Calculo II Sumatorias, integrales definidas, cálculo

de áreas, métodos numéricos,

sumatorias e integrales dobles,

Interpolación.

Universidad Nacional Del Callao

Calculo II 2012

1

Índice

1) Sumatorias 2

Definición

Propiedades

Fórmulas de sumatoria

Ejemplo

2) Calculo de la integral definida mediante sumatorias 9

Definición

Propiedades de la integral definida

Ejemplos

3) Calculo de Áreas por sumatorias 17

Introducción

Partición de un intervalo

Refinamiento de una partición

Área de una región plana por sumatorias de rectángulos

4) Métodos numéricos para calcular integrales definidas 35

Método del rectángulo 35

Método del trapecio 37

Método de Simpson 40

Integración por series de Taylor 51

5) Sumatorias dobles 58

Definición

Integral doble sobre un rectángulo

Integral doble como volumen

Propiedades

Ejercicios

6) Calculo de integrales dobles por sumatorias dobles 63

Definición

Integral doble sobre un rectángulo

Integral doble como volumen

Propiedades

Ejercicios

7) Calculo de integrales por interpolación 72

Introducción

Interpolación de Lagrange

Interpolación de Hermite

Interpolación de trazadores cúbicos

Calculo II 2012

2

SUMATORIAS

1.-DEFINICION

Consideremos “m” y “n” dos números naturales tal que m ≤ n, y “f” una función definida para cada

i Є N donde m ≤ i ≤ n, luego la notación n

i m

f i

, nos representa la suma de los términos; f(m);

f(m+1); f(m+2); …; f(n); es decir:

1 2 ...n

i m

f i f m f m f m f n

Donde “i” es el índice o variable, “m” es el límite inferior y “n” el límite superior.

Particularmente: a la suma de los n números a1, a2, …, an , representaremos por la notación:

1 2

1

...n

i n

i

a a a a

En la sumatoria n

i m

f i

, existen (n-m+1) términos los cuales son f(m), f(m+1), f(m+2), …, f(m+(n-

m))

2.-PROPIEDADES

Siendo f,g funciones definidas i Є Z, k contante.

a) 1

n

i

k kn

DEMOSTRACION:

1

... (" " )n

i

k k k k n veces kn

b) ( 1)n

i m

k n m k

DEMOSTRACION:

1

... (" 1" ) ( 1)n

i

k k k k n m veces n m k

c) 1 1

n n

i i

kf i k f i

Calculo II 2012

3

DEMOSTRACION:

1 1

1 2 ... ( 1 2 ... )n n

i i

k f i kf kf kf n k f f f n k f i

d) 1 1 1

( )n n n

i i i

f i g i f i g i

DEMOSTRACION:

1

1 1

( ) ( 1 1 ) ( 2 2 )... ( )

( 1 2 ... ) ( 1 2 ... )

n

i

n n

i i

f i g i f g f g f n g n

f f f n g g g n f i g i

e) b b c

i a i a c

f i f i c

DEMOSTRACION:

1 2 ...

( ) ( 1) ( 2) ... ( )

b

i a

b c

i a c

f i f a f a f a f b

f a c c f a c c f a c c f b c c

f i c

f) b b c

i a i a c

f i f i c

DEMOSTRACION:

1 2 ...

( ) ( 1) ( 2) ... ( )

b

i a

b c

i a c

f i f a f a f a f b

f a c c f a c c f a c c f b c c

f i c

g) 1

( 1 ) 0n

i

f i f i f n f

1ra Regla Telescópica

Calculo II 2012

4

DEMOSTRACION:

1 1 1

( 1 ) 1

( 1 2 ... 1 ) ( 0 1 ... 2 1 )

0

n n n

i i i

f i f i f i f i

f f f n f n f f f n f n

f n f

h) ( 1 ) 1n

i k

f i f i f n f k

1ra Regla Telescópica Generalizada

DEMOSTRACION:

( 1 ) 1

( 1 ... 1 ) ( 1 ... 2 1 )

1

n n n

i k i k i k

f i f i f i f i

f k f k f n f n f k f k f n f n

f n f k

i) 1

( 1 1 ) 1 1 0n

i

f i f i f n f n f f

2da Regla Telescópica

DEMOSTRACION:

1 1 1

( 1 1 ) 1 1

( 2 3 ... 1 ) ( 0 1 ... 2 1 )

1 1 0

n n n

i i i

f i f i f i f i

f f f n f n f f f n f n

f n f n f f

j) ( 1 1 ) 1 1n

i k

f i f i f n f n f k f k

2da Regla Telescópica

Generalizada

DEMOSTRACION:

( 1 1 ) 1 1

( 1 2 ... 1 ) ( 1 ... 2 1 )

1 1

n n n

i k i k i k

f i f i f i f i

f k f k f n f n f k f k f n f n

f n f n f k f k

Calculo II 2012

5

3.-FORMULAS DE LA SUMATORIA

a) 1

( 1)

2

n

i

n ni

DEMOSTRACION:

Aplicando la regla telescópica

2 2

1

1 0n

i

i i f n f

, donde 2( ) ( 1)f i i

2 22

1

2 2 2

1

2

1 1

2

1

2

1

1

1 1 1

2 1 2

2 1 2

2 2

2

( 1)

2

n

i

n

i

n n

i i

n

i

n

i

n

i

i i n

i i i n n

i n n

i n n n

i n n

n ni

b) 2

1

1 2 1

6

n

i

n n ni

DEMOSTRACION:

3 3

1

1 0n

i

i i f n f

, donde 3( ) ( 1)f i i

3 33

1

33 2 3

1

32

1 1 1

32

1

32

1

1

1 1 1

3 3 1 1 1

3 3 1 1 1

33 1 1 1

2

33 1 1 1

2

( 1) 2 1

6

n

i

n

i

n n n

i i i

n

i

n

i

n

i

i i n

i i i i n

i i n

i n n n n

i n n n n

n n ni

Calculo II 2012

6

c)

22

3

1

1

4

n

i

n ni

DEMOSTRACION:

4 4

1

1 0n

i

i i f n f

, donde 4( ) ( 1)f i i

4 44

1

44 3 2 4

1

43 2

1 1 1 1

43

1

43

1

43

1

3

1

1 1 1

4 6 4 1 1 1

4 6 4 1 1 1

6 44 1 2 1 ( 1) 1 1

6 2

3 1 2 1 2 ( 1) 1 1

3 1 ( 1) 2 ( 1) 1 2 1

n

i

n

i

n n n n

i i i i

n

i

n

i

n

i

i

i i n

i i i i i n

i i i n

i n n n n n n n

i n n n n n n n

i n n n n n n n

i

22 1

4

n n n

d) 3 2

4

1

1 6 9 1

30

n

i

n n n n ni

DEMOSTRACION:

5 5

1

1 0n

i

i i f n f

, donde 5( ) ( 1)f i i

5 55

1

55 4 3 2 5

1

54 3 2

1 1 1 1 1

54 2 2

1

4 2 2

1

1 1 1

5 10 10 5 1 1 1

5 10 10 5 1 1 1

10 10 55 ( 1) 1 2 1 ( 1) 1 1

4 6 2

5 5 55 ( 1) 1 2 1 ( 1) 1

2 3 2

n

i

n

i

n n n n n

i i i i i

n

i

n

i

i i n

i i i i i i n

i i i i n

i n n n n n n n n n

i n n n n n n n n n

5

54 2 2

1

2 3 24 4 3

1

3 2

4

1

1

5 5 55 1 ( 1) 1 2 1 ( 1)

2 3 2

3 6 9 15 1 [ ] 1 [ ]

2 6 6 6

1 6 9 1

30

n

i

n

i

n

i

i n n n n n n n n

n n n n ni n n n n n

n n n n ni

Calculo II 2012

7

e) Si r≠1, 1

1.

1

nni

i

rar a

r

DEMOSTRACION:

0 2 2

1

( ... ) (1 ... )

1 1. .

1 1

ni n n

i

n n

ar a r r r r a r r r

r ra a

r r

f) Si r=1, 1

.n

i

i

ar n a

Cuyo resultado se encuentra demostrado en la propiedad 1.

4.-EJEMPLOS

a) Calcular la suma de los n primeros términos de: 1.6+2.7+3.8+4.9+…

Solución:

Observando los términos de la suma nos damos cuenta que el término general es ai=i(i+5);

por lo tanto, la suma se expresa como:

2

1 1

2

1 1

3 2

5 5

5

1 2 1 15

6 2

9 8

3

n n

i i

n n

i i

i i i i

i i

n n n n n

n n n

b) Calcular 1

1

2 1 2 1

n

i i i

Solución:

Expresando en fracciones parciales:

1 (2 1) (2 1)

2 1 2 1 2 1 2 1 (2 1)(2 1)

1 2 2

2 1 2 1 (2 1)(2 1)

A B A i B i

i i i i i i

A A Bi B

i i i i

Calculo II 2012

8

1 2 2 ( )i A B A B (por identidad de polinomios)

2 2 0

1

A B

A B

Entonces, 1 1

,2 2

A B

Reemplazando en la sumatoria:

1 1 1

1 11 1 1 1 1 12 2( ) ( ) ( )

2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1

n n n

i i ii i i i i i

Por la 1ra Regla Telescópica:

1

02

f n f , donde 1

2 1f i

i

1 1 1 1 1 21 1 ( )

2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1

n n

n n n n

c) Calcular 2 2 2

1

1

log 2 .log 2

n

i ii a a

Solución:

2 2 21 1

2 21 1

2 2 21

1 1

2 .log 2 . 2 2 .log 2log 2 .log 2

1 1 1 1

2 2 2 1log 2 2log 2

1 1 1 1 1 1( ) 1 .

1 1 1log 4 log 4 log 4

n n

i ii i a aa a

n n

i ia a

n

ia a a

i i

i i i i

n

i i n n

d) Calcular 2

1

ni

i

sen ax

Solución:

2 2 4 6 2

1

2 2 4 2 2

22 2 2

2

...

1 ...

1(1 )

1

ni n

i

n

nn

sen ax sen ax sen ax sen ax sen ax

sen ax sen ax sen ax sen ax

sen axsen ax tg ax sen ax

sen ax

Calculo II 2012

9

CALCULO DE LA INTEGRAL DEFINIDA MEDIANTE SUMATORIA

Sea D el conjunto de todas las particiones posibles del intervalo ,a b . Si f es una función

acotada sobre ,a b entonces existen números m y M tal que:

( ) , ,m f x M x a b

Se sabe que la siguiente desigualdad se cumple

( , ) ( , ) ( )m b a L f P U f P M b a

Para toda partición P en D, esto asegura que el conjunto numérico ( , ) /L f P P D es acotado

superiormente y el conjunto ( , ) /U f P P D es acotado inferiormente, luego el conjunto

( , ) /L f P P D tiene un supremo (la mayor cota inferior) y ( , ) /U f P P D tiene un ínfimo

(mínima cota superior) con estos valores supremo e ínfimo daremos la siguiente definición:

1. DEFINICION:

Si f es una función acotada en ,a b , al número sup ( , ) /L f P P D se llama integral inferior

de f en ,a b y se indica.

( ) sup ( , ) /

b

a

f x dx L f P P D = integral inferior de f desde a hasta b.

Al número inferior ( , ) /U f P P D se llama integral superior de f en ,a b y se indica

( ) inf ( , ) /

b

a

f x dx U f P P D = integral superior de f desde a hasta b.

En muchas aplicaciones del Cálculo integral es preferible definir la integración como una

sumatoria. De hecho, el Cálculo integral se inventó con el fin de calcular el área de las superficies

limitadas por curvas, suponiéndose la superficie dividida en “un número infinito de partes

infinitamente pequeñas que se llama elementos, siendo la suma de las áreas de todos estos

elementos el área buscada”. Históricamente, el signo integral no es otra cosa que la “S” larga,

empleada por los primeros autores para indicar la palabra suma.

Esta nueva definición, que se desarrollara en el presente informe, es de importancia fundamental,

y es indispensable comprender a fondo lo que se quiere decir, para que podamos aplicar el Cálculo

integral a los problemas prácticos.

A. Teorema fundamental del Cálculo integral:

Si ( )x es la derivada de ( )f x , se sabe que el valor de la integral definida

( ) ( ) ( )

b

a

x dx f b f a ………. (1)

Calculo II 2012

10

Dada el área de la superficie limitada por la curva ( )y x , el eje de las x y las ordenadas

correspondientes a x a y x b .

Ahora bien, a propósito de esta área hagamos la siguiente construcción. Dividamos el

intervalos desde x a hasta x b en un número “n” de partes iguales, tracemos las

ordenadas en los puntos de división y completemos los rectángulos trazando líneas

horizontales por las extremidades de las ordenadas, como se indica en la figura (1). Es

evidente que la suma de las áreas de estos “n” rectángulos (el área sombreada) es un valor

aproximado del área que consideramos. Además es también evidente que el límite de la

suma de las áreas de estos rectángulos, cuando se aumenta indefinidamente su número

“n”, será igual al área bajo la curva.

Ahora efectuamos la siguiente construcción más general. Dividimos el intervalo en “n”

partes, que no serán necesariamente iguales, y levantemos ordenadas en los puntos de

división. Elijamos de cualquier modo un punto dentro de cada parte,

Figura (1) Figura (2)

Levantemos ordenadas en estos puntos y tracemos por sus extremidades líneas

horizontales de manera de formar rectángulos, como se indica en la figura (2). Entonces,

como antes, la suma de las áreas de estos “n” rectángulos (el área sombreada) es igual,

aproximadamente, al área bajo la curva; y el límite de esta suma cuando “n” tiende al

infinito y cada parte tiende a cero es, precisamente, el área bajo la curva. De estas

consideraciones vemos que la integral definida (1) puede mirarse como el límite de una

suma. Ahora formulemos este resultado.

Figura (3)

Designemos las longitudes de las divisiones sucesivas por

1 2 3, , ,..., .nx x x x

Designemos las abscisas de los puntos elegidos en cada una de las divisiones por

Calculo II 2012

11

1 2 3, , ,..., .nx x x x

Entonces las ordenadas de las curvas en esos puntos son

1 2 3( ), ( ), ( ),..., ( ).nx x x x

Las áreas de los rectángulos sucesivos son, evidentemente,

1 1 2 2 3 3( ) , ( ) , ( ) ,..., ( ) .n nx x x x x x x x

Por tanto, el área bajo la curva es igual a

1 1 2 2 3 3lim[ ( ) ( ) ( ) ... ( ) ].n nn

x x x x x x x x

Pero según (1) el área bajo la curva = ( ) .b

ax dx

Luego,

(A) 1 1 2 2 3 3( ) lim[ ( ) ( ) ( ) ... ( ) ].b

n na n

x dx x x x x x x x x

Esta igualdad se ha deducido sirviéndonos de la noción de área.

