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Captulo 5

EL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA

CONTENIDO

1. Introduccin 962. Modelo de transformadores y lneas 973. Tipos de nodos 983.1 Clculo de la corriente 1003.2 Ecuaciones para el clculo de flujos en los enlaces 1014. Mtodos numricos para la solucin de sistemas de ecuaciones algebricas 1025. Mtodo de Gauss-Seidel 1055.1 Determinacin de la potencia reactiva en un nodo de voltaje controlado 1066. Mtodo de Newton-Raphson 1106.1 Elementos del Jacobiano 1147. Desacoplamiento de variables 1168. Mtodo desacoplado rpido 1189. Formulacin de corriente directa 12110. Soluciones ajustadas 12110.1 Taps de transformadores 12110.2 Intercambio entre lneas 12211. Anlisis de contingencias de sistemas lineales 12611.1 Modelo lineal de potencia real 12611.2 Mtodo de compensacin 12611.2.1 Contingencia de una lnea (planteamiento 1) 12711.2.2 Contingencia de una lnea (planteamiento 2) 12911.2.3 Contingencia de dos lneas 13111.2.4 Contingencia de dos lneas (planteamiento 3) 13411.2.5 Ejemplo 13712. Estudio de contingencias en sistemas de potencia 14112.1 Anlisis no-lineal de contingencias 141

El problema de flujos de potencia - JMRA

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OBJETIVO: Presentar el problema bsico para el estudio de estado estacionario de un sistemaelctrico de potencia. Se analizan diferentes formulaciones enfatizando sus propiedades msrelevantes. Se calcula la potencia compleja por una lnea de transmisin.Se introduce el concepto de sensitividad de una seal respecto a otra, y se ilustran algunasaplicaciones relacionadas a sistemas de potencia, como el problema de la regulacin de voltaje.Se introduce el concepto de dispositivos FACTS en el contexto del estado estacionario, y sedesarrolla la inclusin de un UPFC en el estudio.

1. Introduccin

El propsito de un sistema de potencia es el de transmitir la potencia que los consumidoresdemandan en cualquier tiempo, dentro de los lmites aceptables de voltaje y frecuencia, as comode manera segura y econmica.

El funcionamiento de los sistemas elctricos de potencia en la situacin normal de estado establesenoidal, trifsico balanceado, es de principal importancia para el ingeniero de sistemas depotencia. Dada una condicin especfica de carga es importante conocer los niveles de voltajeen cada nodo del sistema, la potencia transferida a travs de las lneas de transmisin, la quecircula por un transformador y la entregada por un generador, con el propsito de conocer en todomomento el posible nivel de sobrecarga.

En ste anlisis, el sistema es modelado por nodos interconectados con enlaces de transmisin.Generadores y cargas conectados en diversos nodos del sistema, introducen y consumen potencia;se asume que las potencias de carga son conocidas. El efecto de las variaciones actuales en laspotencias de carga en el tiempo, pueden ser estudiadas al considerar un nmero de casosdiferentes, todos en condiciones de estado estacionario.

Un estudio de flujos de potencia o flujos de carga es la solucin para una condicin de operacinesttica de un sistema de transmisin de energa elctrica. Para este estudio se supone un estadode operacin esttica (estable simtrico) del sistema, en el cual se considera que la frecuencia esquasi-estable. De dicho estudio puede obtenerse informacin relativa a:

a) voltajes y ngulos en los nodos;b) flujos de potencia activa y reactiva en las lneas de transmisin;c) determinacin de las prdidas en la red;d) efecto del cambio de topologa en la configuracin de las redes.

Asimismo, el estudio de flujos es bsico para realizar otros estudios en el anlisis del sistema depotencia.

En general, en un estudio de flujos existirn dos etapas de solucin:

1. Seleccin de un marco de referencia apropiado desde el punto de vista de la red.2. Planteamiento e implementacin de un mtodo numrico para la solucin de las ecuacionesplanteadas, que en este caso sern algebricas no-lineales.


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Fig. 1. Modelo del transformador con tap en posicin nominal

Entre las propiedades que se aprecian para los mtodos de solucin de estudios de flujos puedendestacarse:

a) rpida convergencia (especialmente para sistemas de grandes dimensiones)b) pocos requerimientos de memoriac) confiabilidad (especialmente para problemas de difcil convergencia)d) versatilidad (habilidad para manejar informacin convencional y especfica)e) simplicidad (no siempre es posible)

Para la formulacin analtica del estudio de flujos de potencia se considera una red trifsicabalanceada, y por ende, el sistema de transmisin puede representarse nicamente por su red desecuencia positiva.

nodalEs importante incluir en la formacin de la matriz de admitancia nodal Y la insercin decapacitores e inductores en derivacin, as como transformadores con relacin de vueltas fuerade la nominal, y los nuevos dispositivos FACTS.

Las contribuciones de potencia real y reactiva inyectadas en los n nodos de la red son (seconsidera potencia positiva a la que entra a un nodo, y negativa a la que sale de ste):

k k k k kS = P + j Q = V I (1)*

2. Modelo matemtico de transformadores y lneas de transmisin

NODALPara la construccin de la matriz de admitancia nodal Y es importante considerar el modelode transformadores y lneas de transmisin. El modelo del transformador para el anlisis de flujode potencia depende de la posicin en la que se encuentre su tap (posicin nominal o fuera deella). Para la posicin nominal el modelo se representa en la Figura 1.

ijdonde Y es la admitancia serie del transformador. Se debe entender que la admitancia es elinverso de la impedancia.

Cuando el tap del transformador se encuentra en una posicin distinta de la nominal, el valor dela admitancia serie es otro y aparecen dos derivaciones, uno en cada nodo; siendo su modelo elque se muestra en la Figura 2.


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Fig. 2. Modelo del transformador con tap fuera de posicin nominal

Fig. 3. Modelo de la lnea de transmisin

El nuevo valor de la admitancia serie se obtiene dividiendo el valor anterior entre la posicin deltap

(2)

se supone que el tap esta en el nodo i, entonces el valor de las derivaciones sern:

(3)

El modelo de la lnea de transmisin es el del circuito B equivalente de secuencia positiva, Figura3, en el cual se considera el efecto inductivo por la admitancia serie en el centro y en susextremos el efecto capacitivo que es determinado por la admitancia en derivacin

3. Tipos de nodos

La representacin esquemtica de la Fig. 4 permite introducir las diferentes variables que seasocian a los nodos de toda red elctrica. Las variables son agrupadas en dos categoras: variables independientes y variablesdependientes. Las primeras se manejan para controlar a las segundas. As, las variables se dividenen:

variables independientes0 0 1 1V , 2 , P , Q


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Fig. 4: variables por nodo

variables dependientes1 1 0 0V , 2 , P , Q

Bsicamente un estudio de flujos consiste en el clculo de las inyecciones de potencia y voltajeen los nodos o terminales de una red elctrica, bajo condiciones de operacin previamenteestablecidas. A cada uno de estos nodos se le asignan cuatro cantidades fsicas: potencia real,potencia reactiva, magnitud de voltaje y ngulo de fase.

