1

Capa LímiteCapa LímiteLas soluciones que brinda Las soluciones que brinda el flujo potencial tienen el flujo potencial tienen asociada una condición asociada una condición de deslizamiento en la de deslizamiento en la paredpared

Las soluciones del flujo Las soluciones del flujo potencial son potencial son aproximadas a altos aproximadas a altos números de Reynolds números de Reynolds pero dejan de ser válidas pero dejan de ser válidas en capas cercanas a las en capas cercanas a las paredes de los cuerpos paredes de los cuerpos debido a la adherencia debido a la adherencia del flujo a la pared del flujo a la pared

A

A'

A

U

A'

A

A'

velocity drops to 0

Capa Límite

La La capacapa llíímitemite eses unauna capacapa de de fluidofluido cercanacercana a la pared a la pared dondedonde loslosefectosefectos viscososviscosos no no puedenpueden ser ser despreciadosdespreciados. .

La La capacapa llíímitemite eses la la regiregióónn dondedonde se se efectefectúúaa la la transicitransicióónn entreentre laslasvelocidadesvelocidades del del flujoflujo librelibre y y aquellasaquellas de la pared.de la pared.

La velocidad debe caer a 0

Esquema de cálculoEsquema de cálculo

Cálculo del Cálculo del flujo flujo potencialpotencial

Distribuciones Distribuciones de presión en la de presión en la superficiesuperficie

Cálculo de Cálculo de la capa la capa límitelímite

Separación Separación ??????

SoluciónSolución

Líneas de

Líneas de Corriente

Corriente

Distribución

Distribución

de esfuerzos

de esfuerzos

de Corte

de Corte

Espesor Espesor de la capa de la capa límitelímite

Capa Límite en una placa planaCapa Límite en una placa plana

laminar turbulentotransición

TrazadorU∞ U∞ U∞U∞

CapaCapa LímiteLímite

Fuera de Escala

A escala

2

TransiciónTransición en la en la capacapa límitelímite

• La transición de regimen laminar a regimen turbulento en el flujo dentro de la capa límite dependedel número de Reynolds definido como

donde: ρ = densidad del fluido, U = velocidad de la corriente libre,x = distancia al borde de ataque, µ = viscosidad dinámica.

•Zona de Transición comienza Rex~ 105

•La capa límite comienza a ser turbulenta para Rex~ 3 105

µρ xU

x =Re

CapasCapas límiteslímites

Laminar• MovimientoUniforme y Regular.

Turbulento•Movimiento irregular y no estacionario• Mezclado importante entre lasdistintas capas.

x

turbulent

laminar

leading edge Video

PerfilesPerfiles de de VelocidadVelocidad en la en la capacapalímitelímite

x

mmmm

turb

lam

30101010 12

−≈−≈ −−

δδ

La capa límite turbulenta llega a la superficie!

Estructura de la Capa límite Estructura de la Capa límite TurbulentaTurbulenta

44--Supercapa Supercapa viscosaviscosa

33--RegionRegion externaexterna22--Región Región LogarítmicaLogarítmica

11--SubcapaSubcapa viscosaviscosa

Tensiones Tensiones Reynolds Reynolds predominantespredominantes

Tensiones Tensiones Reynolds Reynolds predominantespredominantes

Tensiones Tensiones Reynolds Reynolds predominantespredominantes

Tensiones viscosas Tensiones viscosas predominantespredominantes

Tensiones de Tensiones de Re Re vsvsTensiones Tensiones viscosasviscosas

EspesorEspesor

Con algunas Con algunas característcaracteríst. . laminareslaminares

Turbulento c/Turbulento c/fluctfluctmoderadas moderadas perturbperturb por la por la intermitintermit..

Turbulento Turbulento c/fuertes c/fuertes flucfluc. . velocveloc

Intermitente Intermitente trubulentotrubulento

FlujoFlujo

Capa externa Capa externa ~8~8--25mm25mmCapa Interna Capa Interna ~2~2--6mm6mm

δυ 2.0*

40<< y

uδ4.0>yδδ << y2.0

*400u

y υ<<

( )'''

.* vufrotamvelocu xyparedxy====

ρσ

ρ

σ

12

3

4Video Resistencia al avance del cuerpoResistencia al avance del cuerpo

ArrastreArrastre de de SuperficieSuperficie::FuerzasFuerzas de de fricciónfricción causadascausadas porpor el el cisallamientocisallamiento entreentre la la superificiesuperificie y el y el fluidofluidoSon Son funciónfunción de ___________ y ______del de ___________ y ______del objetoobjeto

