Caos

1

Sistemas no lineales, caos y

fractales

Objetivos

Comprender la diferencia entre simplicidad y complejidad.

Demostrar como nace el caos a partir de sistemas determinsticos sencillos.

Obtener una visin de los modelos no lineales caticos en biologa, fisiologa y anatoma.

Comprender la relacin entre el caos y los fractales.

Analizar algunos ejemplos interesantes de la aparicin de estructuras fractales en la naturaleza.

Observacin

Caos no es una tcnica de modelizacin, es

una propiedad matemtica de algunas

ecuaciones determinsticas.

Organizacin

Introduccin y Motivacin

Simplicidad vs Complejidad

Estabilidad y Caos.

Caos en sistemas discretos:

La ecuacin logstica.

Caos en sistemas continuos

Fractales.

Quin creo el caos?

Un mdico, un ingeniero civil y una informtica estaban discutiendo

acerca de cul era la profesin ms antigua del mundo. El mdico

seal: Bueno, en la Biblia dice que Dios cre a Eva de una costilla

que le quit a Adn. Evidentemente, esto requiri ciruga, y por eso

bien puedo afirmar que la ma es la profesin ms antigua de mundo.

El ingeniero civil interrumpi y dijo: Pero incluso antes, en el

Gnesis, se dice que Dios cre el orden de los cielos y la tierra a partir

de caos. Esta fue la primera y desde luego la ms espectacular

aplicacin de la ingeniera civil. Por lo tanto, querido doctor, est usted

equivocado: la ma es la ms antigua de las profesiones. La

informtica se reclin en su silla, sonri, y dijo tranquilamente: Pero

bueno, quin piensan que cre el caos?

G. Booch, Complejidad.

Caos vs Cosmos

Caos () es el estado sin forma y

vacio que precede a la formacin del

cosmos en las cosmogonas antiguas.

Cosmos () es un sistema

ordenado o armonioso. Deriva del

trmino griego que significa orden.

Es la anttesis del caos.

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Del Caos al Cosmos

Auto-gnesis (p.ej. Egipcios) vs Creacin.

En el principio era el verbo y el verbo

estaba en Dios, y el verbo era Dios. Todas

las cosas fueron hechas por l y sin l no

se hizo nada de todo lo que existe. (Jn 1:1)

Notas histricas

500 a.C.: Leucipo de Mileto

Determinacin ontolgica:

Nada sucede porque s, sino que todo sucede con

razn y por necesidad,

Esta formulacin es la que ha pasado a la

Filosofa con el nombre de principio de

causalidad o principio de razn

suficiente.

Notas histricas

1776: El determinismo laplaciano

Laplace, matemtico francs, afirmaba que, si

se conociera la velocidad y la posicin de todas

las partculas del Universo en un instante, se

podra predecir su pasado y su futuro.

Notas histricas

1903: El cuestionamiento de Poincar

Henri Poincar, matemtico francs, fue el

primero en pensar en la posibilidad del caos, en

el sentido de comportamiento que dependiera

sensiblemente en las condiciones iniciales.

El azar no es ms que la medida de la ignorancia del hombre

Notas histricas

1920: El debate Bohr-Einstein

Aparece la teora cuntica y toma fuerza el

indeterminismo. Se retoma la discusin acerca

de la existencia de un azar objetivo y no

meramente epistemolgico. Se cuestiona el

principio de causalidad.

Einstein: Dios no juega a los dados,

Bohr: Seor Einstein, deje de decirle a

Dios lo que debe hacer!

Notas histricas

1961: Edward Lorenz (meteorlogo MIT): Realiz predicciones con 12 ecuaciones y 6 cifras decimales.

Luego utiliz slo 3 cifras decimales.

Encontr diferencias significativas en los pronsticos.

Simplific el sistema a slo tres ecuaciones.

Encontr sensibilidad importante a las condiciones iniciales.

Comportamiento que pareca aleatorio con ecuaciones determinsticas.

Descubrimiento casual

3

Notas histricas

1961: Edward Lorenz (meteorlogo MIT): Grafic la salida obteniendo un espiral doble, un nmero 8

acostado, como las alas de una mariposa.

A este comportamiento se le dio el nombre de efecto mariposa.

Surge teora del caos.

