Cambio de Variable

Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones

128

4. CAMBIO DE VARIABLE EN LAS INTEGRALES

MLTIPLES

En esta seccin se presenta una alternativa para resolver integrales mltiples cuando el

proceso de determinar las antiderivadas parciales es muy complicado o riguroso. Para

ello es necesario definir transformaciones geomtricas de 2 2\ \ y 3 3\ \ ; posteriormente se enuncian los teoremas de cambios de variables para integrales

dobles y triples, sugiriendo los sistemas de coordenadas ms empleados: Sistema polar

para integrales dobles y los sistemas de coordenadas cilndricas y esfricas para

integrales triples.

4.1 INTRODUCCIN

En el clculo integral, para evaluar una integral definida de una

funcin real de variable real en un intervalo cerrado [ ]a,b existe un teorema que permite cambiar la variable de integracin con la

finalidad de resolver dicha integral de una manera ms sencilla.

Para resolver la integral del segundo miembro de la ecuacin IV.1

se realiza el cambio de variable, CV, y el cambio de los lmites de

integracin, CLI, sealado en la parte inferior izquierda de esta

pgina.

TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Definida

Sea [ ]: ,f a b \ una funcin continua y [ ]: ,g c d \ una funcin derivable con derivada ( )g t continua (es decir, g es de clase C1) tal que [ ]( ) [ ]g c,d a,b , entonces

( ) ( ) ( )b da c

f x dx f g t g t dt= (IV.1)

La expresin: [ ]( ) [ ]g c,d a,b

Significa que las imgenes de la funcin g son un subconjunto de [ ]a,b .

CV ( )( )

x g t

dx g t dt

==

CLI

( )( )

t c x g c a

t d x g d b

= = == = =

Recuerde que emplear un cambio de variable de un integral definida implica que el cambio afecta: el intervalo de integracin, el integrando y la diferencial.


129

Cuando se desea resolver una integral doble empleando un

cambio de variable, el proceso resulta ms complicado pues se

deben cambiar ambas variables x y y por las variables u y v, por

ejemplo. Este cambio se realiza mediante una transformacin

geomtrica del tipo 2 2\ \ .

4.2 TRANSFORMACIN GEOMTRICA DE 2 2\ \ Una transformacin geomtrica del tipo 2 2\ \ se realiza cuando una regin bidimensional D del plano xy se transforma o

convierte en una nueva regin bidimensional D del plano uv. Esta transformacin se realiza por medio de una funcin 2 2T : \ \ .

Sea T una funcin definida como 2 2T : D D \ \ , tal que:

( ) ( ) ( )( )1 2T u,v T u,v ,T u,v= (IV.2) Donde:

( )1T u,v x= (IV.3) ( )2T u,v y= (IV.4)

Por lo tanto, la funcin de transformacin es:

( ) ( )T u,v x, y= (IV.5) La cual suele escribirse como:

( )( )( )

1

2

T u,v xT u,v

T u,v y

= = (IV.6)

En otras palabras, la funcin T transforma todo punto ( )u,v D en un punto ( )x, y D .


130

Por otra parte, como se busca resolver una integral doble

( )D

f x, y dA empleando un cambio de variable, observe que al componer las funciones f con T , se obtiene:

( )( ) ( )f T u,v f u,v= (IV.7) En la figura 4.1 se observa la transformacin geomtrica de la

regin D en la regin D , la cual se realiza por medio de la funcin T .

Figura 4.1

Transformacin geomtrica de la regin D en la regin D

TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Doble

Sea 2:f \ \ una funcin continua de las variables x y y definida en la regin 2D \ . Sea T una funcin inyectiva que transforma los puntos ( ) 2u,v D \ en ( ) 2x, y D \ , mediante la expresin ( ) ( )T u,v x, y= . Suponga que T es de clase C1 y que la derivada ( )T u,v es una matriz inversible ( )u,v D , entonces:

( ) ( )( ) ( )( )D Dx, y

f x, y dA f T u,v dudvu,v

= (IV.8)

Una matriz ( )T u,v es inversible cuando su determinante es no nulo en todos los puntos ( )u,v D . Por otra parte:

( ) ( )1D T D D T D = =por lo cual T debe ser inyectiva.

La expresin: ( )( )f T u,v tambin suele escribirse:

( ) ( )( )1 2f T u,v ,T u,v


131

El trmino ( )( )x, yu,v

se conoce como determinante del jacobiano y

se obtiene como:

( )( )

x xx, y u v

detu,v y y

u v

= (IV.9)

O tambin suele escribirse como:

( )( )

u v

u v

x xx, y

detu,v

y y

= (IV.10)

Sin embargo, en algunas ocasiones, se desconoce la

transformacin ( ) ( )T u,v x, y= ms apropiada. En estos casos, se propone una transformacin inversa del tipo ( ) ( )1T x, y u,v = , la cual vendr dada por las ecuaciones que limitan a la regin D o

por la funcin integrando. Cuando se presenta esta situacin, el

jacobiano ( )( )x, yu,v

se obtiene mediante la propiedad:

( )( )

( )( ) 1

x, y u,vu,v x, y

= (IV.11)

En donde:

( )( )

x y

x y

u uu,v

detx, y v v

= (IV.12)

Por lo tanto, el teorema de cambio de variable para integrales

dobles puede escribirse como:

Al determinante del jacobiano:

( )( )x, yu,v

tambin se le llama jacobiano.


