Cap 8. Modelo Intertemporal Con Capital

7/24/2019 Cap 8. Modelo Intertemporal Con Capital

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INSTITUTO TECNOLGICO AUTNOMO DE MXICO

Departamento Acadmico de Economa

Economa VCaptulo 8

Modelo Intertemporal con Capital1

INTRODUCCIN

En este captulo agregaremos al modelo dinmico la posibilidad de que la economa transera

recursos intertemporalmente a travs de la inversin en bienes de capital. Los agentes econmicos

ahora podrn destinar parte de sus recursos a la acumulacin de nuevos bienes de capital que incre-

mentan la capacidad productiva en el futuro. Como se ver a lo largo del captulo, la incorporacin

de las decisiones de inversin al modelo tendr consecuencias muy importantes, tanto en trminos

de su capacidad explicativa, como en trminos de la riqueza de las relaciones que se establecern

entre las principales variables econmicas.

Desde un punto de vista terico, esta inclusin le da al modelo una componente inminentemente

dinmica. En las versiones del modelo dinmico vistas hasta ahora (dotaciones y esfuerzo laboral),

si bien cada individuo competitivo tena la posibilidad de transferir ingreso intertemporalmente a

travs de los mercados nancieros, esta opcin no estaba presente para la economa en su conjunto.

En los modelos anteriores la cantidad de bienes que se produca en un perodo deba ser consumida

en ese momento, ya sea por agentes privados o por el gobierno. No haba forma de que el agregadotransriera recursos en el tiempo (esta situacin era an ms evidente en los modelos con agente

representativo en donde la autarqua era el nico equilibrio). Como consecuencia, en esos modelos

todas las cantidades de equilibrio se determinaban como si se tratara de una sucesin de modelos

estticos y las tasas reales de inters de equilibrio eran aquellas para las cuales el ahorro agregado

era cero.

Una vez que la economa puede formar nuevos bienes de capital por medio de la inversin, habre-

mos de modicar las relaciones econmicas que denen el equilibrio. Ahora en equilibrio, el ahorro

agregado de la economa deber ser igual a la inversin, ambas variables endgenas. Tendremos

que denir exactamente a lo que nos referimos por ahorro, ya que en este modelo seguir siendo

cierto que en equilibrio la tenencia agregada de bonos deber ser cero. Las tasas de inters sern

precisamente aquellas para las cuales el ahorro sea igual a la inversin. Una economa que desea

1 Esta nota fue elaborada por el Prof. Alejandro Hernndez D. para el uso exclusivo de los alumnos inscritos enel curso Economa V en el Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico. El autor agradece los comentarios de losprofesores Germn Rojas e Ignacio Trigueros.

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invertir ms, quizs como resultado de un cambio en las condiciones esperadas de la economa en el

futuro, habr de requerir mayor ahorro y, por lo tanto, menor consumo. La reduccin en el consumo

deber verse a su vez reejada en las condiciones de eciencia intratemporales, modicando la oferta

de trabajo y el salario de equilibrio. En otras palabras, eventos futuros habrn de jugar un papel

importante en las decisiones de cunto trabajar y cunto consumir en el presente.

El captulo est organizado de la siguiente manera. En la primera seccin describimos brevemente

la tecnologa. Posteriormente, en la segunda seccin se presenta el modelo descentralizado con

empresas y hogares. Como veremos, la introduccin de capital en la economa descentralizada se

puede hacer de dos maneras distintas: que las empresas lleven a cabo la inversin y sean stas las

dueas de su acervo, o que los hogares lleven a cabo la inversin como una forma de ahorro. En

el segundo caso, los hogares seran los dueos del capital productivo, mismo que le rentan a las

empresas para que stas lleven a cabo su produccin. El primer modelo guarda una mayor cercanacon la realidad, y aportar conceptos y principios de gran utilidad analtica. Con este modelo

podremos generalizar la teora de la determinacin del valor de una empresa, que desarrollamos en

la seccin anterior, a una economa con capital. El segundo modelo tambin es importante, ya que

nos permitir establecer el concepto de costo de uso de capital, que es el precio de equilibrio del

arrendamiento de un activo.

En la tercera seccin se presenta el problema desde la ptica de la maximizacin del bienestar

social. Con este problema podremos ser ms rigurosos sobre las restricciones que deben imponerse

para limitar esquemas de Ponzii y tambin sobre las condiciones que los planes ptimos deben

cumplir hacia el innito (las condiciones de transversalidad). A partir de las condiciones de eciencia,

caracterizaremos el equilibrio por medio de un sistema dinmico. En general, dicho sistema dinmico

carece de soluciones cerradas, excepto para casos particulares. Uno de ellos, que analizamos con gran

detalle, es cuando la tasa de depreciacin del capital es del 100%. En ese caso, los activos productivos

pueden emplearse una sola vez. Analizamos las implicaciones de corto y largo plazo para este modelo.

An cuando en el caso general (con depreciacin menor al 100%) el modelo no admite soluciones

cerradas, s es factible analizar el comportamiento de la economa en el largo plazo, e inferir a partir

de ste algunas caractersticas de la economa en el corto plazo. Al nal del captulo generalizamos

el anlisis para el caso en que la economa experimenta un crecimiento exgeno sostenido de laproductividad total de factores.

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8.1 La Tecnologa con Capital

Entenderemos por capital los activos productivos de una empresa. Primordialmente, nos referi-

mos a activos tangibles (terrenos, edicios, maquinaria, vehculos, equipo de cmputo, etc.), aunque

el anlisis se puede extender a activos intangibles (marcas, reputacin, conocimiento, etc.). El capi-

tal es ahora un argumento ms de la funcin de produccin. Por lo tanto, la tecnologa queda dada

por una funcin de produccin que combina trabajo y capital:

yt= AtF(kt1;lt);

dondekt1es el capital instalado al nal del perodo t 1, y que est disponible para la produccin

en t. Con esta notacin queremos hacer explcito que en el corto plazo el capital es un factor jo.

La economa llega al perodo t con un acervo de capital kt1 que, como veremos, est determinado

por las decisiones de inversin en el pasado. El acervo no se puede modicar de forma inmediata.La inversin que se realice en t se ver reejada en el acervo de capital a partir de t + 1, de manera

que resulta imposible modicar el acervo de capital disponible para la produccin en el presente.

La funcin de produccin Fdenota una forma de combinar los insumos que permanece constante

en el tiempo (es por eso que no se incluye un subndice t a la funcin). Para una empresa o una

industria en particular, es razonable pensar que con el paso del tiempo la forma en que se mezclan

los insumos para la produccin se modique, quizs como consecuencia de innovaciones que hagan

relativamente ms productivo a uno de los dos factores. Sin embargo, a nivel macroeconmico,

la relacin entre estos insumos ha mostrado una gran estabilidad a lo largo de la historia. Esta

regularidad se da tambin al comparar economas distintas en un mismo momento. A partir de

la evidencia emprica, la evolucin en el ingreso per cpita en un pas, o las diferencias en los

niveles de ingreso entre dos pases, se explican ms por cambios en el parmetro At (una constante

multiplicativa), que por cambios enF. Es decir, la diferencia entre el ingreso de un pas desarrollado

y el de uno en vas de desarrollo, se explica no por una tecnologa Fsuperior, sino por otros factores

ajenos a la tecnologa (funcionamiento de la economa de mercado, entorno poltico, vigencia del

estado de derecho, hbitos de trabajo, cultura organizacional, etc.). La evolucin en el tiempo del

parmetroAt, conocido como la productividad total de los factores, jugar un papel central en la

determinacin de las variables a lo largo del tiempo.Supondremos que la funcin de produccin Fexhibe rendimientos constantes a escala. En otras

palabras, el trabajo y el capital son los nicos factores que inciden en la produccin2 . Para nes de

2 El modelo puede extenderse a una tecnologa con rendimientos decrecientes a escala, lo que im plicara la existenciade un factor jo en la produccin (generalmente el factor empresarial).

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esta nota, supondremos que la funcin de produccin es del tipo Cobb-Douglas, es decir:

yt= Atkt1l

1t :

Las propiedades de la funcin Cobb-Douglas son ya conocidas. Entre otras, hay que destacar que

ambos insumos son imprescindibles para la produccin (es decir, no se pueden producir cantidades

positivas si alguno de ellos es igual a cero). Los parmetros y 1 representan la participacin

(constante) de cada factor en el costo de produccin, y a la vez son iguales a la elasticidad de la

produccin respecto al insumo correspondiente.

Al tener dos factores de produccin, la productividad marginalde cada factor mide el cambio

en la produccin ante un cambio marginal en el factor en cuestin, manteniendo constante el otro

factor. En trminos matemticos, la productividad marginal de un factor es la derivada parcial de

la produccin con respecto a dicho factor. De esta manera, la productividad marginal de la manode obra (para el caso de la tecnologa Cobb-Douglas) est dada por:

M P Lt=@yt@lt

= (1 )Atkt1l

t

= (1 )At

kt1

lt

= (1 )ytlt

:

La segunda expresin es una representacin til en trminos de la razn capital-trabajo (kt1=lt).

En la tercera igualdad utilizamos la misma representacin que en captulos anteriores, haciendo usode que en una tecnologa Cobb-Douglas el parmetro1 representa la elasticidad de la produccin

con respecto a la mano de obra. Con base en la primera o la segunda desigualdad, podemos concluir

que la productividad marginal de la mano de obra es una funcin decreciente del nivel de empleo.

Esto no es ms que la manifestacin de la ley de rendimientos marginales decrecientes. Por otro

lado, la productividad marginal de la mano de obra es una funcin creciente del acervo de capital.

Es decir, el trabajador marginal es ms productivo en la medida que la empresa tenga un mayor

acervo de activos jos.

De la misma manera, podemos denir la productividad marginal del capital como:

MP Kt= @yt@kt1

=Atk1t1l

1t

=At

kt1

lt

1

= ytkt1

:

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En este caso, la productividad marginal del capital es una funcin decreciente del propio acervo de

capital y es una funcin creciente de la mano de obra. Ntese que el subndice de M P Kt se reere

al perodo en que la produccin se lleva a cabo, y no al factor en s, ya que el capital que se utiliza

para producir en t lo denotamoskt1.

