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QUINTO AÑO

C A P ÍT U LO

DefiniciónDefinición

El logaritmo de un número positivo en una base positiva y diferente de uno será igual al exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número.

NotaciónNotación Logb N = x bx = N b > 0 b 1 , N > 0

Ejemplo: Calcular

i. Log2 16 = x 2x = 16

2x = 24

x = 4

ii. Log16 32 = x 16x = 32

(24)x = 25

24x = 25

4x = 5

x = 5/4

IdentidadesIdentidades

A. bLogbN = N B. Logb b = 1 C. Logb 1 = 0

Ejemplos:

7Log7 3 = 3 Log4 4 = 1 Log20 1 = 0

TeoremasTeoremas

1. logb (AB) = logb A + logb B

2. logb (AB ) = logb A – logb B

3. logb An = n logb A Regla del sombrero

4.log (bn )

( Am ) = mn logb A

5. Regla de la Cadena :

logb a . logc b . logd c . loge d = loge a

Para 2 términos :

Logb a . loga b = 1 log ba =

1log a

b

6. Cambio de Base : logb A =

log c Alog cb

Ejm. :

Log3 7 =

log (2 )7log (2 )3

log (3 )5log (3 )12 = log12 5

1

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QUINTO AÑO

alog (b)C = C

log(b )a

Ejm. :

49log

(7 )3

= 3log

(7 )49

= 32

= 9

Nota base es :

log10 N = log N loge N = ln N

1. Si : Loga 2 = x ; Loga 3 = y ; Loga 5 = 7. Calcular : Loga 2700

a) 2x + 3y + 2z b) 2x – 3y + 2z

c) x + y + z d) x – y – ze) N.A.

2. Si : Log7 4 = m , Log7 5 = n. Hallar : Log7 980.

a) m – n – 2 b) m + n – 2 c) m + n + 2 d) 2 – m – ne) 2m + n + 1

3. Si : Loga x = m ; Loga y = n ; Loga z =

p. Calcular : R = log a(3√ x2 y5z3 )

a)23m -

53 n – p d)

23m +

53 n

– p

b)23m +

53 n + p e) -

23

m + 53 n + p

c)23m -

53 n + p

4. Indique la expresión correcta :

a) Log0.25 256 = -3 b) Log256 0.0625 = -0.5c) Log0.25 0.5 = +0.5 d) e) Log0.5 32 = 5e) Log16 0.125 = -1.5

5. Log 2 = m , Log 3 = n , x = Log 36. Hallar “x”

a) 2m + 2n b) 2m + n/2 c) 2m – n/2 d) 2m - 2n

e) m + n

6. Log 3 = a , Log 2 = b. Hallar : Log (5!)

a) 3a + b + 1 b) a – b + 2 c) 3a – 2b + 1 d) a + 2b + 1

e) 2b – a + 1

7. Logab a = 4. Calcular : Logab( 3√ a√ b )

a) 7/3 b) 5/6 c) 13/6d) 4/3 e) 17/6

8. Si : Log14 28 = a. Hallar : Log49 16

a) 2(a−1 )2−a b)

2(1−a )2−a c)

a−21−a

d) 1−a2−a e)

2−a1−a

9. 10x = 18 ; 10y = 12 entonces : Log 6 es :

a) 2 y−x3 b)

x− y3 c)

2x− y3

d) y−x3 e)

x+ y3

2

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10. Si : 3 Log3 a – 3 Log3 b = 6. Calcular : a/b

a) 9 b) 6 c) 2d) 27 e) 3

11. Si Log3 7 Log5 3 =100Log x

2−2 x+2

Log(4)5 Log (7 ) 4 Calcular “x”

a) 1; 2 b) –1; 5c) 2

d) 1 e) 1

12. Si : 2x + 2-x = 4. Hallar una solución de “x” :

a) Log2 (2√ 3 - 1) d) Log2 (1 + 2√ 3 )

b) Log2 (2 +√ 3 ) e) Log2 (1 +√ 3 )

c) Log2 (√ 3 - 2)

13. Reducir : Logn {Logn(n−1√ n

n√ n )} si : n > 1

a) –1 b) –2 c) 1d) 1/2 e) n

14. Reducir : 1+Log(2001 )20021−Log(2001 )2002+

1+Log(2002 )20011−Log(2002 )2001

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

15. El logaritmo de “N” en base 5 es el mismo que el logaritmo de M en base

√ 5 . Si : M + N = 34 . Hallar :

MN

a) 1/2 b) 1/4 c) 2d) 1/8 e) 1/6

1. El valor de : √ aLoga√ a 100 . 3√ Logbb10

a) 100 b) 1000 c) Loga 100d) 10 e) Logb 100

2. Si : a > 1 b > 1, reducir : E =

ba[ Log(a )(Log (b )a ) ]

a) ba b) ab c) a-bloga

d) Logba e) N.A.