132

( ) ( )( ) ( )( )

1D D

f x, y dA f T u,v dudvu,vx, y

=

(IV.13)

La demostracin del teorema de cambio de variable en una

integral doble es muy rigurosa; sin embargo, seguidamente se

prueba dicho teorema en el caso particular que la funcin

integrando, f , es igual a la unidad, es decir:

( )( )D Dx, y

dA dudvu,v

= (IV.14) Demostracin del Teorema de cambio de variable en una

integral doble, cuando la funcin integrando es igual a la

unidad:

Considere una regin D definida como:

( ){ }0 0 0 0D u,v u u u u v v v v = + + (IV.15) La cual se aprecia en la figura 4.2

Figura 4.2

Una regin D en el plano uv

Por lo tanto la regin D es un rectngulo cuyos vrtices son los puntos: ( )0 0A u ,v , ( )0 0B u u,v + , ( )0 0C u ,v v + y

( )0 0D u u,v v + + .

Recuerde que :

DdA

representa el rea de la regin D.


133

Considere ahora, una funcin de transformacin ( )T u,v , la cual puede aproximarse como:

( ) ( )0 0 uT u,v T u ,v T v + (IV.16)

Donde T es la derivada de T evaluada en ( )0 0u ,v . La imagen del rectngulo D bajo el efecto de la transformacin T propuesto en la expresin IV.16 se muestra en la figura 4.3

Figura 4.3

Regin D bajo el efecto de la expresin IV.16

Entonces, la aproximacin de T , planteada en IV.16, transforma

al rectngulo D en un paralelogramo con vrtice en ( )0 0T u ,v y con lados adyacentes, correspondientes a u y v , definidos por los vectores: ( )iT u y ( )jT v , los cuales pueden escribirse como:

( )0i

x x xuu v uT u u

y y yu v u

= = (IV.17)

( ) 0jx x xu v vT v vy y v yu v v

= = (IV.18)

Los vectores iu y jv son:

0iu

u =

0jv v

=

Por otra parte,

xx yuu u , u

y u uu

= x

x yvv v , vy v vv

=


134

Donde las derivadas parciales de las ecuaciones IV.17 y IV.18

estn evaluadas en ( )0 0u ,v . Luego, el rea del paralelogramo de la figura 4.3 est dada por:

x x x x x xu vu v u v u v

det det u v det u vy y y y y yu vu v u v u v

= =

(IV.19)

Empleando la ecuacin IV.9, se tiene:

( )( )

( )( )

x xu vx, y x, yu v

det u v u vu,v u,vy yu v

u v

= = (IV.20)

Ahora, si la regin D es dividida en pequeos rectngulos con lados de longitud u y v , y se emplea la aproximacin de T planteada en IV.14, estos rectngulos son transformados en

pequeos paralelogramos cuyos lados estn definidos por los

vectores x yu , uu u y

x yv , vv v , donde el rea de cada

paralelogramo se obtiene como ( )( )x, y

u vu,v

, entonces el rea de

( )T D , denotada ( )T DA se puede aproximar como:

( )( )( )T Dx, y

A u vu,v

(IV.21) Luego tomando el lmite cuando u y v tienden a cero, en la expresin anterior, resulta:

( )( )( )T D Dx, y

A dudvu,v

= (IV.22)

El rea de un paralelogramo cuyos lados estn definidos por los vectores:

( )a,b y ( )c,d Se obtiene como el valor absoluto del determinante:

a b a cc d b d

=

Recuerde que u y v son longitudes, por lo tanto:

u u = v v =


135

Entonces, queda demostrada la ecuacin ( )( )D Dx, y

dA dudvu,v

= En la figura 4.4 se aprecia la transformacin de la regin D pr medio de T .

Figura 4.4

Transformacin T en una regin D

Calcular la integral doble 11D

dAxy+ , empleando un cambio de

variable adecuado, donde D es la regin del plano en el primer

cuadrante limitada por y x= , 2y x= , 1xy = y 2xy = . Solucin:

A continuacin se muestra el recinto D .

