Ejercicios de aritmética

TEMA: NUMERACIN

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Segundo Ao

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao

TEMA: NumeracinOBJETIVOS

Al finalizar el presente captulo el alumno estar en la capacidad de:

Representar los nmeros naturales en una determinada base del sistema posicional de numeracin.

Descomponer polinmicamente cualquier numeral de un sistema posicional de numeracin.

Realizar cambio de base.

Efectuar las operaciones elementales de la Aritmtica

Concepto

Es la parte de la Aritmtica que se encarga del estudio de la correcta formacin, lectura y escritura de los nmeros.

NmeroEs el primero y bsico de los conceptos matemticos y nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza.

Numeral

Es la representacin simblica o figurativa del nmero.Ejemplo: 15, XV, 24 1

6, VI, 22 + 2, 32 3

SISTEMA DE NUMERACIN

Concepto

Es un conjunto de reglas, principios y convenios que se utilizan para representar y expresar a los llamados numerales

Principios:

Del OrdenToda cifra de un numeral posee un determinado orden el cual empieza de uno y se encuentra a la derecha a izquierda.

Ejemplo:

654321( Orden

Numeral:273975

Lugar

(Lectura)123456

De la BaseEs un numeral referencial que nos indica como debe agruparse las cantidades para formar las rdenes de un numeral en cierto sistema de numeracin.

Ejemplo

342 n ( base

Nos indica que se agrupar de n en n en dicho sistema

La base toma valores enteros y positivos mayores o iguales que 2

n ( 2 o sea n = {2, 3, 4, 5, .........}

Entonces la base mnima: n= 2

Veamos en forma grafica: representa el nmero 16 en base 3

O sea que: 16 = 121(3)

Otro ejemplo: representar el nmero 17 en base 5

De las cifras:

Las cifras cumplen las siguientes condiciones

Pertenecen a Z (cifras ( Z)

Son menores que la base (cifras < n)

La cifra mxima es una unidad menor que la base cifra = (base - 1)

Toman valores enteros menores que la base.

Si la base n; se pueden utilizar en las cifras

0, 1, 2, 3, 4, ............., (n 1) mxima cifra

cifra significativa

cifra no significativa

Principales sistemas de numeracin

BaseSistema de NumeracinCifras

2Binario o Dual 0,1

3Temario 0, 1, 2

4Cuartenario 0, 1, 2, 3

5Quinario 0, 1, 2, 3, 4

6Senario y Sexanario0, 1, 2, ........... 5

7Heptanario 0, ..........., 6

8Octanario 0, ..........., 7

9Nonario 0, ...........; 8

10Decimal o Decuplo 0, ..........., 9

11Undecimal 0, ..........., 9, (10)

12Duodecimal 0, ..........., 9(10), (11)

Son frecuencia se estila utilizar las siguientes letras parea denotar algunas cifras:

Alfa ( ( 10

Gamma ( ( 2

Epsilon ( ( 14

Beta ( ( 11

Delta (( 13

Representacin Literal de Numerales:

Numeral de 3 cifras de base n :

Numeral de 4 cifras de base n :

: numeral de 2 cifras:

(10, 11, 12, ................ 98, 99)

: numeral de 3 cifras: (100, 101, 102 ........... 998, 999)

: numeral de 3 cifras iguales:

(111, 222, 333, ..........., 999)

: numeral de 3 cifras que empiezan en 18.

(1800, 1811, 1812, .......)

Numeral de tres cifras consecutivas. (123; 456; 567.....)

OBSERVACIONES:

1. La primera cifra de un numeral deber ser significativa (diferente de cero)

2. todo aquello que est entre parntesis en el lugar de las cifras, representa una de ellas

3. se denomina numeral capica a aquel que ledo de izquierda a derecha o viceversa se lee igual.

Ejemplo: 33; 454; 777: 7887

CAMBIOS DE BASE EN Z:

Caso N 1: De base n a base 10 existen tres mtodos:

Ruffini

Descomposicin polinmica

Practico: sube y baja.

A. M Ruffini:

Ejemplo: Convertir 215(6) a base 10

Resolucin

O sea que: 215(6) = 83

Ejemplo

Convertir 127(8) a base 10.

O sea que: 127(8) = 87

B. Descomposicin PolinmicaEjemplo:

Convertir 324(6) a base 10

Resolucin

324(6) = 3 . 62 + 2 . 61 + 4

= 108 + 12 + 4

= 124

O sea que: 324(6) = 124

Ejemplo:

Convertir 542(7) a base 10

Resolucin542(7) = 5 . 72 + 4 . 7 + 2

= 245 + 28 + 2

= 275

O sea que:

542(7) = 275

C. M. Practico: Sube y Baja

Convertir 215(6) en base 10

O sea que:

215(6)= 83

Convertir 542(7) en base 10

O sea que:

215(6)= 83

Caso N 2: De la base 10 a base n

El nico mtodo es el de divisiones sucesivas

Ejemplo: Convertir 1234 a base 5

Resolucin



Caso N 03: De base n a base m

Ejemplo: Convertir 152(7) al sistema de numeracin undecimal

Resolucin1. Convertir 152(7) a base 10

Osea 152(7) = 86

2. Halla el nmero 86 convertir a base 11 a travs de divisiones sucesivas.

Ejemplo: convertir 401(6) a base 4

Luego:

401(6) ( 1501(4)

RESUMEN:

De base n a base m

Paso a: donde n a base 10

Paso b: De base 10 a base m

(Divisiones sucesivas)

PROPIEDAD FUNDAMENTAL:Dado:

Si: ( n < m

Si: ( n > m

Ejemplo N 01: Hallar a

Siendo:

Resolucin

a > 2 ( a < 4

( 2 < a < 4 ( . a = 3 .

Ejemplo N 02: Hallar m si 200(m) = 102(4)Resolucin

2 < m < 4 ( . m = 3 .Ejemplo N 03: Hallar m

144(6) = 224(m)

Resolucin

4 < m < 6

(m = 5

Dpto. de Publicaciones

Manuel ScorzaV.L.E.B.

CONOCIMIENTOS COMPLEMENTARIOS

1. Numeral de cifras mximas

9 = 10 1

99 = 100 1 = 102 - 1

999 = 1000 1 = 103 1

9999 = 1000 1 = 104 1

.

.

.

= 10k 1

78 = 108 1 = 8 - 1

778 = 1008 1 = 82 1

7778 = 1008 - 1 = 83 1

.

.

.

= 8k 1

En general: . =nk 1 .Ejemplo: Hallar N

N = 4 = 46 1

ResolucinN = 4 = 46 - 1

N = 4096 1 ( N = 4095

2. Bases Sucesivas:

n = n + c

= n + b + c

= n + a + b + c

En General:

= n + a + b + c + d + ..........x

Caso:

Ejemplo 1: Calcular n

Resolucin:

n + 13 . 4 = 57

n + 52 = 57

. n = 5 . Ejemplo 2: Hallar: k

17

12

13

15

12

k

Resolucin

K + 7 +2 + 3 + 5 + 2 = 25

K + 19 = 25

. K = 6 .PROBLEMAS APLICATIVOS

1. Convertir 235(6) a base 10

2. Convertir 134(8) a base 103. Convertir 423 a base 44. Convertir 524 a base 3

5. Convertir 231(4) a base 76. Convertir 411(5) a base 37. Convertir 1001(2) a base 108. Convertir 2010(3) a base

PROBLEMAS PARA LA CLASE1. Hallar m + n, si: es un nmero capica

Rpta.

2. Hallar p + n, si:

; es un nmero capica

Rpta.

3. Hallar a + b + m, si:

253(6) =

Rpta.

4. Hallar a + b + c, si

(5) = 47

Rpta.

