4 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN PAVIMENTOS RÍGIDOS

4.1 .-ESFUERZOS DEBIDOS A ONDULACIONES

Durante el día cuando la temperatura en lo alto de la Losa es mayor que en la base, la parte superior tiende a expandirse con relación al eje neutral mientras el fondo tiende a contraerse. Sin embargo, el peso de la losa restringe la expansión respecto a la contracción. Así, las esfuerzos de compresión y las deformaciones de tensión ocurren en la parte inferior son conducidas arriba. En la noche cuando la temperatura en lo alto de la losa es más abajo de que en la parte inferior, la parte superior tiende a contraerse con relación al fondo, así los esfuerzos de tensión y esfuerzos compresión de la parte inferior son inducidas arriba.

Otra explicación sobre los esfuerzos ondulantes de tensión puede estar hecha por la teoría de placas de Winkler, o la fundación líquida. Una fundación Winkler se caracteriza por la serie de saltos adjuntos a la placa como se muestra en figura 4.1. Cuando la temperatura en la parte superior es mayor que en la parte inferior, la parte superior es más larga que el fondo y que las ondulaciones o deformaciones de la losa van hacia abajo. Los cambios de temperatura en el borde exterior están en compresión y levantan la losa, mientras los cambios en el interior son de tensión y echan abajo la losaComo consecuencia, la parte superior de la losa está en compresión y el fondo está en tensión.Cuando la temperatura en la parte superior es más baja que en la parte inferior, la losa se vira hacia arriba.Las deformaciones exteriores echan abajo la losa, mientras las deformaciones interiores levantan la losa, dando como resultado esfuerzos de tensión arriba y compresión en la parte inferior.Westergaard (1926a) desarrolló ecuaciones para determinar la tensión la variación de las deformaciones en pavimentos de concreto basados en la teoría de placas. Las ecuaciones son muy complicadas y no se presentan aquí.

4.1.1Flexión infinita de la placa

La diferencia entre una viga y un placa esta en que la viga se deforma en una sola dirección, mientras la placa se deforma en dos direcciones. Para los esfuerzos de tensión en dos direcciones, los

esfuerzos en la dirección x puede ser determinado por generalizado la ley de Hooke.

…..4.1

En el cual E es el módulo de elasticidad del concreto. En este capítulo cuando solamente la fundación Winkler es considerada, E denota el módulo elástico del concreto armado. En capítulos posteriores consiste placas envolventes sobre una fundación sólida, el módulo de elasticidad del

concreto armado es denotado por para distinguirla del módulo elástico de fundación (terreno de

fundación) .

El primer término de la ecuación 4.1 indica la tensión en la dirección de x causada por los esfuerzos en la dirección de x , mientras el segundo término indica la tensión causada por los esfuerzos en la dirección de y. De manera semejante:

….4.2

Cuando la placa está doblado en la dirección de x , debería ser igual a 0 porque la placa es amplia i

bien contenida que no debería producir tensión alguna a menos que sea en los extremos La ecuación 4.2 poniente para 0 seria:

…..4.3

Sustituimos la ecuación 4.3 en la Ec. 4.1 i la solucionando resulta:

…..4.4

En la ecuación 4.4 los esfuerzos en la dirección flectora, mientras la ecuación 4.3 indica la deformación en la dirección perpendicular al giro (dirección flectora).La deformación ocurre en ambas direcciones x i y, en este caso por las variaciones de la temperatura , las deformaciones en ambas direcciones deben estar superpuestas( en direcciones opuestas) para obtener la deformación total. El máximo esfuerzo de tensión en una losa infinita debido a la variación de la temperatura puede ser obtenida asumiendo que la losa está completamente refrenada en ambas direcciones x i y

Si es la diferencial de la temperatura entre parte superior y fondo de la losa y es el coeficiente

de expansión térmica del concreto. Si la losa es libre para moverse y la temperatura en la parte

superior es mayor que en la parte inferior, la parte superior se expandirá por la tensión de y

la base (parte inferior) se contraerá por la misma tensión, como se muestra en la figura 4.2. Si la losa está completamente sujeto e impedido de traslado alguno, un esfuerzo de compresión resultará arriba y una esfuerzo de tensión al fondo o en la base. El máximo esfuerzo es:

…..4.5

Para la ecuación 4.4, para los esfuerzos en la dirección de x, la deformación debida en ese sentido será:

…..4.6

Porque en la ecuación 4.6 los esfuerzos también en la dirección y debido a la flexión en dicho sentido, par la ecuación 4.3 los esfuerzos en la dirección de x debido a la flexión en y es:

……4.7

- Los esfuerzos totales resulta de la suma de las ecuaciones 4.6 y 4.7:

…..4.8

El análisis citado anteriormente se basa en la suposición que la distribución de temperatura es lineal a lo largo de toda la profundidad de la losa. Esta es una aproximación a la realidad por que la distribución real de temperatura es muy variable (altamente no lineal).