Figura 4.5

Regin D del ejemplo 4.1

EJEMPLO 4.1

En este ejemplo, la transformacin ( ) ( ), ,T u v x y= no

est dada por lo cual a partir de la grfica se propone una transformacin

( ) ( )1 , ,T x y u v =

y x=

2y x=

D

1yx

=

2yx

=

2 22

,

( )2 2,

( )1 1,

( )1 2,


136

A partir de la grfica anterior, se propone el siguiente cambio:

( ), ,y xy u vx

=

Es decir:

( ) ( )1 , ,T x y u v = Con este cambio de variable, la regin de integracin cambia

mediante la expresin ( )1D T D = , por lo tanto: ( ){ }1 2 1 2D u,v u v =

En la figura 4.6 se observa la transformacin de la regin D a la

regin D .

Figura 4.6

Transformacin de la regin D en D del ejemplo 4.1

Para poder resolver la integral doble pedida empleando el cambio

de variable, se necesita determinar el jacobiano ( )( )x, yu,v

, para lo

cual se emplea la propiedad IV.10, luego

( )( )

2

1

2 2

yu,v y y yx xdet ux, y x x x

y x

= = = =

Con el cambio propuesto se obtiene la regin D

1 1yy x ux

= = =2 2 2yy x u

x= = =

1 1xy v= = 2 2xy v= =

1v =

D

2v =

D

1T

Valor de u a la salida de D

2u = Valor de u a

la entrada de D 1u =

Por medio de la tranformacin 1T , la nueva regin de integracin D es una regin rectangular.

Recuerde que:

y ux

vxy

=


137

Empleando la ecuacin IV.12 se tiene que:

( )2 2 2 2

1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 2 2 1D

I dA dudv dudvxy v u v u

= = =+ + +

( ) ( ) ( ) ( )2 2

1

2 1 3 2 22 1 2

lnI dv ln ln lnv

= = +

( ) ( ) ( )21 1 3 2 21 2D

dA ln ln lnxy

= +

Calcular la integral doble cosD

y x dAy x

+ , empleando un cambio de variable adecuado, donde D es la regin mostrada a

continuacin.

Figura 4.7


EJEMPLO 4.2

1C

D

3C

4C

2C


138

Solucin:

Determinando las ecuaciones de las curvas que limitan a la regin

D se tiene:

1

2

3

4

: 0: 2 2: 0: 1 1

C xC y x y xC yC y x y x

== + === + =

A partir de la funcin integrando ( ), cos y xf x yy x

= + , se propone

una transformacin del tipo ( ) ( )1 , ,T x y u v = : y x uy x v = +

Entonces:

( ){ }1 2D u,v v u v v = La figura 4.8 muestra la transformacin de la regin D a la regin

D por medio de 1T .

Figura 4.8

Transformacin de la regin D en D del ejemplo 4.2

Con el cambio propuesto se obtiene la regin D

1 1y x v+ = = 2 2y x v+ = =

0

0

u xy

v xy u v

= = == =

0

0

u yx

v yx u v

== == =

1v =

D

2v =

D

1T

Valor de u a la salida de D

u v= Valor de u a

la entrada de D u v=

Por medio de la tranformacin 1T , la nueva regin de integracin D es una regin tipo 2.


139

Calculando el jacobiano ( )( )x, yu,v

, se tiene que:

( )( )

1 11 1 2

1 1

u,vdet

x, y

= = =

Empleando la ecuacin IV.12 se tiene que:

( ) ( )2 21 1

1 31 12 2

v

D v

y x uI cos dA cos dudv sen vdv seny x v

= = = = +

( )3 12D

y xcos dA seny x

= +

4.2.1 TRANSFORMACIN A COORDENADAS POLARES

A continuacin se describe un caso particular del cambio de

variable para integrales dobles: cambio a coordenadas polares.

Considere que se desea calcular una integral doble ( )D

f x, y dA , donde D es una regin como la mostrada en la figura 4.9.

Figura 4.9

Una regin general D

Recuerde que:

( )1 , y x uT x yy x v

= = +

En el APNDICE A, se presenta un repaso del sistema de coordenadas polares.

D

2 2 21x y r+ =

2 2 22x y r+ =


140

La regin D est definida como sigue:

( ) ( ) ( ){ }2 2 2 21 2 1 2D x, y r x y r tg x y tg x = + (IV.23) Para expresar dicha regin D en coordenadas polares, denotada

D , es necesario hacer la trasformacin de coordenadas 2 2T : D D \ \ , sealada en la expresin IV.24:

( ) ( ) ( )T r, r cos ,rsen x, y = = (IV.24) Por lo tanto la regin D es:

( ){ }1 2 1 2D r, r r r = (IV.25) En la figura 4.10 se observa como la regin D del plano r es transformada a travs de la funcin T en la regin D del plano

xy .

