CALCULO FRACCIONARIO Y LA TRANSFORMADA GENERALIZADA DE FOURIER · Resumen En el presente trabajo se...

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANAVICE-RECTORADO ACADEMICO

DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIAAREA DE MATEMATICAS

CALCULO FRACCIONARIOY LA TRANSFORMADA GENERALIZADA DE FOURIER

Trabajo presentado como requisito parcial para optar al ingreso del Escalofon Universitario.

Prof. Orlando Baisdem Perez

Asesorado por el Prof. Hector Martınez

Puerto Ordaz, Diciembre del 2007.

Resumen

En el presente trabajo se estudia el Calculo Fraccionario con el objeto de ge- neralizar

la transformada de Fourier. Se define la derivada fraccionaria a partir de la integral de

Riemann-Lioville, de igual manera establecemos relaciones entre la derivada clasica y la

derivada fraccionaria, se generaliza el nucleo de la transformada de Fourier y se definen

algunas propiedades sobre el nucleo, ademas se definen algunas propiedades sobre el nucleo

de la transformada de Fourier, graficamos las derivadas y las integrales fraccionarıas de

algunas funciones; se realiza un codigo en Mathlab que permite el estudio del nucleo de la

Transformada. Por otra parte se mencionan algunas funciones especiales, tal es el caso de la

funcion Beta y Gamma. Tambien se utiliza la ley de composicion interna de Oldham-Spanier

para asegurar la existencia de la derivada fraccionaria.

Dedicatoria

A Dios Todopoderoso por iluminarme el camino.

A mi Familia, fuente inagotable de energıa.

i

Agradecimientos

Al profesor Hector Martınez, por su constante apoyo y dedicacion en el desarrollo de este

trabajo.

A los profesores Domingo Quijada y Silvino Rodriguez, por su amistad colaboracion y su

permanente apoyo.

ii

Indice general

Introduccion 1

1. Preliminares 3

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. La Funcion Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Algunas propiedades basicas de la funcion Gamma . . . . . . . . . . 3

1.3. La Funcion Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. Operador derivada clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1. Algunas propiedades del operador derivada clasica . . . . . . . . . . . 5

2. Calculo Fraccionario 7

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Integral Fraccionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3. Tabla de Integrales Fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4. Derivada Fraccionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.1. Derivada Fraccionaria de un Monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5. Tabla de Derivadas Fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6. Ley de los Exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.7. Relacion entre la derivada clasica y la derivada fraccionaria . . . . . . . . . . 25

2.8. Regla de Leibniz Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.8.1. Derivada fraccional de un monomio negativo: . . . . . . . . . . . . . 28

2.8.2. Derivada fraccionaria de la funcion exponencial: . . . . . . . . . . . . 29

iii

2.9. Representacion en serie de la Generalizada de la Exponencial . . . . . . . . . 33

2.10. Generalizada de la exponencial con indice negativo . . . . . . . . . . . . . . 34

3. Transformada de Fourier en el Calculo Fraccionario 36

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2. Transformada Clasica de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3. Propiedades de la transformada clasica de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4. Grafica del nucleo de la transformada clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5. Derivada de la transformada clasica de Fourier con respecto a la frecuencia . 39

3.6. Derivada Fraccionaria de la Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . 40

3.7. Derivada fraccionaria de la amplitud de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.8. Generalizada de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.9. Propiedades del nucleo de la generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.9.1. Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.9.2. Grafica del nucleo generalizado (caso1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.9.3. Grafica del nucleo generalizado (caso2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.10. Propiedades de la transformada generalizada de Fourier (FrFTG) . . . . . . 54

3.10.1. Demostraciones de las propiedades de la FrFTG . . . . . . . . . . . . 54

3.11. Inversa de la generalizada de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . 56

3.12. Esquema para la obtencion de la transformada continua generaliza de Fourier 57

3.13. Relacion entre la derivada fraccionaria y la transformada fraccionaria de Fourier 58

Conclusiones 60

Anexos 61

3.14. Codigo en Mathlab de las graficas realizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.14.1. Codigo de la derivadas fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.14.2. Codigo de la integral fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.14.3. Codigo del nucleo de la transformada clasica . . . . . . . . . . . . . 65

3.14.4. Codigo del nucleo de generalizado de la transformada . . . . . . . . 68

iv

Introduccion

La diferenciacion y la integracion generalmente las pensamos como operaciones discretas,

en el sentido que integramos o diferenciamos una funcion dada en orden n, donde n ∈ Z+.

Sin embargo, en algunas circunstancias es util diferenciar o integrar en orden υ, donde υ es

un valor arbitrario, ası se tiene la idea de los operadores fraccionarios. El concepto de los

operadores fraccionarios es tan antiguo como la de los enteros, no obstante , el interes teorico y

practico por estos operadores es cada dıa mayor, considerando ası sus aplicaciones en ciencia

y tecnologıa como campos de investigacion emergentes; entre los operadores fraccionarios

mencionaremos los siguientes:

1. Convolucion: convolucion fraccionaria, splines fraccionarios.

2. Transformadas integrales : transformada fraccionaria de Fourier

3. Derivada e integral : calculo fraccionario.

Los primeros trabajos sobre calculo fraccionario datan desde 1965, entre los matematicos

que han contribuido en este topico se encuentran: Euler, Laplace, Fourier, Abel, Lioville,

Riemann, Laurent y Weil.

El calculo fraccionario tiene aplicaciones en ecuaciones diferenciales, transformadas inte-

grales, teorıa de probabilidad, estadıstica, teorıa electromagnetica, teorıa de fluidos, etc.

En este trabajo pretendemos dar una introduccion a los conceptos fundamentales del calcu-

lo fraccionario como son: la derivada y la integral fraccionaria, estudiadas por Miller, Ross

(1993), ası como tambien algunas propiedades importantes de estas definiciones, y sus rela-

ciones.

1

Ademas abordaremos la definicion de la transformada de Fourier generalizada dada por

West, Bologna y Grigolini (2003), cuyo nucleo viene dado por una derivada fraccionaria, ver-

ificaremos que esta es una generalizacion de la transformada clasica de Fourier (FT), en el

sentido de que la transformada clasica de Fourier es un caso particular de esta generalizada.

Tambien analizaremos el nucleo de esta transformada y demostraremos ciertas propiedades

importantes del nucleo de este.

2

Capıtulo 1

Preliminares

1.1. Introduccion

Las funciones especiales se utilizan en muchas definiciones relacionadas con el calculo

fraccionario, tal es el caso de la funcion beta, gamma y gamma incompleta. Esta ultima

se utiliza en la derivada fraccionaria de un monomio y en la definicion de la integral de

Riemann-Lioville. Ademas la funcion gamma extiende el concepto de factorial a los numeros

complejos bajo ciertas condiciones. En este capıtulo tambien abordaremos la derivada clasica

como operador y alguna de sus propiedades.

1.2. La Funcion Gamma

Definicion 1.1 Sea Re (z) > 0, t ∈ (0,∞) la funcion gamma, esta definida como:

Γ(z) =

∫ ∞

0

e−ttz−1dt. (1.1)

La demostracion de la existencia de la integral que define la funcion Gamma la podemos ver

con detalles en [20], pp.1-3

1.2.1. Algunas propiedades basicas de la funcion Gamma

1. Γ(1) = 1.

3

2. Γ(z + 1) = zΓ(z), ∀z ∈ C .

3. Γ(1/2) =√

π .

Ahora realizaremos las demostraciones de las propiedades de la funcion Gamma dadas an-

teriormente:

Demostracion.

1. La demostracion de la propiedad 1 es directa de la definicion de la funcion Gamma.

2. La demostracion de la propiedad 2 la podemos encontrar en Lebedev (1972), pp.1-3.

Ahora haremos la demostracion de la propiedad 3.

3. Por definicion de la funcion Gamma se sabe que:

Γ(1/2) =

∫ ∞

0

e−tt−1/2dt

Ahora haciendo el cambio de variable u = t−1/2, t = u2, dt = 2udu tenemos que:

∫ ∞

0

e−tt−1/2dt = 2

∫ ∞

0

e−u2

du = 2

√π

2=√

π

Por lo tanto Γ(1/2) =√

π

Observacion 1 Observamos que si z, toma el valores enteros positivos desde n ≥ 1, en la

propiedad 2, se tiene que Γ(1 + 1) = 1Γ(1) = 1.

Ahora si aplicamos induccion matematica sobre n, es decir suponemos que

Γ((n− 1) + 1) = (n− 1)! es cierta, entonces que: Γ(n + 1) = n!.

4

1.3. La Funcion Beta

Definicion 1.2 Sean Re(x) > 0, Re(y) > 0, t ∈ (0, 1) entonces la funcion Beta esta

definida como:

β(x, y) =

∫ 1

0

tx−1(1− t)y−1dt, (1.2)

Proposicion 1 Sea x, y ∈ C, Re(x) > 0, Re(y) > 0, entonces

β(x, y) =Γ(x)Γ(y)

Γ(x + y)(1.3)

Demostracion. La demostracion de esta proposicion la podemos ver en Lebedev (1972),

pp.13-14

1.4. Operador derivada clasica

Definicion 1.3 Sea A el conjunto de funciones complejas de variable real, f : R −→ C,

donde f(t) = x(t) + iy(t), con x(t), y(t) funciones reales. Llamaremos operador derivada a

la aplicacion lineal Dt : A → A, definida por: Dt(x(t) + iy(t)) = x′(t) + iy′(t), donde x′(t) y

y′(t) denotan las derivadas de las funciones x(t) e y(t) respectivamente.

