > 0 respecto a la produccion de x e y unidades de dosbienes x e y. Determine en (1, 1).

a) La variacion de la utilidad si x variar en 0,01 e y varıa en 0,02

b) La direccion en que ha de varıa x e y para que la variacion de la utilidad seamaxima.

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c) La variacion maxima posible.

132. Encontrar los maximos y mınimos de f (si existen)

a) f(x, y) = x3 + y3 − 3x− 12y + 20

b) f(x, y) = x2 + 3y2 + 2xy

c) f(x, y) = x3 + 3xy − y3

d) f(x, y) = x2 + 4y2 − x+ 2y

e) f(x, y) = x4 + y3 + 32x− 9y

f ) f(x, y) = exseny

g) f(x, y) = 4y+x2y2+8xxy

h) f(x, y) = (x2 + 3y2)e−x2−y2

133. Determine los extremos de la funcion (si existen)

f(x, y) = x4 + 2x2y + (y − 1)2 − 2x2 + 4

134. Determinar el maximo y el mınimo absoluto de la funcion

z = 2x2 − 2xy + y2 + 5x− 3y

con dominio sobre la region acotada por x = 0, y = 0, y = x+ 3

135. Determinar el maximo y mınimo absoluto (si existen) de la funcion

z = x3 + y3 − 3xy

en la region, 0 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 2

136. Determinar la distancia maxima y mınima del origen a la curvas

a) 5x2 + 6xy + 5y2 − 8 = 0

b) z2 = (x− 1)2 + (y − 2)2

c) x2

4+ y2

9+ z2 = 1

137. Determinar la distancia maxima y mınima de P a la superficie

a) 4x− 3y + z = 5 y P (2, 1,−1)

b) x2 + y2 + z2 = 9 y P (2, 3, 4)

138. Encontrar el maximo y el mınimo de f(x, y) = xy2 sujeto a la condicion x2

4+ y2

9= 1

139. En que puntos toma valores maximos o mınimos relativos la funcion f(x, y) = x2 +2xy + 3y2 + x+ y en la region x2 + y ≥ −1

2

140. Encuentre el maximo y el mınimo absoluto de f suponiendo que el dominio es la regionR ⊂ R

2 indicada.

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a) f(x, y) = x2 + 2xy + 3y2, con R = [−2, 4]× [−1, 3]

b) f(x, y) = x3 + 3xy − y3, donde R es el triangulo con vertices (1, 2), (1,−2),(−1,−2).

c) f(x, y) = x2 + 4y2 − x+ 2y, con R = {(x, y) | x2 + 4y2 ≤ 1}d) f(x, y) = senx+ seny + sen(x+ y), con R = [0, 2π]× [0, 2π]

141. Probar que si α, β y γ son angulos agudos tales que α + β + γ = π/2, entonces

senα senβ senγ ≤ 1

8

142. Determine los valores extremos y los puntos silla, si existen de la funcion f(x, y) =xy(1− (x2 + y2)) en el cuadrante 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.

143. Determine los extremos de la funcion f(x, y) = x2 + (y − 1)2 + 1 sujeto a la region4x2 + y2 ≤ 4

144. Se desea construir un tarro cilındrico (con tapa), de laton para contener 16 litros deagua. Si el metro cuadrado de ese material tiene un valor de $450. ¿Cual es el costomınimo de su construccion?

145. Determine las dimensiones de una caja rectangular sin tapa con volumen 32m3 si sequiere usar la mınima cantidad de material en su manufactura.

146. Encuentre las dimensiones del paralelepıpedo rectangular de volumen maximo, concaras paralelas a los planos coordenados, que puede inscribirse en el elipsoide 16x2 +4y2 + 9z2 + 144.

147. Calcule las dimensiones del paralelepıpedo rectangular de volumen maximo que tienetres caras en los planos coordenados, un vertice en el origen y otro vertice en el primeroctante sobre el plano 4x+ 3y + z = 12.

148. Una companıa planea fabricar cajas cerradas con la forma de un paralelepıpedo rect-angular con un volumen de 8pie3. El material de la tapa y del fondo cuesta el dobleque el de los lados. Calcule las dimensiones para que el costo sea mınimo.

149. Un servicio de reparto de paquetes requiere que las dimensiones de una caja rectangular,sea tal que el largo mas el doble del ancho mas el doble de la altura sea menor o iguala 108 pulgadas ¿Cual es el volumen de la caja mas grande que podra despachar laempresa?

150. Una companıa que fabrica dos artıculos tiene funcion de ingreso;

R(x, y) = 40x− 5x2 + 30y − 3y2

(x e y cantidades en miles). Si la funcion de costo correspondiente es

C(x, y) = x2 + 2xy + 3y2

Encontrar las cantidades x e y que maximizan la ganancia sabiendo quex+ y ≤ 6.

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151. Una fabrica produce dos tipos de maquinaria pesada x e y. La funcion costo esta dadapor;

C(x, y) = x2 + 2y2 − xy

Para minimizar el costo ¿Cuantas maquinas de cada tipo debe producir si el total debeser de 8 maquinas?

152. Una placa circular tiene la forma del disco x2 + y2 ≤ 1. La placa se calienta de modoque la temperatura en cualquier punto (x, y) es T (x, y) = x2 + 2y2 − x.

Localizar los puntos mas calientes y mas frıos y hallar la temperatura en esos puntos.

153. Calcular los maximos y mınimos de f(x, y) = xy restringida a la elipse 4x2 + y2 = 4.

154. Sea f(x, y, z) = 4x2 + y2 + 5z2. Encontrar los puntos del plano 2x+ 3y + 4z = 12 enel que f(x, y, z) alcanza su valor mınimo.

155. Sea C la parte en el primer octante del arco de curva que es la interseccion delparaboloide 2z = 16 − x2 − y2 con el plano x + y = 4. Encontrar los puntos de Cmas cercanos al origen y los mas lejanos. Calcular las distancia mınima y maxima deC al origen.

156. Se desea construir un recipiente con la forma de un cilindro recto con tapa. ¿Que di-mensiones producen el volumen maximo, suponiendo que el area de la superficie tieneun valor fijo S?

157. La resistencia de una viga de seccion transversal rectangular es proporcional al productode su anchura y el cuadrado de su peralte(altura). Encuentre las dimensiones de la vigarectangular mas resistente que se puede extraer de un tronco cilındrico cuyas seccionestransversales son elipses con eje mayor de 24cm y eje menor de 16cm.

158. Para fabricar f(x, y) unidades de cierto producto se requieren x unidades de capitale y unidades de mano de obra. La funcion de produccion de Cobb-Douglas se definecomo f(x, y) = kxayb donde k es una constante y a y b son numeros positivos tal quea+ b = 1. Supongamos que f(x, y) = x1/5y4/5, y cada unidad de capital tiene un costoC y cada unidad de mano de obra tiene un costo L, y que la cantidad monetaria totaldisponible para cubrir estos gastos es M , de manera que Cx + Ly = M . ¿Cuantasunidades de capital y de mano de obra deben emplearse para lograr la produccionmaxima?

159. Se desea construir la tolva de un silo ( o elevador de grano) en forma de un cono circularrecto de 2 pie de radio de un cono circular recto como en el dibujo. El volumen de latolva debe ser 100 pie3. Calcular la altura h y k del cilindro y del cono respectivamentepara que el area de la superficie sea mınima.

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