Figura 4.10

Transformacin de la regin D en la regin D a travs de ( ) ( )T r, x, y =

Al emplear el teorema de cambio de variable en una integral

doble, se tiene:

( ) ( ) ( )( )D Dx, y

f x, y dA f r cos ,rsen drdr,

= (IV.26)

Para que la funcin: 2 2T : D D \ \

sea inyectiva es necesario que:

0 2 <


141

En donde el jacobiano de la transformacin es:

( )( ) 2 2

x x cos rsenx, y r

det det r cos rsenr, y y sen r cos

r

= = = +

( )( ) ( )2 2x, y r cos sen rr, = + = (IV.27)

Por lo cual se puede enunciar el siguiente teorema de cambio a

coordenadas polares de una integral doble.

En algunas ocasiones, la regin D es ms general que la

planteada anteriormente, tal como la regin que se ilustra a

continuacin:

Figura 4.11

Una regin ms general D

TEOREMA: Cambio a coordenadas polares en una integral doble

Sea 2:f \ \ una funcin continua en un rectngulo D , definido por ( ){ }1 2 1 2D r, r r r = , donde

2 10 2 < , entonces:

( ) ( )D D

f x, y dA f r cos ,rsen rdrd = (IV.28)

Recuerde que:

( )r cos x

T r,rsen y

= =

Y que la identidad fundamental es:

2 2 1cos sen + =


142

Entonces, la regin D de la figura 4.11 puede expresarse en

coordenadas polares como sigue:

( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2D r, r r r = (IV.29) Al emplear la ecuacin de cambio de variable IV.19 resulta:

( ) ( )( )( )2 21 1r

D rf x, y dA f r cos ,rsen rdrd

= (IV.30)

Existen, tambin, regiones generales D , que en coordenadas

polares, quedan definidas como:

( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2D r, r r r r r = (IV.31) En estos casos:

( ) ( )( )( )2 21 1r r

D r rf x, y dA f r cos ,rsen rd dr

= (IV.32)

Calcular la integral doble 2

2

2 4

0 4

y

ydxdy

, empleando un cambio de

variable a coordenadas polares.

Solucin:

La regin D est definida como

( ){ }2 2, 4 4 0 2D x y y x y y= La funcin integrando es ( ) 1f x, y = y la funcin de transformacin a coordenadas polares es ( ) ( )T r, r cos ,rsen = , entonces, al componer las funciones f con T , se obtiene:

( ) 1f T r, =

EJEMPLO 4.3

Este ejercicio se resolvi en el sistema de coordenadas cartesianas en el ejemplo 1.5 parte c del captulo 1, y se obtuvo que:

2

2

2 4

0 42

y

ydxdy =


143

Al emplear la transformacin a coordenadas polares, se deben

definir lo nuevos lmites de integracin, por lo que, en la figura

4.12 se muestran, sobre la grfica de la regin D , los valores de

r y a la entrada y salida de dicha regin.

Figura 4.12

Valores de r y para el clculo de la integral doble del ejemplo 4.3

Por lo tanto la regin D , que se observa en la figura 4.13, est definida como:

( ){ }0 2 0D r, r = Resolviendo la integral resulta:

2

2

2 4 2

0 4 0 0 02 2

y

ydxdy rdrd d

= = = 2

0 02rdrd

=

Valor de r a la salida de D

2r =

Valor de r a la entrada de D

0r =

D

Valor de a la entrada de D

0 = Valor de a la salida de D

=

Figura 4.13

Regin D ejemplo 4.3


144

Calcule el rea de la corona circular cuyos radios exterior e interior

son 4 y 2, respectivamente, empleando coordenadas polares.

Solucin:

La regin D , se define como:

( ){ }2 2, 4 16D x y x y= + En la siguiente figura se muestran los valores de r y a la entrada y salida de la regin D .

Figura 4.14


Entonces, la regin D , tal como se ilustra en la figura 4.15, es:

( ){ }2 4 0 2D r, r = Luego el rea se obtiene como:

2 4 2

0 2 06 12A rdrd d

= = = 2 4

0 212rdrd

=

EJEMPLO 4.4

En el ejemplo 3.3 del captulo 3, y se obtuvo que:

12D

A dydx = =


4r =


2r =

D

0 =

2 =

Figura 4.15

Regin D ejemplo 4.3


145

Calcule el volumen del slido S acotado por las superficies:

2 22z x y= + y 2 220z x y= , empleando integrales dobles y coordenadas polares.

Solucin:

En coordenadas cartesianas, el volumen del slido S , que se

aprecia en la figura 4.16, viene dado por:

2 2 2 220 2D

V x y x y dA = + donde ( ){ }2 2, 4D x y x y= + En la figura 4.17, donde se aprecia la regin D , se sealan los

valores de r y a la entrada y salida de dicha regin.

