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Fsica II Carga, Materia y Ley de Coulomb Lic. Rodrigo Leandro Nima Maza

CAPITULO I

CARGA, MATERIA Y LEY DE COULOMB

Bobina Tesla: Mediante esta bobina se pueden producir miles de voltios, en la foto se ve Tesla en

su laboratorio de Colorado


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1.1 INTRODUCCIN.

Cuando frota sus zapatos en una alfombra y luego toca la perilla metlica de la puerta, Ud. recibe una descargaelctrica esttica. Por qu sucede esto y porqu es ms probable que ello ocurra en un da seco que en un dahmedo?. Por otro lado, los tomos en un cuerpo se mantienen unidos y no se rompen, aunque las partculas

fundamentales que la constituyen pueden estar movindose a altas velocidades Por qu?. Qu sucederealmente en un circuito elctrico?. Cmo funcionan los motores y los generadores elctricos?.

La respuesta a todas estas preguntas la proporciona una parte fundamental de la fsica denominadaelectromagnetismo, que no es ms sino el estudio de las interacciones electromagnticas las que son muyintensas y slo son superadas por las interacciones nucleares fuertes. Las interacciones elctricas implican la

presencia de partculas las que poseen una propiedad llamada carga elctrica, un atributo de la materia que esfundamental como lo es la masa. El estudio de los fenmenos electromagnticos centrar nuestra atencin en lamayor parte de ste libro.

Iniciaremos el estudio del electromagnetismo en el presente captulo con una pequea discusin sobre lanaturaleza de la carga elctrica, seguida de una breve introduccin a la estructura de la materia, posteriormentese estudiar en forma concisa a los conductores, aisladores, semiconductores y superconductores. A

continuacin estudiaremos la ley de Coulomb la cual describe la fuerza elctrica entre cargas elctricas.Si bien las ideas bsicas del electromagnetismo son conceptualmente simples, su aplicacin tecnolgica actual aligual que la ciencia pura, ha permitido comprender el comportamiento de los tomos y las molculas,comprender los procesos de radiacin, estudiar las propiedades elctricas de un conjunto de sustancias. Almismo tiempo el electromagnetismo se ha utilizado en el desarrollo de redes elctricas, sistemas de transporte deenerga y potencia, sistemas de comunicacin electrnica y digital as mismo el conocimiento delelectromagnetismo ha permitido diseas equipos elctricos y electrnicos que en la actualidad hanrevolucionada la ciencia y la tecnologa una de ellos es por ejemplo el microscopio de fuerza atmica MFA.

1.2 CARGA ELCTRICA.

Los fenmenos elctricos se conocen desde tiempos inmemoriales. Existen evidencias tan antiguas como lasobservadas por los griegos en los aos 600 A.C que muestran como ciertas sustancias al ser frotadas entre satraan pequeos objetos. Antes de la edad moderna el mbar era la mejor sustancia para demostrar stefenmeno. Actualmente decimos que el mbarha adquirido una carga elctrica neta o que se ha cargado. La

palabra elctrica se deriva de la palabra griega elektronque significa mbar.

1.2.1 Observacin de la interaccin elctrica.

Despus de que un peine de plstico se frota contra la piel, o se pasa a travs del cabello seco, adquierela propiedad de atraer pequeos trozos de papel tal como se muestra en la figura 1.1a. Si ahora con el peinetocamos una esfera pequea suspendida de un hilo de seda y con la piel tocamos la otra esfera tambinsuspendida estas experimentan una atraccin (figura 1.1b), mientras que si con el peine tocamos las dos esferas

suspendidas experimentan una repulsin (figura 1.1c).

(a) (b) (c)

Figura 1.1 (a) El peine frotado con el cabell o seco atrae trozos de papel, (b) A traccin elctr ica (c)Repulsin elctr ica


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Otro ejemplo que muestra la interaccin elctrica es la frotacin de dos varillas de vidrio con un pedazo de seda,cuando esto ocurre las varillas de vidrio se repelen entre s (figura 1.2a), por otro lado si una varilla se frota conseda y una varilla de plstico se frota con piel y se acercan una a la otra como se muestra en la figura 1.2b, seobserva una atraccin.

Estos experimentos sencillos y muchos otros similares permiten llegar a una importante conclusin de que dos

partculas pueden interactuar con una fuerza de largo alcance y que tenga las siguientes propiedades: (i) Estafuerza puede ser atractiva o repulsiva (a diferencia de la gravitacional que es slo atractiva) y (ii) Esta fuerzapuede tener una magnitud mucho mayor que la fuerza gravitacional (la fuerza gravitacional entre estas partculases mucho ms pequea).

Por lo tanto concluimos que las fuerzas que aparecen en los ejemplos anteriores son de un nuevo tipo que enadelante llamaremos fuerza elctrica. Bajo esta situacin cabe plantearse la siguiente pregunta: Bajo qucondiciones aparece esta fuerza y cules son sus propiedades bsicas?

(a) (b)

Figura 1.2 (a) Bar ra de vidr io suspendida por hi lo de seda, repeli da por otra vari ll a de vidr io que tiene lamisma carga, (b) Vari ll a de vidr io suspendida de un hi lo de seda, atrada por una vari ll a deplstico f rotada con piel y que tiene carga de signo opuesto.

1.2.2 Definicin de carga elctrica.

Decimos que una partcula est cargada, si posee la propiedad de experimentar una fuerza elctrica

debido a alguna otra partcula cargada. Para definir esta propiedad con mayor precisin, supongamos que variaspartculas cargadas pueden ser localizadas en algn punto P, el cual est localizado a una distancia xdesde unapartcula cargada especfica A, tal como una esfera de aluminio cargada (vase la figura 1.3). Entonces puede

ser determinada fcilmente la fuerza elctrica sobre una partcula localizada en el punto P, por ejemplo,mediante la determinacin de la deformacin de la partcula localizada en el punto P. (tngase en cuenta ademsque esta fuerza puede estar dirigida hacia o alejndose de A). Si ahora medimos y comparamos las fuerzas

elctricas y sobre las dos partculas 1 y 2 localizadas sucesivamente en el punto P, encontramos que la

magnitud relativa de las fuerzas es siempre la misma, independientemente de la posicin del punto P o de

la naturaleza del objeto cargado A. Adems, las direcciones relativas de y son tambin las mismas. Enresumen, la magnitud y direccin relativa de las fuerzas elctricas dependen solamente de las propiedades de las

partculas 1 y 2.

Figura 1.3 Di sposicin experimental para comparar la fuerza elctr ica e varias partculas cargadaslocal izadas en el punto P


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Esta conclusin sugiere que cada una de estas partculas pueden ser descritas mediante una propiedaddenominada carga y especificada por una cantidad q. Las magnitudes de las cargas de las dos partculas sondefinidas de tal forma que ellas son proporcionales a las magnitudes de las fuerzas elctricas de estas partculaslocalizadas en el mismo punto, esto es

1 1

2 2

q F

q F (1.1)

Adems, el signo de las cargas de las partculas es definidos tal que:

Combinando las ecuaciones (1.1) y (1.2) resulta

1 1

2 2

q F

q F (1.3)

Donde el signo ms (+) es utilizado si y tienen la misma direccin, mientras que el signo menos (-) es

utilizado cuando y tienen direcciones opuestas. De esta manera podemos dar la siguiente definicin parala carga

1 1

2 2

La carga q de una partcula es una cantidad numrica

que especifica la magnitud y la direccin de la fuerza

elctrica sobre una partcula tal que

q F

q F

(1.4)

Si la fuerza sobre una partcula cargada es debido a varias partculas tal como A, se aplica el principio desuperposicin

1.2.3 Unidades de la carga elctrica.

Como cualquier otro procedimiento de comparacin, la definicin de carga obtenida anteriormentesolamente nos da la razn de dos cargas. Para especificar un nico valor para cualquier carga, es convenientecomparar todas las cargas con una carga especfica denominada estndar. En el sistema internacional esta cargaestndar es llamado coulomb estndar y su valor es indicado por la unidad coulomb abreviado como 1C.

La carga q1 de cualquier partcula puede entonces ser medida utilizando la disposicin de la figura 2.3 ycomparndola con la partcula estndar S la cual tiene una carga estndar qS= 1coulomb. Entonces se tiene

q1 y q2tienen el mismo signo si y tienen la

misma direccin, y tienen el signo opuesto si ytienen direcciones opuestas.

1.2


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1 1

1coulombsS

S S

F Fq q

F F (1.5)

Donde el signo positivo se aplica si la fuerza F1 tiene la misma direccin que la fuerza Fs sobre la cargaestndar, y el signo menos si F1tiene la direccin opuesta.

1.2.4 Carga de un sistema.

La carga Q de un sistema de partculas es definida como la carga total, es decir como la suma de lascargas q1, q2, q3., de todas las partculas del sistema, esto es

1 2 3 ......... nQ q q q q (1.6)

Supongamos ahora que un objeto es suficientemente pequeo para ser considerado como partcula, es decir,suficientemente pequeo tal que las partculas constituyentes del objeto estn esencialmente localizadas en elmismo punto. Entonces la fuerza elctrica total sobre cada uno de los objetos depende de su carga total en

exactamente la misma forma como la fuerza sobre una partcula simple depende de su carga,

1.3 CARGA ELCTRICA Y ESTRUCTURA DE LA MATERIA.

La teora atmica moderna explica el por qu de los fenmenos de electrizacin y hace de la carga elctrica unapropiedad fundamental de la materia en todas sus formas. Las interacciones responsables de la estructura y delas propiedades de los tomos y molculas son principalmente las interacciones elctricas entre partculascargadas.

