Calculo III Ejemplos Metodo de Lagrange Para Ingenieria Luz

Profesor:

Pedro Colina

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR

LA UNIVERSIDAD DEL ZULIAFACULTAD DE INGENIERIA

MARACAIBOCICLO BASICO

Cálculo III

Maracaibo, JUNIO 2013

METODO DE LOS MULTIPICADORES DE LAGRANGE

Este es un método que permite encontrar valores extremos, máximos o mínimos (maximizar o minimizar) de una función general sometida o sujeta a alguna

condición o restricción de la forma .

El método establece una ecuación en función de las condiciones o restricciones que debe cumplir la función, en todo caso se resuelve una ecuación vectorial llamada ecuación de Lagrange.

Considerando una restricción. Para cuando la función debe cumplir una restricción

. La ecuación de Lagrange tiene la forma:

,

Donde es el gradiente de la función; es el gradiente de la restricción;

es una constante, el multiplicador de Lagrange

Considerando dos restricciones.Para cuando la función debe cumplir dos restricciones

y la ecuación de Lagrange se escribe:

,

Se debe resolver el sistema de ecuaciones dadas a través de la ecuación vectorial y además la condición o condiciones formarán parte de ese sistema a resolver.

Se pudiera establecer un procedimiento general para aplicar el método el cual se puede establecer así:

Identificar la función de donde se desea hallar el valor máximo o mínimo, esta se llama función a optimizar, a la que se desea hallar los valores extremos.

Identificar la o las restricciones a cumplir por la función. Hallar el gradiente de la función: por ejemplo si la función es de tres variables:

Hallar el gradiente de la restricción:

Cálculo III Prof. P. Colina2

2

Formar la ecuación vectorial: o , para cuando hay una o dos condiciones a cumplir respectivamente.

Formar el sistema de ecuaciones que incluya las condiciones. Determinar todos los valores x, y, z y λ que satisfagan y .

Resolver el sistema de ecuaciones, usando cualquiera de los métodos que conoce. Formar los puntos.

Evaluar todos los puntos del resultado anterior en la función . En caso de ser necesario

EJEMPLOS DEL METODO DE LAGRANGE

Ejemplo 1:¿Cuál es el área máxima que puede tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 4

Solución:Represente un rectángulo con lados x e y, base y altura respectivamente.

La longitud de la diagonal es 4, fíjese que se forma un triangulo rectángulo.Función a optimizar: maximizar en este caso: Área.Área de un rectángulo: A = x.yCondición a cumplir: : De una manera más fácil:

Al tener identificadas la función y la condición, se determinan los gradientes.

Así las ecuaciones de Lagrange son:

…. (1)….. (2) …(3)

Al resolver el sistema, una de las formas puede ser:Multiplicar la ecuación (1) por x, y también la ecuación (2) por y,

…. (4) ….. (5)

Se igualan las ecuaciones (4) y (5)

Cálculo III Prof. P. Colina

x

y4

3

3

Al simplificar queda:; queda: .

Luego una variable se expresa en función de la otra y se sustituye en la ecuación (3). Si y = x

, entonces

Como estamos midiendo distancias, x solo puede tomar valores no negativos, así que se tiene un único punto que es para x= , la altura y también vale.Así se concluye que las dimensiones del rectángulo corresponden con un cuadrado de lado . Su área será: A= * =8

Ejemplo 2:¿Cuáles son los valores máximos y mínimos que puede tener una la función

, sobre el círculo ?

Solución:Se pide calcular los valores extremos de la función sujeta a la restricción

Calculamos los gradientes:

Las ecuaciones de Lagrange pueden escribirse:

……ec nº 1 ……ec nº 2……ec nº3

Partiendo de la ecuación Nº 1 se tiene:

y , entonces se verifican estos dos valores en las otras ecuaciones.