Las unidades de capital se van acumulando en el tiempo, mientras que las viejas unidades de

capital se van desgastando. El ritmo al que los activos jos se desgastan, en trminos de su capacidad

productiva, es lo que se conoce como la tasa de depreciacin econmica del capital. Denotaremos la

tasa de depreciacin por, que es un nmero entre 0 y 1. Para nes de nuestro modelo, supondremos

que la tasa de depreciacin es constante a lo largo del tiempo, aunque podemos imaginarnos que en

un contexto ms general la tasa de depreciacin podra ser funcin de la intensidad con que se use

el capital, la habilidad de la mano de obra, la calidad del capital, etc. En trminos empricos, se

estima que la tasa de depreciacin promedio en una economa se sita entre el 5% y el 8%.La ley de movimiento del capital en el tiempo es:

kt= it+kt1(1 );

en donde 0 1, y donde it es la inversin que se realiza en el perodo t. Recordemos que

los nuevos bienes de capital que conforman it se suman al acervo de capital existente, neto de

depreciacin, para denir el capital que estar disponible para la produccin en el prximo perodo,

kt. A la variable it se le conoce tambin como inversin bruta, o formacin bruta de capital.

Manipulando la ley de movimiento del capital podemos escribir:

kt kt1 = it kt1:

El lado derecho de esta expresin es lo que se conoce como la inversin neta. La inversin neta

ser positiva cuando la inversin bruta exceda la depreciacin del capital existente. Como puede

apreciarse, si la inversin neta es positiva, el acervo de capital disponible en t+ 1 ser mayor al

capital disponible en t.

8.2 El Modelo Descentralizado

Plantearemos y analizaremos el modelo competitivo, reconociendo explcitamente la presencia de

empresas competitivas y consumidores competitivos. Inicialmente, consideraremos que las empresas

son las que llevan a cabo la inversin y son, por lo tanto, las dueas del capital. Como consecuencia,

las ganancias sern positivas, ya que en equilibrio sern iguales a la retribucin al capital de los

accionistas. Posteriormente presentaremos otra forma de plantear el modelo en la cual los hogares

son los dueos del capital que le rentan a las empresas. Esta segunda versin ser til para entender

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con ms claridad el concepto de costo de uso del capital. En ambos casos, nos concentraremos en

las condiciones de eciencia que emanan de los problemas de maximizacin respectivos. Dejaremos

para la siguiente seccin, donde analizamos el problema de maximizacin del bienestar social, el

anlisis de las restricciones de no Ponzii y de las condiciones de transversalidad que caracterizan a

los planes ptimos.

8.2.1 EMPRESAS DUEAS DEL CAPITAL

En este apartado consideraremos que las empresas son quienes llevan a cabo la inversin y

son dueas de sus activos productivos. Los hogares son dueos de las empresas. Inicialmente,

consideraremos que los individuos pueden ahorrar adquiriendo bonos o adquiriendo acciones de las

empresas. La inclusin de un mercado accionario ser til para generalizar a un entorno con capital

la determinacin del valor econmico de las empresas. Sin embargo, al igual que en el captulo7, en equilibrio los bonos y las acciones le darn idnticos benecios a los consumidores. En otras

palabras, los activos sern perfectos sustitutos unos de otros. Para determinar el equilibrio habremos

de eliminar la posibilidad de intercambiar acciones, lo que nos permitir escribir la restriccin de no

Ponzii exclusivamente en trminos de la tenencia de bonos, como lo hicimos en el captulo anterior.

8.2.1.1 Empresas:

Denotaremos por dt el ujo operativo neto de inversin que las empresas transeren a sus ac-

cionistas en forma de dividendos:

dt= Atkt1l

1t wtlt it;

dondewtes el salario de mercado que prevalece en t. Ntese que todas las cantidades en la ecuacin

anterior estn medidas en unidades del bien producido en el perodo t.

La inversin da lugar a decisiones intertemporales que distan de ser triviales. Al invertir en el

presente, la empresa sacrica dividendos para sus accionistas en el presente a cambio de expandir

las posibilidades de produccin y poder obtener mayores dividendos en el futuro. El objetivo de la

empresa es maximizar el valor presente del ujo de dividendos presentes y futuros. Es decir,

maxflt;itg1Pt=1

Atkt1l1t wtlt it(1 +r1)(1 +r2) (1 +rt1)

s.a.kt= it+ (1 )kt1:

De la ley del movimiento del capital podemos despejar la inversin y sustituir la expresin

resultante en la funcin objetivo, lo que permite replantear el problema de maximizacin como uno

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sin restricciones en donde las variables de eleccin son nicamente las sendas de empleo y de capital:

maxflt;ktg

1Xt=1

Atkt1l

1t wtlt [kt (1 )kt1]

(1 +r1)(1 +r2) (1 +rt1) :

Las condiciones de primer orden son las siguientes. Con respecto a lt:

(1 )At

kt1

(lt )

wt

(1 +r1)(1 +r2) (1 +rt1) = 0;

y con respecto akt:

1

(1 +r1)(1 +r2) (1 +rt1)+

At+1(kt )

1lt+1

1+ (1 )

(1 +r1)(1 +r2) (1 +rt) = 0:

La primera condicin implica que

(1 )Atk

t1 (l

t) =w

t;

que no es ms que la condicin de primer orden habitual que establece que en un plan de produccin

ptimo, la productividad marginal de la mano de obra debe ser igual al salario. Multiplicando y

dividiendo el lado izquierdo por lt obtenemos una expresin idntica al modelo sin capital:

(1 )ytlt

=wt;

slo que ahora yt es funcin tanto del esfuerzo laboral como del acervo de capital disponible en ese

perodo.

Por su parte, la segunda condicin implica que

1 =At+1(k

t )

1lt+11 + (1 )1 +rt

:

Esta segunda condicin caracteriza las decisiones de inversin ptimas. Su interpretacin es la

siguiente: consideremos una empresa que debe decidir entre repartir como dividendo una unidad

del bien en el perodo t o invertirlo y repartir en t+ 1todos los recursos que la inversin genere.

En sentido estricto, una inversin que se realiza en t le reporta benecios a la empresa en todos

los perodos subsecuentes (aunque en el futuro los benecios son slo en funcin de la porcin del

activo que no se haya depreciado). Como nuestro inters es caracterizar la decisin entre repartir

un dividendo en to transferirlo a t + 1, habremos de suponer que despus de producir en t+ 1 la

empresa vende la porcin no depreciada del activo. En otras palabras, los recursos totales generados

por el bien que se invierte son el incremento en la produccin en el prximo perodo ms el valor de

rescate de la venta del activo. Esto es lo que se representa en la ecuacin anterior. El lado izquierdo

es el bien que se deja de dar como dividendo en t. El lado derecho es el rendimiento de la inversin.

Por un lado, la empresa obtiene el rendimiento marginal del capital (en t + 1). Adems, la empresa

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vende la porcin no depreciada de la inversin (1 ). Estos ujos se generan en t+ 1, y estn

medidos en unidades del bien en t+ 1. Para hacerlos comparables con el ujo del perodo t, es

necesario dividirlos entre el factor de inters (es decir expresarlos en valor presente). En resumen, el

lado izquierdo de la ecuacin muestra el costo marginal de la inversin (expresado en unidades del

bien en el perodot) y el lado derecho muestra el benecio marginal de la misma, tambin expresado

en unidades del bien en el perodo t.

Haciendo uso de la expresinM P Kt+1= yt+1=kt , la condicin de eciencia del capital se puede

representar como:

rt+= yt+1

kt;

expresin que nos resultar til ms adelante para caracterizar sendas ptimas de capital.

A partir de las condiciones de eciencia de la mano de obra y del capital, nos gustara poder

expresar el nivel ptimo de empleo y el acervo ptimo de capital en funcin del salario de mercadoy la tasa de inters. Para ello, podramos tratar de utilizar la condicin de eciencia de la mano de

obra en t y la condicin de eciencia del capital en t 1para denir un sistema con dos ecuaciones

y dos incgnitas lt ykt1:

wt= (1 )ytlt

= (1 )At

kt1

lt

rt1+= ytkt1

=At

kt1

lt

1:

Sin embargo, las dos ecuaciones estn escritas en funcin de la relacinkt1=lt , lo que hace imposible

despejar cada variable en funcin de los precios. Si, por ejemplo, despejamos el capital en la primera

ecuacin, al sustituirlo en la segunda el trabajo se cancela. Lo ms que podemos lograr, al dividir

las dos condiciones entre s, es expresar la relacin capital-trabajo ptima en funcin del salario y

de la tasa de inters:kt1

lt=

1

wtrt1+

:

El hecho de que no podamos encontrar los niveles ptimos de kt1 y lt no debe sorprendernos.

Recordemos que la tecnologa exhibe rendimientos constantes a escala. La combinacin de insumos

que acabamos de deducir es precisamente la que maximiza las ganancias. Sabemos que cuando la

tecnologa tiene rendimientos constantes a escala, las ganancias econmicas deben ser cero. Estasganancias son las obtenidas despus de pagarle a cada factor su contribucin marginal:

t =yt k

t1MP Kt l

t MP Lt

=yt kt1

ytkt1

lt (1 )ytlt

= 0:

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Cuando los factores se contratan de forma tal que se satisfacen las dos condiciones de eciencia, la

empresa obtiene ganancias econmicas iguales a cero. Este resultado, combinado con la presencia

de rendimientos constantes a escala, lleva a que las cantidades ptimas de factores no sean nicas.

La razn es sencilla. Tecnolgicamente, los rendimientos constantes a escala signican que si yt

se puede producir con la combinacin (kt1; lt ), entonces y

t se puede producir con (k

t1; l

t ),

para cualquier >0. Como(yt ; kt1; l

t )le brinda a la empresa ganancias iguales a cero, cualquier

mltiplo dara las mismas ganancias. En otras palabras, el costo marginal de produccin es constante.

Como resultado, la empresa queda indiferente entre producir con tal combinacin de factores o con

cualquier mltiplo de la misma. Como sucede en todos los modelos cuando la tecnologa tiene

rendimientos constantes a escala, el nivel de produccin se determinar a partir de las condiciones

de equilibrio en el mercado de bienes. Una vez que conozcamosyt , las ecuaciones anteriores nos

permitirn conocer la demanda de los dos insumos.Vamos a dejar para la siguiente seccin el clculo del equilibrio (que como veremos es com-

plejo y habremos de limitarnos a casos especiales). Nuestro inters, por ahora es conocer algunas

propiedades de los equilibrios a partir de las condiciones de eciencia de cada problema de maxi-

mizacin. Pasaremos ahora al estudio de las decisiones de los consumidores, quienes habrn de recibir

los dividendos que la empresa reparta. Es importante enfatizar que estos se denen en equilibrio

del problema de la empresa (aunque ello requiera conocer la produccin y los precios de equilibrio).