En la solucin al problema de flujos se requiere especificar como datos, en cada nodo, dos de lascantidades sealadas, y al final del anlisis se obtendrn las otras dos cantidades que han quedadocomo incgnitas. En base a las dos cantidades que se especifican como datos en cada nodo delsistema, estos se han clasificado en tres tipos diferentes:

1. Compensador, slack u oscilante2. Nodo de voltaje controlado, generador o P-V3. Nodo de potencia activa y reactiva, de carga o P-Q.

Nodo compensadorEn este tipo de nodo se conocen las potencias real y reactiva de carga, las magnitudes de voltaje

s s s sy el ngulo de fase: V , 2 . Las incgnitas son: P y Q . Este nodo es el elegido como referenciaangular del sistema.El concepto de nodo oscilante proviene del hecho de que las prdidas I R no se conocen por2anticipado y por tanto, no es posible especificar, al inicio del anlisis, los valores de las potencias


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real y reactiva inyectadas en todos los nodos. Es usual elegir uno de los nodos de voltajecontrolado, generalmente aquel de mayor generacin, como el nodo oscilante.Dado que tambin es necesario contar con un fasor de referencia en el sistema, el ngulo de fasedel nodo slack se especifica comnmente con un valor de cero grados (0).

s s s sAs pues, en el nodo slack estn determinados V y 2 , y se calculan P y Q .

Nodo de voltaje controladogEn estos nodos, mediante los controles de los generadores se mantienen P y |V| en algunos

valores determinados.Analticamente,

p p gp lp pRe[ S ] = Re[V I ] = P - P = P (4)* esp esp esp

p gpdonde, P es la potencia real neta del nodo p; P es la potencia real de generacinesp esp

lpespecificada en el nodo p; P es la potencia real de carga especificada en el nodo p.espAdems,

(5)

p p pdonde |V | es la magnitud del voltaje en el nodo p; e y f son la parte real y reactiva del voltajeen el nodo p.

pComo resultado del estudio de flujos, en este nodo se determinarn la potencia reactiva Q y elpngulo de fase 2 .

Nodo de potencia activa y reactiva, de carga o P-QLa mayora de los nodos en un sistema de potencia pertenecen a esta categora, y son nodos en

lq lqlos que se conocen las potencias de carga real P y reactiva Q . Esto es,

q q q q qS = P + jQ = V I (6)esp esp esp *

q qComo resultado del estudio se determinarn |V | y 2 .

Lo ms comn es arrancar el estudio de flujos con un perfil plano de voltajes : 1 + j0. El estudioconcluye cuando se alcanzan ciertas tolerancias de convergencia, o que se llegue al nmero lmitede iteraciones establecido. Estos criterios suelen ser de dos tipos: 1) por voltaje; 2) por potencia.

p p v1) | V - V | # C (0.001 - 0.00001)k+1 k

p p p2) | P - P | # C (para nodos PV y PQ)esp calc

p p q | Q - Q | # C (para nodos PQ)esp calc

estas tolerancias se calculan en base a las expresiones:

p p p p p p p pS - S = S - V I = P + jQ - V (7)esp calc esp * esp esp


101

Fig. 5: clculo del flujo en la lnea

3.1 Clculo de la corrienteSe considera que la corriente es positiva si est fluyendo hacia el nodo, y negativa si sale delnodo. De la expresin bsica de potencia neta nodal se puede escribir,

p p p p pS = V I = P + jQ ,*

(8)

Para el caso de que existan elementos en derivacin en el p-simo nodo, la correccin resulta

(9)

3.2 Ecuaciones para el clculo de flujos y potencia en el nodo de referencia

Primeramente consideremos el caso del flujo de potencia en la lnea de transmisin, Fig. 5.

Una vez que se ha logrado la convergencia,


102

(10-12)

pq qpLas prdidas en las lneas se calculan evaluando: S + S

La potencia en el nodo de referencia o slack se puede calcular como la suma de los flujos en laslneas que inciden a l.

4. Mtodos numricos para la solucin del sistema de ecuaciones algebricas no-lineales

La formulacin analtica del problema de flujos de carga representa un conjunto de ecuacionesno-lineales, por lo que para su solucin es comn el empleo de un algoritmo iterativo que permitalinealizar sucesivamente las ecuaciones involucradas.

a) Mtodo de Gauss-SeidelLa idea conceptual de este algoritmo iterativo es obtener una expresin general que permita,partiendo de un valor o valores estimados en una iteracin k, evaluar el nuevo valor o conjuntode valores aproximados en la siguiente iteracin k+1. Por ejemplo,

(13)

de la primera ecuacin se calcula

(14)

La variacin incremental permite justificar la convergencia:i i i)x = x - xk+1 k

i i i| )x | = | x - x | # 0 (15)k+1 k

Ejemplo. Suponga que se quisiera encontrar iterativamente las races de la siguiente ecuacin no-


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lineal por el mtodo de Gauss-Seidel

f(x) = x - 6x + 8 = 02

1 2(las races son x = 2, x = 4)

tenemos dos opciones para despejar la variable x:

f(x) = 0x - F(x) = 0

a, b o c representan puntos de arranque, Figura 6.

Fig. 6.Grficos de

convergencia en el mtodo de Gauss-Seidel

Para ejemplificar en el primer caso (izquierda):C arranquemos en el punto a = x = 0.50


104

C si se elige el punto b = x = 3.50

C si se elige el punto c = x = 4.50

As, en el mtodo de Gauss-Seidel, el nmero de iteraciones requerido para lograr convergenciadepende enormemente del valor inicialmente supuesto al comenzar el proceso iterativo. En el

1ejemplo, arrancando en el punto a se requieren menos iteraciones para llegar a x = 2 quearrancando en el punto b. Similarmente, comenzando en c el proceso seguramente diverge.

La experiencia en el manejo de este mtodo de solucin sugiere que puede uno acelerar elproceso de convergencia alterando ligeramente la correccin de los nuevos valores:

i i ix = x + )x (originalmente)k+1 k

i i ix = x + " )x (aceleracin: 1 < " < 2)k+1 k


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5. Mtodo de Gauss-Seidel aplicado al problema de flujos

Este mtodo realmente no tiene una aplicacin prctica, pero sirve para ilustrar algunosconceptos tiles en todo problema de flujos. Se puede emplear en estudios de sistemas elctricosde potencia de pequea escala. Asimismo, puede emplearse para dar un punto de arranque a unprograma basado en el mtodo de Newton, por ejemplo.

Normalmente arrancamos con un perfil plano de voltaje: 1 + j0

En el nodo compensador se especifica el voltaje desde un principio, y este valor permanceconstante durante todo el proceso iterativo.