Figura 4.17


Donde ( ){ }0 2 0 2D r, r = Entonces, al emplear la ecuacin IV.18, se tiene que:

2 22 2 2 2 2

0 020 2 20 2

DV x y x y dA r r rdrd

= + =

EJEMPLO 4.5

En el ejemplo 3.4 del captulo 3, y se obtuvo que:

19,77678464V =


2r =


0r =

D

0 =

2 =

Como:

( )r cos x

T r,rsen y

= =

Entonces: ( ) ( )2 22 2

2 2 2

x y r cos rsen

x y r

+ = ++ =

Figura 4.16

Slido S del ejemplo 4.5

Figura 4.18

Regin D ejemplo 4.5


146

2

0

40 80 40 1605 5 19,776784643 3 3 3

V d = =

Finalmente:

2 2 2

0 0

40 16020 2 53 3

r r rdrd =

4.3 TRANSFORMACIN GEOMTRICA DE 3 3\ \ De manera similar a una transformacin de 2 2\ \ , una transformacin geomtrica del tipo 3 3\ \ se emplea cuando se desea convertir o transformar una regin tridimensional B del

espacio xyz en una nueva regin B del espacio tridimensional uvw.

Sea T una funcin definida como 3 3T : B B \ \ , tal que:

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 3T u,v,w T u,v,w ,T u,v,w ,T u,v,w= (IV.33) Donde:

( )1T u,v,w x= (IV.34) ( )2T u,v,w y= (IV.35) ( )3T u,v,w z= (IV.36)

Entonces, la funcin de transformacin T es:

( ) ( )T u,v,w x, y,z= (IV.37)

Por lo tanto, la funcin T transforma todo punto ( )u,v,w B en un punto ( )x, y,z B .

La funcin T tambin suele escribirse como:

( )( )( )( )

1

2

3

T u,v,w x

T u,v,w T u,v,w y

T u,v,w z

= =


147

El jacobiano ( )( )x, y,zu,v,w

se obtiene como:

( )( )

x x xu v w

x, y,z y y ydetu,v,w u v w

z z zu v w

=

(IV.39)

Existen dos casos particulares de cambios de variables para

integrales triple, los cuales consisten en cambiar el sistema de

coordenadas de rectangular a: coordenadas cilndricas o

coordenadas esfricas.

TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Triple

Sea 3:f \ \ una funcin continua definida en la regin 3B \ . Sea T una funcin inyectiva que transforma los

puntos ( ) 3u,v,w B \ en ( ) 3x, y,z B \ , mediante la expresin ( ) ( )T u,v,w x, y,z= . Suponga que T es de clase C1 y que la derivada ( )T u,v,w es una matriz inversible ( )u,v,w B , entonces:

( ) ( )( ) ( )( )B Bx, y,z

f x, y,z dV f T u,v,w dudvdwu,v,w

= (IV.38)

El jacobiano tambin se denota como:

( )( )

u v w

u v w

u v w

x x x

x,y,zdet y y y

u,v,w

z z z

=


148

4.3.1 TRANSFORMACIN A COORDENADAS CILNDRICAS

A continuacin se describe como emplear un cambio de variable a

coordenadas cilndricas para resolver una integral triple.

Considere que se desea calcular una integral triple

( )B

f x, y,z dV , donde B es un recinto como el mostrado en la siguiente figura.

Figura 4.19

Una regin general B

La regin B est definida como sigue:

( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2B x, y,z x, y D z x, y z z x, y= (IV.40) Donde D es la proyeccin del slido B sobre el plano xy . Si

dicha regin D puede expresarse en coordenadas polares,

entonces la funcin de transformacin a coordenadas cilndricas,

definida 3 3T : B B \ \ , viene dada por:

( ) ( ) ( )T r, ,z r cos ,rsen ,z x, y,z = = (IV.41) Por lo tanto la regin B es:

En el APNDICE A, se presenta un repaso del sistema de coordenadas cilndricas.

B

D

( )1z z x, y=

( )2z z x, y=

Figura 4.20

Proyeccin de la regin D sobre el

plano xy

D


149

( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2 1 2B r, ,z r r r z r , z z r, = (IV.42) Para emplear el teorema de cambio de variable en una integral

triple, se debe determinar el jacobiano de la transformacin:

( )( ) 2 2

0

0

0 0 1

x x x cos rsenr z

x, y,z y y ydet det sen r cos r cos rsenr, ,z r z

z z zr z

= = = +

( )( ) ( )2 2x, y,z r cos sen rr, ,z = + = (IV.43)

Entonces, el teorema de cambio de variable a coordenadas

cilndricas en una integral triple queda enunciado como sigue:

TEOREMA: Cambio a coordenadas cilndricas en una integral triple

Sea 3:f \ \ una funcin continua en una regin tridimensional B , definido como:

( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2 1 2B r, ,z r r r z r , z z r, = , donde 2 10 2 < , entonces:

( ) ( )B B

f x, y,z dV f r cos ,rsen ,z rdzdrd = (IV.44)

La funcin T de transformacin a coordenadas cilndricas, tambin se escribe como:

( )r cos x

T r, ,z rsen y

z z

= =


150

Evale la integral triple B

xyzdV , empleando coordenadas cilndricas, donde B est definida como:

( ){ }2 2 2 2 24 1 0 0 0B x, y,z x y z , x y , x , y , z= + + + Solucin:

El slido B , junto con su proyeccin en el plano , xy se muestran

a continuacin, en la figura 4.21

Figura 4.21

Regin B del ejemplo 4.6

Entonces, en coordenadas cartesianas:

2 2 4

0

x y

B DI xyzdV xyzdzdA

= = donde D es la proyeccin de la regin B en el plano xy . Lo que

interesa a continuacin es definir dicha regin D , mostrada en la

figura 4.22, en coordenadas polares, la cual se denota como D .