5. Hallar n + p, si

202(4) = (5)Rpta.6. Hallar n + p, si:

105(6) = (4)Rpta.

7. Hallar n, si:

301(n) = 144(5)Rpta.

8. Hallar n, si:

207(n) = 160(9)Rpta.

9. Hallar x; si

401(x) = 245(6)Rpta.

10. Hallar a + b + c, si (6) =

Rpta.

11. Hallar a + b + c; si

(7) = 2512(c)

Rpta.

12. Si se cumple: (8) = 1265(n) Hallar a . b . c

Rpta.

13. Calcular: a + b, si:

Rpta.14. Convertir a base 10.

(2)

Rpta.

15. Hallar el valor de n , si:

(4) = 1023

Rpta.

16. Calcular n si:

Rpta.

Los nios son como el cemento fresco. todo lo que les cae les deja una impresin indeleble

W. Stekel

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Si el numeral es capica, hallar m+n

A) 1

B) 3

C) 4

D) 6

E) 7

2. Hallar a + b, si se cumple:

262(7)=

A) 1

B) 3

C) 4

D) 6

E) 7

3. Hallar a + n +b ; si

472(8) = (n)

A) 10

B) 13

C) 15

D) 17

E) 21

4. Hallar a + b + c; si:

(7) =

A) 15

B) 11

C) 17

D) 10

E) 19

5. Convertir a base 10

(3)

A) 240

B) 81

C) 242

D) 27

E) 243

6. Hallar el valor de n, si

(4) = 1023

A) 2

B) 5

C) 6

D) 7

E) 9

7. Calcular a + b; si:

A) 2

B) 10

C) 11

D) 16

E) 7

8. Hallar el valor de n; si

A) 1

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

9. Si: 123(4) =

Hallar

A) 16

B) 27

C) 40

D) 11

E) 8

10. Hallar a + n ; si se cumple

(n) = (8)A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

CLAVES

1. D

2. B

3. C

4. A

5. C6. D

7. B

8. C

9. B

10. A

TEMA: Suma o AdicinDEFINICIN

Dados dos nmeros naturales a y b se llama suma de a y b y se denota (a + b) al nmero natural S, tal que a + b = S.

Se denomina adicin a la operacin que hace corresponder a ciertos pares de nmeros naturales (a, b) su suma a + b.

Ejemplo 1:

5 + 7 = 12

Ejemplo 2:

3 + 5 + 9 = 1 7

sumandos

Suma

LA ADICIN EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACIN

Ejemplo 1:

Halle la suma de

435(7); 164(7) y 416(7)Resolucin

Los sumandos son colocados en forma vertical para efectuar la operacin de acuerdo al orden que ocupa sus cifras:

OrdenProcedimiento

05 + 4 + 6 = 15 = 2.7 + 1

( queda

se lleva

13 + 6 + 1 + 2 = 12 = 1.7 + 5

( queda

24 + 1 + 4 + 1 = 10 = 1.7 + 3

( queda

se lleva

Luego se tiene que:

4 3 5(7) +

1 6 4(7)

4 1 6(7) 1 3 5 1(7)PRINCIPALES SUMATORIAS

1. Suma de los n primero nmeros naturales. S = 1 + 2 + 3 + 4 + ......... + n = .Ejemplo: Hallar S

S = 1 + 2 + 3 + .....................+ 29 =

S = 435

2. Suma de los n primeros nmeros impares. S = 1 + 3 + 5 + ......... + A = .Casos particulares

S = 1 + 3 + 5 + ......... + (2n - 1) ( S = n2

S= 1 + 3 + 5 + + (2n + 1 ( S = (n+ 1)2

Ejemplo: Hallar S

S = 1 + 3 + 5 + ... + 23 =

S = 144

3. Suma de los cuadrados de los n primeros nmeros naturales consecutivosS = 12 + 22 + 32 + .............. + n2

. S = .Ejemplo: Hallar S

S = 12 + 22 + 32 + ....... + 202

S =

S =

S = 2870

4. Suma de los n primeros cubos perfectos consecutivos. S = 13 + 23 + 33 + ........ + n3 = .Ejemplo: Hallar S

S = 13 + 23 + 33 + ............ + 193

S =

S = (190)2

S = 36100

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Si a + b + c = 17, Hallar

Rpta.

2. Si:

Hallar a x c + b

Rpta.

3. Si se cumple que:

calcular: a +b3 + c2Rpta.

4. Calcular: S

S = 1 + 2 + 3 + .................. + 77

Rpta.

5. Calcular. S

S = 1 + 4 + 9 + 16 + ...... + 100

Rpta.6. Hallar : a + b + c + d; si

Rpta.

7. Si: 2+4+6 + 8 + .... + 2m = 6642

Hallar m

Rpta.

8. Si:

Calcular: a + b + c + x

Rpta.

9. Si: A = 1 + 2 + 3 + ......... + 50

B = 1 + 3 + 5 .... + 49

Hallar A + B

Rpta.

10. Si:

Calcular: a + b + x

Rpta.

11. Calcular:

1 + 8 + 27 + ..... + 8000

Rpta.

12. Si: = 1000

Hallar a . b . c

Rpta.

13. Sabiendo que: a + b + c = 12

Adems: = 79

Hallar: a2 + b2 + c2Rpta.14. Sumar:

2536(8) + 6575(8) + 765(8)Rpta.

15. Hallar:

6316(7) + 1205(7) + 2441(7)Rpta.

16. Sumar:

2713(9) + 155(9) + 4268(9)Rpta.

El hombre es una mirada; el resto es slo carne. Pero al verdadera mirada es la que ve al amigo. Funde tu cuerpo entero en tu mirada, vete hacia la visin, vete hacia la visin....

DyalayAlDinRumi


1. Si: x + y + z = 14, hallar:

A) 1454

B) 1554

C) 1555

D) 1444

E) 1544

2. Si:

Calcule: S = a + b + c

A) 10

B) 13

C) 9

D) 12

E) 22

3. Calcule: a . b . c; si se sabe que:

a + b + c = 14 y adems: = 125

A) 90

B) 128

C) 105

D) 54

E) 100

4. Si: = 1659

Hallar: a + b + c

A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

5. Calcular: a + b + c

+ 443

A) 12

B) 11

C) 10

D) 13

E) 14

6. Si: P = 1 + 2 + 3..... + 80

A = 2 + 4 + 6 + ....... + 80

Hallar P + A

A) 1600

B) 4620

C) 4880

D) 5100

E) 3240

7. Hallar P si

P = 1 + 4 + 9 + ......+ 900

A) 9995

B) 9645

C) 9455

D) 4995

E) 4945

8. Sumar:

241(5) + 1312(5) + 440(5)

A) 1140(5)B) 3043(5) C) 1023(5)D) 1220(5)E) 4403(5)

9. Hallar S

S = 531(6) + 1301(6) + 3(6)

A) 1235(6)B) 1345(6)C) 2235(6)D) 4314(6)E) 2135(6)

10. Si:

hallar: x + 2y + 3z + 4a

A) 36

B) 37

C) 40

D) 38

E) 39

CLAVES

1. B

2. D

3. D

4. D

5. A6. C

7. C

8. B

9. C

10. D

Me preguntas qu es Dios? No s qu decirte; lo que si puedo afirmar es que siempre ser mucho ms de lo que la naturaleza humana puede ofrecerte.

Francisco JaramilloTEMA: Sustraccin

Dados los 2 nmeros llamados minuendo y sustraendo la operacin sustraccin hace corresponder un tercer nmero llamado diferencia tal que sumado con el sustraendo da como resultado el minuendo.