(16)

Tambin:

(17)

As que

(18)

Si definimos

(19)

podemos utilizar estas definiciones en (18)

As que las ecuaciones del voltaje para los nodos pueden escribirse como el conjunto:


106

(20)

Note que no existe ninguna iteracin definida para la ecuacin correspondiente al nodo desreferencia, puesto que su voltaje V es conocido.

r slack (21)

la convergencia se puede checar mediante

r r v| V - V | # C , r slack (22)k+1 k

Para acelerar la convergencia, tpicamente podemos usar la siguiente correccin:

r r rV = V + " )V , 1.4 < " < 1.7 (23)k+1 k k+1

5.1 Determinacin de la potencia reactiva en un nodo de voltaje controlado, P-V

rLa magnitud de voltaje en el nodo r (tipo P-V) debe mantenerse en un valor establecido |V |,espy para lograrlo, se requiere inyectar potencia reactiva al nodo sin rebasar los lmites permisibles

r ro de seguridad del generador y equipo conectado en r (Q , Q ). Por lo tanto, la potenciamax min

rreactiva calculada en cada iteracin (Q ) debe variar dentro de estos lmites para que el nodocalc

r rP-V pueda conservarse como tal. Este valor calculado sustituye a Q en la ecuacin KL del nodo,ry una vez hecho esto, pueda procederse a obtener una nueva estimacin de voltaje. As, KL en

run nodo P-V no puede evaluarse sino hasta que se conoce Q en cada iteracin.calc

(24)

r rUna vez determinado el valor de Q ser posible obtener una nueva estimacin de voltaje V .calc k+1

r r r rSi se sobrepasa alguno de los lmites: Q > Q o Q < Q , entonces debe hacerse uncalc max calc min

r r r rajuste y tomar Q = Q o Q = Q , respectivamente. En ambos casos, el nodo ya no puedecalc max calc min

rmantener su voltaje constante en |V |, y su valor ser ahora el obtenido correspondiente al fijarespla magnitud de potencia reactiva. As, un nodo P-V se convierte en un nodo de carga P-Q. Si en

runa iteracin posterior Q vuelve a entrar dentro de los lmites permisibles de potencia reactiva,calcentonces el nodo volver a comportarse como un nodo P-V.


107

Fig. 7. Sistema en estudio

Ejemplo 1 Realizar el estudio de flujos del sistema mostrado en la Figura 7.

nodalLa matriz Y que resulta es,

Se tiene la siguiente informacin nodal,1 g1 g1 g1 g1S = (P + jQ ) - (1.15+j0.31) = P - 1.15 + j(Q - 0.31) pu2S = -0.45 -j0.20

1|V | = 1.05

En este caso n = 2, y uno de los nodos es el slack, por lo tanto

Para arrancar supongamos 2 2 2|V | = 0.95 pu , 2 = -13.5 Y V = 0.95 p -13.50 0 0

Por lo tanto,

2V = 0.9020 p -12.68 pu(1)

2V = 0.8972 p -13.62 pu(2)

para converger con una tolerancia 0 = 10 se requieren 7 iteraciones:-4

2V = 0.89103 p -13.644 pufinal

El flujo de potencia en las lneas resulta entonces


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Fig. 8. Distribucin de flujos

Fig. 9. Insercin de un capacitor

Para el nodo generador (slack) tenemos,

g1P = 0.4737 + 1.15 = 1.6237 pu MWg1Q = 0.2260 + 0.31 = 0.5360 pu MVAR

Ejemplo 2. Realizar un estudio de flujos para el mismo sistema anterior, incluyendo un capacitorque aporta potencia reactiva en el nodo nmero 2, tratando de mantener la magnitud del voltajede este nodo en 1.0, Figura 9.

g1 g1 2 2En este caso nuestras incgnitas son : P , Q , Q , y 22 g2La potencia reactiva neta del nodo nmero 2 es ahora: Q = Q - 0.2

2Ahora la magnitud del voltaje |V | = 1.0 pu, as que la nica ecuacin ser


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Para el clculo de la potencia reactiva del nodo 2 utilizamos,

2 2Comenzando con V = 1.0 p-10 pu Y Q = -0.07216 pu, los nuevos valores son0

2 2V = 0.9926 p-12.9953 pu Y Q = -0.03522 pu1 1

2 2V = 1.00083 p-12.967 pu Y Q = -0.035596 pu2 1

2 2V = 1.000001 p-12.9668 pu Y Q = -0.035598 pu3 3

2 2Y | V - V | = 0.0000823 2

Por lo tanto,1V = 1.05 p0

2V = 1.0 p-12.9669

2 g2 2 d2Q = -0.03560 pu Y Q = Q + Q = 0.1644

g1 g1P = 1.6170 pu, Q = 0.3171 pu

Los flujos de potencia son:12S = 0.46706 + j0.00713 pu21S = -0.045 - j0.0356 pu

Las prdidas de potencia real:

12 21P + P = 0.01706 pu


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Mecnica del mtodo de Newton

6. Mtodo de Newton-Raphson

Este es uno de los mtodos que mejor han funcionado para los estudios de flujos de potencia, yest basado en la expasin en serie de Taylor de una funcin contnua y diferenciable

f(x) = 0 (25)

Nos interesa conocer los valores de x que satisfacen esa expresin. Normalmente no conocemosde antemano esa respuesta, pero podemos suponer una aproximacin x , de tal forma que0tenemos un error en la suposicin de tal forma que

f(x ) + )x = 0 (26)0 0

Una manera de estimar el valor de nuestra equivocacin es utilizando una expansin en serie deTaylor de f(x):

asumiendo que el error es relativamente pequeo,

(27)

que es una aproximacin al valor del error. Si este valor lo utilizamos para tener un nuevo valorcorregido,

(28)


111

En el caso n-dimensional:

(29)

Que en forma matricial puede expresarse como,

(30)

En forma compacta,

En forma general,

(31)

Cuando aplicamos estos conceptos al problema de flujos de potencia, suponiendo inicialmenteque todos lo nodos, excepto el nodo nmero 1 son de tipo carga, las incgnitas son por tanto

iV , as que tenemos

Expandiendo en serie de Taylor las potencias activa y reactiva,


112

En forma matricial

(32)

En general

(33)

Ejemplo 3. repitamos el ejercicio 1 (sin capacitor) utilizando el algoritmo de Newton-Raphson,

2 2 1P = -0.45, Q = -0.20, | V | = 1.05 (referencia angular)

Para el nodo nmero 2,

Para este problema de un nodo referencia y un nodo de carga, el problema se plantea como

con


113

Arrancando en

Asimismo,

La primera correccin resulta

Con este nuevo punto se reinicia el ciclo:

Finalmente entonces2V = 0.89103 p-13.6448 pu

Ejemplo 4. repitamos el ejercicio 2 (que incluye un capacitor en el nodo nmero 2) utilizando el


114

algoritmo de Newton-Raphson.

iEn los nodos de voltaje controlado )|V | = 0. El jacobiano se reduce en una dimensin por cadauno de este tipo de nodos, y deber calcularse la generacin reactiva correspondiente.