La intuición nos ha ayudado en establecer el resultado. Ahora consideremos (A)

simplemente como un teorema de Análisis matemático, que se puede formular como

sigue:

Teorema Fundamental del Cálculo integral.- Sea ( )x una función continua en el intervalo

desde x a hasta x b . Dividiéndose este intervalo en “n” subintervalos cuyas

longitudes son 1 2, ,..., ,nx x x y elijándose puntos, uno en cada subintervalo, que

tengan las abscisas 1, 2,..., ,x x xn respectivamente. Considere la suma

(2) 1 1 2 2

1

( ) ( ) ... ( ) ( ) .n

n n i i

i

x x x x x x x x

Entonces, el valor límite de esta suma cuando “n” tiende al infinito, y cada subintervalo

tiende a cero, es igual al valor de la integral definida

( ) .b

ax dx

La igualdad (A) se puede abreviarse como sigue:

(3) 1

( ) lim ( ) .nb

i ia n

i

x dx x x

La importancia de este teorema resulta del hecho que si podemos calcular, por

integración, una magnitud que sea el límite de una suma de la forma (2).

Puede observarse que cada término de la suma (2) es una expresión diferencial, puesto

que las longitudes 1 2, ,..., ,nx x x tienden a cero. Además, cada termino se llama en

elemento de la magnitud que se trata de calcular.

La siguiente regla será muy útil en la aplicación de este teorema a los problemas prácticos.

Calculo II 2012

12

B. Regla para Aplicar el teorema Fundamental:

PRIMER PASO: se divide la magnitud buscada en partes semejantes de manera que sea

claro que el resultado deseado se encuentra tomando el límite de una suma de esas

partes.

SEGUNDO PASO: para las magnitudes de estas partes se hallan expresiones tales que su

suma sea de la forma (2).

TERCER PASO: elegidos los limites apropiados, x a y x b , se aplica el teorema

fundamental.

1

lim ( ) ( )n b

i ian

i

x x x dx

y se integra.

C. Propiedades de la Integral Definida

Si ‘f’ y ‘g’ son integrables en ,a b y ‘c’ es una constante, entonces:

( ) ( )

b b

a a

cf x dx c f x dx

[ ( ) ( )] ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

Si x está definido para x=a, entonces:

( ) 0

a

a

f x dx

Si f es integrable en ,a b , entonces:

( ) ( )

b a

a b

f x dx f x dx

Propiedad de aditividad del valor: si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos

por a, b y c entonces

( ) ( ) ( )

c b c

a a b

f x dx f x dx f x dx

Si en el intervalo [a,b] la función f es mayor o igual que la función g, entonces:

( ) ( )

b b

a a

f x dx g x dx

Si ( ) 0f x , x ,a b ,entonces:

( ) 0

b

a

f x dx

Calculo II 2012

13

Si 0 ( ), ,f x x a b

0 ( )

b

a

f x dx

Si en el intervalo ,a b la función ‘f’ es mayor que la función ‘g’, entonces:

( ) ( )

b b

a a

f x dx g x dx

Si ( ) 0, ,f x x a b , entonces:

( ) 0

b

a

f x dx

Si 0 ( ), ,f x x a b , entonces:

0 ( )

b

a

f x dx

Si f es una función par sobre ,a b , ( ) ( ), ,f x f x x a b , y ,a b es un intervalo

simétrico respecto del origen, entonces:

0

( ) 2 ( )

b b

a

f x dx f x dx

Si f es una función impar sobre ,a b , ( ) ( ), ,f x f x x a b ,y ,a b es un intervalo

simétrico respecto al origen, entonces:

( ) 0

b

a

f x dx

( ) ( )

bb k

a ka

f x dx f x k dx

Si f es una función continua en el intervalo ,a entonces:

0 0

( ) ( )

a a

f x dx f a x dx

Calculo II 2012

14

Ejemplo 1:

Halle:

13

2x dx

que se muestra en la figura4

Figura4

Como 3( )f x x es continua en el intervalo [-2,1] sabemos que es integrable.

Dividimos el intervalo en ‘n’ subintervalos de igual longitud 1 ( 3

i

b ax

n n n

Y para el cálculo de la integral consideremos el extremo derecho de cada intervalo

32i

it

n

2 31

3 3

2 321 1 1

3 3 3 36 54 27lim ( ) lim ( 2 ) lim ( 8 )

n n n

i in n n

i i i

i i i ix dx f t x

n n n n n n

2 21

3

2 32

3 36 ( 1) 54 ( 1)(2 1) 27 ( 1)lim [ 8 ]

2 6 4n

n n n n n n nx dx n

n n n n

13

2 22

54 81 27 81 81 81 81 15lim[ ] 24

4 2 4 4 4nx dx

n n n n n

13

2

15

4x dx

Observación: Esta integral definida es negativa, no representa el área graficada. Las integrales

definidas pueden ser positivas, negativas o nulas.

Ejemplo 2:

Hallar el área limitada (A) limitada por la gráfica f(x)=x+1 en el intervalo [0,4].

Solución:

Dado que a=0 y b=4, se tiene que la longitud de cada subintervalo es:

4 0 4x

n n

Sustituyendo en la siguiente formula

Calculo II 2012

15

1

lim ( ).n

nk

b a b aA f a k

n n

Se tiene:

1 1

4 4 4 4lim (0 ). lim ( )

n n

n nk k

A f k fn n n n

1 1 1 1

4 4 4 4lim ( 1) 1

n n n n

nk k k k

kf k

n n n n

21

4 4 ( 1) 16 ( 1)lim 4

2 2

n

nk

n n n nn

n n n

1 1lim 8 1 4 8lim 1 4 8 4 12n nn n

Por lo tanto, A=12u²

Figura5

Grafica realizada en Logger Pro 3.2.1 Español (figura5)

Ejemplo 3:

Hallar: 2

3

1

3x x dx

Como 3( ) 3f x x x es continua en el intervalo [-1,2] sabemos que es integrable.

Dividimos el intervalo en ‘n’ subintervalos de igual longitud ( 3

i

b ax

n n n

Y para el cálculo de la integral consideremos el extremo derecho de cada intervalo

3i

it

n

3

23 3 2

3 21 1 1

3 3 3 3 27 27 123 lim ( ) lim ( ) 1 3 lim ( 1)

n n n

n n ni i i

i i ix x dx f ti xi i i

n n n n nn n

2 2

23

3 2

3 27 ( 1) 12 ( 1) 27 ( 1)(2 1)3 lim [ ]

24 6n

n n n n n n nx x dx n

n nn n

2

3 27 1 9 1 1 1 573 lim3[ 1 1 2 6 1 1]

4 2 4nx x dx

n n n n

Calculo II 2012

16

Ejemplo 4:

Calcular el área de la región sombreada acotada por la curva,

2

2

, 3( )

6 , 3

x xf x

x x x

el eje X y

las rectas x=1, x=7. De la figura6

Figura6

Calcularemos el R:

3 1 2x

n n

2iti

n

2

2

2

2 2 4 41 1 1f i i i i

n n n n

2

21

4 4 2lim 1

n

ni

i in nn

2 3

2 8 ( 1) 8 ( 1)(2 1)lim[ ]

2 6n

n n n n n n

n n n

1 4 1 1 26lim[2 4 1 1 2 ]

3 3n n n n

Calcularemos el R1:

6 3 3x

n n

33

iti

n

2

2

2

3 2 2 93 6 1 1 9f i i i i

n n n n

entonces se tiene:

22

2 31 1

9 3 1lim 9 27 lim

n n

n ni i

ii

n nn n

Calculo II 2012

17

1 ( 1)(2 1) 1 1 1lim[1 ] lim[1 (1 ) 2 ] 18

3 6 6n n

n n n

n n

Entonces el área de la región sombreada será R+R1 lo que igual a 80

3

Ejemplo 5:

Hallar 1

0( )senh x dx

Como ( ) ( )f x senh x es continua en el intervalo [0,1] sabemos que es integrable.

Dividimos el intervalo en ‘n’ subintervalos de igual longitud 1 1b axi

n n n

Y para el cálculo de la integral consideremos el extremo derecho de cada intervalo

iti

n

( )i

senhn

1

1lim ( )

n

ni

isenh

n n

1 1 1cosh( 1) cosh( ) cosh 1

1lim

12 ( )

n

n nn n n

nsenh

n

1 1cosh(1 ) cosh(1) cosh 1

2cosh(1) 2lim cosh(1) 1

1 2( )

21

n

n n

senhn

n

Calculo II 2012

18

CÁLCULO DE ÁREAS USANDO SUMATORIAS

1.-INTRODUCCIÓN

En este capítulo desarrollaremos el cálculo de áreas de regiones planas usando aproximaciones

mediante la sumatoria de áreas de rectángulos, para lo cual es necesario hacer uso de algunos

conocimientos previos al tema, los cuales se desarrollará a continuación.

2.-Partición de un intervalo

Dado un intervalo cerrado ,a b de ℝ, se llama partición de ,a b a cualquier conjunto finito

0 1, ,..., nP x x x de puntos de ,a b tal qué 0 1 ... na x x x b .Se denotará por ,P a b

al conjunto de todas las particiones de ,a b .

Entonces podemos decir que 1,k kx x es, para 1, 2, . . . , k n , el sub intervalo k-ésimo de la

partición y llamamos amplitud del sub intervalo a :

1k k kx x x

(Propiedad 1)

Se llama diámetro de la partición a la mayor de las amplitudes, es decir:

1 2max , ,..., nP x x x , 1, 2, . . . , k n .

(Propiedad 2)

3.-Refinamiento de una partición:

Dado una partición de ,a b esta se puede hacer más fina usando puntos. Si 1P se obtiene de P

añadiendo por lo menos un punto, entonces 1P P .

Al número 1max / 1,2,...,i iP x x i n le llamamos norma o diámetro de3 la partición P y

que es la mayor de las longitudes i x (Propiedad 3).

Ejemplo 1:

Para el intervalo 0,4 los siguientes conjuntos representan particiones:

1

2

3

4

0,1,2,3,4

0,1,3 / 2,4

0,2,5 / 2,3,7 / 2,4

0,2 / 3,1,3 / 2,2,5 / 2,4

P

P

P

P

Siendo 4P un refinamiento de 1P .

Ejemplo 2:

Dado un intervalo 0,4 y la partición 0,2,5 / 2,3,7 / 2,4P hallar la norma de la partición P .

Calculo II 2012

19

Calculamos las longitudes de i x :

1

2

3

4

5

2 0 2

5 12

2 2

5 13

2 2

7 13

2 2

7 14

2 2

x

x

x

x

x

Luego, nos damos cuenta que la norma de la partición P es: 2P .

4.-Área de una región plana por sumatoria de rectángulos

“Si en cualquier figura delimitada por rectas y por una curva se inscriben y circunscriben

rectángulos en número arbitrario, y si la anchura de tales rectángulos se va disminuyendo a la par

que se aumenta su número hasta el infinito, afirmo que las razones entre las figuras inscrita y

circunscrita y la figura curvilínea acabarán siendo razones de igualdad”´(Isaac Newton).

i. Sumas inferiores y sumas superiores

Consideremos una región plana acotada por la gráfica de una función y f x continua y no

negativa (ver fig. 1) la región está limitada por el eje x y las rectas ,x a x b .

Fig. 1

Para aproximar su área comenzamos dividiendo el intervalo ,a b en sub intervalos, cada uno de

longitud b a

xn

(Propiedad 4),(ver fig. 2), sus puntos terminales son:

1 2 ...a x a x a x a n x

(Propiedad 5)

Calculo II 2012

20

Fig. 2

Por ser f continua, el teorema de los valores extremos verifica asegura la existencia de un mínimo

y de un máximo de f x en cada sub intervalo.

f m =valor mínimo de f x en el i-esimo sub intervalo.

f M = valor máximo de f x en el i-esimo sub intervalo.

Ejemplo 3:

Calcular las sumas inferiores y superiores para la región limitada por la gráfica de 2f x x y el

eje .

Solución:

a) El primer paso es realizar la partición del intervalo 0,2 en sub intervalos, cada uno de

longitud.

2 0 2b ax

n n n

Como f es creciente en el intervalo 0,2 , en cada sub intervalo el valor mínimo de f

ocurre en el punto terminal de la izquierda y el máximo en el punto terminal de la

derecha.

b) El segundo paso es calcular los puntos terminales en ambos lados:

Puntos terminales izquierdos: 2 12

0 1i

im i

n n

Puntos terminales derechos: 2 2

0i

iM i

n n

c) El tercer paso es usar los valores de ambos lados.

*Usando los de la izquierda, tenemos la siguiente suma inferior:

Calculo II 2012

21

1 1

2 1 2n n

i

i i

is n f m x f

n n

2

1

2 1 2n

i

i

n n

2

2

31

82 1

n

i

i in

2

31 1 1

82 1

n n n

i i i

i in

3

1 2 1 182

6 2

n n n n nn

n

3 2

3

42 3

3n n n

n

2

8 4 4

3 3n n

* Usando los de la derecha, tenemos la siguiente suma superior:

1 1

2 2n n

i

i i

iS n f M x f

n n

2

1

2 2n

i

i

n n

2

2

31

8n

i

in

3

1 2 18

6

n n n

n

3 2

3

42 3

3n n n

n

2

8 4 4

3 3n n

La conclusión que se puede rescatar de este ejemplo es que se observa claramente algunas

propiedades de las sumas inferiores y superiores.

a. Para cualquier valor de n la suma inferior es menor o igual que la suma superior.

2 2

8 4 4 8 4 4

3 3 3 3s n S n

n n n n

(Propiedad 6)

Calculo II 2012

22

b. La diferencia entre estas disminuye conforme n crece. De hecho, si tomamos el límite

n , tanto las sumas inferiores como las sumas superiores tienden a 8

3.

2

8 4 4 8lim lim

3 3 3n ns n

n n

Límite de las sumas inferiores

2

8 4 4 8lim lim

3 3 3n nS n

n n

Límite de las sumas superiores

ii. Límite de las sumas inferiores y superiores

Sea f contínua y no negativa en un intervalo ,a b . Los límites cuando n , de las sumas

inferiores y de las sumas superiores son idénticos .Es decir:

1

lim limn

in n

i

s n f m x

1

limn

in

i

f M x

1

limn

ni

S n

(Propiedad 7)

Con b a

xn

donde ,i if m f M son los valores mínimo y máximo de f en el

i ésimo sub intervalo.