3. El equivalente de :

E = 1

1+ Log(3 )(10 e )+1

1+ Ln 30 +1

1+ Log 3 e es :

a) 1 b) Log 3 c) Ln 10d) Ln 30 e) Log (3e)

4. Calcular : E = Log(√ 7√ 7)

(√ 7 )√ 7

a) 1 b) √ 7 c) 7

d) √ 7 /2 e) 7/2

3

Nº 19

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5. Sabiendo “a” y “b” son raíces positivos de la ecuación : x2 – 4x + m2

= 0. Hallar :L = Logm ab + Logm aa + Logm bb + Logm ba

a) –4 b) 4 c) –8d) 8 e) 6

6. Al reducir:

1+Log(2 )31−Log(2 )3 +

1+Log(3 )21−Log(3 )2 se

obtiene :a) 0 b) 1 c) 2d) 1/2 e) -3

7. Indicar verdadero o falso en :

( ) 2 Log x = Log x2 x R( ) Logx x = 1 x > 0

( ) Al resolver xLog x( x+4 ) = 5 x

=1

a) FVF b) FFV c) FFFd) VFV e) VFF

8. Calcula : Log3 3 + Log3 9 + Log3 27 + ... Log3 310

a) 55 b) 54 c) 53d) 52 e) 51

9. Reducir : R = (1+2

Logb (a−1 ) )(1− 2

Logb (a+1 ) ) donde a, b R+ - {1}, además : a – b = 1

a) 1 b) –3 c) 2d) –2 e) ab

10. Calcular el valor de : w =

√ 7bLoga3+3Logab si : Loga b = Log3 2

a) 2 b) 7 c) 6d) 3 e) 4

11. Luego de efectuar :

Sugerencia usar : Logb a√ x = x

Loga b

se obtiene :

a) 6 b) 12 c) 18d) 21 e) 2

12. Si : a > 0 a 1, reducir :

S =

√ Log a+√ Log 3√ a√ 4 Log a+√ 3 Log a2

a) √ 3 /3 b) √ 3 c) 1

d) 3√ 3 e) 1/3

13. Con la condición : xy . yx = (xy)2 x

y, simplificar : E = x

Log( y ) x+1+y

Log(x ) y+1

a) 1/2 b) 2 c) 1/4d) 1 e) 0

14. Siendo : a + b > 0, reducir :

L =

Log (3 ) [ Log(9 )( a+b )18 ]

1+Log(9 )[ Log(3 )(a+b )]

a) 2 b) 3/2 c) 1d) 1/2 e) 1/4

15. Sabiendo: a = bcx

. Hallar : E = x + Logc Loga b

a) 1 b) 0 c) Logc a d) Logb a e) Logc Loga b

4

2Log 16Log 45Log 257Log 494Log 42 9223

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Ecuación Logarítmica y ExponencialEcuación Logarítmica y Exponencial

I. Si : aF(x) = aG(x) F(x) = G(x) si a > 0 a 1

Ejemplo: Calcular “x” 2x+5 = 22x-10 x + 5 = 2x - 10

10 + 5 = 2x – 2

15 = x

II. Logb F(x) = Logb G(x) F(x) = G(x) > 0 b > 0 b 1

Ejemplo: Calcular “x” Log3 (4x + 5) = Log3 (x + 20) 4x + 5 = x + 20

4x – x = 20 – 5

3x = 15

x = 5

5

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1. Hallar “x”: Log x + Log (x - 3) = 1a) 5 b) 2 c) –21d) –5 e) N.A.

2. Resolver: Log2 (x2 – 3x + 6) – Log2 (x - 1) = 2a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) N.A.

3. Resolver: Log √ x - log √ 5 = 12

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) N.A.

4. Resolver: Log x = Log 354 + Log 69 – Log 1357a) 3 b) 2 c) 1d) 4 e) N.A.

5. Resolver: Logx 10 . Log (x2 - 2) = 1a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) N.A.

6. Si: Log( x−3 )+Log (x+2 )

Log (x−1) = 2. Hallar: Log(x-3)(x+1)

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) N.A.