Para el ejemplo,1 2|V | = 1.05 , |V | = 1.0

D2 D2P = 0.45 , Q = 0.20

El jacobiano es de una sola dimensin,

2 2Si V = 1.0 p-10 , Y 2 = -10 = -0.1745 rad0 0

2 G2 D2Q = Q - Q

= 0.2 + 1.9044*1.05*1.0*sen(-109.19) + 1.8416*1.0*1.0*sen(80.485) = 0.127836 pu

2pf = 1.9044*1.05*1.0*cos(109.19) + 1.8416*1.0*1.0*cos(-80.485) = -0.353138 pu0

2 2p)P = -0.45 - f = -0.096862 pu0 0

J = -1.9044*1.05*1.0*sen(-109.1978) = 1.8884620

2)x = )2 = 0.529532*(-0.096862) = -0.051291 rad0 0

2x = 2 = -0.174533 - 0.051291 = -0.225824 rad1 1

Y dos iteraciones mas:22 = -0.226314 rad3

G2Q = 0.164401 pu3

6.1 Elementos del JacobianoPara un problema general se requerirn las siguientes 8 derivadas parciales (verifique),


115

(34a)

(34b)


116

7. Desacoplamiento de variables

En la mayora de las publicaciones sobre el problema de flujos de potencia se habla de ladependencia que hay entre la potencia activa con el ngulo de fase (P-2) y la potencia reactivacon la magnitud del voltaje (Q-|V|) para ciertas caractersticas de las lneas. Aqu se tratar dejustificar estas relaciones y determinar qu factores son los que ms afectan el desacoplamiento.

Ya sabemos que el flujo de potencia en la lnea tiene la expresin

(35)

i j i jdonde 2 , 2 son las fases de los voltajes nodales V , V . Arreglando la ecuacin anterior resulta

Separando la parte real e imaginaria de la expresin anterior,

(36-37)

Utilizando las siguientes definiciones a componentes de admitancias,

los flujos se pueden reescribir

(38-39)

ij ijDe aqu es fcil obtener coeficientes de sensitividad de los flujos P y Q respecto al ngulo deifase 2 :

(40-41)

ij ij iEstas expresiones son pues las variaciones de los flujos P y Q respecto al ngulo de fase 2cuando las dems variables independientes permanecen constantes.

ij ij iSimilarmente, los coeficientes de sensitividad de P y Q respecto a V se calculan como


117

(42-43)

Los ndices de desacoplamiento se definen como

(44-45)

que en forma desarrollada resultan

1El ndice I mide el impacto relativo que tiene la magnitud de voltaje y el ngulo de fase sobre2la potencia activa. El ndice I mide la importancia relativa que tiene el ngulo de fase y la

magnitud del voltaje en la potencia reactiva. Si se aprovecha la relacin

1I queda expresada de la siguiente manera

En caso de tener la lnea operando con una carga moderada (diferencia angular pequea) y1voltajes unitarios, el ndice I se aproxima a

(46)

1 Si | I | < 1 significa que la potencia real depende ms del ngulo de fase.

2Por otra parte I puede expresarse mediante


118

Bajo la suposicin de operar la lnea con diferencia angular pequea y voltajes unitarios, el2ndece I se aproxima a

(47)

2 Si | I | < 1 significa que la potencia reactiva es ms sensible a la magnitud del voltaje.

Estos resultados confirman lo reportado en la literatura. Esto es, que el desacoplamiento (P-2),(Q-V) depende de los parmetros de las lneas. Sin embargo, debe tenerse presente que estosresultados fueron derivados bajo la suposicin de diferencia de ngulos pequea. Se puedemostrar que a medida que la carga de la lnea aumenta el grado de desacoplamiento disminuye.

8. Mtodo desacoplado rpido

Este mtodo es una integracin de ideas que combina muchas de las ventajas de mtodos conbuen desempeo. El algoritmo es simple, rpido y tan confiable como el mtodo de Newton-Raphson, y requiere de bajo almacenamiento para las soluciones. Una solucin dentro de undesajuste mximo de 0.01 MW / MVAR es obtenido normalmente de 4 a 7 iteraciones, cadaiteracin viene a ser en velocidad a 1.5 veces las iteraciones de Gauss-Seidel una quinta partede una iteracin de Newton-Raphson.

El mtodo desacoplado rpido est basado en la fuerte relacin que en sistemas elctricos sepresenta entre: 1) la potencia real y los ngulos de fase; 2) la potencia reactiva y la magnitud delos voltajes nodales.

De acuerdo al mtodo de Newton-Raphson podramos escribir

km km kmDadas las dependencias que se mencionan se propone el desacoplamiento (Y = G + jB ),


119

(48-49)

Las ecuaciones (48-49) se pueden resolver en forma alternada, las submatrices [H] y [L] sernevaluadas y triangularizadas en cada iteracin.

kmAdicionalmente, se sabe que en lneas de alta tensin la relacin x/r >> 1, lo cual indica que Gkm


120

i iP + Q es la potencia compleja neta inyectada al nodo i.N N

CAL i CAL iP + Q es la potencia compleja calculada en el nodo i.i i k k2 , V , 2 , V es el ngulo y magnitud del voltaje en el nodo i y k.ik ik( , Y es el ngulo y magnitud de la admitancia conectada entre los nodos i y k.

)2, )V correcciones en el ngulo y magnitud del voltaje.i,k significa que el nodo i est conectado al nodo k, incluyendo el caso i=k.

P Q NODALLas matrices [B ] y [B ] se forman por el negativo de la parte imaginaria de la matrz Y , porPlo cual ambas son reales, simtricas y dispersas. Una de las atracciones de las matrices [B ] y

Q[B ] es que contienen entradas que son constantes, por lo que necesitan ser triangulizadas unasola vez al inicio del estudio de flujos de potencia, con lo cual las ecuaciones (50)-(51) quedan:

(52)

(53)

donde:[L' ], [L'' ] son matrices triangulares inferiores.[U' ], [U'' ] son matrices triangulares superiores.[)P/V], [)2], [)Q/V], [)V] son vectores.

La atraccin inmediata de las ecuaciones (C)-(D) es que permite soluciones rpidas para [)2]y [)V] por el mtodo de sustitucin progresiva y regresiva, el cual se ejemplifica a continuacin:

donde se encontrar el valor del vector [X], ya que se conoce la matrz [L' ] y el vector [)P/V];sta es la sustitucin progresiva, posteriormente se hace la sustitucin regresiva,

con la cual se obtiene el vector [)2]. El error en el ngulo para propsitos de convergencia seobtiene del mayor valor absoluto del vector [)2].

La correccin para los ngulos [2] se calcula mediante


121

CAL iDe la misma manera se procede con la ecuacin (D), pero al calcular Q se toma el vector denuevongulos nuevos [2 ]; con lo cual se acelera la convergencia.

9. Formulacin de corriente directa

Esta es una tcnica vlida en redes de voltajes elevados donde las suposiciones que se hacentienen un grado importante de verdad. Primero, que la resistencia de las lneas presentan valoresmuy por debajo que las reactancias, esto es, r


122

Fig. 11 Tap en el lado de alta y baja

contnuamente el valor de la modificacin que debiera experimentar la posicin del tap paraajustar el voltaje deseado. Esto es, si como resultado de estos clculos se determina que el tapdebe experimentar un cambio que fsicamente el cambiador no est diseado para lograr,entonces el voltaje deseado tendra que ajustarse a esta limitante fsica del equipo.

Es decir, estrictamente sera importante calcular la nueva posicin del tap en cada iteracinutilizando el concepto incremental

En general, podramos utilizar la relacin

Para el caso (a) de la Figura 11 podemos calcular

Para el caso (b) de la Figura se tiene

As que podra resumirse que(53)

siendo " una constante deproporcionalidad.La expresin (53) nos indica lavariacin que tendra que experimentarel cambiador de tap para lograr elvoltaje especificado. Si este cambiosale del rango de control ( 0.20 pu)del cambiador significa que fsicamenteno puede lograrse mantener el voltaje

rdeseado o especificado, y habra que limitar )t al lmite superior o inferior segn corresponda.