Si x=0 en la ec nº4 se obtiene:

Luego si , en la ec nº2 se tiene y=0, y luego en la ec nº3,

Como consecuencia, tal vez tiene valores extremos en los puntos: (0,1) (0,-1) (1,0) (-1,0)

Al evaluar a en esos cuatro puntos se encuentra que:


4

o

Por consiguiente, hay dos valores máximos en los puntos (0,1); (0,-1) y dos valores mínimos en los puntos: (1,0) y (-1,0).

Ejemplo 3:Determine las dimensiones de un cilindro circular recto con volumen máximo si el

área de su superficie es de 24π (unidades de longitud cuadradas).

Solución: Del enunciado se saca que la función que se quiere maximizar, en este caso, es la

función volumen del cilindro circular recto. La expresión de volumen para un cilindro circular recto es:

V(h,r) = πhr²

h: es la altura del cilindror: es el radio del cilindro

La restricción o la condición que debe cumplir la caja es que la superficie de la caja será igual a 24π (unidades de longitud cuadradas), escribimos la expresión de la superficie del envase cilindro circular recto considerando el fondo del recipiente y su “tapa”.

S(h,r)= 2 πr² + 2 πhr = 24 π

Observe que las expresiones del volumen y de la superficie están dadas respecto a las mismas dos variables: h y r.

Determinamos los gradientes.a) primero de la función a maximizar, la función volumen

Vh = πr²Vr = 2 πhr

b) luego el gradiente de la restricciónSh =2πr Sr = 4πr + 2 πh

La ecuación de Lagrange se escribe:

=


5

Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación de cada componente:

πr² = λ 2πr …ec nº 12 πhr = λ (4πr + 2 πh) …ec nº 2, además de 2 πr² + 2 πhr = 24 π …ec nº 3

Despejando λ de las ecuaciones nº 1 y nº 2, se tiene:

Al igualar ambas se obtiene:

, se sustituye en la ecuación nº 3 y se obtiene:

2 πr² + 2 π2rr = 24 π 2 πr² + 4πr² = 24 π 6 πr² = 24 π r² = 4

r = ± 2, pero solo se considera el valor positivo ya que r representa una distancia, así que el valor del radio r es 2, la altura h=4.

Finalmente se concluye que las dimensiones que producen el volumen máximo de un cilindro circular recto para una superficie de 24 π son: h = 4 ; r = 2

Ejemplo 4:Se desea fabricar una caja de cartón donde el material de los lados y la tapa es de

Bs 1/metro cuadrado y el costo del material del fondo es de Bs 3/ metro cuadrado. Determine las dimensiones que debe tener la caja para que su volumen sea de 2 metros cúbicos y su costo sea mínimo.

Solución: Primero dibujamos la caja donde sus lados sean paralelos al sistema de referencia

xyz.

Del enunciado se saca que la función que se quiere minimizar, en este caso, es la función costo. Entonces debemos escribir la llamada función costo, veamos, hay dos


6

precios diferentes involucrados en la fabricación de la caja: el fondo por un lado y las paredes o lados laterales y la tapa. Entonces:

Costo total = costo total fondo caja + costo total lados-tapa,Además:

Costo total fondo caja= costo unitario fondo*área de fondoCosto total lados-tapa = costo unitario lados-tapa*área lados- tapa.

Así que se puede escribir el costo total de la siguiente manera:

Si Identificamos:Costo total: CT. Costo unitario fondo: Cf. Donde Cf = 3 Bs/m²Área de fondo: Af. Donde Af = x*yCosto unitario lados-tapa: Cl-t . Donde Cl-t =1 Bs/m²Área lados-tapa: A l-t. Donde Al-t = x*y + 2x*z + 2y*z

Entonces: CT = Cf*Af + Cl-t*Al-t

Escribiéndolo en formulas se tiene:CT = 3 Bs/m²* x*y + 1 Bs/m² (x*y + 2x*z + 2y*z)

Asumiendo que las unidades son correspondientes: CT = 3 x*y + (x*y + 2x*z + 2y*z)

CT = 4 x*y + 2x*z + 2y*z

Finalmente esa es la formula a optimizar, de aquí vamos a hallar el costo mínimo de la caja con esas condiciones.