Es decir:

. M S = D ( M = S + D .Trminos:

M es el minuendo

S es el sustraendo

D es la diferencia

Ejemplo:

En base 10:

6305

3278

2027

Cifra de las unidades Cifra de las decenas

10 + 5 8 = 7 10 1 7= 2

Cifra de las centenas Cifra de las millares

2 2 = 0 5 3 = 2

En base 7:

5327

2647

2357

Cifra de 1er. Orden : 7 + 2 4

Cifra de 2do. Orden : 7 + 2 6 = 3

Cifra de 3er. Orden : 4 2 = 2

Propiedades:

Sea el nmero (a > c)

Si

Se cumple:

. y = 9 . . x + z = 9 .Tambin:

. a c = x + 1 .Ejemplos de aplicacin:

1. Si:

2. Si:

COMPLEMENTO ARITMTICO:

Es lo falta a un nmero para ser a una unidad del orden inmediato superior su cifra de mayor orden.

Sea N un nmero de K cifras, se cumple:

. CA(N) = 10k N .Ejemplo:

CA(43) = 102 43 = 57

CA (648) = 103 648 = 532

CA() = 100 -

CA() = 1000 -

CA () = 10000 -

Mtodo Prctico:A la primera cifra significativa de menor orden se le resta de 10 y a las cifras que estn a su izquierda se le resta 9.

Ejemplo

9 9 9 9 9 10

CA (4 3 2 8 5 7) = 567 143

9 9 9 10

CA() =

9 9 10

CA =

Si nunca abandonas lo que es importante para ti, si te importa tanto que ests dispuesto a luchar para obtenerlo, te aseguro que tu vida estar llena de xito. ser una vida dura, porque la excelencia no es fcil pero valdr la pena.

R. Bach

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Hallar x + y; si

Rpta.

2. Calcular a c en:

Rpta.

3. Efectuar

2513(6) 431(6)Rpta.

4. Hallar la suma de cifras de R, si:

R =

Rpta.

5. La suma de los tres trminos de suma sustraccin es 1450. si el sustraendo es el cudruplo de la diferencia. Hallar la diferencia.

Rpta.6. Si: = 63 y adems. a + b = = 11. Calcular: ()2Rpta.

7. Hallar: (n - m) Si:

Rpta.

8. En una resta los tres trminos suman 84. El minuendo es:

Rpta.

9. Calcular la diferencia obtenida en una resta si se sabe que el minuendo es el triple de sta y el sustraendo 142.

Rpta.

10. Si: CA()= 4. Calcular a+b

Rpta.

11. Si se sabe que: ; = 1736. Hallar (a + b + c)

Rpta.

12. Un nmero de tres cifras es tal que al restarle el doble de su CA. Resulta 283. Entonces la suma de sus cifras de decenas y centenas es:

Rpta.

13. Si: CA. Calcular (x + y + z)

Rpta.

14. Hallar el nmero de la forma ; si su CA es de la forma . Hallar: x . y

Rpta.15. Calcular:

CA (a) + CA(aa) + CA(aaa) + ..... + CA. Si JOP POJ = ma

Rpta.

16. Halle la diferencia de los siguientes nmeros

432(5) y 143(5)

Rpta.

17. Calcular la diferencia de 502(7) y 243(7)Rpta.

18. Hallar CA de:

748 218 (9)5136 3510(7)

Rpta.

Cualquier cosa que valga la pena hacerse bien, vale la pena hacerla despacio.

Gipsy Rose Lee


1. Hallar m + n, si:

A) 8

B) 7

C) 9

D) 6

E) 10

2. Efectuar: 4623(7) 125(7)A) 4462(7)B) 4362(7)C)4464(7)D) 4465(7)E) 4466(7)3. Efectuar: 7436(8) 2456(8)A) 4760(8)B) 4660(8)C)4670(8)D) 4550(8)E) 4560(8)4. Hallar la suma de cifras de Q

Q =

A) 72

B) 75

C) 81

D) 86

E) 73

5. La suma de los tres trminos de una sustraccin es 720. Si el sustraendo es el triple de la diferencia. Hallar la diferencia.

A) 170

B) 110

C) 90

D) 80

E) 20

6. Si: = y adems: a + b = 10. Calcular: a 2b

A) 5

B) 6

C) 8

D) 7

E) 1

7. Si: CA() = 3. Calcular a + bA) 10

B) 14

C) 21

D) 23

E) 25

8. Hallar el CA de 435(6)A) 121(6)B) 204(6)C) 144(6)D) 504(6)E) 132(6)

9. Sabiendo que:

= 3947

Hallar : a + b + c + d

A) 24

B) 21

C) 23

D) 19

E) 20

10. Hallar , si le cumple que: . Dar como respuesta la suma de cifras de resultado

A) 14

B) 18

C) 16

D) 22

E) 20

CLAVES

1. A

2. D

3. A

4. A

5. C6. D

7. E

8. A

9. B

10. B



TEMA: MultiplicacinEs una operacin binaria, donde dados dos elementos M y m llamados multiplicando y multiplicador se le hace corresponder un tercer elemento P llamado producto.

Origen:

. M . m = P .Donde:

P: producto

Notas:

01. Si se multiplica:2 43 *

65

1215 ( 1er producto parcial

1458 ( 2do producto parcial

15795 ( Producto Parcial

02. Si: . 7 = .......... 6 ( c = 8 3

03. Si: . 4 = .......... 2 ( c =

8

04. Se cumple:(# impar) (.... 5) = ..... 5

(# par) (... 5) = .......0

05. Se cumple: ....... 0

n(n + 1) = ....... 2

........ 6

PROBLEMAS PARA LA CLASE1. Hallar el multiplicando de una multiplicacin sabiendo que el multiplicador es 62 y que la suma del multiplicando y el producto es 3024.

Rpta.

2. Si al multiplicando se le incrementa en una unidad y se vuelve a hacer la multiplicacin, se observa que el producto total se incrementa en 25 unidades. Hallar la suma de las cifras del producto total inicial si se sabe que la suma de ste ms el multiplicando original es 3432.

Rpta.

3. Si al multiplicador de una multiplicacin se le aumenta 3 en la cifra de decenas, siendo el multiplicando 280. En cunto aumenta el producto original ?

Rpta.4. En una multiplicacin, si el multiplicando disminuye en 12 unidades, entonces el producto disminuye en 1068. calcular el multiplicador. Dar la suma de cifras

Rpta.

5. Si: . 7 = ....4192

Hallar: d + e + f

Rpta.

6. Sabiendo que: . a = 214 b . = 412 ; . c = 366

hallar; ;

Rpta.

7. El producto de 3 nmeros consecutivos es igual a 33 veces su suma. Halle el nmero mayor

Rpta.

8. Si a uno de los factores de una multiplicacin se le agregara 7 unidades, el producto aumentara en 350, y si en vez de hacer esto al otro factor se le restara 16 unidades el producto disminuira en 400. Halle la suma de cifras del producto.

Rpta.

9. La suma de trminos de una multiplicacin es 125. Se triplica el multiplicando y se vuelve a realizar la operacin, la nueva suma de trminos es 349. Halle el multiplicador

Rpta.

10. Al multiplicar N x 79 se cometi el error de colocar los productos parciales uno debajo del otro, obtenindose como resultado 5248. halle la suma de cifras de N

Rpta.11. Si: . 69 =

Hallar: a + b + c + d

Rpta.

12. Si:3 . =

Hallar: b + a + c + a

Rpta.

13. Si . 31 = .7949Rpta.

14. Hallar el resultado de multiplicar . 83, sabiendo que dicha operacin la suma de dos productos parciales es 7414

Rpta.

15. Hallar el multiplicando de una multiplicacin sabiendo que el multiplicador es 62 y que la suma del multiplicando y el producto total es 3087.

Rpta.