Ahora supongamos que estamos interesados en calcular el área que esta debajo de una curva

y f x en el intervalo cerrado ,a b (para facilitar el ejemplo, consideremos que f es

positiva). Una forma sencilla de aproximar dicha área es dividir el intervalo ,a b en pequeños sub

intervalos y sumar las áreas de los rectángulos que tienen como base los sub intervalos y como

altura tienen el valor de la función f en un punto de dicho sub intervalo.

Nota: cuanto más pequeña sea la base de los rectángulos mejor será la aproximación.

iii. Definición de áreas mediante rectángulos

Sea f una función continua no negativa en el intervalo ,a b .El área de la región limitada por la

gráfica de f ,el eje x a y x b es la siguiente:

1i i ix c x 1

limn

in

i

A f c x

Calculo II 2012

23

1i i ix c x

(Propiedad 8)

Donde b a

xn

(ver fig. 3).

Fig. 3

La aproximación para calcular el área de este tipo de regiones se puede hallar usando una

serie de rectángulos inscritos.

Si A es el área de la región pedida, se cumple que :

1

n

i i

i

A f c x

Aproximación por defecto

1

limn

i in

i

A f c x

Valor exacto

En forma similar se puede aproximar el área por exceso , usando la serie de rectángulos

circunscritos.

1

n

i i

i

A f c x

Aproximación por exceso (Propiedad 8)

1

limn

i in

i

A f c x

Valor exceso (Propiedad 9)

5.-EJEMPLOS:

1. Hallar el área de la región A acotada por la gráfica de 3

42

y x al eje X , y a las rectas

0x , 4x

3( ) 4

2y f x x Donde 0,4x

Primero calculamos la partición del intervalo 0,4

4 0 4

xn n

4x

n

Calculo II 2012

24

Luego calculamos el punto terminal ( )ic

ic a i x 4 4

0ic i in n

Como:

3( ) 4

2f x x

3 4( ) ( ) 4

2i

if c

n

6( ) 4if c i

n

Ahora procedemos a hallar el área de la región acotada

1

lim ( )n

in

i

Area f c x

21 1

2 21 1

2

6 4 24 16lim 4 lim

24 124 16 16lim lim

2

1lim 12 1 16

28

n n

n ni i

n n

n ni i

n

A i in n n n

n n nA i

n n n n

An

A u

2. Hallar el área de la región A comprendida entre 2y x , 24 3y x

f(x)=x^2

f(x)=4-3x^2

Relleno 1

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

a

f(x)=3x/4+4

Relleno 1

x=4

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

x

y

A

Calculo II 2012

25

2 2 2( ) (4 3 ) 4 4y f x x x x Donde 1,1x

Primero calculamos: 1 ( 1) 2

xn n

Ahora: ic a i x 2

1ic in

Y como: 2( ) 4 4f x x 2 2

2

2 16 16( ) 4 4( 1)if c i i i

n n n

Entonces recién ahora procedemos a hallar el área de la región acotada

1

lim ( )n

in

i

Area f c x

2

21

2

3 21

2

3 21 1

3 2

2

16 16 2lim ( )

32 32lim ( )

32 32lim

32 ( 1)(2 1) 32 ( 1)lim

6 2

16 1 1 1lim (1 )(2 ) 16(1 )

3

16

3

n

ni

n

ni

n n

ni i

n

n

A i in n n

A i in n

A i in n

n n n n nA

n n

An n n

A u

3. Hallar el área de la región A acotada por la gráfica de 2 36y x x x al eje y a las

rectas 1, 3x x

f(x)=6x+x^2-x^3

Relleno 1

x=-1; y<0 and y>-4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

a

Calculo II 2012

26

2 3( ) 6y f x x x x Donde 1,3x

Primero calculamos: 3 ( 1) 4

xn n

Ahora: ic a i x 4

1ic in

Y como: 2 3( ) 6f x x x x

2 3 3 2

3 2

4 4 4 64 64 4( ) 6( 1) ( 1) ( 1) 4if c i i i i i i

n n n n n n

Entonces recién ahora procedemos a hallar el área de la región acotada

1

lim ( )n

in

i

Area f c x

3 2 3 2

3 2 4 3 21 1 1 1 1

2 2

4 3 2

64 64 4 4 256 256 16 16lim ( 4) lim[ ]

256 ( 1) 256 ( 1)(2 1) 16 ( 1) 16lim[ ]

4 6 2

1 128 1 1 1lim[ 64(1 ) (1 )(2 ) 8(1 ) 16]

3

n n n n n

n ni i i i i

n

n

A i i i i i in n n n n n n n

n n n n n n n nA

n n n n

An n n n

240

3A u

4. Hallar el área de la región A acotada por la gráfica de 3y x al eje y a las rectas

0, 4x x

f(x)=(x^2)/9

Relleno 1

f(x)=4

x=6; y<4 and y>0

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

A

f(x)=3sqrt(x)

Relleno 1

x=4; y<6 and y>0

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

x

y

a

X

Calculo II 2012

27

Para hacerlo más fácil elevamos al cuadrado a la función y tomamos como variable independiente

a y es decir: 2

( )9

yf y y como vemos en el grafico #2 la región está limitada entre las curvas

2

( )9

yf y , ( ) 4g y y las rectas 0, 6y y

Por ende mí ( ) [ ( ) ( )]i i if c g c f c

Primero calculamos: 6 0 6

yn n

Ahora: 6

0ic a i x in

Y como: 2

( )9

yf y y ( ) 4g y 2

2

4( ) 4, ( )i ig c f c i

n

Entonces recién ahora procedemos a hallar el área de la región acotada

1

lim [ ( ) ( )]n

i in

i

Area g c f c y

2

21

2

31 1

3

2

4 6lim [4 ]

24 24lim[ ]

24 24 ( 1)(2 1)lim[ ]

6

1 1lim[24 4(1 )(2 )]

16

n

ni

n n

ni i

n

n

A in n

A in n

n n n nA

n n

An n

A u

5. Dada la región A acotada por la curvas 2( 4)

4

xy

,

2( 4)

4

xy

,

2( 4)

4

xy

,

2( 4)

4

xy

hallar su área.

f(x)=((x-4)^2)/4

Relleno 1

f(x)=((x+4)^2)/4

Relleno 2

f(x)=-((x-4)^2)/4

Relleno 3

f(x)=-((x+4)^2)/4

Relleno 4

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

a1 a2

a3a4

a=a1+a2+a3+a4

Y

Calculo II 2012

28

Si observamos la gráfica podemos percibir que existe simetría a los ejes y al origen de

coordenadas, entonces encontramos el área de una región y la multiplicamos por cuatro.

2( 4)( )

4

xy f x

Donde [0,4]x

Primero calculamos: 4 0 4

xn n

Ahora: 4

0ic a i x in

Y como: 2( 4)

( )4

xf x

2

2

2

4( 4)

4 8( ) 4

4i

inf c i i

n n

Entonces recién ahora procedemos a hallar el área de la región acotada

2

1

4 4lim ( )n

in

i

Area A f c x

2 2

2 3 21 1 1 1

3 2

4 8 4 16 32 164lim ( 4) 4lim[ ]

16 ( 1)(2 1) 32 ( 1) 16 8 1 1 14lim[ ] 4lim[ (1 )(2 ) 16(1 ) 16]

6 2 3

n n n n

n ni i i i

n n

A i i i in n n n n n

n n n n n nA

n n n n n n

264

3A u

6. Hallar el área de la región A acotada por la gráfica de 2 41 2y x x al eje , al eje Υ, y

a la recta 1x

f(x)=1+x^2+2x^4

Relleno 1

x=1; y<4 and y>0

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x

y

a

Calculo II 2012

29

2 4( ) 1y f x x x Donde [0,1]x

Primero calculamos: 1 0 1

xn n

Ahora: 1

0ic a i x in

Y como: 2 4( ) 1f x x x

2 4

( ) 1 2i

i if c

n n

Entonces recién ahora procedemos a hallar el área de la región acotada

1

lim ( )n

in

i

Area f c x

2 4

1

2 4

2 41

3 2

3 5

2 3

1lim 1 2

1lim 2

1 1 ( 1)(2 1) 2 ( 1)(6 9 1)lim

6 30

1 1 1 1 1 9 1 1lim 1 1 2 1 6

6 15

n

ni

n

ni

n

n

i iA

n n n

i iA

n n n

n n n n n n n n nA

n n n

An n n n n n

226

15A u

7. Dada la región A acotada por las curva 2

2

, 2

4 , 2

x xf x

x x x

,el eje y las rectas

1, 6x x , calcular su área.

f(x)=x^2

Relleno 1

f(x)=4x-x^2

Relleno 2

Relleno 3

x=2; y<4 and y>0

x=6; y<0 and y>-12

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

a1

a2

a3

Calculo II 2012

30

Según la gráfica: 1 2 3A A A A

a) Si 22x y x

Primero calculamos: 2 1 1

xn n

Ahora: 1

1ic a i xn

Y como: 2f x x 2

1i

if c

n

1

1

lim ( )n

in

i

A f c x

2 2

1 3 21 1

1 3 2

2

1

1 1 2lim 1 lim

1 (2 1) 2 11lim

6 2

7

3

n n

n ni i

n

i i iA

n n n n n

n n n n nnA

n n n

A u

b) Si 22 4x y x x

Primero calculamos: 4 2 2

xn n

Ahora:

22ic a i x i

n

Y como: 2

2 2 24 4 2 2i i i

i if x f c c c

n n

2

1

lim ( )n

in

i

A f c x

2 2

2 31 1

2 3

2

2

2 2 2 8 8lim 4 2 2 lim

8 1 2 18 4 1 1lim lim 8 1 2

6 3

16

3

n n

n ni i

n n

i i iA

n n n n n

n n nnA

n n n n

A u

c) Como 3A está debajo del eje , se toma su valor absoluto.

Primero calculamos:6 4 2

xn n

Ahora: 2

4ic a i x in

Calculo II 2012

31

Y como: 2

2 2 24 4 4 4i i i

i if x f c c c

n n

3

1

lim ( )n

in

i

A f c x

2

3

1

2

3 2 31

2

3 2 31 1

3 2 3

2

3

2 2 2lim 4 4 4

16 8lim

16 8lim

16 1 8 1 2 1lim

2 6

32

3

n

ni

n

ni

n n

ni i

n

i iA

n n n

i iA

n n

i iA

n n

n n n n nA

n n

A u

Entonces el área pedida es:

1 2 3

2

7 16 32

3 3 3

55

3

A A A A

A u

8. Calcular el área de la región A limitada por las gráficas : 2

x

y e , al eje y las rectas

0, 1x x

f(x)=exp(x/2)

Relleno 1

x=1; y<1.65 and y>0

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

x

y

A

Calculo II 2012

32

2( )x

y f x e Donde 0,1x

Primero calculamos: 1 0 1

xn n

Ahora: ic a i x

1 10ic i i

n n

Y como: 2( )x

f x e 2( )i

nif c e

Entonces recién ahora procedemos a hallar el área de la región acotada

1

lim ( )n

in

i

Area f c x

Por propiedad telescópica de la sumatoria:

1

2 2

1

0i in

n n

i

e e f n f

1 1 1

2 2 2 2

1

1i nn

n n n n

i

e e e e

1 1

2 2

2

11 2

11

1

n

in

n

i n

e e

en

e n

1 1

2 2

2

11 2

1

lim lim

1

n

in

n

n ni n

e ei

A en

e n

Si 1

, 0z n zn

1

2 2

/2 02

1

2 lim2

1

z

zz

e ez

A

e

Calculo II 2012

33

Aplicando la regla de L´Hospital:

0

lim 11

z

zz

ze

e

Aplicamos esta igualdad a nuestra ecuación:

21 1

22 2

/2 02

22 1 lim 2 1

1

z

zz

ze

A e e u

e

9. Calcular el área de la región bajo la gráfica de cosy x en ,2 2

( ) cosy f x x Donde ,2 2

x

Primero calculamos: ( )

2 2xn n

Ahora: ic a i x 2

ic in

Y como: ( ) cosf x x ( ) cos2

if c in

f(x)=cos(x)

Relleno 1

-4π/5 -7π/10 -3π/5 -π/2 -2π/5 -3π/10 -π/5 -π/10 π/10 π/5 3π/10 2π/5 π/2 3π/5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x

y

Calculo II 2012

34

Entonces recién ahora procedemos a hallar el área de la región acotada

1

lim ( )n

in

i

Area f c x

1

lim cos2

n

ni

A in n

Donde cos2

i sen in n

y por telescópica obtenemos:

1 cos cos cos 1

lim

2

1 cos cos cos 1

lim

2

n

n

nn

n n nA

nsen

n

nn

n n nA

senn

n

21 1 1 12

2A u

Calculo II 2012

35

METODOS NUMERICOS PARA CALCULAR INTEGRALES DEFINIDAS

1.-Metodo Rectángulo

Si una función ƒ es continua en el intervalo *ɑ,Ƅ+ , entonces ƒ es integrable en [ɑ,Ƅ+ . Sin

embargo, de la proposición ya mencionada son sumamente generales, no se tiene garantía

de que, al aplicar los métodos usualmente conocidos para resolver integrales, se pueda

encontrar la antiderivada de una función ƒ(x) cualquiera, necesariamente para obtener la

integral definida. Para poder calcular estas dichas integrales se usa una de las técnicas

básicas que permiten resolver dicha situación, a través de la denominada “INTEGRACION

APROXIMADA, POR EL METODO DE LOS RECTANGULOS”.

Método Rectangular: consiste en dividir el área que se desea encontrar en n sub-áreas en

forma de rectángulos. Para el desarrollo del modelo se toman como referencia las

siguientes variables:

n : Numero de sub-áreas en las cuales se divide el área a calcular

ó dx : Ancho o base de cada sub-área

li ó a : límite inferior definido para el cálculo del área

ls ó b : límite superior definido para el cálculo del área

Integración numérica de una función por el método de rectángulos:

La integral definida entre los puntos a y b de una función continua y acotada ƒ(x) representa el

área comprendida debajo de esa función. En ocasiones es necesario calcular integrales (áreas) de

modo numérico, es decir, sin conocer la integral explicita de la función ƒ(x). Existen varios posibles

métodos para calcular esta área. Quizás el más sencillo sea sustituir el área por un conjunto de n

sub-áreas donde cada sub-área semeja un pequeño rectángulo elemental de base dx = (b-a)/n y

altura h, el área seria:

Figura (1)

Calculo II 2012

36

De la Figura (1)

Área=h* donde h es el valor de la función calculada en el punto medio del área, ósea

/ 2f a dx y ó dx es el ancho definido para dicha sub-área. Nótese que entre más grande

es dx entonces mayor será el área que se quita y pone al área real que se desea calcular (área

colocada entre la función y las línea azul y área quitada entre la función y la línea roja). Si se toma

li como límite inferior definido para el cálculo de la integral entonces el punto sobre el eje x para el

cálculo de h será:

/ 2li x .