1.4.1. Algunas propiedades del operador derivada clasica

1. Producto de una constante por una funcion: Dnt [Cf(t)] = CDn

t [f(t)], donde C es una

constante.

2. Ley distribuitiva: Dnt [f(t)± g(t)] = Dn

t [f(t)]±Dnt [g(t)].

3. Regla de Leibniz para el producto de dos funciones:

Dnt [f(t)g(t)] =

n∑

k=0

(nk)Dn−k

t [g(t)]Dnt [f(t)]

5

4. Ley de Composicion interna de Oldham y Spanier:

DN

[D(t− a)]N

{D−n

[D(t− a)]−nX(t)

}=

D−n

[D(t− a)]−n

{DN

[D(t− a)]NX(t)

}

+n−1∑

k=n−N

(t− a)k

k!X(k+N−n).

Nota 1 Las demostraciones de las propiedades desde 1 − 3 se pueden observar con detalle

en Miller,Ross (1993) pp.79-81

6

Capıtulo 2

Calculo Fraccionario

2.1. Introduccion

El nacimiento del calculo fraccionario data desde 1695, fecha de una carta del Marques

de L′Hopital a Leibniz. Desde entonces famosos matematicos, tales como Euler, Laplace,

Fourier,Abel, Lioville, Riemann, Laurent y Weyl han contribuido con el desarrollo del calcu-

lo fraccionario; que tambien recibe el nombre de diferenciacion e integracion de orden ar-

bitrario. El calculo fraccionario se ha aplicado a numerosos campos tales como:ecuaciones

diferenciales, teorıa de la probabilidad y estadıstica, flujo de fluidos, teorıa electromagnetica

o viscoleasticidad, tambien se han resuelto mediante el calculo fraccionario.

En realidad, no existe un unico calculo fraccionario, sino varias definiciones con diferentes

propiedades: cada uno de estos calculos exige sus propias condiciones a las funciones a las

que se aplica.

En este trabajo daremos una aproximacion al calculo fraccionario, definiremos la integral

fraccionaria desde el punto de vista de Riemman-Lioville y a partir de ella definiremos la

derivada fraccionaria sus formulas y propiedades.

7

2.2. Integral Fraccionaria

Definicion 2.1 Dada Re v > 0 y dado que f es continua a trozos en J ′ = (0,∞) e integrable

en algun subintervalo finito de J = [0,∞). Entonces para t > 0, llamaremos a:

0D−υt f(t) =

1

Γ(υ)

∫ t

0

(t− ξ)υ−1f(ξ)dξ (2.1)

la integral fraccionaria de Riemann-Liouville de f de orden υ.

Si f(t) = tµ, con µ > −1, podemos definir la integral fraccionaria a traves de la siguiente

expresion:

0D−υt tµ =

B(µ + 1, υ)

Γ(υ)tµ+υ =

Γ(µ + 1)

Γ(µ + υ + 1)tµ+υ, (2.2)

donde t > 0, µ > −1 υ > 0

En particular, si µ = 0, la integral fraccionaria de una constante K de orden υ es:

D−υK =K

Γ(υ + 1)tυ, (2.3)

Proposicion 2 El operador integral fraccionaria es un operador lineal, es decir el cumple

con las siguientes propiedades:

1. D−αx (f + g)(t) =c D−α

x f(t) + D−αx g(t)

2. Dυxλf(t) = λD−υ

x f(t), para todo escalar λ ∈ R

Demostracion.

1.D−αx (f + g)(t) =

1

Γ(υ)

∫ t

0

(t− ξ)υ−1(f + g)(ξ)dξ

=1

Γ(υ)

∫ t

0

(t− ξ)υ−1f(ξ)dξ +1

Γ(υ)

∫ t

0

(t− ξ)υ−1g(ξ)dξ

= D−αx f(t) + D−α

x g(t).

8

2.D−αx λf(t) =

1

Γ(υ)

∫ t

0

(t− ξ)υ−1λf(ξ)dξ

= λ1

Γ(υ)

∫ t

0

(t− ξ)υ−1f(ξ)dξ

= λD−αx f(t).

9

2.3. Tabla de Integrales Fraccionarias

Tabla 1

N funcion Integral fraccionaria

1 f(x) = (a− x)−1/2 1√π

ln(

√a +

√x√

a−√x), a > x

2 f(x) = ln(a + x)1√πb

[(1−

√x + a

x)lna+2

√x+a

tln(√

x + a +√

x)

]

3 f(x) = sin(ax)

√2

a[(sin(ax))C(x)− (cos(ax)S(x)]

4 f(x) = cos(ax)

√2

a[(cos(ax))C(x)− (sin(ax)S(x)]

5 f(x) = ln(x)2√

t√π

(ln4t− 2) ,

6 f(x) = [(a + bx)−1/2]2√πb

arcsin

√bx

a + bx

Nota 2 : Se esta calculando la integral fraccionaria con υ = 1/2, es decir D−υ(f(x)), sujeto

a las restricciones propias de la definicion

S(x) y C(x) representan la integral de Fresnel, las cuales se muestran a continuacion:

S(x) =

√2

π

∫ x√

π2

0

sint2dt =

∫ x

0

sin(π

2z2)dz

C(x) =

√2

π

∫ x√

π2

0

cost2dt =

∫ x

0

cos(π

2z2)dz

10

A continuacion daremos algunos ejemplos de integrales fraccionarias de algunas funciones

elementales.

Ejemplo 1 Sea f(t) = eat, donde a es una constante, puesto que eat es una funcion de clase

(C) entonces de la definicion (2.1) se tiene que:

0D−υt eat =

1

Γ(υ)

∫ t

0

(t− ξ)υ−1eaξdξ υ > 0

haciendo el cambio de variable x = t− ξ, obtenemos

D−υt eat =

eat

Γ(υ)

∫ t

0

xυ−1e−axdx

= tυeatγ∗(υ, at), donde γ∗(υ, at) = 1Γ(υ)tυ

∫ t

0xυ−1e−axdx υ > 0

Esto nos permite escribir (2.4) como:

D−υeat = tυeatγ∗(υ, at) = Et(υ, a). (2.4)

Nota 3 La funcion γ∗(υ, t) se le conoce como la funcion Gamma incompleta. Ademas de-

notaremos por Et(υ, a) la expresion tυeatγ∗(υ, at).

Ejemplo 2 Sea f(t) = cos(at), de la definicion (2.1), se obtiene que:

D−υcos(at) =1

Γ(υ)

∫ t

0

ξυ−1cosa(t− ξ)dξ υ > 0 (2.5)

En caso de que υ = 12

D−1/2cos(at) = Ct(1/2, a) (2.6)

=

√2

a[cos(at)C(x) + sen(at)S(x)] (2.7)

donde,

x =

√2at

πsiendo C(x) y S(x) integrales de Fresnel Miller,Ross (1993)p.301

Ahora mostraremos las graficas de algunas integrales dadas en la Tabla 1. Se mostraran

los casos 1,5 y 6, en cada caso se mostrara la funcion y su integral fraccionaria.

11

Figura 2.1: En la parte superior se puede apreciar la grafica de f(x) = (a− x)−1/2 para

a= 101 y x variando desde 0 hasta 100 con paso de 0, 05. En la parte inferior tenemos varias

graficas de su integral fraccionaria D−υx (a − x)−1/2 = 1√

πln(

√a+√

x√a−√x

). Con a variando desde

100 hasta 140 con paso de 1 y x toma los valores anteriores.

12

Figura 2.2: En la parte superior se puede apreciar la grafica de f(x) = Ln(x) para x variando

desde 0 hasta 1000 con paso de 0, 1. En la parte inferior tenemos varias graficas de su integral

fraccionaria D−υx Ln(x) = 2

√x√π

(ln4x− 2). Con x tomando los valores anteriores

13

Figura 2.3: En la parte superior se puede apreciar la grafica de f(x) = (a + bx)−1/2 para x

variando desde 0 hasta 5 con paso de 0,05, a = 6, b = 4. En la parte inferior tenemos varias

graficas de su integral fraccionaria D−υx (a + bx)−1/2 = 2√

πbarcsin

√bx

a+bxcon x tomando los

valores anteriores, a variando desde 6 hasta 8 con paso de 0,02 y b variando desde 2 hasta 4

con paso de 0,02

14

2.4. Derivada Fraccionaria

Definicion 2.2 Sea f ∈ Cn([c, x)), υ ∈ C, x > 0 y 0 < Re(υ) ≤ 1, se define la derivada

fraccionaria de orden υ de la funcion f como:

cDυxf(x) =c Dn

x [cD−υx f(x)]. (2.8)

donde cD−υx representa la integral de Riemann-Liouville, es decir:

cD−υx f(x) =

1

Γ(υ)

∫ x

c

(x− t)υ−1f(t)dt. (2.9)

Observacion 2 Como podemos observar en la ecuacion (2.9) la integral Riemann-Lioville

esta bien definida, puesto que la funcion (x− t)υ−1f(t) es continua.