1. Si: . 9992 = ......... 6578

A) 3

B) 4

C) 6

D) 7

E) 5

2. El producto de 3 nmeros enteros consecutivos es igual a 35 veces el segundo. Calcular la suma de ellas

A) 18

B) 17

C) 21

D) 40

E) 19

3. Hallar el multiplicando de una multiplicacin sabiendo que el multiplicador es 32 y que la suma del multiplicando y el producto total es 1386.

A) 11

B) 36

C) 42

D) 51

E) 16


Manuel ScorzaV.L.E.B.4. Si al multiplicando se le incrementa en una unidad y se vuelve hacer la multiplicacin, se observa que el producto total se incrementa en 17 unidades. Hallar la suma de las cifras del producto total inicial si se sabe que la suma de ste ms el multiplicando original es 3420

A) 9

B) 2

C) 9

D) 3

E) 8

5. Sabiendo que:

724 . m = 2172

n . 724 = 1448

Hallar la suma de cifras de este producto:

A) 20

B) 21

C) 22

D) 18

E) 17

6. El producto de 3 nmeros enteros consecutivos es igual a 24 veces el segundo.

A) 90

B) 10

C) 100

D) 120

E) 114

7. Al multiplicar N . 23 se cometi el error de colocar los productos parciales uno debajo de otro, obtenindose como resultado 435. indicar como respuesta la suma de cifras de N.

A) 8

B) 10

C) 15

D) 17

E) 21

8. Hallar: a + b + c

x 7 = ...... 5481

A) 16

B) 18

C) 20

D) 22

E) 26

9. Si se cumple: x 79 = ............ 753

Hallar: a + b + c

A) 15

B) 10

C) 9

D) 12

E) 13

10. El producto de 3 nmeros pares es 1920. si cada nmero se reduce a su mitad. Cul es el nuevo producto?

A) 810

B) 240

C) 405

D) 480

E) 960

CLAVES

1. B

2. D

3. D

4. D

5. A6. C

7. C

8. B

9. C

10. D

TEMA: Divisin

Es una operacin binaria que consiste en que dados dos enteros, el primero llamado dividendo y el segundo llamado divisor, encontrar un tercero llamado cociente.

. D ( d = q .D = d . q

D : dividendo

d : divisor; d ( 0

q : cociente

Divisin Entera:

Es un caso particular de la divisin en la que el dividendo, divisor y cociente son nmero enteros; en este caso se recurre a un cuarto trminos llamado residuo.

D d r : residuo

r q

puede ser:

1. Exacta (residuo = 0)

Ejemplo: 45 9 ( 45 = 9(5)

0 5

En general

D d ( D = dq

0 q

2. Inexacta (residuo > 0)

a) Por defectoEjemplo:67 9 ( 67 = 9(7) + 4

4 7

En general

D d ( . D = dq + r . ; d ( Z

r q

Donde: 0 < r < d

q : cociente por defecto

r : residuo por defecto

b) Por excesoEjemplo:67 9 ( 67 = 9(8) 5

5 8

En general:D d ( D = dqe re d(Z+

re qeDonde: 0 < re < d

qe : cociente por exceso

re : residuo por exceso

Propiedades de la divisin inexacta

1. qe = q + 12. rmax = d 13. r +re = dAlteracin de la divisin por multiplicacin

Ejemplo:

D . 3

67 9 d . 3201 27

4 7 12 7

x3

En general

Si:D d ( Dn dn

r q rn q

PROBLEMAS PARA LA CLASE1. Luego de dividir 947 entre su C.A. Hallar la suma del residuo por defecto, el cociente por exceso y el divisor

Rpta.

2. La suma de 2 nmeros es 611, su cociente 32 y su residuo el mayor posible. Hallar la diferencia de los nmeros.

Rpta.

3. En una divisin, el dividendo es 497, el residuo por defecto 2 y el residuo por exceso 9. Hallar el cociente.

Rpta.

4. Hallar el dividendo, sabiendo que el residuo por defecto y por exceso son 2 y 5 respectivamente y el cociente por exceso es 40. dar como respuesta la suma de sus cifras.

Rpta.5. Al efectuar una divisin entera por defecto y por exceso, se observ que el residuo por defecto, el residuo por exceso, el cociente por defecto y el divisor, en ese orden eran nmeros pares consecutivos. Hallar el dividendo.

Rpta.

6. En una divisin inexacta el cociente es 5. pero si al dividendo, el divisor y al residuo se triplican. Calcular el nuevo cociente

Rpta.

7. Al dividir el mayor nmero de 3 cifras diferentes con 4, se obtiene un residuo, el cual por su valor se denomina

Rpta.

8. La suma de dos nmeros es 1043; el cociente que resulta de dividir dichos nmeros es 27 y el residuo el mayor posible. Hallar la suma de las cifras del divisor

Rpta.

9. En una divisin inexacta el residuo por defecto es la quinta parte del residuo mximo. Si el residuo por exceso es 225, hallar el divisor

Rpta.

10. La suma de los 4 trminos de un divisin es 300, el cociente es 8 y el residuo es 20. calcular el divisor

Rpta.

11. En una divisin inexacta, el divisor es 14, el residuo es mximo y el cociente la sptima parte de divisor. Hallar la suma de cifras del dividendo

Rpta.12. En una divisin inexacta el residuo por defecto es 15 y el residuo por exceso es 9. si el cociente por defecto es 12, calcular el dividendo

Rpta.

13. El dividendo de una cierta divisin es 55. Si el cociente y el residuo son iguales y el divisor es el doble del cociente. Cul es el divisor?

Rpta.

14. El dividendo, en una divisin inexacta, es 2701, el divisor es el triple del cociente y el residuo es mnimo. Hallar el valor del divisor.Rpta.

15. En un divisin inexacta, el divisor es el C. A. del cociente, y el residuo es la mitad del cociente Si el residuo es mnimo. Hallar el dividendo

Rpta.


1. Luego de divisor 843 entre su C.A., hallar la suma del residuo por defecto, exceso y cociente por exceso

A) 200

B) 139

C) 415

D) 163

E) 162

2. La suma de dos nmeros es 719 si cociente 13 y su residuo el mayor posible. Hallar la diferencia de los nmeros.

A) 623

B) 671

C) 48

D) 719

E) 767

3. Hallar el valor del dividendo si:

Rd = 4; re = 7; qe = 3

A) 22

B) 24

C) 26

D) 30

E) 14

4. Al efectuar una divisin entera por defecto y por exceso, se observ que el residuo por defecto, el residuo por exceso, el cociente por defecto y el divisor, en ese orden eran nmeros consecutivos que van de 3 en 3. Hallar el dividendo

A) 152

B) 166

C) 174

D) 186

E) 200

5. En un divisin inexacta, el cociente es 7, pero si al dividendo, divisor y al residuo se multiplica por 8. Calcular el nuevo cociente

A) 1

B) 4

C) 7

D) 8

E) 9

No vayas delante de mi, no te seguir, ni me sigas, no te guiar; solo camina a mi lado y seamos amigos.

E. White

6. Es una divisin inexacta el residuo por defecto es la octava parte del residuo mximo. Si el residuo por exceso es 134, hallar el divisor

A) 151

B) 153

C) 160

D) 171

E) 181

7. En una divisin inexacta, el divisor es el residuo es mximo y el cociente la sptima parte del divisor. Hallar la suma de cifras del dividendo.

A) 10

B) 12

C) 17

D) 22

E) 31

10. Hallar dos nmeros enteros sabiendo que su suma es 3135, y que el cociente de su divisin es 17, siendo su residuo la tercera parte del divisor. Dar como respuesta la diferencia de los dos nmeros

A) 2850

B) 2736

C) 2850

D) 2790

E) 2793

9. El dividendo de una cierta divisin es 111. Si el cociente es el doble del residuo y el divisor el triple del cociente. Cul es el divisor?