Teniendo en cuenta lo anterior el área será:

* ( / 2)area x f li dx .

Si el área que se desea calcular se divide entre n sub-áreas, donde cada una de ellas representa un

pequeño rectángulo, entonces el área total será:

Área de primer rectángulo:

1 1 1* *A h dx h x

Donde 1h será la función evaluada en la mitad de la sección del primer rectángulo, se podría decir

entonces en términos generales que 1h es igual a la función evaluada en

1x , 1 1( )h f x

Teniendo en cuenta la anterior se deduce que 1 ( / 2)x li dx y por lo tanto el área de ese

primer rectángulo será:

1 1* ( ) * ( )2

xA x f x x f li

Del mismo modo se puede Decir que el área del segundo rectángulo es:

2 2/ ( ) * ( 3* )2

xA x f x x f li

Área del tercer rectángulo es:

3 3* ( ) * ( 5* )2

xA x f x x f li

Área del i-esimo rectángulo es:

* ( ) * ( (2* 1) )2

i i

xA x f x x f li i

Calculo II 2012

37

Área total que será la sumatoria de todas las áreas parciales y quedara así:

1

( ) * ( (2* 1)* )2

ls n

t

ili

xA f x dx x f li i

(1)

La representación gráfica de esta forma de aproximar la integral se presenta en la Fig.2. Resulta

que si n se hace muy grande ( dx muy pequeño) el error Sera pequeño.

2.- Método del trapecio

A menudo es necesario evaluar la integral definida de una función que no tiene una antiderivada

explicita, o cuya antiderivada no es fácil de obtener, por eso el método para obtener una integral

definida simple recibe el nombre de cuadratura numérica y emplea una suma de tipo:

1

( )n

i i

i

f c x

La regla del trapecio nos da se aplica cuando el f(x) es una función continua en [a, b] la integral

definida está dada por:

01

( ) lim ( )nb

i ia x

i

f x dx f c x

Para aproximar la medida del área de una región, usaremos trapecios en vez de rectángulos, para

este caso también usaremos particiones regulares y evaluaremos la funciones en los puntos cuyas

distancias sean las mismas

Figura 2

Calculo II 2012

38

En la integral definida b

af x dx , al intervalo [a, b] dividiremos en n sub-intervalos es entonces

que; X1 = a , X2 =a + ∆x , ………. , Xn = b :

Luego la integral definida b

af x dx expresaremos como la suma de n integrales definidas:

1 2 1

1 2 1.....

b X X Xn X

a a X Xn Xnf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

La integral 1X

af x dx , da la medida del área de la región acotada por las rectas X=a, X=X1 y la

porción de la curva 1PoP . Luego a la integral definida 1X

af x dx , se la puede aproximar por la

medida del trapecio formado por las rectas X=a, X=X1, 1PoP y el eje X donde la medida de este

trapecio es:

1

12

f Xo f X x

Teniendo en cuenta que las demás integrales se pueden aproximar la medida del área de un

trapecio; entonces para la n-esima integral se tiene:

1

11

2

Xi

Xif X dx f Xi f Xi X

Calculo II 2012

39

Por lo tanto para la integral definida b

af x dx , se tiene:

2 1 2 2 .... 2 1

2

b

a

Xf x dx f Xo f X f X f Xn f Xn

Esta sería la regla del trapecio:

Una integral definida por la regla del trapecio tiene las siguientes características:

Exactitud

Error

2.1.- Exactitud.- la exactitud de una integral definida por la regla del trapecio se obtiene cuando ∆X

se aproxima a cero (∆X0) y n crece sin límite, el límite de la aproximación por la regla del

trapecio es el valor exacto de la integral definida; es decir:

1

0 0 01

11 2 ....

2

1

2

1lim lim lim

2

n

i

n

x x xi

T f X f X f Xn X f Xo f Xn X

T f Xi X f a f b X

T f Xi X f a f b X

Por lo tanto la exactitud queda definido como:

0

limb

axf x dx

2.2.- Error.- Al aplicar la ley de los trapecios es posible que se cometan errores, que denotaremos

por “ε” y que pueden ser hallados mediante la siguiente condición:

Sea f una función continua en el intervalo [a,b+ y que, f‘ , f‘‘ existen en *a,b+:

Si:

b

Ta

f x dx T

Donde T es el valor aproximado de b

af x dx , que se encontró mediante la Regla del Trapecio,

entonces existe un número “ŋ” en *a, b+ tal que:

2''1

12T b a f X

Calculo II 2012

40

3.- Método de Simpson

Otro método para aproximar el valor de una integral definida es proporcionado por la regla de

Simpson también conocida con el nombre de regla parabólica. Para una partición dada del

intervalo cerrado [a,b], la regla de Simpson usualmente da una aproximación mejor que la regla

trapecial. Sin embargo, la regla de Simpson requiere más esfuerzo para ser aplicada. En la regla

trapecial los puntos sucesivos en la gráfica de )(xfy son conectados por segmentos de líneas

rectas, mientras que en la regla de Simpson los puntos se conectan por segmentos de parábolas.

La regla de Simpson se divide en dos:

3.1.-Regla de Simpson 1/3

Como ya mencionamos anteriormente la regla de Simpson nos da una aproximación mejor que

la regla del trapecio ya que al utilizarla nos da un resultado con menor error, pero antes de

desarrollar la regla de Simpson es necesario conocer y demostrar el siguiente teorema.

3.1.1.-Teorema 1: Si ),,( 000 yxP ),( 111 yxP y ),( 222 yxP son tres puntos no colineales en la

parábola que tiene la ecuación CBxAxy 2 , donde ,00 y ,01 y ,02 y hxx 01

y hxx 202 , entonces la medida del área de la región acotada por la parábola , el eje x y

las rectas 01 xx y 12 xx está dada por:

)4(3

1210 yyyh ………….…(1)

DEMOSTRACIÓN: La parábola cuya ecuación es CBxAxy 2 tiene un eje vertical (ver

Fig. 1)

Fig. 1: parábola acotada

),( 00 yx

0P

),( 11 yx

1P

),( 22 yx

2P

h h

x

y

Calculo II 2012

41

La figura muestra la región acotada por la parábola, el eje x y las rectas 01 xx y 12 xx .

Ya que 0P , 1P y 2P son puntos en la parábola, sus coordenadas satisfacen la ecuación de la

parábola. Así cuando reemplazamos 1x por hx 0 y 2x por hx 20 tenemos:

CBxAxy 0

2

00

ChxBhhxxAChxBhxAy )()2()()( 0

2

0

2

00

2

01

ChxBhhxxAChxBhxAy )2()44()2()2( 0

2

0

2

00

2

02

Por lo tanto:

ChxBhhxxAyyy 6)66()8126(4 0

2

0

2

0210 ……....(2)

Si S (en unidades cuadradas) es el área de la región acotada por la parábola, entonces S puede

ser calculada por el límite de una suma de Riemann, de la siguiente manera:

xCBASn

i

iix

1

2

0)(lim

Aplicamos el límite:

hx

xdxCBxAxS

220

0

)(

hx

x

CxBxAxS

2

230

02

1

3

1

)2

1

3

1()2()2(

2

1)2(

3

10

2

0

3

00

2

0

3

0 CxBxAxhxChxhxAS

ChxBhhxxAhS 6)66()8126(3

10

2

0

2

0 …….…(3)

Reemplazando (2) en (3) se tiene:

210 43

1yyyhS

Con esta última ecuación queda demostrado el Teorema 1.

Calculo II 2012

42

Ahora desarrollaremos la regla de Simpson.

Sea una función f continua en el intervalo cerrado [a,b]. Consideramos una partición regular del

intervalo [a,b] de 2n subintervalos (2n se usa en lugar de n porque queremos que sea un número

par de subintervalos ). La longitud de cada subintervalo está dada por n

abx

2

)( . Denotemos a

los puntos en la curva que tienen estos puntos de la partición como abscisas por ),,( 000 yxP

),( 111 yxP ,..., ),( 222 nnn yxP ; ver Fig. 2 donde 0)( xf para toda x en [a,b].

Fig. 2

Aproximamos el segmento de la curva )(xfy de 0P a 2P por el segmento de la parábola con

su eje vertical a través de 0P , 1P y 2P . Entonces por el Teorema 1 la medida del área por la región

acotada por esta parábola, el eje x y las rectas 0xx y 2xx con xh , esta dad por:

210 43

1yyyx o )()(4)(

3

1210 xfxfxfx

En forma análoga aproximamos el segmento de la curva )(xfy de 2P a 4P por el segmento de

la parábola con su eje vertical a través de 2P , 3P y 4P . La medida del área de la región acotada

por esta parábola, en el eje x y las rectas 2xx y 4xx esta dad por:

432 43

1yyyx o )()(4)(

3

1432 xfxfxfx

y

x

0P

1P

2P

3P 4P

22 nP5P

12 nP nP2

)(xfy

0xa 1x2x 3x

4x 5x 22 nx 12 nx bx n 2

............................

............................

Calculo II 2012

43

Este procedimiento se continúa hasta que tengamos n regiones y la medida del área de la última

región está dada por:

nnn yyyx 21222 43

1 o )()(4)(

3

121222 nnn xfxfxfx

La suma de las medidas de las áreas de estas regiones aproxima la medida del área de la región

acotada por la curva cuya ecuación es )(xfy el eje x y las rectas ax y bx . La medida

del área de la región está dada por la integral definida b

axf )( dx . Así tenemos como una

aproximación de la integral definida.

)()(4)(3

1...)()(4)(

3

1)()(4)(

3

121222432210 nnn xfxfxfxxfxfxfxxfxfxfx

Agrupando todas las funciones se tiene:

)()(4)(2.....)(2)(4)(2)(4)(3

1)( 2122243210 nnn

b

axfxfxfxfxfxfxfxfxdxxf

La cual se le denomina regla de Simpson 1/3 por el factor x3

1

Dónde: n

abx

2

Anteriormente quedo demostrado que la regla de Simpson es un método más preciso que otros,

pero eso no quiere decir que no tenga un error de aproximación.

El siguiente teorema que se demuestra en el cálculo avanzado, da un método para determinar el

error al aplicar la regla de Simpson denotado por: s

3.1.2.-Teorema 2: Sea la función f continua en el intervalo cerrado ba, , y yfff ''','',' ivf

existe en ba, . Si

s

b

as Rdxxf )(

Donde sR es el valor aproximado de b

adxxf )( que se encontró por la regla de Simpson,

entonces existe algún número n en ba, tal que

4)(

180

1xnfab iv

s

Calculo II 2012

44

OBSERVACIÓN: Cuando )(xf sea un polinomio de tercer grado o menos, entonces 0)( xf iv

por lo tanto 0s , lo que ocasionará utilizar la siguiente fórmula práctica:

)()

2(4)(

6)( bf

bafaf

abdxxf

b

a

A continuación veremos algunos ejemplos de integración numérica utilizando la regla de Simpson.

Ejemplo 1: Utilizar la regla de Simpson para aproximar la siguiente integral 1

0

2

dxex con 42 n

y dar el resultado con cuatro cifras decimales.

Tengamos en cuenta que el valor real de la integral con cuatro decimales es:

1.46261

0

2

dxex

SOLUCIÓN: Aplicando la regla de Simpson con 42 n , tenemos

4

101

4

1x

2

)( xexf , ,00 x4

0

ixixxi

)1.....()()(4)(2)(4)(12

143210

1

0

2

xfxfxfxfxfdxex

i) Realizamos nuestra tabla de valores

Tabla 1

i ix )( ixf k )( ixfk

0 0 1 1 1

1 0.25 1.0644 4 4.2576

2 0.5 1.2840 2 2.568

3 0.75 1.7550 4 7.02

4 1 2.7182 1 2.7182

suma 17.5638

Calculo II 2012

45

ii) Reemplazamos en (1)

4636.117.563812

11

0

2

dxex

Ejemplo 2: Utilizar la regla de Simpson para aproximar la siguiente integral 2

1

3 dxex x con

42 n y dar el resultado con cuatro cifras decimales.

Tengamos en cuenta que el valor real de la integral con cuatro decimales es:

3763.11

0

3 dxex x

SOLUCIÓN: Aplicando la regla de Simpson con 42 n , tenemos

4

101

4

1x

xexxf 3)(

,00 x4

0

ixixxi

)2.....()()(4)(2)(4)(12

143210

1

0

3 xfxfxfxfxfdxex x

i) Realizamos nuestra tabla de valores

Tabla 2

i ix )( ixf k )( ixfk

0 0 0 1 0

1 0.25 0.8088 4 3.2352

2 0.5 1.3085 2 2.617

3 0.75 1.9234 4 7.6936

4 1 2.7182 1 2.7182

suma 16.264

Calculo II 2012

46

ii) Reemplazamos en (2)

3553.116.26412

11

0

2

dxex

Ejemplo 3: Utilizar la regla de Simpson para aproximar la siguiente integral

2

1 31 x

dx con

42 n y dar el resultado con cuatro cifras decimales.

Tengamos en cuenta que el valor real de la integral con cuatro decimales es:

4925.01

2

1 3

x

dx

SOLUCIÓN: Aplicando la regla de Simpson con 42 n , tenemos

4

112

4

1x

31

1)(

xxf

,10 x4

10

ixixxi

)3.........()()(4)(2)(4)(12

1

143210

2

1 3xfxfxfxfxf

x

dx

i) Realizamos nuestra tabla de valores

Tabla 3

i ix )( ixf k )( ixfk

0 1 0.7071 1 0.7071

1 1.25 0.5819 4 2.3277

2 1.5 0.4781 2 0.9562

3 1.75 0.3965 4 1.5862

4 2 0.3333 1 0.3333

suma 5.9105

Calculo II 2012

47

ii) Reemplazamos en (3)

4925.05.910512

1

1

2

1 3

x

dx

Lo que nos da un valor exacto con cuatro cifras decimales de la integral. Esto sucede porque

)(xf es un polinomio de tercer grado o menor.