Proposicion 3 Sea f una funcion n veces continuamente diferenciable entonces la derivada

fraccionaria de f de orden υ dada por la formula cDυxf(x) esta bien definida para x > 0.

Demostracion. Haciendo el cambio de variable t = x− yλ donde λ = 1υ

υ − 1 = 1−λλ

, se tiene que: si t = c → y = (x− c)υ, t = x, y = 0 asi la integral en la ecuacion

(2.9) nos queda de la siguiente manera:

1

Γ(υ)

∫ x

c

(x− t)υ−1f(t)dt =−λ

Γ(υ)

∫ 0

(x−c)υ

f(x− yλ)dy (2.10)

=1

Γ(υ + 1)

∫ (x−c)υ

0

f(x− yλ)dy (2.11)

Luego

cD−υx f(x) =

1

Γ(υ + 1)

∫ (x−c)υ

0

f(x− yλ)dy. (2.11)

15

Entonces de la ecuacion (2.8) se tiene que:

cDnx [cD

−υx f(x)] =

cD−υ

[cD(x− c)]−υ

[cD

n

[cD(x− c)]nf(x)

]+

υ−1∑

k=υ−n

(x− c)k

k!f(c)(k+n−υ)(2.12)

=1

Γ(υ + 1)

∫ (x−c)υ

0

[cD

n

[cD(x− c)]nf(x− yλ)

]dy (2.13)

+υ−1∑

k=υ−n

(x− c)k

k!f(c)(k+n−υ).

Es de hacer notar que en la identidad (2.12) usamos la ley de composicion de Oldham-Spanier

y en la identidad (2.13) se utiliza el hecho que se expresado en la ecuacion (2.4).

Ahora haciendo los cambios de variables:

υ − n = 0, k! = Γ(k + 1), k = υ − n, k = 0 → Γ(υ − n + k + 1)

La serie en la ecuacion (2.13) la podemos expresar como:

n−1∑

k=0

Dkf(c)

Γ(υ − n + k + 1)(t− c)υ−n+k

Ademas sabiendo que:

∫ (x−c)υ

0

[cD

n

[cD(x− c)]nf(x− yλ)

]dy =

∫ (x−c)υ

0

∂n

∂xnf(x− yλ)dy

Entonces podemos reescribir la ecuacion (2.13) como:

n−1∑

k=0

Dkf(c)

Γ(υ − n + k + 1)(x− c)υ−n+k +

1

Γ(υ + 1)

∫ (x−c)υ

0

∂n

∂xnf(x− yλ)dy

Luego

cDnx [cD

−υx ] =

n−1∑

k=0

Dkf(c)

Γ(υ − n + k + 1)(x− c)υ−n+k +

1

Γ(υ + 1)

∫ (x−c)υ

0

∂n

∂xnf(x− yλ)dy (2.12)

16

La integral que esta al lado derecho de la ecuacion (2.4) existe para x − c > 0, puesto quedn

dxn f(x) es continua, por lo tanto esto nos asegura la existencia de la derivada fraccionaria

cDυxf(x).

Proposicion 4 Sea c = 0 y f(x) = xµ, µ > 0, entonces

0Dυxf(x) =0 Dn

x [0D−υx f(x)] (2.13)

Demostracion. De la definicion de la integral de Riemann-Liouville sabemos que:

0D−υx xυ =

1

Γ(υ)

∫ x

0

(x− t)υ−1tµdt (2.14)

haciendo t1 = tx→ xt1 = t, dt = xdt1

0D−υx xυ =

1

Γ(υ)

∫ 1

0

(x− xt1)υ−1(xt1)

µxdt1

=1

Γ(υ)

∫ 1

0

xυ−1(1− t1)υ−1xµxtµ1dt1

=1

Γ(υ)xυ+µ

∫ 1

0

(1− t1)υ−1tµ1dt1

=B(µ + 1, υ)

Γ(υ)xµ+υ

=Γ(µ + 1)

Γ(υ + µ + 1)xµ+υ

entonces

0D−υx xυ =

Γ(µ + 1)

Γ(υ + µ + 1)xµ+υ (2.14)

Ahora si suponemos que Re (υ) > 0, x > 0, entonces tenemos de la ecuacion (2.13) lo

siguiente:

17

0Dυxxµ = 0D

nx

[Γ(µ + 1)

Γ(υ + µ + 1)xµ+υ

](2.15)

=Γ(µ + 1)

Γ(υ + µ− n + 1)xµ+υ−n (2.16)

Puesto que ν = n− υ, podriamos escribir la ecuacion (2.16) como:

0Dνxx

µ =Γ(µ + 1)

Γ(µ− ν + 1)xµ−ν , con, Re(ν) > 0 y x > 0 (2.16)

Luego de las ecuaciones (2.4) y (2.4), se puede concluir:

0Dνxx

µ =Γ(µ + 1)

Γ(µ− ν + 1)xµ−ν . (2.16)

para, µ > −1, x > 0; siendo ν un imaginario no puro.

Proposicion 5 El operador derivada fraccionaria es un operador lineal, es decir el cumple

con las siguientes propiedades:

1. cDυx(f + g)(t) =c Dυ

xf(t) +c D−υx g(t)

2. cDυxλf(t) = λcD

υxf(t), para todo escalar λ

Demostracion.

1.−c Dυx(f + g)(t) = cD

nx [cD

−υx (f + g)(t)]

= cDnx

[1

Γ(υ)

∫ x

c

(x− t)υ−1(f + g)(t)dt

]

= cDnx

[1

Γ(υ)

∫ x

c

(x− t)υ−1f(t)dt +1

Γ(υ)

∫ x

c

(x− t)υ−1g(t)dt

]

= cDnx

[1

Γ(υ)

∫ x

c

(x− t)υ−1f(t)dt

]+c Dn

x

[1

Γ(υ)

∫ x

c

(x− t)υ−1g(t)dt

]

= cDnx [cD

−υx f(t)] +c Dυ

x[cD−υx g(t)]

= cDnxf(t) +c Dυ

xg(t)

18

Entonces

cDυx(f + g)(t) =c Dυ

xf(t) +c D−υx g(t).

2.−c Dυxλf(x) = cD

nx [cD

−υx λf(t)]

= cDnx

[1

Γ(υ)

∫ x

c

(x− t)υ−1λf(t)dt

]

= cDnx

[λ

1

Γ(υ)

∫ x

c


]

= λ cDnx

[1

Γ(υ)

∫ x

c


]

= λ cDυx[cD

−υx f(t)]

= λ cDυxf(t).

Observacion 3 En la demostracion de la proposicion (5) se utilizo, ademas de las defini-

ciones de la derivada y la integral fraccionaria dadas en la ecuaciones (2.8), (2.9), las

propiedades de linealidad de los operadores integral y derivada clasica.

2.4.1. Derivada Fraccionaria de un Monomio

Definicion 2.3 (Derivada fraccionaria de un Monomio) Sea xβ, un monomio con β+

1 6= 0,−1, ...,−n, la derivada fraccionaria α, con respecto a x, de xβ esta dada por:

Dαx [xβ] =

Γ(β + 1)

Γ(β + 1− α)xβ−α (2.17)

donde x,α ∈ R(C)

Nota 4 De aquı en adelante utilizaremos la siguiente notacion de derivada fraccionaria

Dνx[x

µ] en vez de 0Dνxx

µ

19

2.5. Tabla de Derivadas Fraccionarias

Se asume que todos los valores son reales, x > 0. El exponente υ del operador fraccionario

se asume como cualquier valor arbitrario (positivo, negativo, o cero) al menos que se diga lo

contrario. Las constantes a,c,λ,µ son irrestrictas al menos que se diga lo contrario.

Tabla 2

N funcion Derivada fraccionaria

1 f(x) = 1x−υ

Γ(1− υ), υ ∈ C, x > 0 y 0 < Re(υ) ≤ 1

2 f(x) = xλ Γ(λ + 1)

Γ(λ− υ + 1)xλ−υ, x > c = a = 0, λ > −1

3 f(x) = eax t−υeaxγ∗(−υ, ax) Re(υ) < 0

4 f(x) = ln(x)x−υ

Γ(1− υ)[ln(x)− γ − ψ(1− υ)]

5 f(x) = (a− x)−1/2

√a

πt

1

a− t, a > t

6 f(x) = (a + bx)1/2

√b

π[arcsin

√bx

a + bx+

√a

bx], b > 0

Nota 5 : γ∗ Es la funcion gamma incompleta.

Ahora mostraremos las graficas de algunas derivadas dadas en la Tabla 2. Se mostraran los

casos 1,2 y 6, en cada caso se observara la funcion y su derivada fraccionaria.

20

Figura 2.4: En la parte superior se puede apreciar la grafica de una funcion constante,

f(x) = 1. En la parte inferior tenemos D−υx [x]0 = x−υ

Γ(1−υ). Con x variando desde 0 hasta 5 con

paso de 0,1 y x toma los valores anteriores

.

21

Figura 2.5: En la parte superior se puede apreciar la grafica de,

f(x) = xλ, donde x toma valores positivos. En la parte inferior tenemos su derivada

fraccionaria Dυxxλ = Γ(λ+1)

Γ(λ−υ+1)xλ−υ. Con x variando desde 0 hasta 5 con paso de 0,05 y λ

variando desde −0,5 hasta 3 con paso de 0,25

.

