Valdivia, Abril 2015

Prof. Juan Carlos Miranda C.

Estadístico (UACh)Master en Población y Desarrollo (N.U.-CEPAL)

Dr©. Economía (Universidad de Valladolid)

CURSOESTADÍSTICA SOCIAL ESTD-246CAP 3 Y 4: PROBABILIDADES Y

DISTRIBUCIÓN NORMAL

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• ¿Cuál es la probabilidad de qué …………….?

• ¿Cuál es la probabilidad de encontrarme un taco de camino a clase?

• Todos los días nos hacemos preguntas sobre probabilidad y esta en nuestro vocabulario

• En este tema vamos a:

– Reconocer qué entendemos por probabilidad.– Conocer y aplicar algunas reglas de cálculo.– Ver cómo se aplican las probabilidades en Cs. Sociales.– Aplicarlo a algunos conceptos nuevos de interés en C.

Sociales

Nociones de probabilidad

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¿Qué es el azar?

Veamos lo que nos dice el diccionario

1.m. casualidad: el azar hizo que nos volviéramos a encontrar años después

2.al azar loc. Adv. Sin orden, sin planeamiento; aleatoriamente: eligió un número al azar

Podemos intuir, entonces, que el azar está relacionado con la suerte, con lo impredecible (que no se puede predecir), con lo aleatorio (que significa suerte). Parece ser que toda nuestra vida está asociado a lo impredecible. ¿Podemos predecir el mañana?

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He aquí un dado...

Los dados se cuentan entre los artilugios más antiguos utilizados en juegos de apuestas. Los arqueólogos han descubierto dados cúbicos, idénticos a los actuales, en tumbas egipcias del año 2000 A.C. Y también se han encontrado dados en yacimientos chinos que se remontan al 600 A. C.

El lanzamiento de una moneda

Tome usted una moneda y láncela al aire, y observe la figura obtenida una vez que la moneda detenga su movimiento azaroso

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Realizamos la actividad con una moneda

i. Que cada alumno tenga una moneda de 100 pesos (si no tiene de 100 pesos, cualquier moneda sirve)

ii. Que cada alumno lance la moneda al aire 10 veces (puede ser un número arbitrario de veces, 20, 30, etcétera)

iii. Que cada alumno cuente la frecuencia de obtener “cara” (observe que por complemento se obtendrá la frecuencia de obtener “sello”)

iv. Que cada alumno realice la siguiente operación matemática (con una calculadora):

Frecuencia de “cara”

Número de lanzamientos

Ejemplos N º 1:-

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Lanzamiento de la moneda: Tabla de Frecuencias

Para contabilizar los resultados obtenidos en los lanzamientos de una moneda, se puede utilizar la siguiente tabla:

nº de caras obtenidas

nº total de lanzamientos

nº de sellos obtenidos

nº de carasnº total

nº de sellosnº total

Suma de ambas frecuencias relativas, su

valor es siempre 1

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Ejemplos N º 2:-

Lanzamiento de :

Dos monedas

Tres monedas

Familia de tres hijos

Eventos posibles

CC, CS, SS, SC

CCC, CCS, CSC, SCC, SSS, CSS, SCS, SSC

HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM

Cada evento le vamos a asignar la letra “e” => 8 eventos en los 2 últimos casos

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Experimento Aleatorio () Diremos que un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes

condiciones:

1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones.

2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener.

3. El resultado que se obtenga, , pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles.

Los casos posibles de un experimento reciben además el nombre de eventos o sucesos (S) elementales, ya que no se pueden descomponer en términos de otros más sencillos.

El conjunto de todos los eventos elementales recibe el nombre de espacio de eventos o espacio muestral ( o S).

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Filosofía de la probabilidad

¿Qué es la probabilidad?

Objetivistas Subjetivistas Logicistas

propiedad de eventos propiedad de creencias propiedad de enunciados

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Nociones de probabilidad

• Hay dos maneras principales de entender la probabilidad:

– Frecuentista (objetiva): Probabilidad de un suceso es la frecuencia relativa (%) de veces que ocurriría el suceso al realizar un experimento repetidas veces.

– Subjetiva (bayesiana): Grado de certeza que se posee sobre un suceso. Es personal.

• En ambos tipos de definiciones aparece el concepto de suceso. Vamos a recordar qué son y algunas operaciones que se pueden realizar con sucesos.