En cualquier caso, como antes, desde la ptica del consumidor los dividendos sern una variable

exgena.

8.2.1.2 Consumidores:

El problema de los consumidores va a ser idntico al de una economa dinmica sin capital, como

la del captulo anterior. Ello debido a que todo el juego que el capital tiene en este modelo ya ha

quedado incorporado en las decisiones de las empresas (al concluir este anlisis presentaremos un

modelo alternativo en el que las decisiones de inversin las toman los consumidores). De tal suerte,

el consumidor i resuelve:

max1Xt=1

t1 [ln hit+ ln cit]

sujeto a:

hit+nit= Hit

cit+bit+JX

j=1

jt(ijt

ijt1) = wtnit+ (1 +rt1)bit1+

JXj=1

ijt1djt:

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Adicionalmente, el consumidor debe cumplir una restriccin de no Ponzii que impida el crecimiento

excesivo del endeudamiento. Resulta complicado imaginar la restriccin aplicable a este modelo, ya

que el consumidor puede endeudarse emitiendo bonos o vendiendo acciones (en corto si es necesario).

En un momento veremos que, al igual que en el modelo sin capital, las acciones resultan ser activos

redundantes, por lo que el modelo con mercado accionario y bonos resulta indeterminado. Una vez

que eliminamos el intercambio de acciones, la restriccin de no Ponzii se puede escribir en la forma

habitual en trminos de la tenencia de bonos.

La restriccin presupuestaria es prcticamente idntica a la del modelo descentralizado sin capital

(captulo 7). La nica diferencia es que en aquel modelo las empresas distribuan las ganancias,

mientras que en este slo distribuyen el ujo de efectivo neto de inversin. Con base en la similitud

de los dos modelos, expresaremos directamente las condiciones necesarias de eciencia que resultan

del proceso de maximizacin restringida (se deja al lector su derivacin):cit

Hit nit=wt;

cit+1cit

=(1 +rt);

1 +rt=jt+1+d

jt+1

jt; para toda j:

La ltima expresin se obtiene de las condiciones de primer orden, pero no incluye ninguna

variable de decisin del individuo. Se trata de una condicin de no arbitraje que todas las acciones

deben de cumplir. De no ser as, el individuo podra encontrar la forma de obtener un ujo ilimitado

de consumo. El lado izquierdo es el rendimiento de una estrategia de ahorro en bonos. El lado

derecho es el rendimiento que se obtendra si en lugar de comprar bonos se compran acciones de

la empresa j. Si los rendimientos no fueran iguales, el consumidor podra nanciar cantidades

ilimitadas de consumo endeudndose con el instrumento de menor rendimiento y ahorrando todo

el monto de endeudamiento en el de mayor rendimiento. Esta combinacin le dara al individuo

una ganancia neta que podra utilizar para consumir. Incrementando el monto de endeudamiento

y ahorro, el individuo nanciara an ms consumo. Como, desde la perspectiva del consumidor

competitivo, este proceso no tiene lmite, el consumo ptimo no existira (sera innito).

Como vimos en el captulo anterior, la aplicacin iterada de la condicin de no arbitraje nos llevaa que:

j1 =1Xt=1

djt+1(1 +r1) (1 +rt)

:

En general, el valor de la empresa (o el precio de las acciones) para cualquier perodo es:

j=1Xt=

djt+1(1 +r) (1 +rt)

:

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stas son las mismas expresiones que obtuvimos para el modelo sin capital (slo que en aquel

caso el numerador era jt+1). La diferencia es que ahoradjt+1se determina a travs de un problema

dinmico de la empresa. Cuando la empresa decide su nivel de inversin, implcitamente decide

entre mayores dividendos en el presente versus mayores dividendos en el futuro. En virtud de la

estructura dinmica de los dividendos, resulta natural preguntarnos si al sustituir el valor ptimo de

stos en las ecuaciones anteriores se obtiene alguna frmula ms sinttica para el valor econmico

de las empresas. La respuesta es armativa. Sustituyendo

djt+1= yjt+1 wt+1l

jt+1

kjt+1 (1 )k

jt

en la ecuacin del precio de la empresa se obtiene que

j1 =1

Xt=1

yjt+1 wt+1ljt+1

kjt+1 (1 )kjt

(1 +r1) (1 +rt)

:

De la condicin de eciencia del trabajo sabemos que:

yjt+1 wt+1ljt+1= y

jt+1 (1 )

yjt+1ljt+1

ljt+1= yjt+1:

Por su parte, de la condicin de eciencia del capital sabemos que

rt+= yjt+1

kjt;

lo que implica que el valor de la empresa en t = 1se puede expresar como:

j1 =1Xt=1

kjt(rt+)

kjt+1 (1 )kjt

(1 +r1) (1 +rt) ;

que se simplica como

j1 =1Xt=1

kjt(1 +rt) kjt+1

(1 +r1) (1 +rt):

Si expresamos esta suma trmino a trmino, se obtiene que:

j1 =

kj1

kj2(1 +r1)

+

kj2

(1 +r1)

kj3(1 +r1)(1 +r2)

+: : : :

Como puede apreciarse, el segundo trmino de cada corchete se cancela con el primer trmino del

siguiente. Como resultado, el nico trmino que sobrevive es el primer trmino del primer corchete,

el capital del perodo 1. Por lo tanto,

j1= kj1:

Aplicando esta frmula para cualquier perodot se obtiene que:

jt = kjt:

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El precio de equilibrio de la empresa (o de las acciones) que acabamos de obtener es el nico

que satisface la condicin de no arbitraje. Si las acciones tomaran un valor distinto, los individuos

tendran la posibilidad de lograr ganancias innitas vendiendo cantidades ilimitadas del bono y

adquiriendo cantidades ilimitadas de acciones. Como en equilibrio esto no puede suceder, las acciones

deben tomar su valor correspondiente. Sin embargo, cuando esto es as, los bonos y las acciones de

cualquier empresa son sustitutos perfectos, lo que nos impide determinar la distribucin de la tenencia

accionaria de las empresas entre la poblacin. De hecho, sta queda totalmente indeterminada, ya

que cualquier distribucin es consistente con el equilibrio (bastara darle a cada persona la cantidad

exacta de bonos para satisfacer cada restriccin presupuestaria). Por tal motivo, en este modelo,

al igual que en el del captulo anterior, cerraremos el mercado accionario, forzando a los individuos

a que las transferencias intertemporales de ingreso se lleven a cabo exclusivamente con bonos. En

todo momento, la tenencia accionaria ser la dotacin inicial de acciones. En el caso de un modelocon un consumidor representativo, su tenencia accionaria ser el 100% del capital accionario de las

empresas. La ventaja de este enfoque, es que al slo existir un activo (los bonos), la forma de la

restriccin de no Ponzii es ms sencilla, ya que coincide con la del modelo sin capital. En resumen,

el problema del consumidor queda dado por:

max1Xt=1

t1 [ln (Hit nit) + ln cit]

sujeto a:

cit+bit= wtnit+ (1 +rt1)bit1+JX

j=1

ij0djt:

limT!1

biT(1 +r1) (1 +rT1)

0:

8.2.2 HOGARES DUEOS DEL CAPITAL

En este apartado presentamos una versin ms sencilla del modelo donde los hogares son direc-

tamente los dueos del capital y, por lo tanto, son quienes llevan a cabo la inversin. Los hogares

rentan el capital a las empresas para que stas produzcan. Los contratos de arrendamiento tienen

vigencia de un perodo. Por lo tanto, en cada perodo, las empresas slo se preocupan por determinar

la cantidad de capital que es ptima en ese perodo, sin ninguna otra consideracin dinmica, ya

que al trmino del perodo devuelven los activos productivos a los hogares y deciden cunto capital

requieren para el siguiente perodo. El precio que las empresas pagan a los hogares por el capital

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que rentan no es el valor del activo, sino solamente el precio por el uso del activo por un perodo.

Por tal motivo, a este precio, que denotaremos por qt, se le conoce como el costo de uso del capital.

8.2.2.1 Empresas:

En este modelo, el tratamiento que la empresa da al capital y al trabajo es totalmente simtrico,

ya que en ambos casos la empresa contrata un ujo de servicios y paga un precio por dicho ujo.

A partir de estas consideraciones, podemos expresar el problema de maximizacin de las empresas

como:

maxkdt1 ;lt

1Xt=1

Atkdt1

l1t wtlt qtkdt1

(1 +r1)(1 +r2) (1 +rt1):

En la expresin anterior, la variable kd se reere al capital demandado por las empresas. Ms

adelante, en el problema de los hogares utilizaremos la variable kspara referirnos al capital ofrecido

por los hogares. El precio de equilibrioqt ser aquel en donde la oferta y la demanda de capital sean

iguales,kdt1 =kst1

. Hay que resaltar que hemos mantenido la convencin de llamarkdt1al capital

que se utiliza para la produccin ent. Para hacer consistente esta notacin con la motivacin anterior,

podramos suponer que la empresa debe solicitar al nal del perodo t 1el capital que requerir

en t, para que al llegar este perodo todo est listo para la produccin. Como veremos, la decisin

de cunto capital contratar para la produccin en t, es decir kt1, depender exclusivamente de los

precios vigentes en t: wtyqt. El que la decisin se tome al nal del perodo t 1no representa un

problema, ya que suponemos, como en todos los modelos dinmicos en este curso, que los individuos

pueden formular expectativas correctas sobre los precios futuros (expectativas racionales).Una vez que la decisin de acumulacin de capital queda fuera del mbito de las empresas, el

problema de decisin de stas toma un carcter inminentemente esttico. Esto lo podemos ver

directamente de las condiciones de primer orden del problema de maximizacin del ujo descontado

de benecios:(1 )At

kdt1

(lt )

wt

(1 +r1)(1 +r2) (1 +rt1) = 0;

y

At

kdt1

1(lt )

