Cap.3 AritméTica Para Computadoras

Prof. James BoyerCurso: CSIR-1210

Números Apróximados Redondeo de números

• Hacia abajo o hacia arriba• Regla de añadir impares• Truncar• Valor absoluto

Forma Exponencial Binaria Representación Integral Representación punto-flotante Aritmética integral

• Suma, resta, división y multiplicación de reales Errores

Cap.3 del Libro: Essential Computer Mathematics

Universidad Interamericana Recinto de Bayamón Slide 2

Los equipos diseñados para calcular utilizan representaciones aproximadas de los resultados expresados en sus productos.

El uso de números aproximados sirven cuándo la representación del resultado es un número irracional.

Ej: 2 ≈ 1.414 π ≈ 3.1416


Universidad Interamericana Recinto de Bayamón

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Reglas formales para aplicar a los dígitos significados.• Regla 1: Un dígito no igual a cero es siempre

significante Ej; 3.14, 1234, 56,607, 880,077

• Regla 2: El dígito cero es significante siempre y cuándo se encuentre entre otros dígitos significantes. Ej: 7.7700, 777.70

• Regla 3: El dígito cero nunca es significativo cuando se encuentre al frente de otros dígitos que no sean ceros. Ej: .000345, .0084



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Ejercicios de práctica: identifica la regla que le aplica.

1234 000.086 .345400534 1000.65600 200.00001 435.0000 0000.452000 867.445 23457 .075



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Esto se logra mediante la eliminación de uno y más números insignificantes y luego redondeando al próximo número significativo.

Las reglas para el redondear o la eliminación de dígitos se refieren a aquellos dígitos “de prueba”que se encuentran a la extrema izquierda .

Reglas para redondear:• Redondeo hacia abajo: Si el dígito de prueba es menor de 5 el número

que lo precede no cambia. Ej: 1.734 el 3 no cambia porque el 4 no llega a 5

• Redondeo hacia arriba: Si el dígito de prueba es mayor de 5 el número que lo precede cambia aumentando por 1. Ej: 1.736 = 1.74

• Regla para añadir un impar: Si el dígito de prueba es igual a 5 y si este esta seguido por ceros, el número que antecede al 5 no cambia, si este es un dígito par, pero si aumenta por 1 cuándo el dígito es impar. Ej: .77777 = .778, 66.6503 = 66.7



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Ejercicios de práctica: redondea utilizando las reglas.

1234 000.086 .345400534 1000.65600 200.00001 435.0000 0000.452000 867.445 23457 .075



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La gran mayoría de las computadoras en vez de redondear lo que hacen es eliminar los números menos significantes.

La operación de eliminar estos números se conoce como truncar o cortar.

Ej: 88.77 a 88.7, -7.8989 a -7.89, 999.111 a 999

Error de Truncar: es cuándo se cortan unos dígitos que pueden igual al valor completo de los dígitos retenidos.

Ej: $24.99 a $24, causando un error de .99¢



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Ejercicios de práctica: Trunca utilizando las reglas.

1234 000.086 .345400534 1000.65600 200.00001 435.0000 0000.452000 867.445 23457 .075



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Es la visión intuitiva que poseemos de un número en toda su magnitud sin importarnos el signo.

El valor absoluto se denota con |a| Se define |a| cómo lo mayor a y lo menor –a:

|a| = a (a>0) 0 (a=0) –a (a<0)

Notamos que: |a| = |-a| ≥ 0 para cada número a, y que |a| es positivo siempre y cuando a ≠ 0 .

Ej: |3-8| = |-5| = 5, |3|-|8| = 3 - 8 = -5, -|-5| = -(5) = -5



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Ejercicios de práctica: Busca el valor absoluto utilizando las reglas.

|5| -|7| -|-7| -|7| - |7| |5| - |7| -|-5 – 7| |5-8| - |3+4| |4-3| - |-7 + -8|



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Es la manera de reresentar números grandes mediante la multiplicación del mismo por la potencia de 10.

A = M x 10n A =cualquier número no igual a cero, M = mantisa de A y n = exponente de A.

Notamos que; .1 ≤ M ≤ 1 para +A y -1 < M ≤ -.1 para -A

Ej: 567 = 5.67 x 102 .005 = 5 x 10-3 25 = .25 x 102

Otra forma exponencial es la notación científica, aquí el número decimal aparece directamente después del primer dígito que no es igual a cero.