Fig. 4.2 Gradiente de temperatura en una loza de concreto

4.1.2 Deformaciones ondulantes en una losa finita

La figura 4.3 muestra una loza finita con una longitud en la dirección de X, y en la dirección de

Y. Los esfuerzos totales en la dirección de X pueden expresarse como:

= …….4.9ª

Que y son factores de corrección para una loza finita. El primer termino de la ecuación 4.9ª

es el esfuerzo de deformación en la dirección de X y el segundo termino es el esfuerzo de deformación en la dirección de Y. Similarmente las deformaciones en Y será:

……..4.9b

Basando en los análisis de Westergaard’s, Bradbury (1938) desarrolló un gráfico simple para

determinar y el que se muestra en la figura 4.4. El factor de corrección depende de la

relación /l y el factor de corrección depende de /l , cuando l es el radio de rigidez relativa

definida como:

l …..4.10

donde: E es modulo de elasticidad del concreto, h es la altura de la loza, es el modulo de Poisson

del concreto, y k es el modulo de Reacción de la subrasante.

En todo los ejemplos presentados en este capitulo , se da un k= 4x10 psi (27.60 GPa) i un modulo de

Poisson de 0.15 asumidos para el concreto. La ecuación 4.9 representa el máximo esfuerzo de deformación interior en el centro de la loza. Los esfuerzos en el borde de la loza, puede determinarse por:

……4.11

Donde puede ser o dependiendo si C es o . Note que la ecuación 4.11 equivale a

la ecuación 4.9 cuando el modulo de poisson en el borde es considerado como 0.

En la figura 4.4 se puede ver que C factor de corrección, aumenta en la proporción que aumente /l,

teniendo un valor de C=1.0 para =6.7 l, alanzando el valor máximo de 1.084 para = 8.5 l Y

entonces decrece a 1 cuando /l se aproxima al infinito.

Este coeficiente C puede tener un valor más grande que la unidad esto puede explicarse por el hecho que a lo largo de la loza se aproxima a 6.7 l la reacción de subrasante (capas inferiores) pone ligeramente al revés la curvatura que tiende a variar por las temperaturas que se produzcan.Sin embargo este efecto adicional es relativamente menor desde que el incremento en el esfuerzo no pase del 8.4% comparado con la suposición de cero en la curvatura. EJEMPLO: En la figura 4.5 se observa una loza de concreto, de 25ft (7.62m)de longitud, 12ft (3.66m) de ancho i 8 in (203mm) de espesor, que esta sujeto a una variación de temperatura de 20°F (11.1°C) . Asumiendo

que k= 200 pci-psi (54.2 MN/m3) i in./in./°F (9x 10 mm/mm/°C). Determinar el

máximo esfuerzo de deformación en el interior i en los bordes de la loza.

4.1.3 Diferencias de Temperatura:

Los esfuerzos en los pavimentos de concreto varían con las diferencias de temperatura entre la parte superior y fondo del pavimento. Es razonable asumir un gradiente de temperatura máximo de 2.5 – 3.5 ºF/pulg. de losa (0.055 – 0.077ºC/mm).

En la prueba de la carretera de Arlington, las máximas diferencias de temperatura entre la parte superior e inferior de las superficies fueron medidas durante los meses de abril y mayo cuando había probabilidad de falla. Si las 5 mayores medidas fueran promediadas, la máxima diferencia de temperaturas de 152 mm de pavimento sería 12.2 ºC y de 229 mm de pavimento sería17.2 ºC; estos valores corresponden a un gradiente de temperatura de 0.08 ºC y 0.074 ºC respectivamente.

En pruebas de la AASHO, temperaturas fueron medidas en 165 mm de pavimento. La temperatura a 6.4 mm por debajo menos la de 12.7 mm sobre el fondo fue referido como una diferencia de temperatura estándar. La máxima diferencia de temperatura estándar para los meses de junio y julio en promedio fue de 10.2 ºC parea una mínima de -4.9 ºC, correspondiendo unos gradientes de 0.07 ºC/mm y 0.03 ºC respectivamente.

4.1.4 Esfuerzos Combinados:

Incluso las tensiones de curling de theugh podrían ser muy grandes y causar que concreto se agriete when combinan con las tensiones de carga. No son considerados en el diseño del espesor por las razones siguientes:

Cuando el principio de la fatiga es usado para el diseño, no es práctico combinar cargas y deformaciones. Un pavimento puede ser sometido a millones de repeticiones de carga durante el período de diseño, pero el número de esfuerzos reversibles debido a la curvatura es un poco limitado.

Esfuerzos de doblado pueden ser añadidos o no de los esfuerzos por carga para obtener esfuerzos combinados. Si el diseño es gobernado por esfuerzos debido a punzonamiento, esfuerzos de doblado deben ser añadidos a los esfuerzos por carga durante el día pero substraidos de los esfuerzos por carga durante la noche. Debido a este efecto de compensación y el hecho que un gran número de vehículos pesados son manejados por la noche, esto podría no ser crítico si los esfuerzos de doblado son ignorados.

La deflexión por curvatura en el diseño de pavimentos puede ser controversial. La asociación del cemento no lo considera en análisis de fatiga, pero muchos otros indican que debe ser considerado. La experiencia ha demostrado que grietas aparecen en losas largas porque tienen más deflexión que las losas cortas.- Después de 16 años, losas de 12.2 m tienen rajaduras y losas de 4.6 m no las tienen (Darter & Barenberg 1977).

Darter & Barenberg (1977) sugirieron la inclusión de la deflexión por curvatura con esfuerzos de carga con análisis de fatiga porque éstos dos combinados pueden causar la falla del concreto incluso con pocas repeticiones. Los pavimentos rígidos necesitan mantenimiento, derrotando el concepto de cero-mantenimiento en éstos pavimentos.