ArrastreArrastre de formade forma

FuerzasFuerzas causadascausadas porpor laslas diferenciasdiferencias de de presiónpresiónen el en el cuerpocuerpo..DependenDependen del del contorneocontorneo y y pegadopegado de la de la capacapalímitelímite al al cuerpocuerpoSon function del ___________________Son function del ___________________

Area superf. largo

Area Normal al flujo

UU

UU

Video

Video

3

SeparaciónSeparación de la de la capacapa límitelímite.

wake

Flujo de Flujo de CouetteCouette PoisseuillePoisseuille

( )0,0),(yfu =r

x

y

P1P2

U

kctexp

−==∂∂

Se admiteSe admite

hyU

hy

hyhkyu +

−

−= 1

2)( 2

µ

GradientesGradientes de de PresiónPresión

La forma de la La forma de la capacapa límitelímite eses fuertementefuertementeinfluenciadainfluenciada porpor loslos gradientesgradientes de de presiónpresiónexternosexternos(a) favorable (dP/dx < 0)(a) favorable (dP/dx < 0)(b) cero(b) cero(c) (c) ModeradamenteModeradamente adversosadversos (dP/dx > (dP/dx >

0)0)(d) (d) GradienteGradiente críticocrítico adversoadverso ((ττww = 0)= 0)(e) (e) FuertementeFuertemente adversoadverso ((flujoflujo

separadoseparado))

GradientesGradientes de de presiónpresión

La La aproximaciónaproximación de la de la capacapa límitelímite dejadeja de ser de ser válidaválida luegoluego del del puntopunto de de separaciónseparación debidodebido al al flujoflujoinversoinverso..La La capacapa límitelímite turbulentaturbulentaeses másmás resistenteresistente a a loslosgradientesgradientes adversosadversos de de presiónpresión

Laminar flow separates at corner

Turbulent flow does not separate

SeparaciónSeparación de la de la capacapa límitelímitelaminar o laminar o turbulentaturbulenta

Laminar

Turbulent

Video

Video

Video 15º

Video 20º

Video

Video

video

DbUFCD 2

2

∞

=ρ

4

Ford Explorer 2002 Ford Explorer 2002 CCdd = 0.41= 0.41

2

2CdDragU Aρ

=2C

2d U ADrag ρ

=

Video

Video

CoordenadasCoordenadas de la de la CapaCapa LLíímitemiteLlamamosLlamamos x a la x a la coordenadacoordenada de la de la capacapa llíímitemite en la en la direccidireccióónn del del flujoflujo, e y a la , e y a la coordenadacoordenada de la de la capacapa llíímitemite en la en la direccidireccióónn normal. normal. SiSi el el espesorespesor de la de la capacapa llíímitemite δ δ(x) (x) eses muymuy delgadodelgado frentefrente al radio al radio de de curvaturacurvatura R de la paredR de la pared

δδ(x) <<R(x) <<R

N S en coordenadas capa límite ~ N S en coordenadas cartesianas

La capa límite se desarrolla como si la pared fuese plana

x

y

δ(x)

2D NAVIER2D NAVIER--STOKES y STOKES y EcuaciEcuacióónn de Cons. De la de Cons. De la MasaMasa

0

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

yv

xu

yv

xv

yp

yvv

xvu

yu

xu

xp

yuv

xuu

νρ

νρ

OrdenesOrdenes de de MagnitudMagnitud de la de la capacapa llíímitemite

Vamos analizar los ordenes de magnitud de los distintos términos de las ecuaciones con los siguientes considerandos

Llamando L a la escala longitudinal y δ a la escala transversal

( ) ( )

( ) ( )δ

δ

≈∂

∂

≈∂

∂<<

y

Lx

L

En cuanto a la velocidad siendo U la velocidad del flujo libre

( ) ( )Uu

≈∂∂

Ecuación de continuidadEcuación de continuidad

0=∂∂

+∂∂

yv

xu

xconv

dif

xUxUx Re

1

2

==⇒=

= υδ

τ

υδτ

LUU

LUUL

v υυδ=≈~

LU

xu ~

∂∂

xu

yv

∂∂

−=∂∂

UL

v δ~ 01 →⇒<< vLδ

Video

Ec. de cons de la cant de movim. en la dir. normal

Como V ~ (Como V ~ (δδ/L)U y /L)U y multiplicandomultiplicando todostodos loslosttéérminosrminos porpor ((δδ/U/U22), se ), se obtieneobtiene

∂∂

+∂∂

+∂

∂−=

∂∂

+∂∂

2

2

2

21yv

xv

yp

yvv

xvu ν

ρ

ReRe1,1,1,,

222

LLLδδδ

22

22

,,,,δ

ννδδ

VLVUV

LUV

Como (Como (δδ/L) ~ (Re/L) ~ (Re))--1/21/2 ReReReRe1,1,1,1,1

2

Re>>1Re>>1 0=∂

∂

yp

5

Inidica que la presión es constante según la coordenada “y” dentro de la capa límite

0=∂

∂

yp

Sea ppd(x,y) la presiónobtenida a partir de la soluciónde flujo potencial. Surge entonces que pd(x) puede ser obtenida a partir de ppd(x,0):

)x(p)0,x(p)x(p pdbpdd ≡=

x

y

δ(x)

LU

El flujo externo a la capa límite deja suimpronta en la capa límite a través de la presión.