"el aleteo de las alas de una mariposa

puede provocar un tornado al otro

lado del mundo"

Notas histricas

1997: Ilya Prigogine (Premio Nobel 1977):

Publica su libro El fin de las certidumbres: afirma que el determinismo no es una creencia cientfica viable, es fundamentalmente una negacin de la flecha del tiempo y pierde su poder explicativo frente a la irreversibilidad y la inestabilidad (por ej. en sistemas caticos).

Otro libro Explorando la Complejidad

Cuanto ms sabemos acerca de nuestro

universo, ms difcil se vuelve a creer en

el determinismo.

Complejidad vs simplicidad

No hay una definicin unnime acerca del significado del trmino complejidad.

Proviene del latn complectere, cuya raz plectere significa trenzar, enlazar. El prefijo com aade el sentido de la dualidad de dos elementos opuestos que se enlazan ntimamente, pero sin anular su dualidad.

Se utiliza para caracterizar algo (i.e. un sistema) con muchas partes, de ndole diversa, que forman un arreglo intrincado y que interactan entre s.


Enfoque clsico lineal y reduccionista de la causalidad:

slo mediante las leyes probabilsticas es posible obtener conocimiento cientfico causal,

grandes causas se corresponden siempre con grandes efectos y viceversa.

Enfoque de la complejidad: la causalidad surge y se diluye en una topologa de

redes de interacciones no lineales distribuidas,

emergencia de fenmenos de auto-organizacin.


El enfoque de la complejidad est llamado a transformar profundamente el marco terico y conceptual de la ciencia:

distinguir cundo nos enfrentamos a un problema complejo o a uno lineal,

reconocer cuando uno se transforma en el otro;

reconocer leyes, principios y categoras que rigen la causalidad en la complejidad,

construir modelos matemticos para el estudio de los sistemas complejos,

No todos los sistemas complejos generan caos

Estabilidad, orden y caos

Generalmente tendemos a tratar con situaciones estables.

En caso contrario: Si los cambios duran muy poco tiempo en relacin a

los perodos estables los ignoramos.

Si los cambios duran un cierto tiempo tratamos de encontrar alguna regularidad en ellos y de no encontrar ningn patrn estable los encasillamos dentro de los ruidos o los tratamos como fenmenos aleatorios.

4


La teora del caos retoma estos ltimos

casos: Ciertos sistemas no lineales muestran un

comportamiento impredecible a pesar de no

tener ninguna influencia del azar y ser

enteramente determinsticos.

Llamativamente esto puede suceder en sistemas

extremadamente simples.


En estos sistemas no lineales puede identificarse un parmetro del cual depende su comportamiento.

Cuando este parmetro cambia podemos encontrarnos con un comportamiento: Ordenado: puntos fijos o ciclos lmite en el

espacio de fase. Desordenado: atractores extraos en el espacio

de fase.

Preguntas importantes

Qu es un atractor?

Qu es una bifurcacin?

Qu son los mapas iterados?

Qu son los exponentes de Lyapunov?

Qu sistemas pueden producir caos?

Como identificar el caos?

Atractor

Un atractor es un objeto matemtico en el

cual la dinmica de un sistema queda

eventualmente confinada.

Cualitativamente, el objeto es el conjunto de

soluciones de las ecuaciones dinmicas

cuando al sistema se le permite correr

durante mucho tiempo.

Tipos de Atractores

Punto fijo: es slo un nombre

elegante para un punto de equilibrio.

Ciclo lmite: es una curva cerrada

que representa las soluciones

repetitivas.

Toroidal: es una superficie en el

espacio de fase en forma de anillo,

que puede ser estirada y retorcida.

Extrao: es una superficie similar

pero ms complicada a la que las

soluciones se limitan.

Bifurcaciones

Una estructura se bifurca cuando se divide

en dos ramas, como en los caminos o las

ramas de los rboles.

5

Bifurcaciones

La palabra se aplica a ecuaciones ya que

cualitativamente se puede representar a las

posibles soluciones de una ecuacin como

un camino por el que atravesamos, no a

travs del tiempo o espacio fsico, sino a

travs del espacio de los parmetros.

El parmetro que se altera es llamado el

parmetro de control.

Del orden al caos: Bifurcaciones

Cuando variamos continuamente este

parmetro encontramos que existe un

perodo en el que el sistema pasa de la

estabilidad al caos.

Las bifurcaciones consisten en una prdida

de la estabilidad de una solucin atractiva

dando lugar a otra de periodicidad doble.