22

Figura 2.6: Sea f(x) = (a+bx)1/2, en la parte superior se aprecia su grafica donde x varia entre

0 y 5 y b=3, en la parte inferior tenemos la grafica de su derivada fraccionaria Dυx(a+bx)1/2 =√

bπ[arcsin

√bx

a+bx+

√abx

], donde a varia desde 0,1 hasta 2 y x con el valor anterior

.

23

Ejemplo 3 Sea f(x) = x−1/2, entonces por la definicion dada en la ecuacion (2.17), se tiene

que:

D1/2x [x−1/2] =

Γ(1/2)

Γ(0)x−1 = 0

puesto que Γ(0) = ∞.

Ejemplo 4 Sea f(x) = x0, entonces de manera analoga al ejemplo anterior, se tiene que:

D1/2x [x0C] =

CΓ(1)

Γ(1/2)x−1/2 =

C√πx

2.6. Ley de los Exponentes

Teorema 2.1 Si f es continua en J y dado que υ, µ > 0. Entonces para todo t,

D−υ[D−µf(t)] = D−(µ+υ)f(t) = D−µ[D−υf(t)] (2.18)

Dado f(x) = x1/2, µ = 12, υ = 3

2entonces

Dµ[x1/2] =1

2

√π

Dυ[x1/2] = 0

Dµ[Dυx1/2] = 0

Dυ[Dµx1/2] = −1

4x−3/2

Dµ+υ[x1/2] = −1

4x−3/2

Para este ejemplo observamos que:

Dµ[Dυf(tx)] 6= Dµ+υf(x)

24

Definicion 2.4 (Funcion clase C) Se denomina funcion clase C∞(V) a aquellas funciones

definidas sobre (V) tales que ellas y sus derivadas de orden inferior o igual a m (respecto a

todas las combinaciones posibles de variables) son continuas en todo el entorno V.

En el siguiente teorema precisaremos unas condiciones bajo la cual la ley de los exponentes

se mantiene para los operadores fraccionarios.

Teorema 2.2 Dada f(x) una funcion de clase C. Entonces f(x) es de la forma xλη(x)

o xλ(lnt)η(x), donde λ > −1 y η(x) =∑∞

n=0 anxn, tiene un radio de convergencia R > 0.

Dado que X es un numero positivo menor que R. Entonces: Dυ[Dµf(x)] = Dµ+υf(x) para

todo x en (0, X] si:

(a) µ < λ + 1 y υ es arbitrario o,

(b) µ ≥ λ + 1, υ es arbitrario, y ak = 0 para k = 0, 1, ...., m− 1, donde m es el entero mas

pequeno, mas grande o igual que µ.

Ver demostracion en [24],pp 105− 107

2.7. Relacion entre la derivada clasica y la derivada

fraccionaria

Proposicion 6 Sea f(x), un monomio de la forma: f(x) = xk

Su primera derivada clasica es:

f ′(x) =d

dxf(x) = kxk−1

derivando a veces obtenemos la siguente formula general:

da

dxaxk =

k!

(k − a)!xk−a,

Aplicando las propiedades de la funcion Gamma, obtenemos

da

dxaxk =

(k + 1)

(k − a + 1)xk−a = Dα

x [xβ],

25

De esta forma llegamos a la derivada de un monomio vista anteriormente en (2.17)

Ahora calcularemos la media derivada de f(x) = x3

D1/2x [x3] =

Γ(4)

Γ(72)x

52 =

615√

π8

x52 =

16

5√

πx

52

Repitiendo este proceso

16

5√

πD1/2

x [x5/2] =16

5√

π

Γ(72)

Γ(3)x2 =

30√

π

10√

πx2 = 3x2

lo cual seria el resultado esperado de:

D12x

[D1/2

x [x3]

]= 3x2

26

Figura 2.7: La funcion f(x) = x3 se puede apreciar en la curva discontinua a trazos largos

de color verde, su derivada clasica se puede apreciar en la curva continua de color rojo y su

derivada fraccionaria discontinua de color azul

27

2.8. Regla de Leibniz Generalizada

Sea f , una funcion k veces diferenciable y g una funcion con derivada fraccionaria de

orden α − k, entonces la derivada fraccionaria de orden α, del producto fg, viene dado de

la siguiente manera:

Dαx [f(x)g(x)] =

∞∑

k=0

(αk )Dα−k

x [f(x)]Dkx[g(x)] (2.19)

Esta identidad es conocida como la regla de Leibniz generalizada, su demostracion se puede

ver con detalle en el texto [23]p88− 89. Observamos si la ecuacion (2.19), que define la regla

de Leibniz, hacemos g(x) = C, donde C es cualquier constante entonces tenemos que:

Dαx [f(x)g(x)] = Dα

x [f(x)C] = Dαx [f(x)]C (2.20)

2.8.1. Derivada fraccional de un monomio negativo:

Ahora consideremos el caso cuando el exponente del monomio es un entero negativo con

valor: β +1 = 0,−1, ...,−n. Consideremos el monomio la funcion f(x) = x−m con m definido

como un entero positivo.

Dnx [x−m] = (−1)n Γ(m+α)

Γ(m)x−(m+α)

con n ∈ N. Si restringimos el exponente a un valor real, usaremos un procedimiento

analogo para 0 < α < 1,

Dαx [x−m] = (−1)α Γ(m + n)

Γ(m)x−(m+n). (2.21)

28

2.8.2. Derivada fraccionaria de la funcion exponencial:

Sabemos que la expansion en serie de la funcion exponencial esta dada por:

ex =∑∞

k=0[x]k

k!, entonces si aplicamos la linealidad de la derivada fraccionaria y la definicion

de esta sobre cada uno de los monomios de esta serie tenemos que:

Dµx [ex] = Dµ

x [∞∑

k=0

[x]k

k!]

= Dµx [x0] + Dµ

x [x] + Dµx [

[x]2

2] + ....

=Γ(1)[x]−α

Γ(1− α)+

Γ(2)[x]1−α

Γ(2− α)+ ... +

Γ(n + 1)[x]n−α

n!Γ(n + 1− α)+ ..

=∞∑

k=0

[x]k−µ

Γ(k + 1− µ).

Donde definiremos la funcion exponencial generalizada Exµ, por la serie dada en la ecuacion

(2.22), esto es:

Exµ =

∞∑

k=0

[x]k−µ

Γ(k + 1− µ).(2.22)

y su grafica la apreciamos a continuacion

29

Figura 2.8: La generalizada de la funcion exponencial es graficada para valores positivos y

negativos del indice. En la parte superior se grafica Exµ para µ = 0 hasta −0,4 con paso de

−0,1. En la parte inferior se grafica Exµ para µ = 0 hasta 0,4 con paso de 0,1

30

Por otra parte, si en la funcion exponencial introducimos una constante a ∈ C(R), y

realizamos un procedimiento analogo al realizado anteriormente, obtenemos que:

Dµx [eax] = Dµ

x [∞∑

k=0

[ax]k

k!]

= Dµx [[ax]0] + Dµ

x [ax] + Dµx [

[ax]2

2] + ....

= Dµx [x]0 + aDµ

x [x] + a2Dµx [

[x]2

2] + ....

=Γ(1)[x]−α

Γ(1− α)+ a

Γ(2)[x]1−α

Γ(2− α)+ ... + an Γ(n + 1)[x]n−α

n!Γ(n + 1− α)+ ..

=∞∑

k=0

ak[x]k−µ

Γ(k + 1− µ).

entonces

Dµx [eax] =

∞∑

k=0

ak[x]k−µ

Γ(k + 1− µ). (2.23)

Ahora, considerando la definicion de Eatµ , expresada por la ecuacion [2.22] se tiene que:

Eaxµ = a−µ

∞∑

k=0

ak[x]k−µ

Γ(k + 1− µ). (2.24)

entonces

Dµx [eax] = aµEax

µ (2.25)

Esta ultima ecuacion expresa la relacion entre la derivada fraccionaria y la funcion exponen-

cial generalizada. En la ecuacion (2.23) que define la derivada fraccionaria si la constante

a = iw, entonces tenemos que:

Dµx [eiwx] =

∞∑

k=0

[iw]k[x]k−µ

Γ(k + 1− µ). (2.26)

31

Por otra parte, si tomamos como constante a = ix y hacemos un razonamiento analogo al

dado anteriormente, pero calculamos la derivada fraccionaria de orden α de la exponencial

eiwx, con respecto a la variable w, tenemos que:

Dµw[eiwx] =

∞∑

k=0

[ix]k[w]k−µ

Γ(k + 1− µ). (2.27)

Nota 6 Podemos observar que en las ecuaciones (2.26) y (2.27) se define a la derivada

fraccionaria de la funcion eax, por intermedio de una serie de potencia, la cual es facil

comprobar que converge, es decir, la derivada fraccionaria expresada de esta manera esta

bien definida.