En general todo cuerpo est formado por la asociacin de molculas y a la vez las molculas estn constituidaspor uno o ms tomos agrupados o distribuidos en forma especfica segn cada compuesto. Cada tomo est

constituido por tres tipos de partculas fundamentales: los protonescargados positivamente, los neutrones sincarga elctrica y los electrones los que poseen una carga elctrica negativa. El protn y el neutrn son lacombinacin de otras partculas llamadas quqrks, los mismos que tienen cargas fraccionarias de la del electrnesto es de 1/3; 2/3, aun cuando estas ltimas partculas no han sido observadas experimentalmente.

Los protones y los neutrones en un tomo se encuentran unidos por fuerzas nucleares y forman un esferapequea y muy densa denominado ncleo cuyas dimensiones son del orden de 10-15 m. Alrededor del ncleo seencuentran girando los electrones en orbitas circulares o elpticas tal como se muestra en la figura 1.4.

Los electrones cargados negativamente se mantienen dentro del tomo mediante las fuerzas elctricas deatraccin ejercidas sobre ellas por el ncleo cargado positivamente. Los protones y los neutrones se mantienendentro del ncleo atmico gracias a las fuerzas nucleares que vencen las repulsiones entre los protones.


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Figura 1.4 Representacin de un tomo en donde se observa l os protones, neutrones y electrones.

Las masas y las cargas elctricas de cada una de estas partculas se muestran en la Tabla 1.1

Tabla N 1.1. Masa y carga de partculas fundamentales del tomo

Partcula Masa (kg) Carga (C)

Electrn (e) 9,109.10-31 -1,602.10-19

Protn (p) 1,672.10-27 +1,602.10-19

Neutrn (n) 1,674.10-27 0

El nmero de electrones en un tomo es igual al nmero de protones de su correspondiente ncleo, de ah que en

conjunto y a pesar de estar formado por partculas con carga, el tomo completo resulte neutro (figura 2.5a). Enun tomo neutro el nmero de protones de un elemento se llama nmero atmicoZ. Si se elimina uno o mselectrones el tomo se convierte en un in cargado positivamente (figura 2,5b), mientras que si se le aade uno oms electrones al tomo se convierte en un in cargado negativamente (figura 2.5c). A la ganancia o prdida deelectrones por un tomo se llama ionizacin.

El ncleo puede tener de 1 a 100 protones, dependiendo del elemento qumico de que se trate y normalmentecontiene aproximadamente igual nmero de neutrones, un protn y un electrn tienen la misma masa, que es delorden de dos mil veces a la masa del electrn, es decir que la masa del ncleo es aproximadamente cuatro milveces mayor a la masa del conjunto de sus electrones

Los electrones en un tomo se encuentran distribuidos en capas (K, L, M; N, ), y cada una de stas capasdesignadas por el nmero cuntico n admite un nmero fijo de electrones. Esta se muestra en la tabla 1.2

(a)

(b) (c)


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Figura 1.5 (a) tomo de L i el cual presenta tres protones (rojo), tres electrones (celeste) y cuatroneutrones (viol eta); (b) I n posit ivo de Li el cual ti ene dos electrones y tres protones; (c) Innegativo de Li el cual tiene tres protones y cuatro electrones

Tabla 1.2 Distribucin de electrones en las capas

Nmero cuntico principal (n) 1 2 3 4

Capa K L M N

Nmero necesario de electrones (2n2) 2 8 18 32

En general el nmero de neutrones en el ncleo atmico de un elemento qumico, no es fijo, aunque el nmerode protones si lo sea. Los tomos que poseen el mismo nmero de protones pero diferentes nmeros deneutrones en sus ncleos se llama istopos de un elemento.

1.4

CARGA Y MASA DE LOS ELECTRONES

El estudio de la estructura de la materia permite llegar a la conclusin de que la materia est compuesta de unaspocas partculas atmicas cuyas propiedades e interaccin debe tenerse en cuenta para la observacin de laspropiedades de todos los objetos. Cmo podemos obtener experimentalmente informacin acerca de laspropiedades fundamentales de cada una de stas partculas atmicas, su masa my su carga q?

Para determinar la carga q de una partcula atmica, necesitamos solamente comparar la fuerza elctrica

ejercida sobre esta partcula por algn objeto cargado con la fuerza elctrica ejercida sobre otra partculacuya carga es conocida qy localizada en la misma posicin. Tal como se describi anteriormente la carga es

'

'Fq qF

(1.7)

En la prctica es difcil medir directamente la fuerza , sobre una partcula atmica debido a que no puede

pesarse. Pero podemos utilizar la observacin del movimiento para determinar su aceleracin . A partir de la

segunda ley de Newton se tiene que con lo cual la relacin (1.7) se escribe en la forma

' ' '

' ' ' o

F ma q aq q q q

F F m F (1.8)

Entonces, midiendo la aceleracin se puede determinar la razn entre la carga q y la masa mde una partcula

atmica.

En una gran variedad de experimentos observamos partculas cargadas negativamente que tengan el mismo

valor de la razn . Por ejemplo, tales partculas son observadas como resultado de la perturbacin o de laionizacin de las molculas de varios gases como resultado del calentamiento de ciertos metales, o comoresultado de la iluminacin con la luz de ciertos metales. Debido a que las partculas cargadas negativamente

aparecen muchos experimentos todos son caracterizados por el mismo valor de , inferimos que staspartculas se encuentran naturalmente en toda la materia y que ellas son de la misma clase. Tales partculas se

denominan electrones y su valor medido para , es

111,76.10 electrones /kgq

m

(1.9)


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En el ao 1909 Robert Millikan (1868-1953), ideo un ingenioso mtodo para determinar la carga del electrnmediante mediciones directas de la fuerza elctrica- El mtodo consiste en la pulverizacin de pequeas gotas deaceite (dimetro de alrededor de 10-6 m), dentro del espacio comprendido entre dos placas metlicas. Uno o mselectrones, obtenidos mediante la perturbacin del aire circundante con los rayos X, pueden entonces llegar aadquirir la carga Q.Mediante la aplicacin de una diferencia de potencial conveniente entre las placas podremosmantener una de estas partculas entre las placas (ver la figura 1.6). Este experimento se denomina experimento

de Millikan para una gota de aceite. Bajo las condiciones de este experimento, conocemos que la fuerza totalsobre la gota puede ser cero, es decir, que , donde es la fuerza elctrica sobre la gota cargada

debido a las cargas en las placas y es la fuerza gravitacional. Es decir conociendo la fuerza gravitacional sepuede hallar la fuerza elctrica y medir de este modo su carga Q.

Los experimentos muestran que la medicin de la carga total Q de cualquier gota es siempre un mltiplo enterode alguna carga inferior q, es decir donde N es un nmero entero. Este resultado se espera si cadaelectrn tiene una carga qy hayNelectrones adjuntos a la gota. Las mediciones de qpor tanto, muestran que elvalor de la carga del electrn es

191.6.10q e C (1.10)

Conociendo la carga del electrn se puede utilizar la relacin (1.9) para determinar la masa de dicha partcula,obtenindose un valor de

319,11.10m kg (1.11)

Figura 1.6 Experimento de M il li kan para veri fi car la cuantizacin de la carga

1.5 CONSERVACIN DE LA CARGA ELCTRICA

Cuando dos cuerpos se encuentran en ntimo contacto, como ocurre al frotarlos entre s, los electrones sontransferidos de un objeto a otro. Un objeto queda con un nmero en exceso de electrones siendo en estacondicin su carga negativa y el otro objeto queda con un dficit de electrones siento en este cao su carga

positiva. Durante este proceso la carga no se crea ni se destruye, sino simplemente se transfiere. La carga netadel sistema formado por los dos cuerpos no cambia. Es decir, la carga del sistema se mantiene constante. En laactualidad se ha encontrado que el principio de conservacin de la carga siempre es cierto, an bajo condicionesextremas donde las partcula son creadas o destruidas. Por ejemplo, lo rayos x, los cuales no estn cargados,

pueden crear pares de partculas consistentes en un electrn y un positrn, pero se encuentra que la carga q = e

del positrn es igual y opuesta a la carga q = - edel electrn. Por lo tanto la carga total del sistema sigue siendoigual a cero como lo era antes de la creacin de dichas partculas.


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Ejemplo 01. Transferencia de carga.

Suponga que una barra de goma no cargada es frotada con un pedazo de lana tambin no cargada tal como semuestra en la figura 1.7. Entonces la carga total en la regin conteniendo la barra y la lana es cero. Despus de

haberse cargado los cuerpos existe una transferencia de carga de un cuerpo hacia otro en este caso los electronesson transferidos de la lana a la barra de goma, entonces la carga neta del sistema sigue siendo cero. As la sumade las cargas QGen la barra y la carga QLde la lana es siempre igual acero, es decir . Por tanto

, de tal forma que la barra y la seda tengan cargas de igual magnitud pero diferentes signos.

Figura 1.7 Tr ansferencia de carga negativa desde un trozo de lana hacia una vari ll a de goma.1.6 CUANTIZACIN DE LA CARGA

Aun cuando, cada uno de los tomos o molculas contiene electrones, las mediciones precisas muestran que sucarga total es cero. Entonces, un tomo o una molcula pueden contener partculas cargadas positivamenteteniendo una carga total positiva igual en magnitud a la carga negativa total de todos sus electrones.

Por ejemplo, el tomo de hidrgeno est compuesto simplemente por un electrn y otra partcula fundamentalllamada protn. Las propiedades del protn son muy deferentes de aquellas que tiene el electrn; por ejemplo, lamasa del protn es alrededor de 1800 veces mayor que la del electrn. Pero debido a que la carga total del tomode hidrogeno es cero, la suma de la carga del protn qpy la carga edel electrn es tambin nula esto decir,

. As, , tal que el protn tiene una carga positiva igual en magnitud a la delelectrn, an cuando la otras propiedades del protn son muy diferentes de la del electrn. Debe sealarseadems que en la naturaleza existen muchas otras clases de partculas atmicas. Por ejemplo, el ncleo detomos ms complicados consta de protones y partculas sin carga denominados neutrones. Adems existenotras partculas elementales (designadas con el nombre de mesones e hiperones) los cuales tienen masasdiferentes y tiempos de vida entre su creacin y su decaimiento hacia partculas ms estables extensamentediferentes. Sin embargo, cada una de estas partculas tiene una carga qla cual es siempre un mltiplo entero dela carga del electrn e(tal que , donde N es algn entero el cual puede ser positivo, negativo o nulo).As, llegamos a enunciar el principio de cuantizacin de la carga en la forma siguiente.