Determinar el gradiente hidráulico no es fácil porque depende de una variedad de factores:

1. Humedad relativa ambiental.2. Agua libre en el concreto3. Contenido de humedad en la sub-base o sub-rasante.

Sin embargo el gradiente hidráulico no es considerado en el diseño de pavimentos por torsión.

4.2 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES DEBIDOS A CARGA:

Para determinar los esfuerzos y deformaciones en el concreto se tienen 3 métodos:Por fórmulasDesarrolladas por Westergaard, pueden ser aplicadas sólo para una carga de rueda simple con un área de contacto circular, semicircular, elíptica o semielíptica.

Cartas de influenciaDesarrolladas por Pickett & Ray (1951) aplicados a cargas de ruedas múltiple y en cualquier configuración.Ambos métodos anteriores son sólo aplicados para losas largas sobre fundación líquida.

Programas de elemento finitoSi las cargas son aplicadas a losas múltiples en una fundación líquida, sólida o por capas, con transferencia de carga a través de juntas.La fundación líquida asume que la subrasante es un conjunto con amortiguación independiente. La deflexión en un punto dado es proporcional a la fuerza en ése punto e independiente de las fuerzas en todos los demás puntos. Lo cual no representa el comportamiento de un suelo.

4.2.1. Formulas para esfuerzos y deflexiones debido a carga:

Estas formulas son aplicables a una losa muy grande con una carga sencilla de volante aplicada cerca de la esquina en el interior de una losa a una distancia considerable de cualquier borde lejos de cualquier esquina.

Carga de Esquina:

El Goldbeck (1919) y Older (1924) presentan la primera formula para el uso de diseño de pavimentos de concreto. La formula se basa sobre una carga grande P aplicada en la esquina de la losa como lo muestra la figura (4.6a).Cuando esta carga es aplicada en la esquina los esfuerzos en la losa son simétricos respecto a la diagonal. Para una sección transversal a una distancia X de la esquina el momento será PX y el ancho de la sección es 2x.Cuando el soporte de la subrasante esta descuidado y la losa es considerada como viga de Cantilever, el esfuerzo de tensión encima de la losa es:

Donde:σc : El esfuerzo producido por al carga de la esquina.P : Carga concentradah : Espesor de la losa

Nótese que σc es independiente de X. En otras palabras no hay problema cuan lejos de la esquina se encuentre la carga siempre tendrá el mismo esfuerzo indicado por (4.12).

Si la carga es concentrada y aplicada en la esquina se emplea la ecuación (4.12) que es una solución exacta porque en la diagonal cerca de la carga con X → 0, la reacción de la subrasante puede no ser tomada en cuenta como en la figura (4.6b) que muestra una carga circular aplicada cerca de la esquina de la losa por que la sección máxima de esfuerzo no esta cerca de la esquina las fuerza total resultante es un poco grande y debe ser considerada. Westergaard (1926) aplico un método de aproximaciones sucesivas y obtuvo las siguientes ecuaciones:

Donde:∆c : Deflexión en la esquina l : Radio de Rigidez relativoa : Radio de contactoK : Modulo de reacción de la subrasante.

Westergaard también encontró que el máximo momento ocurre a una distancia 2.38√(a*l) desde la esquina. Para una carga concentrada con a = 0 las ecuaciones son idénticas a las anteriores.

Ioannides (1985) aplico un método de los elementos finitos para evaluar las soluciones de Westergaard ellos sugieren las siguientes ecuaciones:

Donde:c : La dimensión del área cuadrangular de contacto

Ellos encontraron que el máximo momento ocurre a una distancia de 1.80 * c 0.32 * l 0.59 de la esquina. Si una carga es aplicada sobre la sección circular el valor de c debe ser seleccionado de tal forma que el cuadrado y el circulo tengan el mismo área de contacto.

Ejemplo 4.2:

En la figura se muestra una losa de concreto sujeta a una carga de esquina con los siguientes datos:K = 100 psi (27.2 MNmn/m2)h = 10 in (152 mm)P = 10000 lb (44.5 KN)Determine el máximo esfuerzo y deflexión debida a dicha carga.

Solución:Reemplazando en la ecuación (4.10) para obtener el radio de rigidez: l = (4* 106 * (10)3)/(12*(1- 0.0025)*100) 0.25 = 42.97 in Reemplazando en la ecuación (4.13)

σc = 3 * 10000/ (10)2 * ( 1 – (6*1.41/42.97)0.6) = 186.6 psiReemplazando en la ecuación (4.14) ∆c = 10000 /( 100 * 42.97 2)* ( 1.1 – 0.88*(6*1.41/42.97)) = 0.0502 inReemplazando en la ecuación (4.15) y (4.17)

σc = 3*10000/(102) * (1 – (1.772*6/42.97)0.72) = 190.3 psiEste valor es 2% mayor que el anteriorReemplazando en la ecuación (4.16) y (4.17)

∆c = 10000 /( 100 * 42.97 2)* ( 1.205 – 0.69*(6*1.772/42.97)) = 0.0560 inEste valor es 11% mayor que el obtenido por la ecuación (4.14)

Carga Interior:

La primera formula desarrollada por Westergaard para el esfuerzo en el interior de una losa bajo una carga circular de radio a es:

Cuando a ≥ 1.724h

Cuando a < 1.724h

Para una proporción de Poisson = 0.15 y con base logarítmica10 tendríamos

Entonces tenemos la ecuación para deflexión hacia el interior de la carga

Ejemplo 4.3:

En la figura se muestra una losa de concreto sujeta a una carga interior, determinar el máximo esfuerzo y deflexión debida a dicha carga con los datosK = 100 psi (27.2 MNmn/m2)h = 10 in (152 mm)P = 10000 lb (44.5 KN)

SOLUCION:

. Comparamos el radio de contacto 6 ? 1.724*10 6 < 17.24. Calculo del radio de rigidez de ec.4.19b

.Hallamos el esfuerzo de la ec. 4.20

.Calculamos la deflexión

Comparando con la solución de Westergaard para cargas de esquina es un 77% superior al sometido a cargas internas mientras que la deflexión es solo en un 13%.