Ejemplo 4: Utilizar la regla de Simpson para aproximar la siguiente integral dxx

x

3

1 3.

)ln( con

42 n y dar el resultado con cuatro cifras decimales.

Tengamos en cuenta que el valor real de la integral con cuatro decimales es:

4220.0.)ln(3

1 3 dx

x

x

SOLUCIÓN: Aplicando la regla de Simpson con 42 n , tenemos

2

113

4

1x

3

)ln()(

x

xxf

,

,10 x2

10

ixixxi

)4.........()()(4)(2)(4)(6

1.

)ln(43210

3

1 3xfxfxfxfxfdx

x

x

i) Realizamos nuestra tabla de valores

Tabla 4

i ix )( ixf k )( ixfk

0 1 0.0000 1 0.0000

1 1.5 0.2207 4 0.8828

2 2 0.2451 2 0.4901

3 2.5 0.2318 4 0.9272

4 3 0.2114 1 0.2114

suma 2.5116

Calculo II 2012

48

ii) Reemplazamos en (4)

4186.05116.26

1.

)ln(3

1 3 dx

x

x

Ejemplo 5: Utilizar la regla de Simpson para aproximar la siguiente integral

1

0 21 x

dx con 42 n

y dar el resultado con seis cifras decimales. Tengamos en cuenta que el valor real de la integral con

seis decimales es:

881373.01

1

0 2

x

dx

SOLUCIÓN: Aplicando la regla de Simpson con 42 n , tenemos

4

101

4

1x

21

1)(

xxf

,00 x4

0

ixixxi

)5.........()()(4)(2)(4)(12

1

143210

1

0 2

xfxfxfxfxf

x

dx

i) Realizamos nuestra tabla de valores

Tabla 5

i ix )( ixf k )( ixfk

0 0 1 1 1

1 0.25 0.970142 4 3.880570

2 0.5 0.894427 2 1.788854

3 0.75 0.800000 4 3.200000

4 1 0.707106 1 0.707106

suma 10.576531

Calculo II 2012

49

ii) Reemplazamos en (5)

881377.0576531.1012

1

1

1

0 2

x

dx

iii) Calculamos el error de la regla de Simpson s

4)(

180

1xnfab iv

s

,)1(105)(1

1)( 2

9

24

2

xxxfx

xf iv Como 1;0x

3)0( ivf , 01646.1)1( ivf

Para: 5

4

1051041.64

1)3)(1(

180

1,0

sEn

5

4

1020587.24

101646.1)1(

180

1,1

sEn

00002.000006.0 sE

Ejemplo 6: Utilizar la regla de Simpson para aproximar la siguiente integral

1

01 x

dx con 42 n y

dar el resultado con cinco cifras decimales. Tengamos en cuenta que el valor real de la integral con

cinco decimales es:

69314.01

1

0

x

dx

SOLUCIÓN: Aplicando la regla de Simpson con 42 n , tenemos

4

101

4

1x

xxf

1

1)(

,00 x4

0

ixixxi

)6.........()()(4)(2)(4)(12

1

143210

1

0xfxfxfxfxf

x

dx

Calculo II 2012

50

i) Realizamos nuestra tabla de valores

Tabla 6

i ix )( ixf k )( ixfk

0 0 1.00000 1 1.00000

1 0.25 0.80000 4 3.20000

2 0.5 0.66667 2 1.33333

3 0.75 0.57143 4 2.28571

4 1 0.50000 1 0.50000

suma 8.31905

ii) Reemplazamos en (6)

69325.031905.812

1

1

1

0

x

dx

iii) Calculamos el error de la regla de Simpson s

4)(

180

1xnfab iv

s

,x(x)fx

f(x) iv 61120

1

1

Como 1;0x

24)0( ivf , 4

3)1( ivf

Para: 00052.04

1)24)(1(

180

1,0

4

sEn

00002.04

1

4

3)1(

180

1,1

4

sEn

00002.000052.0 sE

Calculo II 2012

51

4.- Integración por series de Taylor

Esta serie permite obtener una muy buena aproximación polifónica de una función en un entorno

de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además la serie permite acotar el error

obtenido mediante dicha estimación. Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden

tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido

como el término residual.

Dicha serie es la siguiente:

( )2'( ) ''( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )1! 2! !

nn

n

f a f a f af x f a x a x a x a R f

n

O en forma compacta:

( ) ( )( ) ( ) ( )

!

nn

n

n o

f af x x a R f

n

Dónde:

n! : factorial de n.

f (n)(a) : La n-ésima derivada de f en el punto a.

Rn(f): Residuo.

( 1)1( )

( ) ( )( 1)!

nn

n

fR f x c

n

[ , ]c x

Demostración de la serie:

La representación en serie de potencias de f(x).

2

0 1 2( ) ( ) ( ) ... ( )n

nf x a a x c a x c a x c

La primera derivada:

1 2 1

1 2 3'( ) 2 ( ) 3 ( ) ... ( )n

nf x a a x c a x c na x c

Evaluamos en x=c:

1'( )f c a

La segunda derivada:

1 2 2

2 3 4''( ) 2 3.2 ( ) 4.3 ( ) ... ( 1) ( )n

nf x a a x c a x c n n a x c

Calculo II 2012

52

Evaluamos en x=c:

2'( ) 2f c a

La tercera derivada:

1 2 3

3 4 4'''( ) 3.2 4.3.2 ( ) 5.4.3 ( ) ... ( 1)( 2) ( )n

nf x a a x c a x c n n n a x c

Evaluamos en x=c:

3'''( ) 3.2f c a

La cuarta derivada:

1 4

4 4' ( ) 4.3.2 5.4.3.2 ( ) ... ( 1)( 2)( 3) ( )v n

nf x a a x c n n n n a x c

Evaluamos en x=c:

4' ( ) 4.3.2vf c a

En general:

( ) ( ) !n

nf c n a

Despejamos an:

( ) ( )

!

n

n

f ca

n …(*)

2

0 1 2

0

( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )n n

n n

n

f x a a x c a x c a x c a x c

…(**)

Reemplazamos (*) en (**) y nos queda la serie de Taylor centrada en c:

( )

0

( )( ) ( )

!

nn

n

f cf x x c

n

Veamos un ejemplo donde nos muestre como la gráfica de la serie se acerca a la función:

Calculo II 2012

53

Ejemplo 01:

( ) cos( )f x x , (́ ) s ( )f x en x , ´́ ( ) s( )f x co x , ´́ (́ ) s ( )f x en x , ´ ( ) s( )vf x co x ,

( ) s ( )vf x en x

Si evaluamos en c=0 para centrar la función en 0:

(0) 1f , (́0) 0f , ´́ (0) 1f , ´́ (́0) 0f , ´ (0) 1vf , (0) 0vf

Nos quedaría:

0 1 2 3 41 0 1 0 1cos( ) * * * * * ....

0! 1! 2! 3! 4!x x x x x x

( )

0

( )cos( ) *

!

nn

n

f ox x

n

Ahora veamos cómo funcionan los polinomios de Taylor:

( )0

0

(0)cos( ) *

!

nn

n

fx x

n

( )2

0

(0)cos( ) *

!

nn

n

fx x

n

Calculo II 2012

54

( )4

0

(0)cos( ) *

!

nn

n

fx x

n

( )6

0

(0)cos( ) *

!

nn

n

fx x

n

( )8

0

(0)cos( ) *

!

nn

n

fx x

n

Calculo II 2012

55

( )10

0

(0)cos( ) *

!

nn

n

fx x

n

Obs:

Bueno al hacer la serie de Taylor se nos va a hacer mucha más fácil integrar algunas

funciones que no se puedan integrar con los métodos básicos.

Como pudimos observar en el primer ejemplo mientras más grande sea la sumatoria más

cerca estaremos de la función.

Al centrar la función en 0, estamos aplicando la serie de Maclaurin, la cual nos puede ser

útil para encontrar integrales las cuales no podamos sacar primitivamente.

Ahora veamos algunos ejemplos más:

Ejemplo 02:

Evalué la integral utilizando series.

3xe dx

Solución:

Primero hallemos la serie para ex y luego reemplazamos x por x3.

0

0

0

0

( ) (0) 1

(́ ) (́0) 1

´́ ( ) ´́ (0) 1

´́ (́ ) ´́ (́0) 1

x

x

x

x

f x e f e

f x e f e

f x e f e

f x e f e

Calculo II 2012

56

Quedaría:

0 1 2 3

0

1 1 1 1( ) ....

0! 1! 2! 3!

( )!

n

n

f x x x x x

xf x

n

Ahora reemplacemos x por x3:

3 3

0 0

( )( )

! !

n n

n n

x xf x

n n

Integrando:

3

0

( )!

n

n

xf x dx dx

n

33 1

0

( )(3 1) !

nx

n

xf x dx e dx

n n

Ejemplo 03:

Integrar f(x) = x2e-x

Solución:

Del ejemplo 1 se sabe que:

0 !

nx

n

xe

n

Ahora le damos forma:

2 22

0 0 0

( ) ( ) ( 1)

! ! !

n n n nx x

n n n

x x x xe x e

n n n

Integrando:

2 32

0 0

( 1) ( 1):

! ( 3) !

n n n nx

n n

x xx e dx dx seria

n n n

Calculo II 2012

57

Ejemplo 04:

Utilice la serie de Taylor para senx en pi/4 para calcular el sen(47°) con una exactitud de 4 cifras

decimales.

Solución:

0 1 2 3

( ) (́ ) ´́ ( ) ´́ (́ )4 4 4 4s ( ) *( ) *( ) *( ) *( ) ...

0! 4 1! 4 2! 4 3! 4

f f f f

en x x x x x

47 1 1

180 4 90x x

2 347 1 1 1 1 1 1s ( ) 2 2 *( ) 2 * ( ) 2 * ( ) ...

180 2 2 90 2 2 90 2 6 90

47 1s ( ) 2(1 0.03490 0.00061 0.000002 ...)

180 2

en

en

(47 ) 0.73136sen

Ejemplo 05:

Integrar: 1

0.5

senxdx

x

Solución:

No puede obtenerse una antiderivada de la integral en términos de funciones elementales. Sin

embargo de la serie Taylor con centro en c=0 para sen(x) se tiene:

3 5 7 9

2 4 6 8

1

1( ...)

3! 5! 7! 9!

1 ...3! 5! 7! 9!

senxsenx

x x

senx x x x xx

x x

senx x x x x

x

Lo cual es cierto para todo x diferente de 0. Al emplear la integración término a término resulta:

3 5 7 91

1

0.50.5

... |3.3! 5.5! 7.7! 9.9!

senx x x x xdx x

x

=(1-0.0555555+0.0016667-0.0000283+0.0000003)-(0.5-0.0069444+0.0000521-0.0000002)

1

0.50.45298

senxdx

x

Calculo II 2012

58

SUMATORIAS DOBLES

1.-DEFINICION

Una sumatoria doble es un caso particular de la suma, en el cual el termino general ak es a su vez

una sumatoria, para cada k. veremos entonces como sumar más de un índice.

Si tenemos la siguiente sumatoria:

0

n

i

i

b

…(1)

ib A su vez es otra sumatoria, donde:

0

m

i ij

j

b a

… (2)

De (1) y (2):

0 0

n m

ij

i j

a

Dónde: ija podrá depender de ambos índices y los limites inferior y superior de 0

m

ij

j

a

podrán

depender del índice i.

Para un mejor entendimiento analizaremos los términos usados pero acomodados de la siguiente

manera:

00 01 02 0

10 11 12 1

0 1 2

...

...

.. . . .

.

...

m

m

n n n nm

a a a a

a a a a

a a a a

Si sumamos los miembros de la primera fila obtendremos: 0

0

m

j

j

a

Calculo II 2012

59

Si sumamos los miembros de la segunda fila obtendremos: 1

0

m

j

j

a

Si sumamos los miembros de la n-esima fila obtendremos: 0 0 1 1

n m n m

i j i j

i j i j

a b a b

0

m

nj

j

a

Y si sumamos todas estas sumas obtendremos: 0 0

n m

ij

i j

a

Análogamente con las columnas obtendremos el siguiente resultado: 0 0

m n

ij

j i

a

Observamos que los resultados anteriores son iguales:

0 0

n m

ij

i j

a

=0 0

m n

ij

j i

a

Notamos entonces que la suma doble es el resultado de sumar cada fila a la vez, obviamente que

también es igual a sumar cada columna a la vez.

Con lo mencionado anteriormente tenemos ya un concepto claro de la definición de sumatoria

doble de las cuales desprenderemos las siguientes propiedades.

2.-PROPIEDADES DE LA SUMATORIA DOBLE

0 0

n m

ij

i j

a

=0 0

m n

ij

j i

a

; demostrada anteriormente.

a) 0 0

n m

i j

k nmk

, k R

b) 0 0 0 0

,n m n m

ij ij

i j i j

ka k a k R

c) 0 0 0 0

n m m n

i j j i

i j j i

a b n b m a

d) 0 0 1 1

n m n m

i j i j

i j i j

a b a b

Calculo II 2012

60

2.1.-DEMOSTRACION DE LAS PROPIEDADES DE LA SUMATORIA DOBLE

Demostrar: 0 0 0 0` `

...n m n n

i j i im TERMINOS

k k k k mk

0 ` `

...m

j m TERMINOS

k k k k mk

0 0 0 0" " min

...n m n n

i j i im ter os

k k k k mk

0 " " min

...n

i m ter os

mk mk mk mk nmk

Demostrar: 0 0 0 0

,n m n m

ij ij

i j i j

ka k a k R

0 0

0 0 0 0

0 1 00 01 10 11 20 21

0

00 01 10 11 20 21

0 0

... ... ... ...