En la naturaleza, la carga de cualquier cuerpo se presenta en forma de paquetesdiscretos o cuantos, es decir la carga siempre es igual a un mltiplo entero de lacarga del electrn.

q Ne (1.12)

Donde,Nes un entero y e es la carga del electrn.

1.7 MATERIALES CONDUCTORES Y AISLANTES O DIELCTRICOS.

Hemos observado en las secciones anteriores que, en general todos los cuerpos estn formados por una enormecantidad de tomos los que estn compuestos por partculas cargadas (protones y electrones) y partculas no


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cargadas (neutrones). Cada uno de estos cuerpos estn, sin embargo, ordinariamente no cargados oelctricamente neutros (es decir, su carga total es cero) debido a que la carga total de las partculas cargadas

positivamente en el cuerpo es igual en magnitud a la carga total de las partculas cargadas negativamente. Perocuando un cuerpo gana o pierde alguna partcula cargada debido a la transferencia de algn otro cuerpo, puedeadquirir un exceso leve de carga de otro signo. Entonces, la carga total del objeto no es ms igual a cero, en estascondiciones se dice que el cuerpo est cargado.

Para facilitar la discusin cualitativa de los cuerpos cargados, podemos utilizar diagramas en los cuales serepresentan las cargas positivas mediante el signo ms (+) y las cargas negativas con el signo menos (-). Cada

signo msrepresenta una cantidad de carga neta localizada cerca del signo ms. (Esta carga es la carga positivaen exceso debido a muchsimas partculas atmicas cargadas, de ambos signos, localizadas en la regin cercanaal signo ms. Similarmente cada signo menosrepresenta la cantidad neta de carga negativa localizada cerca alsigno menos. (Esta carga es exceso de carga negativa debido a muchsimas partcula atmicas cargadas, deambos signos, localizadas en la regin cercana al signo menos). Las partculas atmicas en un material puedenestar fijas en una posicin o ser completamente libres de moverse. Por lo tanto, es muy til distinguir lassiguientes clases de materiales.

1.7.1 Materiales aislantes o dielctricos.

Decimos que un material es aislante si ste posee partculas atmicas cargadas las cuales puedenmoverse muy levemente desde sus posiciones normales.

1.7.2 Materiales conductores.

Un material es conductor cuando contiene partculas atmicas cargadas las cuales pueden moverselibremente a travs del material

Los materiales tales como: plsticos, caucho, o aceites en general son buenos aislantes. Es decir, si las partculas

atmicas cargadas son colocadas en un dielctrico, estas partculas permanecern en el lugar en donde se lecoloc, pudindose mover muy levemente cuando se les aplica fuerzas elctricas externas.

En los conductores las partculas atmicas cargadas mviles pueden ser los electroneso los iones (es decir, lostomos que han perdido o ganado uno o ms electrones). Los metalesson buenos conductores debido a que estoscontienen electrones de valencia que por estar muy alejados del ncleo se les considera libres y pueden moversea travs de la estructura cristalina cuando el cuerpo es sometido a perturbaciones elctricas. Debe observarseadems que los iones positivos se mantienen fijos en sus posiciones dentro de la estructura cristalina. Por otrolado, las soluciones electrolticas (tales como la solucin de NaClen agua) son buenos conductores debidos aque contienen iones positivos o negativos los mismos que pueden moverse libremente dentro de la solucin (porejemplo los ionesNa+y Cl-).

Aun cuando, las partculas cargadas mviles en un conductor son libres de moverse a travs del conductor, ellos

estn ordinariamente unidos dentro del conductor por fuerzas las cuales previenen su escape a travs de susuperficie. Sin embargo, las partculas cargadas mviles pueden desplazarse libremente entre dos conductoreslos cuales mantiene un buen contacto.

En un conductor aislado las partculas mviles cargadas continan movindose y colisionando con tomosestacionaros de la estructura hasta que su velocidad promedio se reduce a cero. En esta situacin, llamada deequilibrio, las partculas cargadas pueden entonces ser distribuidas a travs de los conductores en aquelloslugares en los que la fuerza total es nula.

Debido a que las cargas se repelen entre s, las partculas cargadas mviles en un conductor aislado tienden amoverse hasta ubicarse lo ms alejadas posible una de la otra. En el estado de equilibrio final, ellas tienden portanto a ser ubicadas en la superficie del conductor. Por ejemplo, si son aadidos electrones extras a un cuerpometlico aislado (ver figura 1.8a), estos electrones se repelen movindose hacia la superficie del conductor.

Entonces la carga negativa total del metal en equilibrio electrosttico es distribuida sobre su superficie, como lomuestra la figura 1.8b. Similarmente, si los electrones son removidos del metal, mediante el aadido de carga


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positiva (figura 1.8c), los electrones remanentes son atrados hacia los iones positivos en el interior del metal,aprecindose de este modo un exceso de iones positivos en el interior del metal. Entonces la carga positiva totales distribuida en la superficie (figura 1.8d).

Figura1.8 (a) I nstante en que se aade carga negativa a un conducto esfrico, (b) D istri bucin super f icialde la carga en el conductor en equil ibr io electrosttico (d) i nstante en que se aade carga posit ivaal conductor, (d) di stri bucin de la carga en el conductor

1.8 TRANSFERENCIA DE CARGA.

1.8.1 Electrizacin por frotamiento.

Cuando a un cuerpo se le dota de propiedades elctricas se dice que ha sido electrizado o cargado. Laelectrizacin por frotamiento (figura 1.9) ha permitido a travs de un conjunto de experiencias fundamentales y

de su interpretacin de las mismas, sentar las bases de la electrosttica.

Figura 1.9 El ectri zacin por fr otamiento, la fotografa muestra la fr otacin de una barra de caucho conun trozo de piel

Si una barra de mbar (de caucho o de plstico) se frota con un pao de lana, se electriza. Lo mismo sucede siuna varilla de vidrio se frota con un pao de seda. Aun cuando ambas barras pueden atraer objetos ligeros, comohilos o trocitos de papel la propiedad elctrica adquirida por frotamiento no es equivalente en ambos casos. As

puede observarse que dos barras de mbar electrizadas se repelen entre s (vase la figura 1-10a) y lo mismosucede en el caso de que ambas sean de vidrio (vase la figura 1.10b). Sin embargo, la barra de mbar es capazde atraer a la de vidrio y viceversa (vase la figura 1.10c).


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(a) (b) (c)

Figura 1.10. (a) r epulsin entre dos vari ll as de plstico; (b) repulsin entre dos vari ll as de vidr iocargadas posit ivamente; (c) atraccin entre una varil la de vidri o cargada posit ivamente yuna de plstico car gada negativamente

Este tipo de experiencias llev a W. Gilbert a distinguir, por primera vez, entre la electricidad que adquiere elvidrio y la que adquiere el mbar. Posteriormente B. Franklin, al tratar de explicar los fenmenos elctricoscomo un fluido sutil, denomin a la electricidad que aparece en el vidrio cuando ste se frota con seda,electricidadpositivay a la que aparece en el mbar cuando ste se frota con lana, electricidad negativa. Lasexperiencias de electrizacin permitieron llegar a la conclusin de que:

Cargas elctricas de distinto signo se atraen y Cargas elctricas de igual signo se repelen

La electrizacin por frotamiento se explica del siguiente modo: por efecto de la friccin los electrones externosde los tomos del pao de lana son liberados y cedidos a la barra de mbar, con lo cual sta queda cagadonegativamente y aqul positivamente. En trminos anlogos puede explicarse la electrizacin del vidrio por laseda. En cualquiera de estos fenmenos se pierde o se gana electrones, pero el nmero de electrones cedidos por

uno de los cuerpos en contacto es igual al nmero de electrones aceptados por el otro, de all que en conjunto nohaya produccin ni destruccin de carga. Esta es la explicacin, desde la teora atmica, del principio deconservacin de la carga elctrica.

Actualmente, podramos elaborar una lista de materiales que pueden ser electrizados por frotamiento. Unmaterial ser electrizado positivamente al frotarlo con otro que figura de l en la lista.

1. Vidrio 5. Algodn 10. Metales2. Mica 6. Madera 11. Azufre3. Lana 7. mbar 12. Celuloide4. seda 8. Resinas

1.8.2

Electrizacin por contacto.Cuando un cuerpo cargado elctricamente se pone en contacto con otro inicialmente neutro, puede

transmitirle sus propiedades elctricas. Este tipo de electrizacin denominada por contacto se caracteriza porquees permanente y se produce tras un reparto de carga elctrica que se efectuar en una proporcin que depende dela geometra de los cuerpos y de su composicin.

La electrizacin por contacto es considerado como la consecuencia de un flujo de cargas negativas de un cuerpoa otro. Si el cuerpo cargado es positivo es porque sus correspondientes tomos poseen un defecto de electrones,que se vern en parte compensados por la aportacin del cuerpo neutro cuando ambos entran en contacto. Elresultado final es que el cuerpo cargado se hace menos positivo y el neutro adquiere carga elctrica positiva.An cuando en realidad se haya trasferido electrones del cuerpo neutro al cargado positivamente, todo sucedecomo si el primero hubiese cedido parte de su carga positiva al segundo. En el caso de que el cuerpo cargadoinicialmente se negativo, la transferencia de carga negativa de uno a otro corresponde, en este caso, a una cesinde electrones.