32

2.9. Representacion en serie de la Generalizada de la

Exponencial

Una segunda expansion para la generalizada de la exponencial pued ser obtenida de la

manera siguiente:

Dµx [ex] =

∞∑

k=0

(µ

k

)Dµ−k

x [x0]Dkx[e

x] = ex

∞∑

k=0

(µ

k

)xk−µ

Γ(k + 1− µ). (2.28)

Como Dkx[e

x] = ex nos queda:

Dµx [ex] = ex

∞∑

k=0

(µ

k

)Dµ−k

x [x0] = ex

∞∑

k=0

(µ

k

)xk−µ

Γ(k + 1− µ).

aplicando la derivada fraccionaria, obtenemos:

Dµx [ex] = ex

∞∑

k=0

(µ

k

)xk−µ

Γ(k + 1− µ)= ex

∞∑

k=0

(µ

k

)xk−µ

Γ(k + 1− µ).

Asi tenemos:

e−xExµ =

∞∑

k=0

(µ

k

)xk−µ

Γ(k + 1− µ). (2.29)

Si el indice de la derivada es un valor entero, µ = N, entonces tenemos que coinciden la

generalizada de la exponencial y la exponencial Neperiana, Exµ = ex

Si k = µ, se obtiene lo siguiente:

e−xExµ =

∞∑

k=0

(µ

k

)xk−µ

Γ(k + 1− µ)=

(µ

µ

)= 1, µ = entero, (2.30)

33

2.10. Generalizada de la exponencial con indice nega-

tivo

Ahora consideremos la situacion cuando el ındice es un entero negativo µ = −1,−2...

Ex−1 = D−1

x [ex] =∞∑

k=0

[x]k+1

Γ(k + 2). (2.31)

Ahora bien, si reacomodamos la serie haciendo j = k + h, nos queda:

Ex−1 =

∞∑j=1

xj

Γ(j + 1)= ex − 1. (2.32)

Como se menciono anteriormente, la expansion en serie de una funcion exponencial esta dada

por:

ex =∞∑

j=0

tj

j!

=∞∑

j=0

xj

Γ(j + 1)

= 1 +∞∑

j=1

xj

Γ(j + 1)

Ex−1 = 1 +

∞∑j=1

xj

Γ(j + 1)= ex

=∞∑

j=1

xj

Γ(j + 1)= ex − 1

Tambien podriamos escribir la generalizada de la exponencial con ındice negativo a traves

de una integral, puesto que el inverso del operador derivada es el operador integral.

Ex−1 = D−1

t [ex] =

∫ x

0

eτdτ = ex − 1

= D−1x [ex] = eτ |x0 = ex − e0 = ex − 1

(2.33)

34

Para el caso µ = −2, utilizaremos la definicion (2.22)

Ex−2 = D−2

x [ex]

=∞∑

k=0

xk+2

Γ(k + 3)

Reordenando la serie y haciendo j = k + 2 obtenemos lo siguiente:

Ex−2 =

∞∑j=2

xj

Γ(j + 1)= ex − 1− x (2.34)

Como sabemos que:

∞∑j=0

xj

j!= ex

si desarrollamos la serie hasta j = 2 y si hacemos j! = Γ(j + 1):

∞∑j=2

xj

Γ(j + 1)+ 1 + x = ex

finalmente se comprueba que:

Ex−2 =

∞∑j=2

xj

Γ(j + 1)= ex − 1− x

Ahora escribiremos la generalizada de la exponencial con indice negativo como una inte-

gral doble

Ex−2 = D−2

x [ex] =

∫ x

0

dτ2

∫ τ2

0

eτ1dτ1 =

∫ x

0

(eτ2 − 1)dτ2 = ex − 1− x (2.35)

35

Capıtulo 3

Transformada de Fourier en el CalculoFraccionario

3.1. Introduccion

En esta seccion abordaremos la definicion de la transformada fraccionaria de Fourier,

desde el punto de vista del calculo fraccionario, donde su nucleo esta definido por la funcion

exponencial generalizada, este esta en funcion de la derivada fraccionaria. Esta transfor-

mada es una generalizacion de la transformada clasica de Fourier, en el sentido de que la

transformada de Fourier es un caso particular de la transformada generalizada cuando α = 1.

3.2. Transformada Clasica de Fourier

Definicion 3.1 Sea L el espacio vectorial de todas las funciones suaves f (infinitamente

diferenciables) tal que:

γm,n(f) = supx ∈R

|xmf (n)(x)| < ∞,

∀m, n = 0, 1, 2, . . . entonces la transformada de Fourier F , es un operador integral lineal que

mapea una funcion dada f ∈ L sobre F (ξ) el cual esta definido como:

F (ξ) =

∫ ∞

−∞f(x)e−2πiξxdx (3.1)

36

su nucleo es e−2πiξx, (en algunos casos el nucleo se define como: eiwx) y la transformada

inversa de Fourier esta definida por:

f(x) =

∫ ∞

−∞F (ξ)e−2πiξxdξ.

3.3. Propiedades de la transformada clasica de Fourier

Algunas propiedades de la transformada de Fourier vienen dadas por la siguiente proposi-

cion. Sea

F (ξ) =

∫ ∞

−∞f(x)e−2πiξxdx

1. f(x− h) ∈ L → F (ξ)e−2πiξh, donde h ∈ R, f ∈ L

2. f(x)e2πixh → F (ξ − h), donde h ∈ R, f ∈ L,

3. |M |−1f( xM

) → F (Mξ), donde M > 0, f ∈ L,

4. f′(x) → F (ξ)2iπh , donde f ∈ L,

5. −2πxif(x) → ddξ

F (ξ),donde f ∈ L.

37

3.4. Grafica del nucleo de la transformada clasica

Figura 3.1: Sea f(x) = eiwx, donde f(x) es el nucleo de la transformada clasica de Fourier

38

3.5. Derivada de la transformada clasica de Fourier con

respecto a la frecuencia

La derivada de la transformada de Fourier con respecto a la frecuencia w dada por:

d(f(w))

dw=

∫ ∞

−∞(ix)eiwxf(x)dx

Ahora si derivamos nuevamente obtenemos que:

d2(f(w))

dw2=

∫ ∞

−∞(ix)2eiwxf(x)dx

derivando n veces la transformada de Fourier se tiene que:

dnf(w)

dwn=

∫ ∞

−∞(ix)neiwxf(x)dx (3.2)

La ecuacion (3.2) la podemos expresar de la siguiente manera:

dnf(w)

dwn= inFT [xnf(x); w] (3.3)

Es decir lo que se tiene en la ecuacion (3.3) es la transformada de Fourier del producto

xnf(x). Por tanto, usaremos por notacion FT para hacer referencia a la transformada de

fourier de una funcion.

De manera analoga podemos expresar la derivada de la transformada de Fourier con respecto

al tiempo x, es decir:

FT[dnf(x)

dxn; w

]=

∫ ∞

−∞eiwx dnf(x)

dxndx (3.4)

cuando integramos por parte n veces, cada integracion por parte genera un factor (−iw)

FT[dnf(x)

dxn; w

]=

∫ ∞

−∞(−iw)neiwxf(x)dx (3.5)

39

la funcion y sus primeras n derivadas desaparecen, cuando x → ±∞, por lo que no hay

contribucion de las fronteras despues de cada una de las integraciones por partes. Ahora se

obtiene:

FT [[dnf(x)

dxn; w

]= (−iw)nFT [f(x); w] = (iw)nf(w) (3.6)

que toma como inverso la transformada de Fourier

dnf(x)

dxn= (−i)nFT −1[wnf(w); x] (3.7)

3.6. Derivada Fraccionaria de la Transformada de Fouri-

er

Primeramente aplicando la formula de Leibniz y luego utilizando la definicion de la deriva-

da fraccionaria de orden α− k, entonces obtenemos lo siguiente:

Dαx [f(x)] =

∞∑

k=0

(α

k

)Dα−k

x [x0]Dkx[f(x)] (3.8)

=∞∑

k=0

(α

k

)xk−α

Γ(k − α + 1)Dk

x[f(x)] (3.9)

Sabemos que la formula de inversion de la transformada de Fourier esta dada por:

f(x) =

∫ ∞

−∞e−iwxf(w)dw (3.10)

Ahora si derivamos k veces la expresion dada en la ecuacion (3.10) con respecto a x, se tiene

que:

Dkx[f(x)] =

∫ ∞

−∞e−iwx(−iw)kf(w)dw (3.11)

Ahora sustituyendo esta ultima identidad en la ecuacion (3.9), esta la podemos reescribir

como:

40

Dαx [f(x)] =

∞∑

k=0

(α

k

)xk−α

Γ(k − α + 1)

∫ ∞

−∞e−iwx(−iw)kf(w)dw (3.12)

Ahora escribiremos la serie como la generalizada de la exponencial

E−iwxα =

∞∑

k=0

(α

k

)(−iwx)k−α

Γ(k − α + 1)e−iwx (3.13)

ası (3.12) se reduce a:

Dαx [f(x)] =

∫ ∞

−∞E−iwx

α (−iw)αf(w)dw (3.14)

La ecuacion (3.14) es la derivada fraccionaria de la funcion f(x) expresada como una trans-

formada de Fourier con respecto a la variable independiente w, esto proporciona una manera

de calcular la derivada fraccionaria de una funcion sin utilizar la expansion de la serie. La

ecuacion (3.14) es analoga a la derivada de la funcion dada en (3.7) con la funcion exponencial

e−iwx reemplazada con la generalizada de la funcion E−iwxα .

3.7. Derivada fraccionaria de la amplitud de Fourier

De un manera similar tomaremos la derivada fraccionaria de la transformada de Fourier

con respecto a la variable de la transformada.