Diagrama de Bifurcaciones

Los efectos del parmetro de control sobre

la dinmica cualitativa estn representados

en el diagrama de bifurcacin, que es una

grfica x-y con el parmetro de control en el

eje de abscisas y los valores a largo plazo de

la variable de estado en la ordenada.

Algoritmo p/Diagrama de

Bifurcaciones 1. Establecer valor inicial y mximo del parmetro y N de

valores a muestrear.

2. Ejecutar la simulacin durante M pasos de tiempo (para que el sistema se establezca en el comportamiento de largo plazo).

3. Mientras que el valor del parmetro sea inferior al

mximo, hacer:

1. Ejecutar la simulacin durante M pasos de tiempo adicionales.

2. Guardar una muestra de la dinmica [por ejemplo, encontrar los

picos (caso continuo), o guardar el valor actual (caso discreto)].

3. Incrementar el valor del parmetro y volver al paso 1.

M ~ 200 a veces ms, diferentes condiciones iniciales

Ecuaciones de recurrencia

Podemos expresar en forma genrica la solucin

de una ecuacin en diferencias de primer orden y

tiempo discreto mediante la siguiente expresin:

donde k es algn parmetro de la funcin F.

x F xn k n 1 ( )

Ecuaciones de recurrencia

La iteracin de un sistema lineal slo puede dar

lugar a una sucesin creciente, o a una sucesin

que converge a cero.

La dinmica iterativa de ecuaciones no lineales

puede dar lugar a comportamientos extraos.

6

Recurrencia con la calculadora...

Ponga el modo radianes para la unidad angular.

Elija un nmero inicial cualquiera.

Pulse una y otra vez el botn de la funcin coseno.

La serie de nmeros que aparece en la pantalla oscilar y al cabo de un cierto nmero de pasos se aproximar a un valor estable y no habr ms cambios:

Dicha serie de nmeros recibe el nombre de rbita, y el punto final se llama punto fijo estable.

3.00000000000000000000000000000000

-0.98999249660044545727157279473126

0.548696133603097038516641574908931

0.85320531150574707016222532057684

...

0.739085128310922996144139146959862

Mapas iterados

Una forma de representar la

evolucin de un sistema

dinmico discreto es a travs de

mapas iterados o diagramas de

recurrencia.

Colocamos en las abcisas los

valores de xn+1 (=y) y en las

ordenadas los de xn (=x).

Luego dibujamos la funcin yA=

g(x) = F(xn) y la recta yB=x que

representa xn+1= xn.

Punto fijo

x F xn k n 1 ( )

Mapa iterado del coseno

1 cos( )n nx x

0.739085128310922996144139146959862

x

n

x

y

Atractor o punto fijo estable

En el siguiente mapa iterado se encuentra nuevamente un punto fijo estable o atractor para la salida del sistema.

En este caso tambin se cumple que cuando t la salida del sistema se aproxima a la interseccin de la recta yB=x con la funcin yA=g(x).

En este caso, el punto fijo del mapa de recurrencia se corresponde con un punto crtico estable en el plano de fase del sistema dinmico equivalente.

Puntos fijos inestables Condicin de estabilidad

La condicin de estabilidad de un punto fijo

xn* es:

La derivada F puede calcularse derivando a

F o por medio de:

F xn '( *) 1

F xF x F x

nn n

' ( ) = lm( ) ( )

0

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Una medida del caos

En las dinmicas caticas encontramos existe una gran dependencia de las condiciones iniciales.

La separacin de rbitas vecinas est dada en promedio por una funcin exponencial (no necesariamente exacta).

Es por esto que en la prctica se hace imposible predecir el comportamiento futuro.

Estas ideas pueden ser cuantificadas mediante la utilizacin de los exponentes de Lyapunov.

Exponentes de Lyapunov

La iteracin de una ecuacin de recurrencia

a partir de los valores iniciales x0 y x0 + da como resultado:

Supongamos que existe un k tal que:

F x F xkn

kn( ) y ( + )0 0

.

0 0( + ) ( ) .knn n

k kF x F x e

n: iteracin, k: parmetro


A medida que 0 y n siempre que tambin 0, tendremos:

que expresa la separacin exponencial promedio entre la rbita partiendo de x0 y la rbita partiendo de x0 + .

.. kne

.0( ) kn

nk

n

dF xe

dx


Luego podemos escribir:

Si este lmite existe, k es una medida de la separacin exponencial promedio de las rbitas vecinas a todos los puntos de una rbita alrededor de un atractor.