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Para mostrar el proceso de carga consideremos una esfera conductora cargada positivamente y otra tambinconductora inicialmente neutra, como se muestra en la figura 1.11

(a) (b)

Figura 1.11 (a) Esfera conductor a con carga positiva, (b) esfera conductor a neutra.

Si ahora se les pone en contacto ambas esferas conductoras, los electrones de la esfera neutra fluirn de la esferaneutra a la cargada debido a la atraccin electrosttica como se muestra en la figura 1.12a, la transferencia decarga termina cuando ambas alcanzan el mismo potencial. Para la geometra utilizada en el ejemplo se cumplaque

1 2

2 2

1 2

Q Q

R R (1-13)

Finalmente, despus de cierto tiempo, una vez alcanzado el equilibrio electrosttico, las esferas son separadasobservndose que han adquirido cargas Q1y Q2, respectivamente tal como se muestra en las figura 1.12b.

(a) (b)

Figura 1.12 Electrizacin por contacto(a) Transferencia de carga (electrones) de la esfera neutr a a la

cargada; (b) Esferas cargadas separadas despus de mantenerlas en con tacto cier to tiempo

1.8.3 Electrizacin por influencia o induccin.

Existe, no obstante, la posibilidad de electrizar un cuerpo neutro mediante otro cargado sin ponerlo encontacto con l. Se trata, en este caso, de una electrizacin a distancia denominada, por influencia o porinduccin. Si el cuerpo cargado lo est positivamente, la parte del cuerpo neutro ms prximo se cargar conelectricidad negativa y la opuesta con electricidad positiva. La formacin de estas dos regiones o polos decaractersticas elctricas opuestas hace que a la electrizacin por influencia se la denomine tambinpolarizacinelctrica. A diferencia de la anterior, este tipo de electrizacin es transitoria y dura mientras el cuerpo cargadose mantenga suficientemente prximo al neutro.

La electrizacin por influencia es un efecto de las fuerzas elctricas. Debido a que stas se ejercen a distancia,un cuerpo cargado positivamente en las proximidades de otro neutro atrae hacia s a las cargas negativas, con loque la regin prxima queda cargada negativamente. Si el cuerpo cargado es negativo entonces el efecto de


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repulsin sobre los electrones atmicos convertir a esta zona en positiva. En ambos casos, la separacin decargas inducidas por las fuerzas elctricas es transitoria y desaparece cuando el agente responsable se alejasuficientemente del cuerpo neutro.

Para ilustrar este fenmeno consideremos dos esferas metlicas neutras en contacto como se ve en la figura1.13a. Al acercar a una de las esferas una barra cargada positivamente, los electrones libres fluyen hasta

ubicarse como se muestra en la figura 1.13b, quedando una de las esferas con carga positiva y la otra con carganegativa. Si las esferas se separan antes de retirar la barra (figura 1.13c), quedarn cargadas con cargas iguales yopuestas (figura 1.13d). Un resultado anlogo se obtiene si se remplaza la barra cargada positivamente por otracargada negativamente. En ambos casos las esferas se han cargado sin ponerlas en contacto con la barra cargada.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 1.13 El ectr izacin por induccin. (a) esferas conductoras neutr as en contacto, (b) polar izacinde las esferas debido al acercamiento de la bar ra cargada positi vamente, (c) separacin delas esferas en presencia de la barra cargada y (d) alejamiento de la barra inductora.

CONEXIN A TIERRA

Cuando un conductor se pone en contacto con el suelo se dice que est conectado a tierra. Esto se representamediante un cable de conduccin que une al cuerpo conductor con la tierra (ground) como se muestra en la

figura 1.13c. Este tipo de coneccin tambin se puede utilizar para electrizar un cuerpo porinduccin.

Para mostrar el fenmeno consideremos en primer lugar una esfera conductora descargada soportada por unmaterial aislante (figura 1.14a). A continuacin acerque a la esfera una barra cargada negativamente, se

producir entonces una polarizacin de la esfera conductora es decir los electrones libres sern atrados al ladoprximo de la barra, dejando el extremo opuesto con carga negativa (figura 1.14b). Si ahora el lado derecho dela esfera se conecta a tierra con un alambre delgado los electrones viajaran hasta la tierra quedando dicho ladosin carga (figura 1.14c). Posteriormente si interrumpimos la conexin a tierra (figura 1.14d) la esfera quedarcargada positivamente. Finalmente si se aleja la barra inductora la carga de la esfera se distribuir en lasuperficie como se muestra en la figura 1.14e. Un resultado anlogo se obtiene si se utiliza una barra inductoranegativa (Explique cualitativamente lo sucedido).


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Figura 1.14 El ectr izacin por induccin uti li zando conexin a tierra. (a) Esfera metli ca in icialmentedescargada; (b) acercamiento de la barra inductora hacia la esfera para producir lapolari zacin; (c) Conexin de la esfera con l a tierr a mediante un hi lo conductor (loselectrones viajan a tierr a); (d) r eti ro de la conexin a tierra en presencia del inductor , (e)Esfera conductor a cargada posit ivamente.

EL ELECTROSCOPIOEn la figura 1.15, se muestra un electroscopio el cual consta de dos lminas delgadas de oro o aluminio queestn fijas en el extremo de una varilla metlica que pasa a travs de un soporte de ebonita, ambar o azufre y seusa para la deteccin de la carga elctrica. Cuando se toca la bola del electroscopio con un cuerpo cargado, lashojas adquieren cargas del mismo signo y se repelen siendo su divergencia una medida de la cantidad de cargaque ha recibido. La fuerza de repulsin electrosttica se equilibra con el eso de las hojas

Figura 1.15. El ectroscopio uti l izado en la deteccin de cargas elctr icas

1.9 LEY DE COULOMB

An cuando los fenmenos electrostticos fundamentales eran ya conocidos en la poca de Charles A Coulomb

(1736-1806), no se conoca an la funcin en la que esas fuerzas de atraccin y de repulsin variaban. Fue estefsico francs quien utilizando una balanza de torsin (Figura 1.16a y 1.16c) y utilizando un mtodo de medidade fuerzas sensible a pequeas magnitudes lo aplic al estudio de las interacciones entre pequeas esferasdotadas de carga elctrica. El resultado final de esta investigacin experimental fue la formulacin de la ley quelleva su nombre y que describe las caractersticas de las fuerzas de interaccin entre cuerpos cargados y enreposo (o con movimiento muy pequeo)

(a)

(b) (c)


16/40


Fig. 1.16 (a) D iagrama de la balanza de torsin; (b) F otografa de Charles A. Cou lomb; (c)Fotografa de la balanza de torsin

1.9.1 Enunciado de la ley de Coulomb

En el experimento de Coulomb, las esferas cargadas tenan dimensiones mucho menores que ladistancia entre ellas de modo que podan considerase como cargas puntuales. Los resultados de susexperimentos muestran que la fuerza elctrica entre cargas puntuales tiene las siguientes propiedades.

a. La magnitud de la fuerza elctrica es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de separacin rentre las dos partculas cargadas, medida a lo largo de la lnea que las une.

b. La magnitud de la fuerza elctrica entre las cargas puntuales q1 y q2 es proporcional al producto de lascargas,

c. La magnitud de la fuerza elctrica entre las partculas cargadas no depende de la masa ni del volumend. La fuerza elctrica es repulsiva si las cargas tienen el mismo signo y es atractiva si tienen signos opuestos.e. La fuerza elctrica depende del medio que rodea a las cargas.

En trminos matemticos, la magnitud de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales q1y q2, separadas

una distanciar, se ejercen est dada por

1 2

2

q qF k

r (1.14)

Donde k es una constante de proporcionalidad cuyo valor depende del sistema de unidades. La constante ken elSI de unidades tiene el valor de

9 2 2 9 2 28, 987551787.10 . / 9.10 . /k N m C N m C (1.15)

Por otro lado, la constante ktambin puede expresarse mediante la ecuacin

0

1

4k

(1.16)

Donde 0se conoce como permisividad del medio vaco cuyo valor es

12 2 2

0 8.854.10 /C Nm (1.17).

Debe recordarse que cuando se aplica la ley de Coulomb la fuerza es una magnitud vectorial y como tal tiene un

mdulo, una direccin y sentido. La fuerza elctrica12

F ejercida por la carga q1 sobre la carga q2 se expresa en

la forma

1 212 2

0

1 4

q qF rr

(1.18)

Donde 2 1

2 1

r r

rr r

, es un vector unitario dirigido desde la carga q1 hacia la carga q2. La representacin de

dicha fuerza para ambas interacciones se da en la figura 1.17a y 1.17b


17/40


(a) (b)

Figura 1.17. (a) Fuerzas elctr icas entre cargas del mismo signo (repulsin), (b) Fuerzas elctr icasentr e cargas de signo opuesto (atr accin).

Debido a que la ley de Coulomb cumple con la tercera ley de Newton, la fuerza elctrica ejercida por la carga q2sobre la carga q1es igual en mdulo a la fuerza ejercida por q1sobre q2pero de sentido opuesto, es decir

12 21F F (1,19)

A veces es necesario una expresin que simplifique las situaciones anteriores para ello la ley de Coulomb seescribe en la forma

1 2

12 3

0

1

4

q qF AP

AP

(1.20)

Donde APes un vector dirigido desde la carga q1hacia la carga q2(vase la figura 1.18)

Fig. 1.18 Fuerza elctr ica de atraccin entre cargas del mismo signo en donde se muestra el vector

1.9.2 Principio de superposicin

Cuando se tiene un sistema compuesto por ncargas puntuales tal como se muestra en la figura 1.19, lafuerza elctrica sobre la carga i-sima (qi) debido a las dems cargas se obtiene sumando vectorialmente lasfuerzas que cada una de ellas ejerce sobre la i-sima, es decir


18/40


1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 22 2 2 2

0 1 0 2 0 0

.... .......