La restricción o la condición que debe cumplir la caja es que el volumen de la caja será:

V= xyz = 2

Determinamos los gradientes.CTx = 4 y + 2z CTy = 4x + 2zCTz = 2x + 2y

Vx= yzVy= xzVz= xy



7

=


4 y + 2z =λyz …ec nº 1 4x + 2z = λxz …ec nº 2 2x + 2y= λxy …ec nº 3, y además xyz = 2 …ec nº4

Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales por cualquiera de los métodos conocidos para estos casos.En particular, en este caso se multiplicara la ec nº 1 por x, la ec nº 2 por y, la ec nº 3 por z. quedan así las ecuaciones:

4 xy + 2xz =λxyz …ec nº 54xy + 2yz = λxyz …ec nº 62xz + 2yz= λxyz …ec nº 7, y aun se tiene la ec nº 4.

Fíjese que las tres ecuaciones poseen igual los segundos términos (λxyz), así que los igualaremos a través de ellos.

Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 6:4 xy + 2xz = 4xy + 2yz, luego2xz = 2yz, entoncesx = y, ….ec nº8

Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 7:4 xy + 2xz = 2xz + 2yz , luego 4 xy = 2yz , entonces 2x =z, …ec nº9

Luego se sustituyen las expresiones encontradas en las ecuaciones nº8 y nº9 en la ecuación nº4, de esa manera queda una sola ecuación con una sola incógnita que es la x.

xx2x = 2, entonces quedax³=1 y finalmente se obtienex= 1

Ahora por las ecuaciones nº 8 y nº 9 se obtiene que las dimensiones de la caja son:x = 1, y = 1, z = 2.

Note que efectivamente el volumen de la caja es de 2 m³.

El costo mínimo de la caja a construir será:CT = 4(1)(1) + 2(1)(2) + 2(1)(2) = 4 + 4 + 4 = 12 bolívares

Comentario:


8

En el costo del valor final de la caja, 12 bolívares, parece alto para la realidad, pero es que se usaron valores enteros para que los valores a calcular fuesen fáciles de ver.Luego se resolverán ejemplos mas complicados.

Ejemplo 5:

El material para el fondo de una caja rectangular cuesta el triple por metro cuadrado que el material para los lados y la tapa. Determine la máxima capacidad (volumen) que la caja puede tener si la cantidad total de dinero a gastar es de 6 bolívares y el material del fondo cuesta Bs 0.90/metro cuadrado.

Solución: Primero dibujamos una caja donde sus lados sean paralelos a los ejes del sistema de referencia xyz.

Del enunciado se saca que la función que se quiere maximizar, en este caso, es la función capacidad o volumen. Entonces debemos escribir la llamada función del volumen de la caja de acuerdo a su expresión geométrica.

V= xyz

Ahora identifiquemos la restricción: el costo fijo de la caja es de 6 bolívares, pero observemos que hay dos precios diferentes involucrados en la fabricación de la caja: el fondo por un lado y las paredes o lados laterales y la tapa. Escribamos la expresión del costo que es fijo e igual a 6 bolívares, entonces:

Costo total =6 Bs = costo total fondo caja + costo total lados-tapa,

Además:

Costo total fondo caja= costo unitario fondo*área de fondoCosto total lados-tapa = costo unitario lados-tapa*área lados- tapa.