01 2 0

( )1 1lm ln lm ln '( ). '( )... '( )

n

kk k n k n k

n nn

dF xF x F x F x

n dx n

1

0

1lm ln '( )

n

k k in

i

F xn

Regla de la Cadena


Separacin exponencial promedio de las rbitas vecinas a todos los puntos de una rbita alrededor de un atractor.


Para ciclos estables k < 0 y las rbitas convergen.

Para atractores extraos encontramos que k > 0 y

las rbitas no convergen.

Siendo cuando ocurre una bifurcacin

tenemos entonces k= 0.

Se llaman ciclos superestables cuando k - ya

que en estos casos y la velocidad de

convergencia a la estabilidad es mxima.

'( ) 1k nF x

'( ) 0k nF x

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Caos en sistemas discretos

La ecuacin logstica

Ejemplo: la ecuacin logstica

Una de las ecuaciones ms sencillas que describen sistemas caticos.

Est inspirada en un modelo poblacional (Lotka-Verhulst):

Poblacin de N(t) individuos y recursos limitados dados por r

dN

dtr N

N

N

1


Si discretizamos esta ecuacin utilizando el mtodo de Euler podemos llegar a:

Nt +1 = k Nt (1- Nt ) , 0 < N < 1,

donde k juega el papel de r.

Esta ecuacin de recurrencia se denomina ecuacin logstica.

Nt +1 = k (-Nt2 + Nt ), 0 < N < 1,


() 2 - ()

No linealidad

z -1

k -

Ganancia

Retardo

Nt+1

Nt

Sistema no lineal de control realimentado con retardo


Observacin:

Este modelo demogrfico simple de tiempo

discreto podemos considerarlo basado en

generaciones.

Puede considerarse que cada 20 aos aparece

una nueva generacin, por lo que no es

necesario considerar los instantes de tiempo

intermedios.

Que pasa cuando cambiamos k?


9


En la notacin anterior:

En este caso tendremos puntos fijos de la

recurrencia cuando:

F N k N Nk t t t( ) ( ) . 1

F N N k N kNk t t t t( ) ( - ) + 121 0


Para k < 1 (mortandad mayor que natalidad)

la ecuacin anterior posee una nica

solucin Nt(1)=0.

Para k >1 encontramos dos soluciones:

(1) (2) 10 y =t t

kN N

k

Para k = 2.9 tenemos el siguiente resultado:

Ejemplo: la ecuacin logstica Ejemplo: la ecuacin logstica

En el contexto demogrfico:

la vida no aparece espontneamente de la nada,

pero si hay una cantidad de individuos, por

pequea que sea, la especie no desaparecer (en

este modelo simple), sino que tender a un

valor estacionario no nulo que depender de la

cantidad de alimento disponible.


Para llegar a un punto fijo estable en la

recurrencia debe cumplirse que:

Entonces:

F N k Nk t t'( *) ( *) 1 2 1.

1 1F N kk t'( )(1)

1 2 1F N kk t'( )(2)


Para k > 3 ambos puntos

fijos son inestables.

La desestabilizacin de Nt(1)

cuando k=1 se produce

porque F1(0)=1.

Para Nt(2) en k=3 tenemos

F1(0)= -1. As en k=3 se

produce la bifurcacin o

duplicacin de perodo.

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Para k = 3.1 se produce la bifurcacin:


Ahora la comida ha aumentado hasta el punto en que una generacin pequea dispone de tanto alimento que tiene un rpido crecimiento de forma sbita, mientras que en la siguiente generacin hay demasiados individuos pero una cantidad insuficiente de comida, por lo que la poblacin vuelve a bajar en la siguiente generacin, y as sucesivamente.

Este comportamiento estable puede observarse en algunas colonias de bacterias.


Si seguimos aumentando k, este ciclo de periodo 2 se convierte en un ciclo de periodo 4, despus en uno de periodo 8, y as sucesivamente.

En cada bifurcacin, el sistema sufre un cambio drstico en su comportamiento a largo plazo.

Para k > 3.5699 el sistema ya no sigue un ciclo peridico, sino que siempre vara sin repetirse a s mismo.

Este comportamiento recibe el nombre de caos.


Para k = 3.9 tenemos:


Si representamos los puntos fijos estables, o los puntos

pertencientes a ciclos estables, en funcin de k, se puede

ver que cada uno de los ciclos se bifurca en otro de periodo

doble que el original.