1 1 1 1 ..... .....

4 4 4 4

i i ij in

i i ij in

i i ij in

F F F F F

q q q q q q q qF r r r r

r r r r

1 2 1 2

32

0 0

1 1 ( )

4 4

n n

ij i j

j i j iij i j

q q q qF r r r

r r r

(1.21)

Dondeijr , es un vector unitario dirigido desde la carga qja la carga qi.

Fig. 1.19 Apl icacin del pr incipio de superposici n

1.9.3 Distribucin continua de carga.

1.9.3.1 Distribucin lineal de carga.

Decimos que un cuerpo presenta una distribucin lineal de carga, cuando sobre ste ha sido distribuidauna carga en forma homognea o heterognea en toda su longitud (figura 1.20). La densidad lineal de carga

q r se expresa como la carga por unidad de longitud, esto es.

0( ) lim

qL

q dqr

L dL

(1.22)

Para evaluar la fuerza elctrica ejercida por la distribucin lineal de carga sobre una carga puntual Q, se divide ala distribucin de carga en elementos diferenciales de carga dqy se determina la fuerza que produce dqsobre Q,es decir

3

0

1

4

QdqdF AP AP

(1.23)


19/40


Fig. 1.20 Fuerza elctr ica debido a una distr ibucin l ineal

Remplazando la ecuacin (1.22) en (1.23), tenemos

3

0

( )14

qQ r dLdF AP AP

(1.24)

La fuerza elctrica resultante sobre Q debido a la distribucin lineal se obtiene integrando la ecuacin (1.24),esto es

3

0

( )

4

q r dLQF dF AP

AP

(125)

1.9.3.2 Distribucin superficial de carga.

Se dice que un cuerpo presenta una distribucin superficial de carga, cuando sobre su superficie hasido distribuida homogneamente o heterogneamente una carga q, con una densidad superficial de carga

q r , expresada como la carga por unidad de rea, esto es

0( ) limq

A

q dqr

A dA

(1.26)

Para evaluar la fuerza elctrica ejercida por la distribucin superficial de carga sobre una carga puntual Q, sedivide a la distribucin de carga en elementos diferenciales de carga dqy se determina la fuerza que produce dqsobre Q, es decir.

3

0

1

4

QdqdF AP AP

(1.27)

Fig. 1.21 Fuerza elctri ca debido a una di stribucin superf ici al


3

0

( )1

4

qQ r dAdF AP

AP

(1.28)


20/40


La fuerza elctrica resultante sobre Q debido a la distribucin superficial se obtiene integrando la ecuacin(1.21), esto es

3

04

q

A

r dAQF dF AP

AP

(1.29)

1.9.3.3 Distribucin volumtrica de carga.

Se dice que un cuerpo presenta una distribucin volumtrica de carga, cuando sobre su volumen ha sido

distribuida homogneamente o heterogneamente una carga q, con una densidad superficial de carga q r ,expresada como la carga por unidad de volumen, esto es

0( ) limq

V

q dqr

V dV

(1.30)

Para evaluar la fuerza elctrica ejercida por la distribucin volumtrica de carga sobre una carga puntual Q

(figura 1.21), se divide a la distribucin de carga en elementos diferenciales de carga dqy se determina la fuerzaque produce dqsobre Q, es decir.

3

0

1

4

QdqdF AP

AP (1.31)


3

0

( )1

4

qQ r dV dF AP

AP

(1.32)

Fig. 1.22 Fuerza elctr ica debido a una distr ibucin volumtr ica

La fuerza elctrica resultante sobre Q debido a la distribucin superficial se obtiene integrando la ecuacin(1.32), esto es

3

0

( )

4

q

V

r dVQF dF AP

AP

(1.33)


21/40


10 PROBLEMAS DE APLICACIN

Problema 01.

Cul es la carga total de 75 kg de electrones?.

Solucin

La masa de un electrones 9,11.10-31 kg, as que unamasa M = 75 kg contiene

31

31

758,23.10

9,11.10e

M kgN electrones

m kg

La carga de un electrn es , de talmanera que la carga total de N electrones es

31 19

3

( ) (8, 25.10 )( 1, 6.10 )

1,32.10

Q N e C

Q C

Problema 02

(a) Cuantos electrones podran ser removidos de un

peine para dejarlo con una carga de C?(b) A qu fraccin de electrones en el peine

corresponde esto?. Asumir que el peine est hechontegramente de cobre y tiene una masa de 3,11 g.

Solucin

(a) Sabemos que cada electrn removido del peine

tiene una carga . Entonces

para dejarlo al peine con la carga C,necesitamos remover N electrones, donde N es:

7

19

11

1,0.10

1,6.10

6,2.10

total

e

q CN

q C

N electrones

(b) Para responder esta parte, necesitamos el nmerototal de electrones en un peine neutro; paraencontrar ste, necesitamos encontrar el nmero detomos de cobre en el peine y usar el hecho de quecada tomo neutro contiene 29 electrones. Para


22/40


obtener los moles de tomos de cobre dividimos sumasa entre el peso atmico del cobre.

2

3,11

63,54 /

4,89.10

CuCu

Cu

Cu

m gn

M g mol

n mol

El nmero de tomos de cobre ser

2 23

22

(4,89.10 )(6,022.10 / )

2,95.10

Cu Cu A

Cu

N n N mol atomos mol

N tomos

Y el nmero de electrones en el peine fue(originalmente) 29 veces este nmero, entonces.

22 23

29 29(2,95.10 ) 8,55.10e CuN N electrones

La fraccin de electrones removidoscorrespondiente es

11

23

13

6,2.10

8,55.10

7,3.10

e

N electronesf

N electrones

f

Problema 03

Durante la fisin nuclear, un ncleo de uranio 238, elcual contiene 92 protones, se divide en dos pequeasesferas, cada una con 46 protones y un radio de 5,9.10 -15

m. Cul es la magnitud de la fuerza elctrica repulsivaque impulsan la separacin

Solucin

La figura bsica del ncleo despus de la fisin semuestra en la figura. Asumiendo que los bordes de lasesferas estan en contacto justo despus de la fisin.Ahora, ello es cierto que la ley de Colulomb solamentese aplica a masas puntuales, pero parece rasonable

tomar la distancia de separacin rentre las esferas comola distancia entre sus centros. (Este procedimiento esexactamente correcto para fuerzas gravitacionales entredos cuerpos esfricos, y debido a que la ley de Coulombesotra fuerza que depende del inverso al cuadrado ennuestro ejemplo nos parece correctas las asumciones

La carga de cada esfera ser

19 1846(1,602.10 ) 7,369.10q Ze C C

La separacin de los centros de las esferas es 2R,entonces la distancia a usar en la ley de Coulomb es

15 142 2(5, 9.10 ) 1,18.10r R m m

La magnitud de las fuerzas entre las dos esferascargadas sera

18 21 2 9 2 2

2 14 2

3

(7, 369.10 )9.10 . /

(1,18.10 )

3,15.10

q q CF k N m C

r m

F N

La fuerza entre dos fragmentos de la fusin tiene una

magnitud de 3,5.103

N, y es una fuerza repulsiva debidoa que los fragmentos son positivos.

Problema 04

Dos pequeas esferas cargadas positivamente tienenuna carga combinadade 5.10-5 C. si cada una de lasesferas son repelidas por una fuerza electrosttica de 1

N cuando las esferas etn separadas 2 m. Cul ser lacarga de cada una de las esferas.

Solucin

Debido a que en el enunciado no se dan las cargasindividules, asumimos que ellas son q1 y q2. Lacondicin sobre la carga combinada de las esferas es

5

1 2 5.10q q C

(a)

La siguiente condicin involucra a la fuerzaelectrosttica, y de este modo a la ley de Coulomb, lacual considera el valor absoluto de las cargas de talmanera que debemos tener cuidado con el uso delalgebra, pero en este caso conocemos que ambas cargas

son positivas debido a que su suma es positiva y ellasexperimentarn una repulsin. As, tememos

1 2 1 2

2 2

q q q qF k k

r r (b)

Como conocemos ky r, el producto de las cargas es

2 2

1 2 9 2 2

4 (1, 0 )

9.10 . /

r F m N q q

k N m C

10 2

1 2

4,444.10q q C (c)

Despejando q2de la ecuacin (a) se tiene


23/40


5

2 15.10q C q (d)

Sustituyendo la ecuacin (d) en (c) se tiene

5 10 2

1 1(5.10 ) 4,444.10q C q C

La cual da una ecuacin cuadrtica

2 5 10

1 15.10 4, 444.10 0q q

La solucin de dicha ecuacin permite obtener dosvalores posibles para q1, esto es

5 2 101

5

1 5

5.10 5.10 4 4, 444.10

2

3,84.10

1,16.10

q

C

q C

Remplazando estos psibles valores en la ecuacin (d) setiene

5 5 5

1 2 1

5 5 5

1 2 1

3,84.10 5.10 1,16.10

1,16.10 5.10 3,84.10

q C q C q C

q C q C q C

Problema 05

Dos esferas conductoras idnticas, fijas en un lugar,atraen una a la otra con una fuerza electrosttica de0,108 N cuando estn separadas por 50 cm, de centro acentro. Las esferas son entonces conectadas medianteun hilo conductor. Cuando el hilo conductor esremovido las esferas se repelen con una fuerzaelectrosttica de 0,360 N. Cules fueron las cargasiniciales de las esferas?.

Solucin

La configuracin inicial de las esferas es mostrado en lafigura (a).