Dαw[f(w)] =

∞∑

k=0

(α

k

)Dα−k

w [w0]Dkw[f(w)]

=∞∑

k=0

(α

k

)wk−α

Γ(k − α + 1)Dk

w[f(w)]

(3.15)

donde introduciremos la inversa de la transformada de f(w) dada en (3.10)

41

Dαw[f(w)] =

∞∑

k=0

(α

k

)wk−α

Γ(k − α + 1)

∫ ∞

−∞eiwx(ix)kf(x)dx (3.16)

ahora escribiremos la serie (3.16) como la generalizada de la exponencial.

Eiwxα =

∞∑

k=0

(α

k

)(iwx)k−α

Γ(k − α + 1)eiwx (3.17)

que cuando se reinserta en (3.16), se obtiene:

Dαw[f(w)] =

∫ ∞

−∞(ix)αEiwx

α f(x)dx (3.18)

3.8. Generalizada de la transformada de Fourier

Asi, observamos que (3.14) y (3.18) son analogas a las propiedades de la transformada

de Fourier dadas en (3.5) y (3.7). La relacion entre una funcion y su amplitud de Fourier

es la misma entre la derivada fraccionaria de una funcion y su transformada de Fourier, con

la exponencial reemplazada por su generalizada. Tambien la relacion entre la derivada de la

transformada de Fourier de una funcion y la funcion, es la misma existente entre la derivada

fraccionaria de la transformada de Fourier de la funcion y la funcion con la exponencial

reemplaza por su generalizada.

Lo mencionado anteriormente nos permite introducir la definicion de la transformada

generalizada de Fourier.

Definicion 3.2 Sea L el espacio de las funciones absolutamente integrables f , la transfor-

mada generalizada de Fourier fα es un operador lineal que mapea la funcion dada f ∈ Lsobre fα(w), donde:

fα(w) ≡∫ ∞

−∞Eiwx

α f(x)dx (3.19)

42

donde Eiwxα es el nucleo de la transformada generalizada.

Ahora demostraremos que la serie que define el nucleo de la transformada generalizada

es convergente, para ello usaremos el criterio del cociente para determinar la convergencia

de la serie:

En (2.24), haciendo a = iw, tenemos que:

Eiwxµ = |(iw)−µ|

∣∣∣∣∞∑

k=0

(iw)k[w]k−µ

Γ(k + 1− µ)

∣∣∣∣. (3.20)

Demostracion. Por la propiedad de la funcion Gamma

Γ(z + 1) = zΓ(z), entonces Γ((k + 1− α) + 1) = (k + 1− α)Γ(k + 1− α)

Aplicando el criterio del cociente:

Limk→∞

∣∣∣∣(iw)k+1wk+1−α(iw)−α

Γ(k + 1 + 1− α)

∣∣∣∣÷∣∣∣∣(iw)kwk−α(iw)−α

Γ(k + 1− α)

∣∣∣∣

Limk→∞

∣∣∣∣(iw)k+1wk+1−α(iw)−αΓ(k + 1− α)

(iw)kwk−α(iw)−α(k + 1− α)Γ(k + 1− α)

∣∣∣∣

Limk→∞

∣∣∣∣(iw)w(iw)−α

(it)−α(k + 1− α)

∣∣∣∣ < 1.

la serie que define el nucleo de la transformada generalizada converge.

Por otra parte:

∣∣∣∣∫ ∞

−∞Eiwx

α f(x)dx

∣∣∣∣ ≤∫ ∞

−∞

∣∣∣∣∞∑

k=0

(iwx)k−α

Γ(k − α + 1)

∣∣∣∣|fx|dx < M

∫ ∞

−∞|fx|dx < ∞

por lo tanto fα(w) existe.

43

3.9. Propiedades del nucleo de la generalizada

La generalizada de la transformada de Fourier se define como:

fα(w) ≡∫ ∞

−∞Eiwx

α f(x)dx

y su nucleo es:

Eiwxα = (iw)−α

∞∑

k=0

(ixw)k−α

Γ(k + 1− α)

Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1. Simetria Diagonal

Kα(x,w) = Kα(w, x) (3.21)

2. Simetria puntual

Kα(−x,w) = Kα(x,−w) (3.22)

3. La generalizada de la exponencial

4. Traslacion del Kernel

5. Transformada de una traslacion (Caso clasica)

6. Transformada de una traslacion (Caso fraccionario)

7. Producto del Kernel por su conjugado

3.9.1. Demostraciones

Demostracion.

1.- La propiedad es directa al aplicar la propiedad comutativa del producto.

Se conoce que:

Kα(x,w) = Eiwxα = (iw)−α

∞∑

k=0

(ixw)k−α

Γ(k + 1− α)

44

Entonces

Kα(−x,w) = E−iwxα = (iw)−α

∞∑

k=0

(−iwx)k−α

Γ(k − α + 1)

= E−iwxα = Kα(x,−w)

2.− Eiwx1 = eiwx

K1(x,w) = Eiwx1 =

∞∑

k=0

(1

k

)(iwx)k−α

Γ(k − α + 1)eiwx = eiwx

3.-

Eiw(x−x′)α = (iw)−αe−iwx′Dα

t [eiwx] (3.23)

E−iw(x−x′)α = (−iw)−αe−ixwx′Dα

x [e−iwx] (3.24)

4.-

f(x− x′) =

∫ ∞

−∞eiw(x−x′)f(x)dx

= e−iwx′∫ ∞

−∞eiwxf(x)dx

= e−iwx′ f(w)

5.- Por [3.23] y [3.24]

fα(f(x− x′)) =∫∞−∞ E

iw(x−x′)α f(x)dx

= e−iwx′∫ ∞

−∞(iw)−αDα

x [eiwx]f(x)dx

= e−iwx′∫ ∞

−∞Eiwx

α f(x)dx

= e−iwx′ fα(f(x))dx

45

6.-

Eiwxα ∗ Eiwx

β = (iw)−αDαx [eiwx] ∗ (iw)−βDβ

x [eiwx]

= (iw)α+β ∗Dα+αx [eiwx]

= Eiwxα+β

7.- Se puede ver que:

Eiwx

α = E−iwxα

E−iwxα = (−iw)−αDα

x [e−iwx]

= (−iw)−α

∞∑

k=0

(−ixw)k−α

Γ(k + 1− α)

= (−iw)−α

∞∑

k=0

(−1)k−α(ixw)k−α

Γ(k + 1− α)

= (−iw)−α(−1)α

∞∑

k=0

(ixw)k−α

Γ(k + 1− α)(−1)k

Ahora aplicamos el teorema 2.18

Eiwxα ∗ E−iwx

α = (iw)−αDαx [eiwx] ∗ (−iw)−α(−1)−αDα

x [eiwx](−1)k

= (−iw)−2α(−1)−αD2αx [eiwx]

Kα(x,w) ∗Kα(x,w)

Kα(x,w) = Kα(−x,w), por lo tanto:

46

Eiwxα ∗ E−iwx

α =∞∑

k=0

(iwx)k−α

Γ(k − α + 1)eiwx ∗

∞∑

k=0

(−iwx)k−α

Γ(k − α + 1)

= (iwx)−α(−iwx)−α

∞∑

k=0

(iwx)k

Γ(k − α + 1)

∞∑

k=0

(−iwx)k

Γ(k − α + 1)

.

47

3.9.2. Grafica del nucleo generalizado (caso1)

Sea

Eiwxα = (iw)−α

∞∑

k=0

(ixw)k−α

Γ(k + 1− α)

el nucleo generalizado de la transformada de Fourier,

Figura 3.2: En la grafica superior se puede apreciar la parte real de la generalizada del nucleo.

En la grafica inferior apreciamos la parte imaginaria del nucleo; en ambos casos α varia desde

0 hasta −0,8 con paso de −0,1 y con angulo de inclinacion de 20 grados

48



0 hasta −0,8 con paso de −0,1 y con angulo de elevacion de 60 grados

49



0 hasta −0,8 con paso de −0,1 y con angulo de inclinacion de 90 grados

50

3.9.3. Grafica del nucleo generalizado (caso2)

Sea

Eiwxα = (iw)−α

∞∑

k=0

(ixw)k−α

Γ(k + 1− α)

el nucleo generalizado de la transformada de Fourier,



0 hasta 0,8 con paso de 0,1 y con angulo de inclinacion de 20 grados

51




52




53

3.10. Propiedades de la transformada generalizada de

Fourier (FrFTG)

Sea fα la FrFTG de la funcion f entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1. Linealidad: Sea h(x) = {λf1(x) + βf2(x)}α, entonces fα(h(x)) = λf1α(x) + βf2α(x).

2. Traslacion si tenemos la funcion f trasladada en a con a ∈ R, es decir f(t−a), entonces

fα(f(t− a)) = exp{−2πiξa}fα(ξ).

3. Escalacion si tenemos la funcion f y a, con a ∈ R, entonces fα(f(at)) = 1|a| fα

(ξa

).

4. Si f(x) es una funcion par entonces fα(ξ) es par.

5. Si f(x) es una funcion impar entonces fα(ξ) es impar.

6. Si α = 1, entonces fα(ξ) = f(ξ), donde f(ξ) es la transformada clasica de Fourier.

3.10.1. Demostraciones de las propiedades de la FrFTG

Demostracion.