A) 3

B) 7

C) 18

D) 22

E) 25

8. La suma de los 4 trminos de una divisin es 213, el cociente es 7 y el residuo es 3. calcular el divisor.

A) 30

B) 28

C) 27

D) 25

E) 22

CLAVES

1. D

2. A

3. C

4. D

5. C

6. B

7. D

8. D

9. C

10. E

TEMA: Relaciones Binarias

PAR ORDENADO

Conjunto de dos elementos y denotado por (a; b), siendo a la 1era componente y b la segunda componente.

TeoremaDos pares ordenados son iguales si y slo si sus respectivas componentes son iguales.

As tenemos:

. (a; b) = (c; b) ( a = c ( b = d .

!ATENCIN!

(a; b) ( (b; a)

Ejemplo:

Si los pares ordenados (3m + 1; 9), (7; n + 2) son iguales, hallar m + n

Resolucin(2m + 1; 9) = (7; n + 2)

( 2m + 1 = 7 ( 9 = n + 2

m = 3n = 7

( m + n = 10

PRODUCTO CARTESIANOSean los conjuntos no vacos A y B se llama producto cartesiano de A con B denotado por A . B al conjunto de pares ordenados, tal que la primera componente pertenece al conjunto A y la segunda componente pertenece al conjunto B.

As:

A x B {(a; b)/a ( A ( b ( B}

Ejemplo: A = (3, 5,7) ; B = {2, 3}

Hallar A x B y B x A

ResolucinA x B {(3; 2), (3; 3), (5; 2), (5; 3), (7; 2), (7; 3)}

B x A {(2; 3), (2; 5), (2; 7), (3; 3), (3; 5), (3; 7)}

Observamos que: A x B ( B x A

(no es conmutativo)

Propiedades1. El nmero de elementos de A x B es igual al producto del nmero de elementos de A por el nmero de elemento de B.

n(A x B) ( n(A) x n(B)

2. Si: A x B = B x A ( A = B

3. Notacin: A x A = A2Grafica de un producto Cartesiano

Sea: A = {1; 2; 3} ( B = {a; b}

Hallar: . A x B y graficar .ResolucinA x B = {1; 2; 3} . {a; b} ( A x B = {(1; a), (1; b), (2; a),(2; a),(3;a),(3;b)}

RELACIONESUna idea de relacin es:

Sean los conjuntos: A = {Lima; Bogota; Montevideo}

B = {Colombia; Per; Uruguay}

Y la regla de correspondencia: ........ Es capital de ...........

Entonces podemos establecer el siguiente esquema

(Otra manera de escribir el esquema anterior es con Pares ordenados (Lima; Per), (Bogot; Colombia), (Montevideo; Uruguay)

Una relacin es una correspondencia entre dos conjuntos que asocia elementos de un conjunto con algn elemento de otro conjunto.

Si tenemos los conjuntos no vacos A y B la relacin R de A en B la podemos obtener como un subconjunto de producto Cartesiano.

As tenemos:

. R = {(x; y) ( A x B / x ( A ( x ( B} .En la relacin R de A en B denotado por R: A ( B.

es el conjunto de partida y B el conjunto de llegada, sus elementos x e y se llaman pre imagen e imagen respectivamente y R se encarga de la correspondencia entre ellos.

As: x R y dice que x se relaciona con y mediante R se puede reemplazar por: >; =; (, es el doble de, etc.

Ejemplo: Dados los conjuntos:

A = {3, 6, 2} B = {4, 7}

Hallar:

A x B =

R1 = {(x; y)} ( A x B / x < y}

R2 = {(a; b) ( A x B / a + b es par}

R3 = {(m, n) ( A x B / m . n es mltiplo de 3}

ResolucinA x B = {(3; 4), (3; 7), (6; 4), (6; 7), (2; 4), (2; 7)}

R1 = {(3, 4), (3; 7), (2; 4), (2; 7)}

R2 = {(2; 4), (6; 4), (3; 7)}

R3 = {(3, 4); (3; 7), (6; 4), (6; 7)}

Notacin:

R : A ( B : donde

A : Conjunto de partida

B : Conjunto de llegada

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIN

DominioEs el conjunto cuyos elementos son todos los primeros componentes de los pares ordenados de la relacin.

Rango

Es el conjunto cuyos elementos son todas las segundas componentes de los pares ordenados de la relacin.

En toda relacin hay:

a) Un conjunto de partidab) Un conjunto de llegadac) Una regla de correspondenciaEjemplo: Dados los conjuntos

A = {7, 9, 11} ; B = {4, 7, 12}

Se define la relacin R1 de la siguiente manera:

R1 = {(x; y) ( A . B / x < y}

Hallar su dominio y rango de R1

ResolucinA . B = {(7; 4), (7; 7), (7; 12), (9; 4),(9; 7), (9; 12), (11; 4), (11; 7)(11; 12)}

Luego se escoge los pares ordenados que cumplan con la condicin

x < y (la 1ra componente sea menor que la 2da componente)

As tenemos:

R1 = {(7; 12), (9, 12); (11; 12)}

Luego

Dominio de R1 = Dom(R1) = {7, 9, 11}

Rango de R1 = Rang(R1) = {12}

RELACIN BINARIA

Dados los conjuntos A y B, decimos que R es una relacin de A en B si es un subconjunto del producto cartesiano A x B

Notacin:R: A ( B ( R ( A x B

Donde

R: A ( B, si lee: R es una relacin de A en B

R ( A x B; se lee R esta incluido en A x B o R es un subconjunto de A x B

Ejemplo: Dado: A = {1, 2, 3,} ( B = {1, 2}

Hallar: R = {(x; y) ( A x B / x ( 2}

ResolucinA x B = {(1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2), (3; 1), (3; 2)}

Luego:

R = = {(2; 1), (2; 2), (3; 1), (3; 2)}

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO

A continuacin, veamos tres propiedades muy importantes en las relaciones definidas en un conjunto.

1. Propiedad reflexiva.

Se dice que en una relacin es reflexiva cuando cada elemento del conjunto dado est relacionado consigo mismo.

Notacin

R es Reflexiva en A si ( a ( A, aRa dicho de otra manera una relacin es reflexiva en A cuando en su diagrama de flechas todos los elementos de A tiene un lazo como el que se indica:

Ejemplo: ( Qu relacin definida en A

A = {1, 2, 3, 4} es reflexiva

R1 = {(1;1), (2;2), (3; 4), (3;3), (4; 4), (1; 4), (1; 2)}

R2 = {(1, 3),(1;1),(1;2), (2; 2), (3; 3), (1; 4)}

R3 = {(1;1), (2; 2),(3;3), (4;4)}

R1

R2

R3

ResolucinR1 y R3 son reflexiva pues todos sus elementos del conjunto A estn relacionados consigo mismo.

R2 ni es reflexivo porque no hay (4,4), el elemento 4 del conjunto A no esta relacionado consigo mismo.

2. Propiedad SimtricaUna relacin es simtrica cuando cada vez que a est relacionado en b, entonces b est relacionado con a.

NotacinR es simtrica en A, si ( a ( A; b ( A

a R b ( b R a

Ejemplo:

Sea el conjunto A = {1, 2, 3}

y R = {(x; y) ( A . A / x + y es par}

ResolucinA . A = {(1; 1); (1; 2); (1; 3)(2; 1); (2; 2); (2; 3)

(3; 1); (3; 2); (3;3)}

Los marcados son los que cumplen la condicin, luego R es:

R = {(1; 1), (1;3), (2;2),(3;1), (3; 3)}

3. Propiedad TransitivaUna relacin es transitiva si cada vez que a esta relacionado con b y b esta relacionado con c, entonces a est relacionado con c.