EJEMPLO 4.6

En el ejemplo 2.5 delcaptulo 2, y se obtuvo que:

98B

xyzdV =

Cambiando la ecuacin de la esfera

2 2 2 4x y z+ + = a coordenadas cilndricas se tiene:

2 2 24 4z x y r= = B

Valor de z a la salida de B

24z r=

Valor de z a la entrada de B

0z =


151

Figura 4.22


As, la regin D en coordenadas polares es:

( ) 1 2 02

D r, r =

Por otra parte, al componer la funcin integrando, ( ), ,f x y z xyz= , con la funcin de transformacin, ( ) ( )T r, ,z r cos ,rsen ,z = , se obtiene:

( ) ( )( ) 2f T r, ,z r cos rsen z r cos sen z = = Por lo tanto la integral triple es:

( ) ( )22 4 220 1 0

r

Bxyz dV r cos sen z r dzdrd

=

( ) ( )3 2220 1

42B

r rxyz dV cos sen drd

=

( ) 20

9 94 8B

xyz dV cos sen d

= = 22 4 32

0 1 0

98

rr cos sen z dzdrd

=


2r = D

0 =2 =


1r =


152

Evale la integral triple ( )B

xyz dV , donde B es la regin del primer octante comprendida entre los conos, ( )2 22z x y= + y

2 2z x y= + y el plano 4z = , empleando coordenadas cilndricas. Solucin:

El slido B , junto con su proyeccin en el plano , xy se muestran

a continuacin, en la figura 4.23

Figura 4.23

Slido B del ejemplo 4.7

Como el valor de z cambia a la salida del slido B, entonces, en

coordenadas cartesianas:

( ) ( ) ( )( )2 22 2 2 21 2

4 2

x y

B D x y D x yxyz dV xyz dzdA xyz dzdA

++ += +

donde 1D y 2D son las proyecciones del slido B en el plano xy .

Dichas regiones 1D y 2D se pueden expresar en coordenadas

polares fcilmente, lo cual se aprecia en las siguientes figuras.

EJEMPLO 4.7

En el ejemplo 2.6 delcaptulo 2, y se obtuvo que:

( ) 64B

xyz dV =

Recuerde que las funciones del tipo

( ),z f x y= deben expresarse en funcin de r y , por lo tanto:

( )2 22 2z x y r= + = y

2 2z x y r= + =

B


4z =


z r=


2z r=


z r=


153

Figura 4.24

Regin 1D del ejemplo 4.7

Figura 4.25

Regin 2D del ejemplo 4.7

De las figuras 4.24 y 4.25 se tiene que:

( )( )

1

2

8 4 02

0 8 02

D r, r

D r, r

= =

Como la funcin integrando es ( ), ,f x y z xyz= , entonces: ( ) ( )( ) 2f T r, ,z r cos rsen z r cos sen z = =

Ecuacin de transformacin a

coordenadas cilndricas

( )r cos x

T r, ,z rsen y

z z

= =

Recuerde que al definir una regin D en coordenadas polares, dicha regin se denota D


4r = D1

0 =

2 =


8r =


8r = D2

0 =

2 =


0r =


154

Entonces la integral, en coordenadas cilndricas, queda como

sigue:

( ) ( )( )

4 4 220 8

8 2 220 0

B r

r

r

I xyz dV r cos sen z r dzdrd

r cos sen z r dzdrd

= = +

+

( )3 2 54 82 20 8 0 0

162 2

r r rI cos sen drd cos sen drd

= + 2 20 0

256 1283 3

I cos sen d cos sen d

= + 128 64 64

3 3I = + =

Entonces:

4 4 8 23 32 20 8 0 0

64r

r rr cos sen z dzdrd r cos sen z dzdrd

+ =

4.3.2 TRANSFORMACIN A COORDENADAS ESFRICAS

Otro cambio de variable ampliamente empleado en las integrales

triples consiste en cambiar las coordenadas del sistema

rectangular al sistema esfrico.

Considere una integral triple ( )B

f x, y,z dV , donde B es una regin tridimensional como la mostrada en la siguiente figura.

En el APNDICE A, se presenta un repaso del sistema de coordenadas esfricas.