1.

fα(h(x)) =

∫ ∞

−∞Eα

iwx(λf1(x) + βf2(x))dx

=

∫ ∞

−∞Eα

iwx(λf1(x))dx +

∫ ∞

−∞Eα

iwx(βf2(x))dx

= λ

∫ ∞

−∞Eα

iwx(f1(x))dx + β

∫ ∞

−∞Eα

iwx(f2(x))dx

= λfα(f1(x)) + βfα(f2(x)).

2.

fα(f(t− a)) =

∫ ∞

−∞Eiwx

α f(t− a)dt,

54

Haciendo t− a = x, dt = dx entonces tenemos que:∫ ∞

−∞Eiwx

α f(t− a)dt =

∫ ∞

−∞Eiw(x+a)

α f(x)dx

=

∫ ∞

−∞Dα

x [exp{iw(x + a)}][iw]−αf(x)dx

=

∫ ∞

−∞Dα

x [exp{iwx}] exp{iwa}[iw]−αf(x)dx

= exp{iwa}∫ ∞

−∞Dα

x [exp{iwx}][iw]−αf(x)dx

= exp{iwa}fα(f(x)).

Por lo tanto

fα(f(t− a)) = exp{iwa}fα(w).

Nota 7 En la demostracion de la propiedad de traslacion usamos la definicion de la deriva-

da fraccionaria dada en la ecuacion (2.25), ademas utilizamos la propiedad expresada en la

ecuacion (3.25) y finalmente se uso la definicion de la transformada generalizada de Fourier.

3.De la definicion de la FRFTG tenemos que:

fα(f(at)) =

∫ ∞

−∞Eiwt

α f(at)dt. (3.25)

Ahora haciendo at = x, en la ecuacion (3.25) dta

= dx y suponiendo que a > 0, entonces

tenemos que: ∫ ∞

−∞Eiwx

α f(at)dt =1

a

∫ ∞

−∞E

iwxa

α f(x)dx. (3.26)

Por otra parte si asumimos que a < 0, se intercambian los limites de integracion y tenemos

que: ∫ ∞

−∞Eiwx

α f(at)dt =1

a

∫ −∞

+∞E

iwxa

α f(x)dx. (3.27)

Por lo tanto de las ecuaciones(3.26), (3.27)obtenemos que:

fα(f(at)) =1

|a| fα

(ξ

a

).

55

4.

fα(f(x)) =

∫ ∞

−∞Eα

iwxf(x)dx (3.28)

=

∫ ∞

−∞Eα

iwxf(−x)dx

= fα(f(−x)).

Por lo tanto fα(f) es par, el caso cuando f es impar la demostracion es similar.

3.11. Inversa de la generalizada de la transformada de

Fourier

Ahora construiremos la inversa de esta transformada introduciendo la funcion:

g(x) =f(x)

(ix)α(3.29)

asi que escribiremos la transformada fraccionaria de Fourier como:

fα(w) =

∫ ∞

−∞(ix)αEiwx

α g(x)dx (3.30)

En terminos de la derivada fraccionaria con respecto a la frecuencia, tenemos:

fα(w) = Dαw

[ ∫ ∞

−∞eiwxg(x)dx

](3.31)

entonces, por el segundo enfoque de la generalizada de la exponencial, se tiene

Dαw

[eiwx

]= (ix)αEiwx

α (3.32)

La integral (3.31) representa la transformada clasica de Fourier de g(x), aquella g(w), asi

que (3.31), puede ser escrita formalmente como:

fα(w) = Dαw[g(w)] (3.33)

56

La ecuacion (3.33) puede ser invertida para obtener

g(w) = D−αw [fα(w)] (3.34)

tomando la inversa de la transformada de Fourier de (3.33)

g(x) =

∫ ∞

−∞

dw

2πe−iwxD−α

w [fα(w)] (3.35)

o en terminos de la funcion original, usando (3.29), tenemos

f(x) = (ix)α

∫ ∞

−∞

dw

2πe−iwxD−α

w [fα(w)] (3.36)

la ecuacion (3.36) define la inversa de la generalizada de la transformada de Fourier dada en

(3.19). La inversa de la generalizada de la transformada de Fourier es verificada sustituyendo

la definicion de la generalizada de Fourier en (3.36) para obtener

f(x) = (ix)α

∫ ∞

−∞

dw

2πe−iwxD−α

w [Dαw[g(w)]] (3.37)

pero

D−αw Dα

w = 1

Asi que:

f(x) = (ix)α

∫ ∞

−∞

dw

2πe−iwxg(w) (3.38)

usando la transformada de Fourier en (3.29).

3.12. Esquema para la obtencion de la transformada

continua generaliza de Fourier

Martinez (2006), desarrollo un esquema para la obtencion de la transformada:

1. Se calcula la derivada fraccionaria Dαw[eiwx]

2. Calculamos [ix]−αDαw[eiwx]e−iwxf(x) y hacemos g(x) = [ix]−αDα

w[eiwx]e−iwxf(x)

57

3. Calculamos la transformada ordinaria g(t) =∫

[ix]−αDαw[eiwx]e−iwxf(x)eiwt

4. Finalmente usamos la identidad Eixwα = Dα

w[eiwx](ix)−α, obteniendo la transformada

fraccionaria generalizada continua de Fourier.

3.13. Relacion entre la derivada fraccionaria y la trans-

formada fraccionaria de Fourier

Sabemos del analısis clasico de Fourier que la transformada ordinaria esta definida por:

f(ξ) =

∫ ∞

−∞f(x) exp{2πixξ}dx.

y su formula de inversion esta dada por:

f(x) =

∫ ∞

−∞f(ξ) exp{−2πixξ}dξ.

Ahora si le aplicamos la derivada fraccionaria de orden −α. con respecto a t, a la formula

de inversion de la transformada clasica de Fourier obtenemos que:

D−αx [f(x)] = D−α

x

[∫ ∞

−∞f(ξ) exp{−2πixξ}dξ

]

=

∫ ∞

−∞f(ξ)D−α

x [exp{−2πixξ}]dξ

=

∫ ∞

−∞f(ξ)(−2πiξ)−αE−2πixξ

−α dξ

= f−1α [f(ξ)(−2πiξ)−α].

Por lo tanto

D−αx [f(x)] = f−1

α [f(ξ)(−2πξi)−α]. (3.39)

Finalmente aplicamos a ambos lados de la identidad dada en la ecuacion (3.39) la formula

de la transformada fraccionaria generalizada de orden α y obtenemos que:∫ ∞

−∞D−α

x [f(x)]E2πixξα dx = f(ξ)(−iwx)−α. (3.40)

58

Por lo tanto hemos demostrado que la transformada fraccionaria de Fourier generalizada

de la derivada fraccionaria de orden −α, de la funcion f(x) con respecto a x es igual a

f(ξ)(−2πiξ)−α, que es la relacion que expresa la ecuacion (3.40) entre la derivada fraccionaria

y la transformada fraccionaria de Fourier generalizada. Ademas en la ecuacion (3.39), ten-

emos una forma de calcular la derivada fraccionaria de orden −α en el dominio frecuencia

ξ, vıa la inversa de la transformada generalizada de Fourier de la funcion f(ξ)(−2πiξ)−α.

Nota 8 La base teorica de esta transformada generalizada fraccionaria expresada en esta

seccion es adoptada del texto de Ozaktas (1996) y Bultheel, Martınez (2006) el esquema para

la obtencion de esta Bultheel, Martınez (2006) las propiedades del nucleo generalizado de la

transformada de Fourier es parte del aporte de este trabajo.

59

Conclusiones

Con la realizacion de este trabajo podemos concluir lo siguiente:

La funcion Gamma extiende el concepto de factorial a los numeros complejos, ya que

para Re (z) > 0, tenemos que: Γ(z) =∫∞0

e−ttz−1dt.

El calculo fraccionario es una rama del analisis matematico que estudia la posibilidad

y consecuencias de calcular derivadas e integrales de orden υ, donde Re(υ) > 0 para el

caso de la integral fraccionario y 0 <Re(υ) ≤ 1 en el caso de la derivada fraccionaria.

No existe un unico calculo fraccionario, sino varias definiciones con diferentes propiedades,

cada una de estas definiciones exige sus propias condiciones de las funciones que se apli-

ca. En nuestro caso, hemos aplicado las definiciones de Riemman-Lioville.

La derivada y la integral fraccionaria son operadores lineales. Por otro lado se utilizo la

ley de composicion interna de Oldham-Spanier para definir la existencia de la derivada

fraccionaria, en este mismo sentido podremos agregar que la existencia de la derivada

fraccionaria exige que la funcion sea continuamente diferenciable.

El nucleo de la transformada fraccionaria de Fourier se define a partir de la derivada

fraccionaria de la funcion exponencial y sobre ese nucleo fueron demostradas algunas

propiedades, las cuales se mencionaron en este trabajo.