Notacin:

R transitiva en A, si ( a, (b, ( c ( A,

a R b ( b R c ( a R c

Ejemplo:

Si A = {1, 2, 3} y la relacin R se define as:

R = {(x; y) ( A2 / x + y = Par}

Resolucin

R = {(1; 1), (1; 3), (2; 2), (3; 1), (3; 3)}

4. Relacin de EquivalenciaUna relacin de equivalencia si cumple las propiedades reflexiva, simtrica y transitiva,

Ejemplo:

A = {5, 6, 7}, y R es una relacin definida de la siguiente manera:

R = {(x; y) ( A2 / x + y es par}

Resolucin

R = {(5; 5), (5;7), (6; 6), (7; 7), (7;5)}

Si es Reflexiva

Si es Simtrica

Si es transitiva

( R es una relacin de equivalencia

5. Relacin Inversa

La relacin inversa de una relacin dada, es aquella que recorre el camino inverso de la relacin considerada.

Veamos; Sea: A = {1, 5, 7} ( B = {2, 3, 4}

Y la relacin: R = {(1, 4), (5; 2), (7; 3)}

Entonces la relacin inversa de R, que se denota por R-1 es:

R-1 = {(4; 1), (2; 5), (3; 7)}

Es decir mientras que: R ( A x B, se cumple que: R-1 ( B x A

6. Funcin

Es una relacin f definida de A en B denotada por f: A ( B, es una funcin si y slo si a un elemento x ( A, le corresponde un nico elemento y ( B a travs de f

En general:

. f = {(x; y) ( A . B / y = f(x)} .Donde:

A = Conjunto de partida

B = Conjunto de llegada

Y = f(x)= Regla de correspondencia

Adems

y = Imgenes; variable dependiente

x = Pre - imgenes, variable independiente

D(f) = dominio de la funcin conjunto de todas las pre imgenes

R(f) = Rango de la funcin conjunto de todas las imgenes

OBSERVACIONES:

Si el D(f) = A (conjunto de partida), entonces la funcin recibe el nombre de aplicacin. luego toda Aplicacin es una funcin, pero toda funcin es una aplicacin.

Ejercicio 1:

Dado A = {1; 3; 5; 7} ( B = {2; 4; 6; 9, 10; 12}

Hallar:

a) f : A ( B, tal que: y = x + 1

b) D(f) y R(f)c) DIAGRAMA SAGITAL

d) es una aplicacin?

Resolucinxy = f(x) = x + 1Pares

Ordenados

1y = f(1) = 1 + 1 = 2 (1; 2)

3y = f(3) = 3 + 1 = 4(3; 4)

5y = f(5) = 5 + 1 = 6 (5; 6)

7y = f(7) = 7 + 1 = 8(B

Luego:

. F = {(1; 2), (3; 4), (5; 6)} .a) D(f) = {1; 3; 5}R(f) = {2; 4; 6}

b) No es aplicacin, pues:. D(f) ( A .Ejercicio 2: Dados = {-2; -1; 0; 1; 2} ( B = {0; 1; 2; 3; 4}

Hallar:

a) f: A ( B, tal que: y = x2

b) D(f) y R(f)

c) DIAGRAMA SAGITAL

d) Es una aplicacin?

Resolucinxy = x2Pares

Ordenados

-2y = (-2)2 = 4 (-2; 4)

-1y = (-1)2 = 1(-1; 1)

0y = (0)2 = 0(0; 0)

1y = (1)2 = 1(1; 1)

2y = (2)2 = 4(2; 4)

a) D(f) = {-2; -1; 0; 1; 2}

R(f)= {0; 1; 4}

b) S es una aplicacin, pues:

. D(f) = A .GRAFICA DE UNA FUNCIN

Si: f: A ( B, es una funcin, el grafico de f; que se denota por Graf(f), es el conjunto:

. Graf(f) = {P(x; y) ( A x B / y = f(x)} .Es decir, la grfica de una funcin de A en B es un conjunto de puntos que se determina en el grfico del producto Cartesiano A x B

Ejemplo:

Si: A = {a; b; c; d; e} ( B = {1; 2; 3; 4; 5}

Y la funcin f: A ( B; definido por: . f = {(a; 3), (b; 2), (c; 4),(d; 1)} .

Su grfica ser:

D(f)= {a; b; c; d}

R(f) = {1; 2; 3; 4}

Si: f es una funcin real, es decir, f: R x R, El grfico de f es:

. Graf(f) = {P(x; y) ( R x R / y = f(x)} .Que generalmente se representa en el Plano Cartesiano el conjunto de partida en el eje las abscisas y el conjunto de llegada en el eje de las Ordenadas

Ejercicio 1:

Sea la funcin f: R x R, definida por: f = {(x; y)/ y = x + 2}

Hallar:a) grfica

b) Dominio y Rango

Resolucina) Tabulando:

xy = f(x) = x + 2

-2

-1

0

1

y = f(2) = 2 + 2 = 0

y = f(1) = 1 + 2 = 1

y = f(0) = 0 + 2 = 2

y = f(1) = 1 + 2 = 3

Graficando:

b) D(f) = {x/x ( R } =

R(f) = {y/y ( R} =

Ejercicio 2:

Sea la funcin, f: R (, definida por: f = {(x; y) / y = x2}

Hallar:a) Grfica

b) Dominio y Rango

Resolucin

xy = f(x) = x2

-2

-1

0

1

2

y = f(2) = (2)2 = 4

y = f(1) = (1)2 = 1

y = f(0) = (0)2 = 0

y = f(1) = (1)2 = 1

y = f(1) = (2)2 = 4

a) D(f) = {x/x ( R} = < -(; +( >

R(f) = {y / y ( 0} 0 [0; ( >

RECONOCIENDO SI UNA RELACIN ES UNA FUNCIN

Veamos: Sean los siguientes diagramas que representan relaciones de A en B.

De las siguientes relaciones mostradas, son funciones I, II, II; no son funciones IV, V, VI

Ejemplo 1:

Cules de las siguientes relaciones representa una funcin?

R1 = {(1; 2), (1; 4), (3; 2),(5; 4)}R2= {(1; 2),(3; 2), (5; 2)}

R3 ={(0; 2), (1; 2), (3; 4)}

R4 = {(5; 2), (5;4), (3;2), (1; 4), (5; 7)}

Resolucin

Representamos cada relacin mediante un diagrama sagital:

Porque del elemento 1 del dominio sale ms de una flecha.Porque de cada elemento del dominio sale slo una flecha.

Porque de cada elemento del dominio sale slo una flecha.Porque del elemento 5 del dominio sale ms de una flecha.

( Luego: En un diagrama sagital una relacin es funcin cuando de cada punto del dominio sale slo una flecha

PROBLEMAS PARA LA CLASE1. Hallar la relacin inversa (R-1) en

R1 = {(4; 5), (2; 7), (1; 3)}

R2 = {(2, 5), (7; 3), (1; 8), (2; 9)}

Rpta.

2. Dados los conjuntos:

A = {x + 3 / x ( N ( 5 < x < 12}

B = {8; 9; 12; 14}

Hallar A x B e indicar el nmero de elementosRpta.

3. Dado el conjunto :

A = {x / x ( N; 5 < 2x < 15}

Hallar el rango de la relacin

R = {(a; b) ( A x A / a + b < 9}

Rpta.

4. Dados los conjuntos

A = {1, 5, 7} B = {3, 4, 5}

C = {4, 5, 8}

Hallar el n[A x (B C)]

Rpta.