Asumimos que las cargas en las esferas son q1y q2. Sila fuerza de atraccin entre ellas tiene la magnitud de0,108 N, entonces la ley de Coulomb se escribe

1 2 1 29 2 2

2 2

12 2

1 2

9.10 / 0,108(0, 5 )

3.10

q q q qF k Nm C N

r m

q q C

Pero debido a que se conoce que las cargas se atraenuna otra, entonces se conoce que q1 y q2 tienen signoopuesto y su producto puede ser negativo. De estaforma se elimina el valor absoluto si consideramos elsigno correspondiente, es decir

12 2

1 2 3.10q q C (b)

Cuando las dos esferas son conectadas mediante el hiloconductor (figura b). La carga es libre pararedistribuirse entre las dos esferas y debido a que ellasson idnticas la carga total en exceso (q1+ q2) puede sereventualmente dividida entre las dos esferas. Si ahora la

nueva carga en cada esfera es Q, entonces tenemos

1 22Q Q Q q q (c)

La fuerza de repulsin entre ambas esferas es ahora0,036 N, tal que

2 29 2 2

2 29.10 / 0, 036

(0,5 )

Q QF k Nm C N

r m

De donde obtenemos

61,00.10Q C (d)

Remplazando este valor en la ecuacin (c), se tiene

6 6

1 2 2 2( 1, 00.10 ) 2, 0.10q q Q C C

Esta ecuacin indica que existen dos valores posiblespara q1y q2.

Primero usamos el signo positivo, entonces se tiene

6

2 12.10q q

(e)

Remplazando la ec. (e) en (b), se tiene

6 12 2

1 1(2.10 ) 3.10q q C

2 6 12

1 12.10 3.10 0q q

(f)

Resolviendo la ecuacin cuadrtica resulta, tenemos

6 6

1 13.10 o 1.10q C q C

(g)

Al sustituir estos valores en la ecuacin (e) resulta


24/40


6 6

2 21.10 o 3.10q C q C

Pero estos valores en realidad son los mismos. Por tantouna carga es de -1 C y la otra es de 3 C.

Primero usamos el signo negativo, entonces se tiene

6

2 12.10q q

(e)

Remplazando la ec. (e) en (b), se tiene

6 12 2

1 1( 2.10 ) 3.10q q C

2 6 12

1 12.10 3.10 0q q

(f)

Resolviendo la ecuacin cuadrtica resulta, tenemos

6 6

1 13.10 o 1.10q C q C

(g)

Al sustituir estos valores en la ecuacin (e) resulta

6 6

2 21.10 o 3.10q C q C

Pero estos valores en realidad son los mismos. Por tantouna carga es de -1 C y la otra es de +3 C.

Por tanto concluimos que existen dos distintasposibilidades para las cargas iniciales q1y q2. Ellas son

1 y 3

1 y -3

C C

y

C C

Problema 06.

Las cargas y coordenadas de dos partculas cargadasfijas en el planoxyson: q1= +3.0 C,x1= 3,50 cm,y1=0,50 cm, y q2= - 4.0 C, x1= -2 cm, y2= 1,50 cm. (a)Encontrar la magnitud y direccin de la fuerzaelectrosttica sobre q2. (b) Donde podra Ud. localizaruna tercera carga q3 = +4 C tal que la fuerza

electrosttica sobre q2sea nula.Solucin.

(a) En la figura se muestra la grafica de la ubicacin delas cargas

La fuerza elctrica sobre la carga q2es

1 2

12 3

6 69

12 32 2

(3.10 )(4.10 )9.10 (0, 055 0, 01)

0,055 0,01

q qF k BA

BA

F i

12 1,925 0,35F i j

El mdulo de la fuerza ser

12 35F N

Su direccin ser

0,0110,3

1,925tg

(b) Para localizar la tercera carga se traza el dibujomostrado

La fuerza atractiva entre las cargas q3 y q2 tieneque tener el mismo mdulo que la fuerza entre q1yq2para que esta ltima este en equilibrio, entoncestenemos

6 63 2 9

32 2 2

(4.10 )(4.10 )9.10 13

( ') ( ')

' 6, 4

q qF k N

r r

r cm

Esta es la distancia de q3a q2y su direccin ser

' 180 10, 3 169, 7

El desplazamiento de la carga q3 respecto a lacarga q2es

' cos ' (6, 45 ) cos169, 7 6, 35

' ' (6, 45 ) 169, 7 1,15

x r cm cm

y r sen cm sen cm

Por lo tanto las coordenadas de ubicacin de q 3son


25/40


3 2

3 2

2 6,35 8,35

1,5 1,15 2, 65

x x x cm cm cm

y y y cm cm cm

Problema 07

Tres cargas puntuales idnticas, cada una de masam=100 g se encuentran suspendidas de hilos, como se veen la figura. Si la longitud de cada hilo de las cargas enel extremo esL= 30 cm y el ngulo = 45. Determineel valor de la carga q.

Solucin

En primer lugar se traza el diagrama de cuerpo libre dela esfera izquierda, en el se observa que acta el peso(mg), la tensin en el hilo (T) y las fuerzaselectrostticas que ejerce la carga ubicada en medio(Fm) y la ejercida por la esfera situada a la derecha (FD)

Para aplicar la ley de coulomb se necesita las distanciaentre la carga en estudio y las dems cargas, de lageometra se tiene.

1

2 1

0, 3 45 0, 212

2 2(0, 212 ) 0, 424

r Lsen sen m

r r m m

Entonces las fuerzas elctricas pueden escribirse en laforma

2 2

2 2

1

2 2

2 2

2

0,212

0,424

C

D

q qF k k

r

q qF k k

r

Aplicando las ecuaciones de equilibrio en direccin

vertical se tiene

45 0 / cos 45

0,1(9,8) / cos45

1,39

Tsen mg T mg

T

T N

Aplicando las ecuaciones de equilibrio en direccin

horizontal se tiene

2 2

2 2

2

2 2

2 12 2

0

45 0

45

1, 39 450, 212 0, 424

1 11, 39 45

0, 212 0, 424

3.93.10

1,98

x

C D

C D

F

Tsen F F

F F Tsen

q qk k sen

kq sen

q C

q C

Problema 08

Dos esferitas pequeas con cargas iguales y masas m sesuspenden de hilos de seda de longitud L a un mismo

punto, la distancia entre ellas es x


26/40


Aplicando la ecuacin de equilibrio en direccinvertical, se tiene

0

cos 0

yF

T mg

/ cosT mg (1)

Aplicando la ecuacin de equilibrio en direccinhorizontal, se tiene

0

0

x

e

F

F Tsen

eF Tsen (2)

Al remplazar la ecuacin (1) en (2) se tiene

eF mgtg (3)

Debido a que x


27/40


Despejando la velocidad angular se tiene

2

3 3

04

gtg Q

Lsen mL sen

Problema 10

Una pequea cuenta de masa my carga +q estrestringida a deslizarse sin friccin a lo largo de la barradelgada de longitud L. En los extremos de la barraexiste sendas cargas +Q fijas, como se muestra en lafigura.

a. Obtener una expresin para la fuerza elctrica sobrela carga q debido a las cargas Q en funcin de ladistancia x, donde x es la distancia medida desde el

punto medio de la barra.b. Demuestre que si x


28/40


2

3

3

32

2 32

kqQ

mL

kqQ

T mL

El perodo T esta dado por

3

3

0

1

2 32

1

2 8

mLT

kqQ

mLT

qQ

Problema 11

Una barra no conductora de longitud L con una cargapor unidad de longitud y una carga total q estubicado a lo largo del eje x, como se muestra en lafigura. Determine, la fuerza electrica sobre una carga

puntual Q ubicada en el origen de coordenadas

Solucin

Para evaluar la fuerza solicitada se divide ladistribucin de carga en elementos diferenciales (verfigura) con carga dqy longitud dx, dado por

q dq

L dx

La fuerza producida por dqsobre Q ser y est dadapor

2( )Q dq

dF k ix

Remplazando (1) en (2) se tiene

2( )Q dx

dF k ix

La fuerza total se obtiene integrando la ecuacinanterior, es decir

2

2

L a

a

L a

a

dxF k Q i

x

dxF k Q ix

Evaluando la integral y aplicando los lmites se obtiene

( )

LF k Q i

a L a

Si se remplaza el valor de la densidad de carga enfuncin de la carga total qresulta

( )

( )

q LF kQ iL a l a

qQF k i

a l a

Problema 12

La figura muestra un hilo infinito cargado con unadensidad de carga uniforme. Inicialmente se coloca en

reposo una partcula cargada de masamy carga Q en elpuntox = a, debido a la repulsin coulombiana llega alpunto x = 2a con una velocidad v. Determine en

funcin de m, Qyv.

Solucin

En primer lugar se divide a la varilla en elementos decarga dq y longitud dy como se muestra en la figura.Este elemento tiene una carga dada por

dqdq dy

dy

(1)


29/40


Se calcula ahora la fuerza ejercida por dq sobre la carga

puntual Qubicada a una distancia arbitrariax

3

2 2 3/ 2

( )( )

( )( )

( )

Q dydF k AP

AP

Q dydF k xi yj

x y

(2)

A partir de la simetra de la figura se observa que la

fuerza resultante debido a la varilla infinita sobre Q

debe estar dirigida a lo largo del eje x, es decir se

anular las componentes perpendiculares. Por tanto la

componente horizontal ser

2 2 3/ 2( )

( )x

Q xdydF k ix y (3)

El fuerza elctrica resultante debido al hilo cargado

sobre la carga Q, para una distancia fijaxes

2 2 3/ 2 2 2 3/ 2( ) ( )x

kQxdy dyF i kQx i

x y x y

La integral se evala en la forma

2 2/ 2 / 2

2 2 2 3/ 2 2 3/ 2/ 2 0

2/ 2

2 3/ 20

/ 2

0

sec 2 sec( ) (1 )

2 sec

(1 )

2cos

2

x

x

x

x

x d kQ dF kQxx x tg x tg

kQ dF

x tg

kQF d

x

kQF

x

Ahora se aplica la segunda ley de Newton a la partcula

de masa m y carga Q, esto es

,

2

x x

e x

F ma

dvF mv

dx

kQ dvmv

x dx

Separando variables en esta ecuacin, tenemos

2 kQ dxvdv

m x

Integrando la ecuacin anterior y tomando los lmitescorrespondientes, resulta

2

0

2v a

a

kQ dxvdv

m x

22

ln22

v kQ

m

Despejando el valor de , se obtiene

2

0

ln2

mv

Q

Problema 13

Un anillo circular delgado de radio R posee unadistribucin lineal de carga variable dada por

, como se muestra en la figura.Determine la carga total del anillo.