Eventos o Sucesos• Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son

posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (S o Ω).

• Se llama suceso o evento a un subconjunto de dichos resultados.

• Se llama evento complementario de un suceso A, al formado por los elementos que no están en A y se denota Ac

• Se llama evento unión de A y B, AB, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo todos los que están en ambos).

• Se llama evento intersección de A y B, A∩B al formado por los elementos que están en A y B

S espacio muestral

S espacio muestral

A

Ac

S espacio muestral

A

B

S espacio muestral

A

B

S espacio muestral

A

B

Unión AB Intersección A∩B

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El lenguaje de la probabilidad

Probabilidad de eventos

¿Cuál es la probabilidad de que se produzca un

evento A?

0 ≥ P (A) ≤ 1No ocurrencia Ocurrencia

Probabilidad de enunciados

¿Cuál es la probabilidad de que el enunciado B sea

verdadero?

0 ≥ P (B) ≤ 1 Falso verdadero

Estadísticos Lógicos

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Axiomas de la probabilidad

Sea E un experimento aleatorio, Ω su espacio muestral asociado y A un evento cualquiera de Ω. Un número real Pr(A) es llamado probabilidad de ocurrencia del evento A, si satisface las siguientes condiciones:

i) Pr(A) ≥ 0

ii) Pr(A) ≤ 1

iii) Si A1, A2, … , Ak son eventos de Ω, los cuales son mutuamente excluyentes, entonces:

1

1

Pr A Pr Ak

k

i iii

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Teoremas de la probabilidad

- Si Ø es el evento vacío, entonces Pr(Ø) = 0.

- Si Ω es el espacio muestral, entonces Pr(Ω) = 1.

1) Teorema: Si A y B son dos eventos de un espacio muestral Ω, entonces la probabilidad que ocurra el evento A o que ocurra el evento B es

Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) – Pr(A B)

2) Teorema: Si A es un evento del espacio muestral Ω y AC su complemento, entonces

Pr(A) = 1 – Pr(AC)

Definición de probabilidad y prob. condicionada

• Se llama probabilidad a cualquier función, P, que asigna a cada suceso A un valor numérico P(A), verificando las siguientes reglas (axiomas)

– 0≤P(A) ≤1

– P(E)=1

– P(AUB)=P(A)+P(B) si AB=Ø• Ø es el conjunto vacío.

• Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A sabiendo que pasa B:

)(

)()|(

BP

BAPBAP

E espacio muestral

100%

E espacio muestral

B

A

E espacio muestral

A

B

“tam

año”

de

uno

resp

ecto

al

otro

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Definición de independencia en probabilidad

Dos sucesos son independientes si la que ocurra uno no añade información sobre el otro. En lenguaje probabilístico:

i) A indep. B P(A|B) = P(A)

Dicho de otra forma:ii) A indep. B P(AB) = P(A) P(B)

EjemploLa probabilidad de que menores de 15 años que consumen alcohol los fines de semana, se vuelvan, en la edad adulta, alcohólicos (hipoteticos.

La probabilidad de que menores de 15 años que consumen alcohol los fines de semana, se vuelvan, en la edad adulta, alcohólicos (hipoteticos.

Consume Alcohol No Consume Alcohol

No Alcohólico 10 20

Alcohólico 60 10

El suceso P(consuma alcohol ) y sea alcohólico, es independiente

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EjemploA continuación se presenta una tabla estadística de frecuencia absoluta referida a la entrevista de una muestra a algunos consumidores sobre el número relativo de visitas a un centro comercial de la ciudad (a menudo, en forma ocasional y nunca) y si la tienda tenía una ubicación conveniente (sí o no). Tal y como se muestra a continuación:

Visitas Ubicación Conveniente Total

Si No

Con frecuencia 60 20 80

Ocasional 25 35 60

Nunca 5 50 55

Total 90 105 195

Se pide:

a) El evento A, sucede si un informante de la muestra visita con frecuencia el centro comercial. Por tanto, calcule la probabilidad del suceso.b) El evento B, sucede cuando la ubicación la encuentra conveniente al momento de visitar el centro comercial. Luego, calcule la probabilidad del suceso.c) ¿La frecuencia de las visitas y la conveniencia son independientes? ¿Por qué?