155

Figura 4.26

Una regin general B

Donde la regin B puede escribirse de una manera sencilla si se

emplea una transformacin T a coordenadas esfricas, definida 3 3T : B B \ \ , viene dada por:

( ) ( ) ( )T , , cos sen , sen sen , cos x, y,z = = (IV.45) Entonces, la regin B es:

( ){ }1 2 1 2 1 2B , , = (IV.46) Para emplear un cambio de variable en una integral triple, se debe

determinar el jacobiano de la transformacin, entonces:

( )( )

0

x x x cos sen cos cos sen sen

x, y,z y y ydet det sen sen sen cos cos sen, ,

z z z cos sen

= =

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )2 2 3 2 2 2

2 2 2 2 2 3

x, y,zsen sen cos cos sen

, ,

sen cos sen cos sen

= + +

La funcin T de transformacin a coordenadas esfricas, tambin se escribe como:

( )cos sen x

T , , sen sen y

cos z

= =

B( )1z z x, y=

( )2z z x, y=


156

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 2 2

2 3 2 2 2 2

x, y,zsen cos sen cos sen cos sen

, ,

x, y,zsen cos sen sen sen cos

, ,

= + + + = + = +

( )( ) 2

x, y,zsen

, ,

= (IV.47)

Entonces, el teorema de cambio de variable a coordenadas

esfricas en una integral triple queda enunciado como sigue:

Existen tambin otras regiones ms generales que se pueden

definir en coordenadas esfricas de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2 1 2B , , , , = (IV.49)

En ese caso, la integral triple queda como:

( ) ( )( )( )2 2 21 1 1 2,

B ,f x, y,z dV cos sen , sen sen , cos sen d d d

=

(IV.50)

TEOREMA: Cambio a coordenadas esfricas en una integral triple

Sea 3:f \ \ una funcin continua en una regin tridimensional B , definida como:

( ){ }1 2 1 2 1 2B , , = , donde 2 10 2 < y 2 10 < , entonces:

( ) ( ) 2B B

f x, y,z dV cos sen , sen sen , cos sen d d d = (IV.48)


157

Calcular mediante integrales triples en coordenadas esfricas, el

volumen comprendido entre dos esferas concntricas de radios 1

y 4.

Solucin:

El slido B , en coordenadas cartesianas est definido como:

( ){ }2 2 21 16B x, y,z x y z= + + Y su volumen es

BV dV=

En la figura 4.24 se muestra el slido B , pero para poder

identificar los valores de , en la figura 4.28 se retira la porcin del slido que se encuentra en el primer y en el quinto en el

octante.

Figura 4.28

Porcin de la regin tridimensional B del ejemplo 4.8

Para identificar los valores que toma a la entrada y salida de la regin B , generalmente se proyecta dicha regin sobre el plano

xy ; sin embargo como en este ejemplo la regin es sencilla, ya

que se obtienen dos crculos concntricos, entonces, en

coordenadas esfricas la regin tridimensional B es:

El volumen pedido en este ejercicio se plante en el ejemplo 3.17 del captulo 3; sin embargo, ntese lo fcil que resulta calcular dicho volumen en coordenadas esfricas.

EJEMPLO 4.8

Figura 4.27 Regin tridimensional

B del ejemplo 4.8

Valor de a la salida de B

4 =

BValor de a la entrada de B 1 =

0 =

=


158

( ){ }1 4 0 2 0B , , = ( ) 2 4 2

0 0 1BI xyz dV sen d d d

= = 2

0 0 021 42 84I sen d d sen d d

= = = 2 4 2

0 0 184sen d d d

=

Resolver la integral triple B

xyzdV planteada en el ejemplo 4.6, pero empleando coordenadas esfricas:

Solucin:

El slido B , en coordenadas cartesianas est definido como:

( ){ }2 2 2 2 24 1 0 0 0B x, y,z x y z , x y , x , y , z= + + + Transformando a coordenadas esfricas se tiene:

2 2 2 4 2x y z + + = =

( ) ( )2 22 2 1 1x y sen cos sen sen + = + = ( )2 2 2 2 2 2 2 21 1 1x y sen cos sen sen + = + = =

2 2 22

11x y cscsen

+ = = =

Buscando la interseccin entre 4 = y csc = 2

1 12 22

csc sensen

csc

= = = = =

En el ejemplo 2.5 se resolvi la integral empleando coordenadas rectangulares, mientras que en el ejemplo 4.6 se emple coordenadas cilndricas.

EJEMPLO 4.8

La funcin T de transformacin a coordenadas esfricas es:

( )cos sen x

T , , sen sen y

cos z

= =

Por otra parte, por definicin, 0

Recuerde que el volumen entre dos esferas concntricas se puede calcular como:

( )3 343V R r= donde r: radio interno R: radio externo

Entonces:

( )4 64 1 843

V = =


159

Luego: 12 6

arcsen = =

En la figura 4.29 se muestra la regin B y se sealan los lmites

de integracin empleados en coordenadas esfricas.