Ej: 999.111 a 9.999111 x 102 , .00666 a 6.66 x 10-3



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Ejercicios de práctica: desarrolla la forma exponencial y el la notación científica para los siguientes números.

123.546 .000567 1.237 .1254 -.0984 -.00000435 -1537.0748 7463.536 53.866 647.2460 -1.237



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Aquí al igual que los números decimales se pueden expresar de forma exponencial, con la diferiencia de que la potencia utilizada es dos en vez de diez.

Debes siempre “Normalizar” = mover el punto a la izquierda de uno más cercano al extremo de la izquierda.

Ej: Normalizar: 10110.1 = .101101 x 25

Ejemplo utilizando 5 bits solamente:

Ej1: 1010.1 = .10101 x 24

Ej2: -111 = -.11100 x 23

Ej3: -0.01010101 = -0.10101 x 2-1



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Ejercicios de práctica: desarrolla la forma exponencial binaria para los siguientes números binarios. A 5 bits

11111.000 -.111000 .000111 -.1111000 000101010.000 1111010.1010 111.111 -1010.00 1110111 -1111010.000



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La codificación binaria directa requiere que los números sean almacenados en localizaciones fijas en la computadora cómo números de bits fijos.

Una lista de bits tratada como grupo se llama WORD o palabra.

El número de bits de una palabra se conoce cómo su largo o LENGHT.

Representación Integrar Un íntegro es un número sin decimales. Un número íntegro

es representado en la memoria de la computadora por su número o forma binaria, si este es positivo y por su complemente de 2 si este es negativo.

Ej: 423 = 1101001112 Este es almacenado en una memoria de 32 bits añadiendo sufientes ceros al frente de la forma binaria.



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0 0 0 0 0 … 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1

Ej: -423 = 1101001112 Si este negativo, entoces es almacenado en una memoria de 32 bits añadiendo sufientes unos al frente de la forma binaria y sumandole 1.

La computadora sabe si es positivo porque comienza en cero y si comienza con 1 es negativo.

El integro positivo más grande que puede ser almacenado en una localización de memoria de 32 bits es 231 = 2 billones de bits

El íntegro negativo más pequeño que puede ser almacenado en una localización de memoria de 32 bits es -231 = - 2 billones de bits



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1 1 1 1 1 … 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1

Representación del Punto Flotante (Números reales) Estos envuelven decimales. Son almacenados y procesados en su forma

exponencial binaria. Aquí la memoria es dividida en tres campos o bloques

de bits. El primer campo es reservado para el signo (0, +, 1, -) El segundo campo es reservado para el exponente del

número El tercer campo es reservado para la mantisa del

número



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Signo=1 bit

Exponente

=7 bits

Mantisa=24 bits

¿Cómo la computadora almacena el exponente del integro? Algunas computadoras almacenan “n” en su forma binaria

cuando esta es positiva o cero. Y su complemento de 2 cuando este es negativo, de igual manera que se almacenan los puntos flotantes.

La mayoría de las computadoras representan “n” por su característica, n + 2t-1 , dónde “t” es la cantidad de bits en el campo exponencial.

Ej: Si, t = 7, este puede representar exponentes desde -64 hasta 63, lo que significa que la computadora puede almacenar numeros de punto flotantes entre 2-64 y 263



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Exponente verdadero

-64 -63 -62 -61 … -1 0 1 … 63

Características

0 1 2 3 … 63 64

65 … 127

Ej: Dado A = -419.8125 Convirtiendo A a campos binarios

A = -110100011.11012

Si normalizamos a su forma exponencial

A = -0.1101000111101 x 29

El exponente verdadero de A siendo 9, su característica de 7 bits sería.

9 + 64 = 73 = 10010012

Por lo tanto se almacenaría de la siguiente manera en la memoria de 32 bits.



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1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Signo de A , 1 bit

Caracteristica, 7 bits Mantisa, 24 bits

Ejercicios: Desarrolla su representación interna de una memoria de 32 bits.

324.8756 7539.467 853.468 4647.6788 524.86433 6430.963 853257.854 6437.4387



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Aritmética integrar: aquí el resultado de cualquier operación con íntegros debe dar a un íntegro.