Solucin

Para resolver el problema se divide a la distribucin decarga en elementos diferenciales de cargadqy longituddstal como se muestra en la figura.


30/40


De la definicin de densidad de carga lineal tenemos

0 (1 cos )

q dqdq dS Rd

L dS

dq R d

Integrando la ecuacin anterior

2

00

2

00

2

0 0

0

(1 cos )

(1 cos )

2

Q dq R d

Q R d

Q R sen

Q R

Problema 13

Una esfera maciza, no conductora de radio a con unacavidad esfrica de radio b, como se muestra en lafigura, tiene una distribucin de carga volumtrica

A r , donde A es una constante. Determine la

carga que se encuentra en la esfera.

Solucin

Para solucionar el problema se divide a la esfera enelementos diferenciales de carga en forma de cortezaesfrica de radio ry espesor drcomo se ve en la figura.

La carga diferencial queda expresada como

2

3(4 )

4

r

Adq dV r dr

r

drdq A

r

La carga total distribuida en el volumen se obtieneintegrando la expresin anterior

4 4 lnb

a

dr aQ dq A A

r b

Problema 14

Una cascara hemisfrica dielctrica tiene una

distribucin de carga , donde 0 esconstante y se expresa en C/m2. Calcule la carga totalque se encuentra en la cascara hemisfrica.

Solucin

Se divide la distribucin de carga en elementosdiferenciales de carga dqcomo se muestra en la figura.

La carga del elemento diferencial es

0

0

2

0

( )(2 )

( )(2 cos )( )

2 cos

dq dA

dq sen y dS

dq sen R Rd

dq R sen d

La carga total se obtiene integrando la ecuacin anterior

/ 22

00

/ 2/ 2

2 2

0 00

0

2 2

0

2 cos

12 cos(2 )

2

Q dq R sen d

Q R sen d R

Q R

Problema 15

Un anillo de alambre fino de radio R tiene una cargaelctrica q. Cul ser el incremento de la fuerza de


31/40


traccin del alambre , si en el centro del anillo se colocauna carga puntual q0.

Solucin

En la figura se representa la configuracin de las cargas

Para resolver el problema se traza el DCL de una cargay longitud , como se muestra en la figura. Las

fuerzas sobre el elemento son la Traccin en el alambre( )y lafuerza elctrica Feejercida porq0sobre .

El incremento de carga es

2

(2 )2 2

total

cirunf

q q q

L R S

q qq S R

R R

qq

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene

0

2

0

2( )

( )2( )

y

e

F

F T sen

q qk T sen

R

Teniendo en cuenta que para ngulos pequeos secumple que y remplazndo el valor deobtenido anteriormente resulta

0

2

0 0

2 2 2

0

2( )

Rta

2 8

qq

k TR

kq q q qT

R R

Problema 16

Una barra delgada con una carga por unidad de longitud, tiene la forma de un arco de crculo de radio R. El

arco subtiene un ngulo total , simtrico alrededordel eje x como se muestra en la figura. Cul es lafuerza elctrica sobre una carga puntual que seencuentra en el origen de coordenadas?.

Solucin

Dividamos a la distribucin de carga en elementosdiferencial de longitud, , el cual hace unngulo , con el ejex, como se muestra en la figura.

La cantidad de carga que lleva el elemento diferenciales

( )dq ds Rd

La fuerza elctrica producida por el elementodiferencial sobre Q es

2 2

0

( )( cos )

( cos )4

r

Qdq Q Rd dF k e k i sen j

r R

QddF i sen j

R

La fuerza elctrica total ejercida por la distribucinsobre la carga puntual Q es


32/40


0

0

0

0

0

0

0

0

( cos )4

cos4

Rta2

QF d i sen d j

R

QF sen i j

R

QsenF iR

Uti l ice los criteri os de simetra que presenta ladistribucin de carga para veri fi car l a respuesta!

Problema 17

Un anillo de radio R que se encuentra en el plano yzposee una carga Quniformemente distribuida en toda sulongitud. En el eje del anillo se encuentra una carga

puntual de masa my carga q0. (a) Determine la fuerza

elctrica sobre la carga

q0 cuando ella se encuentra auna distanciaxdel centro del anillo, (b) Demuestre quesix


33/40


0

3

0

0

3

0

0

3

0

4

04

04

x xF ma

q Qx mx

R

q Qmx x

R

q Qx

mR

Esta ecuacin indica que la masa m describe un MASde frecuencia de oscilacin ser

22 0

3

0

0

3

0

24

1 Rta

2 4

q Qf

mR

q Qf

mR

Problema 18

Un sistema se compone de un disco de radio R cargadocon una densidad de carga , donde es unaconstante y res medido desde el centro del disco y unacarga puntual positiva q0situada a una distancia zdesdeel centro. Determine la fuerza que ejerce el disco sobrela carga puntual.

Solucin

En la figura se muestra la distribucin de carga y lacarga puntual a una distanciaz.

Para resolver el problema se usa coordenadascilndricas. Entonces el elemento de carga diferencialest dado por

2

( )r

dqr dq r rdrd

dA

dq r drd

La fuerza ejercida por el elemento de carga dqsobre lacarga puntual q0es

0

3

0

2

0

2 2 3/ 2

0

1

4

( )1( )

4 ( ) r z

q dqdF AP

AP

q r drd dF re ze

r z

Debido a la simetra que presenta la distribucin decarga, entonces se tiene

2

0

2 2 3/ 2

0

( )4 ( )

z

q r drddF ze

r z

La fuerza elctrica debido al disco cargado completo seobtiene integrando la expresin anterior y utilizando loslmites apropiados

22

0

2 2 3/ 20 00

( )4 ( )

R

zr

q z r d dr F e

r z

2 2

0

2 20

ln4

z

q z R R z RF e

z R z

Problema 19.

Una pequea masa puntual mde carga qest restringidaa moverse verticalmente dentro de un tubo estrecho ysin rozamiento tal como se muestra en la figura. En elfondo del cilindro hay una masa puntual de de carga Qde igual signo que q. (a) Demostrar que la masa m

estar en equilibrio a una altura . (b)Demostrar que si la masa mes desplazada ligeramentede su posicin de equilibrio y se deja en libertad


34/40


ejecutar un movimiento armnico simple de frecuencia

angular .

Parte (a) En la figura se muestra el DCL de carga qy de masa men equilibrio

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene

2

0

0 0y e

kqQF F mg mg

y

0

kqQy

mg (1)

Parte (b). En la figura se muestra el diagrama decuerpo libre de la carga qpara un desplazamiento verticalde la masa a partir de su posicin de equilibrio y

Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene

'

y y

e y

F ma

F mg ma

(2)

Remplazando (1) en (2)

2 2

0 0( )

y

kqQ kqQma

y y y

Debido a que el desplazamiento y es pequeo sedesprecia el trmino (y)2, entonces La ecuacin anteriorse escribe.

2 2

0 0 02

y

kqQ kqQma

y y y y

Simplificando se tiene2 2

0 0 0

2 2

0 0 0

( 2 )

( 2 ) y

y y y ykqQ ma

y y y y

2 2

0 0 0

2 2

0 0 0

2

0 0 0

3 2

0 0

( 2 )

( 2 )

2

( 2 )

2

( 2 )

y

y

y

y y y ykqQ ma

y y y y

kqQ yma

y y y y

kqQ y

may y y

Una vez ms par desplazamientos pequeos se tiene

3

0

0

3

0

2

2(1 )

2

y

y

kqQ yma

yy

y

kqQ yma

y

Remplazando una vez ms la ec (1), se tiene

2

0 0

0

2

2( )

y

y

y kqQma

y y

ymg ma

y

2

0

0

2

2

y

g ya y

y

g

y

PROBLEMAS PROPUESTOS-

1. Una carga Q es transferida de una bola plsticainicialmente descargada a una bola idntica situadaa 12 cm. La fuerza de atraccin es entonces 17 mN.Cuntos electrones fueron trasferidos de una bola ala otra?.

2. Dos cargas, -Q0 y -4Q0, estn separadas por unadistancia l. Estas dos cargas son libres de moverse

pero no si localizamos una tercera carga en elespacio entre las dos anteriores. Cul puede ser la


35/40


magnitud de la tercera carga y donde se le ubicarapara que las primeras dos cargas permanezcan enequilibrio-

3. Dos cargas positivas +Q estn rgidamente fijassobre el eje x enx = +d yx =- d. Una tercera carga

+q de masa m, la cual es restringida a moversesolamente a lo largo del eje x, es desplazada desdeel origen una pequea distancia s


36/40


11. En el estudio del modelo clsico del tomo dehidrgeno se considera, al electrn girando en unarbita circular con un radio a0 llamado radio deBohr. Encuentre la velocidad del electrn.

Considere que y la masa del

electrn es .

12. Se tiene dos cargas Q y q. Qu cantidad de cargadebe trasladarse de una hacia la otra para que la

fuerza elctrica resultante entre ellas sea mximamanteniendo la separacin constante?.

13. Tres esferas de igual dimetro se colocan como semuestra en la figura. Las esferas A y C se cargancon 2 C y - 2 C respectivamente y estn a lamisma distancia de B que puede oscilar como un

pndulo. Qu ocurre con B?. Se inducen cargas?.Dnde?. Se carga?. Fundamente su respuesta .