Figura 4.29

Regin B del ejemplo 4.8

Entonces la regin B es:

( ) 4 0 02 2

B , , csc =

Luego, la funcin integrando es ( )f x, y,z xyz= . Al componer dicha funcin con la transformacin:

( ) ( )T , , cos sen , sen sen , cos = Se tiene:

( ) ( ) ( )( ) 3 2f T , , cos sen sen sen cos cos sen sen cos = = Por lo tanto la integral triple es:

Recuerde que:

0 <

Valor de a la salida de B

2 =

BValor de a la entrada de B

csc =

6 =

2 =

Figura 4.30 Proyeccin del slido B

sobre el plano xy

0 =

2 =


160

( ) ( )2 3 2 22 20

6B csc

I xyz dV cos sen sen cos sen d d d

= =

( )2 5 32 20

6csc

I cos sen sen cos d d d

=

( )3 62 20

6

1 646

I sen cos sen cos csc d d

=

20

9 94 8

I cos sen d

= = Finalmente:

( )2 5 32 20

6

98csc

cos sen sen cos d d d

=

Calcular el volumen del slido B definido por las superficies: 2 2 2x y x+ = , 0z = y 2 2z x y= + , empleando:

a) Coordenadas cartesianas.

b) Un cambio de variable adecuado.

Solucin:

El volumen de un slido B se obtiene mediante la integral B

dV . La superficie de ecuacin 2 2 2x y x+ = puede escribirse como: ( )2 21 1x y + = , por lo cual dicha ecuacin es una superficie circular cilndrica. La superficie 0z = es un plano horizontal y la superficie 2 2z x y= + es un paraboloide. A continuacin se muestra la grfica del slido B .

EJEMPLO 4.9


161

Figura 4.30

Slido B del ejemplo 4.9

Luego para calcular el volumen de este slido se debe seleccionar

el sistema de coordenadas a emplear:

a) En el sistema de coordenadas cartesianas:

La integral de volumen puede resolverse utilizando la integral

iterada B

dzdydx , por lo que se debe identificar los valores que toma la variable z a la entrada y salida de dicho slido. En la figura

4.31 se muestra el primer orden de integracin.

Figura 4.31

Primer orden de integracin en coordenadas cartesianas para el slido B del ejemplo 4.9

B


0z =


2 2z x y= +

B


162

Por lo tanto, el volumen se calcula como: 2 2

0

x y

DV dzdA

+= Donde D es la proyeccin del slido B en el plano xy . Dicha

proyeccin se ilustra en la siguiente figura.

Figura 4.32


Por lo tanto la regin bidimensional D est definida como:

( ){ }2 20 2 2 2D x, y x x x y x x= Por lo cual:

( )2 2 2 22 22 2 2 2 2 20 2 0 0 2x x x y x xx x x xV dzdydx x y dydx + = = + ( )32 2 2 22

0

2 32 2 23 2

V x x x x x dx = + = 2 2 2

2

2 2

0 2 0

32

x x x y

x xdzdydx + =

b) El cambio de variable ms adecuado para este ejercicio es emplear el sistema de coordenadas cilndricas, ya que una de las

superficies es un cilindro, luego las superficies en este sistema

son:

Valor de y a la salida de D

22y x x=

Valor de y a la entrada de D

22y x x=

D


163

( )2 2 22 2 2 0x y x r r cos r r cos + = = = , entonces: 2 2 2 2x y x r cos+ = =

Para el paraboloide se tiene: 2 2 2z x y z r= + =

En coordenadas cilndricas la primera integracin se realiza

respecto a la variable z, cuyo valor a la entrada del slido es 0z = y a la salida del slido es 2z r= , tal como se mostr en la figura 4.31.

Cuando se proyecta el slido en el plano xy se obtiene el disco

mostrado en la figura 4.32; sin embargo dicha regin debe

definirse en coordenadas polares.

Figura 4.33


As, la regin D en coordenadas polares es:

( ){ }0 2 0D r, r cos = Luego el volumen en coordenadas polares es:

22 2 3 4

0 0 0 0 0 0

342

cos r cosV rdzdrd r drd cos d

= = = = 22

0 0 0

32

cos rrdzdrd

=

La transformacin es:

( )r cos x

T r, ,z rsen y

z z

= = donde:

2 2 2r x y= +


2r cos=

D


0r = =0 =

La grfica de 2r cos= se obtiene

para [ ]0, . Cuando 0

2,

se

obtiene la semicircunferencia superior, mientras que

para 2

, , el radio

vector es negativo y por lo tanto se genera la semicircunferencia inferior.

Observe que calcular el volumen del slido B en el sistema de coordenadas cilndricas es mucho proceso ms corto y sencillo que en coordenadas cartesianas.

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