12 + 5 = 17, 12 – 5 = 7, 12 x 5 = 60 Sin embargo en división el resultado es obtenido mediante

truncar el cociente a un íntegro.12 ÷ 5 = 2, 7 ÷ 8 = 0, -9 ÷ 2 = -4

Aritmética de Puntos Flotantes (Reales) Aquí todos los números son procesados y almacenados en

forma exponencial. Lo más importante es que los resultados de cualquier

operación son normalizados y la mantisa es truncada o redondeada a la cantidad de números especificada.

Ej1: 0.2356 x 104 + 0.4123 x 104 = 0.6479 x 104

Ej2: 0.5544 x 102 + 0.7777 x 102 = 1.3321 x 102, Si normalizamos obtenemos entonces, 1.3321 x 102 ≈ 0.13321 x

103



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Ejercicios: Aritmética integrar

1. 64/72. 92/183. 43/54. 70/95. 48/106. 190/757. 53/88. 288/89. 245/610.76/9



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Ejercicios: Aritmética de Puntos Flotantes

1. 64/72. 92/183. 43/54. 70/95. 48/106. 190/757. 53/88. 288/89. 245/610.76/9



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Ej3: Si los exponentes son diferentes:0.1166 x 102 + 0.8811 x 104

Entonces normalizamos primero;.001166 x 104 + 0.8811 x 104 = 0.882266 x 104

si truncamos a 4 dígitos decimales ≈ .8822 x 104

Resta real: es el análogo de la suma

Ej1: 0.8844 x 10-2 – 0.3322 x 10-2 = 0.5522 x 10-2

Ej2: 0.7777 x 103 – 0.7531 x 103 = 0.0246 x 103 ≈ 0.2460 x 102



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Ejercicios: Resta de reales

1. 0.8844 x 10-2 – 0.3322 x 10-2

2. 0.7777 x 103 – 0.7531 x 103

3. 0.8759 x 104 – 0.06598 x 103

4. 30.65 x 105 – 20.32 x 103

5. 124.54 x 106 – 23.531 x 103

6. 40.5897 x 104 – 10.31 x 103

7. 0.687 x 103 – 0.530 x 103



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Multiplicación real: aquí se multiplican las mantisas y se suman los exponents.

Ej1: (0.3355 x 102) x (0.4466 x 103) = 0.14983430 x 105, truncando a 4 dígitos, 0.1495 x 105

División real: aquí dividimos las mantisas y restamos los exponentes.

Ej1: (0.4444 x 107) ÷ (0.1357 x 104) = 3.274 x 103 = 0.3274 x 104



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Ejercicios: Multiplicación real trunca a 3 digitos

1. (0.3355 x 102) x (0.4466 x 103)2. (0.5353 x 103) x (0.4636 x 104)3. (0.3889 x 105) x (0.7890 x 103)4. (10.33 x 102) x (0.3046 x 103)5. (10.5545 x 105) x (1.6 x 103)6. (10.468 x 105) x (0.3456 x 103)7. (1.3543 x 107) x (0.6798 x 103)8. (20.5 x 103) x (0.6 x 105)



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Ejercicios: División real trunca a 3 digitos

1. (0.3355 x 102) ÷ (0.4466 x 103)2. (0.5353 x 103) ÷ (0.4636 x 104)3. (0.3889 x 105) ÷ (0.7890 x 103)4. (10.33 x 102) ÷ (0.3046 x 103)5. (10.5545 x 105) ÷ (1.6 x 103)6. (10.468 x 105) ÷ (0.3456 x 103)7. (1.3543 x 107) ÷ (0.6798 x 103)8. (20.5 x 103) ÷ (0.6 x 105)



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Error = A – A, donde A = al valor real y A, es el valor aproximado. También se conoce como error absoluto.

Error absoluto, e = A – A

El ratio del error absoluto se conoce como error relativo

Error relativo, r = e/A = A – A /A

El error relativo se expresa comúnmente en porciento.

Ej; error absoluto; e=1.427 – 1.43 = -.003Ej: error relativo; e= -.003/1.427 = -0021, |r| = .21%



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Ejercicios: Error, busca “e”, donde el valor absoluto y el relativo son; = A = 1 y 2 = A.

1. 1=1.546, 2 = .6572. 1=2.654, 2 = .38403. 1=1.386, 2 = .43784. 1=.34567 2 = .43575. 1=.2648 2 = 1.3446. 1=.5836 2= 2.46767. 1=1.l356 2 = 3.57848. 1=5.357 2 = 4.3679. 1=2.4674 2 = 3.367210.1=3.45733 2 = 4.3674



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