Se pide:

a) El evento A, sucede si un informante de la muestra visita con frecuencia el centro comercial. Por tanto, calcule la probabilidad del suceso.b) El evento B, sucede cuando la ubicación la encuentra conveniente al momento de visitar el centro comercial. Luego, calcule la probabilidad del suceso.c) ¿La frecuencia de las visitas y la conveniencia son independientes? ¿Por qué?

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Observaciones

• En el ejemplo al llegar un individuo a la consulta tenemos una idea a priori sobre la probabilidad de que tenga una enfermedad.

• A continuación se le pasa una prueba diagnóstica que nos aportará nueva información: Presenta glucosuria o no.

• En función del resultado tenemos una nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad de que esté enfermo.– Nuestra opinión a priori ha sido

modificada por el resultado de un experimento.

– Relaciónalo con el método científico.

-¿Qué probabilidad tengo de estar enfermo?

- En principio un 20%. Le haremos unas pruebas.

- Presenta glucosuria. La probabilidad ahora es del 88%.

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Individuo

Enfermo

T-

Sano

T+

T-

T+

P. a priori de enfermedad: incid., preval., intuición,…

Sensibilidad, verdaderos +

Falsos +

Especificidad,Verdaderos -

Falsos -

Diagrama de árbol: Pruebas diagnósticas

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Expresión del problema en forma de árbol

Estudiante

Mujer

No fuma

Hombre

Fuma

No fuma

Fuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2= 0,13

P(H | F) = 0,3 x 0,2 / P(F)= 0,46

•Los caminos a través de nodos representan intersecciones.

•Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.

•Podemos resolver los problemas usando la técnica como diagrama de árbol

Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.

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Distribución normal o de Gauss

• Aparece de manera natural:– Errores de medida.

– Distancia de frenado.

– Altura, peso, propensión al crimen…

• Está caracterizada por dos parámetros: La media, μ, y la desviación típica, σ.

• Su función de densidad es:

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N(μ, σ): Interpretación probabílista

0

63

125

188

250

-6.0 -3.5 -1.0 1.5 4.0

N(0 1)

N(0 1)

Cou

nt

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Tipificación• Dada una variable de media μ y desviación típica σ, se denomina

valor tipificado Z, de una observación x, a la distancia (con signo) con respecto a la media, medido en desviaciones típicas, es decir

• En el caso de variable X normal, la interpretación es clara: Asigna a todo valor de N(μ, σ), un valor de N(0,1) que deja exactamente la misma probabilidad por debajo.

• Nos permite así comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes, para saber cuál de los dos es más extremo.

x

Z

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Ejemplo• Se quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas educativos

diferentes. Se asignará al que tenga mejor expediente académico.– El estudiante A tiene una calificación de 8 en un sistema donde la

calificación de los alumnos se comporta como N(6,1).– El estudiante B tiene una calificación de 80 en un sistema donde la

calificación de los alumnos se comporta como N(70,10).• Solución

– No podemos comparar directamente 8 puntos de A frente a los 80 de B, pero como ambas poblaciones se comportan de modo normal, podemos tipificar y observar las puntuaciones sobre una distribución de referencia N(0,1)

– Como ZB>ZA, podemos decir que el porcentaje de compañeros del mismo sistema de estudios que ha superado en calificación el estudiante B es mayor que el que ha superado A. Podríamos pensar en principio que B es mejor candidato para la beca.

16,310

7080

21

68

B

xz

xz

BBB

A

AAA

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Ejercicios:

Los ingresos mensuales de un profesor tienen una distribución aproximadamente normal con una media de $400.000 y una desviación estándar de $100.000.

Utilizando la fórmula:

x

Z

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¿Cuál es Ia probabilidad de que un ingreso mensual específico elegido aI azar esté entre $190.000 y $400.000?

Calculamos eI valor z para $190.000 utilizando Ia fórmula:

10.2000.100

000.210

000.100

000.400000.180

Z

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-2.10400.000190.000

El signo negativo en 2.10 indica que el área está a Ia izquierda de Ia media.

El área bajo Ia curva normal entre y xx que corresponde a un valor z de -2.10 es:

0.4821

|||

.4821

¿Qué porcentaje de los profesores recibe ingresos mensuales de $645.000 o más?

Para el área entre $645.000 y Ia media de $400.000:

Sólo el 0,71% de los profesores tienen ingresos mensuales de $645.000 o más.

45.2000.100

000.400000.645

Z