Carga de Borde:

Fue presentado por Westergaard en diferentes diarios. En el diario de 1948 el presento soluciones para un esfuerzo máximo y deflexiones producidas por áreas elípticas y semielipticas ubicadas al borde de la losa de los semiejes de la semielipce de contacto de radio a conduce a una solución para cargas circulares y semicirculares, en el caso de un semicírculo la parte recta esta en línea con el borde de la losa.

Los resultados obtenidos por estas fórmulas difieren significativamente con las anteriores formulas . Las ecuaciones mostradas a continuación son las correctas a emplearse.

Ejemplo 4.4 :

En la fig se muestra una losa de concreto sujeta a una carga de borde, determinar el máximo esfuerzo y deflexion debida a dicha carga con los siguientes datos:K = 100 psi (27.2 MNmn/m2)h = 10 in (152 mm)P = 10000 lb (44.5 KN)

Solución:. Esfuerzo para área circular

Deflexión para área circular

Deflexión para área semicircular

Esfuerzo para área semicircular

Excepto que la carga es aplicada al borde puede verse que el esfuerzo máximo a la carga de borde es mayor que la debidas que las cargas aplicadas en la esquina es inferior mientras que la deflexión máxima debido a la carga de borde es mayor que la carga interna pero mucho menor que la carga de la esquina, el hecho que ambos esfuerzos y deflexiones sean mayores bajo una carga semicircular que aquellas bajo una área circular es razonable porque el centroide de un semicírculo esta mas próximo al borde de un pavimento que el de un circulo.

Llantas Dobles:

Con excepción de las formulas 4.23 4.25 4.27 4.29 para una área cargada en forma semicircular y circularmente todas las formulas presentadas estuvieron basadas sobre una área cargada circularmente. Cuando existe una carga es aplicada sobre un juego de llantas dobles, es necesario convertirlas a un área circular. Así que estas ecuaciones basadas sobre una área cargada circularmente puedan ser aplicadas.

La siguiente figura muestra la metodología para convertir este sistema dual a un área circular.

Donde:P: Carga Aplicadaq: Presión de Contacto.

El área equivalente de un circulo es :

de donde :

Con este valor de “a” podemos utilizar las ecuaciones ya conocidas para el calculo de los esfuerzos y las deflexiones.

Ejemplo 4.5:

Usando las fórmulas de Westergaard, determine la tensión máxima en Examples 4.2, 4.3, y 4.4 si la carga (44.5 kN) de 10000 libras lo es aplicado sobre un juego o duals espaciado en 14 hacia dentro. (356 mm) sobre centros, tan indicado en Figure 4.11, en lugar de sobre unas 6 - pulgadas. (152 -milímetros) de área circular.

4.2.2 Método de Influencia de Gráficos:

Este método de INFLUENCIA DE GRAFICOS, fueron usados por la Asociación de Cemento Pórtland para el Diseño de pavimentos rígidos. Los gráficos están basados en la teoría de WESTERGAARD con un modulo de Poisson de 0.15 para losas o placas de concreto. Solamente gráficos para cargas interiores o centrales y de borde están disponibles. Los gráficos para cargas centrales son usados en el diseño de pavimentos para Aeropuertos y los gráficos para cargas de borde son usados en el diseño de pavimentos de autopistas.(PCA-1966)

CARGA INTERIOR

La figura siguiente muestra las aplicaciones de los gráficos de influencia para la determinación del momento al interior de la placa o losa.

El momento es un punto O en la dirección de “n”. Para usar el grafico es necesario determinar el radio de rigidez relativa “l” de acuerdo a la ecuación siguiente:

E: modulo de elasticidad del concretoh: Espesor de la placa.v: Modulo de Poisson del Concreto.K: Modulo de Reacción.

Una vez determinado el valor de “l” se hace uso del gráfico para la determinación del parámetro N.

Grafico para determinar el momento debido a una carga interior.

Con este valor de N procedemos a calcular el valor del momento de la siguiente manera.

Donde “q” es la presión de contacto. El esfuerzo es determinado de la siguiente manera.

CALCULO DE DEFLEXIONES.-

La siguiente figura muestra el grafico de influencia para evaluar las deflexiones debido a una carga interior o central.

Del grafico podemos evaluar el parámetro N .

Así podemos evaluar la deflexión de la siguiente manera.

Donde el valor de “D” es el modulo de Rigidez y lo podemos evaluar de la siguiente manera.

Grafico para determinar el momento debido a una carga de borde.