N,k

k Diagrama de bifurcacin

Por encima de k=3.5699 el comportamiento es catico, por

lo que un continuo puntos corresponden a un mismo valor

de k (la rbita ya no es peridica, y toma infinitos valores

de Nt).

Se puede apreciar la autosemejanza tpica de las

estructuras fractales.


N,k

k Diagrama de bifurcacin

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N,k

k

k

Existen ventanas de comportamiento peridico en la zona

catica. El exponente de Lyapunov predice stas

hacindose repentinamente negativo.

Las bifurcaciones se corresponden con los k=0.


Conclusin: Un sistema tan sencillo como el descripto por la ecuacin logstica puede presentar, bajo ciertas

condiciones, comportamiento catico y estructura fractal.

N,k

k

Otros ejemplos relacionados

Regulacin de la densidad de Neutrfilos.

Variabilidad Cardiovascular.

Ritmos Circadianos.

Complex Dynamics in Physiological Control Systems (Cap. 10)

Caos vs inestabilidad numrica

Condiciones iniciales Observacin

Si las condiciones iniciales fueran

exactamente las mismas, las trayectorias

tambin seran exactamente iguales porque

las ecuaciones siguen siendo

determinsticas.

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Vance / Lorenz


La discusin anterior se bas en ecuaciones

en diferencias finitas, es posible tambin

que surja caos en sistemas continuos.

Pero el sistema debe tener por lo menos tres

variables de estado.


Ejemplo: Modelo de dos presas y un

predador (Vance 1978)


Ecuaciones de Lorenz

Identificando el caos

Series de tiempo

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Firmas del caos

Es sorprendentemente difcil determinar sin

ambigedad la existencia de caos en series

de tiempo tericas o empricas.

Firmas del caos

Firmas del caos Firmas del caos

Firmas del caos

Sugihara (1994):

1. Patrones en la serie de tiempo (o su espectro).

2. Estructura en el espacio de fase (atractores).

3. Dimensionalidad de esta estructura (fractal).

4. Sensibilidad a condiciones iniciales.

5. Controlabilidad de la serie de tiempo.

Firmas del caos

14


Dimensionalidad de la estructura:

Dimensin de correlacin (Mullin 1993).

Sensibilidad a las condiciones iniciales:

Exponentes de Lyapunov.

Predictibilidad.

Controlabilidad:

Control de un sistema catico (Ott y Yorke

1990).


Ejemplo: Escarabajos Tribolium Ejemplo: Escarabajos Tribolium

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Ejemplo: Escarabajos Tribolium Caos en biologa

Existe el caos biolgico o slo existe el

caos matemtico?

En el caso que exista, Es algo comn en la

naturaleza?

Puede aparecer caos en un sistema

fisiolgico saludable o indica la presencia

de enfermedad?

Fractales Definicin de Fractal

Un fractal es un objeto cuya estructura bsica,

fragmentada o irregular, se repite a diferentes

escalas.

La propiedad matemtica clave es que su

dimensin mtrica fractal es un nmero no entero.

Deriva del latn fractus, que significa quebrado o

fracturado.

El trmino fue propuesto por Mandelbrot

en 1975.

Fractales en el arte y la cultura

Cruz germana (o

recrucetada):

significa la

propagacin del

evangelio a las cuatro

puntos cardinales.

Muy usada en

herldica.


Iglesia romana de

Santa Mara del

Trastevere:

Mosaico que

reproduce hasta cinco

niveles de uno de los

fractales ms

conocidos: tringulo

de Sierpinski.

16


Dios el Gemetra:

grabado medieval

Fractales en la naturaleza

Las nubes no son esferas, las montaas no son conos, y la

luz no viaja en lnea recta. La complejidad de las

estructuras de la naturaleza difiere en tipo, no meramente

en grado, de aquella proveniente de las formas de la

geometra ordinaria.

Mandelbrot, Introduction to the Fractal Geometry of Nature

Fractales en la naturaleza Fractales en la

naturaleza


Brocoli Romanesco

Marismas

Girasol


Montaas

fractales

sintticas y

reales

17


Tambin es posible modelizar mediante

geometra fractal

diversos procesos

naturales como, por

ejemplo, los

procesos erosivos

sobre un terreno.