... ... ...

m m

ij ij

j j

n m n m

ij ij

i j i j

n

i i im nm

i

n m

nm ij

i j

ka k a

ka k a

k a a a k a a a a a a a

k a a a a a a a k a

Demostrar: 0 0 0 0

n m m n

i j j i

i j j i

a b n b m a

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

n m n m

i j i j

i j i j

n m n m

i j i j

i j i j

n m n m

i j i j

i j i j

a b a b

a b ma b

ma b m a n b

Calculo II 2012

61

Demostrar: 0 0 1 1

n m n m

i j i j

i j i j

a b a b

0 0 0 0

0 0 0 0

es una constante para la segunda sumatorian m n m

i j i j i

i j k j

n m n m

i j i j

i j k j

a b a b a

a b a b

EJEMPLOS

1)

4 2

1 1

4 4

1 1

4 4

1 1

4

1

4 2

1 1

Hallar 2

primero la sumatoria sobre j

2 1 2 2 2 4

2 4 2 6

2 6 2 1 6 2 2 6 2 3 6 2 4 6

2 44

i j

i i

i i

i

i j

i j

i i i i

i i i

i

i j

2)

5 4

1 1

5 51 2 3 4

1 1

5

1

5 4

1 1

Hallar .3

operamos sobre j primero

.3 .3 .3 .3 3 9 27 81

120 120 1 120 2 120 3 120 4 120 5

.3 1800

j

i j

i i

i

j

i j

i

i i i i i i i i

i

i

Calculo II 2012

62

3)

23 4

1 1

2 2 2 2 2 2 2 23 3

2 2 2 21 1

22

2 2

Hallar

operando sobre i primero

2 3 4 4 9 16

1 2 3 4 1 2 3 4

operando sobre j

4 11

1 1 1 2

j i

j j

ji

j i

j j j j j j j j

j j j j j j j j

2 2

2 2

9 1 16 1 10497.2 13.762

2251 3 1 4

4)

4 52

1 2

4 5 42 2 2 22

1 2 1

4 42 2 2 2

1 1

Hallar 1 .

operando sobre j

1 . 1 . 2 2 1 . 3 3 1 . 4 4 1 . 5 5

1 . 2 2 1 . 3 3 1 . 4 4 1 . 5 5 2 .5 35

ahora sobre i

2 .5 35

i

i j

i i i i i

i j i

i i i i i

i i

i

j j

j j

41 2 3 4

1

4 52

1 2

2 .5 35 2 .5 35 2 .5 35 2 .5 35

1 . 190

i

i

i j

j j

5)

3 9

1 7

3 9 3

1 7 1

3 3

1 1

3

1

3 9

1 7

Hallar 2 1

operando sobre j

2 1 2 7 1 2 8 1 2 9 1

2 7 1 2 8 1 2 9 1 21 42

operando sobre i

21 42 21 1 42 21 2 42 21 3 42

2 1 252

i j

i j i

i i

i

i j

i j

i j i i i

i i i i

i

i j

Calculo II 2012

63

CALCULO DE LA INTEGRAL DOBLE CON SUMATORIAS DOBLES

1.-DEFINICIÓN

Ahora vamos a estudiar las integrales dobles donde nos ubicaremos en un plano xy

(bidimensional). Lo que sigue ahora es dar una notación nueva .En una sucesión ordinaria [a1],

cada término ha indizado por un entero i. La suma de todos los a desde i=1 hasta i=m se denota

por:

∑

Pero vemos que aparecen 2 índices como por ejemplo:

aij= aij=

o aij=

Para eso se nota la notación de doble sumatoria para denotar la suma de todos los términos

indizados. Mediante:

∑∑

Representaremos la suma de todos los términos donde i varía desde 1 hasta m y j varias desde

1 hasta n .Por ejemplo:

∑ ∑

=2.5+2. + .5+ =420

Dado que la adición es asociativa y conmutativa, podemos sumar los términos en cualquier orden.

Usualmente se hace:

∑ ∑

= ∑ ∑

Podemos evaluar la expresión de la derecha desarrollando primero respecto de i y luego respecto

de j:

∑ ∑

=∑ ∑

+…+∑

= +

O podemos desarrollar primero respecto de j y luego respecto de i:

∑ ∑

=∑

=( +…+(

Calculo II 2012

64

El resultado es el mismo

Por ejemplo, podemos escribir:

∑ ∑

=∑

+∑ ∑

=

Dados que las constantes se pueden sacar como factores de las sumas simples, también se puede

sacar como factores de las sumas dobles, concretamente,

∑ ∑

=α∑ ∑

Además:

∑ ∑

=∑ ∑

+∑ ∑

Las sumas dobles mas fáciles de manejar son aquellas en las cuales cada termino aparece

como un producto de , en la cual cada factor solo lleva un índice. En este caso podemos

expresar la suma doble como un producto de dos sumas simples:

∑ ∑ ∑

)(∑

2.-INTEGRAL DOBLE SOBRE UN RECTÁNGULO

Empezamos con una función f continua en un rectángulo

R: a c

Nuestro propósito es definir la integral doble de f sobre R:

∫ ∫ ,

Calculo II 2012

65

Luego

(P)= (área de

)+ +

=

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

=

En cada rectángulo ,f alcanza su valor mínimo en el punto ( que es el vértice

mas próximo al origen: , =

Luego

(P)= (area de

=

Volvamos ahora a la situación que es general. Como en el caso de una variable, se puede

demostrar que si f es continua, existe un número I y solo uno que satisface la desigualdad.

Para todas las particiones P de R

INTEGRAL DOBLE SOBRE UN RECTANGULO

Sea f una situación continua en un rectángulo cerrado R. El único número I que satisface la

desigualdad.

Para todas las particiones P de R

Se llama integral doble de f sobre R y se designa por

∫∫ ,

LA INTEGRAL DOBLE COMO VOLUMEN

Si f es continua y no negativa en un rectángulo R, la ecuación

Z=f(x,y)

Representa una superficie que está por encima de R. En este caso, la integral doble

∫∫ ,

Calculo II 2012

66

Da el volumen del solido delimitado inferiormente por R y delimitado superiormente por la

superficie z=f(x, y)

Para verlo hay que considerar una partición P de R. Entonces P divide R en subrectángulos y

por tanto divide el solido Ten partes . Dado que contiene un paralelepípedo rectangular de

base y altura debe cumplirse

3.-PROPIEDADES

3.1.- Si f(x,y) es continua en la región R={a x b; g(x) y h(x)}, en la integral iterada doble de

f(x,y) se cumple:

1 1

( , ) ( , ) lim ( , )

b d n m

j i jnRi ja c

m

f x y dxdy dx f x y dy f x y x y

Donde (xi , )jy ϵ a la sub-región Rij.

3.2.-Para cada sub-región Rij = {(x,y) / x ϵ [xi-1 , xi], y ϵ [yj-1 , yj]} existe un supremo Mij y un ínfimo mij,

tal que:

Mij = sup {f (x, y) / (x,y) ϵ R ij} ; mij = inf {f(x,y) / (x, y) ϵ R ij}

Además de las suma de todos los productos Mij.∆xi ∆yj Y de todos los productos mij∆xi∆yj, se

obtiene respectivamente:

Calculo II 2012

67

1 1

1 1

( )

( )

n m

f ij i j

i j

n m

f ij i j

i j

U P M x y

L P m x y

Siendo Uf (P) la suma superior y Lf (p) la suma inferior para la partición P = P1×P2 = {x0, x 1,, x 2, x 3, …x

n}× {y0,y 1, y 2, y 3,…, y n}

3.3.-La función z=f(x,y) es integrable sobre una región R del plano XY, si “f” es acotada sobre R, y si

existe un numero I que satisface:

Lf (P) ≤ I ≤ Uf (P) ; I= ( , )R

f x y dxdy ; Para toda partición P de R.

3.4.- Para cada una de las subregiones Rij de una partición P de la región R, si *( if x *, )jy es un

punto en Rij cualquiera sea la elección de *( if x *, )jy en Rij , se tiene que:

* *

1 1

( ) ( , ) ( )n m

f i j i j f

i j

L P f x y x y U P

También vale decir:

* *

1 1

( , ) ( , )n m

i j i j f fR

i j

f x y dxdy f x y x y U P L P

4.-EJERCICIOS

1.- Calcular:

7R

dxdy

Dónde: R= {(x,y) / x ϵ [1,8], y ϵ [1,6]}

Calculo II 2012

68

Solución:

Para este caso:

Si (x,y) ϵ R, entonces f(x,y) = 7

Además considérese la partición P1 = {x0=1, x 1,, x 2, x 3, …x n=8} en [1,8], la partición P2 =

{y0=1,y 1, y 2, y 3,…, y n=6} en [1,6] y la partición arbitraria P=P1×P2 en la región R.

Así mismo en cada sub-región Rij, f(x,y)=7. Por lo que:

Mij = mij = 7

Luego la suma superior es igual a la suma inferior:

1 1 1 1

( ) ( ) 7 7( )( ) 7(6 1)(8 1) 245n m m n

f f i j j i

i j i j

U P L P x y y x

Finalmente por propiedad:

Uf (P) ≤ ( , )R

f x y dxdy ≤ Lf(P)

245 ≤ ( , )R

f x y dxdy ≤ 245

La integral es igual a:

7R

dxdy =245

2.-Evaluar :

( , )R

f x y dxdy

Calculo II 2012

69

Si f(x,y) = 8 - xy esta acotado en el rectangulo R de coordenadas (1;1), (1;4), (5;1) y (5;4).

-Solucion :

Con las particiones [1,5] y [1,4] :

* *

1 1

(8 ) lim ( , )n m

i j ijnRi j

m

xy dxdy f x y A

P1 : xi = 1 + 4i/n , ∆xi = 4/n , i=0 ; 1 ; 2 ; 3… ; n

P2 : yj = 1 + 3j/m , ∆yj =3/m , j=0 ; 1 ; 2 … ; m

Apartir de P1 Y P2 obtenemos P = P1 × P2 ; entonces :

* * 4 3( ) ( ) 8 8 (1 )(1 )i j i j i j

i jf x y f x y x y

n m

Luego :

Y

X x0=1 . . . xi-1 xi . . . xn=5

∆xi

ym=4

∆yj

yj

yj-1

y0=1

x0=1 . . . xi-1 xi . . . xn=5

∆Aij

Calculo II 2012

70

* *

1 1

4 3 3 4 3 ( 1) 3 4 9( 1)( , ) [8 (1 )(1 )] [8 (1 )( )] 24 (1 )(3 )

2 2

m m

i j j

j j

i j i m m mf x y y m m

n m m n m m n m

9( 1) 4 ( 1) 4 9 8( 1) 9 1[24 (3 )( )] 96 [(3 4.5 )(4 )] 96 [(7.5 )(4 8 )]

2 2 2 2

m n n nn n

m n n m n m n

Finalmente, como m y n tienden al infinito :

(8 )R

xy dxdy =96-(7.5+0)(4+8+0) = 96-90 = 6

3.- Vamos a ver un ejemplo

∫∫

Donde R es el rectángulo 1 ,

Solución Con , , , como partición arbitraria de [1,4] y , , , como

partición arbitraria de [1,3] tenemos

={( , }

Como posición arbitraria de R. En cada rectángulo : , , la función

F(x,y)=x+y-2

Alcanza un máximo y un mínimo Luego:

∑∑

∑∑

Para cada índice i, j:

( )

Esto significa

∑ ∑ (

)

(P)

Calculo II 2012

71

La suma doble en este conjunto de desigualdades se puede escribir como

∑ ∑

+∑ ∑

-∑ ∑

,

La primera suma doble se reduce a

∑ ∑

=

∑ (

) ∑

)=

La segunda suma doble se reduce a,

∑ ∑

=

∑ ∑

)=

La suma de estos números 15+12-12=15 satisface la desigualdad

(P) (P) para P arbitraria

Luego

∫∫

Calculo II 2012

72

CALCULO DE INTEGRALES POR INTERPOLACIÓN

1.- INTRODUCCIÓN:

Sabemos que para desarrollar una integral debemos calcular la primitiva de la función pero no

siempre se puede hacer ello, en otros cosos no conocemos la función pero si tenemos datos en

forma de tablas o gráficas. En estos casos necesitamos un método para poder resolver estos

problemas, en este caso estudiaremos a Lagrange y posteriormente como calcular una integral con

este Lagrange.

2.-INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE:

Sea ⌊ , ⌋ y {x0, x1,….., xn} n+1 puntos distintos del intervalo [a, b], que llamaremos nodos,

entonces existe un único solo polinomio de grado “n” a lo más Pn (x) tal que:

( ) ( )n i iP x f x Para 0,1,....,i n

Este polinomio se le conoce como “enésimo polinomio interpolante de Lagrange”

0

( ) ( ) ( )n

n i i

i

P x f x L x

, 0,1,2,...,i n

De donde:

( )n

j

i

i o i ji j

x xL x

x x

EJEMPLO 1:

Si queremos utilizar los números (o nodos), x0 = 2, x1 = 2.5 y x2 = 4 para obtener el segundo

polinomio interpolante para 1

( )f xx

Primero procedemos a determinar los coeficientes de 0 1 2( ), ( ), ( )L x L x L x :

0

( 2.5)( 4)( ) ( 6.5) 10

(2 2.5)(2 4)

x xL x x x

1

( 2)( 4) (24 4 ) 32( )

(2.5 2)(2.5 4) 3

x x x xL x

2

( 2)( 2.5) ( 4.5) 5( )

(4 2)(4 2.5) 3

x x x xL x

Sabiendo que:

0( ) (2) 0.5f x f , 1( ) (2.5) 0.4f x f , 2( ) (4) 0.25f x f

Calculo II 2012

73

Entonces tendríamos:

0

( ) ( ) ( )n

i i

i

P x f x L x

(24 4 ) 32 ( 4.5) 5( ) 0.5( ( 6.5) 10) 0.4 0.25

3 3

x x x xP x x x

Por lo tanto este sería nuestro polinomio interpolante.

2.1.-ERROR DE INTERPOLACION:

Como ya tenemos nuestro polinomio, nos gustaría calcular el valor de la función en cualquier

punto del intervalo [a,b], si el punto que escogemos coincide con alguno de los nodos {x0, x1,…..,

xn} entonces:

( ) ( )n i iP x f x

Sin embargo sí ,x a b y es distinto a los nodos de interpolación entonces:

( ) ( )n i iP x f x

Es ahí donde se produce un error al que llamaremos error de interpolación denotado:

( 1)

0

( )( ) ( ) ( ) ( )

( 1)!

n nx

n n i

i

fE x f x P x x x

n

La expresión nos permite obtener la cota, para cada ,x a b

0 ( 1)

( )

( ) ( ) ( )(

max1)!

n

i

a x

i

b

n

n

x x

f x P x fn

EJEMPLO 2:

Suponga que debe preparar una tabla de la función ( ) xf x e , para 0,1x . Suponga, además,

el número de cifras decimales de cada entrada o valor es de 8d y que h , el tamaño del paso es

la diferencia entre los valores adyacentes de x . ¿Cuál debe ser el valor de h para que la

interpolación lineal (es decir, el polinomio de grado 1 de Lagrange) arroje un valor absoluto a lo

máximo de 610

?

Sean 0,1x , 0 1, ,...., nx x x los números en los que se evalúa f y suponga que j satisface

1j jx x x .