ESPESOR DE DIAMETRO LONGITUD LOSA DEL PASADOR DEL PASADOR

5 5/8 126 3/4 147 7/8 148 1 149 1 1/8 16

10 1 1/4 1811 1 3/8 1812 1 1/2 20

Falta capitulo 3

4.4 DISEÑO DE PASADORES Y DE EMPALMES: El diseño de pasadores y de empalmes se basa sobre todo en experiencia, aunque algunos métodos teóricos en el diseño de pasadores están disponibles. El tamaño de los pasadores que se utilizarán depende del grueso de la losa. La tabla 4.4 demuestra el tamaño y la longitud de los pasadores para diversos gruesos de la losa según lo recomendado por PCA(1975). Diámetro de pasadores es igual a 1/8 del grueso de la losa. En una edición reciente del diseño común, PCA(1991) recomendó el uso de 1.25 (32mm) pasadores del pulg. de diámetro para los pavimentos de carretera los pasadores gruesos y 1.5 (38mm) de menos de 10 pulg. del pulg. de diámetro para los pavimentos 10 pulg. de grueso o grater. Un diámetro mínimo del pasador de 1.25 a 1.5 pulg.(32 a 38mm) el es necesario controlar criticar reduciendo la tensión del cojinete en concierto

TABLA 4.4

4.4.1 Diseño de pasadores:

El barras de los pasadores se utilizan generalmente un través del empalme para transferir las cargas transversal un colindante de la losa. La tensión y la desviación en el empalme hace mucho más pequeñas cuando las cargas son llevadas por la losa

La tensión productiva aceptable

Porque el hormigón es muy más débil que acero, el tamaño y espaciando de clavijas requerido se gobierna por la tensión productiva entre las clavijas y hormigón. La lata de tensión productiva aceptable determinó por

Donde:

fb: tensión permisibled: diámetro del pasadorfc: ultima fuerza de compresión del cº

Comportamiento de la Tensión en un pasador:

Si la carga es aplicada a un pasador se sabe, la tensión máxima del cojinete puede ser determinada teóricamente si se asume que el pasador para ser una viga concreto para ser una fundación de Winkler. Del acuerdo las soluciones del la hacen trampas el por original Timoshenko, el Friberg indicó que la deformación máxima del concreto debajo del pasadores como se muestra por el yº :

Donde:Y0 = Deformación de los pasadorP1 = Carga en los pasadoresZ = Ancho de la juntaB = Rigidez relativa empotrada en el CºEd = Modulo de Young del pasadorId = Momento de inercia del pasador

En qué yº es la deformación del los pasadores en la cara del empalme. El P. el es la carga en un pasador, el z es la ancho común, Ed el módulo del elasticidad del pasador, I inercia del pasador, y beta es la rigidez relativa del un pasador encajado en concreto .

Nótese que:

K: Modulo de soporte del pasador, que varia ( 81.5 a 409 GN/m3)D: diámetro del pasador

El esfuerzo es proporcional a la deformación

El comportamiento que la tensión obtuvo de EQ. 4.45 debe comparar con el comportamiento permisible la tensión computada por EQ. 4.41. Si el comportamiento verdadero la tensión es más grande que la clavija entonces/luego grande permisible obstruye espaciado de clavija más pequeño debe ser usado. Los estudios recientes también han mostrado que mostrar la tensión está relacionado con el criticar de lajas, como describir en la parte 12.1.4. Limitando el tensión de comportamiento, la cantidad de originar una falla puede ser reducido al límite permisible.

Acción del Grupo del Pasador

Cuando una carga W se aplica en una losa cerca del empalme, como se muestra en la figura 4.23. Parte de la carga será transferido a la losa adyacente a través del grupo del pasador. Si los pasadores son el 100% eficiente, ambas losas desviarán la misma cantidad y las fuerzas de reaccion debajo de ambas losas serán iguales, cada una igual a 0.5w, que es también la fuerza transversal total transferida por el grupo del pasador. Si el pasador es menos de el 100% eficiente, como en el caso de los pavimentos viejos donde se aflojan algunos pasadores, las fuerzas reactivas debajo de la losa cargada serán mayor que 0.5W, , mientras que ésas fuerzas debajo de la losa descargada serán más pequeños que 0.5W. Consecuentemente, la fuerza de equilibrio total en los pasadores es más pequeña que 0.5W. Por lo tanto, el uso de 0.5W para el diseño de pasadores es más conservador.

FIG:4.22 Deformacion del pasador debajo de la carga.

FIG 4.23: transferencia de la carga a través del grupo del pasadorBasado en las soluciones de Westergaard, Friberg (1940) encontró que el momento negativo máximo

para las cargas del interior y del borde ocurre en una distancia de 1.8 L de la carga, donde L es el radio relativo de rigidez esta definido por Eq.4.10.

Cuando el momento es máximo, la fuerza transversal es igual a cero. Es por lo tanto razonable asumir que la fuerza transversal en cada pasador disminuye inversamente con la distancia del pasador del punto de carga, siendo máximo debajo del pasador o lo más cerca posible al punto de carga y cero a una distancia de 1.8L. El uso del principio antedicho para el pasador diseñado se puede ilustrar lo mejor posible por los ejemplos siguientes.

EJEMPLO 4.12:La Figura 4.24 muestra un pavimento de concreto de 8 pulg. (203 mm) de espesor, el ancho de la union igual a 0.2 pulg. (5.1m m), de un módulo de la reacción del subsuelo de 100 PCI (27kNm3), y de un módulo de soporte del pasador 1.5 de pci de x 10^6 (407 GN/m^3). Una carga de 9000 libras (40KN) se aplica sobre el pasador exterior a una distancia de 6 pulg. (152m m) del borde. Los pasadores son ¾ pulg. (19m m) de diámetro y 12 pulg. (305m m) en centros. Determinar la tensión máxima del cojinete entre el pasador y el concreto.