1 qt

(1 +r1)(1 +r2) (1 +rt1)= 0:

Claramente, estas condiciones slo se pueden cumplir si los numeradores son iguales a cero, es decir:

MP Lt= (1 )At

kdt1

(lt )

=wt

y

MP Kt= At

kdt1

1(lt )

1 =qt:

13


14/54

Como ya se ha mencionado repetidamente, para el caso de tecnologas Cobb-Douglas, los pro-

ductos marginales de cada factor se pueden expresar como

MP Lt=

(1 )ytlt ;

y

M P Kt= ytkdt1

:

Por lo tanto, las ganancias en el ptimo son cero:

t =yt wtl

t qtk

dt1

=yt (1 )yt

ltlt

ytkdt1

kdt1 = 0:

Este resultado es consecuencia de la presencia de rendimientos constantes a escala. Esto tambinimplica que no existe una nica cantidad demandada ptima de cada factor. Una vez que la empresa

determina la mezcla ptima de insumos (que le genera ganancias cero), cualquier mltiplo de sta

resultar igualmente atractivo. La mezcla ptima se obtiene dividiendo entre s las dos condiciones

de primer orden:kdt1

lt=

(1 )

wtqt

:

8.2.2.2 Consumidores:

Los consumidores llevan a cabo la inversin como una forma de transferir intertemporalmentesus ingresos. El capital lo rentan a las empresas al precio qt. Los individuos, como siempre, buscan

maximizar su utilidad. En este caso, el problema de los consumidores queda dado por:

max1Xt=1

t1 [ln(Ht nt) + ln ct]

sujeto a:

ct+bt+it= wtnt+qtkst1+ (1 +rt1)bt1;

kst = (1 )kst1 + it;

limT!1

bT(1 +r1) (1 +rT1)

0:

En el problema anterior hemos omitido el identicadoridel individuo para simplicar la notacin

y para evitar confusin con la variable itque denota la inversin. Ntese que en el lado derecho de la

restriccin presupuestaria no aparece la distribucin de ganancias de las empresas y por lo tanto no

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hay referencia alguna a la tenencia accionaria. La razn es que como las ganancias ptimas son cero,

los individuos no reciben dividendo alguno. Por la misma razn, el precio de las acciones es cero y,

por lo tanto, es irrelevante quin es el dueo de las empresas. Sustituyendo la ley del movimiento

del capital en la restriccin presupuestaria obtenemos la siguiente expresin

ct+bt+

kst (1 )kst1

= wtnt+qtkst1 + (1 +rt1)bt1:

A partir de esta restriccin podemos formar el lagrangiano correspondiente para encontrar las si-

guientes condiciones de primer orden:

t1

ct=t

t1

Ht nt=

t

wt

t =t+1(1 +rt)

t (1 )t+1=

t+1qt+1:

De las primeras tres obtenemos las mismas condiciones de eciencia intertemporal e intratemporal

que en los modelos sin capital:ct+1

ct=(1 +rt)

ctHt nt

=wt:

Sustituyendo la tercera condicin de primer orden en la cuarta obtenemos una condicin de noarbitraje (ya que desaparecen todas las variables de decisin del individuo) que establece que:

1 +rt= qt+1+ (1 );

es decir,

qt+1= rt+:

En otras palabras, el precio del arrendamiento o costo de uso del capitaldebe ser igual al costo

de oportunidad para los individuos. Un individuo que desea transferir ingreso entre t y t + 1puede

hacerlo acudiendo directamente al mercado nanciero, donde obtiene un ujo igual a 1 + rt, oinvirtiendo en un activo, que le reporta el perodo siguiente un ingreso igual a qt+1, que obtiene al

rentarlo a las empresas, ms el valor de rescate de su venta de la porcin no depreciada del activo.

Comparando ambos modelos, aquel donde las empresas invierten y son dueas del activo, contra

ste, donde los hogares son quienes llevan a cabo la inversin, es evidente que los modelos son

equivalentes. Se llega a condiciones de eciencia casi iguales. Si impusiramos condiciones de

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equilibrio, ambos modelos daran las mismas respuestas. Sin embargo, para hablar de equilibrio es

ms fcil plantear el problema de maximizacin del bienestar social para eliminar los precios de las

condiciones ptimas.

8.3 Maximizacin del Bienestar Social

En esta seccin analizamos el equilibrio competitivo de la economa a partir del problema de

maximizacin del bienestar social. La justicacin para proceder de esta manera es la validez del

primer teorema del bienestar, que en este caso establece que un equilibrio competitivo es un ptimo

social. El problema de maximizacin social es ms sencillo, ya que no incorpora precios. Desde

esta ptica, un equilibrio competitivo estar representado por sendas ptimas de capital, trabajo,

produccin y consumo. Por simplicidad, deniremos el problema de maximizacin del bienestar de

la misma forma que en el captulo anterior, suponiendo que el agente representativo lleva a cabo laproduccin por s mismo y participa en un mercado de bonos (aunque al imponer la condicin de

equilibrio la tenencia de bonos sea cero). En este caso, el agente representativo ser tambin quien

invierta para proveerse de capital productivo en el futuro.

8.3.1 LA DINMICA DEL ACERVO PTIMO DEL CAPITAL

El problema de maximizacin del agente representativo es:

max1Xt=1

t1 [ln(Ht lt) + ln ct]

sujeto a:

ct+bt+ [kt (1 )kt1] = Atkt1l

1t + (1 +rt1)bt1;

limT!1

bT(1 +r1) (1 +rT1)

0;

k0 dado,

donde explcitamente hemos sustituido en la restriccin presupuestaria la inversin iten funcin del

capital en t y en t 1.

Las condiciones de primer orden dan lugar a las ya conocidas condiciones de eciencia:Condicin de Eciencia Intertemporal:

ct+1ct

=(1 +rt)

Condicin de Eciencia Intratemporal: ct

Ht lt= (1 )

ytlt

Condicin de Eciencia del Capital: 1 +rt =yt+1

kt+ (1 ):

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A partir de estas condiciones de eciencia, y la condicin de vaciado del mercado de bienes:

ct +it =y

t ;

nos gustara poder encontrar los niveles de equilibrio del empleo, del capital, de la produccin, del

consumo y de la tasa de inters. Dados los prerrequisitos matemticos de este curso, ello no va a ser

posible. En la prxima seccin nos concentraremos en el caso particular cuando = 1, para el que

s podremos encontrar soluciones, an cuando las complejidades matemticas sern evidentes.

Para comprender la naturaleza del problema de equilibrio, integraremos inicialmente la condicin

de vaciado del mercado de bienes a la condicin de eciencia intratemporal:

[yt it ]

Ht lt= (1 )

ytlt

:

Sustituyendo la funcin de produccin en lugar de yt

, y expresando la inversin a partir de la ley

de movimiento del capital obtenemos que:

n

At

kt1

(lt )1

kt (1 )kt1

oHt lt

= (1 )At

kt11

(lt )1 :

En la ecuacin anterior aparecen tres variables endgenas: lt ,kt1 y k

t , y representa la combi-

nacin de stas que garantiza que se cumplan simultneamente la condicin de eciencia intratem-

poral y la condicin de vaciado del mercado de bienes, ambas en el perodo t. Como tenemos tres

incgnitas y una sola ecuacin, podemos utilizar la ecuacin para denir (implcitamente) una de

ellas, el nivel ptimo de empleo en t, en funcin de las otras dos: el acervo ptimo de capital en

t y en t 1. En general, no ser posible despejar lt de la ecuacin anterior, pero ello no impide

que conceptualmente denamos al empleo ptimo en funcin del capital. Es decir, en lo sucesivo

expresaremos:

lt =lt(kt1; k

t ):

Ntese que comoyt es funcin dekt1y del

t , y a su vez l

t es funcin dek

t1y dek

t , la produccin

ptima tambin es funcin exclusivamente dekt1 y dekt . Es decir:

yt =At

kt1

(lt )1 =At

kt1

lt(kt1; k

t )

1;

y

t =yt(k

t1; k

t ):Por su parte, de la condicin de vaciado de mercado obtenemos que el consumo ptimo es funcin

de la produccin,yt , y de la inversin, it , pero ambas variables son funcin dek

t1 y dek

t , por lo

que el consumo ptimo tambin es funcin de estas dos variables:

ct =yt i

t =yt(k

t1; k

t )

kt (1 )k

t1

;

ct =ct(kt1; k

t ):

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En resumen, a partir de la condicin de eciencia intratemporal y de la condicin de vaciado

del mercado hemos sido capaces de expresar los valores ptimos del empleo, de la produccin y del

consumo en el perodo tslo en funcin de kt1y dekt . Si conociramos el valor del capital en t 1

y en t podramos denir el resto de las cantidades ptimas. Para caracterizar las sendas ptimas

de capital haremos uso de las otras dos condiciones de eciencia: la intertemporal y la del capital.

Sustituyendo en la primera la expresin para 1 + rt de la segunda se obtiene que:

ct+1ct

=yt+1

kt+ (1 );

lo que implica que:ct+1(k

t ; k

t+1)

ct(kt1; kt )

=yt+1(k

t ; k

t+1)

kt+ (1 ):

Para llegar a esta ecuacin hemos empleado todas las condiciones de eciencia, as como las

condiciones de vaciado de mercado. Ntese que esta ecuacin involucra exclusivamente a kt1,kt y

kt+1, lo que signica que el valor ptimo de una de estas variables, digamos kt+1, queda en funcin

de las otras dos, es decir kt+1 = kt+1(kt1; k

t ). Lo que esto signica es que dado k

t1 y k

t , la

ecuacin anterior determina el valor dekt+1que da lugar a que todas las condiciones de eciencia y

de vaciado se satisfagan simultneamente.