Calculo II 2012

74

(2)

1

( )( ) ( ) ( )( )

2!j j

ff x P x x x x x

(2)

1

( )( ) ( ) ( )( )

2!j j

ff x P x x x x x

Por ser h el tamaño del paso, se deduce que jx jh ,

1 ( 1)jx j h , entonces

(2) ( )( ) ( ) ( )( ( 1) )

2!

ff x P x x jh x j h

Por tanto,

10 1max max

1( ) ( ) ( )( ( 1) )

2 j j

nx x x

f x P x e x jh x j h

1

1( ) ( ) ( )( ( 1) )

2maxj j

nx x x

f x P x e x jh x j h

Al considerar ( ) ( )( ( 1) )g x x jh x j h para ( 1)jh x j h y al aplicar los métodos del

cálculo, encontramos que

1

( )( ( 1m )ax )j jx x x

x jh x j h

1

1( )ma (( ) )

2x

j jx x xg x g j h

1

2

( )4

maxj jx x x

hg x

Entonces el error de la interpolación lineal estaría acotado de la siguiente forma:

2

( ) ( )8

n

hf x P x e

31.72 10h

Ya que (1 0)

nh

debe ser un entero, una elección lógica del tamaño del paso es 0.001h .

Calculo II 2012

75

2.2.-CALCULO DE UNA INTEGRAL USANDO LAGRANGE:

Como se mencionó anteriormente hay veces es necesario evaluar una integral definida de una

función que no tiene antiderivada explicita, o cuya antiderivada no es fácil de obtener. El método

básico con el que se aproxima ( )

b

a

f x dx recibe el nombre de cuadratura numérica y emplea una

suma de tipo:

0

( )n

i i

i

a f x

Para poder aproximar ( )

b

a

f x dx el método de la cuadratura que se presenta se basa en los

polinomios interpolantes.

Primero seleccionamos un conjunto de nodos distintos 0 ,...., nx x del intervalo ,a b . Después

integramos el polinomio interpolante de Lagrange.

0

( ) ( ) ( )n

n i i

i

P x f x L x

Y su termino de error en ,a b para obtener

( 1)

( )

0 0

( )( ) ( ) ( ) ( )

( 1)!

nb b b nnx

i i i

i ia a a

ff x dx f x L x dx x x dx

n

( 1)

( )

0

1( ) ( ) ( ) ( )

( 1)!

b b nnn

i i i x

i o ia a

f x dx a f x x x f dxn

Donde ( )x se encuentra en ,a b para cada x

( )

b

i i

a

a L x dx Para cada 0,1,.....,i n

Por lo tanto la fórmula de la cuadratura es:

( ) ( )

b n

i i

i oa

f x dx a f x

Calculo II 2012

76

Con un error: ( 1)

( )

0

1( ) ( ) ( )

( 1)!

b nn

i x

ia

E f x x f dxn

EJEMPLO 3: se desea aproximar ( )

b

a

f x dx

Sean 0x a , 1x b , h b a , usaremos el polinomio lineal de Lagrange:

011 0 1

0 1 1 0

( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

x xx xP x f x f x

x x x x

Entonces:

1

0

010 1

0 1 1 0

( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

xb

a x

x xx xf x dx f x f x dx

x x x x

1

0

0 1

1( ( ))( )( )

2

x

x

f x x x x x dx

Dado que 0 1( )( )x x x x no cambia de signo en 0 1,x x , podemos aplicar el teorema del valor

promedio ponderado de las integrales al término de error para poder obtener:

1

0

0 1( ( ))( )( )

x

x

f x x x x x dx 1

0

0 1( ) ( )( )

x

x

f x x x x dx

1

0

321

0 1( )3 2

x

x

x xxf x x x x

3

( )6

hf

En consecuencia:

1

0

22 3

010 1

0 1 1 0

( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2( ) 2( ) 12

xb

a x

x xx x hf x dx f x f x f

x x x x

3

1 00 1

( )( ) ( ) ( ) ( )

2 12

b

a

x x hf x dx f x f x f

Pero 1 0x x h

3

0 1( ) ( ) ( ) ( )2 12

b

a

h hf x dx f x f x f

Calculo II 2012

77

3.-INTERPOLACIÓN DE HERMITE

3.1.-Definición Sea x0,x1,...,xn, n+1 números distintos en [a,b] y mi un entero no negativo asociado a xi para

i=0,1,...,n. Supónganse que f [a,b] y que m=max0<i<n mi. El polinomio oscilante que aproxima f

es el polinomio P(x) de menor grado tal que

( )k k

i i

k k

d x d fp x

dx dx para cada i=0,1,..., n y k=0,1,...,mi .

Nótese que, cuando mi= 1 para cada i=0,1,..., n, se produce una clase de polinomios denominados

polinomios de Hermite. En una función dada f, estos últimos concuerdan con f en x0,x1,...,xn.

Además, como sus primeras derivadas concuerdan con las de f; tendrán la misma “forma” que la

función en (xi, f (xi)), en el sentido de que las líneas tangentes del polinomio coinciden con las de la

función.

3.2.-Teorema Si f [a,b] y si x0,x1,...,xn [a,b] son distintos, el polinomio único de menor grado que

concuerda con f y f’ en x0,x1,...,xn es el polinomio de Hermite de grado a lo más 2n+1 que está

dado por:

2 1 . ,

0 0

ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n

n j n j j n j

j j

H x f x H x f x H x

Donde:

2

, , ,1 2 n j j n j j n jH x x x L x L x

Y

2

, ,ˆ ( )n j j n jx x x L xH

Más aún, si f [a,b], entonces para x [a,b]

2 2(2 2)0

2 1

( ) ( )( ) ( ) ( )

(2 2)!

nnn

x x x xf x H x f

n

; para algún con a< <b.

Calculo II 2012

78

Ejemplos:

1) Determinar el polinomio interpolador de Hermite de la función f(x)=cos(x) en el soporte

{0, /2, } para los enteros {2,0,1}

Solución:

Grado del polinomio interpolador: 0

2 2 0 1 5n

i

i

m n m

2 3 4

5 0 1 2 3 4( ) . . . .p x m m x m x m x m x

5 0

5 1

5 2

2 3 4 5

5 0 1 2 3 4 5

2 3 4 5

5 0 1 2 3 4 5

5

(0) cos(0) 1

(0) (0) 0

(0) cos(0) 2. 1

( / 2) cos( / 2) .( / 2) .( / 2) .( / 2) .( / 2) .( / 2) 0

( ) cos( ) .( ) .( ) .( ) .( ) .( ) 1

( ) ( )

p m

p sen m

p m

p m m m m m m

p m m m m m m

p sen

2 3 4

1 2 3 4 52. .( ) 3. .( ) 4. .( ) 5. .( ) 0m m m m m

Por sistemas de ecuaciones se tiene:

0

12

23

32

4 4

5 3

5

1

0

1 2

102.

5 12.

2

12

m

m

m

m

m

m

Se tiene: 2 2 2

2 3 4 5

5 3 4 5

10 5 12 12( ) 1 (1/ 2). 2( ). .( ). ( ).

2p x x x x x

2) Utilizar el método de Hermite para hallar un polinomio P(x) de grado 2 que satisfaga:

1 0, 1 7, 2 10p p p .

Solución:

Calculo II 2012

79

Como existe la derivada del polinomio p(x), quiere decir que el método a utilizar es el de

Hermite (en el caso de que no nos dijeran el método a utilizar), entonces la tabla quedaría

de la forma

X P(x)

1 0

1 0 7

2 10 p[1,2]=10 p[1,1,2]=3

p [1,2]= 10/1

p [1, 1,2]= (10-7)/1 = 3

El polinomio de interpolación quedaría expresado de la forma

2

7 1 3 1x x xp

23 – 4 x x xp Satisface las condiciones de

  1 0, 1 7, 2 10 .p p p

3) Sea la función: f(x)= , calcúlese el polinomio de interpolación de Hermite de f en x0=1 y

x1=2.

Solución:

Construimos la tabla de diferencias divididas que permite incluir los datos de interpolación

f(1), f’(1), f(2), f’(2), trabajando con dos dígitos decimales:

D.D.1 D.D.2 D.D.3

x0=1 f(1)=0 f’(1)=1 f[1,1,2]=-0.31 f[1,1,2,2]=0.12

x0=1 f(1)=0 f[1,2]=0.69 f[1,2,2]=-0.19

x1=2 f(2)=0.69 f*2,2+= f’(2)=0.5

x1=2 f(2)=0.69

Sea p(x) el polinomio de interpolación buscado, utilizando la formula de Newton

generalizada

2 2

2 2

1 1,1 – 1 1,1,2 – 1 1,1,2,2 – 1 – 2

1 – 0.31 – 1 0.12 – 1 – 2

p x f f x f x f x x

x x x x

4) Supongamos que queremos encontrar el polinomio p(x) que satisfice p(x0)=c00, p(xi)=c10 y

p’(x0)=c01.

Calculo II 2012

80

Solución:

Puesto que las condiciones son de interpolación de Hermite, con m + 1=2 + 1=3 (2 es el

número de condiciones sobre el nodo x0 y 1 es el número de condiciones sobre el nodo x1),

entonces existe un único polinomio p(x) ∏ que satisface las condiciones dadas.

Consideremos la siguiente tabla de diferencias dividas extensivas:

zi D.D.0 p(zi) D.D.1 D.D.2

z0=x0 c00=p(z0) p[z0,z1]= c01 p[z0,z1 ,z2]= c02

z1=x0 c00=p(z1) p[z1,z2]

z2=x1 c10=p(z2)

Nota: En esta tabla se repite el nodo x tantas veces como condiciones hayan impuestas

sobre ese nodo. Cada uno de los cálculos que aparecen e la tabla se realiza usando la

definición de diferencia dividida con o sin repetición, según sea el caso.

0. 1 0, 0 0 01  p z z p x x p x c (Definición)

1 0 10 001 2 0 1

1 0 1 0

( ) ( ) , ,

p x p x c cp z z p x x

x x x x

10 0001

1 2 0 1 1 0 10 00 010 1 2 022

2 0 1 0 1 0 1 0

[ , ] [ , ][ , , ]

( )

c cc

p z z p z z x x c c cp z z z c

z z x x x x x x

El polinomio

0 0 1 0 0 1 2 0 1( ) [ ] [ , ]( ) [ , , ]( )( )p x p z p z z x z p z z z x z x z

Es decir, 2

00 01 0 02 0( ) ( ) ( )p x c c x x c x x

Satisface las condiciones dadas. En efecto:

00

1 00 01 1 0 02 1 0

1 00 01 1 0 10 00 01 1 0

10

01 02 0 0 01

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ( )]

( )

( ) 2 ( ), ( )

p x c

p x c c x x c x x

p x c c x x c c c x x

p x c

p x c c x x p x c

En conclusión p(x) es el polinomio de interpolación de Hermite para las condiciones dadas.

5) Use el método de diferencias divididas extensivas de Newton para obtener el polinomio

de Hermite que interpola la siguiente tabla:

xi f(xi) f’(xi) f’’(xi)

0 2 3

1 6 7 8

Calculo II 2012

81

Solución:

Como k0=2 (número de condiciones sobre el nodo x0=1) y k1=3 (número de condiciones

sobre el nodo x1=2), entonces en la tabla se repite el nodo x0=1 dos veces y el nodo x1=2

tres veces. Así que se construye la siguiente tabla de diferencias divididas:

zi D.D.0 D.D.1 D.D.2 D.D.3 D.D.4

z0=1 2 f[1,1]=3 f[1,1,2]=1 f[1,1,2,2]=1 f[1,1,2,2,2]=-1

z1=1 2 f[1,2]=4 f[1,2,2]=3 f[1,2,2,2]=1

z2=2 6 f[2,2]=7 f[2,2,2]=4

z3=2 6 f[2,2]=7

z4=2 6

En esta tabla los cálculos ser realizan como se indican a continuación:

0 1 2 3

2 3 4

(1) (2)[ , ] [1,1] 3; [ , ] [2,2] 7

1! 1!

(2)[ , ] [2,2] 7

1!

(2) 8[ , , ] [2,2,2] 4

2! 2

f ff z z f f z z f

ff z z f

ff z z z f

Luego el polinomio

0 0 1 0 1 2 0 1 2 3

2 2 2 2

( ) 2 3( ) 1( )( ) 2( )( )( ) ( 1)( )( )( )( )

( ) 2 3( 1)( 1) 2( 1) ( 2) ( 1) ( 2)

p x x z x z x z x z x z x z x z x z x z x z

p x x x x x x x

Satisface las condiciones dadas. En efecto:

2 2 2 2

2 2 2

2

2

(1) 2; (2) 2 3(2 1) (2 1) 2(2 1) (2 2) (2 1) (2 2) 5 1 6

( ) 3 2( 1) 2( 1) 4( 1)( 2) 2( 1)( 2) 2( 1) ( 2)

(1)3 ; (2) 3 2(2 1) 2(2 1) 3 2 2 7

( ) 2 4( 1) 4( 1) 4( 2) 2( 2) 4( 1

p p

p x x x x x x x x x

p p

p x x x x x x

2

2

)( 2) 4( 1)( 2) 2( 1)

(2) 2 8(2 1) 2(2 1) 8

x x x x

p

Calculo II 2012

82

4.-INTERPOLACIÓN DE TRAZADORES CÚBICOS

4.1.-Definición

Un trazador cúbico S es una función a trozos que interpola a f en los n+1 puntos (x0,y0), (x1,y1),

(x2,y2),..., (xn,yn) con a=x0<x1<...<xn=b. S es definida de la siguientes manera:

0 0 1

1 1 2

1 1

[ , ]

[ , ]( )

[ , ]n n n

S si x x x

S si x x xS x

S x x x

Dónde:

1. 2 3( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i i iS x a b x x c x x d x x para i=0,1,...,n+1

2. ( ) , 0,1, ,i iS x y i n Para efectos prácticos, ( ) , 0,1, , 1j j jS x y j n y

1 1 1( )n n nS x y , 1( )n n nS x y . El formulario asegura que ( 1) 1.j j jS x y

3. 1( 1) ( 1)i i i iS x S x para i=0,1,...,n-2

4. 1( 1) ( 1)i i i iS x S x

para i=0,1,...,n-2

5. 1( 1) ( 1)i i i iS x S x

para i=0,1,...,n-2

6. Se satisface una de las dos condiciones que siguen

0( ) ( ) 0nS x S x (frontera libre o natural)

0( 1) ( )iS x f x y ( ) ( )n nS x f x (frontera sujeta)

De acuerdo a la condición 1, ( ) .i i i i iS x y a y

Haciendo algunas manipulaciones algebraicas en el sistema, se obtiene

1

3

i ii

i

c cd

h

y 1 1(2 )

3

i i i i ii

i

y y h c cb

h

La condición de frontera natural hace que 0 0nc c .