7. Si : Log5 Log4 Log3 Log2 x = 1. Hallar: “x”

a) 2512 b) 249 c) 3512

d) 231024

e) 531024

8. El valor de “x” que verifica la ecuación: x Log 2 +

Log Log √ 2 = Log Log 16a) 3 b) 2 c) 4d) Log 2 e) 2 Log 2

9. Sabiendo que: Log Log Log x = 1 +

Log 2. Calcular : R = √ Log √ Log √ Log x

a) √ 10 b) √ 10 /2 c) 1/2

d) √ 2 /2 e) √ 210. Resolver la ecuación logarítmica:

xLog x = (1042 )

2

y dar el producto de sus soluciones.a) 100 b) 10 c) 0,1d) 0,01 e) 1

11. Resolver el sistema: Log2 (xy) Log2

(x/y) = -3

Log22x + Log2

2y = 5

e indique la suma de soluciones:

a) 21/4 b) 23/4 c) 25/4d) 6 e) 27/4

12. Luego de resolver: y = 3(0,1)log x

x + y = 4

dar la suma de cuadrados de las soluciones

a) 12 b) 16 c) 20

6

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d) 24 e) 28

13. Dado el sistema: 10x + 10y = p

x – y = Log (p+qp−q )

Hallar: 10x - 10y

a) 2p b) p c) 2qd) q e) p + q

14. Resolver: 7(2Log

(3 )x) – 5(x

Log( 2)2

) = 16 e indicar: Logx 27 + Log27 xa) 6 b) 4 c) 1d) 2 e) 12

15. Indicar el producto de raíces de la siguiente ecuación: Log2 x +

xLog x( Log x ) = 6

a) 10-1 b) 10-2 c) 10-3

d) 10-4 e) 10-5

1. Resolver: Logx-8 (x2 - 16) = 2

a) {5} b) {12}c) {16}

d) {1} e) {20}

2. Resolver: Log (2x2+3x+12 )Log (2 x+3) = 2

a) 2 5 b) 1/2 5 c) –1/2 5d) 1/2 -5 e) 1/2

3. Resolver : Logx (3x) . Log 10x = Log (3x) + 2

a) 2 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

4. Resolver: Log1/2 (x + 1) – Log1/2 (x - 3) = 1

a) 5 b) 7 c) 4d) –5 e) N.A.

5. Calcular : x2 + 1 si verifica : (Logx 9)2 – 4(Logx 9) + 4 = 0

a) –3 b) 10 c) 3d) 2 e) 4

6. Dada la ecuación : 1 + 2 Log x – Log (x + 2) = 0.

Hallar la suma de sus raíces.

a) 3 b) 2 c) 5d) 4 e) N.A.

7. Hallar la solución de la ecuación:

[ Log4 4Log4 1 ]Logx x

= 1x

8. Hallar “x” de : 9Log

(√x )3

= 24

a) 2 b) 3 c) 3√ 81

d) 4 e) 27

9. Hallar la suma de las soluciones de la ecuación : 1 + Logx (x + 1) – Logx (x + 4) = 0

a) –2 b) 2 c) 3d) 4 e) 0

7

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10. Del sistema : 2x = √ y x2 – 3(3 – Log2 4)

Calcular : x + y = ?

a) 54 b) 48 c) 66d) 67 e) 59

11. Dado el sistema : Ln (xy) = 6 yLn y = e9

Calcular : Ln(x+ y2 )

a) 1/2 b) 1 c) 3d) 2 e) 0.25

12. A partir de : x Log x = 18 Log 3 y Log y = 24 Log 2

Hallar x + y = ?

a) 17 b) 15 c) 14

d) 13 e) 10

13. Resolver : Log1/2 Log4 x = Log1/8 Log16 x

a) 2 b) 4 c) 3d) 6 e) N.A.

14. Despejar “x”, si : ax3

−1

= b2

a) 5 b) Logb a c) 3d) 4 e) N.A.

15. Resolver: Log2 (9x-1 + 7) = 2 + Log2 (3x-1 + 1) dando como respuesta la suma de soluciones.

a) 4 b) –1 c) –2d) –3 e) N.A

CologaritmoCologaritmo

Co log (b ) N = Logb( 1N ) b > 0 b 1 N > 0

Forma práctica:

Cologb N = -Logb N

Ejemplo:8

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Colog2 128 = -Log2 128 = - Log2 2 7 = -7

Antilogaritmo

Antilogb x = N bx = N b > 0 b 1 x R

Ejemplo:

Antilog3 (+2) = 3+2 = 9

PropiedadesPropiedades b > 0 b 1

I. Antilogb Logb N = N ; N > 0

II. Logb Antilogb x = x ; x R1. Demostrar:

Antilogb Logb N = N bx = N

(con definiciones)

2. Demostrar: Cologb Antilogb Logb Antilogb Logb N = -

x

(con definiciones, no con propiedades de antilogaritmo). Si bx = N

1. Calcular: 2Log

(2 )Anti log

(2)3

= A

a) 8 b) 4 c) 3d) 2 e) -1

2. Calcular el valor de: F = Log2 Log3 Antilog3 8

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) –2

3. Calcular “x”: Logb Antilogb (x2+4) = 2x2 – 4x + 8

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) N.A.