10.2 Intercambio entre lneas

Consideremos una aproximacin al problema de tratar de mantener un cierto nivel especificadodel flujo de la potencia activa en algunas lneas. Esto es un problema comn cuando existendiferentes compaas interconectadas y unas les compran a otras energa, por lo que se tratar demantener fijos los flujos de potencia activa contratados.


123

Fig. 12. Intercambio de potencia activa de A hacia B

Fig. 13. Flujo en lneas

Intercambio neto de potenciaA Bactiva: P . Asimismo,e s p

despreciando las prdidas seAB BAcumple : P + P = 0. Esto

significa que para un reacualquiera la suma de intercambiosnetos debe ser cero.

As que lo que deseamos esestimar los niveles de generacin

que fuercen a que se satisfaga que los flujos de potencia real calculados y especificados seanAB ABiguales P = P .calc esp

Inicialmente pueden utilizarse correcciones del tipo (por ejemplo para los generadores de A)

(54)

En esta primera aproximacin del problema consideramos que si se desea variar el intercambiode potencia entre reas, se modifica la generacin en las reas donde no se localiza el nodocompensador, ya que ste es capaz de absorber cualquier cambio en la generacin manteniendoficticiamente el nivel de intercambios deseados.

Supongamos por ejemplo que para un sistemacomo el que se ilustra, se desea que el rea Dvenda 100 MW al rea C, entonces laspotencias netas seran del tipo

N BDP = -P D

N AB ACP = P + PA

N BD ABP = P - PB

N ACP = -PC

Se han propuesto esquemas de correccin de la potencia generada en base a los errores de losintercambios considerando el paso actual y el anterior:

(55)

En las ecuaciones como (54)-(55) nos gustara estimar la manera en la que se modifica el flujoen una lnea, al modificar la potencia generada en un nodo. Para realizar tal estimacin podemos


124

hacer uso de la formulacin en corriente directa,

Cuando slo cambia la potencia del i-simo nodotenemos

As por ejemplo el cambio angular en los nodos r y s debido al cambio en la potencia activa deli-simo nodo resulta

Esto es, puede definirse una sensitividad que permita estimar el cambio que el flujo de potenciaactiva experimenta en la lnea r-s ante un cambio en la potencia inyectada al i-simo nodo:

Si se consideran cambios simultneos en las potencias inyectadas de los n nodos,

As que el flujo de potencia activa en la lnea r-s experimenta un cambio dado por

La solucin al problema del intercambio de potencia tiene varias vertientes. Desde el punto devista ms conservador, que utiliza la solucin de flujos de carga puede mencionarse lo siguiente.Ya que en el problema de flujos las potencias inyectadas estn fijas, con la informacin que seextrae de las expresiones anteriores uno puede percatarse de las unidades que mayormenteimpactan al flujo de una lnea y actuar en consecuencia. Es decir, si despues de la corrida de


125

flujos se encuentra que el flujo deseado por una lnea no es igual al especificado, podraintentarse modificar las inyecciones para lograrlo. Con las ecuaciones anteriores sabramos culesson las unidades que mayormente impactan en el flujo deseado.

Una vertiente ms avanzada sera tratar del resolver el problema de flujos pero dinmicos. Esdecir, permitir que las inyecciones de potencia puedan cambiar de iteracin a iteracin, lo cualcomplica la solucin pero se resolvera el problema de intercambio de potencia de una formaintegral.

El problema de flujos de potencia

126

11. ANALISIS DE CONTINGENCIAS DE SISTEMAS LINEALES

El objetivo de esta seccin es presentar algunos mtodos para simular contingencias en sistemaslineales.Los algoritmos que se utilizan en el anlisis de contingencias se pueden dividir en dos grandesgrupos:

i) Mtodo de compensacinii) Mtodo de modificacin de datos

El mtodo de compensacin se basa en el principio de superposicin, por medio del cual sepueden hacer simulaciones de salidas o adiciones de lneas por medio de inyecciones en elsistema y no es necesario sacar o adicionar las lneas. En este mtodo se calcula la inyeccinnecesaria para que los flujos en las lneas sean los que se obtendran despus de sacar o adicionaruna lnea. Adems no es necesario modificar la matriz de admitancia lo cual es una gran ventajadesde el punto de vista computacional.

En el mtodo de modificacin de datos, las lneas se eliminan o se adicionan al sistema para cadasimulacin de contingencias. Esto trae como consecuencia la necesidad de modificar la matrizde admitancia en cada caso.

11.1 Modelo lineal de potencia real En este modelo, para plantear la ecuacin de flujo de potencia real entre dos nodos se hacen lassiguientes consideraciones:i) las magnitudes de voltajes son igual a 1 pu;ii) se desprecian las resistencias de transformadores y lneas;iii) la diferencia angular entre dos nodos conectados mediante lneas o transformadores espequea.

Con esta base, el flujo entre los nodos i-j est dado por:

(56)

Suponiendo que el i-simo nodo est conectado nicamente a los nodos j y k la ec. de potenciareal para el i-simo nodo est dada por

(57)

En el caso multinodos la ec. (57) tiene la representacin matricial siguiente[ P ] = [ Y ][ 2 ] (58)

Donde P 0 que representa las potencias reales en los nodos; Y 0 que representa lanx1 nxnmatriz de admitancias; 2 0 representa los ngulos de fase nodales.nx1

11.2 Mtodo de compensacinSe considerarn tres planteamientos para la simulacin de salidas de lneas.


127

Fig. 14. Salida de lnea

11.2.1 Contingencia de una lnea (planteamiento 1)Por el momento se ilustrar el mtodo para el caso particular en que sale una lnea. Suponiendoque una lnea conectada entre los nodos i-j sale de operacin, los flujos en otras lneas se vern

xijafectados. El efecto se puede simular mediante una inyeccin que entra al i-simo nodo, P ,misma que sale por el j-simo nodo.

ijEn la Fig. 14 x es la reactancia de la lnea queeqsale de operacin; x es la reactancia equivalente

vista desde los nodos i-j.Para efectuar la simulacin de la salida de la lneael flujo en sta debe ser cero. Debe notarse que la

ij ijcombinacin en paralelo de x con -x da lugar auna reactancia infinita, y con esto se representa lasalida de la lnea.

s eqSe llamar x a la combinacin en paralelo de xijcon -x .

xijAhora analicemos qu proporcin de P hay enxij s ijcada rama. A la porcin de P a travs de x y x

s yijse llamarn P y P , respectivamente. De maneraque

xij s yijP = P + P (59)Tomando en cuenta que la diferencia angular entrelos nodos i-j es independiente de la rama que seconsidere, se puede plantear la ec siguiente:

s s yij ijP x = P x (60)yijDespejando P de (60) y sustituyendo en (59),

(61)

s ij s ijPara simular la salida de la lnea el flujo P debe ser igual a P . Sustituyendo P por P , yxijdespejando P de (61)