Este tipo de relaciones se conocen en matemticas como sistemas dinmicos (en este caso se trata

de una ecuacin en diferencias de orden 2). En particular, si conociramos los valores ptimos para

el capital ent = 0y en t = 1, la ecuacin anterior nos dara el valor ptimo del capital para t = 2. A

partir del conocimiento de los valores ptimos en t = 1y ent = 2, la ecuacin anterior nos permite

ahora deducir el valor ptimo para t = 3, y as sucesivamente. La aplicacin iterada de la ecuacin

anterior nos permitira conocer toda la trayectoria del capital. La dicultad estriba en que si bien

k0 es conocido (ya que es el acervo de capital inicial), no conocemos el valor ptimo de k1 , por lo

que no es posible aplicar directamente el argumento anterior. En general, para resolver un sistema

de orden 2 (el orden se reere a la diferencia entre el mayor ndice y el menor, en este caso t + 1 y

t 1), se requiere conocer dos valores (por ejemplo t = 0y t = 1). Cuando el horizonte es nito,

la solucin se puede construir a partir del hecho de que kT = 0(en ese caso se busca entre valores

posibles dek1hasta encontrar aquel que genera una dinmica que termina en kT = 0). Sin embargo,

cuando el horizonte es innito la bsqueda de soluciones se complica e involucra a la condicin de

transversalidad.

El estudio de un sistema dinmico de estas caractersticas rebasa los objetivos de este curso. No

obstante, como veremos en un momento, el sistema es lo sucientemente generoso para permitirnos

caracterizar la solucin para el caso especial en que k0 es tal que k1 = k2 = k

3 ; : : :, lo que se

conoce como un estado estacionario. En la prxima seccin analizaremos el sistema dinmico para

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el caso particular en que = 1, que posee una estructura dinmica ms sencilla, tanto que seremos

capaces de encontrar soluciones analticas cerradas para este caso. Antes de proceder con nuestro

anlisis, manipularemos una vez ms la condicin de eciencia intratemporal, a partir de las funciones

yt = yt(kt1; k

t ) e it = it(kt1; kt ) que nos permitir obtener una representacin til del nivel

ptimo de empleo lt . Sea

st =st(kt1; k

t )

it(kt1; kt )

yt(kt1; k

t )

:

Llamaremos a la variable st la tasa de ahorro de la economa, que nos indica la fraccin de la

produccin que se destina a la inversin. Esta variable es funcin de kt1 y de kt , ya que tanto y

t

como it lo son. A partir de la condicin de vaciado de mercado,

ct =yt i

t

= (1 st

) yt

;

Sustituyendo esta expresin en la condicin de eciencia intratemporal se obtiene que

(1 st ) yt

Ht lt=

(1 )ytlt

;

lo que implica que

lt = (1 )Ht

1 +(1 st ):

Es decir, el nivel de empleo ptimo queda totalmente caracterizado a travs de la tasa de ahorro

ptima st . Bastara conocer esta ltima para determinar el nivel de empleo de equilibrio de la

economa. Anteriormente habamos establecido que el empleo ptimo es funcin de los acervosptimos de capital en t 1y en t. La ecuacin anterior no contradice este resultado, simplemente

nos dice que la relacin entre el empleo ptimo y los acervos de capital queda resumida a travs de

la tasa de ahorro (que a su vez es funcin de los acervos de capital st =st(kt1; k

t )). Es decir,

lt(kt1; k

t ) =

(1 )Ht1 +

1 st(kt1; k

t ) :

En la grca 8.1 se muestra la intuicin del resultado anterior, a travs del equilibrio en el

mercado laboral y en el mercado de bienes en el perodo t. La funcin de produccin que se muestra

es la de corto plazo, donde el acervo de capital kt1 est jo. Por lo tanto, la curva slida nos

muestra cmo cambia la produccin al cambiar el empleo. Como siempre, es una relacin creciente

que exhibe la ley de rendimientos decrecientes. La lnea tenue es ct = (1 st) yt para una tasa de

ahorrostarbitrariamente seleccionada. La lnea punteada es la condicin de eciencia intratemporal.

El empleo y el consumo de equilibrio se alcanzan en la interseccin entre la lnea punteada y la lnea

tenue. La produccin de equilibrio est dada por la lnea gruesa. La diferencia vertical entre las

lneas gruesa y tenue, en el nivel de empleo de equilibrio, es la inversin. Como puede apreciarse,

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si la tasa de ahorro fuera mayor, la lnea tenue rotara hacia abajo, lo que redundara en un mayor

empleo, menor consumo, mayor produccin y mayor inversin. Sin embargo, recordemos que la tasa

de ahorro no es una variable exgena, sino que se trata de una variable que depende de la senda

ptima del capital. En las prximas secciones nos dedicaremos precisamente a deducir la tasa de

ahorro de equilibrio de la economa.

Grca 8.1

8.3.2 ESTADOS ESTACIONARIOS

En esta seccin aplicamos lo que hasta ahora hemos aprendido para analizar el caso particular

de una economa para la cual A1 = A2 = A3 = A, H1 = H2 = H3 = Hy en la que

k0 es tal que k0 = k1 = k2 = k

3 = . Un sistema dinmico con tales caractersticas se conoce

como un estado estacionario. Por tal motivo, identicaremos a dicho nivel del acervo de capital

como el capital del estado estacionario,k0 = kss. Por ahora no nos preocuparemos por precisar qu

valor toma kss, sino que nos concentraremos en las caractersticas que tiene una senda de capital

ptima que permanece constante. Sin embargo, como veremos al nal de esta seccin, las mismas

propiedades de la senda ptima nos permitirn deducir el valor (nico) de kss.Lo primero que debemos notar es que como At y Ht permanecen constantes, las funciones que

determinan los niveles ptimos del empleo, la produccin, el consumo y la inversin de cada perodo

no cambian en el tiempo. Adems, como el acervo de capital en t 1y en t es el mismo siempre,

los valores que toman estas variables son constantes en el tiempo. Es decir:

lt =l(kt1; k

t ) = l(kss; kss) lss;

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y similarmente para el resto de las variables. En particular, la inversin en el estado estacionario es

iss= it =k

t (1 )k

t1 = kss (1 )kss= kss:

Por lo tanto, la tasa de ahorro de la economa (que permanece constante en el tiempo, ya que tanto

la inversin como la produccin tienen esta propiedad) queda dada por la relacin capitalproducto

sss= issyss

=kssyss

:

Por otro lado, como el consumo ptimo se mantiene constante en el tiempo, la condicin de

eciencia intertemporal implica que la tasa de inters de equilibrio debe ser igual en todo momento

a la tasa de preferencia en el tiempo:

1 +rt = (1 +)ct+1

ct

= (1 +)csscss

= 1 + :

Este resultado nos permite conocer, a travs de la condicin de eciencia del capital, la relacin

capitalproducto que debe prevalecer en el estado estacionario. Es decir,

1 +rt =yt+1

kt+ (1 );

lo que implica que en el estado estacionario:

+= ysskss

:

Por lo tanto, la relacin capitalproducto en el estado estacionario queda dada por:

kssyss

=

+;

y como consecuencia la tasa de ahorro en el estado estacionario es:

sss=

+:

Una vez que conocemos la tasa de ahorro, podemos calcular fcilmente el nivel de empleo en el

estado estacionario:

lss = (1 )H

1 +(1 sss)=

(1 )H

1 +

1

+ :

Como veremos, esta informacin es suciente para conocer el valor del resto de las variables

en el estado estacionario. Sustituyendo la funcin de produccin en la expresin de la relacin

capitalproducto podemos deducir que:

+ =

kssyss

= kss

Akssl1ss

;

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lo que implica que

kss =

A

+

11

lss;

lo que a su vez implica que

yss= A

A

+

1

lss

y

css= (1 sss)yss:

En consecuencia, el estado estacionario de una economa, kss, es nico. Su relacin con los

parmetros tecnolgicos y de gustos del modelo se puede explorar fcilmente a partir de las ecuaciones

anteriores. La unicidad del estado estacionario va a jugar un papel importante en la trayectoria de

las sendas ptimas (para capitales iniciales distintos a kss). Regresaremos a este punto al trmino

de la siguiente seccin.

8.4 Solucin para el caso = 1.

En esta seccin exploraremos con detalle la solucin para una economa en la que en cada perodo

el capital se deprecia al 100%. Nuestro inters en este caso no radica en la relevancia emprica del

modelo (de hecho no tiene mucha, ya que se estima que la tasa de depreciacin agregada en el mundo

real se sita entre 5% y 8%), sino en su sencillez matemtica. De hecho, para el caso que nos ocupa,

s vamos a ser capaces de obtener soluciones analticas precisas. Al nal de la seccin discutiremos

de qu manera lo aprendido hasta ahora nos sirve para imaginar las soluciones factibles para el caso

general, cuando la depreciacin es menor al 100%.

8.4.1 DETERMINACIN DE LA TASA DE AHORRO DE EQUILIBRIO

El hecho de que todo el capital se deprecie nos ofrece dos simplicaciones importantes. La

primera es que la inversin ptima ya no es funcin del capital en t 1y en t, sino exclusivamente

del capital en t, ello debido a que la ley del movimiento en este caso es simplemente:

kt =it + (1 )k

t1= i

t ;

lo que implica que la tasa de ahorro puede representarse de igual manera utilizando en el numeradorel ujo de inversin o el acervo del capital:

st = ityt

=ktyt

:

La segunda simplicacin importante proviene de la condicin de eciencia del capital, ya que ahora

1 +rt =yt+1

kt:

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Como veremos, la interaccin de estas dos caractersticas con la condicin de eciencia intertem-

poral da lugar a un sistema dinmico que es ms fcil de analizar. La eciencia intertemporal impone

que la senda de consumo ptimo y la tasa de inters satisfagan

ct+1ct

=(1 +rt ):

Haciendo uso de la notacin ct = (1 st )y

t , podemos expresar la condicin de eciencia intertem-

poral como(1 st+1)y

t+1

(1 st )yt

=(1 +rt ):

Sustituyendo el factor de inters de la condicin de eciencia del capital obtenemos que

(1 st+1)yt+1

(1 st )yt

=

yt+1kt

;

lo que, cancelando en ambos lados la produccin ent + 1, resulta en

1 st+11 st

=ytkt

=

st;

donde la ltima igualdad se obtiene de la expresin de la tasa de ahorro en trminos del acervo de

capital.

Despejandost+1de la expresin anterior se obtiene que:

st+1= 1 +

st (st );

lo que constituye una ecuacin en diferencias de orden 1 en st , que determina la evolucin en el

tiempo del valor de esta variable a lo largo de una senda ptima. Si conociramos el valor de s

1, lasimple iteracin de la funcin nos permitira conocer todos los valores futuros de esta variable.