4. Calcular “p” si : Antilogb Logb p = q + 5 Logb Antilogb (q - 21) = -p

a) 15 b) 14 c) 13d) 12 e) 11

9

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5. De los siguientes afirmaciones cuáles son falsas

a. Colog0.1 1000 000 = 6b. Log Colog1000 Antilog1000 (-1) = 0c. Es falso que en ningun caso se

cumple que Log x+ Log y = Log (x + y)

a) I b) II c) IIId) I y II e) N.A.

6. Si : ax = p. Calcular:

Log( x√ p ) Antilogb Logb p

a) 1/x b) p c) ad) x e) x2

7. Reducir:

C = Log

(b ) 3 Anti log

(b )4 Logb6b12

a) 3/8 b) b c) 8/3d) 1/2 e) 2

8. Calcular el Log y si:

-y = Co log (√ 2 )2

Log (√ 2 ) √ 25

a) 2 b) –1 c) 1d) 3 e) -2

9. Reducir: W = Antilog8 Antilog3 Colog25 Antilog5

Log3 9

a) 4 b) 2 c) 8d) 1/2 e) 1/4

10. Reducir: E = Colog4 Log2 Log2 Antilog4 Log1.4 1.96

a) –0.5 b) –1.5 c) –4d) 1.5 e) 2

11. C = Anti log

(2 )2 Log

(2 )3 Anti log

(2 )4 Log

268

a) 3√ 2 b)

3√ 4 c) 23√ 2

d) 23√ 4 e) 4

12. Calcular :E = Logm Antilogm Logm Antilogm Logm

√ m

a) 0,25 b) 0,3 c) 0,75d) 0,5 e) 0,45

13. Calcular:

y = Log(√ 2 )Anti log

(4√ 2 )Co log

(6√ 2 )8

a) –3 log 3 b) 2 log 3c) 1

d) 2 e) R

1. Calcular: A = Cologb Antilogb x ; si bx = 2 a) x b) 1 c) 2

10

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d) –x e) 4

2. Calcular: B = Colog2 Antilog2 Log2 16

a) –3 b) 3 c) 1d) 2 e) -4

3. Calcular:

a) 2 b) 3 c) 8d) 4 e) -1

4. Si: Colog 2 = -a ; Colog 3 = b. Hallar el valor: Log (5!)

a) 2a – b + 1 d) 2a + b – 1b) 2a + b + 1 e) 2a + 2b + 1c) 2a – b – 1

5. Dado el sistema : 10

Log(3 )Anti log

(3) 4 x = y + 1000

Log y = x2

Calcular la suma de las soluciones de “x”

a) 5 b) 4 c) 2d) 3 e) 1

6. Dado el sistema : 10x + 10y = Log3 Antilog3 p

y – x = Colog(p+qp−q )

Hallar: 10x - 10y

a) 2p b) p c) 2qd) q e) p + q

7. Colog3 b3 – Colog3 a3 = 6Calcular: a/b

a) 9 b) 6 c) 2d) 27 e) 3

8. Calcular “x”: (Cologx 4)2 + 4(Cologx 4) + 4 = 0

a) 2 b) –2 c) 1d) –1 e) N.A.

9. Calcular:A = Log3 3 + Log3 9 + Log3 27 + ...

Log3 310 + Colog3 310 + Colog3 39 + ... + Colog3 27 + Colog3 9 + Colog3 3

a) 1 b) 2 c) 1000d) 100 e) 0

10. Poner verdadero (V) o falso (F) según corresponda. Justificar. Los cologaritmos de los números

reales son siempre positivos. Es cierto que siempre se cumple:

Log (xy) = Log x + Log y Log3 Colog10 Antilog1000 (-1) = 0

a) VVV b) VFF c) FFFd) FVF e) N.A.

11. Indique la expresión correcta :

a) Colog0.25 256 = -3b) Colog0.25 0.5 = -0.5c) Colog16 0.125 = +1.5d) Colog256 0.0625= 0.5e) Log0.5 32 = 5

12. Reducir:

W = Antilog10 Anti log√ 2 Colog7 Antilog7

Log2 16

a) 2 b) 3 c) 4d) 7 e) 5

13. Reducir:E = Colog2 Log2 Log3 Antilog9 Log0.23

0.0529

11

3logAntiLog 3logAntiLog

2222 22)2(LoglogAnti

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a) +1 b) 2 c) 3d) 0 e) -1

14. Reducir: C = Antilogx Log7 Antilogb Logb 7

a) x2 b) x + 1c) 2x

d) 1/x e) 4

15. Calcular: E = Loga Antiloga Loga Antiloga Loga

√ a

a) 1/2 b) 2 c) 3 d) 1 e) N.A.

12