(62)

s eq ijSe ha establecido que x es la combinacin en paralelo de x con -x , de manera que la ec. (62)puede expresarse de la manera siguiente:

(63)

Esta ec. se puede simplificar de la siguiente forma

(64)


128

ij ijDebe observarse que -P x es la diferencia angular antes de la simulacin de la salida de la lneaentre los nodos i-j con signo negativo, de manera que (64) tambin puede expresarse como

(65)

eqx se obtiene de la diferencia angular producida por inyecciones de potencia iguales y de signocontrario en los nodos i-j. Para este clculo se requiere la solucin del sistema lineal siguiente,

[ 2 ] = [ X ] [ P ] (66)

donde [ X ] es la matriz de reactancias.

i jDado el objetivo que se persigue es necesario calcular nicamente las expresiones para 2 y 2 ,la representacin siguiente ayuda a ilustrar los clculos,

(67)

i ii 0 ij 02 = X P - X P (68)j ji 0 ji 02 = X P - X P (69)

eqde manera que x se obtiene mediante

(70)

como la matriz de reactancia es simtrica, entoncesij jiX = X

por lo tantoeq ii jj ijx = X + X - 2X

y entonces (65) se reescribe como

(71)

A continuacin se indican los pasos a seguir para hacer la simulacin de la contingencia.

1. Resolver la ec. matricial [ P ] = [ Y ][ 2 ] para encontrar el vector columna 2 que se utilizar0 0 0

xijen el clculo de P .eq ii jj ij xij2. Calcular x = X + X - 2X , que tambin se utiliza en el clculo de P .xij3. Calcular P . Como en (71).

xij xij4. Para simular la salida de la lnea se utilizarn las inyecciones P y -P , esto trae comoconsecuencia un incremento de ngulos en los nodos ()2) que se calculan resolviendo lasiguiente ec matricial


129

(72)

Utilizando el principio de superposicin, se calculan los flujos despus de la salida de la lneacon el vector columna 2 + )2.0

11.2.2 Contingencia de una lnea (planteamiento 2)

Se considera un sistema lineal representado por la ec matricial siguiente[ P ] = [ Y ][ 2 ] (73)0 0

de la cual se obtiene la solucin inicial.

Para encontrar el vector columna de incrementos de ngulos debido a las inyeccionescompensadoras se plantea la siguiente ecuacin:

(74)

cuya solucin se expresa como

(75)

El vector columna de ngulos nodales finales despus de la salida de la lnea ser representadopor 2 y resulta1

[ 2 ] = [ 2 ] + [ )2 ] (76)1 0o bien


130

Fig. 15 Equivalente

Fig. 16. Salida

(77)

ijDefinamos el vector e con 1 y -1 en la i-sima y j-sima posicin respectivamente,

ije = [0 ... 0 1 0 ... 0 -1 0 ... 0]T

Se considera que sale o se conecta una lnea entre los nodos i-j, y se conocen los ngulos inicialesi jen ellos 2 y 2 , respectivamente.0 0

Para obtener la respuesta del sistema despus delcambio se utiliza el circuito equivalente de Thevenin,Fig. 15. La diferencia angular del circuito abierto es

i j(2 - 2 ) que es la diferencia angular entre los nodos0 0

eqi-j antes del cambio, y Z es la impedanciaequivalente vista desde i - j.

El cambio en la red se simula insertando laimpedancia requerida entre los nodos i-j. Si serequiere simular la salida de una lnea entre los nodos

iji-j se deber insertar la reactancia -x , Fig. 16.

xijDe manera que la inyeccin compensadora P sepuede calcular de la ec.

Finalmente el clculo de los ngulos finales seracomo enseguida se indica. En el ltimo rengln seimpone la condicin de que la suma de los ngulosen la malla de la Fig. 16 anterior debe ser cero.

(78)


131

Fig. 17a. Nodos i-j

Los trminos que componen el ltimo rengln de (78) son

i j i j ij ij xij0 = [(ren - ren ) de Y ] P + [(ren - ren ) de Y e - x ] P (79)-1 0 -1

Se puede observar que el primer trmino es la diferencia de los ngulos antes de la salida de lalnea i-j. De manera que la ec (79) tambin se puede expresar mediante

(80)De la ec (80) otra vez

(81)

xijYa conocida la inyeccin P obtenida a partir del ltimo rengln de (78), se utiliza este valorpara obtener el vector columna de ngulos finales 2 , que resultan de la salida de la lnea i-j.1Naturalmente despus de la simulacin de la salida de la lnea, se calculan los flujos de potenciaactiva utilizando los ngulos finales.

11.2.3 Contingencia de dos lneas

El sistema lineal se representa por la ec matricial siguiente[ P ] = [ Y ][ 2 ] (82)0 0

Ahora es necesario considerar cuatro inyecciones compensadoras que contribuyan a la simulacinde la salida de las dos lneas: dos para la salida de la lnea conectada entre los nodos i-j, y otrasdos para la salida de la lnea conectada entre los nodos k-l.


132

Fig. 17b. Nodos k-l

Con objeto de determinar el vector columna de incrementos de ngulos debido a las inyeccionescompensadoras se debe plantear la siguiente ec matricial:

(83)

y la solucin se puede expresar como se indica,

(84)

Despus de calcular el vector de incrementos de ngulos debido a la salida de las dos lneas sepuede calcular el vector de ngulos finales:

(85)

ij klSimilarmente a la definicin de e , se le llamar e al vector que tiene 1 en la k-sima posicin,-1 en la l-sima posicin, y cero en todas las posiciones restantes.

Usemos Thevenin para calcular la respuesta del sistema a estos cambios, Fig. 18.


133

Fig. 18. Equivalente mltiple

Fig. 19. Equivalentes

Se considera que las soluciones inicialesi j ken los nodos i, j, k y l son 2 , 2 , 2 y0 0 0

l2 , respectivamente.0Ya que ahora existen varias inyeccionesen la red, y cada una de ellas influye enlos ngulos de todos los nodos delsistema, debe resolverse el siguienteconjunto de ecuaciones simultneas:

...(86)

1 2 idonde a y a son los cambios en -(2 -0

j k l xkl xij2 ) y -(2 - 2 ) debidos a un cambio unitario en P y P respectivamente, Fig. 19.0 0 0

1 2Las constantes a y a son calculadas de la siguiente manera: si la inyeccin en el i-simo nodotiene un valor de 1 pu, y -1 pu en el j-simo nodo, los ngulos en los k y l con respecto a estasinyecciones sern

k ki kj l li lj2 = X - X 2 = X - X (87)k l xijAqu el cambio en la diferencia angular -(2 - 2 ) debido a un cambio unitario en P est dado

por

(88)

y similarmente

(89)

A continuacin se plantea una ec matricial en la que aparece el clculo de ngulos finales, y enlos dos ltimos renglones se expresa la condicin de que la suma de ngulos en las mallas esigual a cero.