En la seccin anterior demostramos que para el caso general (cualquier valor de ), la solucin

al problema de maximizacin del bienestar social queda dada por una ecuacin en diferencias de

segundo orden enkt . En cambio, en el caso en que la depreciacin es igual al 100%, la solucin queda

dada por una ecuacin en diferencias de orden 1 enst . En ambos casos, carecemos de la informacin

necesaria para obtener los valores ptimos de forma iterada. En el caso general, al ser la ecuacin

de orden 2, necesitamos conocer kt1y kt para conocerk

t+1. Como conocemosk0(el capital inicial

de la economa), bastara conocer k1 ; pero en general no contamos con esta informacin. Por su

parte, con el sistema dinmico de orden 1 en st , bastara conocer s1 para conocer toda la senda

ptima; pero esta informacin tampoco la tenemos. Sin embargo, el anlisis de un sistema de orden

1 es radicalmente ms sencillo que el de uno de orden 2. Inclusive, el anlisis se puede realizar

grcamente.

En la grca 8.2 mostramos la funcin , tabulando en el eje horizontal st (como variable

independiente) y en el eje vertical tabulamos st+1 (la variable dependiente). En estricto sentido,

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slo nos interesan valores de st en el intervalo [0; 1], ya que como st es la proporcin del ingreso

que se destina a la inversin, los valores fuera de este rango no tienen interpretacin econmica. En

un modelo con < 1, la inversin negativa s tiene sentido; signica que los individuos se comen

parte del capital; sin embargo, cuando = 1, la inversin negativa dara lugar a un acervo de capital

negativo el siguiente perodo, lo que carece de sentido econmico. A pesar de ello, en la grca 8.2

se presenta la relacin entre st yst+1para todos los valores positivos de la variable independiente,

lo que puede ayudar a visualizar ms fcilmente la forma que toma esta funcin.

Grca 8.2

Podemos vericar fcilmente que la funcin es creciente (0 > 0) y cncava (00 < 0). Se

puede vericar tambin sin dicultad que cuando st ! 0, entonces st+1= (s

t ) ! 1 ; y cuando

st ! 1, entonces st+1 ! 1 +. Nos interesa conocer tambin los estados estacionarios de este

sistema; es decir, aquellos valores de st que dan como resultado que st+1 = s

t . Grcamente, los

estados estacionarios son aquellos en donde la ecuacin en diferencias intersecta la lnea de 45 (ya

que a lo largo de dicha lnea st+1= st ). La grca 8.3 muestra tales puntos.

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Grca 8.3

La grca muestra la existencia de dos estados estacionarios. La solucin analtica a estos

puntos est dada por sss = (sss). Para encontrar los valores basta despejar sss de la ecuacin en

diferencias:

sss= 1 +

sss:

Arreglando trminos obtenemos una ecuacin de segundo grado:

s2ss [1 +] sss+= 0;

la cual factorizamos para obtener:

(sss 1)(sss ) = 0;

cuyas soluciones consisten en:

sss= ; y sss= 1:

A partir del conocimiento de estos puntos estacionarios podemos caracterizar las sendas que

se generan a partir de la aplicacin iterada de , para cualquier valor inicial s1. Supongamos,

inicialmente, ques1 < . Como puede observarse en la grca 8.3, las imagen de st < bajo

se sita por debajo de la lnea de 45, lo que quiere decir quest+1< st. Por lo tanto, > s1 > s2.Aplicando iterativamente la funcin obtenemos que si s1 < , entonces s1 > s2 > s3 > .

Tarde o temprano

st<

1 +;

lo que implica que st+1< 0, situacin que carece de sentido econmico. En resumen, si s1 < , la

aplicacin sucesiva de las condiciones de eciencia y de vaciado de mercado nos llevan a que a partir

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de cierto perodo t las tasas de ahorro tomen valores negativos, lo que carece de lgica econmica.

Como consecuencia, la tasa de ahorro en el perodo inicial no puede ser menor que .

Supongamos ahora que s1 = . Como ste es un punto estacionario del sistema dinmico

obtendramos que

= s1 = s2 = s3 = ;

es decir, la economa se sita en un equilibrio dinmico en el que la tasa de ahorro es constante.

Consideremos ahora la posibilidad de ques1se site entrey 1 (los dos valores estacionarios).

Como se observa en la grca, las imgenes de estos valores estn por arriba de la lnea de 45, lo

que quiere decir que s2 > s1. Adems, como es una funcin creciente y sssy sssson puntos jos,

< st < 1 implica que < st+1 < 1. Por lo tanto, < s1 < s2 < s3 <


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individuo experimentara una mejora en utilidad si consume en t = 1 el valor presente de dichos

activos, en lugar de esperar a recibir los ujos de utilidad que dichos activos le brindarn (y que

descontados al presente son casi cero).

Como veremos, una senda de tasas de ahorro que converge a 1, necesariamente viola la condicin

de transversalidad. Recordemos que si la tasa de ahorro converge a 1, prcticamente la totalidad

del PIB se destina a la inversin, por lo que el consumo es casi cero. De la condicin de eciencia

intratemporal sabemos adems que el consumo de ocio tambin converge a cero. Sin embargo,

el acervo de capital crece en el tiempo. Claramente, la economa llegara a un punto en que los

individuos estaran mejor consumiendo parte de ese capital (o invirtiendo menos). En el apndice

se demuestra formalmente que esta senda viola la condicin de transversalidad.

Finalmente, nos queda por analizar la posibilidad de que s1 = 1 (con esto agotamos todos los

posibles valores de s1 en el intervalo [0; 1]). Como sss = 1 es un punto jo de la funcin , elsistema dinmico que se genera a partir de s1 = 1es estacionario. Es decir s1 = s2 = s3 = = 1.

Es obvio que la senda de capital que resulta de estas tasas de ahorro no puede ser ptima, aunque

cumple con las condiciones de eciencia perodo a perodo. De hecho, es la peor que el individuo

puede imaginar. El consumo es igual a cero en todos los perodos y el esfuerzo laboral es el mximo

posible (el consumo de ocio tambin es cero). Por lo tanto, la utilidad para el individuo es menos

innito. La acumulacin de capital es absurda. Como las condiciones de eciencia se cumplen,

la falta de optimalidad debe ser consecuencia que la condicin de transversalidad se viola. En el

apndice tambin se muestra que efectivamente ste es el caso.

En resumen, de todos los posibles valores que s1puede tomar, el nico que no lleva a una senda

sub-ptima o absurda es s1 = . En ese caso,

s1 = s2 = s

3 = = sss= =

1 +:

Es decir, la nica solucin ptima para el caso = 1es una tasa de ahorro constante en el tiempo e

igual a la elasticidad de la funcin de produccin con respecto al capital dividida entre uno ms la

tasa de preferencia temporal.

Ntese que, como era de esperarse, la tasa de ahorro coincide con el valor que obtuvimos, en

general para cualquier , para la tasa de ahorro en un estado estacionario:

sss=

+:

Argumentaremos ms adelante que, para valores arbitrarios de , la tasa de ahorro de equilibrio, st ,

no ser constante, pero convergir a su valor de estado estacionario. En cambio, cuando = 1, la

tasa de ahorro de equilibrio converge instantneamente (en t = 1) a su nivel de estado estacionario

y ah permanece indenidamente.

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8.4.2. DETERMINACIN DE LAS SENDAS PTIMAS

Una vez que hemos determinado la tasa de ahorro de equilibrio, que permanece constante e igual

a , el clculo de las dems variables de equilibrio procede de forma mecnica a partir de losprincipios ya establecidos. Lo primero que debemos notar es que como el empleo de equilibrio se

determina a partir de la tasa de ahorro por medio de la ecuacin

lt = (1 )H

1 +(1 st );

el empleo de equilibrio se mantiene constante en el tiempo en el nivel:

lt =l=

(1 )H

1 +(1 ):

Esta informacin, junto con el hecho de que el acervo inicial k0 es conocido, es suciente para

generar, de forma iterada, toda la dinmica de la produccin, el capital y el consumo. El empleo de

equilibrio y el capital inicial determinan la produccin de equilibrio en t = 1:

y1 =Ak0 l

1:

Como para todo perodo t, kt = sssyt yc

t = (1 sss)y

t , se desprende que

k1 =y1 =Ak

0 l

1

y

c1 = (1 )y1 = (1 )Ak0 l1:

Una vez que conocemos k1 , podemos calcular sin ninguna dicultad y2 :

y2 =A (k1)

l1:

o lo que es lo mismo,

y2 =A1+ [] (k0)

2 l(1)(1+):

A partir de aqu se puede calcular fcilmente k2 yc2, y as sucesivamente y de forma indenida.

De las expresiones anteriores se puede concluir que el rol que el capital inicial k0 tiene en la

determinacin de la produccin de equilibrio disminuye con el paso del tiempo. Para entender

esto, ntese que en la determinacin de y1 , k0 aparece elevado a la potencia , sin embargo en

la determinacin de y2 , k0 aparece elevado a la potencia 2. Podemos imaginarnos que en la

determinacin de yt , k0 aparecer elevado a la potencia t. Como < 1, t se va haciendo ms

pequeo a medida que t crece (en el lmite es igual a cero). Este argumento sugiere que el nivel

de capital inicial no es importante en el largo plazo. Dos economas con las mismas caractersticas

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(mismos parmetros), con la excepcin de que una tiene un mayor acervo inicial de capital, seran

muy similares en el largo plazo. Las economas convergeran entre s y sus diferencias iniciales se

disiparan.

Este argumento lo podemos formalizar estudiando la dinmica del acervo de capital de equilibrio.

Como para cualquier perodo t; kt =yt ; al sustituir y

t por la funcin de produccin obtenemos

un sistema dinmico sencillo entre kt1 y kt :

kt =yt

=Al1

kt1

(kt1):

El acervo kt es funcin exclusivamente de kt1 debido a que el empleo permanece constante en

su nivel l (como consecuencia de que la tasa de ahorro es constante). En la grca 8.4 se muestrael comportamiento de la funcin . Ntese primeramente que es creciente y cncava. Adems,

(0) = 0, y cuando k ! 0,0(k) ! 1. Esto signica que para valores pequeos de k,(k)est por

arriba de la lnea de 45.