FIG 4.24: Ejemplo 4.12 (1 pulg. = 25.4 mm,1 Lb = 4.45 N )

SOLUCION:De la ecuación 4.10:

Si el pasador directamente bajo la carga es sujetado a una fuerza transversal Pt las fuerzas en los pasadores a una distancia de 1.8 L, o 66 pulg.(1.68m.), puede ser determninado si se asume un straight-line variation, como se muestra en la figura 4.24. La suma de las fuerzas en todos los pasadores es 3.27Pt, cuál debe ser igual a una mitad de la carga aplicada basado en el 100% de eficacia del empalme

De la ecuación 4.43,

De la Ecuación 4.44,

De la ecuación 4.45:

Para 3000 psi (20.7 - MPa) concreto, la tensión permisible del cojinete obtenida de la Eq. 4.41 es:

Porque la tensión real del cojinete es aproximadamente 10% mayor que el permisible, el diseño no se considera satisfactorio. En este ejemplo, solamente la carga izquierda de la rueda cerca del borde del pavimento se considera. La carga derecha de la rueda está por lo menos a 6 pies (1.83 m) de la carga izquierda de la rueda, que es mayor que 1.8 L, así que la rueda derecha no tiene ningún efecto en la fuerza máxima P en el pasador cerca del borde del pavimento. Si la losa es de mayor espesor y la cimentación es más débil, L puede llegar a ser mucho más grande y ambas ruedas deben ser consideradas en la determinación de la fuerza P en el pasador más crítico.

EJEMPLO 4.13

La figura 4.25a .muestra una losa de 9.5 pulg.(241-milímetro) que se reclina sobre una fundación con k = 50 pci (13.6 MN/m^3). Doce pasadores con 12 pulg. (305 milímetros)de separacion entre sus centros se colocan en el empalme en el carril de 12 pies ( 3.66-m). Dos cargas de la rueda de 9000 libras (40-KN) se aplican en los puntos A y el B. determina la carga máxima en un pasador.

SOLUCION:De la ecuación 4.10

Entonces 1.8 L = 88 pulg. (2.24 m)

Primero , considerar 9000 – Lb (40KN) carga en A. Si el pasador en A tiene un coeficiente de carga de 1, los coeficientes de carga en otros pasadores se pueden determinar por semejanza de triangulos, como se muestra en la figura 4.25b.

La suma de los estos factores resultados en 4.18 pasadores eficaces, entonces la carga llevada por el pasador en A es :

Las cargas llevadas por otros pasadores se pueden determinar por la proporción. Después, considerar la carga de 9000Lb(40 KN) en B. Si el pasador en B tiene un coeficiente de carga de 1, los coeficientes de carga en otros pasadores se pueden determinar de la distribución triangular, como se muestra en la figura 4.25c.

La suma de estos factores da lugar a 7.08 pasadores eficaces. Observar que los pasadores en el otro lado del empalme longitudinal no están considerados eficaces en llevar la carga. La carga llevada por el pasador en B es:

y ésos llevados por otros pasadores se pueden determinar por la proporción . La figura 4.25d muestra las fuerzas en cada pasador debido al efecto combinado de ambas cargas. Si puede ser visto que el pasador lo más cerca posible al borde del pavimento es el más crítico y si se utiliza para los propósitos del diseño.

La carga llevada por este pasador se puede determinar directamente por:

Los ejemplos antedichos se basan en la asunción que el momento negativo máximo ocurre en una distancia de 1.8 L de la carga. Recientes estudios de Heinrichs y otros. (1989) han demostrado que el momento negativo máximo ocurre en 1.0 L, así que la carga llevada por el pasador más crítico debe ser más grande que ésas demostradas en los ejemplos. Esto ha sido probado comparando los resultados con KENSLABS, según lo discutido en la sección 5.4.2.

4.4.2 Diseño de empalmes:

El empalme se debe proporcionar en los pavimentos de concreto para que no ocurran las grietas prematuras debido a los altos cambios de temperatura o de la humedad. Hay cuatro tipos de empalmes en uso común: contracción, extensión, construcción, y longitudinal.

Los empalmes de contracción son empalmes transversales usados para cambiar tensiones extensibles. El espaciamiento de empalmes se debe basar en experiencia desde un cambio en tipos de agregados gruesos que puede tener un efecto significativo en el coeficiente térmico del concreto y por lo tanto el espaciamiento es aceptable. Como guía práctica, el espaciamiento común en la base del pavimento en pies, de concreto llano no debe exceder mas de dos veces al espesor de la losa en pulgadas. Por ejemplo, el espaciamiento común máximo para 8 plg adentro a la longitud no debe exceder de 16 pies (AASHTO, 1986).

La fugura 4.26 muestra un típico empalme en contracción . En la figura 4.26a, un surco simulado se forma poniendo una tira de metal en el concreto fresco, el cual se quita después, posteriormente el concreto es fijado. El surco entonces se sella con un material plástico. Si el espaciamiento común es pequeño, la transferencia de la carga a través del empalme se puede alcanzar por el dispositivo de seguridad agregando algunos pasadores que pueden ser necesarios. Sin embargo, los pasadores son necesarios si el espaciamiento común es grande o si los paneles cortos están situados cerca del extremo del pavimento. En tales casos, el empalme puede abrirse y la transferencia de la carga a través del dispositivo de seguridad puede perderse. En lugar del surco simulado, puede ser formado poniendo un filtro, una cinta del asfalto, o una tira de tablero del asfalto en el concreto fresco y dejarlo allí permanentemente, según las indicaciones de la figura 4.26b.