Un ejemplo clsico de estructura fractal se observa en hidrodinmica cuando un fluido

poco viscoso desplaza a otro ms viscoso. La

interfase que se crea tiene estructura

compleja.

Fractales en Fisiologa

Estructura del rbol bronquial.


Estructura del rbol arterial.


Estructura del cerebro.

Seales Fractales

Seal artificial.

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Seal de EEG.


Seal de

VFC.

Fractales en Biologa

Crecimiento

bacteriano en

una cpsula

de Petri.

Fractales en las Matemticas

Desde principios del siglo XX matemticos como Cantor , Poincar o Julia , se

interesaron por el estudio de objetos extraos

(monstruos matemticos) que no encajaban en las ideas de la geometra clsica.

Muchos de estos objetos se construan mediante algoritmos iterativos, partiendo de

un iniciador y aplicando reiterativamente un conjunto de transformaciones.

Fractales en las Matemticas

De esta forma se pueden definir gran

cantidad de objetos

matemticos con

propiedades comunes,

como la

autosemejanza .

Longitud infinita encerrada en

un rea finita!!!!

Fractales: el conjunto de

Mandelbrot Si consideramos ahora

iteraciones de la funcin z2+c, para distintos valores de c (complejo).

Y graficamos aquellos valores de c donde la rbita est acotada.

Encontramos un objeto que posee estructura a cualquier escala y contiene copias de s mismo.

19

Fractales: el conjunto de

Mandelbrot Como generar el Conjunto de Mandelbrot

Se genera estudiando el comportamiento de la iteracin de la ecuacin compleja :

Zn+1 = Zn2 + C

donde Z, C son complejos, la condicion inicial es Z = 0 + 0i y a C se le asignan todos los puntos del plano complejo.

Se convierte para cada pixel de la pantalla a coordenadas del plano complejo, se le asigna a C este punto y se comienza a iterar la ecuacin.

Si |Z|>2 y no se supero MaxIterations, se sale del bucle y se le asigna a ese pixel un color de acuerdo al nmero de iteraciones realizadas, entonces ese

pixel esta fuera del Conjunto de Mandelbrot.

Si se alcanza el nmero mximo de iteraciones MaxIterations, y el mdulo sigue siendo |Z|

20

La dimensin fractal

De todo esto podemos generalizar que la dimensin de un objeto

geomtrico es el nmero D que cumple:

N(L).LD = 1, y D = log(N(L))/log(1/L)

donde N(L) es el nmero de objetos elementales, o de unidades, de

tamao L que recubren el objeto.

Ejemplo:

Al reducir la escala de la curva de

Koch a 1/3, nos encontramos con

que se descompone en 4 partes.

D = log 4 / log 3 = 1, 2618. . .

La dimensin fractal

Otros ejemplos:

La dimensin fractal

Demostracin:

coast\coast.exe

Cmo construyo un modelo

fractal o catico? Ejemplo: 1) Detecto si el fenmeno

posee estas caractersticas (medidas).

2) Recojo datos experimentales.

3) Armo mi modelo.

4) Encuentro parmetros o soluciono el problema inverso (por ej: Algoritmos Evolutivos).

La complejidad de los problemas

hace que, en la prctica, pueda ser

necesario utilizar algn tipo de

estrategia hbrida para resolverlos.

Bibliografa

James W. Haefner, Modeling Biological Systems, 2nd

Ed., 2005 (Cap. 18).

Cambel, A. B., Applied Chaos Theory. Academic

Press, 1993.

Wiggins, Stephen, Introduction to applied nonlinear

dynamical systems and chaos. Springer-Verlag, 1990.

Drazin, P.G., Nonlinear systems. Cambridge

University Press, 1992.

Verhulst, Ferdinand, Nonlinear differential equations

and dynamical systems. Springer-Verlag, 1990.

Bibliografa

Michael C. K. Khoo, Physiological Control Systems:

Analysis, Simulation, and Estimation, Wiley-IEEE Press,

1999 (Cap. 10).

Mandelbrot, Benoit B., The fractal geometry of nature.

W. H. Freeman, 1982.

Peitgen, H. O. - Ritcher, P. H., The beauty of fractals:

images of complex dynamical systems. Springer Verlag,

1986.

Ilya Prigogine, El fin de las certidumbres. Andrs Bello,

1996.

Gutirreza Cabria, Segundo. Dios: ciencia y azar.

Madrid, BAC, 2003.

Caos

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