CALCULO INFINITESIMAL CURSO 2015/16 -...

CALCULO INFINITESIMAL CURSO 2015/16Grado en Matematicas

Renato Alvarez-NodarseUniversidad de Sevilla

http://euler.us.es/˜renato/clases.html

Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla CALCULO INFINITESIMAL CURSO 2015/16

¿De que va esta asignatura?

Dada una “funcion”, por ejemplo, f (x) =2x

1 + x2queremos

saberlo todo sobre ella:

¿Tiene maximos y mınimos? ¿donde?

¿Como se comporta si x → ±∞?

¿Cual es el area bajo f entre 2 y 5?

Si hacemos rotar la grafica de f alre-dedor del eje 0X ¿cual es el volumendel cuerpo que se genera por la graficaentre digamos, −5 y 5?

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-4 -2 0 2 4 -1-0.5 0 0.5 1-1

-0.5 0

Parece un poco abstracto ¿no?

1 + x2queremos

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-4 -2 0 2 4 -1-0.5 0 0.5 1-1

-0.5 0

1 + x2queremos

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-4 -2 0 2 4 -1-0.5 0 0.5 1-1

-0.5 0

1 + x2queremos

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-4 -2 0 2 4 -1-0.5 0 0.5 1-1

-0.5 0

1 + x2queremos

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-4 -2 0 2 4 -1-0.5 0 0.5 1-1

-0.5 0

Siempre un poco de historia viene bien.

La paradoja de Zenon: Aquiles y la tortuga

Calculando en area de una curva (Fermat)

x1 x2 x3 xn−1...0 a

A ≈ f (x1)(x1 − 0) + f (x2)(x2 − x1)+

· · ·+ f (a)(b − xn−1)

xk =bk

n⇒ A≈ n(n+1)(2n+1)

6n3a3≈ a3

xk =qn−ka ⇒ A ≈ a3

1+q+q2+ [·]q3(n−1)

x1 x2 x3 xn−1...0 a

A ≈ f (x1)(x1 − 0) + f (x2)(x2 − x1)+

· · ·+ f (a)(b − xn−1)

xk =bk

n⇒ A≈ n(n+1)(2n+1)

6n3a3≈ a3

1+q+q2+ [·]q3(n−1)

x1 x2 x3 xn−1...0 a

A ≈ f (x1)(x1 − 0) + f (x2)(x2 − x1)+

· · ·+ f (a)(b − xn−1)

xk =bk

n⇒ A≈ n(n+1)(2n+1)

6n3a3≈ a3

1+q+q2+ [·]q3(n−1)

x1 x2 x3 xn−1...0 a

A ≈ f (x1)(x1 − 0) + f (x2)(x2 − x1)+

· · ·+ f (a)(b − xn−1)

xk =bk

n⇒ A≈ n(n+1)(2n+1)

6n3a3≈ a3

1+q+q2+ [·]q3(n−1)

x1 x2 x3 xn−1...0 a

A ≈ f (x1)(x1 − 0) + f (x2)(x2 − x1)+

· · ·+ f (a)(b − xn−1)

xk =bk

n⇒ A≈ n(n+1)(2n+1)

6n3a3≈ a3

1+q+q2+ [·]q3(n−1)

¿Que vamos a necesitar?

1 Propiedades basicas de los numeros reales

2 Concepto de lımite y su utilidad

3 Sucesiones y funciones

4 Propiedades de las funciones: continuidad, derivabilidad

5 Integracion de funciones

6 Series numericas y de potencias

7 ¿Sirve para algo? SI es la base junto al AL de casi todas lasdemas asignaturas, pero ademas, como luego veremos, este esel lenguaje que describe el mundo que nos rodea.

7 ¿Sirve para algo?

SI es la base junto al AL de casi todas lasdemas asignaturas, pero ademas, como luego veremos, este esel lenguaje que describe el mundo que nos rodea.

Metodologıa

La asignatura esta dividida en 2 horas teoricas y ≈ 2 horaspracticas semanales.

¡Ordenador!

• Las horas de teorıa se dedicaran a la explicacion de los principalesconceptos teoricos ası como a desarrollar distintos ejemplos quepermitan aplicar y profundizar los metodos aprendidos.

• Las horas practicas se dedicaran a proponer y resolver diversosejercicios que permitan al alumno una comprension mas profundade los conceptos teoricos y que sirvan de complemento a las clasesteoricas.

• En las horas de laboratorio aprenderemos a usar un programa decalculo sımbolico/numerico para resolver problemas.

Metodologıa

La asignatura esta dividida en 2 horas teoricas y ≈ 2 horaspracticas semanales. ¡Ordenador!