134

...(90)

Enseguida se da la interpretacin de los trminos que componen los dos ltimos renglones de(90). El penltimo rengln indica

(91)El primer trmino representa la diferencia de los ngulos i-j antes de la salida de las dos lneas.Por esta razn (91) puede escribirse

...(92)

En el primer parntesis rectangular de (92) se nota el equivalenteeqij ij ii jj ij ij(X - x ) = (X + X - 2X - x ) (93)

eqijde manera que el segundo trmino de la ec (91) representa una cada de ngulo a travs de Xij xijy x debido a la inyeccin P .

i jAsimismo, el tercer trmino de la ec (91) representa el cambio en -(2 - 2 ) debido a la inyeccinxklP .

Respecto al ltimo rengln de la ec. (90) se puede expresar de la manera siguiente

...(94)

El primer trmino representa la diferencia de los ngulos en los nodos k-l antes de la salida delas dos lneas. De manera que (94) puede reescribirse,

(95)


135

k l xijEl segundo trmino representa el cambio en -(2 - 2 ) debido a la inyeccin P .eqkl kl xklEl tercer trmino significa una cada de ngulo a travs de X y -x debido a la inyeccin P ,

dondeeqkl kk ll klX = X + X - 2X

Enseguida se resumen las etapas a seguir para realizar la simulacin de la contingencia doble.

1. Con objeto de calcular 2 , resolver la ec matricial0[ P ] = [ Y ][ 2 ] (96)0 0

que es la representacin del sistema antes de la simulacin de la contingencia.

2. Calculareqij ii jj ijX = X + X - 2Xeqkl kk ll klX = X + X - 2X

xij xkl3. Resolver simultneamente las ecs (92),(95) con objeto de calcular P y P

4. Calcular el incremento de ngulos )2 provocado por la salida de las dos lneas para lo cualxij xklse sustituyen P y P en la ec (84), que se repite por comodidad.

5. Se calcula el vector de ngulos finales mediante[ 2 ] = [ 2 ]+ [ )2 ] (97)1 0

11.2.4 Contingencia de dos lneas (planteamiento 3)

La diferencia principal entre este planteamiento y el planteamiento 2 es que no se requiereresolver ecuaciones simultneas. Por otra parte no se considera por separado la simulacin de lasalida de una lnea.

Nuevamente se considera un sistema lineal representado por la ec matricial:[ P ] = [ Y ][ 2 ] (98)0 0

Se consideran 4 inyecciones compensadoras que juegan un papel muy importante en lasimulacin de la salida de las dos lneas, dos para la salida de la lnea conectada entre i-j, y otrasdos para la salida de la lnea conectada entre los nodos k-l.En general, para simular la salida de la lnea conectada entre los nodos i-j se requiere la ecmatricial


136

(99)

esto es,[ 2 ] = [ 2 ]+ [ )2 ]1 0

2 xij[ 2 ] = Y P + Z P1 -1 0

xijDe la segunda ec de (99) puede despejarse P , de modo que2 4 2[ 2 ] = Y P - Z Z Z P (100)1 -1 0 -1 T 0

o bien2 4 2[ 2 ] = ( Y - Z Z Z ) P (101)1 -1 -1 T 0

Esta expresin permite el clculo de los ngulos finales cuando sale la lnea i-j. La matriz deadmitancia nueva, es decir, no incluye la lnea conectada entre los nodos i-j es

2 4 2Y = Y - Z Z Z (102)n-1 -1 -1 T

2Para simular la segunda contingencia se requiere una Z nueva que se representa por

(103)

Para simular la segunda contingencia se plantea una ec similar a la (99):

(104)

de manera que2 xkl[ 2 ] = Y P + Z P2 n-1 0 n

2 4 2[ 2 ] = Y P - Z Z Z P (105)2 n-1 0 n n-1 nT 0

o bien2 4 2 2 4 2[ 2 ] = ( Y - Z Z Z ) P - Z Z Z P (106)2 -1 -1 T 0 n n-1 nT 0

[ 2 ] = [ 2 ] + [ )2 ] + [)2 ] (107)2 0 1 2


137

Fig. 20. Caso de ejemplo

donde2 4 2[ )2 ] = -Z Z Z P (108)1 -1 T 0

2 4 2[)2 ] = - Z Z Z P (109)2 n n-1 nT 0

A continuacin se indican los pasos a seguir para llevar a cabo la simulacin de la contingenciadoble.

Primera contingencia

21. a) calcular Z mediante2 ijZ = Y e-1

4 ii jj ij ijb) calcular Z = X + X -2X -x4c) calcular Z -1

2d) calcular Z T

2. Calcular [ 2 ] mediante1

2 4 2[ 2 ] = [ 2 ] - Z Z Z P1 0 -1 T 0

23. a) calcular Z medianten

2 klZ = Y en n-1donde

2 4 2Y = Y - Z Z Z n-1 -1 -1 T

4b) calcular Z medianten

4 kk ll kl kl4Z = X + X -2X -xn n n n

4c) calcular Z n-1

2d) calcular Z nT

4. Calcular [ 2 ] mediante la ec.2

2 4 2 2 4 2[ 2 ] = ( Y - Z Z Z - Z Z Z ) P2 -1 -1 T n n-1 nT 0

1.2.5 Ejemplo

Caso 1. Considere el sistema elctricomostrado en la Figura 20. Se har lasimulacin de la salida de la lnea 2-3, y lareduccin de la reactancia de la lnea 1-2 a .

Las ecuaciones nodales son las siguientes:

De esta ec


138

con la que se obtiene la solucin inicial2 = [1 -5/4 9/4]0 T

Primeramente calculemos la salida de la lnea 2-3, as que (i = 2, j = 3)2 ijZ = Y e-1

2Z = [0 -1/2] (110)T

4 ii jj ij ijZ = X + X -2X -x = -1

Planteamos ahora la ec (99)

x23de modo que P = -7/2, de donde se calculan los incrementos angulares debido a la salida dela lnea

1)2 = 0(-7/2) = 01

2)2 = (1/2)(-7/2) = -7/41

3)2 = (-1/2)(-7/2) = 7/41con lo cual

12 = 2 + )21 0 1

12 = [1 -3 4]1 T

Para simular la reduccin de la reactancia en la lnea 1-2 a calculamos

2 2 4 2 12Z = (Y - Z Z Z ) emodificada -1 -1 T

2Z = [0 -1 0]modificada T

4 2 4Ahora Z = (rengln 1 - rengln 2) de Z + reactancia de la lnea adicionada: Z = 1 + 1 =modificada2 debido a que se simula la conexin de otra lnea 1-2, con reactancia 1, de modo que lacombinacin en paralelo de las dos lneas da lugar a una reactancia equivalente de .

Aplicando la ec1 2 4 x120 = 2 - 2 + Z P1 1


139

Fig. 21. Verificacin

x120 = 1 - (-3) + 2 Px12P = -2

x12Conocida la inyeccin P se pueden calcular los incrementos de ngulo1)2 = 0(-2) = 01

2)2 = (-1)(-2) = 21

3)2 = 0(-2) = 01

As que finalmente,2 = 2 + )22 1 2

2 = [1 -1 4]2 T

Con objeto de verificar el resultado de la simulacin de esta contingencia doble se sustituir elresultado 2 en las ecs nodales del sistema elctrico sin la lnea (2-3) y con reactancia en la2lnea 1-2, Fig. 21.