Grca 8.4

El valor de k para el cual (k)intersecta la lnea de 45 se encuentra resolviendo la ecuacin:

kss= (kss);

kss= Al1kss;

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lo que implica

kss= (A) 1

1 l:

El valor kss es el (nico) acervo de capital del estado estacionario. Es decir, si kt = kss, entonces

kt+1 = kss. Como veremos a continuacin, este acervo de capital es importante no slo porque nos

indica un punto estacionario, sino porque para cualquier nivel de capital inicial k0, la senda ptima

de capital converge al capital de estado estacionario, kt ! kss. De tal manera, kss representa el

acervo de capital de largo plazo de la economa.

Cuando el capital alcanza su nivel de estado estacionario, todas las variables de la economa

tambin se mantienen jas. En particular,

yss= Akssl

1

y

css= (1 )yss:

Adems, sict =ct+1= css, la condicin de eciencia intertemporal implica que

1 +rt = 1 +rss= (1 +)csscss

= 1 + :

Es decir, la tasa de inters en el estado estacionario es igual a la tasa de preferencia temporal.

Este mismo resultado se puede obtener a travs de la condicin de eciencia del capital, ya que

1 +rt = 1 +rss= Ak1ss l

1;

lo que implica que

1 +rss= Ah

(A) 1

1 li1

l1 =1 = 1 + :

En la grca 8.5 se muestra la evolucin del acervo de capital de equilibrio a partir de un acervo

cualquierak0 < kss. La funcindetermina el valor dek1 . Proyectando este valor en la lnea de 45,

podemos volver a utilizar la funcin para encontrar k2 y as sucesivamente. Como consecuencia

de que es creciente,k0 < k

1 < k

2 <

. Adems, a medida que el tiempo transcurre, el acervo decapital est ms cerca del capital de largo plazo, aunque formalmente nunca llega. La convergencia

es inminente. An cuando los capitales iniciales de dos economas puedan diferir, en el largo plazo

ambas economas van a tener el mismo nivel de capital de equilibrio, y por lo tanto el mismo nivel

de produccin de equilibrio y el mismo nivel de consumo de equilibrio.

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Grca 8.5

La trayectoria dinmica de la grca 8.5 nos hace recordar el modelo de Solow. La dinmica que

se establece (al menos en el caso = 1) es muy similar en ambos modelos. Existe, sin embargo, una

diferencia importante. En el modelo de Solow, la tasa de ahorro es una variable exgena. De hecho,

al estudiar ese modelo, habitualmente se analiza de qu manera cambios en la tasa de ahorro se

reejan en el acervo de capital de largo plazo. En cambio, en el modelo neoclsico, la tasa de ahorro

es una variable de equilibrio, resultado de un proceso de optimizacin de los agentes econmicos. La

tasa de ahorro de dos economas puede ser distinta slo en la medida en que los individuos tengan

distintos grados de impaciencia (o las tecnologas exhiban elasticidades respecto a la mano de obradiferentes, lo que no tiene mucho sustento emprico).

La grca 8.5 muestra tambin una regularidad que vale la pena destacar. Como resultado del

proceso de convergencia, el crecimiento del acervo de capital es acelerado al inicio y va perdiendo

fuerza a medida que pasa el tiempo (en el largo plazo prcticamente no crece). Es decir, si

gkt+1=kt+1

kt 1

es la tasa de crecimiento del capital de t a t + 1, entonces, gk1 > gk2 > g

k3 > . Adems, g

kt+1 ! 0.

Este comportamiento se da a pesar de que la tasa de ahorro sea constante. Por lo tanto, si gracamos

la forma en que el acervo de capital evoluciona en el tiempo, la relacin que observaramos se muestra

en la grca 8.6:

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Grca 8.7

8.4.3. EFECTOS DE UN INCREMENTO TRANSITORIO EN LA PRODUCTIVIDAD

En este apartado y en el prximo exploraremos cmo cambian las sendas de equilibrio ante

cambios en la productividad. Inicialmente, consideraremos el efecto de un cambio transitorio y

posteriormente el caso de un cambio permanente. Lo primero que debemos de reconocer es que

tanto la expresin de la condicin de eciencia intratemporal que vincula a lt y a st , as como el

sistema dinmicost+1= (st ), no dependen en lo absoluto del comportamiento de la productividad

total de factores, At:

lt = (1 )H

1 +(1 st )

st+1= 1 +

st:

El lector puede vericar que aunque estas expresiones fueron obtenidas suponiendo que At per-

maneca constante, su derivacin no involucr de forma alguna este supuesto. Las relaciones siguen

siendo vlidas independientemente del comportamiento de la productividad total de factores a lo

largo del tiempo. De tal manera, con toda seguridad podemos extender el anlisis a este caso

suponiendo que la tasa de ahorro de equilibrio permanece constante:

st =

y por lo tanto el empleo de equilibrio tambin es constante:

lt =l=

(1 )H

1 +(1 )

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Supongamos que la economa se encuentra inicialmente en su estado estacionario y que sbita-

mente en el perodo 1 la productividad experimenta una mejora transitoria A1 = ~A > A. A partir

de t = 2, la tecnologa regresa a su estado habitual, At = A. El incremento en A1 da lugar a una

expansin de la produccin en el perodo inicial,

y1 = ~Ak0 l

1 > Ak0 l1 =Akssl

1 =yss

Como la tasa de ahorro es constante, independientemente de la productividad y del acervo de capital,

k1 = y1 se incrementa en la misma proporcin que y

1 . Como supusimos quek0 = kss,k

1 se sita

por arriba de su nivel de estado estacionario. En t= 2, si bien la productividad regresa a su nivel

habitual, el mayor nivel dek1implica que la produccin y2ser mayor a la que se habra obtenido de

no presentarse el choque ent = 1. En otras palabras,y2 > yss. Nuevamente, como la tasa de ahorro

es constante,k2 > kss, y as sucesivamente. A medida que el tiempo pase, el efecto del choque inicial

va perdiendo fuerza y la economa poco a poco converge al estado estacionario (que en este caso es

tambin el estado inicial). Como el capital se sita por arriba de su nivel de estado estacionario, y el

empleo se mantiene constante, la tasa de inters se sita por debajo de y gradualmente converge

a este valor.

En las grcas 8.8 y 8.9 se muestran las trayectorias del capital y de la tasa de inters que se

originan en respuesta a un choque transitorio y favorable de la productividad en el perodo inicial.

Los efectos que vale la pena destacar son dos. Por un lado, gracias al papel que juega la inversin,

los efectos favorables de un choque transitorio en la productividad se propagan a lo largo del tiempo.

A travs de esta variable, la economa en su conjunto logra transferir riqueza intertemporalmente

(lo que resultaba imposible en un modelo sin capital).

El segundo efecto que queremos destacar es la reaccin a la baja de las tasas de inters. Una

forma alternativa de entender de manera intuitiva este efecto es a travs de la relacin entre ahorro

e inversin. En equilibrio, el ahorro en el perodo inicial, y1 c1, debe ser igual a la inversin,

k1. Un incremento transitorio en la productividad da lugar a un incremento en la produccin. Sin

embargo, a la tasa de inters de estado estacionario, el consumo tiene un desplazamiento mnimo,

ya que los individuos buscan suavizar su consumo en el tiempo. Como consecuencia, la oferta de

ahorro se desplaza. Por su parte, como el incremento en la productividad es transitorio, la demandade inversin no se ve afectada. Para restablecer el equilibrio se requiere de una reduccin en la tasa

de inters que a la vez reduzca la cantidad que los individuos desean ahorrar e incremente el monto

de la inversin.

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Grca 8.8

Trayectoria del acervo de capital de equilibrio

Grca 8.9

Trayectoria de la tasa de inters de equilibrio

8.4.4. EFECTOS DE UN INCREMENTO PERMANENTE EN LA PRODUCTIVIDAD

Supongamos que la economa se encuentra inicialmente en su estado estacionario, slo que ahora

sbitamente se experimenta una mejora permanente en la productividad At = ~A > A, para todo

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t 1. Como en el caso anterior, el incremento enA1 da lugar a una expansin de la produccin en

el perodo inicial,

y1 = ~Ak0 l

1 > Ak0 l1

y a una expansin del acervo de capital, k1 =y1 . A diferencia de lo que suceda en el apartado

anterior cuando el choque era transitorio, el choque permanente da lugar un mayor incremento en

y2 , ya que por un lado la productividad es mayor y por el otro el acervo de capital tambin aumenta.

La dinmica se ve inuida por un cambio en el acervo de capital de largo plazo. Recordemos que

el capital de estado estacionario al que la economa converge est dado por

kss= (A) 1

1 l:

Por lo tanto, una mejora permanente en la productividad da lugar a un mayor acervo de capital en el

largo plazo. Como resultado, la economa transita gradualmente hacia su nuevo estado estacionario.La grca 8.10 muestra el efecto de una mejora permanente en la productividad sobre la senda

ptima de capital.

Grca 8.10

El efecto sobre la tasa de inters se muestra en la grca 8.11. Ntese que ahora, la tasa de inters

se incrementa en el corto plazo y gradualmente inicia una trayectoria a la baja para converger a su

nivel de estado estacionariorss= . La intuicin de este resultado es inmediata. Ante el incremento

permanente en la productividad, la economa se encuentra en un nivel de capital inferior al del nuevo

estado estacionario. Como consecuencia, la productividad marginal del capital es mayor a la del

nuevo estado estacionario (que como siempre es igual a1 +).

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La condicin de eciencia intertemporal provee una explicacin alternativa del comportamiento

de la tasa de inters. Como la economa inicia una senda de crecimiento y el consumo es una

proporcin ja de la produccin, el consumo crece. En equilibrio esto slo es posible si la tasa de

inters excede a la tasa de preferencia temporal. A medida que el crecimiento del consumo se atena,

la tasa de inters de equilibrio converge a su valor de largo plazo.

Al igual que en el caso transitorio, una explicacin adicional de este hecho se encuentra en la

oferta de ahorro y la demanda de inversin. Como en este caso el incremento es permanente, los

individuos no buscan ahorrar parte del incremento en la produccin. Por el contrario, como saben

que el acervo de capital ser an mayor en el futuro (y por lo tanto tambin la produccin), su accin

ptima es, a la tasa de inters anterior, elevar su consumo an ms lo que reducen el ahorro. Por su

parte, como el incremento en productividad es permanente, la demanda de inversin se incrementa,

ya que la productividad marginal del capital se incrementa. Para restablecer el equilibrio, la tasade inters debe subir, de manera que se eleve el ahorro a la vez que se modere el incremento en la

inversin.