APROXIMACION DE NS DE LA CAPA LIMITE

Las ecuaciones de la capa límite son entonces:

donde ppdp(x) es conocida y surge de considerar el escurrimiento potencial

Las condiciones de borde son

0v,0u0y0y

====

x

y

δ(x)

LU

0

12

2

=∂∂

+∂∂

∂∂

+−=∂∂

+∂∂

yv

xu

yu

dxdp

yuv

xuu pdb ν

ρ

Adicionalmente u debe aproximarse al valor de la velocidad del flujo potencial U si yycrece yy se acerca a la capa límite.

dxdUU

dxdppdb =

ρ1

Solución de Solución de BlasiusBlasiusBlasiusBlasius considera el caso considera el caso de una placa plana y el de una placa plana y el flujo externo a considerar flujo externo a considerar es en ese casoes en ese caso

La solución a la que llega La solución a la que llega es una solución numérica es una solución numérica sin expresión analítica en sin expresión analítica en función de una variable función de una variable adimensional adimensional

0=∂∂

⇒=xpcteU

2/1

2

= ∞

xUyυ

η

δ x( )

x0 0.5 1

0

0.5

1 •• La La capacapa límitelímite crececrece con: con: δ δ ∝∝√√xx•• El El crecimientocrecimiento inicialinicial esesrráápidopido•• El El crecimientocrecimiento de la de la capacapallíímitemite ddδδ/dx/dx ∝∝ 1/1/√√x, x, decrecedecrecehaciahacia aguasaguas abajoabajo

τ w x( )

x0 0.5 1

0

5

10•• Las Las tensionestensiones en la pared: en la pared: ττww∝∝ 1/1/√√xx•• A A medidamedida queque aumentaaumenta el el espesorespesor de la de la capacapa llíímitemite, la , la tensitensióónn de de cortecorte disminuyedisminuyeporqueporque disminuyedisminuye el el gradientegradientede de velocidadesvelocidades..

CapaCapa límitelímite en en unauna placaplaca planaplana

Ux

y

U U U

δ

τo Espesorde la capalímite

Esfuerzode corteen la pared

dudy

es máximoen el bordede atatque

FlujosFlujos y y CantidadCantidad de de MovimientoMovimiento parapara un un volumenvolumende control rectangularde control rectangular

0000(4)(4)

(3)(3)

(2)(2)

(1)(1)

CantCant MovMov s/xs/xFlujosFlujosSecciónSección

∫h

dyUb0

2ρ

∫−

h

dyub0

τ0h δ

(1) (2)(3)

(4)

∫h

dyUb0

∫−

h

dyub0

2ρ

( )∫ −−

h

dyuUb0

( )∫ −−

h

dyuUUb0

ρ

∑ = 0flujos ∑ = ArrastremovdecFlujos .

6

EspesorEspesor de de DesplazamientoDesplazamientoFlujo Inviscido Flujo Viscoso

δ1

Areas iguales

∫

∫∞

∞

−=⇒

−=

0

1

0

1

)1(

)(

dyUu

dybuUUb

δ

δ

EspesorEspesor de de CantidadCantidad de de MovimientoMovimiento

Flujo Inviscido Flujo Viscoso

δ2

Flujos c. de mov. iguales

∫

∫∞

∞

−=⇒

−=

0

2

0

22

)1(

)(

dyUu

Uu

dybuUuUb

δ

ρδρ

Métodos Integrales de la capa límiteMétodos Integrales de la capa límite

( )dxxx

∂∂δ

dxx

dxu

dxdxmdmmmd

x

xdxx ∂

∂

==−=∫

+

)(

0

δ

ρ&

&&&

∫=

)(

0

21

x

xF dyuM

δ

ρx x+dx

δ(x)(1) (2)

(3)

(4)

dxx

MMM xFxFxF ∂

∂+= 1

12

dxUx

dyu

UmdM

x

xF ∂

∂

==∫

)(

0

2

3

δ

ρ

&

( )