La transformada clasica de Fourier es un caso particular de la transformada fraccionaria

generalizada de Fourier, ya que para α = 1, Eiwxα = eiwx

60

Anexos

3.14. Codigo en Mathlab de las graficas realizadas

3.14.1. Codigo de la derivadas fraccionarias

Codigo de la derivada de un monomio.

clear

clear all

u=0.5;

t=0:0.01:100;

b=0

tic

prod=(gamma(b+1)./gamma(b+1-u)).*t.^(b-u)

hold on

plot(t,prod);

hold off

pause(0.5)

toc

%Derivada de un monomio

clear

clear all %U representa la fraccion de la derivada

u=0.5;

61

% t es la variable

t=0:0.05:5;

% b representa el exponente

for b=-0.5:0.25:5

tic

prod=(gamma(b+1)./gamma(b+1-u)).*t.^(b-u)

hold on

plot(t,prod);

hold off

pause(0.1)

end toc

%Este codigo grafica la derivada fraccionaria de f(x)=(a-x)^{-1/2}

clear

clear all

%caso clasico

t=0:0.05:5;

% variamos la constante y la misma variable para obtener multiples

b=2:0.02:4;

% graficas en el mismo plano

for a=0.02:0.02:2

tic

% formula de la derivada fraccionaria de f(x)

prod=(sqrt(b./pi)).*(asin(sqrt((b.*t)./(a+b.*t)))+sqrt(a./(b.*t)))

hold on

plot(t,prod),

hold off

pause(0.5),end toc

62

3.14.2. Codigo de la integral fraccionarias

% Este codigo grafica la integral fraccionaria de f(x)=(a-x)^{-1/2}

clear

clear all

t=0:0.05:100; %variamos la constante a y la variable t para obtener

for a=100:1:140 %multiples graficas

tic

%formula de la integral fraccionaria de f(x)

prod=1./sqrt(pi).*log((sqrt(a)+sqrt(t))./(sqrt(a)-sqrt(t))) hold

on

plot(t,prod),

hold off

pause(0.5)

end

toc

% Este codigo grafica la integral fraccionaria de f(x)=ln(x)

clear

clear all

%t=1:0.0001:2;

%variamos la constante a y la variable t para obtener

for t=0.5:0.1:1000 %multiples graficas

tic

prod=(2.*sqrt(t)./sqrt(pi)).*(log(4.*t)-2); %se aplica la formula

de la integral fraccionaria

hold on

plot(t,prod)

hold off

end toc

63

% Este codigo grafica la integral fraccionaria de f(x)=[(a+bx)^{-1/2}]

clear

clear all

t=0:0.05:5; %variamos la constante y la variable para obtener

b=2:0.02:4; %multiples graficas

for a=0.02:0.02:2

tic

%se aplica la formula de su integral fraccionaria

prod=(2./sqrt(pi.*b)).*asin(sqrt((b.*t)./(a+b.*t)))

hold on

plot(t,prod),

hold off

pause(0.5)

end toc

% Nucleo de la transformada clasica, se grafican los dos casos

% exponencial positiva y negativa

t=[0:0.05:2];

w=[0:0.05:2];

y=exp(i*w.*t); %exponencial negativa

y1=exp(-i*w.*t); %exponencial positiva

subplot(2,1,1);

plot(imag(y))

subplot(2,1,2);

plot(imag(y1));

xlabel(’Conj. del nucleo de la transformada de

Fourier’),ylabel(’Amplitud’),

64

title(’Nucleo de la transformada de Fourier’)

hold off

3.14.3. Codigo del nucleo de la transformada clasica

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%Este archivo calcula el nucleo generalizado el cual esta

definido como

%Sum_ k=0^n [(at)^(k-mui)]/[gamma(k+1-mui)]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clear clear all

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%Este caso es para visualizar el proceso asintotico del

nucleo alrededor de

%la exponecial clasica.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%a=1/2;

%a=0;

a=1;

%%Esto porque queremos que aparezca en la formula del

nucleo generalizado

%%la exponencial exp(i*w*t)

w=[0: 0.15325:2*pi];

%Caso general donde la comnstante es a=i*w

%a=i*w;

%El intervalo de variacion de la variable t

t=[0:0.05:2]; tic

65

disp(’Aproximacion decrece asintotica a la funcion

exponencial’)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%Esta subrrutina calcula el nucleo de la exponecial

generalizada

%El mui representa la fraccion del angulo que debe ser

0<Re(mui)<=1

% for mui=-0.1:-0.1,

%for mui=0:-0.1:-0.8,

for mui=0:-0.1:-0.4,

prod=0;

sum=0;

gam=0;

%En esta parte simplemente calculamos (a.*t).^k,

donde a=i*w, ademas

%se calcula la sumatoria que esta involucrada en la

definicion del

%nucleo generalizado

%Esto viene dado por su sum=sum+w1./gam

for k=0:1000,

w1=(a.*t).^k;

gam=gamma(k+1-mui);

sum=sum+w1./gam;

end

%Revisar que para el caso t=0, el termino

(a.*t).^-(mui)=0 y por lo

%tanto prod=infinito o tiende a infinito

%Finalmente calculamos el nucleo generalizado

66

prod=(a.*t).^-(mui).*sum

hold on

subplot(2,1,1);

%plot(real(prod))

% figure(2),

plot(prod),

xlabel(’Dominio tiempo’),ylabel(’Amplitud’),

%title(’Funcion exponencial generalizada’)

hold off

pause(0.1)

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%Case {’Crecimiento’, ’Asintotico’}

% disp(’Aproximacion crece asintotica a la funcion

exponencial’)

%Esto representa la fraccion del angulo alfa para la

derivada fracionaria

%for mui=0.1:0.1,

%for mui=0:0.1:0.8,

for mui=0:0.1:0.4,

prod=0;

sum=0;

gam=0;

for k=0:1000,

w1=(a.*t).^k;

gam=gamma(k+1-mui);

67

sum=sum+w1./gam;

end

prod=(a.*t).^-(mui).*sum;

hold on

subplot(2,1,2);

%plot(real(prod))

plot(prod)

xlabel(’Dominio tiempo’),ylabel(’Amplitud’),


hold off

pause(0.1)

end toc

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

3.14.4. Codigo del nucleo de generalizado de la transformada

clear

clear all

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%Este caso es para visualizar el proceso asintotico del nucleo

alrededor de

%la exponecial clasica.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%a=1/2;

%a=0;

%a=1;

68

%%Esto porque queremos que aparezca en la formula del nucleo

generalizado

%%la exponencial exp(i*w*t)

%w=[0: 0.15325:2*pi];

%Caso general donde la comnstante es a=i*w

%a=i*w;

%El intervalo de variacion de la variable t

%t=[0:0.05:2];

N=15; t=(-N:N)/N*5; w=(-N:N)/N*5; [T,W]=meshgrid(t,w);

%[T,W]=meshgrid(0: 0.15325:2*pi);

l2=length(T) a=i*W; tic

disp(’Aproximacion decrece asintotica a la funcion

exponencial’)

%El mui representa la fraccion del angulo que debe ser

0<Re(mui)<=1

%for mui=-0.00001:-0.00001,

%for mui=-0.001:-0.001:-0.004,

for mui=0:-0.1:-0.8,

prod=0;

sum=0;

gam=0;

%En esta parte simplemente calculamos (a.*t).^k, donde

a=i*w, ademas

%se calcula la sumatoria que esta involucrada en la

definicion del nucleo

%generalizado

69

%Esto viene dado por su sum=sum+w1./gam

for k=0:0.001:0.5,

%w1=(a.*t).^k;

w1=(a*T).^k;

gam=gamma(k+1-mui);

sum=sum+w1./gam;

end

%Revisar que para el caso t=0, el termino (a.*t).^-(mui)=0

y por lo

%tanto prod=infinito o tiende a infinito

%Finalmente calculamos el nucleo generalizado

%prod=(a.*t).^-(mui).*sum;

prod=(a*T).^-(mui).*sum;

l4=length(prod)

hold on

figure(1),

subplot(2,1,1); mesh(T,W,real(prod)),

%view(-24,62), xlabel(’x’), ylabel(’\xi’),

title([’parte real, a = ’,num2str(a)])

subplot(2,1,2); mesh(T,W,imag(prod)),


title([’parte imag, a = ’,num2str(a)])

view(3)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%subplot(2,1,1);

%plot(t,prod),

%xlabel(’Dominio tiempo’),ylabel(’Amplitud’),


70

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

hold off

%figure(2),

pause(1.1)

end

%Case {’Crecimiento’, ’Asintotico’}

% disp(’Aproximacion crece asintotica a la funcion exponencial’)

%for mui=0.3:0.3,

for mui=0:0.1:0.8,

prod=0;

sum=0;

gam=0;

for k=0:0.001:0.5,

%w1=(a.*t).^k;

w1=(a.*T).^k;

gam=gamma(k+1-mui);

sum=sum+w1./gam

end

%prod=(a.*t).^-(mui).*sum

prod=(a.*T).^-(mui).*sum;

71

hold on

figure(2),

subplot(2,1,1); mesh(T,W,real(prod)),


title([’parte real, a = ’,num2str(a)])

subplot(2,1,2); mesh(T,W,imag(prod)),


title([’parte imag, a = ’,num2str(a)])

view(3)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%subplot(2,1,2);

%plot(t,prod),

%xlabel(’Dominio tiempo’),ylabel(’Amplitud’),


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

hold off

%figure(2),

pause(0.1)

end toc

72

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CALCULO FRACCIONARIO Y LA TRANSFORMADA GENERALIZADA DE FOURIER · Resumen En el presente trabajo se...

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