Así que se puede escribir el costo total de la siguiente manera:

Si Identificamos:Costo total: CT. Costo unitario fondo: Cf. Donde Cf = 3 Bs/m²Área de fondo: Af. Donde Af = x*yCosto unitario lados-tapa: Cl-t . Donde Cl-t =1 Bs/m²Área lados-tapa: A l-t. Donde Al-t = x*y + 2x*z + 2y*z

Entonces: CT = 6 = Cf*Af + Cl-t*Al-t

Escribiéndolo en formulas se tiene:

6 = 0.9 Bs/m²* x*y + 0.3 Bs/m² (x*y + 2x*z + 2y*z)


9

Si decimos que las unidades son correspondientes, escribimos la expresión de manera más sencilla:

6 = 0.9 x*y + 0.3 (x*y + 2x*z + 2y*z)

6 = 1.2 x*y + 0.6x*z + 0.6y*z


Vx= yzVy= xzVz= xy

b) luego el gradiente de la restricciónCTx = 1.2 y + 0.6z CTy = 1.2x + 0.6zCTz = 0.6x + 0.6y


=λ


yz = λ( 1.2 y + 0.6z) …ec nº 1xz = λ (1.2x + 0.6z) …ec nº 2xy=λ(0.6x + 0.62y) …ec nº 3, y además6 = 1.2 x*y + 0.6x*z + 0.6y*z …ec nº4


xyz = λ 1.2 xy + 0.6 zx λ …ec nº 5yxz = 1.2x λ y + 0.6 yz λ …ec nº 6xyz = 0.6 xz λ + 0.6 yz λ …ec nº 7, y además6 = 1.2 x*y + 0.6x*z + 0.6y*z …ec nº4

Fíjese que las tres ecuaciones poseen igual los primeros términos (xyz), así que los igualaremos a través de ellos.

Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 6:


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1.2 λ xy + 0.6zx λ = 1.2 λ x y + 0.6yz λ 0.6zx λ = 0.6yz λ x = y

Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 7:1.2 λ xy + 0.6 zx λ = 0.6 xz λ + 0.6 yz λ 1.2 λ xy = 0.6 yz λ 1.2 x = 0.6 z 2 x = z

Se escribe la ec nº 4 respecto de una variable

6 = 1.2 xx + 0.6 x2x + 0.6 x2x

6 = 1.2 x² + 1.2 x² + 1.2 x²

6 = 3.6 x²

,

Como x representa una distancia se toma el valor positivo.

Así que:

Entonces los valores de las dimensiones de la caja son:

; ;

La capacidad total será:

V= * * = 2 .

Ejemplo 6:

Determine las dimensiones de una caja rectangular con la capacidad máxima, es decir con el máximo volumen, si el área de la superficie total será 64 cm. cuadrados.

Solución: Primero dibujamos una caja donde sus lados sean paralelos a los ejes del sistema

de referencia xyz.


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Del enunciado se saca que la función que se quiere maximizar, en este caso, es la función capacidad o volumen de una caja rectangular o de un paralelepípedo rectangular.

Entonces debemos escribir la llamada función del volumen de la caja de acuerdo a su expresión geométrica.

V= xyz

Además, se identifica la condición a cumplir o la restricción, dada por la superficie que debe poseer dicha caja, que es de 64 cm. cuadrados. Escribimos el área de la superficie (S):

S= 2xy + 2yz + 2xz = 64


Vx= yzVy= xzVz= xy

b) luego el gradiente de la restricciónSx = 2y + 2z Sy = 2x + 2zSz = 2x + 2y


=λ


yz = λ( 2 y + 2z) …ec nº 1xz = λ (2x + 2z) …ec nº 2xz = λ (2x + 2y) …ec nº 3 y además2xy + 2yz + 2xz = 64…ec nº4


xyz = 2 λx y + 2 λx z …ec nº 5xyz = 2 λ xy + 2 λy z …ec nº 6xyz =2 λ xz + 2 λ yz …ec nº7


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Fíjese que las tres ecuaciones poseen igual los primeros términos (xyz), así que los igualaremos a través de ellos.

Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 6:

2 λx y + 2 λx z = 2 λ xy + 2 λy z 2 λx y + 2 λx z = 2 λ xy + 2 λy z 2 λx z = 2 λy z, se obtiene: x = y

Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 7:2 λx y + 2 λx z = 2 λ xz + 2 λ yz 2 λx y = 2 λ yz x = z

Así que se tiene: x =y = z

Se escribe la ecuación nº4 en función de una sola variable: 2xy + 2yz + 2xz = 64…ec nº4, respecto de x por ejemplo, queda:

, por representar x una distancia se toma el valor positivo, así que:

, entonces:

y se concluye que: el volumen máximo para la condición dada es:

.