El sellante utilizado en los empalmes debe ser capaz de soportar la tensión y la compresión repetidas como la temperatura y la humedad en las losas cambian. Los sellantes se pueden clasificar como

campo moldeado y preformado. Campo - los sellantes moldeados son ésos aplicados en forma líquida o semilíquida, y los sellantes preformados se forman durante la fabricación. El cuadro 4.27 demuestra el diseño del depósito común del sellante para los sellantes del campo-modelo. Para mantener un campo eficaz de moldeó y sello, el depósito del sellante debe tener el factor o la profundidad apropiada de forma a la profundidad y al cociente de la anchura. La práctica común es tener el cociente entre 0.5 a 1. La tabla 4.5 demuestra que las dimensiones del depósito para los sellantes y la tabla campo-moldeados 4.6 demuestran las anchuras del empalme y del sellante para los sellos preformados según lo recomendado por PCA (1975).

El sellante preformado es el tipo recomendado para alcanzar el funcionamiento a largo plazo. El sellante preformado puede hacer un trabajo excelente de guardar incompresibilidad hacia fuera sobre un período de tiempo largo pero puede no ser totalmente hermético comparado a los sellantes campo-moldeados. Los sellantes preformados deben ser diseñado tal que el sello será comprimido siempre el 20% en el empalme. La compresión máxima permitida del sello es el 50%. Así, la gama de trabajo del sello es el 20% al 50%.

Example4.14: Un pavimento de concreto de 15ft (4.6) se coloca de largo en un subbase de grava. Si la anchura común es dentro de ¼ (6.4m m), la gama de temperaturas de diseño es T en ºF 100 (55.6 ºC), el coeficiente de temperatura αt es 5x10^-6/ºF (9X10^-6/ºC), y el coeficiente de sequía ε es 1.0x011^-4, determina la anchura del sellante preformado requerido.

Solución:

De Eq 4.36 la abertura común debido al cambio de temperatura es

Δ=0.65x15x12 (0.00005x100+0.0001) = 0.07in (1.8m m). El intervalo sellante de 7/16 o 0.4375in (11.1m m) instalado en verano, así que el empalme no serían comprimidos más a fondo. Comprobar la compresión máxima del sellante: (0.4375-0.25) /0.4375 = 0.43 <50%, compresión mínima ACEPTABLE . Comprobar el sellante: (0.4375 0.27>20%, ACEPTABLE. Por lo tanto, el uso de 7/16 en el sellante (de 11.1m m) para un empalme del pulg. del ¼ (6.4m m) es satisfactorio, según las indicaciones de table4.6. Los empalmes de contracción se colocan generalmente en los intervalos regularmente perpendiculares a la línea de centro de pavimentos. Sin embargo, los empalmes

sesgados con espaciamientos seleccionados al azar, dicen 13-19-18-12 pies (4.0-5.8-5.5-3.7), también se han utilizado.

El ángulo obtuso en el exterior del pavimento debe estar delante del empalme en la dirección del tráfico desde entonces que la esquina recibe el impacto más grande del uso repentino de las cargas de la rueda. La ventaja de empalmes sesgados es que las ruedas derechas e izquierdas no llegan el empalme simultáneamente, así está reduciendo al mínimo la molestia de empalmes críticos.

El uso de espaciamientos seleccionados al azar puede reducir más lejos la resonancia y mejorar la comodidad del montar a caballo.

Juntas de expansión :

Las juntas de dilatación son empalmes transversales para la relevación de la tensión compresiva. Porque las juntas de dilatación son difíciles de mantener y susceptible al bombeo, hoy están funcionando más largo excepto en la conexión entre el pavimento y estructura. La experiencia tiene demostraciones que las explosiones de pavimentos de concreto están relacionadas con cierto tipo de agregados gruesos. Si la precaución apropiada se ejercita en seleccionar el agregado, la señal de socorro debido a las explosiones puede ser reducida al mínimo. Puesto que el flujo plástico del concreto puede relevar gradualmente la tensión compresiva, no es necesario instalar la junta de dilatación excepto en extremos del puente.

La figura 4.28 demuestra una junta de dilatación típica. El ancho mínimo del empalme es ¾ pulg. (19m m). Las barras lisas de los pasadores lubricadas por lo menos en un lado se deben utilizar para la transferencia de la carga. Un casquillo de la extensión se debe instalar en el extremo libre para proporcionar el espacio para los movimientos del pasador. Los rellenosde Nonextruding, incluyen los materiales fibrosos y bituminosos o el corcho, se deben poner en el empalme y la tapa sellados con un material plástico.

Empalmes de la construcción: En lo posible, el empalme transversal de la construcción se coloca en el lugar del empalme de contracción, como se muestra el empalme de extremo en la figura 4.29a. Si el trabajo se detiene debido a una emergencia o a una interrupción de la máquina, el empalme dominante demostrado en la figura 4.29b puede ser utilizado.

Este empalme se debe colocar solamente en el tercer medio del intervalo común normal. Los empalmes dominantes no tienen pozo del funcionamiento y muchas faltas han ocurrido.