14. Se tiene una esfera conductora pequea Bdescargada y otra esfera conductora A dedimensiones iguales cargada con qA= +4 C. (a) Sise las pone en contacto y luego se las separa. Qucarga adquiere B?, (b) si no hubiera contacto y se leaproxima A como se indica en la figura que cargaadquiere B?. (c) Si inicialmente B estuviera

conectada a tierra, Qu pasa en el caso a y b?.

15. Se tiene una esfera maciza conductora cargada deradio R1= 1 mcon una carga total Q = 10 C quese le rodea con un cascarn conductor esfricoconcntrico de radios R2 = 2 m y R3 = 2,2 mrespectivamente como se muestra en la figuraconectada a tierra. Entre ambos conductores sloexiste vaco. (a) Cul es la carga del cascarn ydonde se sita?. (b) Si la esfera interna y elcascarn se conectan con un hilo conductor. Cules la nueva carga en la esfera y en el cascarn ydnde se sita?.

16.Calcule la fuerza electrosttica que acta sobre lacarga en A (0, 2, 2) debido a las cargas en B (3, 4,2) y en C ( 3, 0, 1), sabiendo que qA=102e-; qB=102e+; qC= e-.

17. Tres cargas +q, +2qy 4q, estn unidas por cuerdasdel modo indicado en la figura. Determine las

tenciones T1y T2.

18. Si se le da una carga Q a tres esferas pequeaspuntuales de masas mque estn suspendidas de unpunto O por hilos de igual longitud a, las cargas serepelen hasta ubicarse en los vrtices de untringulo equiltero base del tetraedro con vrtice

en O como se muestra en la figura. Muestre que eneste caso la carga en cada esfera es:

6/4 2

0

2mgaQ


37/40


19. Dos esferas idnticas de corcho de masa my cargaq mostradas en la figura, estn suspendidas delmismo punto por medio de dos cuerdas de longitud

L. Encontrar el ngulo que las cuerdas formancon la vertical, una vez logrado el equilibrio.

20. Dos esferas iguales cargadas de masa m, estnsuspendidas de un mismo punto de hilos, cada unode longitud L. En el punto de suspensin se

encuentra una tercera esferita, tambin cargadacomo las dos primeras como se muestra en lafigura. Calcular la carga Qde la esfera, si el nguloentre los hilos en su posicin de equilibrio es iguala .

21. Cinco cargas iguales Q estn igualmente espaciadasen un semicrculo de radio R como se indica en lafigura. Determine la fuerza que se ejerce sobre unacarga q localizada en el centro del semicrculo.

22. En el cobre existen aproximadamente un electrnlibre por cada tomo. Una moneda de cobre poseeuna masa de 3 g.a. Qu porcentaje de la carga libre debera

extraerse de la moneda para que esta adquierauna carga de de 15 C ?.

b. Cul ser la fuerza de repulsin entre dosmonedas que portaran esta carga si estuvieran

separadas una distancia de 25 cm?. Supongaque las monedas se comportan como cargaspuntuales.

23. Una pequea cuenta de masa m, portadora de unacarga negativa q est restringida a moverse a lolargo de una barra delgada y sin rozamiento comose ve en la figura. A una distancia Lde esta barrahay una carga positiva Q. Demostrar que si la

cuenta se desplaza una distancia xen dondex


38/40


29. Una carga lineal de densidadtiene la forma de uncuadrado de lado Lque est contenido en el plano

xy y tiene su centro en el origen. Hallar la fuerzaque este alambre ejerce sobre la carga Qsituada auna distanciazsobre el eje.

30.

Halle la fuerza elctrica sobre una carga puntual de50 Cubicada en P(0, 0, 5)m debida a una cargade 500 C que est distribuida uniformementesobre un disco circular de radio R = 5 m, ubicadoen el planoz = 0y con centro en el origen.

31. Dos cargas puntuales iguales a +eestn ubicadas en los puntos (b, 0, 0) y (-b, 0, 0).Por efecto de las fuerzas que ejercen, una carga egira alrededor del eje 0x describiendo en el planoOxy una circunferencia de radio R. Determinar lavelocidad angular de dicha carga, cuya masa es m.

32.

Un anillo circular de radioRposee una distribucinde carga lineal )cos1(0 como se muestra

en la figura. Determinar: (a) la carga total delanillo; (b) Si se coloca una carga puntual en elcentro del mismo. Cul ser la fuerza que ejerce elanillo sobre la carga +Q ?.

33. Un anillo fino aislante de radio R tiene una cargacuya densidad lineal es cos

0 , donde 0 es

una constante positiva y , el ngulo azimutal.

Cul es el mdulo del vector fuerza que ejerceeste anillo sobre una carga puntual Qsituada sobreel eje a una distancia z de su centro?.

34.

Un cuerpo pequeo, esfrico y cargado seencuentra en la lnea del eje de simetra de un anillode radioR. La densidad de la carga del anillo es ysu masa es m. Calcular la carga del cuerpo de talforma que el anillo quede suspendido.

35. Dos cargas elctricas q estn separadas unadistancia 2L. Determinar: (a) La fuerza elctricasobre otra carga Q colocada en un punto de lamediatriz del segmento que las une. (b) Calcule elvalor mximo de tal fuerza.

36. Una carga se reparte uniformemente en el eje y,desdey= 0 hastay= . La densidad de carga en el

eje y es . Determine la fuerza ejercida sobre unacarga puntual qsituada en el ejexenx = x0.

37. Calcule la fuerza elctrica sobre una carga puntualpositiva de 2,4C, colocada a 4 cmsobre el centrode una placa maciza uniformemente cargada, de 6cm de radio, que tiene una carga positiva total de10 C..

38. Cunta carga +Q se debe distribuiruniformemente en una placa cuadrada y horizontal,de 1 m de lado, si debe quedar suspendida en el aireuna masa de 1 g y carga de 1 C a 1 mm de la

superficie de la placa?. Tenga en cuenta lagravitacin en este problema. Cul sera larespuesta si la pelota debe quedar suspendida 2 mmsobre la placa?.

39. Una carga nica q1= +10-7C, esta fija en el planode la base de un plano inclinado que forma unngulo con la horizontal. En una ranura lisa y sin

friccin del plano, se coloca una pelotita de m = 2 gde masa, y con una carga de q1= +10-7C, el planose prolonga directamente la carga fija como se veen la figura. Se puede mover pendiente arriba oabajo hasta quedar a una distancia estable l = 10

cm, de la carga fija. Determine el valor de .

40. Se tiene dos varillas de forma semicircular de

radiosR1yR2cargados uniformemente con Q1y Q2respectivamente. (a) Calcular la fuerza elctrica Fsobre la carga puntual q ubicada en el centro de


39/40


curvatura comn. (b) Si R1 =R2/2, calcular larelacin entre cargas para que la fuerza neta sobre qse anule.

41. Determine la fuerza que una esfera de radio R,carga y densidad de carga superficial constante,ejerce sobre una carga puntual q0 colocada, (a)fuera de ella y (b) adentro de ella.

42.

Determinar la fuerza que una esfera de radio R,carga Q y con una distribucin volumtrica decarga cuya densidad es ,ejerce sobre unacarga puntual q0 colocada, (a) fuera de ella y (b)adentro de ella.

43. Una superficie en forma de cuadrado de lado Llleva una carga Qdistribuida uniformemente sobresu superficie, determine la fuerza elctrica que estadistribucin ejerce sobre una carga puntual +qubicada a una distancia H desde el centro delcuadrado como se muestra en la figura

44. Una barra delgada de vidrio tiene la forma de

semicrculo de radio R, como se muestra en lafigura. Una carga es distribuida no uniformementea lo largo de la barra con una densidad lineal dada

por , donde 0 es una constantepositiva. Determine: (a) la fuerza elctrica sobreuna carga puntual q0ubicada en el punto O (centrode la semicircunferencia, (b) si la carga puntual esun protn, Cul sera la aceleracin que steexperimenta?. Considere que R = 1 cmy 0 = 1,0C/m y q0= 20 nC

45. Estimar la fuerza neta entre el grupo CO y el grupoCN mostrado en la figura. El carbono C y elOxgeno O tienen cargas de y el hidrgenoy el nitrgeno tienen cargas de , dondeeesla carga del electrn. Sugerencia: desprecie lasfuerzas internas entre C y O as como entre H y N

46. Un electrn se mueve en un crculo de radio Ralrededor de un alambre delgado con una densidadde carga uniforme en un espacio vaco, como semuestra en la figura. La densidad de carga sobre el

hilo es . (a) Cul es la fuerza elctricasobre el electrn (magnitud y direccin?. (b) Cules la velocidad del electrn?. (c) El movimiento escircular uniforme?. Si es verdadera la parte (c)Cul sera la frecuencia circular?.

47.

Encuentre la fuerza elctrica sobre una cargapuntual q = 1 nCubicada en el punto A debido a lainteraccin elctrica de las cargas mostradas en lafigura si q1= 2,63C y q2= -2,63C, d = 10 cm,r1= 50 cm y .


40/40


48. Las barra L1 en el eje x y la barra L2 en el eje yllevan densidades de carga uniformes 1 y 2.Determine la fuerza elctrica sobre una carga

puntual +qubicada en el punto P y a las distanciasperpendiculares a las barras indicadas.

49. Un alambre en la forma de un cuadrado de lado L

lleva una densidad de carga uniforme . Encuentrela fuerza elctrica sobre una carga puntual +Qubicada a una distancia d( punto P) sobre el eje delcuadrado

50. Una copa hemisfrica aislante de radio R lleva unacarga total q distribuida sobre su superficie.Determine la fuerza elctrica que esta distribucinejerce sobre una carga puntual +Q ubicada en elcentro de la copa

51.

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