5. Indicar las relaciones que son funciones

R1 = {(1; 2); (3; 3); (4; 5)}

R2 = {(2; 5); (2; 7)}

R3 = {(1; 7), (1; 4), (3, 10)}

R4 = {(1; 3), (2; 4), (3; 4)}

Rpta.6. Dados los conjuntos

V = {12, 18, 20, 24}

M = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Hallar la relacin

R = {(x; y) ( V x M / y = x/2}

a) R = {(12; 6),(18; 7), (24; 11)}

b) R = {(18; 9),(20; 10),(24; 12), (12,8)}

c) R = {(12; 6),(18; 7),(24; 10)}

d) R = {(12; 6),(18; 9), (20; 10), (24; 12)}

e) R = {(6; 12), (9, 18), (10; 20), (12; 24)}

Rpta.

7. Dado: A = {2; 3; 4}, indica la relacin que es reflexiva a A

a) {(2;3),(3; 2), (4; 3), (3; 4), (4; 4)}

b) {(2;3),(2;2),(3;3),(4;4),(4;3)}

c) {(2;2),(3;3)(4;3),(3; 4),(4;2)}

d) {(2;4),(2;3),(3;2),(4;2),(2;2)}

e) {(2;3),(3;3),(4;4)}

Rpta.

8. Dados el conjunto M = {1; 2; 3} indicar la relacin que es simtrica en M.

a) {(1;1),(1;2),(1;3),(3;1)}

b) {(3;2),(2;3),(3;1)}

c) {(1; 3),(1; 2),(1;1)}

d) {(1;2),(2;1),(3;3)}

e) {(3;2), (2;3),(1,3)}

Rpta.

9. El siguiente diagrama de flechas muestra la relacin R entre los elementos de A

Marque la alternativa que indique las propiedades de esta relacin

a) Simtrica

b) Reflexiva

c) Transitiva

d) Reflexiva y simtrica

e) Reflexiva y transitiva

Rpta.10. En la siguiente funcin, hallar a

F = {(3; 8),(3; a), (4; 5)}

Rpta.

11. En la siguiente funcin hallar el valor de a + b

f = {(6;1-a),(7;b+1),(6;2),(7;4)}

Rpta.

12. Hallar a + b si f es una funcin

F = {(12; 3a+2), (8; 2b 3), (8;9), (12;26)}

Rpta.

13. Sea la funcin f: R ( R definida por: f = {(x; y) / y = x + 1}

Hallar :

a) Grfica b) Dominio y Rango

Rpta.

14. Sea: A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 4, 5, 6}

f = {(x; y) ( A x B / y = 2x}

Hallar:

a) grfica b) dominio y rango

Rpta.

15. Grfica la funcin; f(x) = x + 5

Qu grfica te result?

Rpta.



A = {1; 3; 6} B = {2; 4; 7}

C = {3; 4; 5; 6}

Cuntos elementos tendr

(A - B) x (B C)

A) 1

B) 5

C) 6

D) 3

E) 7


A = {2; 4; 6} B = {1; 2; 3}

Se tiene una relacin R de A en B

R = {(2; 1) (2; 2) (2; a) (4; 1)(4; b) (4; 3)}

Sin ningn par ordenado de R est repetido, hallar a + b

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

3. Si: f es una funcin; hallar: a + b

f = {(2;3),(7;8),(7;a7),(2;b13)}

A) 31

B) 14

C) 11

D) 15

E) 27


A = {1; 2; 3; 4} B ={4; 5; 7; 8}

Cul de los siguientes conjuntos son relaciones de A en B?

R1 = {(1; 5)(2; 7)(2, 8 )}

R2 = {(2, 5)(2; 8)(4; 4)}

R3 = {(3; 5)(4; 2)(4; 8)}

A) solo R1B) solo R2C) R1 y R2D) R1 y R3E) R2 y R35. Hallar la suma de los elementos del dominio de la relacin R de A en AA = {4; 5, 6; 7; 8; 9}

B = {(a; b) ( A x A / b = a + 2}

A) 16

B) 18

C) 19

D) 21

E) 22

6. Hallar x e y para que se cumpla: (x + 7, y) = (12; x + 1)

A) 5 y 6

B) 3 y 6

C) 5 y 4

D) 5 y 7

E) 4 y 6

7. Sea el conjunto;:

A = {2; 3; 4; 5; 8; 10} y la relacin

R = {(a; b) ( A x A / a + b = 12}Hallar la interseccin del dominio y el rango de la relacin (DomR RanR)

A) {2}B) {2,4}C) {2,4,8}D) {10}E) {2,4,8,10}8. De las siguientes relaciones indicar la que es funcin

A) R1 = {(1; -7),(2; -7),(3; 5)}B) R2 = {(3; -7), (3, -3), (2; 5)}C) R3 = {(1; 5), (2; -3),(2; -7)}D) R4 = {(2; -5),(2; -7),(2; -3)}E) R5 = {(2;3),(5;1),(5;-7)}9. El siguiente diagrama sagital representa a una funcin de A en B. Hallar (a + b)

A) 12

B) 11

C) 13

D) 5

E) 2

10. Sea la funcin, f; R ( R definida por:f = {(x; y) / y = 2x + 1}

CLAVES

1. C

2. B

3. A

4. C

5. E6. A

7. E

8. A

9. D

10. B

TEMA: Progresiones: Aritmtica y GeomtricaPROGRESIN ARITMTICA

Es aquella sucesin de trminos que se caracteriza por ser cualquier termino de ella aumentando una cantidad constante llamada razn (r)

Representacin

(a1 . a2 . a3 . .............. an

( a1 . a1 + r . a1 + 2r ........ . a1 + (n - 1)5

Elementos de P.A.

( Inicio de la P.A

an trmino ensimo

a1 primer trmino

r razn de la P.A

. separacin de trminosSn Suma de n primeros trminos

CLASES DE P.A

De acuerdo a la razn:

Si r > 0 P. A. Creciente

Si r < 0 P. A Decreciente

Propiedades

1. Calculo de la razn:Sea ( a1 . a2 . a3 . ................ . anr = a3 a1

En general: . r = an an 1 .2. En total P.A la suma de los trminos equidistante de los extremos son iguales.

3. Para hallar un trmino ensimo ltimo cualquiera. an = a1 + (n - 1) . r .Ejemplo: Hallar el 15avo termino:

3 . 5 . 7 . 9 ...............

ResolucinUsemos:an = a1 + (n 1)r del ejercicio a1 = 3; n = 15; r = 2

Reemplazando

a15 = a1 + (15 - 1) . r

a15 = 3 + (14) . 2

a15 = 31

4. Trminos central de una P. A. ac = .Existe cuando n es impar

Ejemplo:

Hallar el trmino central

Resolucinac = , tenemos que hallar an

a15 = 3 + (15 - 1) . 3

a15 = 45

Por tanto:

ac = ( ac = 24

5. Suma de una P. ASn = . n

Ejemplo:

Hallar S

S =

S17 = . 17

Hallar a17 = ?

a17 = 2 + (17 - 1) . 2

a17 = 2 + 16 . 2 ( a17 = 34

Luego:

S17 = . 17

S17 = 18 . 17

S17 = 306

Adems: Si n es impar

Entonces Sn = ac . n

OBSERVACIN:

En la practica, para representar a una P.A

( a1 . a2 . a3 . .. . anse utiliza la siguiente forma:

( a1, a2, a3 . , an

como vers se reemplaza la coma por el punto

PROGRESIN GEOMTRICA

Es una sucesin de trminos en la cual un trmino es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamada razn (q)

Representacin:

t1: t2: t3: t4: ........: tn

t1: tq: t2q2: t1 q3: ........: tn . qn- 1

OBSERVACIN:

resulta muy incomodo trabajar con todos los smbolos que representa a un P.G por lo tanto utilizaremos a esta sucesin numrica.