Metodologıa

PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

Renato Alvarez

Primer cuatrimestre1 Numeros y funciones2 Introduccion al concepto de lımite3 Continuidad y derivabilidad

Manuel Ordonez (Teorıa)

Luis Bernal (problemas)

Segundo cuatrimestre1 La integral como herramienta2 Sucesiones y series de numeros

PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

Renato Alvarez

Primer cuatrimestre1 Numeros y funciones2 Introduccion al concepto de lımite3 Continuidad y derivabilidad

Manuel Ordonez (Teorıa)

Luis Bernal (problemas)

Segundo cuatrimestre1 La integral como herramienta2 Sucesiones y series de numeros

Temario de la asignatura: 1o cuatrimestre

Capıtulo I: Numeros y funciones

Numeros y operaciones: Los numeros reales y sus propiedades.Operaciones con numeros. El valor absoluto y la distancia.Intervalos. El metodo de induccion. El axioma del supremo.

Funciones elementales: Las funciones elementales, suspropiedades y sus graficas: polinomios, funciones racionales,funciones trigonometricas y sus inversas, el logaritmo, la funcionexponencial y las funciones hiperbolicas.

Capıtulo II:Introduccion al concepto de lımite

Introduccion a las sucesiones numericas: Lımite de sucesionesnumericas. Convergencia y sucesiones monotonas. Primeraspropiedades.

Lımite de funciones: Lımites de funciones: definicion ypropiedades.

Capıtulo III: Continuidad y derivabilidad

Continuidad: Funciones continuas. Tipos de discontinuidades:funciones monotonas. Propiedades de las funciones continuas:teoremas de Bolzano y Weierstrass.

Derivadas: Definicion de la derivada de una funcion. Reglas dederivacion. Calculo de derivadas. Propiedades de las funcionesderivables: teoremas de Rolle y del valor medio.

Aplicaciones de las derivadas: Aplicacion el estudio delcrecimiento de funciones y de sus extremos relativos. Aplicacion alcalculo de lımites: la regla de L’Hopital. Derivadas sucesivas: elpolinomio de Taylor. Aplicacion: estudio de la concavidad yconvexidad de funciones.

Capıtulo IV: La integral como herramienta

La integral de Riemann: La integral de Riemann. Propiedades.Teoremas fundamentales del calculo integral.

Metodos para el calculo de primitivas

Aplicaciones de la integral:Area de conjuntos planos. Longitud de curvas planas. Volumen decuerpos en R3. Area de superficies de revolucion. Aplicaciones enotras ciencias.

Capıtulo V: Mas de Sucesiones y series de numeros

Sucesiones de numeros: Convergencia de sucesiones y el criteriode Cauchy. Sucesiones no convergentes.

Series de numeros: Definicion y propiedades. Series de terminospositivos: criterios de convergencia. Series con signo arbitrario.

Los numeros complejos: Operaciones y conjugacion. Formapolar: potencias y raıces.

Bibliografıa muy basica

APOSTOL, T.M. Calculus I. Ed. Reverte.

COURANT, R., y JOHN, F. Introduccion al Calculo y al AnalisisMatematico I y II, Ed. Limusa. (en ingles en Ed. Springer)

KUDRIAVTSEV, L.D. Curso de Analisis Matematico I y II, Ed. Mir.

SPIVAK, M. Calculus. Ed. Reverte.

V A. ZORICH, Mathematical Analysis I (Springer, 2004)

Problemas

DEMIDOVICH, B.P. 5000 problemas de Analisis Matematico. Ed.Paraninfo.

GUZMAN, M.; RUBIO, B. Problemas, conceptos y metodos del analisismatematico. 3 vol. Ed. Piramide.

LIASHKO, y otros. Matematica Superiores. Problemas Resueltos I, II y III(Anti-Demidovich), Ed. URSS.

Evaluacion

Se realizaran cuatro pruebas escritas a lo largo del curso,correspondientes a los siguientes grupos de temas:

Primera prueba: temas 1, 2, 3 y 4.

Segunda prueba: temas 5, 6 y 7.

Tercera prueba: temas 8, 9 y 10.

Cuarta prueba: temas 11, 12 y 13.

Estas pruebas se evaluaran sobre 10 puntos cada una. Seranecesarios un mınimo de 4 puntos en cada prueba y al menos20 puntos para aprobar la asignatura. En todo caso, elresultado de las pruebas tendra caracter liberatorio respectode la convocatoria de junio de la asignatura. PROYECTOS

1er parcial: febrero de 2016, 2do parcial: junio de 2016. 1raconvocatoria del examen final: junio de 2016. 2daconvocatoria del examen final: septiembre de 2016.

diciembre NO

Evaluacion

diciembre NO

Evaluacion

diciembre NO

Evaluacion

diciembre NO

Horario de Clases y Tutorıas

Horario de Clases: Martes y jueves de 11:30 a 13:30

Lugar: Aula EC02 (Edificio Fac. Matematicas).

Pero ¿tengo que venir a clase?

Horario de Tutorıas: Lunes de 11:00 a 12:00, miercoles y viernesde 11:00 a 13:30.

Lugar: Despacho 15-07 (Modulo 15, 1o piso de la Facultad deMatematicas). Aconsejable pedir cita

Cambios de clase, etc

DATOS RELEVANTES

Profesor Renato Alvarez

Despacho: 1a planta, Mod 15, No. 15-07Facultad de Matematicas.

E-mail: [email protected] Telefono: 954 55 79 94

Web del curso: http://euler.us.es/˜renato/clases.html

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