Ejemplo 7:

Determine cual es la distancia más corta entre el plano cuya ecuación es y el punto origen del sistema .

Solución:

Del enunciado se obtiene que la función que se quiere minimizar (obtener un valor mínimo), en este caso, es la función distancia entre dos puntos de . Fíjese que el enunciado establece: la distancia más corta, eso se refiere a la menor de las distancias, a la mínima distancia entre dos puntos, donde uno de los puntos es el origen y el otro punto debe estar sobre la superficie dada. Se desea optimizar la distancia.

Entonces debemos escribir la llamada función distancia (d).


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Además, se identifica la condición a cumplir o la restricción, eso es que el punto debe estar contenido en el plano dado por: .

Una observación muy importante y que nos ahorraría mucho tiempo y esfuerzo es que podemos trabajar con la distancia al cuadrado, es decir la función a minimizar se puede escribir como: , el alumno deberá demostrar que esto es cierto. Para ello deberá trabajar con la ecuación normal de la distancia y/o revisar bibliografías para llegar a comprender y concluir que se obtienen los mismos valores.

Determinamos los gradientes.a) primero de la función a minimizar, la función distancia:

dx= 2xdy= 2ydz= 2z

b) luego el gradiente de la restricciónSx = 1 Sy = 2Sz = 3


=


……ec nº1 ……ec nº2

……ec nº3, y además……ec nº4

Se resuelve el sistema de ecuaciones a partir de la igualación de .Al igualar las ecuaciones nº 1 y nº 2:

, y queda: …ec nº 5

Al igualar las ecuaciones nº 1 y nº 3:, y queda: …ec nº 6

Se sustituyen las expresiones de restas dos variables en la ec nº 4 para que quede respecto de una variable.

, así que


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Se obtienen los valores de los otras dos variables:

Además: .

Así que la distancia mas corta entre el punto (0,0,0) y el plano dado es:

Ejemplo 8:Determine la mínima distancia entre el origen y la superficie .

Solución:Del enunciado se obtiene que la función que se quiere minimizar, en este caso, es

la función distancia entre dos puntos de , donde uno de los puntos es el origen y el otro punto debe estar sobre la superficie dada. Se desea optimizar la distancia.

Entonces la ecuación la llamada función distancia (d).

Además, se identifica la condición a cumplir o la restricción, eso es que el punto debe estar contenido en la superficie dada por. . Es decir, debe satisfacer la ecuación de esa superficie.

Una observación muy importante y que nos ahorraría mucho tiempo y esfuerzo es que, de nuevo, al igual que en el ejemplo anterior, se puede trabajar con la distancia al cuadrado, es decir la función a minimizar se puede escribir como: , el alumno deberá demostrar que esto es cierto. Para ello deberá trabajar con la ecuación normal de la distancia y/o revisar bibliografías para llegar a comprender y concluir que se obtienen los mismos valores.

Determinamos los gradientes.a) primero de la función a minimizar, la función distancia:

dx= 2xdy= 2ydz= 2z

b) luego el gradiente de la restricciónSx = 2xy Sy = x²Sz = -2z


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=


……ec nº 1 ……ec nº 2

……ec nº 3, y además……ec nº 4

Se resuelve el sistema de ecuaciones, veamos como se hace en este caso:

De la ecuacion nº 1 se tiene, al hacer cero de un lado:, , de aquí salen dos situaciones:

i. . Entonces si x=0, de la ec nº 2 queda y=0 , y al sustituir en ec nº 4 se obtiene: . Se obtienen los puntos: :(0,0,3) y : (0,0,-3).

ii. , se despeja λ, se tiene: ,

se sustituye en la ec nº 3, se observa: se sustituye en la ec nº 2 y queda: ,entones luego al sustituir

los valores , ambos en la ec nº 4: que al resolver se obtiene: .