Elementos de la PG.

inicio de la PG.

t1 primer trmino (t1 ( 0)

: separacin de trminos

q razn geomtrica (q ( 0)

tn trminos ensimo

Sn suma de n primeros trminos

Pn producto de los n primeros trminos

Clases de PG

Si q > 1 ( PG es creciente

Si 0 < q < 1 ( PG es Decreciente

Si q < 0 ( PG es Oscilante

Propiedades

1. Calculo de la razn (q)

Sea la PG

t1: t2: t3: ........... : tn

( q = =

2. Calculo del termino ensimo de un PG.

. tn = t1 . qn- 1 .Ejemplo:

Hallar 9no trmino en

........

Resolucin Halando la razn:

q = ( q = 3

Calculando el t9tg =

tg = ( tg = 34( tg = 81

3. En total PG. El producto de los trminos equidistantes de los extremos es igual

4. Termino central de una PG.

. Tc = . n ( impar

Cuando el nmero el trminos (n) es impar

Ejemplo:

Hallar el trmino central

ResolucinTc =

Hallando t15:

t15 =3 . 215 1

t15 = 3 . 214

Reemplazando

tc =

=

=

= 3 . 27

= 3 . 128

( . tc = 384 .

5. Suma de una PG de un trmino

. Sn = .Ejemplo: Sumar:

ResolucinHallndose la razn:

q = ( q = 3

Hallndose la suma de trminos

S10 =

S10 =

S10 =

S10 = 121, 5

6. Producto trminos de una PG.

. Pn = .Si: n ( impar( . Pn = .Ejemplo:

Hallar el producto de trminos de:

ResolucinHallamos la razn

q = ( q = 2

Hallando t14.

t14 =

t14= ( t14 = 26Ahora:

P14 =

P14 =

P14 = ( . P14 = .7. Suma Limite:

Suma de todos los trminos de una PG. Ilimitada decreciente, se obtiene as:

SLim =

;Si 1 < q < 1

Ejemplo:

Calcular

S =

Resolucin:

Hallando la razn

t1 = q =

q = ( q =

Como S = reemplazamos

S =

( S =

OBSERVACIN:

Para hallar un trmino cualquiera se puede aplicar las siguiente formulas generales .

En una PA:

En una PG. ax = ay + (x - y) . r .

. Tx= ty . q .

PROBLEMAS PARA LA CLASE1. Se sabe que en una P.A el trmino que ocupa el lugar 12 es 30 y que la razn es 2. hallar el primer trmino de la progresin

Rpta.

2. Calcular el trmino que ocupa el lugar 15 es la P.A

1, 8, 15, 22, ....................

Rpta.

3. En una PG. El trmino que ocupa el quinto lugar es 36 y la razn es 2. hallar el primer trmino de la progresin

Rpta.

4. Calcular el trmino 24 de la PG.

Rpta.5. Se sabe que en una P.A el trmino que ocupa el lugar 15 es 59 y el trmino que ocupa 37 es 147. hallar la razn de la progresin (hacer por 2 mtodos)

Rpta.

6. Dado: t = 72 y q = en una P.G., obtener el t8Rpta.

7. Se desea saber el nmero de mltiplos de 6 que hay entre 7 y 409.

Rpta.



8. Hallar el termino de lugar 15 de la progresin geomtrica

Rpta.

9. Se sabe que en una P.A el trmino que ocupa el lugar 4 es 3 y que la razn es 5. Se desea saber el valor del noveno trmino de la progresin

Rpta.

10. Calcular el producto de los 6 primeros trminos de la PG.

1, 3, 9, ...............................

Rpta.

11. Calculemos la suma de los 5 primeros trminos de la PG.

, 1, 4, ......................

Rpta.12. Hallar la suma de las 20 primeros trminos de la PA

2; 6, 10; 14; ....................

Rpta.

13. Cuntos trminos hay que tener en la PA. 1, 6, 11, ....... para que la suma sea 540?

Rpta.

14. Una PG. Tiene como primer termino igual a 1 y razn igual a 2. hallar la suma de sus 12 trminos

Rpta.

15. Hallar S:

S = 20 + 4 + ..........

Rpta.

16. Obtener la suma de una PG. Ilimitada de razn 2/3 y cuyo primer trmino vale 6

Rpta.

17. Hallar, el trmino de lugar 60 de la PA.

Rpta.

18. Hallar el octavo termino de la PG

1, 2, 4, 8, .............

Rpta.19. En una PG el primer trmino vale 3 y la razn vale 2, hallar el termino de lugar 10

Rpta.

20. Una P.A tiene 41 trminos y su termino central vale 11. Cunto vale la suma de los 41 trminos?

Rpta.

Tenemos la virtud, que a veces es defecto, de la generosidad en el momento del triunfo, sin darnos cuenta de que aquel que ha sido provisionalmente, interpreta la generosidad como debilidad, y aprovechar la situacin para invertirla.

Pablo Macera


1. Hallar el trmino de lugar 26 de la PA.

-7, -3, 1, ..................

A) 20

B) 33

C) 47

D) 68

E) 93

2. Obtener el trmino a46 en una P.A sabiendo que: a25 = 15 y r = -2

A) 42

B) -27

C) 39

D) 15

E) 57

3. Se desea saber el nmero de mltiplos de 4 que hay entre 51 y 496

A) 100

B) 107

C) 111

D) 112

E) 115

4. En una PA. Tiene 127 trminos y su trmino central vale 21. Cunto vale la suma de los 127 trminos?

A) 2667

B) 2680

C) 2740

D) 2560

E) 2840

5. Tres nmeros consecutivos estn en PA. de razn igual a 6. si la suma de estos nmeros es 141. Hallar el CA del mayor nmero

A) 53

B) 47

C) 41

D) 54

E) 59

6. El sptimo trmino de una PG. Vale 243 y la razn 3; hallar el 1er termino

A) 3

B) 1/3

C) 1/6

D) 1/9

E) 1/2

7. En un PG se sabe que a15 = 515 y a10 = 20, hallar la razn de la progresin

A) 45

B) 90

C) 99

D) 60

E) 30

8. Sabiendo que a1 = 7 y r = 3, hallar la suma de los diez primeros trminos de una progresin geomtrica

A) 120

B) 205

C) 301

D) 45

E) 195

9. Hallar el producto de los 9 primeros trminos de un PG si sabemos que el termino central vale 2.

A) 2048

B) 1024

C) 855

D) 512

E) 110

10. Calcular el valor de S

S =

A) 1

B) 1/2

C) 1/4

D) 1/8

E) 2

CLAVES

1. E

2. B

3. D

4. A

5. B6. B

7. C

8. B

9. D

10. B

ndicePg.

Numeracin

7

Suma

23

Resta

30

Multiplicacin

37

Divisin

42

Relaciones Binarias

48

Progresiones: Aritmtica y Geomtrica

67

8

7

10

9

11

12

14

13

15

16

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 n

n

k veces

= n + EMBED Equation.3 = n + k . a

14

14

14

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 n

n

13 veces

= 57

14

14

14

EMBED Equation.3

14n

n

13 veces

= n + 13 . 4

18

17

19

13

13

13

EMBED Equation.3

13

5

21 veces

= EMBED Equation.3

16

16

16

EMBED Equation.3

16

n

14 veces

= 92

20

14

14

14

EMBED Equation.3

14

6

19 veces

= EMBED Equation.3

21

12

12

12

EMBED Equation.3

12

n

21

veces

= 46

22

2 1 0 ( Orden

4 1 5(7) +

1 6 4(7)

4 1 6(7)

...............................?

Sumandos

Suma:

23

24

25

26

27

28

30

29

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

42

41

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

80

Aritmtica

Aritmtica

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Ejercicios de aritmética

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