Grca 8.11

En resumen, tanto el incremento permanente como el transitorio producen un incremento en la

inversin y en el capital en el perodo inicial (es decir, se observa que la inversin es procclica).

En un caso el capital sigue creciendo hacia un nuevo estado estacionario y en el otro decrece para

regresar al estado estacionario original. Sin embargo, lo que resulta drsticamente distinto en ambos

casos, es el comportamiento de la tasa de inters de equilibrio en el corto plazo: en un caso sube y

en el otro baja. La evidencia en torno a la ciclicidad de las tasas de inters es mixta y dbil. Esto

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se atribuye a que los choques que se observan en el mundo real tienen componentes permanentes y

transitorios.

8.5 Comentarios sobre el caso general (


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Grca 8.12

El hecho de que la tasa de depreciacin sea menor que el 100 por ciento permite que la con-

vergencia del capital a su estado estacionario sea ms rpida. Por una parte, la tasa de ahorro se

ajusta al alza para inducir un mayor nivel de inversin durante un cierto nmero de perodos, a

diferencia del modelo con = 1en el que la tasa de ahorro permaneca constante. Por otra parte,

el hecho de que la depreciacin del acervo de capital es solamente una fraccin del mismo, permite

que la mayor parte del capital construido se conserve para la produccin en perodos posteriores.

Como se observa, el empleo de equilibrio aumenta como consecuencia del aumento en la tasa de

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ahorro de la economa, lo cual permite que el impacto de la insuciencia del acervo de capital sobre

la produccin sea menor. Esto contribuye a suavizar el consumo a lo largo del tiempo y tambin

a aumentar la inversin en los perodos en que es necesaria. Finalmente, el cociente kt1lt

que se

muestra en la penltima grca explica la evolucin de la productividad marginal de los dos factores

empleados, dado que la productividad total de factores se mantiene constante. La reduccin del

nmero de horas trabajadas, aunado al crecimiento del acervo de capital, ocasionan que el cociente

capital-horas trabajadas aumente hasta llegar a su nivel de estado estacionario. Esto ocasiona que

el salario de equilibrio

wt = (1 )A

kt1

lt

muestre una trayectoria creciente, mientras que la tasa de inters de equilibrio

rt =A

lt+1kt

1

decrezca con el tiempo hasta convergir a su nivel de estado estacionario: rss =. El hecho de que

en este lapso de tiempo la tasa de inters sea mayor que el parmetro de preferencia temporal ,

explica la trayectoria creciente que muestra el consumo hasta su estado estacionario.

8.5.2 CHOQUE TRANSITORIO DE PRODUCTIVIDAD.

La grca 8.13 muestra los efectos de corto plazo que tiene un choque tecnolgico positivo y

transitorio. Es decir, el experimento consiste en partir de un nivel inicial de productividad total de

factoresA0 = A, aplicar un choque positivo en el siguiente perodo A1 = ~A, con ~A > A, y nalmente

regresar a la trayectoria original: A2 = A3 = =A.

Los efectos del choque de productividad transitorio son interesantes. En primer lugar, se puede

observar que en el perodo en el que se presenta el choque, la tasa de ahorro aumenta de manera

importante. Este aumento se da, como muestran las grcas, para incrementar la inversin en ca-

pital, que absorbe gran parte de la produccin adicional resultante del aumento en la productividad.

El nmero de horas trabajadas aumenta de manera sbita como consecuencia del aumento en el

ahorro, que representa un efecto ingreso negativo que induce a reducir tanto el consumo de ociocomo el del bien producido por la empresa y de ah aumentar las horas trabajadas. El aumento

de la productividad total de factores, como sabemos, genera un efecto ingreso positivo y un efecto

sustitucin negativo que se anulan mutuamente en trminos del nmero de horas trabajadas de

equilibrio (preferencias intratemporales Cobb-Douglas).

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Grca 8.13

1 1

1 1

1 1

En los perodos siguientes, en los cuales se logr un acervo de capital superior al del estado

estacionario, la tasa de ahorro debe tomar un valor inferior al del estado estacionario para lograr

la disminucin del acervo de capital hasta su nivel de largo plazo. Es decir, se requiere de una

inversin neta negativa para restituir los valores de largo plazo. Esto induce a que el empleo aumente

paulatinamente hasta su nivel de estado estacionario, de tal forma que suavice el efecto que tiene

la cada del acervo de capital sobre la produccin y el consumo. Respecto al salario y a la tasa

de inters, observamos que la relacin capital-horas trabajadas se redujo como consecuencia del

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aumento sbito de las horas trabajadas en el perodo del choque, pero el impacto que tuvo el choque

de productividad fue mayor, pues se present un aumento en el salario. La tasa de inters muestra

una tendencia creciente como consecuencia de la disminucin constante de la relacin capital-trabajo,

hasta converger a su nivel de estado estacionario. El hecho de que a lo largo de este perodo la tasa

de inters sea menor que , explica la trayectoria decreciente del consumo hasta su nivel de estado

estacionario.

8.6 Crecimiento Exgeno

Las soluciones que hemos obtenido tienen la caracterstica de que si AtyHtson constantes, las

sendas ptimas de capital convergen a un estado estacionario. Eso quiere decir que en el largo plazo,

la economa deja de crecer, es decir yt+1 '

yt para t sucientemente grande. Esta propiedad noes ms que una manifestacin de la ley de rendimientos marginales decrecientes. Como las horas

trabajadas no aumentan a lo largo de la senda ptima (y de hecho disminuyen para el caso


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8.6.1 RUTA DE CRECIMIENTO BALANCEADO

Nos interesa conocer el comportamiento de las variables de equilibrio en el largo plazo. Ante-

riormente argumentamos que cuando no hay crecimiento de la productividad ( = 0), la economaconverge a un estado estacionario, en el cual

yt= yt+1= =yss

kt= kt+1= =kss

ct= ct+1= =css

rt= :

Evidentemente, cuando hay crecimiento en la productividad ( > 0), tal estado estacionario

no es factible. Para entender esto, basta reconocer que si el capital se mantuviera constante (y el

empleo tambin, como sucede en un estado estacionario), la produccin crecera perodo a perodo

por el crecimiento en At. Si la produccin crece, el consumo o la inversin (o ambos) tendran que

crecer. De tal manera, lo que vamos a explorar es la existencia de un estado en el cual la produccin,

el capital y el consumo, en lugar de mantenerse constantes, crecen a una tasa constante que es la

misma para todos. Es decir:yt

yt1=

yt+1yt

= = 1 +gy

kt

kt1=

kt+1

kt= = 1 +gk

ctct1

= ct+1

ct= = 1 + gc

y adems

gy =gk =gc gBP:

Llamamos a una situacin como sta la ruta de crecimiento balanceado. Utilizaremos la siguiente

notacin: yt continuar representando el valor de equilibrio de la produccin en el perodo t (y por

supuesto, lo mismo para el capital y el consumo); en cambio, yBPt representar la produccin de

equilibrio en el perodo t para una economa hipottica (con los mismos parmetros que la original,

excepto el capital inicial) que transita a lo largo de la ruta de crecimiento balanceado ( BP =

balanced path). Nos interesan dos cosas: establecer el comportamiento de yBPt ,kBPt yc

BPt (y por

lo tanto determinar el valor de gBP, la tasa de crecimiento comn); y posteriormente argumentar

que para cualquier nivel de capital inicial, yt ! yBPt . Esto nos permitira concluir que en el largo

plazo, las economas se situaran en sendas balanceadas de crecimiento.

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Va a resultar til introducir una notacin para la relacin capitalproducto de la economa. Sean

t =kt1

yty BPt =

kBPt1yBPt

:

Ntese que la variable tes la relacin entre el capital que se utiliza como insumo, kt1, y el montoque se produce, yt. Intuitivamente podemos esperar que si el capital inicial de una economa es

bajo, el trabajo (que es relativamente abundante) tendr una participacin mayor en la produccin,

por lo que t debera ser bajo. A medida que la economa acumula capital, el trabajo deja de ser

abundante (relativamente), por lo que esperaramos que la relacin capitalproducto crezca.

Como a lo largo de una ruta de crecimiento balanceado

1 +gBP =kBPtkBPt1

=yBPt+1yBPt

;

de la ltima igualdad concluimos que

BPt =kBPt1yBPt

=kBPtyBPt+1

=BPt+1 BP:

Es decir, a lo largo de la ruta de crecimiento balanceado, la relacin capitalproducto es constante.

A continuacin exploraremos cmo se comporta la tasa de ahorro (y por lo tanto el empleo) a lo

largo de una ruta de crecimiento balanceado. Recordemos que

sBPt = iBPtyBPt

=kBPt (1 )k

BPt1

yBPt:

Manipulando esta expresin llegamos a que:

sBPt =

kBPtyBPt+1

yBPt+1yBPt (1 )

kBPt1yBPt =

BP

(gBP

+);

dondegBP es la tasa de crecimiento de largo plazo (an desconocida pero que permanece constante).

Con esto concluimos que la tasa de ahorro es constante, y por lo tanto, el empleo tambin es

constante:

lBPt = (1 )H

1 +(1 sBPt )=

(1 )H

1 +(1 BP(gBP +)) lBP:

No debe sorprendernos que la tasa de ahorro sea constante, ya que si el consumo y la produccin

crecen a la misma tasa constante:

1 +gBP = cBPt+1

cBPt=

(1 sBPt+1)yBPt+1

(1 sBPt )yBPt=

1 sBPt+1

1 sBPt(1 +gBP);

lo que slo es posible si sBPt es constante.

Por otro lado, si el consumo tambin crece a la tasa constantegBP, la tasa de inters de equilibrio

debe ser constante y aproximadamente igual a la tasa de crecimiento de la economa ms la tasa de

preferencia temporal:

1 +rBPt = (1 +)cBPt+1cBPt

= (1 +)(1 +gBP):

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Con esta informacin, podemos inferir la relacin capitalproducto a partir de la condicin de

eciencia del capital:

1 +rBPt =yBPt+1kBPt

+ (1 );

que implica

BP =kBPtyBPt+1

=

(1 +)(1 +gB

Cap 8. Modelo Intertemporal Con Capital

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