De esta parte se han obtenido los siguientes puntos: :

:

:

:

Seguimos analizando las opciones planteadas del sistema de ecuaciones, de la ec nº 3.

de aquí también salen dos situaciones:i. , pero esta opción ya fue considerada en la parte anterior, así que no

se estudiará de nuevo. ii. . De la ec nº 4 se obtiene: , .. ec nº 5

además, se puede comentar aquí que y debe ser negativo.

Si multiplico la ec nº 1 por x , la nº 2 por y se obtiene: así que ……ec nº 6

así que ……ec nº 7Que al igualar estas dos últimas ecuaciones se obtiene:

… … Ec nº 8


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Que al sustituirla en la ec nº 5 se obtiene:,

,

Esto representa otro valor probable para y.

Entonces de , se obtienen dos valores para x.

,

, de igual forma

,

Se forman dos puntos posibles más:

: y .

Con esta parte damos por terminada la búsqueda de los puntos críticos, hemos obtenido ocho puntos críticos al analizar todas las posibles condiciones que se pueden dar en este caso.

Finalmente vamos a hallar las distancias para saber cual es la menor de todas, que es el objetivo del ejercicio.

Fíjese que la distancia a los puntos: :(0,0,3) y : (0,0,-3), es la misma:

.

También la distancia a los puntos: , , , es la misma y es igual a:

Además la distancia a los puntos y , también es igual:

Concluimos que la distancia mínima del origen a la superficie es igual a 2,33 unidades de longitud.


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Ejercicios propuestos y tarea a realizar.

1) Determine las dimensiones de una caja rectangular de volumen 2 m³ para que la suma de las longitudes de las aristas sea mínima.

2) Determine las dimensiones de una caja rectangular de volumen máximo si la superficie total deberá ser 220 cm².

3) Se desea fabricar una caja donde el costo del material para los lados y la tapa es de Bsf 1,2/m² y el costo de la parte inferior es de Bsf 2,4/m². determine las dimensiones de la caja con volumen 2 m³.

4) El material para la fabricación del fondo de una caja rectangular cuesta el doble por cada metro cuadrado que el material para los lados y la tapa. Determine la máxima capacidad que puede tener la caja si la cantidad total de dinero disponible es de Bsf 6 y el material del fondo cuesta Bsf 0,80 por metro cuadrado.

5) Determine cual es el punto del plano que es más cercano al origen ¿Cuál es la distancia más corta?

6) Un tanque metálico rectangular sin tapa debe contener 4,2 m² de líquido. ¿Cuáles son las dimensiones del tanque que requieren menos material para su construcción?

7) Determine la mínima distancia entre el punto (1,2,0) y el cono cuadrático .

8) Determine el volumen máximo de una caja rectangular cerrada con caras paralelas

a los planos coordenados inscrita en el elipsoide de ecuación:

9) Se desea hallar los dos números positivos cuya suma sea 16 y donde el cuadrado del primero sumado al cubo del segundo den el valor máximo posible.

10)Determine la mínima distancia entre el punto (1,2) y la parábola

11)El material para la fabricación del fondo y la tapa de una caja rectangular cuesta el triple por cada metro cuadrado que el material para los lados. Determine la máxima capacidad que puede tener la caja si la cantidad total de dinero disponible es de Bsf 6 y el material del fondo cuesta Bsf 0,90 por metro cuadrado.

12)Se desea construir una pecera de sección rectangular, el fondo de esquisto y las paredes de vidrio, si el esquisto cuesta 4 veces el costo del vidrio por metro cuadrado. Cuales serán las dimensiones de la pecera si el volumen es 0.8 m³ si se desea que el costo sea mínimo.

13)Una caja rectangular cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas, se inscribe en un elipsoide de ecuación: ¿Cuál es el mayor volumen posible para la caja?

14)Determine el mínimo de la función , sujeta a la restricción:


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