Empalmes longitudinales

Los empalmes longitudinales se utilizan en pavimentos de la carretera para relevar tensiones. Diversos tipos de empalmes longitudinales se pueden utilizar, dependiendo de la construcción si es de ancho total o carril-en-uno-tiempo. En la construcción de ancho total, como demuestra en la figura 4.30, el tipo más conveniente es el empalme simulado del surco, en el cual las barras de lazo se utilizan para asegurarse que el dispositivo de seguridad del agregado esté mantenido, según las indicaciones de figure4.30a.

Estas barras se pueden empujar en el concreto mojado antes del acabado y de la colocación final de la arboleda simulada. El empalme se puede también formar insertando un premolde; la tira en el concreto fresco y dejarlo allí permanentemente como parte integral del empalme en conreto, como demuestra en la figura 4.30b. Otro método es instalar las placas y las barras de lazo de acero en la línea de centro antes de el verter del concreto, según las indicaciones de la figura 4.30c.

Se utiliza en la construcción del Carril-en-tiempo cuando es necesario mantener tráfico en el otro carril. Para asegurar transferencia de la carga, los empalmes dominantes se utilizan generalmente, como demostración la figura 4.31. En la mayoría de los casos, los empalmes afinados se atan junto con barras de lazo. Sin embargo, las barras de lazo pueden ser omitidas si el empalme longitudinal está abierto.

Los empalmes de extremo también se han utilizado para la construcción del carril-en-uno-tiempo. La práctica actual prefiere el uso de los empalmes afinados excedente de los empalmes de extremo porque los empalmes de Keyed no utilizan generalmente bien debido a la ocurrencia de grietas a lo largo de la llave y son también difíciles de construir en el interior de los pavimentos.

4.5 RESUMEN:

Este capítulo discute las tensiones y las desviaciones en el pavimento rígido basado en la teoría de Westergaard.

Westergaard vio el pavimento como placa en una fundación líquida con el contacto completo del subsuelo. Los análisis basados en contacto parcial y otros tipos de fundación se presentan en el capitulo 5.

Puntos importantes discutidos en el capítulo 4

1. - Las tensiones que se demuestran en una losa infinita son causadas por el efecto que refrena de la losa y se pueden determinar fácilmente de la ley de Hooke si se asume la tensión plana. 2. - Las tensiones que se demuestran en una losa finita son causadas por rajduras de la losa y son difíciles de computar. De acuerdo con la teoría de Westergaard, Bradbury desarrolló una carta simple para determinar la tensión máxima en el interior y en el borde de una losa finita. 3. – Si se debe considerar el diseño del pavimento rígido es polémico. La asociación del cemento de Portland no considera la regresión de las tensiones, en análisis de la fatiga porque es poco el número de las revocaciones de la tensión no contribuye a la fatiga que se agrieta y también las tensiones que se encrespan se pueden agregar a restar de las tensiones del cargamento para neutralizar el efecto. Otros piensan que las tensiones que se encrespan se deben combinar con tensiones del cargamento porque la experiencia previa tiene demostraciones que losas más largas con mayor encresparse tensiones siempre resultado en agrietarse de la losa. Un acercamiento más razonable es considerar el daño de la fatiga debido a encresparse por separado de eso debido al cargamento y a la cosechadora ellos. 4. Los fórmulas del Westergaard se pueden utilizar para determinar las tensiones máximas y la desviación en una losa concreta debido a un área cargada circular aplicada en la esquina, en el interior, o acercar al borde, si la carga es excedente aplicado al sistema de neumáticos duales, los fórmulas puede todavía ser aplicada usando área circular equivalente. 5. - Las tensiones y las desviaciones debido a los cargamentos del interior y del borde se pueden también determinar por las cartas de la influencia. Cuando se emplean las cartas de la influencia, las impresiones reales del neumático deben ser utilizadas, en vez de si se asume que las impresiones para ser áreas circulares. 6. - El diseño de los refuerzos de acero y de las barras de lazo se basa en las tensiones debido a la fricción. Éstos de los refuerzos de acero, tales como esteras de la tela del alambre y de la barra, no aumentan la capacidad estructural de la losa sino se utilizan aumentando el espaciamiento común y el concreto comprobado junto para mantener transferencias de la carga a través de dispositivo de seguridad agregado. 7. - El diseño de pasadores se basa sobre todo en experiencia. Una regla del pulgar es que el diámetro del pasador sea igual a 1/8 del grueso de la losa. Sin embargo, un método teórico está disponible determinar la tensión del cojinete entre el pasador y el concreto y para comprobar contra la tensión permisible del cojinete. 8. - Los empalmes se deben proporcionar en pavimentos de concreto, así que las grietas prematuras debido a los cambios de la temperatura o de la humedad no ocurren. Como guía , el espaciamiento común en los pies para el pavimento de concreto llano no debe exceder grandemente dos veces el espesor de la losa en pulgadas y el cociente del ancho entre la longitud no debe ser mayor a 1.25. Los empalmes de contracción se colocan generalmente en los intervalos regulares perpendiculares a la línea de centro del pavimento. Sin embargo, los empalmes sesgados con espaciamientos seleccionados que al azar también se han utilizado. Las juntas de dilatación se utilizan solamente en la conexión entre el pavimento y la estructura. Los empalmes longitudinales se utilizan para las tensiones que retornan y se pueden utilizar diversos tipos, dependiendo si la construcción es de ancho total o carril-en-uno-tiempo.