Ahora todo depende del cálculo de los ci’s. Estos se calculan resolviendo el sistema (n+1)x(n+1).

Calculo II 2012

83

0

2 1 1 0

10 0 1

3 2 2 1

13 3 2 2

1 1 2

01 0 0 0

3( [ , ] [ , ])2( ) 0

3( [ , ] [ , ])

0 2( )3( [ , ] [ , ])

0 0 10

nn n n n

n n n n

n

cf x x f x x

ch h h hf x x f x x

ch h h hf x x f x x

c

Si: [ , ] ( ) / ( )i j i j i jf x x y y x x

4.2.-EJERCICIOS

1) Determinar el trazador cúbico (frontera libre) para la siguiente tabla:

xi yi=cos(3xi2).ln(xi

3+1)

x0=0 0

x1=0.75 -0.04099838

x2=1.5 1.31799

Solución:

El trazador es: 2 3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

2 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) [ , ]( )

( ) ( ) ( ) ( ) [ , ]

S x a b x x c x x d x x si x x xS x

S x a b x x c x x d x x si x x x

Hay que determinar los coeficientes de S0 y S1 resolviendo el sistema 8x8,

0 0 0

0

1 1 1

1

1 2 2

1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 0 0 1

0 1 1 10

0 1 1 1

0 0

1 2

( )0

( )0.0409838

( )0.75 0.5625 0.421875 1.31799

( ) ( )0.75 0.5625 0.421875

( ) ( ) 1.5

( ) ( )

( ) 0

( ) 0

S x ya

S x ya

S x ya b c d

S x S xa b c d a

S x S x b

S x S x

S x

S x

0 0 1

0 0 1

0

1 1

1.6875

2 4.5 2

2 0

2 4.5 0

c d b

c d c

c

c d

La solución de este sistema es:

0 0 0 0 1 1

1 1

0, 0.521299, 0, 0.829607, 0.0409838, 0.

878663, 1.86662, 0.829607.

a b c d a b

c y d

Calculo II 2012

84

Es decir:3

0

2 3

1

0.521299 0.829607 [0,0.75]( )

( ) 0.0409838 0.878663( 0.75) 1.86662( 0.75) 0.829607( 0.75) [0.75,1.5]

S x x si xS x

S x x x x si x

2) Determinar el trazador cúbico (frontera libre) para la siguiente tabla:

xi yi=xi4-4xi

3

x0=-2 48

x1=-1 5

x2= 0 0

x0= 1 -3

x1= 2 -16

Solución:

Observe que la función 4 34x x tiene un punto de inflexión en x=0

El trazador es: 3

0

3 2

1

3 2

2

3 2

3

( ) 9.85714( 2) 52.8571( 2) 48 [ 2, 1]

( ) 11.2857( 1) 29.5714( 1) 23.2857( 1) 5 [ 1,0]( )

( ) 0.714286 4.28571 2 [0,1]

( ) 2.14286( 1) 6.42857( 1) 8.71429( 1) 3

S x x x si x

S x x x x si xS x

S x x x x si x

S x x x x si x

[1,2]

3) Interpolar los siguientes datos mediante un trazador cúbico:

x 2 3 5

y -1 2 -7

Solución:

Definimos un polinomio cúbico en cada uno de los intervalos que se forman:

2 3

0 0 0 0 0

2 3

1 1 1 1 1

( ) [2,3]

( ) [3,5]

S x a b x c x d x si xS x

S x a b x c x d x si x

A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que el trazador debe pasar por los

puntos dados en la tabla. Así, tenemos que:

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1

(2) 1 2 4 8 1

(3) 2 3 9 27 2

(5) 7 5 25 125 7

S a b c d

S a b c d

S a b c d

Ahora calculamos la primera derivada de S(x): 2

0 0 0

2

1 1 1

2 3 [2,3]( )

2 3 [3,5]

b c x d x si xS x

b c x d x si x

Calculo II 2012

85

Al igual que en el caso de los trazadores cuadráticos, se presentan ecuaciones que pueden

presentar discontinuidad en los cambios de intervalo; las posibles discontinuidades son los

puntos donde se cambia de intervalo, en este caso x=3. Para evitar esta discontinuidad,

evaluamos x=3 en los dos polinomios e igualamos:

0 0 0 1 1 16 27 6 27b c a b c a

Análogamente procedemos con la segunda derivada:

0 0

1 1

2 6 [2,3]( )

2 6 [3,5]

c d x si xS x

c d x si x

Para lograr que S’’(x) sea continua:

0 0 1 118 2 18 2d c d c

En este punto contamos con 6 ecuaciones y 8incognitas, por lo tanto tenemos 2 grados de

libertad; en general; se agregan las siguientes 2 condiciones:

0( ) 0

( ) 0n

S x

S x

De lo cual vamos a obtener:

0 0

1 1

(2) 0 2 12

(5) 0 2 30

S c d

S c d

Con la cual, hemos completado un juego de 8 ecuaciones y 8 incógnitas, el cual es el

siguiente:

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1

0 0

1 1

2 4 8 1

3 9 27 2

3 9 27 2

5 25 125 7

3 9 27 3 9 27

2 18 2 18

2 12 0

2 30 0

a b c d

a b c d

a b c d

a b c d

a b c d a b c d

c d c d

c d

c d

Calculando las soluciones mediante matrices obtenemos:

0 1

0 1

0 1

0 1

1.25 0.625

7.5 9.375

10.7 39.875

0.5 50.125

a a

b b

c c

d d

Sustituyendo estos valores en nuestra función inicial, vemos que el trazador cúbico para la

tabla de datos dada, queda definida como sigue: 2 3

0

2 3

1

( )0.5 10.75 7.5 125 [2,3]( )

( ) 50.125 39.875 9.375 0.625 [3,5]

S x x x x si xS x

S x x x x si x

Calculo II 2012

86

4) Interpolar los siguientes datos utilizando trazadores cúbicos:

x -1 1 2 4

y -1 1 5 -2

Solución:

Nuevamente, definimos un polinomio cúbico en cada uno de los intervalos: 2 3

0 0 0 0 0

2 3

1 1 1 1 1

2 3

2 2 2 2 2

( ) [ 1,1]

( ) ( ) [1,2]

( ) [2,4]

S x a b x c x d x si x

S x S x a b x c x d x si x

S x a b x c x d x si x

Después, hacemos que el trazador pase por los puntos dados en la tabla. Así tenemos:

( 1) 1S implica que, 0 0 0 0 1a b c d

(1) 1S Implica que, 0 0 0 0

1 1 1 1

1

1

a b c d

a b c d

(2) 5S Implica que, 1 1 1 1

2 2 2 2

2 4 8 5

2 4 8 5

a b c d

a b c d

(4) 2S Implica que, 2 2 2 24 16 64 2a b c d

Enseguida calculamos la primera derivada: 2

0 0 0

2

1 1 1

2

2 2 2

2 3 [ 1,1]

( ) 2 3 [1,2]

2 3 [2,4]

b c x d x si x

S x b c x d x si x

b c x d x si x

Vemos entonces, que las posibles discontinuidades de S’(x) son x=1 y x=2 . Por lo tanto,

para hacer que S’(x) sea continua, igualamos las ecuaciones correspondientes en ambos

valores:

0 0 0 1 1 1

1 1 1 2 2 2

2 3 2 3

4 12 4 12

b c d b c d

b c d b c d

Ahora procedemos a calcular la segunda derivada:

0 0

1 1

2 2

2 6 [ 1,1]

( ) 2 6 [1,2]

2 6 [2,4]

c d x si x

S x c d x si x

c d x si x

Nuevamente, las posibles discontinuidades son x=1 y x=2 . Por tanto, para que S’’(x) sea

continua, se igualan las ecuaciones en ambos valores:

0 0 1 1

1 1 2 2

2 6 2 6

2 12 2 12

c d c d

c d c d

Finalmente, se agregan las condiciones de que la segunda derivada se anule en los puntos

inicial y final de la tabla. En este caso,

Calculo II 2012

87

0 0

2 2

( 1) 0 2 6 0

(4) 0 2 24 0

S c d

S c d

Con esto tenemos un juego de 12 ecuaciones con 12 incógnitas:

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

2 2 2 2

2 2 2 2

0 0 0 1 1 1

1 1 1 2 2 2

0 0 1 1

1 1 2 2

0 0

2 2

1

1

1

2 4 8 5

2 4 8 5

4 16 64 2

2 3 2 3

4 12 4 12

3 3

6 6

3 0

12 0

a b c d

a b c d

a b c d

a b c d

a b c d

a b c d

b c d b c d

b c d b c d

c d c d

c d c d

c d

c d

Calculando las soluciones mediante matrices obtenemos:

153 89 153 51

40 140 140 40

48 473 297 21

35 70 35 10

732 1867 288 24

35 70 35 35

a b c d

a b c d

a b c d

Por lo tanto, el trazador cúbico es:

2 3

0

2 3

1

2 3

2

153 89 153 51( ) [ 1,1]

40 140 140 140

48 473 297 21( ) ( ) [1,2]

35 70 35 10

732 1867 288 24( ) [2,4]

35 70 35 35

S x x x x si x

S x S x x x x si x

S x x x x si x

5) Determinar el trazador cúbico (frontera natural) para la siguiente tabla:

xi yi=cos(3xi2).ln(xi

3+1)

x0=0 0

x1=0.5 0.0861805

x2=1 -0.686211

x3=1.5 1.31799

Solución:

El trazador es:

Calculo II 2012

88

2 3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

2 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 3

( ) ( ) ( ) ( ) [ , ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ]

( ) ( ) ( ) ( ) [ , ]

S x a b x x c x x d x x si x x x

S x S x a b x x c x x d x x si x x x

S x a b x x c x x d x x si x x x

Hay que determinar los coeficientes de S0 y S2 .Iniciamos calculando los ci’s. Resolvemos el

sistema 4x4. Recordemos que 1i i ih x x .

0 1 02 1

2 1 1 010 0 1 1

21 0 1 2 3 2 2 1

3 2 2 13

0

1 0 0 03( )

2( ) 0

0 2( )3( )

0 0 0 1

0

c y yy y

x x x xch h h h

ch h h h y y y y

x x x xc

0

11

2

3

1 0 0 0 0

0.5 2 0.5 0 5.15143

0 0.5 2 0.5 16.6596

0 0 0 1 0

c

c

c

c

Obtenemos 0 1 20, 4.96871, 9.57196c c c y por convenio el comodín 3 0c .

Ahora podemos obtener el resto de coeficientes:

0 1 2

2 2 2

1.00048 1.48387 0.8177508

3.31247 9.69378 6.38131

i ia y

b b b

d d d

Finalmente el trazador cúbico es: 3

0

2 3

1

2 3

2

( ) 1.00048 3.31247 [0,0.5]

( ) ( ) 0.0861805 1.48387( 0.5) 4.96871( 0.5) 9.69378( 0.5) [0.5,1]

( ) 0.686211 0.8177508( 1) 9.57196( 1) 6.38131( 1) [1,1.5]

S x x x si x

S x S x x x x si x

S x x x x si x

Calculo II 2012

89

BIBLIOGRAFÍA

Autor – editorial – nombre del libro – paginas

Espinoza Ramos Eduardo, Editorial: EDUARDO ESPINOZA RAMOS, Análisis Matemático II.

Pág. 269-279.

Carreño Campos, Ximena; Cruz Schmidt, Ximena., Editorial: ARRAYAN EDITORES S.A.,

Algebra. Pág. 473-480.

Granville, Smith, Longley, Editorial: UTHEA, Calculo diferencial e integral, pág. 309 -312.

Autor: Eduardo Espinoza Ramos, Editorial: EDUKPERU, Análisis Matemático II, pág. 323,

324,343-345.

Espinoza ramos, Eduardo – Análisis matemático II cuarta edición (pág. 280-314).

Jorge Gárate, Máximo – Cálculo integral (pág. 6-9).

Larson, Hostetler, Edwards – Cálculo y geometría analítica sexta edición (pág. 291-305).

Espinoza Ramos Eduardo, Editorial: EDUARDO ESPINOZA RAMOS, Análisis Matemático ll,

pág. 630-633

Juan de Burgos, 2º Edición, Cálculo infinitesimal de una variable, pág. 369.

Máximo Mitac-Luis Toro, Editorial San Marcos, Tópicos de cálculo volumen 2. pág. 178-

182

Louis Leithold. Editorial Iberoamérica, El cálculo con geometría analítica segunda edición

pág. 549-555.

Leithold, Editorial Iberoamérica, el cálculo 7ma edición, pág. 639 y 738

Integrales Múltiples, Armando Venero, Editorial Gemar, Matematicas III Transformaciones, Pag. 73-95.

Heraldo Gonzales Serrano, Universidad de Santiago de Chile, Matemática General.

Tom Apostol, Editorial Reverté, Calculus Multivariable Vol. II Pág. 430-455. Erwin Kreyszig, Grupo Noriega Editores, Matemáticas Avanzadas Para Ingeniera Vol. II Pág.

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Richard L. Burden, International Thomson Editores, Análisis Numérico, Pág. 105-115, 134-

157, 188-190 y 190-237.

Calculo II 2012

90

INTEGRANTES CON SUS RESPECTIVOS TEMAS

Delegado: Reyna Córdova Marco Antonio

Yslache Galvan Miguel Ángel – Sumatorias Definición, propiedades, ejemplos.

Machaca Paitan Pedro Javier y Cancho Puse Erick Eduardo – Calculo de la integral definida

mediante sumatorias, definición, propiedades, ejemplos.

Sánchez Linares Johana Allisson y Yupanqui Rosas Anthony Juvenal – Calculo de Áreas por

sumatorias, definición, propiedades, Ejemplos

Salazar Leguía Adolfo Eduardo – Método del rectángulo.

Palomino Olivares Diego Oswaldo – Método del trapecio.

Sánchez Hervacio Jhonatan –Método de Simpson.

Mendoza Ttito Frank Jonathan – Integración por series de Taylor.

Peña Landeo Victor Daniel – Sumatorias dobles, definición, propiedades, ejemplos.

Bazan Pretell Antony Nilo y Licla Gutiérrez Luis Felipe – Calculo de integrales dobles por

sumatorias dobles.

Ruiz Rodríguez Omar y Reyna Córdova Marco Antonio – Calculo de integrales por

interpolación.