( )

dxF

dxxxpF

xFFF

xpF

x

x

xxx

x

04

3

112

1

τ

δ

δ

−=∂

∂=

∂∂

+=

=

Considerando queConsiderando que

Y la expresión de Y la expresión de espesor de espesor de cantcant. de . de desplazamiento y de desplazamiento y de cantidad de cantidad de movimiento movimiento Se obtiene la Se obtiene la siguiente ecuación siguiente ecuación diferencialdiferencial

∑∑ =i

ix

i

Fix FM

∫∞

−=

0

2 )1( dyUu

Uuδ

∫∞

−=

0

1 )1( dyUuδ

( ) 20

122 21

UdxdU

Udxd

ρτδδδ

=++

Métodos Integrales para capa límite Métodos Integrales para capa límite laminar en placa planalaminar en placa plana

Hay que suponer una función Hay que suponer una función u(x,yu(x,y) que cumpla) que cumpla

Una opción esUna opción es

( ) 0),(

),(0)0,(

=∂

∂

==

=δ

δ

yyyxu

Uxuxu

=

δπ ysenUu2

δπµµτ

δππδ

δπ

πδ

Udydu

y 2

24

2

00

2

1

==

−=

−=

=

CUx

U

U

dxd

+−

=⇒=−

2

2

2 242

22

24 υπ

ππδ

ρδ

πµδππ

( )

Ux

Ux

C

Blasisusυδυδ

δ

579.4

00

==

=⇒

Métodos Integrales para capa límite Métodos Integrales para capa límite Turbulenta en placa planaTurbulenta en placa plana

Hay que suponer una función Hay que suponer una función u(x,yu(x,y) que cumpla) que cumpla

Una opción esUna opción es ( ) 0),(

),(0)0,(

=∂

∂

==

=δ

δ

yyyxu

Uxuxu

41

20

71

0225.0

=

=

δυ

ρτ

δ

UU

yUu

20

727

Udxd

ρτδ

=

Re

δ

Turbulento

Lam.

x0

5/1

00

37.0−

−

=− xx

Uxx

υδ

7

CapaCapa límitelímite turbulentaturbulenta

Ilustración de las fluctuacionesen la capa límite turbulenta

Black lines: instantaneousPink line: time-averaged

Comparación de losperfiles laminares y turbulentos de la cl

Turbulent Boundary LayerTurbulent Boundary LayerLeyLey de la pared en de la pared en capascapas límiteslímites

Perfil de velocidades en coordenadasde la pared

ρτ pu =*

** uuu =

y*=yu*/η

CapaCapa LímiteLímite turbulentaturbulenta

Spalding (1961) Spalding (1961) desarrollodesarrollo unauna fórmulafórmulaqueque eses válidaválida en en grangran parteparte de la de la capacapalímitelímite

κκ, B son , B son constantesconstantes

CoeficientesCoeficientes de de fricciónfricción en en unauna placaplaca planaplana

0.001

0.01

1000

0

1000

00

1000

000

1000

0000

1000

0000

0

1000

0000

00

1000

0000

000

RelUlν

=

le

fdC

1 x 10-3

5 x 10-4

2 x 10-4

1 x 10-4

5 x 10-5

2 x 10-5

1 x 10-55 x 10-6

2 x 10-61 x 10-6

( ) 2.51.89 1.62log /

fdC lε

− = −

( )0.51.328Refd

l

C =

0.20.072Refd lC −=

20

UC

fd ρτ

=

ResúmenResúmen capacapa limitelimite turbulentaturbulenta ConclusionesConclusionesEn esta clase vimos cuales son las En esta clase vimos cuales son las hipotesishipotesis que se que se adoptan para simplificar las ecuaciones de conservación adoptan para simplificar las ecuaciones de conservación en el caso de querer analizar el movimiento del fluido en el caso de querer analizar el movimiento del fluido dentro de la capa límitedentro de la capa límiteExisten dos parámetros que resultan de particular interés: Existen dos parámetros que resultan de particular interés: el espesor de la capa límite y el coeficiente de fricciónel espesor de la capa límite y el coeficiente de fricciónLos valores de dichos parámetros difieren fuertemente Los valores de dichos parámetros difieren fuertemente según si el flujo es laminar o turbulento en el interior de la según si el flujo es laminar o turbulento en el interior de la capa límitecapa límiteA señalar es que en tanto que en la región laminar A señalar es que en tanto que en la región laminar δδ~x~x1/2 1/2

en la en la regiónregión turbulentaturbulenta δδ~x~xLos Los coeficientescoeficientes de de fricciónfricción locallocal son un son un ordenorden de de magnitudmagnitud superioressuperiores en el en el casocaso de de flujosflujos turbulentosturbulentosUnaUna medidamedida de de estosestos efectosefectos la la dandan loslos espesoresespesores de de desplazamientodesplazamiento y de y de cantidadcantidad de de movimientomovimiento..