En forma vectorial

Si se sustituye el vector 2 se obtiene2

lo cual muestra que se satisface la igualdad,verificando el resultado de la simulacin de lacontingencia doble.

Caso 2. Se simular la contingencia doble queconsiste en la prdida de generacin del generador 1, y su distribucin entre los generadores 2y 3 con factores de distribucin de 1/4 y 3/4 respectivamente, as como la salida de la lnea 2-3.

Primeramente se simular la prdida de generacin y su distribucin por lo que,generacin en el generador 1 = 0generacin en el generador 2 = 2 + (1/4)*2 = 5/2generacin en el generador 1 = 3 + (3/4)*2 = 9/2

Esto representa un cambio )P en el vector P:(1))P = [-2 3/2](1) T

Este cambio en el vector P produce un cambio


140

)2 = Y )P(1) -1 (1)

con lo cual2 = 2 + )21 0 (1)

Simulemos ahora la salida de la lnea 2-3 para lo que se requiere2 ijZ = Y e-1

2Z = [0 -1/2] (111)T

4 ii jj ij ijZ = X + X -2X -x = -1

x23de donde se calcula P ,x230 = 0(0) + ()*(-7/2) + (-)*(9/2) - P

x23P = -4

Con esto calculamos el incremento de ngulo1)2 = 0(-4) = 02

2)2 = (1/2)(-4) = -22

3)2 = (-1/2)(-4) = 22De manera que

Para verificar el resultado de la simulacin de la contingencia doble se sustituye el vector 2 en2las ecuaciones nodales del sistema elctrico, con la distribucin de generacin indicada.


141

Fig. 22. Doble contingencia

De acuerdo a la Figura 22 puede escribirse

Si se sustituye el vector 2 se obtiene2

lo cual indica que se satisface la igualdad, es decir,que el resultado de la simulacin de la contingenciadoble es correcto.

12. Estudio de contingencias en sistemas de potencia

El estndar de seguridad para un sistema de potencia determinado est constituido por unconjunto de contingencias que se prevee pueden ocurrir. Estas contingencias se simulan conobjeto de observar los efectos que causan en el sistema elctrico. Se dice que un sistema depotencia tiene un estndar estricto se seguridad si puede soportar por ejemplo la salida simultneade tres lneas. Sin embargo, para la mayora de los sistemas de potencia el estndar de seguridadincluye como mnimo contingencias sencillas tales como:

i) salida sencilla de lneas y transformadoresii) salida sencilla de unidades generadorasiii) falla trifsica sencilla

De acuerdo a las consideraciones anteriores se dice que un sistema de potencia ser seguro sisoporta todas las contingencias establecidas en el estndar de seguridad, es decir, sin tener queoperar el sistema en estado de emergencia, o bien no se violen los lmites de operacin de cadacomponente del sistema elctrico.

A posteriori se hace una clasificacin de contingencias importantes para determinar las accionesde control que deben hacerse para cada contingencia. Es natural que si se simularan todas lascontingencias posibles se necesitara un tiempo de cmputo muy grande, por tal motivo se handesarrollado mtodos para determinar a priori cuales son las contingencias ms severas, y asanalizar nicamente un subconjunto de contingencias de estandard de seguridad.Se puede decir entonces que es necesario contar con mtodos para seleccionar, analizar y evaluarlos efectos de las contingencias en el sistema de potencia.

12.1 Anlisis no-lineal de contingencias


142

Las contingencias ms importantes de analizar en un sistema elctrico son: cambios deconfiguracin en la red (entrada, salida de lneas), y prdida de generacin.

Desde el punto de vista de anlisis, los cambios de configuracin requieren mayor trabajocomputacional ya que involucran cambios en la matriz asociada al sistema de transmisin. Estorequiere la utilizacin de tcnicas de compensacin para simular el cambio de configuracinmediante inyecciones de potencia compensadoras, manteniendo la estructura de la matriz. Loanterior permite simular en forma eficiente los cambios de configuracin utilizando una mismamatriz, triangularizada y factorizada en el estudio de diversos casos.

Matemticamente el problema se puede formular de la manera siguiente:

Y(x) = A x (112)

donde, A : matriz del sistemax : vector de variables de estadoY(x) : vector de excitaciones no-lineal

La simulacin del cambio de configuracin modifica el vector Y(x) con lo cual si se utiliza unaformulacin donde la matriz A es constante se tendran atractivos computacionales en lautilizacin del mtodo.

La prdida de generacin en la mayora de los casos no altera la estructura de la matriz decoeficientes, todas las modificaciones se reducen al vector Y(x). Por esta razn es ms sencillosimular un cambio de generacin o de carga. En algunos casos al perder una unidad generadorase pierde el control de voltaje de un nodo, y esto modifica la estructura de la matriz A ya que secambia el tipo de algn nodo.

La diferencia importante entre los mtodos lineales ya presentados y los no-lineales est en losprocedimientos iterativos necesarios para obtener la solucin. De aqu que sea necesario repetirla determinacin de inyecciones de potencia compensadoras en la ec (112) hasta que cesen loscambios importantes en las variables de estado.

Podemos pensar en el mtodo desacoplado rpido de solucin del problema de flujos, en el quese tienen los sistemas de ecuaciones para potencia activa y reactiva:

)P = B )2)Q = B )V (113)

De acuerdo a la estructura de la ec (113) el cambio de la impedancia entre dos nodos i-j se puedesimular con las inyecciones de potencia compensadoras consideradas anteriormente. Ladiferencia bsica para la aplicacin no-lineal es el clculo iterativo de la inyeccin y el criteriode convergencia para obtener la solucin:


143

Fig. 23. Contingencias en lnea i-j

(114)

donde,ijX es el elemento i-j de la inversa de B

i)2 es el incremento del ngulo en el i-simo nodo0

ijx es la reactancia del elemento que se desconecta

Es importante sealar que en la ec (113) los cambios de configuracin afectan a las matrices By B y a los vectores independientes )P y )Q. Los cambios en estos ltimos vectores se reducena eliminar el trmino correspondiente del clculo de la potencia activa y reactiva. Por ejemplo,en la Fig. 23, al eliminar la lnea i-j el cambio de potencia activa se obtiene mediante:

sin contingencia:

al ocurrir la contingencia:

(115)

para la potencia reactiva el procedimiento es similaren los nodos de carga. En los nodos de generacin elcontrol de voltaje elimina la ecuacin de potenciareactiva.

La ec (115) muestra que al ocurrir un cambio de configuracin se alterarn los vectores de estadode la ec (113). Esto se puede considerar como la solucin inicial necesaria en el estudio linealde contingencias. Tambin es importante sealar que si los vectores independientes se alteran porcambios en las variables de estado se tendr una nueva condicin inicial; esto en esencia formael ciclo iterativo de solucin. Los cambios en las variables de estado producidos por lasinyecciones compensadoras se obtienen directamente de la ec (113) anulando los elementos queno intervienen en la contingencia. Esto se reduce a utilizar solamente dos columnas de la inversade las matrices B y B. La Figura 24 ilustra el concepto.


144

Fig. 24. Diagrama de flujo simplificado del anlisis de contingencia

Referencias

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